6几个典型的代数系统PPT课件

由此定理知：群的运算表中没有两行（或两列）是相同的。 为了进一步考察群的运算表所具有的性质，现在引进置换的 概念。
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置换
Algebra 代数
设 S 是一个非空有限集合，从集合 S 到 S 的一个双 射称为 S 的一个置换。
集合S上的每一次置换产生一个S中元素的全排列， 每一个全排列对应着一个置换
例如 整数集I的加法群 <I，+>， 非零实数R—{0}的乘法群<R—{0}，×>，
就是我们最熟悉的交换群。
不是所有的群都是交换群
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有限群和无限群
Algebra 代数
设 G, 是一个群。如果 G 是一个有限集，那么称
G, 为有限群， G 中元素的个数通常称为该有限 群的阶数，记为 G ；如果 G 是无限集，则称 G, 为无限群。
2）唯一性 若另有一解 x1 ，满足 a x1 b, 则 a1 (a x1) a1 b ， 即 x1 a1 b 。
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Algebra 代数
定理 4 设 G, 是一个群，对于任意的 a,b, c G ，如果有 a b a c 或者 b a c a ， 则必有 b c 。（即在群中消去律成立）
f {1, 2 , 2,3 , 3, 4 , 4,1 }
设 f (0) 是 X 上的恒等函数，我们来构造 f f f (2) , f (2) f f (3) , f (3) f f (4) 等等，
那么就会发现 f (4) f (0) 。令集合 F { f (0) , f (1) , f (2) , f 。 (3)} 则 F 及 F 上的复合运算能构成群吗？
一个有限集，那么，只要运算 在 B 上封闭， B, 必定是
G, 的子群。
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Algebra 代数
例 I, 是一个群，设 IE {x x 2n, n I} ， 证明 IE , 是 I, 的一个子群。
例 设 G4 {p p1, p2, p3, p4 pi {0,1}}, 是 G4 上的二元运算，定义为，对任意
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子群
Algebra 代数
设 G, 是一个群，S 是 G 的非空子集，如果 S, 也
构成群，则称 S, 是 G, 的一个子群。
子群的判断方法
定理 6 设 G, 是一个群， S 是 G 的非空子集，如
果 x, y S, xy1 S, 则 S, 是 G, 的子群。
定理 7 设 G, 是一个群， B 是 G 的非空子集，如果 B 是
（ii）a b 有逆元，并且有 a b 1 b1 a 1 。
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子半群、子独异点
Algebra 代数
例 偶数加法半群〈E，+〉是整数加法半群〈I，+〉的 子半群吗？是独异点吗？
一个独异点 S, 对它的任一个元素 a ,定义其幂：
a0 e, a1 a, a2 a * a, ..., a j1 a j * a 利用结合律，得 an * am anm ； (an )m anm
定理 5 群 G, 的运算表中的每一行或每一列都 是 G 的元素的一个置换。
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表 5-4 是它的复合表。 表 5-4
f0
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f0
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f3
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Algebra 代数
从上表可见，它上面的任何不同的两行或两列不仅均不 相同，而且每一行或每一列中均不出现重复的元素。或 者说它的复合表的每一行或每一列都是属于群的全部元 素的一个全排列。
Algebra 代数
证明当群的阶为 1 时，它的唯一元素视作幺元，
否则不是群 设|G|>1 且群<G,*>有零元θ。 那么群中任何元素 x∈G，都有 x*θ=θ*x=θ≠e 所以，零元θ就不存在逆元，这与<G,*>是群矛盾 故假设不成立，即无零元
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定理 3 设 G, 是一个群，对于 a,b G ， 必存在唯一的 x G ，使得 a x b 。 证明 1）存在性 设 a 的逆元为 a-1，令 x a1 b 则 a x a (a1 b) (a a1) b eb b
6.1半群与群
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半群
若 S, 是一个代数系统，且运算 是可结合的，则
称 S, 为半群。
例如: <Z,+>,<R,+>
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例代数系统 I, max 为一个半群？
max(a, max,(b, c)) max(max(a,b), c) 同理〈I, min〉是一个半群
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复合运算在 F 上是封闭的并满足结合律， f (0) 是复 合运算 的幺元， f (0) 的逆元是它自身， f (i) 的逆元 (i 1, 2,3) 是 f (4i) 。于是 F, 是一个群。
阿贝尔群
Algebra 代数
如果群 G, 中的运算 是可交换的，则称该群为 交换群，交换群也称为阿贝尔群。
X x1, x2 , x3, x4 ,Y y1, y2 , y3, y4 G4
X Y x1y1, x2y2, x3y3, x4y4 证明〈G4，○+ 〉是群； 〈{〈0，0，0，0〉，〈1，1，1，1〉}，○+ 〉是群 〈G4，○+ 〉的子群
上例中所述的 F， 就是一个有限群，且 F 4
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至此，我们可以概括地说：代数系统仅仅是一个具 有封闭二元运算的非空集合；半群是一个具有结合 运算的代数系统；独异点是具有幺元的半群；群是 每个元素都有逆元的独异点。即有：
{群} {独异点} {半群} {代数系统}
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定理 2 群中不可能有零元。
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群
设 G, 是一个代数系统，其中 G 是非空集合， 是G 上
的一个二元运算，如果 （1） 运算 是可结合的。 （2） 存在幺元 e 。
（3） 对于每一个元素 x G ，存在着它的逆元 x1 则称 G, 是一个群。
(1)半群
（1）(2)独异点
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例设 X={1，2，3，4}，函数 f : X X 由下式给出：
注意，存在着非结合的代数系统，不为半群 例如 I, R, / 都不为半群
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独异点 含有幺元的半群称为独异点。(也称单元半群) 可换半群 运算满足交换律的半群称为可换半群 定理 1 设 S, 是独异点，对于任意 a,b S ， 若 a ， b 均有逆元，则
（i） a1 1 a