立体几何中“折叠问题”解题策略
立体几何中“折叠问题”解题策略(含详细解析)
立体几何中“折叠问题”的解题策略[例题]如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥BC，BD∥DC，点E是BC边的中点，将∥ABD沿BD折起，使平面ABD∥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．(1)求证：AB∥平面ADC；(2)若AD＝1，二面角CABD的平面角的正切值为6，求二面角BADE的余弦值.[解](1)证明：因为平面ABD∥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BD∥DC，DC∥平面BCD，所以DC∥平面ABD.因为AB∥平面ABD，所以DC∥AB.又因为折叠前后均有AD∥AB，DC∩AD＝D，所以AB∥平面ADC.(2)由(1)知AB∥平面ADC，所以二面角CABD的平面角为∥CAD.又DC∥平面ABD，AD∥平面ABD，所以DC∥AD.依题意tan∥CAD ＝CDAD ＝ 6. 因为AD ＝1，所以CD ＝ 6. 设AB ＝x (x ＞0)，则BD ＝x 2＋1. 依题意∥ABD ∥∥DCB ，所以AB AD ＝CDBD ， 即x 1＝6x 2＋1，解得x ＝2，故AB ＝2，BD ＝3，BC ＝BD 2＋CD 2＝3.以D 为坐标原点，射线DB ，DC 分别为x 轴，y 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则D (0,0,0), B (3,0,0), C (0,6，0), E (23,26,0）, A (33,0,36）， 所以DE ―→＝(23,26,0），DA ―→＝(33,0,36）.由(1)知平面BAD 的一个法向量n ＝(0,1,0)． 设平面ADE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧m·DE ―→＝0，m·DA ―→＝0，得⎩⎨⎧32x ＋62y ＝0，33x ＋63z ＝0.令x ＝6，得y ＝－3，z ＝－3，所以m ＝(6，－3，－3)为平面ADE 的一个法向量． 所以cos<n ，m>＝n ·m |n |·|m |＝－12.由图可知二面角B AD E 的平面角为锐角， 所以二面角B AD E 的余弦值为12. 解题策略：1.确定翻折前后变与不变的关系画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.2.确定翻折后关键点的位置所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算.变式练习：1．如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∥BAD ＝90°， AB ＝23，BC ＝4，AD ＝6，E 是AD 上的点，AE ＝13AD ， P 为BE 的中点，将∥ABE 沿BE 折起到∥A 1BE 的位置， 使得A 1C ＝4，如图2.(1)求证：平面A1CP∥平面A1BE；(2)求二面角BA1PD的余弦值．解：(1)证明：如图3，连接AP，PC.∥在四边形ABCD中，AD∥BC，∥BAD＝90°，AB＝23，BC＝4，AD＝6，E是AD上的点，AE＝13AD，P为BE的中点，∥BE＝4，∥ABE＝30°，∥EBC＝60°，BP＝2，∥PC＝23，∥BP2＋PC2＝BC2，∥BP∥PC.∥A1P＝AP＝2，A1C＝4，∥A1P2＋PC2＝A1C2，∥PC∥A1P.∥BP∩A1P＝P，∥PC∥平面A1BE.∥PC∥平面A1CP，∥平面A1CP∥平面A1BE.(2)如图4，以P 为坐标原点，PB 所在直线为x 轴，PC 所在直线为y 轴，过P 作平面BCDE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1(－1,0,3)，P (0,0,0)，D (－4,23,0)， ∥P A 1―→＝(－1,0,3)， PD ―→＝(－4,23,0)， 设平面A 1PD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m·P A 1―→＝0，m·PD ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3z ＝0，－4x ＋23y ＝0，取x ＝3,得m ＝(3,2,1)．易知平面A 1PB 的一个法向量n ＝(0,1,0)， 则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝22. 由图可知二面角B A 1P D 是钝角， ∥二面角B A 1P D 的余弦值为－22.2．如图1，在高为2的梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝5，过A ，B 分别作AE ∥CD ，BF ∥CD ，垂足分别为E ，F .已知DE ＝1，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF ，如图2.(1)若AF ∥BD ，证明：DE ∥BE ；(2)若DE ∥CF ，CD ＝3，在线段AB 上是否存在点P ，使得CP 与平面ACD 所成角的正弦值为3535？并说明理由．解：(1)证明：由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2， ∥AF ∥BE .∥AF ∥BD ，BE ∩BD ＝B ，∥AF ∥平面BDE . 又DE ∥平面BDE ，∥AF ∥DE .∥AE ∥DE ，AE ∩AF ＝A ，∥DE ∥平面ABFE . 又BE ∥平面ABFE ，∥DE ∥BE .(2)当P 为AB 的中点时满足条件．理由如下： ∥AE ∥DE ，AE ∥EF ，DE ∩EF ＝E ，∥AE ∥平面DEFC . 如图，过E 作EG ∥EF 交DC 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA ―→，EF ―→，EG ―→分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,1，3)，D (0,21-，23)， AC ―→＝(－2,1，3)，AD ―→＝(－2,21-，23).设平面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ·AC ―→＝0，n ·AD ―→＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋y ＋3z ＝0，－2x －12y ＋32z ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，－1，3)．设AP ―→＝λPB ―→，则P (2,λλ+12,0)，λ∥(0，＋∞)，可得CP ―→＝(2,λλ+-11,－3).设CP 与平面ACD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos<CP ，n>|＝52)11(7111⨯+-++---λλλλ＝3535，解得λ＝1或λ＝－25(舍去)，∥P 为AB 的中点时，满足条件．。
立体几何中的折叠问题
立体几何中的折叠问题公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-立体几何中的折叠问题考纲目标：1.掌握展开问题与折叠问题中有关线面的位置关系的证明方法，会用平面展开图解决立体几何中有关最值问题。
2.通过折叠问题训练使学生提高对立体图形的分析能力，进一步理解“转化”的数学思想，并在设疑的同时培养学生的发散思维。
考点一几何体展开问题【例1】如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,底面ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1=2.P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值为.反思归纳： 求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离.考点二.平面图形的折叠问题答题模板:第一步:确定折叠前后的各量之间的关系,搞清折叠前后的变化量和不变量.第二步:在折叠后的图形中确定线和面的位置关系,明确需要用到的线面.第三步:利用判定定理或性质定理进行证明.第四步:利用所给数据求边长和面积等,进而求表面积、体积.【例2】(2013高考广东卷)如图(1),在边长为1的等边三角形ABC 中,D,E 分别是AB,AC 边上的点,AD=AE,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G,将△ABF 沿AF 折起,得到如图(2)所示的三棱锥A BCF,其中. (1)证明:DE ∥平面BCF; (2)证明:CF ⊥平面ABF; (3)当AD=23时,求三棱锥F DEG 的体积F DEG V. 【即时训练】1、(2015高考四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;(3)证明:直线DF⊥平面BEG.2.(2015洛阳三模)等边三角形ABC的边长为2,CD是AB 边上的高,E,F分别是AC和BC的中点(如图(1)).现将△ABC沿CD 翻成直二面角A-ＣＤ－Ｂ．(1)求证:AB∥平面DEF;(2)求多面体D－ＡＢＦＥ的体积。
七年级折叠问题解题技巧
七年级折叠问题解题技巧一、折叠问题中的基本性质与关系1. 折叠性质在折叠过程中，折叠前后的图形全等。
这意味着对应边相等，对应角相等。
例如，将一个三角形沿着某条直线折叠，折叠后的三角形与原三角形的对应边长度不变，对应角的大小也不变。
折痕是对应点连线的垂直平分线。
比如将矩形ABCD沿着EF折叠，使得点A与点C重合，那么EF就是AC的垂直平分线。
2. 常见的几何图形中的折叠三角形折叠例1：在△ABC中，∠C = 90°，将△ABC沿着直线DE折叠，使点A与点B 重合，若AC = 6，BC = 8，求折痕DE的长。
解析：因为点A与点B重合，所以DE是AB的垂直平分线。
先根据勾股定理求出AB=公式。
设AB中点为F，则AF=公式。
由于△ADE和△BDE全等，所以AD = BD。
设BD = x，则AD = x，CD = 8 x。
在Rt△ACD中，根据勾股定理公式，即公式，解得公式。
再根据相似三角形，△ADE∽△ABC，公式，即公式，解得DE=公式。
矩形折叠例2：矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，将矩形沿对角线AC折叠，求重叠部分（△AEC）的面积。
解析：因为矩形沿对角线AC折叠，所以△ADC≌△AEC。
设AE = x，则BE = 4 x。
在Rt△ABE中，根据勾股定理公式，即公式，解得公式。
所以公式。
二、解题步骤与技巧1. 步骤第一步：根据折叠性质确定相等的边和角。
这是解决折叠问题的基础，只有明确了这些关系，才能进一步进行计算。
第二步：设未知数。
通常根据所求的量或者与所求量相关的线段设未知数，然后利用勾股定理、相似三角形等知识建立方程。
第三步：求解方程。
通过解方程得到未知数的值，从而求出最终答案。
2. 技巧利用勾股定理在直角三角形中，折叠后常常会形成新的直角三角形，此时可以利用勾股定理建立方程求解。
如上述矩形折叠的例子中，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度。
利用相似三角形当折叠后的图形与原图形存在相似关系时，利用相似三角形的对应边成比例来求解。
向量法求立体几何中的折叠探索及最值问题 高三数学一轮复习
巩固训练2 [2024·河南郑州模拟]在底面ABCD为梯形的多面体中．AB∥CD，
BC⊥CD，AB＝2CD＝2 2，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边 形BDEN为矩形．
(1)求证：BD⊥AE； (2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？ 若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q的位置并加以证明．
(1)求证：OP⊥平面ABED；
(2)求二面角B-PE-F的正弦值．
题型二 探索性问题
例2 [2024·河北石家庄模拟]如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为
矩形且垂直于侧面SAB，O为AB的中点，SA＝SB＝AB＝2，AD＝ 2.
