2019-2020学年浙江省金华市婺城区九年级(上)期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年浙江省金华市婺城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．（3分）下列各数中，属于无理数的是( ) A ．2
B
．4
C ．0
D ．1
2．（3分）根据国家外汇管理局公布的数据，截止2019年9月末，我国外汇储备规模为30924亿美元，较年初上升197亿美元，升幅0.6%，数据30924亿用科学记数法表示为( ) A ．83092410⨯
B ．123.092410⨯
C ．113.092410⨯
D ．133.092410⨯
3．（3分）计算
97(a a a
b b b
++⋯+=⋅⋅⋯⋅个
个
)
A ．97a b
B ．9
7a b
C ．79a b
D ．9
7a b
4．（3分）下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A ．等腰三角形
B ．正三角形
C ．平行四边形
D ．正方形
5．（3分）下列函数中，y 的值随着x 逐渐增大而减小的是( ) A ．2y x =
B ．2y x =
C ．2
y x
=-
D ．1y x =-
6．（3分）小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的( )
A ．众数是6吨
B ．平均数是5吨
C ．中位数是5吨
D ．方差是
4
3
7．（3分）把多项式241a -分解因式，结果正确的是( ) A ．(41)(41)a a +-
B ．(21)(21)a a +-
C ．2(21)a -
D ．2(21)a +
8．（3分）通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是( )
A ．22()()a b a b a b +-=-
B ．222()2a b a ab b +=++
C ．22()22a a b a ab +=+
D ．222()2a b a ab b -=-+
9．（3分）把边长相等的正六边形ABCDEF 和正五边形GHCDL 的CD 边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG 交AF 于点P ，则(APG ∠= )
A ．141︒
B ．144︒
C ．147︒
D ．150︒
10．（3分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3)m 与旋钮的旋转角度x （单位：度）(090)x ︒<︒近似满足函数关系2(0)y ax bx c a =++≠．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为( )
A ．18︒
B ．36︒
C ．41︒
D ．58︒
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）在函数21y x =-中，自变量x 的取值范围是 ．
12．（4分）在数1-、1、2中任取两个数（不重复）作为点的坐标，则该点刚好在一次函数
2y x =-图象上的概率是 ．
13．（4分）如图，点A是反比例函数
k
y
x
=的图象上的一点，过点A作AB x
⊥轴，垂足
为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若ABC
∆的面积为4，则k的值是．
14．（4分）如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD，则tan DBC
∠的值为．
15．（4分）如图1表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，当钟面显示3点30分时，分针垂直与桌面，A点距离桌面的高度为10公分，若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，如图2，钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度．
16．（4分）如图①，是一建筑物造型的纵截面，曲线OBA是抛物线的一部分，该抛物线开口向右、对称轴正好是水平线OH，AC，BD是与水平线OH垂直的两根支柱，4
AC=米，2
BD=米，2
OD=米．
（1）如图②，为了安全美观，准备拆除支柱AC、BD，在水平线OH上另找一点P作为地面上的支撑点，用固定材料连接PA、PB，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点O，P之间的距离是．
（2）如图③，在水平线OH上增添一张2米长的椅子(
