北京市朝阳区2017届高三第一学期期中考试数学(理)试题(有答案)[精品]

北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试

数学试卷（理工类） 2016．11

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合

题目要求的一项．

1．已知全集U =R ，集合{}

2

|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，则()U A

B =ð

A ．{}|01x x <<

B ．{}|0x x <

C ．{}|2x x >

D ．

{}|12x x <<

2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0)+∞，

上单调递减的是 A ．2y x =

B ．1y x =+

C ．lg ||y x =-

D ．2x y =-

3．若 2.1log 0.6a =，0.6

2.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>

4．已知函数2

()f x ax x =-，若对任意12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，不等式

1212

()()

f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是

A ．1

(,)2+∞ B ．1[,)2+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1[,)4

+∞ 5．设R m ∈且0m ≠，“不等式4

+

4m m

>”成立的一个充分不必要条件是 A ．0m > B ．1m > C ．2m > D ．2m ≥

6．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且2OA AB AC ++=0， ||2||OA AB =，

则CA BC ⋅等于

A ．15

4

-

B

．2- C ．154 D

．

2 7．已知函数21,0,()log ,0,

x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1

()(())2g x f f x =-的零点个数是

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

8. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是

A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多

B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多

C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个

D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知平面向量(1,2),

(2,)y ==-a b .若a //b ，则y = .

10．函数22()cos sin f x x x =-的单调递减区间为 .

11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，

4S = ．

12．已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =

，则tan A = ，tan()4

A π

+= . 13．已知函数221,0,

()(1)2,0

x

mx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上是具有单调性，则实数m 的取值范围 .

14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．

D

C

A

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）

已知数列{}()N n a n *

∈是公差不为0的等差数列，11a =，且

248

111

,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列1

1

{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证1n T <.

16．（本小题满分13分）

已知函数()sin f x a x x =（a ∈R ）的图象经过点(,0)3

π. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若3[,]22

x ππ

∈，求()f x 的取值范围.

17．（本小题满分13分）

如图，已知,,,A B C D 四点共面，=1CD ,2BC =,4AB =,

120ABC ∠=

,cos BDC ∠=

（Ⅰ）求sin DBC ∠的值； （Ⅱ）求AD 的长.

18． （本小题满分13分）

已知函数2

()cos 4x f x ax x =-+()R a ∈，ππ[,]22

x ∈-．

（Ⅰ）若函数()f x 是偶函数，试求a 的值；

（Ⅱ）当0a >时，求证：函数()f x 在π(0,)2

上单调递减.

19．（本小题满分14分）

已知函数2

()e ()x

f x x a =-，a ∈R ．

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在(3,0)-上单调递减，试求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e -，试求a 的值．

20．（本小题满分14分）

设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *

∈N ）定义如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，n c 是

21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项构成集合A ．

（Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；

（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1； （Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．