(1)证明：BD⊥平面SOC；
(2)侧棱SD上是否存在点E，使得平面ABE与平面SCD夹角的余弦值
为1，若存在，求SE的值；若不存在，说明理由．
5
SD
题后师说
(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当 作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”转化为“点的坐标的 方程是否有解，是否有规定范围内的解”等．
(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知条件 和结论列出等式，解出参数．
高考大题研究课七 向量法求立体几何中的折叠、探索及最值问题
会用向量法解决立体几何中的折叠、角的存在条件及最值问题，提 高学生空间想象能力、数学运算能力．
关键能力·题型剖析 题型一 折叠问题 例1 [2024·江西景德镇模拟]如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC ＝CD＝12AD＝2，现以AC为折痕把△ABC折起，使点B到达点P的位置，且 PA⊥CD.
题型三 最值问题
例3 [2020·新高考Ⅰ卷]如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形， PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
初中几何折叠问题的三种解法
初中几何折叠问题的三种解法初中几何折叠问题的三种解法初中几何是数学中的一个重要分支，而折叠问题则是初中几何中常见的一种问题。
在这里，我们将介绍三种不同的方法来解决初中几何折叠问题。
方法一：手工模拟法手工模拟法是一种简单直观的方法。
它通过将纸张折叠成所需形状来解决问题。
步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。
2. 将纸张按照比例剪成相应大小。
3. 按照题目要求，将纸张进行折叠，直到得到所需形状。
4. 计算所需参数并得出答案。
优点：手工模拟法操作简单易懂，适合初学者使用。
同时也能够帮助学生更好地理解折叠问题的本质。
缺点：手工模拟法需要较长时间完成，并且需要精确测量和折叠。
同时也容易出现误差和偏差。
方法二：平面几何法平面几何法是一种基于平面几何知识来解决问题的方法。
它通过利用图形相似性和对称性来计算所需参数。
步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。
2. 根据平面几何知识，计算所需参数，如角度、长度等。
3. 得出答案。
优点：平面几何法具有计算速度快、精度高等特点。
同时也能够帮助学生更好地理解平面几何知识的应用。
缺点：平面几何法需要学生具备一定的数学基础，并且需要对图形相似性和对称性有深入理解。
同时也容易出现计算错误和漏算情况。
方法三：三维几何法三维几何法是一种基于立体几何知识来解决问题的方法。
它通过利用立体图形的投影和相似性来计算所需参数。
步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。
2. 利用三维几何知识，将立体图形投影到二维平面上，并计算所需参数，如角度、长度等。
3. 得出答案。
优点：三维几何法具有计算速度快、精度高等特点。
同时也能够帮助学生更好地理解立体几何知识的应用。
缺点：三维几何法需要学生具备一定的数学基础，并且需要对立体图形的投影和相似性有深入理解。
同时也容易出现计算错误和漏算情况。
结论：初中几何折叠问题可以通过多种方法来解决，其中手工模拟法、平面几何法和三维几何法是常见的三种方法。
立体几何中的折叠问题含解析
高考热点问题：立体几何中折叠问题一、考情分析立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点,主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题,多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题,主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等.二、经验分享(1)立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开.把一个平面图形按照某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题.把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题,这就是几何体的表面展开问题.折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题,这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现,展开与折叠问题就是一个由抽象到直观,由直观到抽象的过程.此类问题也是历年高考命题的一大热点. (2) 平面图形通过折叠变为立体图形，就在图形发生变化的过程中，折叠前后有些量(长度、角度等)没有发生变化，我们称其为“不变量”．求解立体几何中的折叠问题，抓住“不变量”是关键．(3)把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.三、题型分析(一) 平面图形的折叠解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据；不变的数量关系是求解几何体的数字特征,如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的重要依据.1. 折叠后的形状判断【例1】如下图,在下列六个图形中,每个小四边形皆为全等的正方形,那么沿其正方形相邻边折叠,能够围成正方体的是_____________(要求：把你认为正确图形的序号都填上)①②③④⑤⑥【分析】根据平面图形的特征,想象平面图形折叠后的图形进行判断.也可利用手中的纸片画出相应的图形进行折叠.【答案】①③⑥【解析】①③⑥可以.②把横着的小方形折起后,再折竖着的小方形,则最上方的小方形与正方体的一个侧面重合,导致正方体缺少一个侧面；④把下方的小方形折起后,则上方的小方形中的第1,2个重合,导致正方体的底面缺少,不能折成正方体；⑤把中间的小方形当成正方体的底面,则右下方的小方形折叠不起来,构不成正方体.【小试牛刀】下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是（）A. B. C. D.【例2】将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四边形ABCD(如图2),则在空间四边形ABCD中,AD与BC的位置关系是( )图1 图2A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直【答案】C【解析】在图1中的等腰直角三角形ABC 中,斜边上的中线AD 就是斜边上的高,则AD ⊥BC ,折叠后如图2,AD 与BC 变成异面直线,而原线段BC 变成两条线段BD 、CD ,这两条线段与AD 垂直,即AD ⊥BD ,AD ⊥CD ,故AD ⊥平面BCD ,所以AD ⊥BC .【小试牛刀】如图,在正方形ABCD 中,点E,F 分别为边BC,AD 的中点,将沿BF 所在直线进行翻折,将沿DE 所在直线进行翻折,在翻折过程中（ ）A. 点A 与点C 在某一位置可能重合B. 点A 与点C 的最大距离为C. 直线AB 与直线CD 可能垂直D. 直线AF 与直线CE 可能垂直 3.折叠后几何体的数字特征折叠后几何体的数字特征包括线段长度、几何体的表面积与体积、空间角与距离等,设计问题综合、全面,也是高考命题的重点.解决此类问题的关键是准确确定折叠后几何体的结构特征以及平面图形折叠前后的数量关系之间的对应.【例3】（体积问题）如图所示,等腰ABC △的底边66AB =,高3CD =,点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点,点F 在BC 边上,且EF AB ⊥,现沿EF 将BEF △折起到PEF △的位置,使PE AE ⊥,记BE x =,()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积．（1）求()V x 的表达式；（2）当x 为何值时,()V x 取得最大值？PED F B CA【解析】（1）由折起的过程可知,PE ⊥平面ABC,96ABC S ∆=,V(x)= （036x <<）（2）,所以(0,6)x ∈时,'()0v x > ,V(x)单调递增；636x <<时'()0v x < ,V(x)单调递减；因此x=6时,V(x)取得最大值126.【小试牛刀】【河北省五个一名校联盟2019届高三下学期一诊】在平面四边形 中，AB=BC=2,AC=AD=2，现沿对角线AC 折起,使得平面DAC平面ABC ，则此时得到的三棱锥D-ABC外接球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．【例4】（空间角问题）如左图,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如右图所示),连结AP 、EF 、PF ,其中25PF =.(Ⅰ)求证:PF ⊥平面ABED ； (Ⅱ)求直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值.【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知, , ,在PBF ∆中, ,所以PF BF ⊥ 在图1中,易得,在PEF ∆中, ,所以PF EF ⊥又,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED .. .ACDBEF图图ABCD PEF(Ⅱ)方法一:以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz -如图所示,则()6,0,0A ,,()0,3,0E ,()6,8,0F ,所以, ,,设平面PEF 的法向量为(),,x y z =n ,则0FP EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即,解得560x y z ⎧=-⎪⎨⎪=⎩令6y =-,得,设直线AP 与平面PEF 所成角为θ,则81281427. 所以直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值为81281427. 方法二:过点A 作AH EF ⊥于H ,由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,而AH ⊂平面ABED 所以PF AH ⊥,又,EF ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF ,所以AH ⊥平面PEF ,所以APH ∠为直线AP 与平面PEF 所成的角. 在Rt APF ∆中,在AEF ∆中,由等面积公式得4861在Rt APH ∆中,所以直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值为81281427. 【点评】折叠问题分析求解两原则：解法二图ABCD PEFHxy z 解法一图A BC D PEF(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变.【小试牛刀】【广东省汕头市2019届高三上学期期末】如图，已知是边长为6的等边三角形，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足，如图，将沿DE折成四棱锥，且有平面平面BCED．求证：平面BCED；记的中点为M，求二面角的余弦值．(二) 几何体的展开几何体表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程,一般地,涉及到多面体表面距离的问题,解题时不妨将它展开成平面图形试一试.1.展开后形状的判断【例5】把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图）,请根据各面上的图案判断这个正方体是（）解析：这是图③模型,在右图中,把中间的四个正方形围起来做“前后左右”四个面,有“空心圆”的正方形做“上面”,显然是正方体C的展形图,故选（C）.【小试牛刀】水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面.则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的______________________.2.展开后的数字特征——表面上的最短距离问题【例6】如图,已知圆柱体底面圆的半径为2π,高为2,AB CD，分别是两底面的直径,AD BC，是母线．若一只小虫从A点出发,从侧面爬行到C点,求小虫爬行的最短路线的长度．【解析】如图,将圆柱的侧面展开,其中AB为底面周长的一半,即,2AD=.则小虫爬行的最短路线为线段AC.在矩形ABCD中,.所以小虫爬行的最短路线长度为22.【点评】几何体表面上的最短距离需要将几何体的表面展开,将其转化为平面内的最短距离,利用平面内两点之间的距离最短求解.但要注意棱柱的侧面展开图可能有多种展开图,如长方体的表面展开图等,要把不同展开图中的最短距离进行比较,找出其中的最小值.【小试牛刀】如图,在长方体中, ,求沿着长方体表面从A到1C的最短路线长.四、迁移运用1．【浙江省2019年高考模拟训练】已知四边形中，，，在将沿着翻折成三棱锥的过程中，直线与平面所成角的角均小于直线与平面所成的角，设二面角，的大小分别为，则（）A． B． C．存在 D．的大小关系无法确定【答案】B【解析】如图，在三棱锥中，作平面于，连，则分别为与平面所成的角．∵直线与平面所成角的角均小于直线与平面所成的角，∴．过作，垂足分别为，连，则有，∴分别为二面角，的平面角，∴．在中，，设BD的中点为O，则为边上的中线，由可得点H在CO的左侧（如图所示），∴．又，∴．又为锐角， ∴．故选B ．2.