EF E在F右侧），用固定材料连接AE、BF，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点O，E之间的距离是．
三、解答题（本大题有8小题，共66分） 17．计算：203(1)tan
60(3)3
π---
+︒--．
18．解不等式组213122
x x x +<⎧⎪
⎨<⎪⎩并求出最大整数解．
19．如图，在锐角ABC ∆中，小明进行了如下的尺规作图： ①分别以点A 、B 为圆心，以大于
1
2
AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点P 、Q ； ②作直线PQ 分别交边AB 、BC 于点E 、D ． （1）小明所求作的直线DE 是线段AB 的 ； （2）联结AD ，7AD =，1
sin 7
DAC ∠=
，9BC =，求AC 的长．
20．某学校为了了解600名初中毕业生体育考试成绩的情况（满分30分，得分为整数），从中随机抽取了部分学生的体育考试成绩，制成如下图所示的频数分布直方图．已知成绩在15.5~18.5这一组的频率为0.05．请回答下列问题：
（1）在这个调查中，样本容量是 ；平均成绩是 ； （2）请补全成绩在21.5~24.5这一组的频数分布直方图；
（3）若经过两年的练习，该校的体育平均成绩提高到了29.403分，求该校学生体育成绩的年平均增长率．
21．如图，AB是O的直径，AE是弦，C是弧AE的中点，过点C作O的切线交BA的延长线于点G，过点C作CD AB
⊥于点D，交AE于点F．
（1）求证：//
GC AE；
（2）若
3
sin
5
EAB
∠=，3
OD=，求AE的长．
22．小儒在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考：（1）他认为该定理有逆定理，即“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立，你能帮小儒证明一下吗？如图①，在ABC
∆中，AD是BC边上的中线，若AD BD CD
==，求证：90
BAC
∠=︒．
（2）接下来，小儒又遇到一个问题：如图②，已知矩形ABCD，如果在矩形外存在一点E，使得AE CE
⊥，求证：BE DE
⊥，请你作出证明，可以直接用到第（1）问的结论．（3）在第（2）问的条件下，如果AED
∆恰好是等边三角形，直接用等式表示出此时矩形的两条邻边AB与BC的数量关系．
23．如图1，在Rt ABC
∆中，90
ACB
∠=︒，5
AB=，3
BC=，点O是边AC上一个动点（不
与A 、C 重合），点D 为射线AB 上一点，且OA OD =，以点C 为圆心，CD 为半径作C ，设OA x =．
（1）如图2，当点D 与点B 重合时，求x 的值；
（2）当点D 在线段AB 上，如果C 与AB 的另一个交点E 在线段AD 上时，设AE y =，试求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；
（3）在点O 的运动过程中，如果C 与线段AB 只有一个公共点，请直接写出x 的取值范围． 24．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线2y x =的对称轴为直线l ，将直线l 绕着点(0,2)P 顺时针旋转α∠的度数后与该抛物线交于AB 两点（点A 在点B 的左侧），点Q 是该抛物线
上一点
（1）若45α∠=︒，求直线AB 的函数表达式； （2）若点p 将线段分成2:3的两部分，求点A 的坐标
（3）如图②，在（1）的条件下，若点Q 在y 轴左侧，过点p 作直线//l x 轴，点M 是直线l 上一点，且位于y 轴左侧，当以P ，B ，Q 为顶点的三角形与PAM ∆相似时，求M 的坐
标．
参考答案
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列各数中，属于无理数的是( ) A
B
C ．0
D ．1
解：
2B =，是整数，属于有理数； .0C 是整数，属于有理数； .1D 是整数，属于有理数．
故选：A ．
2．（3分）根据国家外汇管理局公布的数据，截止2019年9月末，我国外汇储备规模为30924亿美元，较年初上升197亿美元，升幅0.6%，数据30924亿用科学记数法表示为( ) A ．83092410⨯
B ．123.092410⨯
C ．113.092410⨯
D ．133.092410⨯
解：30924亿123092400000000 3.092410==⨯． 故选：B ．
3．（3分）计算
97(a a a
b b b
++⋯+=⋅⋅⋯⋅个
个
)
A ．97a b
B ．9
7a b
C ．79a b
D ．9
7a b
解：
9779a a a a
b b b b
++⋯+=⋅⋅⋯⋅个
个
，
故选：C ．
4．（3分）下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A ．等腰三角形
