排列组合二项式定理和概率期望

排列组合

一、两个原理.

1. 乘法原理、加法原理.

（2010年高考山东卷理科8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 （A ）36种 （B ）42种 (C)48种 （D ）54种

【答案】B

【解析】分两类：第一类：甲排在第一位，共有4

4A =24种排法；第二类：甲排在第二位，共有1

3

33A A =18⋅种排法，所以共有编排方案241842+=种，故选B 。 （2009全国I ）设集合{}1,2,3,4,5I

=。选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最

大的数，则不同的选择方法共有

A ．50种

B ．49种

C ．48种

D ．47种

解析：若集合A 、B 中分别有一个元素，则选法种数有2

5C =10种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有两个元素，则选法种数有3

5C =10种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有三个元素，则选法种数有4

5C =5种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有四个元素，则选法种数有5

5C =1种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有3

5C =10种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有两个个元素，则选法种数有4

5C =5种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有三个元素，则选法种数有5

5C =1种；若集合A 中有三个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有4

5C =5种；若集合A 中有三个元素，集合B 中有两个元素，则选法种数有5

5C =1种；若集合A 中有四个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有5

5C =1种；总计有

49种，选B.

二、排列.

1. ⑴对排列定义的理解.

定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列.

如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数.

从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m

n A 表示. ⑷排列数公式：

),,()!

(!

)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=

+--=

注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1

111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11

--=m n m n nA A 规定10

==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．

的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!

!...!!

21k n n n n n

=

.

例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!

2!1)!

21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!

3!3==n .

（2010年高考四川卷理科10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是

（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法 ①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3

2232A A ＝24个

②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A ＝12个

算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个

三、组合.

1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.

⑵组合数公式：)!

(!!!

)

1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m

m

m

n m n -=

+--==

⑶两个公式：①;m n n m n C C -= ②m

n m n m n C C C 11+-=+

①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.

（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m n

C C C

--=⋅一类是不含红球的选法有m

n C ）

②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1

-m n ，如果不取这

一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C m n

种，依分类原理有m n m n m n C C C

11+-=+.

⑷排列与组合的联系与区别.

联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式

n n n n n n C C C 2

210=+++