【四川省德阳市2018届高三二诊】以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的中线AD 为折痕，将ABD ∆与ACD ∆折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论：①BD ⊥平面ACD ；②ABC ∆为等边三角形；③平面ADC ⊥平面ABC ；④点D 在平面ABC 内的射影为ABC ∆的外接圆圆心.其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C【解析】由于三角形ABC 为等腰直角三角形,故,所以BD ⊥平面ACD ,故①正确,排除B 选项.由于AD BD ⊥,且平面ABD ⊥平面ACD ,故AD ⊥平面BCD ,所以AD CD ⊥,由此可知,三角形为等比三角形,故②正确,排除D 选项.由于,且ABC ∆为等边三角形,故点D 在平面ABC 内的射影为ABC ∆的外接圆圆心, ④正确,故选C .3.已知梯形如下图所示,其中,,为线段的中点,四边形为正方形,现沿进行折叠,使得平面平面,得到如图所示的几何体.已知当点满足时,平面平面,则的值为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】因为四边形为正方形,且平面平面,所以两两垂直,且,所以建立空间直角坐标系（如图所示）,又因为,,所以,则,,设平面的法向量为,则由得,取,平面的法向量为,则由得,取,因为平面平面,所以,解得.故选C.4.如图是棱长为1的正方体的平面展开图,则在这个正方体中,以下结论错误的是（ ）A ．点M 到AB 的距离为22B ．AB 与EF 所成角是90︒C ．三棱锥C DNE -的体积是16D ．EF 与MC 是异面直线 【答案】D【解析】根据正方体的平面展开图,画出它的立体图形如图所示,A 中M 到AB 的距离为222MC =,A 正确；AB 与EF 所成角是90︒,B 正确；三棱锥C DNE -的体积是,C 正确；//EF MC ,D 错误．5.把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ）度A ．90B ．60C ．45D ．30 【答案】C【解析】折叠后所得的三棱锥中易知当平面ACD 垂直平面ABC 时三棱锥的体积最大．设AC 的中点为O ,则DBO ∠即为所求,而DOB ∆是等腰直角三角形,所以,故选C ．6.【辽宁省辽阳市2018学届高三第一次模拟】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ， E ， F ， G ， H 为圆O 上的点， ABE ， BCF ， CDG ， ADH 分别以AB ， BC ， CD ， DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ， BC ， CD ， DA 为折痕折起ABE ， BCF ， CDG ， ADH ，使得E ， F ， G ， H 重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．【答案】500327π3cm【解析】如图：连接OE 交AB 于点I ，设E ，F ，G ，H 重合于点P ，正方形的边长为x ()0x >，则OI=2x ， IE 62x =-. 因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以，解得4x =，设该四棱锥的外接球的球心为Q ，半径为R ，则，，解得5R 3=，外接球的体积3cm7．【山东省济南市2019届高三上学期期末】在正方形中，点，分别为，的中点，将四边形沿翻折，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】连接FC ，与DE 交于O 点，取BE 中点为N ， 连接ON ，CN ，易得ON ∥BD ∴∠CON 就是异面直线与所成角设正方形的边长为2， OC=，ON=，CN=∴cos ∠CON==故答案为：8.如图所示,在四边形ABCD 中,,将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体BCD A -',使平面⊥BD A /平面BCD ,则下列结论正确的是 ．（1）BD C A ⊥'； （2）；（3）A C '与平面BD A '所成的角为︒30； （4）四面体BCD A -'的体积为61． 【答案】（2）（4）【解析】平面⊥BD A /平面BCD CD ∴⊥平面'A BD ,/CA 与平面BD A /所成的角为'CA D ∠,四面体BCDA -/的体积为,,综上（2）（4）成立．9．如图,矩形ABCD 中,2AB AD =,E 为边AB 的中点,将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆,若M 为线段1AC 的中点,则在ADE ∆翻折过程中,下面四个选项中正确的是 (填写所有的正确选项)（1）||BM 是定值 （2）点M 在某个球面上运动（3）存在某个位置,使1DE A C ⊥ （4）存在某个位置,使//MB 平面1A DE 【答案】（1）（2）（4）．【解析】取CD 中点F ,连接MF ,BF ,则1//MF DA ,//BF DE ,∴平面//MBF 平面1A DE , ∴//MB 平面1A DE ,故（4）正确；由,为定值,FB DE =为定值,由余弦定理可得,∴MB 是定值,故（1）正确；∵B 是定点,∴M 是在以B 为圆心,MB 为半径的圆上,故（2）正确；∵1AC 在平面ABCD 中的射影为AC ,AC 与DE 不垂直,∴存在某个位置,使1DE A C ⊥错误,故（3）错误．10．【四川省广元市高2018届第二次高考适应性统考】如图，在矩形ABCD 中， 4AB =， 2AD =， E 是CD 的中点，以AE 为折痕将DAE ∆向上折起， D 变为'D ，且平面'D AE ⊥平面ABCE .（Ⅰ）求证： 'AD EB ⊥； （Ⅱ）求二面角'A BD E --的大小. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 90. 【解析】（Ⅰ）证明：∵， AB 4=，∴，∴AE EB ⊥，取AE 的中点M ，连结MD '，则，∵ 平面D AE '⊥平面ABCE ，∴MD '⊥平面ABCE ，∴MD '⊥ BE ， 从而EB ⊥平面AD E '，∴AD EB '⊥ （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则()A 4,2,0、()C 0,0,0、()B 0,2,0、()D 3,1,2'，()E 2,0,0，从而BA =（4,0,0），，.设为平面ABD '的法向量，则可以取设为平面BD E '的法向量，则可以取因此， 12n n 0⋅=，有12n n ⊥，即平面ABD ' ⊥平面BD E '， 故二面角的大小为90.11.【福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查】如图1，已知菱形的对角线交于点，点为线段的中点，，，将三角形沿线段折起到的位置，，如图2所示．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．【解析】（Ⅰ）折叠前，因为四边形为菱形，所以；所以折叠后，，, 又，平面，所以平面因为四边形为菱形，所以．又点为线段的中点，所以．所以四边形为平行四边形．所以．又平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（Ⅱ）图1中，由已知得，，所以图2中，，又所以，所以又平面，所以又，平面，所以平面，所以．所以三棱锥的体积为．12．【湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试（一模】如图，在多边形中（图1），为长方形，为正三角形，现以为折痕将折起，使点在平面内的射影恰好在上（图2）.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若点在线段上，且，当点在线段上运动时，求三棱锥的体积. 【解析】（Ⅰ）过点作，垂足为.由于点在平面内的射影恰好在上，∴平面.∴.∵四边形为矩形，∴.又，∴平面，∴.又由，，可得，同理.又，∴，∴，且，∴平面.（Ⅱ）设点到底面的距离为，则.由，可知，∴.又，∴.13．【江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考】如图所示，在边长为2的菱形中，，现将沿边折到的位置．（1）求证：；（2）求三棱锥体积的最大值．【解析】（1）如图所示，取的中点为，连接，易得，,又面（2）由（1）知，= ,当时，的最大值为1.14．【云南师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考】如图所示甲，在四边形ABCD中，，，是边长为8的正三角形，把沿AC折起到的位置，使得平面平面ACD，如图所示乙所示，点O，M，N分别为棱AC，PA，AD的中点．求证：平面PON；求三棱锥的体积．【解析】如图所示，为正三角形，O为AC的中点，，平面平面ACD，平面平面，平面ACD，平面ACD，．，，，，即．，N分别为棱AC，AD的中点，，，又，平面PON；解：由，，，可得，点O、N分别是AC、AD的中点，，是边长为8的等边三角形，，又为PA的中点，点M到平面ANO的距离，．又，．15．【湖北省荆门市2019届高三元月调研】如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体，如图．1若，证明：平面；2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．【解析】1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，，由已知得，，平面又平面BDE，，又，，平面2在图2中，，，，即面DEFC，在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE，由题意得，，由勾股定理可得，则，，过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，．设平面ACD的一个法向量为，由得,取得，设，则m，，，得设CP与平面ACD所成的角为，．所以16．【山西省吕梁市2019届高三上学期第一次模拟】已知如图（1）直角梯形，，，，，为的中点，沿将梯形折起（如图2），使.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.【解析】（1）由已知可得为直角三角形，所以.又，所以，所以平面.（2）因为平面，平面，所以，又因为，平面，平面，，所以，平面，又因为，所以平面，又因为平面，所以.在直角中，，设点到平面的距离为，由，则，所以.16.正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,,E F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折--．成直二面角A DC B（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由；--的余弦值；（2）求二面角E DF C（3）在线段BC 上是否存在一点P ,使AP DE ⊥？证明你的结论．【分析】（1）问可利用翻折之后的几何体侧面ABC ∆的中位线得到//AB EF ,便可由线面平行的判定定理证得；（2）先根据直二面角A DC B --将条件转化为AD ⊥面BCD ,然后做出过点E 且与面BCD 垂直的直线EM ,再在平面BCD 内过M 作DF 的垂线即可得所求二面角的平面角；（3）把AP DE ⊥作为已知条件利用,利用ADC ∆中过A 与DE 垂直的直线确定点P 的位置.【解析】（1）如图：在△ABC 中,由E 、F 分别是AC 、BC 中点,得EF//AB,又AB ⊄平面DEF,EF ⊂平面DEF ．∴AB ∥平面DEF ．（2）∵AD ⊥CD,BD ⊥CD∴∠ADB 是二面角A —CD —B 的平面角∴AD ⊥BD ∴AD ⊥平面BCD取CD 的中点M,这时EM ∥AD ∴EM ⊥平面BCD过M 作MN ⊥DF 于点N,连结EN,则EN ⊥DF∴∠MNE 是二面角E —DF —C 的平面角,在Rt △EMN 中,EM=1,MN=23 ∴tan ∠MNE=233,cos ∠MNE=721（3）在线段BC 上存在点P,使AP ⊥DE. 证明如下：在线段BC 上取点P,使BC BP 31 ,过P 作PQ ⊥CD 与点Q, ∴PQ ⊥平面ACD∵, 在等边△ADE 中,∠DAQ=30°,∴AQ ⊥DE ∴AP ⊥DE.。
折叠问题的解题方法
折叠问题的解题方法折叠问题是一种常见的数学问题，通常涉及到将一个二维图形折叠成一个三维形状。
解决这类问题需要一定的空间想象力和几何知识。
解决折叠问题的基本步骤如下：1. 理解问题：首先，你需要理解问题的具体要求，明确你要折叠的对象是什么，以及折叠的方式。
2. 分析图形：仔细观察你要折叠的二维图形，找出它的对称轴、对称中心、角度和边的长度等关键信息。
3. 预测结果：根据二维图形的信息，尝试预测折叠后的三维形状会是什么样。
这需要你具备一定的空间想象力。
4. 建立数学模型：如果预测结果涉及到具体的数值，你可能需要建立一个数学模型来描述这个过程。
这可能涉及到几何、代数等知识。
5. 求解问题：根据建立的数学模型，求解出问题的答案。
这可能涉及到计算、推理等步骤。
6. 验证答案：最后，你需要验证你的答案是否正确。
这可以通过重新检查你的计算过程或与标准答案进行对比来完成。
下面是一个具体的例子：题目：一个正方形的纸片，对折两次后展开，得到的图形是( )。
A.三角形B.菱形C.矩形D.平行四边形解题步骤：1. 理解问题：我们需要确定对折两次后展开得到的图形是什么。
2. 分析图形：正方形有四条等长的边和四个直角。
对折一次后，我们会得到一个矩形；再对折一次，我们会得到一个更小的矩形。
3. 预测结果：当纸片展开时，折痕会形成一条线，将纸片分成两个相同的部分。
因此，展开后的图形会有四条相等的边和四个直角。
4. 建立数学模型：由于对折两次后展开的图形有四条相等的边和四个直角，它是一个菱形。
5. 求解问题：答案是 B.菱形。
6. 验证答案：我们可以再次检查我们的推理过程，确保答案正确。
「初中几何」折叠问题中的思路解析
「初中几何」折叠问题中的思路解析
1、
解决折叠问题，两点：
1、直角三角形在哪里？他们之前有何种关系？
在本图中直角三角形非常多，有7个直角三角形，准确说有8个直角三角形，连接FC之后.