B ．正三角形
C ．平行四边形
D ．正方形
解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； B 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； C 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确．
故选：D ．
5．（3分）下列函数中，y 的值随着x 逐渐增大而减小的是( ) A ．2y x =
B ．2y x =
C ．2
y x
=-
D ．1y x =-
解：A 、函数2y x =的图象是y 随着x 增大而增大，故本选项错误；
B 、函数2y x =的对称轴为0x =，当0x 时y 随x 增大而减小故本选项错误；
C 、函数2
y x
=-
，当0x <或0x >，y 随着x 增大而增大故本选项错误； D 、函数1y x =-的图象是y 随着x 增大而减小，故本选项正确；
故选：D ．
6．（3分）小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的( )
A ．众数是6吨
B ．平均数是5吨
C ．中位数是5吨
D ．方差是43
解：这组数据的众数为6吨，平均数为5吨，中位数为5.5吨，方差为4
3
． 故选：C ．
7．（3分）把多项式241a -分解因式，结果正确的是( ) A ．(41)(41)a a +-
B ．(21)(21)a a +-
C ．2(21)a -
D ．2(21)a +
解：241(21)(21)a a a -=+-， 故选：B ．
8．（3分）通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是( )
A ．22()()a b a b a b +-=-
B ．222()2a b a ab b +=++
C ．22()22a a b a ab +=+
D ．222()2a b a ab b -=-+
解：图1中阴影部分的面积为：22a b -， 图2中的面积为：()()a b a b +-， 则22()()a b a b a b +-=- 故选：A ．
9．（3分）把边长相等的正六边形ABCDEF 和正五边形GHCDL 的CD 边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG 交AF 于点P ，则(APG ∠= )
A ．141︒
B ．144︒
C ．147︒
D ．150︒
解：(62)1806120-⨯︒÷=︒， (52)1805108-⨯︒÷=︒，
(62)180********APG ∠=-⨯︒-︒⨯-︒⨯ 720360216=︒-︒-︒
144=︒．
故选：B ．
10．（3分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3)m 与旋钮的旋转角度x （单位：度）(090)x ︒<︒近似满足函数关系2(0)y ax bx c a =++≠．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为( )
A ．18︒
B ．36︒
C ．41︒
D ．58︒
解：由图象可得， 该函数的对称轴1854
2
x +>且54x <， 3654x ∴<<，
故选：C ．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）在函数21y x =-中，自变量x 的取值范围是 2
x ． 解：根据题意得：210x -， 解得，1
2
x
． 12．（4分）在数1-、1、2中任取两个数（不重复）作为点的坐标，则该点刚好在一次函数
2y x =-图象上的概率是
6
． 解：列表得： 1- 1 2 1-
---
(1,1)- (2,1)- 1 (1,1)- ---
(2,1) 2
(1,2)-
(1,2)
---
所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在一次函数2y x =-图象上的情况有：(1,1)-共1种， 则16
P =
． 故答案为：
16
． 13．（4分）如图，点A 是反比例函数k
y x
=
的图象上的一点，过点A 作AB x ⊥轴，垂足
为B ．点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC ．若ABC ∆的面积为4，则k 的值是 8- ．
解：连结OA ，如图，
AB x ⊥轴，
//OC AB ∴，
4OAB ABC S S ∆∆∴==，
而1||2
OAB S k ∆=， ∴1||42
k =， 0k <，
8k ∴=-．
故答案为：8-．
14．（4分）如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD ，则tan DBC ∠的值为 3 ．