在这些直角三角形中，有全等的直角三角形，也有知道三边关系的直角三角形，我们可以通过条件的标示来更加清楚的认识到这个图形。
2、解题中，需要具备方程的意识，也就是所用方程的思想去解决问题。
这里关注到的直角三角形为直角三角形ABC和直角三角形ABE，设BE=x，则EC=8-x，
由折叠的性质可知，AE=EC=8-x，
在Rt△ABE中，AE的平方=AB的平方+BE的平方，
则（8-x）2=42+x2，
解得，x=3，
则BE的长为3．
在本题中，所有的线段长度都是可以求出的。
总结：折叠问题，做题前思考两点：直角三角形在哪里！！他们之间存在何种关系？
接着是有方程的意识，用哪个直角三角形三边的关系来解决问题！。
立体几何翻折问题解题技巧
立体几何翻折问题解题技巧
立体几何翻折问题是指将一个平面图形通过折叠变成一个立体
图形的问题。
这种问题在数学竞赛和考试中经常出现，需要掌握一些解题技巧。
1. 观察图形
首先需要认真观察给定的图形，理解其形状和结构。
可以通过画出各个面的展开图或者模型来加深对图形的理解。
2. 寻找对称性
考虑到翻折后的立体图形具有一定的对称性，可以通过寻找对称轴来简化问题。
对称轴可以是图形的中心线、对角线或者其他线段。
3. 利用平行四边形法则
平行四边形法则指如果一个图形经过翻折后，两个相邻的侧面是平行四边形，则它们的对边相等。
这个定理对解决立体几何翻折问题非常有用。
4. 利用角度关系
如果一个图形经过翻折后，两个相邻的侧面是由同一直线切割而成，则它们的夹角相等。
这个关系可以用于计算角度，解决一些复杂的立体几何问题。
5. 练习和实践
最后，需要进行大量的练习和实践，提高解题能力和技巧。
可以尝试解决不同形状和难度级别的立体几何翻折问题，不断挑战自己。
总之，掌握立体几何翻折问题的解题技巧需要综合运用几何知识
和逻辑思维能力。
通过多练习和实践，可以提高解题水平，取得更好的成绩。
立体几何深度拔高讲义第2节折叠问题的解题技巧
立体几何深度拔高讲义第2节折叠问题的解题技巧折叠问题是立体几何中一个重要的解题技巧，涉及到折纸、折箱等实际应用问题的求解。
本节将介绍一些折叠问题的解题技巧。
1.关注对称性在解折叠问题时，往往可以通过关注折叠线的对称性来简化问题。
对称性可以帮助我们确定折叠线的位置，从而降低问题的复杂度。
例如，在折纸问题中，纸张通常具有对称性，我们可以根据对称性先确定折叠线的位置，然后再进行计算。
2.利用平行性平行性是解折叠问题的另一个重要技巧。
平行性指的是折叠前后的线段保持平行，这可以帮助我们确定线段的位置，从而解决折叠问题。
例如，在折叠纸箱问题中，可以利用平行性来确定纸箱的边缘位置，进而计算纸箱的体积。
3.角度关系解折叠问题时，角度关系也是需要注意的。
通过观察折叠前后角度的变化，我们可以得出一些重要结论，从而解决问题。
例如，在折叠三角形问题中，我们需要注意折叠前后三角形的角度关系，以确定三角形的形状和大小。
4.利用结构相似性结构相似性是指折叠前后的图形保持一定的相似性。
通过观察结构相似性，我们可以得到一些有用的信息，从而解决问题。
例如，在折纸问题中，我们可以利用结构相似性来确定两个三角形的比例关系，进而计算出未知的边长或角度。
5.利用垂直关系垂直关系是解折叠问题时常用的技巧。
通过观察折叠前后的垂直关系，我们可以得到一些有用的信息，从而解决问题。
例如，在折叠盒子问题中，我们可以利用垂直关系来确定盒子的高度和底面积，进而计算出盒子的体积。
综上所述，折叠问题在立体几何中具有重要的应用价值。
通过关注对称性、平行性、角度关系、结构相似性和垂直关系，我们可以利用这些解题技巧来简化问题的求解过程。
希望本节的讲义能够帮助读者更好地理解和应用折叠问题的解题技巧。
2023年高考数学----立体几何折叠问题规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学----立体几何折叠问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变．2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质． 【典型例题】例1．（2022春·江苏南通·高三期中）已知梯形ABCD 中，//AD BC ，π2∠=∠=ABC BAD ，24AB BC AD ===，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，//EF BC ，AE x =，G 是BC 的中点，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ． (1)当2x =时①求证：BD EG ⊥；②求二面角D BF C −−的余弦值；(2)三棱锥D FBC −的体积是否可能等于几何体ABE FDC −体积的一半？并说明理由． 【解析】（1）证明：过D 点作EF 的垂线交EF 于H ，连接BH ．如图．2AE AD == 且//AE DH ，//AD EF ，π2EAD ∠=． ∴四边形ADHE 是正方形.2EH =，∴四边形EHGB 是正方形.所以BH EG ⊥（正方形对角线互相垂直）.因为平面AEFD ⊥平面EBCF ，平面AEFD ⋂平面EBCF EF =，,AE EF AE ⊥⊂平面AEFD ， 所以⊥AE 平面EBCF ， 所以DH ⊥平面EBCF ， 又因为EG ⊂平面EBCF ，所以EG DH ⊥. 又,,BHDH H BH DH =⊂平面BDH ，所以EG ⊥平面BDH ，又BD ⊂平面BDH ， 所以EG BD ⊥.②以E 为原点，EB 为x 轴，EF 为y 轴，EA 为z 轴，建立空间直角坐标系，(2B ，0，0)，(0F ，3，0)，(0D ，2，2)，(2C ，4，0)，(2BF =−，3，0)，(2BD =−，2，2)，设平面BDF 的法向量(n x =，y ，)z ，则·2220·230n BD x y z n BF x y ⎧=−++=⎪⎨=−+=⎪⎩，取3x =，得(3n =，2，1)，又平面BCF 的法向量(0m =，0，1)，1cos ,||||14m n m n m n <>==∴钝二面角D BF C −−的余弦值为．（2）AE EF ⊥Q ，平面AEFD ⊥平面EBCF ， 平面AEFD ⋂平面EBCF EF =，AE ⊂平面AEFD ． AE ∴⊥平面EBCF ．结合DH ⊥平面EBCF ，得//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，得DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥D BCF −的高DH AE x ==， 又114(4)8222BCFSBC BE x x ==⨯⨯−=−． ∴三棱锥D BCF −的体积为()2=11822(82)433333BFCV SDH x x x x x x ==−=−−，ABE FDC ABE DGH D HGCF V V V −−−=+13ABEHGCF SAD S DH =+111111(4)2(2)(4)=(4)1+(2)232262x x x x x x x x ⎡⎤=−⨯+⨯+−−+⎢⎥⎣⎦， 令()112(4)1+(2)=24623x x x x x ⎡⎤−+⨯−⎢⎥⎣⎦，解得0x =或4x =，不合题意；∴棱锥D FBC −的体积不可能等于几何体ABE FDC −体积的一半．例2．（2022春·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）如图1，在平面四边形ABCD 中，已知ABDC ，AB DC ∥，142AD DC CB AB ====，E 是AB 的中点．将△BCE 沿CE 翻折至△PCE ，使得2DP =，如图2所示．(1)证明：DP CE ⊥；(2)求直线DE 与平面P AD 所成角的正弦值． 【解析】（1）如图取CE 的中点F ，连接PF ，DF ，由题易知△PCE ，△DCE 都是等边三角形， ⸫DF ⊥CE ，PF ⊥CE ， ⸫DFPF F =，DF ⊂平面DPF ，PF ⊂平面DPF⸫CE ⊥平面DPF ． ⸫DP ⊂平面DPF ⸫DP ⊥CE ． （2）解法一：由题易知四边形AECD 是平行四边形， 所以AD ∥CE ，又AD ⊂平面P AD ，所以CE ⊂平面P AD ， 所以点E 与点F 到平面P AD 的距离相等． 由（1）知CE ⊥平面DPF ，所以AD ⊥平面DPF ． 又AD ⊂平面P AD ， 所以平面P AD ⊥平面DPF ．过F 作FH ⊥PD 交PD 于H ，则FH ⊥平面P AD ．DF PF ==2DP =，故点F 到平面P AD 的距离FH =设直线DE 与平面P AD 所成的角为θ，则sin FH DE θ==， 所以直线DE 与平面P AD 所成角的正弦值为4． 解法二：由题易知四边形AECD 是平行四边形，所以AD ∥CE ，由（1）知CE ⊥平面DPF ，所以AD ⊥平面DPF ． 如图，以D 为坐标原点，DA ，DF 所在直线分别为x ，y 轴，过D 且垂直于平面AECD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0D ，()4,0,0A ，()E ， 设()0,,P a b ，0a >，0b >． 易知DF PF ==2DP =，故(2222124a b a b ⎧−+=⎪⎨⎪+=⎩，P ⎛ ⎝⎭， 所以()4,0,0DA =，DP ⎛= ⎝⎭，()DE =，设平面P AD 的法向量为(),,n x y z =， 则00n DA n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令y =1z =−，所以()0,11,1n =−．设直线DE 与平面P AD 所成的角为θ，则11sin |cos ,|4DE nDE n DE nθ⋅=〈〉==， 故直线DE 与平面P AD 例3．（2022春·湖南长沙·高三宁乡一中校考期中）如图，平面五边形P ABCD 中，PAD 是边长为2的等边三角形，//AD BC ，AB ＝2BC ＝2，AB BC ⊥，将PAD沿AD 翻折成四棱锥P －ABCD ，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F ，M 分别是AB ，CE 的中点，且PC(1)证明：AB FM ⊥；(2)当直线EF 与平面P AD 所成的角最大时，求平面ACE 与平面PAD 夹角的余弦值． 【解析】（1）设O 是AD 的中点，连接,OP OC ， 三角形PAD 是等边三角形，所以OP AD ⊥，OP =四边形ABCD 是直角梯形，//,OA BC OA BC =，所以四边形ABCO 是平行四边形，也即是矩形，所以OC AD ⊥，2==OC AB .折叠后，PC =222OP OC PC +=，所以OP OC ⊥， 由于,,AD OC O AD OC ⋂=⊂平面ABCD ， 所以OP ⊥平面ABCD ，则,,OC OD OP 两两相互垂直，由此建立如图所示的空间直角坐标系， ()2,0,0,AB OC ==()1,1,0F −，设)()0,1,01E t t t −<<，()2,0,0C，所以)11,,22t t M ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭，则)120,,22t t FM ⎛⎫−+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以0AB FM ⋅=， 所以AB FM ⊥.（2）由于OP ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以OP AB ⊥， 由于,,,AB AD AD OP O AD OP ⊥⋂=⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，由于AE ⊂平面PAD ，所以AB AE ⊥， 所以FEA ∠是直线EF 与平面PAD 所成角， 在直角三角形AEF 中，tan AFFEA AE∠=， 由于1AF =，所以当AE 最小时，tan FEA ∠最大，也即FEA ∠最大，由于三角形PAD 是等边三角形，所以当E 为PD 的中点时，AE PD ⊥，AE 取得最小值.由于(P ，()0,1,0D，故此时10,2E ⎛ ⎝⎭，平面PAD 的法向量为()1,0,0m =，()()()30,1,0,2,0,0,2,1,0,0,2A C AC AE ⎛−== ⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(),,n x y z =，则20302n ACx y n AE y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，故可设(1,n =−， 设平面ACE 与平面PAD 的夹角为θ， 则1cos 17m n m nθ⋅===⋅例4．（2022·四川雅安·统考模拟预测）如图①，ABC 为边长为6的等边三角形，E ，F 分别为AB ，AC 上靠近A 的三等分点，现将AEF △沿EF 折起，使点A 翻折至点P 的位置，且二面角P EF C −−的大小为120°（如图②）．(1)在PC 上是否存在点H ，使得直线//FH 平面PBE ？若存在，确定点H 的位置；若不存在，说明理由．(2)求直线PC 与平面PBE 所成角的正弦值．【解析】（1）满足条件的点H 存在，且为PC 上靠近P 的三等分点．在PC 上取靠近P 的三等分点H ，连接AP ，FH ，如图，则AP 是平面P AB 与平面P AC 的交线，依题意，12PH AF HC FC ==，则有//FH AP ，又AP ⊂平面PBE ，FH ⊄平面PBE ，因此直线//FH平面PBE ，所以在PC 上是存在点H ，为PC 上靠近P 的三等分点，使得直线//FH 平面PBE . （2）取BC 中点G ，连接AG ，交EF 于点D ，连接PD ，因//EF BC ，依题意，EF DG ⊥，EF PD ⊥，则PDG ∠为二面角P EF C −−的平面角，即120PDG ∠=︒，且EF ⊥平面PAD ， 而EF ⊂平面BCFE ，则平面PAD ⊥平面BCFE ，在平面PAD 内过P 作PO AD ⊥于O ， 又平面PAD ⋂平面BCFE AD =，因此PO ⊥平面BCFE ，在平面BCFE 内过O 作Ox AD ⊥， 显然Ox ，AD ，OP 两两垂直，分别以向量Ox ，OD ，OP 的方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz −，如图，则B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，C ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭，E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，32PC ⎛⎫=−− ⎪ ⎪⎝⎭，()EB =，31,2EP ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面PBE 的一个法向量为(),,n x y z =r，由20302n EB x n EP x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，令y =()3,3,1n =−，设直线PC 与平面PBE 所成角为α，则||18sin |cos ,|||||30PC n PC n PC n α⋅=〈〉===⋅所以直线PC 与平面PBE ．。
空间几何中的折叠问题例题和知识点总结
空间几何中的折叠问题例题和知识点总结在空间几何的学习中，折叠问题是一个较为复杂但又十分有趣的部分。
通过折叠，可以将平面图形转化为立体图形，从而考察我们对空间想象力、几何定理的运用以及逻辑推理能力。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入了解空间几何中的折叠问题，并对相关知识点进行总结。
一、例题展示例 1：有一个矩形 ABCD，其中 AB ＝ 4，AD ＝ 3。
现将矩形沿着对角线 AC 折叠，使得点 B 与点 B'重合，求折叠后形成的三棱锥 B' ACD 的体积。
思路分析：首先，我们需要求出对角线AC 的长度。
根据勾股定理，AC ＝√（AB²＋ AD²) ＝ 5。
然后，由于折叠前后，三角形 ABC 的面积不变，所以三角形 ABC 的面积为 1/2 × AB × AD ＝ 6。
接着，我们需要求出点 B' 到平面 ACD 的距离。
因为 B' 在平面 ACD 上的射影为三角形 ACD 的重心 G，且 AG ： GD ＝ 2 ： 1，所以 B'G ＝ 2/3 × B'E （E 为 AC 的中点）。
又因为 B'E ＝ 12/5，所以 B'G ＝ 8/5。
最后，根据三棱锥的体积公式 V ＝ 1/3 × S × h（S 为底面积，h 为高），可得三棱锥 B' ACD 的体积为 1/3 × 1/2 × AD × CD × B'G ＝ 8/5。
例 2：已知正方形 ABCD 的边长为 2，E、F 分别为 BC、CD 的中点。
现将正方形沿着 AE、AF 折叠，使 B、D 两点重合于点 P，求三棱锥 P AEF 的外接球表面积。
思路分析：折叠后，三棱锥 P AEF 的三条侧棱 PA、PE、PF 两两垂直。
所以三棱锥 P AEF 的外接球就是以 PA、PE、PF 为棱的长方体的外接球。
立体几何中的折叠与展开问题
立体几何中的折叠与展开问题魏文 张亮 徐婷 江涛 张忠强 马吉 戴尚超一、折叠与展开中的垂直问题例1. 将矩形ABCD 沿对角线BD 折起来，使点C 的新位置C '在面ABC 上的射影E 恰在AB 上．求证：C B C A '⊥'分析：欲证C B C A '⊥'，只须证C B '与C A '所在平面D C A '垂直；而要证C B '⊥平面D C A '，只须证C B '⊥D C '且C B '⊥AD ．因此，如何利用三垂线定理证明线线垂直就成为关键步骤了．证明：由题意，C B '⊥D C '，又斜线C B '在平面ABCD 上的射影是BA ， ∵ BA ⊥AD ，由三垂线定理，得AD B C ⊥'，D DA D C =' ．∴ C B '⊥平面AD C '，而A C '⊂平面AD C '∴ C B '⊥C A '例2.如图在ΔABC 中， AD ⊥BC ， ED=2AE ， 过E 作FG ∥BC ， 且将ΔAFG 沿FG 折起，使∠A 'ED=60°，求证:A 'E ⊥平面A 'BC解析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。
解： ∵FG ∥BC ，AD ⊥BC∴A 'E ⊥FG∴A 'E ⊥BC设A 'E=a ，则ED=2a由余弦定理得：A 'D 2=A 'E 2+ED 2-2•A 'E •EDcos60°=3a2 A B C D F E G A'∴ED 2=A 'D 2+A 'E2∴A 'D ⊥A 'E ∴A 'E ⊥平面A 'BC例3. 如图：D 、E 是是等腰直角三角形ABC 中斜边BC 的两个三等分点，沿AD 和AE 将△ABD 和△ACE 折起，使AB 和AC 重合，求证：平面ABD ⊥平面ABE.解析：过D 作DF ⊥AB 交AB 于F ，连结EF ，计算DF 、EF 的长，又DE 为已知，三边长满足勾股定理，∴∠DFE ＝090；二、折叠与展开中的空间角问题例4. 矩形ABCD ，AB=3，BC=4，沿对角线BD 把△ABD 折起，使点A 在平面BCD 上的射影A′落在BC 上，求二面角A —BC-—C 的大小。
高中 立体几何中折叠问题的求解策略
立体几何中折叠问题的求解策略折叠问题，是立体几何中的热点、同时也是难点问题．该类问题难的根源在于所研究的是“动态”空间图形，折叠后的图形中点、线、面的位置关系难以确定，需要联系折叠前后图形之间的关系，因此对空间想象、识图及分析能力都提出了较高要求．在考试中此类问题得分率普遍不高，分析其原因，首先是空间想象力不足，其次是对这类问题没有形成解题的模型和方法．解决折叠问题的关键在于抓住折叠前后图形的特征关系，弄清折叠前后哪些量发生了变化、哪些量没有发生变化，以及确定动点在底面上的投影位置，这是分析和解决问题的依据，也是求解此类问题的钥匙．首先要弄清楚空间中折叠的本质含义是什么？教材中并没有明确给出空间中折叠的定义，但是不难看出空间中的折叠是平面中的翻折的推广，所以不妨从平面翻折的定义来揣测空间中折叠的含义．翻折的定义：将一个图形沿着某一条直线翻折180︒，直线两旁的部分能够相互重合．其中这条直线就是它的对称轴，翻折前图形中的任意一点与翻折后的对应点关于对称轴对称．于是可以类似的给空间中折叠下一个定义：将一个平面图形沿着一条直线翻折某个角度θ（其中0180θ︒<<︒），直线两侧的部分能够相互重合．其中这条直线就是它的折线，过翻折前图形中的任意一点及翻折后的对应点分别向折线做垂线，所构成的图形就是翻折前后所成二面角的平面角，即为θ．由上述对空间中折叠的定义，可以得到以下几个结论．如图1，将ADE ∆沿AE 折起．结论1折起的面上任意一点在底面的投影在过该点折起前的对应点垂直于折线的射线上．例如，点'D 在底面ABCE 上的投影O 一定在射线DF 上；结论2折叠前后折线同侧的量不变．如'D A DA =，'D E DE =．对于折叠问题的求解难度在于确定折起后图形中动点的位置，该类问题在具体出题时并不会直接给出动点的位置，而往往是借助动点在底面的投影大概位置、线段长度、相应的角度等来刻画．这就需要通过给出的关系来确定动点在底面中投影的具体位置来确定动点的位置，然后再进一步求解．1已知动点在底面的投影在某线段上例1如图2，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD ∆折起，使得点D 在平面ABC 内的投影恰好落在边AB 上.（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ；（2）当2AB AD =时，求二面角D AC B --的余弦值．