解：如图，连接AC 与BD 相交于点O ，
四边形ABCD 是菱形，
AC BD ∴⊥，12BO BD =，12
CO AC =，
由勾股定理得，
22
3332 AC=+=，
22
112
BD=+=，
所以，
12
2
22
BO=⨯=，
132
32
22
CO=⨯=，
所以，
32
2
tan3
2
2
CO
DBC
BO
∠===．
故答案为：3．
15．（4分）如图1表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，当钟面显示3点30分时，分针垂直与桌面，A点距离桌面的高度为10公分，若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，如图2，钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度19公分．
解：连接A A
'''，
当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分．10
AD
∴=，
钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，
16
A C
∴'=，
6
AO A O
∴=''=，
则钟面显示3点50分时，
30
A OA
∠'''=︒，
3
A A
∴'''=，
A ∴点距桌面的高度为：16319+=公分．
故答案是：19公分．
16．（4分）如图①，是一建筑物造型的纵截面，曲线OBA 是抛物线的一部分，该抛物线开口向右、对称轴正好是水平线OH ，AC ，BD 是与水平线OH 垂直的两根支柱，4AC =米，2BD =米，2OD =米．
（1）如图②，为了安全美观，准备拆除支柱AC 、BD ，在水平线OH 上另找一点P 作为地面上的支撑点，用固定材料连接PA 、PB ，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点O ，P 之间的距离是 4 ．
（2）如图③，在水平线OH 上增添一张2米长的椅子(EF E 在F 右侧），用固定材料连接AE 、BF ，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点O ，E 之间的距离是 ．
解：（1）如图建立平面直角坐标系（以点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，垂直于OC 的直线为x 轴），
过点B '作B D y ''⊥轴于点D '，
延长B D ''到M '使M D B D ''''=，
连接A M ''交OC '于点P '，
则点P '即为所求．
设抛物线的函数解析式为2y ax =，
由题意知旋转后点B '的坐标为(2,2)-． 代入解析式得12
a = ∴抛物线的函数解析式为：212y x =
， 当4x =-时，8y =，
∴点A '的坐标为(4,8)-，
2B D ''=
∴点M '的坐标为(2,2)
把点(2,2)M '，(4,8)A '-
代入直线y kx b =+中，
得直线M A ''的函数解析式为4y x =-+，
把0x =代入4y x =-+，得4y =，
∴点P '的坐标为(0,4)，
∴用料最省时，点O 、P 之间的距离是4米．
故答案为：4；
（2）过点B '作B P '平行于y 轴且2B P '=，
作P 点关于y 轴的对称点P '，
连接A P ''交y 轴于点E ，
则点E 即为所求．
2B P '=
∴点P 的坐标为(2,4)-，
P '∴点坐标为(2,4)
代入(2,4)P '，(4,8)A '-，
解得直线A P ''的函数解析式为21633
y x =-+， 把0x =代入21633y x =-+，得163
y =， ∴点E 的坐标为16(0,)3
， ∴用料最省时，点O 、E 之间的距离是
163米． 故答案为：163
． 三、解答题（本大题有8小题，共66分）
17．计算：20(1)tan 60(3)3π--+︒--． 解：20(1)tan 60(3)3π---+︒--
213331(1)=-+- 1331=-
0=
18．解不等式组213122
x x x +<⎧⎪⎨<⎪⎩并求出最大整数解． 解：213122
x x x +<⎧⎪⎨<⎪⎩①② 由①得：1x >
由②得：4x <
不等式组的解为：14x <<
所以满足范围的最大整数解为3．
19．如图，在锐角ABC ∆中，小明进行了如下的尺规作图：
①分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点P 、Q ； ②作直线PQ 分别交边AB 、BC 于点E 、D ．
（1）小明所求作的直线DE 是线段AB 的 线段AB 的垂直平分线（或中垂线） ；
（2）联结AD ，7AD =，1sin 7
DAC ∠=，9BC =，求AC 的长．