ABCDEFH 图1ABCD'D H OF EABCDA BCD分析第一问由结论2，折线同侧的量不变，则AD DC ⊥，BC AB ⊥．又D 与它在底面的投影的连线垂直底面，则垂直BC ，从而BC ⊥平面ABD ，得BC AD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，于是得证．第二问关键是确定D 在底面的投影的位置，由结论1,可知D 在底面的投影为过D 垂直于折线AC 的垂线与AB 的交点，于是利用平面几何知识求解即可．解（1）略；（2）如图3，过点D 作AC 的垂线交AB 于H ，由结论1知H 即是折起后D 在底面的投影．设1AD =，由DAH CDA ∆∆ ，所以12AH =，折叠后32DH =．方法一：如图4，以B 为原点建立空间直角坐标系．那么(0,2,0)A ，(1,0,0)C，3(0,,22D，则1(0,,)22AD =- ，(1,2,0)AC =- ．设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n AD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即1302220y z x y ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩，令1z =，则y =，x =n =．易得平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m =．1cos ,4n m n m n m <>==，所以二面角D AC B --的余弦值为14．方法二：如图3，记DH 与AC 的交点为E ，有AHE CDE ∆∆ ，则14EH AH ED CD ==.由折叠的定义知，沿对角线AC 将ACD ∆折起之后，DEH ∠为二面角D AC B --的图2ABCD HE 图3ABC Dxy z图4平面角．在Rt DHE ∆中，1cos 4EH DEH ED ∠==，即二面角D AC B --的余弦值为14．评注已知动点在底面的投影在某条线段上，由结论1可得该动点在底面的投影就是折叠前过此点垂直于折线的射线与这条线段的交点，只需在平面图形中利用平面几何知识即可确定动点在底面投影的位置．例2如图5，设正方形ABCD 的边长为3，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且满足2AE EB =，2CF FD =.将直角梯形AFED 沿EF 折起，使得点A 在平面BEFC 的投影G 恰好在BC 上，H 为EA 的中点.（1）证明：平面ABE ∥平面CDF ；（2）求二面角H BF C --的正弦值.图5ABCD E FA BC DEFGH分析由结论1,可知A 在底面的投影在过点A 垂直于折线EF 的垂线上.又由题意，点A 在平面BEFC 的投影G 恰好在BC 上，所以A 在底面的投影是过点A 垂直于折线EF 的垂线与BC 的交点，于是利用平面几何知识求解就可以确定G 在BC 上的位置，然后建系求解即可．解（1）略．（2）由题意将直角梯形AFED 沿EF 折起，使得点A 在平面BEFC 的投影G 恰好在BC 上，如图6，过A 作EF 的垂线，与BC 的交点即为G ．作MF ∥BC ，且交AB 与M ，由平面几何知识易得ABG FME ∆≅∆，所以113BG AB ==，则AG ==.如图7，以G 为原点建立空间直角坐标系，则A ，(1,1,0)E -，则11(,,)222H -，(1,0,0)B -，(2,2,0)F ，所以(3,2,0)BF = ，112(,,)222BH = .设平面BFH 的法向量为(,,)n x y z =，A BCD E FGM 图6AB CD EFGH xyz 图7由由00n BF n BH ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即320110222x y x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，令2x =，则3y =-，22z =，所以2(2,3,)2n =- ，易得平面BCF 的一个法向量为(0,0,1)m =，所以3cos ,9n m n m n m<>==，所以二面角H BF C --的余弦值39．例3如图8，在矩形ABCD 中，已知2AB =，4AD =，点E ，F 分别在AD ，BC上，且1AE =，3BF =，将四边形AEFB 沿EF 折起，使点B 在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上．（1）求证：CD ⊥BE ；（2）求直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值．分析由结论1,可知B 在底面的投影在过点B 垂直于折线EF 的垂线上.又由题意，点B 在平面CDEF 的投影H 恰好在DE 上，所以B 在底面的投影是过点B 垂直于折线EF 的垂线与DE 的交点，于是利用平面几何知识求解就可以确定H 在DE 上的位置，然后建系求解即可．解（1）略．（2）如图9，作BC 的中点M ，AD 的中点'H ，则四边形'ABMH 为正方形，所以'BH AM ⊥．又AM ∥EF ，则'BH EF ⊥，由题意有BH EF ⊥，所以H 与'H 为同一点，故1EH =，则2BH ==．如图10，以H 为原点建立空间直角坐标系，则(0,1,0)E -，(2,1,0)F ，(0,0,2)B ，所以(2,1,2)BF =-，由13AE BF =，得252(,,)333A --，则872(,,)333AF =- ．ABCDEFA BCDEFH图8A BCDE F M'H 图9A BCDEFHxyz图10易得平面EFCD 的一个法向量为(0,0,1)n =，设直线AF 与平面EFCD 所成的角为θ，则sin cos ,39AF n AF n AF nθ=<>==．2已知线段长度例4如图11，平面多边形PABCD 中，PA PD =，224AD DC BC ===，AD ∥BC ，AP ⊥PD ，AD ⊥DC ，E 为PD 的中点，现将APD ∆沿AD 折起，使得PC =（1）证明：CE ∥平面ABP ；（2）求直线AE 与平面ABP 所成角的正弦值．ABCDPEABCDEP分析此题是通过线段PC 的长度来刻画APD ∆沿AD 折起的程度的，也就是折起后折面的位置，该题求解的突破口是如何利用线段PC 的长度来确定P 在底面投影的位置．由结论1知P 在底面投影在过P 垂直于折线AD 的射线PB 上，于是有两个思路来确定投影的位置：一是利用已知条件和线段PC 的长度确定PBO ∆的边长，利用解三角形确定投影位置；二是注意到PC PD =，于是P 在底面投影一定在平面ABCD 内CD 的中垂线上，那么就是OB 与CD 中垂线的交点．解（1）略；（2）方法一：如图12，作AD 的中点O ，连接BO 、PO ，易知2BO PO ==，由结论1，P 在底面ABCD 的投影在射线OB 上．设该投影为H ，连接PH ，则PH ⊥平面ABCD ，从而PH BC ⊥，又BC BO ⊥，所以BC ⊥平面PBO ，则BC PB ⊥．所以，2PB ===，故PBO ∆是等边三角形，则H 为BO的中点．以H 为坐标原点建立空间直角坐标系．那么，(1,2,0)A --，(1,0,0)B，P ，图11ABCD EPx yz HO图12(1,2,0)D -，则13(,1,)22E -，13(,3,)22AE = ，(2,2,0)AB =，(1,AP = ．设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z = ，则0n AB n AP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即22020x y x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，令1x =，则1y =-，33z =，则3(1,1,)3n =- ．设AE 与平面ABP 所成角为θ，则210sin cos ,35n AE n AE n AEθ=<>==．方法二：注意到PC PD =，于是P 在底面投影一定在平面ABCD 内CD 的中垂线上，那么P 在底面投影就是OB 与CD 中垂线的交点，即为BO 的中点，下同方法一．评注通过线段长度刻画折起后折面的位置的题型，可以通过将该线段长度转化到要确定动点和动点在底面投影所在线段构成的三角形，利用解三角形工具确定投影的位置；也可以利用线段相等，通过中垂线与动点在底面投影所在射线的交点来确定投影的位置．3已知相应角度例4（2018全国1理）如图13，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC ∆折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥．（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．分析：此题是利用PF BF ⊥刻画折起面的位置，可以考虑利用PF BF ⊥找到过P 且垂直于底面ABFD 的平面，则点P 在底面的投影就在这两个平面的交线上，然后再借助结论1即可确定点P 在底面投影的位置．解（1）因为PF BF ⊥，又BF EF ⊥，且PF EF F = ，,PF EF ⊂平面PEF ，所以BF ⊥平面PEF ，又因为BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD ．（2）由（1）知平面PEF ⊥平面ABFD ，且平面PEF 平面ABFD EF =，则点P 在底面ABFD 的投影在直线EF 上．如图14，过C 作折线DF 的垂线交EF 于点H ，由结论1知，点H 即为点P 在底面ABFD 的投影．由CFH DCF ∆∆ ，则ABC D E F P图13ABCD E F H图1412HF CF CF CD ==，设AB a =，则12HF a =．那么32PH a ==．因为PH ⊥底面ABFD ，如图15，连接DH ，则PDH ∠为DP 与平面ABFD 所成角，所以32sin 24a PH PDH PD a ∠===．评注已知相应角度刻画折起面的位置，需将这个角度条件进行适当转化，最好是能够找到过动点且与底面垂直的平面，然后结合结论1，即可确定P 在底面投影的位置．对刻画折起面位置的角度条件的转化是解题的突破口．总结立体几何折叠问题的难点突破关键在于利用好结论1和结论2，搞清楚在折叠过程中哪些量是不变的以及动点在底面的投影在那条射线上运动，再结合已知条件，更多的时候需要对已知条件进行适当的转化，便可以确定动点在底面中的投影的位置，顺藤摸瓜就能确定动点在空间中的位置，从而使得问题迎刃而解．参考文献【1】周建平．变化中的不变量——谈立体几何中的折叠问题【J 】．中学教研（数学），2018．7．ABC D EFPH图15。
立体几何翻折问题解题技巧
立体几何翻折问题解题技巧
1.了解几何基本概念：理解几何基本概念对解决立体几何翻折问题非常重要。
例如，了解正方体和长方体的各个面，边和角的定义和性质，可以使你更好地理解问题。
2.学习折纸技巧：理解如何折纸，可以帮助你在三维空间中可视化对象的形状和位置。
3.掌握坐标系：使用坐标系可以使你更好地定位点，线和平面。
4.分析图形：在解决立体几何翻折问题时，需要仔细观察图形，分析它们的特点和性质，有助于确定解决方案。
5.采用逆向思维：有时，采用逆向思维可以解决问题。
这意味着从最终形状开始，逆向推导出折纸的过程。
6.实践练习：最终，为了掌握立体几何翻折问题的解决技巧，需要多做实践练习，根据不同的问题，采用不同的解决方法。
立体几何中“折叠问题”解题策略
立体几何中“折叠问题”的解题策略[ 例题 ]如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB∥BC，BD∥DC，点 E 是 BC 边的中点，将∥ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD∥平面BCD，连结 AE，AC， DE，获得如图 2 所示的几何体．(1)求证： AB∥平面 ADC；(2)若 AD＝1，二面角 C-AB-D 的平面角的正切值为6，求二面角 B-AD-E 的余弦值 .[ 解] (1)证明：由于平面ABD∥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD，BD∥DC，DC∥平面 BCD，因此 DC∥平面 ABD.由于 AB∥平面 ABD，因此 DC∥AB.又由于折叠前后均有AD∥AB，DC∩AD＝D，因此 AB∥平面 ADC.(2)由(1)知 AB∥平面 ADC，因此二面角 C-AB-D 的平面角为∥CAD.又 DC∥平面 ABD，AD∥平面 ABD，因此 DC∥AD.CD依题意 tan ∥CAD＝AD＝ 6.由于 AD＝1，因此 CD＝ 6.设 AB＝ x(x＞0)，则 BD＝x2＋1.AB CD依题意 ∥ABD ∥∥DCB ，因此 AD ＝ BD ，x6 即1＝x 2＋1，解得x ＝2，故 AB ＝ 2，BD ＝ 3，BC ＝ BD 2＋CD 2＝3.以 D 为坐标原点，射线 DB ，DC 分别为 x 轴，y 轴的正半轴，成立以下图的空间直角坐标系 D-xyz ，则 D(0,0,0), B( 3,0,0), C(0, 6，0), E( 3 , 6,0）,2 2A( 3,0, 6），33―→ ＝ ( 3 6）， ―→ ＝( 3 6 ）.因此 DEDA,0,2 , ,03 32由 (1)知平面 BAD 的一个法向量 n ＝(0,1,0)．设平面 ADE 的法向量为 m ＝(x ，y ，z)，―→ ＝0，3x ＋ 6y ＝0，·22m DE得由―→ ＝0，3 6·m DA3 x ＋ 3 z ＝0.令 x ＝ 6，得 y ＝－ 3，z ＝－ 3， 因此 m ＝(6，－ 3，－ 3)为平面 ADE 的一个法向量．因此 cos<n ，m>＝ n ·m1＝－ .|n| ·|m 2由图可知二面角 B-AD-E 的平面角为锐角，1因此二面角 B-AD-E 的余弦值为2.解题策略：1.确立翻折前后变与不变的关系画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的地点和数目关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的地点和数目关系不变，而位于“折痕”双侧的点、线、面之间的地点关系会发生变化；关于不变的关系应在平面图形中办理，而关于变化的关系则要在立体图形中解决 .2.确立翻折后重点点的地点所谓的重点点，是指翻折过程中运动变化的点．由于这些点的地点挪动，会带动与其有关的其余的点、线、面的关系变化，以及其余点、线、面之间地点关系与数目关系的变化．只有剖析清楚重点点的正确地点，才能以此为参照点，确立其余点、线、面的地点，从而进行有关的证明与计算 .变式练习：1．如图 1，在四边形 ABCD 中， AD∥BC，∥BAD＝ 90°，1 AB＝2 3，BC＝4，AD＝6，E 是 AD 上的点， AE＝3AD，P为 BE 的中点，将∥ABE 沿 BE 折起到∥A1BE 的地点，使得 A1C＝4，如图 2.(1)求证：平面 A1CP∥平面 A1BE；(2)求二面角 B-A1P-D 的余弦值．解： (1)证明：如图 3，连结 AP，PC.∥在四边形 ABCD 中， AD∥BC，∥BAD＝ 90°，AB＝2 3，BC＝4，AD＝6，E 是 AD 上的点，1AE＝3AD，P 为 BE 的中点，∥BE＝4，∥ABE＝30°，∥EBC＝60°，BP＝2，∥PC＝2 3，∥BP2＋PC2＝BC2，∥BP∥PC.∥A1P＝AP＝2，A1C＝4，∥A1P2＋PC2＝A1C2，∥PC∥A1P.∥BP∩A1P＝P，∥PC∥平面 A1BE.∥PC∥平面 A1CP，∥平面 A1CP∥平面 A1BE.(2)如图 4，以 P 为坐标原点， PB 所在直线为 x 轴，PC 所在直线为 y 轴，过 P 作平面 BCDE 的垂线为 z 轴，成立空间直角坐标系，则 A 1(－1,0, 3)，P(0,0,0)，D(－4,2 3,0)，―→ ＝(－1,0, 3)， ―→ ＝(－4,2 3,0)， ∥1PD PA设平面 A 1的法向量为 ＝ ， ， ，PDm (xy z)―→＝0，－x ＋ 3z ＝0，则m ·PA 1 ―→即＝0， －4x ＋2 3y ＝0，· m PD取 x ＝ 3,得 m ＝( 3,2,1)．易知平面 A 1PB 的一个法向量 n ＝(0,1,0)，m ·n2则 cos 〈m ，n 〉＝|m||n|＝ 2 .由图可知二面角 B-A 1P-D 是钝角，2∥二面角 B-A 1P-D 的余弦值为－ 2 .2．如图 1，在高为 2 的梯形 ABCD 中， AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝5，过 A ，B 分别作 AE ∥CD ，BF ∥CD ，垂足分别为 E ，F.已知 DE ＝1，将梯形 ABCD 沿 AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE-BCF ，如图2.(1)若 AF ∥BD ，证明： DE ∥BE ；(2)若 DE ∥CF ，CD ＝ 3，在线段 AB 上能否存在点 P ，使得 CP35与平面 ACD 所成角的正弦值为35 ？并说明原因．解： (1)证明：由已知得四边形 ABFE 是正方形，且边长为 2，∥AF ∥BE. ∥AF ∥BD ，BE ∩BD ＝B ，∥AF ∥平面 BDE.又 DE ∥平面 BDE ，∥AF ∥DE.∥AE ∥DE ，AE ∩AF ＝ A ，∥DE ∥平面 ABFE.又 BE ∥平面 ABFE ，∥DE ∥BE.(2)当 P 为 AB 的中点时知足条件．原因以下：∥AE ∥DE ，AE ∥EF ， DE ∩EF ＝E ，∥AE ∥平面 DEFC.如图，过 E 作 EG ∥EF 交 DC 于点 G ，可知 GE ，EA ，EF 两两垂直，以 E 为坐标原点，以 ―→ ―→， EA ，EF―→EG 分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向成立空间直角坐标系，则 A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,1， 3)，D(0,1， 3)，22―→ ＝ (－2,1， ―→ ＝(－2, 1 ， 3 ).AC 3)， AD 2 2设平面 ACD 的法向量为 n ＝(x ，y ，z)，―→ －2x ＋y ＋ 3z ＝0， n ·AC ＝ 0，则 即 1 3―→－2x －＋＝ ，·＝0，2 y2 z 0n AD令 x ＝1，得 n ＝(1，－ 1， 3)．―→―→ ，则 P(2, 2，λ∥ ，＋ ∞)，设 AP ＝λPB,0)1 (0―→＝ (2, 1,－ 3).可得 CP1设 CP 与平面 ACD 所成的角为 θ，11 1则 sin θ＝|cos<CP ，n> |＝1)2 57 (35＝35，12解得λ＝1 或λ＝－5(舍去 )，∥P 为 AB 的中点时，知足条件．。
立体几何深度·拔高讲义：第2节 折叠问题的解题技巧 - 学生版
立体几何深度·拔高讲义 第2节 折叠问题的解题技巧一、理论基础[总述][折叠特征]二、典型例题【典例1】在矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿矩形对角线BD 将BCD ∆折起形成四面体,ABCD 在这个过程中，现在下面四个结论：微信公众号：逻辑数学教研组 ①在四面体ABCD 中，当DA BC ⊥时，;BCAC ⊥②四面体ABCD 的体积的最大值为245；③在四面体ABCD 中，BC 与平面ABD 所成角可能为3π；④四面体ABCD 的外接球体积为定值.其中所有正确结论的编号为（ ）.A ①④ .B ①② .C ①②④ .D ②③④微信公众号：逻辑数学教研组【解析】【典例2】如图已知平面四边形ABCD , 3,1AB BC CD ===, AD =90,ADC ∠=︒沿直线AC 将ACD ∆翻折成ACD '∆，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是_____.【答案】6【解析】C【典例3】（多选）如图，在边长为1的正方形ABCD 中,点E F 、分别为边BC AD 、的中点， 将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在的直线进行翻折,在翻折的过程中，下列说法正确的是（ ）.A 无论旋转到什么位置，,A C 两点都不可能重合.B 存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒ .C 存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒ .D 存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】ABC【典例4】如图，矩形ABCD 中，=2=4AB BC ，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中：微信公众号：逻辑数学教研组①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB 平行于平面1A DE . 其中正确的命题是（）A .①②③B .①②④C .①③④D .②③④【答案】BA【典例5】如图，在矩形ABCD 中，24,BC AB E ==为AD 中点，沿直线BE 将ABE ∆翻折成A BE '，使平面A BE '⊥平面.BCDE 点,M N 分别在线段,BC DE 上，若沿直线MN 将四边形MNDC 向上翻折，使C 与A '重合，则_____.BM 四棱锥A BMNE '-的体积为______.