解：（1）小明所求作的直线DE 是线段AB 的垂直平分线（或中垂线）；
故答案为线段AB 的垂直平分线（或中垂线）；
（2）过点D 作DF AC ⊥，垂足为点F ，如图，
DE 是线段AB 的垂直平分线，
7AD BD ∴==
2CD BC BD ∴=-=，
在Rt ADF ∆中，1sin 7
DF DAC AD ∠=
=， 1DF ∴=， 在Rt ADF ∆中，227143AF =-=，
在Rt CDF ∆中，22213CF =-=，
43353AC AF CF ∴=+=+=．
20．某学校为了了解600名初中毕业生体育考试成绩的情况（满分30分，得分为整数），从
中随机抽取了部分学生的体育考试成绩，制成如下图所示的频数分布直方图．已知成绩在15.5~18.5这一组的频率为0.05．请回答下列问题：
（1）在这个调查中，样本容量是 60 ；平均成绩是 ；
（2）请补全成绩在21.5~24.5这一组的频数分布直方图；
（3）若经过两年的练习，该校的体育平均成绩提高到了29.403分，求该校学生体育成绩的年平均增长率．
解：（1）样本容量：30.0560÷=； 21.5~24.5∴组别人数6036101427=----=人，
总
成绩(15.518.5)(18.521.5)(21.524.5)(24.527.5)(27.530.5)36271014145822222
+++++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
平均成绩14586024.3=÷=，
故答案为：60，24.3；
（2）补全频数分布直方图如下
（3）设年平均增长率为x，由题意得
2
24.3(1)29.403
x
+=
解方程得10%
x=，
∴两年的年平均增长率为10%
21．如图，AB是O的直径，AE是弦，C是弧AE的中点，过点C作O的切线交BA的延长线于点G，过点C作CD AB
⊥于点D，交AE于点F．
（1）求证：//
GC AE；
（2）若
3
sin
5
EAB
∠=，3
OD=，求AE的长．
【解答】（1）证明：连接OC，交AE于点H．C是弧AE的中点，
OC AE
∴⊥．
GC是O的切线，
OC GC
∴⊥，
90
OHA OCG
∴∠=∠=︒，
//
GC AE
∴；
（2）解：OC AE ⊥，CD AB ⊥，
OCD EAB ∴∠=∠． ∴3sin sin 5
OCD EAB ∠=∠=． 在Rt CDO ∆中，3OD =，
5OC ∴=，
10AB ∴=，
连接BE AB 是O 的直径，
90AEB ∴∠=︒．
在Rt AEB ∆中，
3sin 5
BE EAB AB ∠=
=， 6BE ∴=，
8AE ∴=．
22．小儒在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考：
（1）他认为该定理有逆定理，即“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立，你能帮小儒证明一下吗？如图①，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若AD BD CD ==，求证：90BAC ∠=︒．
（2）接下来，小儒又遇到一个问题：如图②，已知矩形ABCD ，如果在矩形外存在一点E ，使得AE CE ⊥，求证：BE DE ⊥，请你作出证明，可以直接用到第（1）问的结论．
（3）在第（2）问的条件下，如果AED ∆恰好是等边三角形，直接用等式表示出此时矩形的两条邻边AB 与BC 的数量关系．
解：（1）AD BD =，
B BAD ∴∠=∠，
AD CD =，
C CA
D ∴∠=∠，
在ABC ∆中，180B C BAC ∠+∠+∠=︒，
180B C BAD CAD B C B C ∴∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒ 90B C ∴∠+∠=︒，
90BAC ∴∠=︒，
（2）如图②，连接AC ，BD ，OE ，
四边形ABCD 是矩形，
1122
OA OB OC OD AC BD ∴====
=， AE CE ⊥，
90AEC ∴∠=︒， 12OE AC ∴=
， 12
OE BD ∴=， 90BED ∴∠=︒，
BE DE ∴⊥；
（3）如图3，四边形ABCD 是矩形，
AD BC ∴=，90BAD ∠=︒，
ADE ∆是等边三角形，
AE AD BC ∴==，60DAE AED ∠=∠=︒，
由（2）知，90BED ∠=︒，
30BAE BEA ∴∠=∠=︒，
过点B 作BF AE ⊥于F ，
2AE AF ∴=，在Rt ABF ∆中，30BAE ∠=︒，
2AB BF ∴=，3AF BF =，
23AE BF ∴=，
3AE AB ∴=，
3BC AB ∴=．