【答案】微信公众号：逻辑数学教研组【典例6】如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1AC =，,AB AD AB AC ==⊥,30,AB AD CAE ⊥∠=︒则cos _____.FCB ∠=微信公众号：逻辑数学教研组【答案】14-微信公众号：逻辑数学教研组微信公众号：逻辑数学教研组三、课后练习【题1ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，折成直二面角后，在A B C D ，，，四点所在的球面上，B 与D 两点之间的球面距离为（ ）ＡＣ．πＢ．π2Ｄ．π3【解析】【题2】平面四边形ABCD 中，，CD=CB=且AD AB ⊥，现将△ABD 沿对角线BD 翻折成'A BD ∆，则在'A BD ∆折起至转到平面BCD 的过程中，直线'A C 与平面BCD 所成最大角的正切值为_______ .【题3】（2020•德阳模拟）ABC ∆是边长为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，沿EF 把OAEF 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为( )DABCDABE CA B C D【解析】【题4】（2020•德阳模拟）ABC∆是边长为E、F分别在线段AB、AC 上滑动，//EF BC，沿EF把AEF∆折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC，则四棱锥P BCFE-的体积的最大值为()A．B C．3D．2【解析】【题5】（2019秋•包河区校级期末）矩形ABCD中，2BC=，沿对角线AC将三角形ADC 折起，得到四面体A BCD-的体-，四面体A BCD-外接球表面积为16π，当四面体A BCD积取最大值时，四面体A BCD-的表面积为()A．B．C．D．【解析】【题6】（2019春•昆明期末）在平行四边形ABCD 中，3BAD π∠=，点E 在AB 边上，112AD AE AB ===，将ADE ∆沿直线DE 折起成△A DE '，F 为A C '的中点，则下列结论正确的是( )A ．直线A E '与直线BF 共面B ．12BF =C ．△A EC '可以是直角三角形D ．A C DE '⊥【解析】【题7】已知正方形ABCD ，E F ，分别是边AB CD ，的中点，将ADE △沿DE 折起，如图所示，求证：//BF ADE 平面【解析】【题8】如图，ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，将ADE ∆和BEC ∆沿DE 和CE 折起，使AE 与BE 重合，记A 与B 重合后的点为P ,求(1) 求证：PE PDC ⊥平面；（2）二面角P-CD-E 的度数;【解析】【题9】（2015陕西）如图1，在直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2.(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．【解析】【题10】(2011·陕西)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)设E 为BC 的中点，求A E →与D B →夹角的余弦值．【解析】【题11】如图(1)，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，作如图(2)折叠，折痕EF ∥DC .其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后，点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .(1)证明：CF ⊥平面MDF ；(2)求三棱锥M－CDE的体积．【解析】。
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立体几何中“折叠问题”的解题策略[例题]如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥BC，BD∥DC，点E是BC边的中点，将∥ABD沿BD折起，使平面ABD∥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．
(1)求证：AB∥平面ADC；
(2)若AD＝1，二面角CABD的平面角的正切值为6，求二面角BADE的余弦值.
[解](1)证明：因为平面ABD∥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，BD∥DC，DC∥平面BCD，
所以DC∥平面ABD.
因为AB∥平面ABD，所以DC∥AB.
又因为折叠前后均有AD∥AB，DC∩AD＝D，
所以AB∥平面ADC.
(2)由(1)知AB∥平面ADC，
所以二面角CABD的平面角为∥CAD.
又DC∥平面ABD，AD∥平面ABD，
所以DC∥AD.
依题意tan∥CAD＝CD
AD＝ 6.
因为AD＝1，所以CD＝ 6.
设AB＝x(x＞0)，则BD＝x2＋1.
依题意∥ABD ∥∥DCB ，所以AB AD ＝CD BD ， 即x 1＝6x 2＋1，解得x ＝2， 故AB
＝2，BD ＝3，BC ＝BD 2＋CD 2＝3.
以D 为坐标原点，射线DB ，DC 分别为x 轴，y 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，
则D (0,0,0), B (3,0,0), C (0,6，0), E (
23,2
6,0）, A (33,0,36）， 所以DE ―→＝(23,26,0），DA ―→＝(33,0,3
6）. 由(1)知平面BAD 的一个法向量n ＝(0,1,0)．
设平面ADE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，
由⎩⎨⎧ m·DE ―→＝0，
m·DA ―→＝0，得⎩⎨⎧ 32x ＋62y ＝0，33x ＋63z ＝0.
令x ＝6，得y ＝－3，z ＝－3，
所以m ＝(6，－3，－3)为平面ADE 的一个法向量．
所以cos<n ，m>＝n ·m |n |·|m |＝－12.
由图可知二面角B AD E 的平面角为锐角，
所以二面角B AD E 的余弦值为12.
解题策略：
1.确定翻折前后变与不变的关系
画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.
2.确定翻折后关键点的位置
所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算.
变式练习：
1．如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∥BAD ＝90°，
AB ＝23，BC ＝4，AD ＝6，E 是AD 上的点，AE ＝13AD ，
P 为BE 的中点，将∥ABE 沿BE 折起到∥A 1BE 的位置， 使得A 1C ＝4，如图2.
(1)求证：平面A 1CP ∥平面A 1BE ；
(2)求二面角BA1PD的余弦值．
解：(1)证明：如图3，连接AP，PC.
∥在四边形ABCD中，AD∥BC，∥BAD＝90°，AB＝23，BC＝4，AD＝6，E是AD上的点，
AE＝1
3AD，P为BE的中点，
∥BE＝4，∥ABE＝30°，∥EBC＝60°，BP＝2，
∥PC＝23，∥BP2＋PC2＝BC2，∥BP∥PC.
∥A1P＝AP＝2，A1C＝4，
∥A1P2＋PC2＝A1C2，∥PC∥A1P.
∥BP∩A1P＝P，∥PC∥平面A1BE.
∥PC∥平面A1CP，∥平面A1CP∥平面A1BE.
(2)如图4，以P为坐标原点，PB所在直线为x轴，PC所在直线为y轴，过P作平面BCDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A 1(－1,0,3)，P (0,0,0)，D (－4,23,0)，
∥P A 1―→＝(－1,0,3)， PD ―→＝(－4,23,0)，
设平面A 1PD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨⎧ m·P A 1―→＝0，m·PD ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
－x ＋3z ＝0，－4x ＋23y ＝0， 取x ＝3,得m ＝(3,2,1)．
易知平面A 1PB 的一个法向量n ＝(0,1,0)，
则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝22.
由图可知二面角B A 1P D 是钝角，
∥二面角B A 1P D 的余弦值为－22.
2．如图1，在高为2的梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝5，过A ，B 分别作AE ∥CD ，BF ∥CD ，垂足分别为E ，F .已知DE ＝1，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF ，如图2.
(1)若AF ∥BD ，证明：DE ∥BE ；
(2)若DE ∥CF ，CD ＝3，在线段AB 上是否存在点P ，使得CP
与平面ACD 所成角的正弦值为3535？并说明理由．
解：(1)证明：由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2， ∥AF ∥BE .∥AF ∥BD ，BE ∩BD ＝B ，∥AF ∥平面BDE .
又DE ∥平面BDE ，∥AF ∥DE .
∥AE ∥DE ，AE ∩AF ＝A ，∥DE ∥平面ABFE .
又BE ∥平面ABFE ，∥DE ∥BE .
(2)当P 为AB 的中点时满足条件．理由如下：
∥AE ∥DE ，AE ∥EF ，DE ∩EF ＝E ，∥AE ∥平面DEFC . 如图，过E 作EG ∥EF 交DC 于点G ，
可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA ―→，EF ―→，EG ―→分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,1，3)，D (0,21-，2
3)， AC ―→＝(－2,1，3)，AD ―→＝(－2,21-，2
3). 设平面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨⎧ n ·AC ―→＝0，n ·AD ―→＝0，即⎩⎨⎧ －2x ＋y ＋3z ＝0，－2x －12y ＋32z ＝0，
令x ＝1，得n ＝(1，－1，3)．
设AP ―→＝λPB ―→，则P (2,λ
λ+12,0)，λ∥(0，＋∞)， 可得CP ―→＝(2,λ
λ+-11,－3). 设CP 与平面ACD 所成的角为θ，
则sin θ＝|cos<CP ，n>|＝
52)11(7111⨯+-++--
-λλλλ＝3535，
2
解得λ＝1或λ＝－
5(舍去)，∥P为AB的中点时，满足条件．。