23．如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =，3BC =，点O 是边AC 上一个动点（不与A 、C 重合），点D 为射线AB 上一点，且OA OD =，以点C 为圆心，CD 为半径作C ，设OA x =．
（1）如图2，当点D 与点B 重合时，求x 的值；
（2）当点D 在线段AB 上，如果C 与AB 的另一个交点E 在线段AD 上时，设AE y =，试求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；
（3）在点O 的运动过程中，如果C 与线段AB 只有一个公共点，请直接写出x 的取值范围． 解：（1）如图1中，
在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =，3BC =， 2222534AC AB BC ∴=-=-=，
OA OB x ==，
4OC x ∴=-，
在Rt BOC ∆中，222OB BC OC =+，
2223(4)x x ∴=+-，
∴258
x =． （2）如图2，过点O ，C 分别作OH AB ⊥，CG AB ⊥，垂足为点H ，G ．
OH AD ⊥，CG AB ⊥，
AH DH ∴=，DG EG =，
又在Rt ABC ∆中4cos 5A ∠=； ∴在Rt OHA ∆中45AH x =
， ∴85AD x =， 又90AGC ACB ∠=∠=︒，A A ∠=∠，
AGC ACB ∴∆∆∽，
∴AG AC AC AB
=， ∴165AG =
， 又AE y =，
∴165
GE y =-， ∴165DG GE y ==
-， 又
DG GE EA AD ++-， 即16168555
y y y x -+-+=． 化简得83228(2)555
y x x =-+<． （3）①如图3中，当C 经过点B 时，
易知：95BH DH ==
∴185
BD =， ∴187555AD =-
=，
∴8755x =， ∴78
x =． 观察图象可知：当708x <<
时，C 与线段AB 只有一个公共点． ②如图4中，当C 与AB 相切时，CD AB ⊥，易知2OA =，此时2x =．
③如图5中，当2548
x <<时，C 与线段AB 只有一个公共点．
综上所述，当708x <<或2x =或2548
x <<时，C 与线段AB 只有一个公共点． 24．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线2y x =的对称轴为直线l ，将直线l 绕着点(0,2)P 顺时针旋转α∠的度数后与该抛物线交于AB 两点（点A 在点B 的左侧），点Q 是该抛物线
上一点
（1）若45α∠=︒，求直线AB 的函数表达式；
（2）若点p 将线段分成2:3的两部分，求点A 的坐标 （3）如图②，在（1）的条件下，若点Q 在y 轴左侧，过点p 作直线//l x 轴，点M 是直线l 上一点，且位于y 轴左侧，当以P ，B ，Q 为顶点的三角形与PAM ∆相似时，求M 的坐标．
解：（1）45α∠=︒，则直线的表达式为：y x b =+， 将(0,2)代入上式并解得：2b =，
故直线AB 的表达式为：2y x =+；
（2）①:2:3AP PB =，
设(2A a -，24)(3a B a ，29)a ，
22429223a a a a
--=-， 解得：13a =，23a =， ∴234()3
A ； ②:3:2AP P
B =，
设2(3,9)A a a -，2(2,4)B a a ，
22924232a a a a
--=-， 解得：13a =，23a =， ∴(3,3)A -， 综上234()3
或(3,3)；
（3）45MPA ∠=︒，45(1,1)QPB A ∠≠︒-，(2,4)B ， ①45QBP ∠=︒时，
此时B ，Q 关于y 轴对称，
PBQ ∆为等腰直角三角形，
1(1M ∴-，22)(2,2)M -，
②45BQP ∠=︒时，
此时(2,4)Q -满足，左侧还有Q '也满足，
BQP BQ P '=∠，
Q '∴，B ，P ，Q 四点共圆，则圆心为BQ 中点(0,4)D ； 设2(,)Q x x '，(0)x <，
Q D BD '=，
222222(0)(4)2(4)(3)0x x x x ∴-+-=--=， 0x <且不与Q 重合， ∴3x =-， ∴(3,3)Q '-，2Q P '=，
2Q P DQ DP ''===，
DPQ '∴∆为正三角形， 则160302
PBQ '∠=⨯︒=︒， 过P 作PE BQ '⊥， 则2PE Q E '==，2BE =
∴26Q B '=+，
当△~Q BP PMA '∆时，
PQ Q B PA PM ''=262
+=， 则13PM =+ 故点(13,2)M --； 当△~Q PB PMA '∆时， PQ Q B PM PA ''=，2262PM +=，
则31PM =-， 故点(13,2)M -； 综上点M 的坐标：(1,2)-，(2,2)-，(13,2)-，(13,2)．。