2018学年高中数学选修2-1课件：2.1 圆锥曲线 精品

设动圆半径为 r，利用动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切得 两个等式，相减后消去 r，得到点 M 的关系式.注意到 MC2－MC1 ＝2 中没有绝对值，所以轨迹是双曲线的一支，又因为圆 C1 与 圆 C2 相切于点－1，0，所以 M 的轨迹不过点－1，0.
[再练一题] 4．已知圆 A：(x＋3)2＋y2＝100，圆 A 内有一定点 B(3,0)，动圆 M 过 B 点且 与圆 A 内切，求证：圆心 M 的轨迹是椭圆. 【导学号：09390019】 【证明】 设 MB＝r. ∵圆 M 与圆 A 内切，圆 A 的半径为 10， ∴两圆的圆心距 MA＝10－r， 即 MA＋MB＝10(大于 AB)， ∴圆心 M 的轨迹是以 A，B 两点为焦点的椭圆．
_P__F_1_＋_P__F_2_＝ 2a_＞__F1F2
双 曲 线
平面内到两个定点 F1，F2 的_距__离__的__差__的__绝__对__值___等于常数 (小__于__F__1F__2 _的__正__数_)的点的轨迹叫做双曲线，两个_定__点__F_1_，__F_2 叫做双曲线的焦点，_两__焦__点__间的距离叫做双曲线的焦距
【自主解答】 (1)∵sin B＋sin C＝2sin A，由正弦定理可得 AC＋AB＝2BC ＞BC，又∵B，C 是两个定点，由椭圆的定义可知，点 A 的轨迹是以 B，C 为焦 点的椭圆(除去与 B，C 所在同一直线的两个定点)．
(2)由椭圆的定义可知，AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝PF1＋PF2＝5，∴△ABF2 的 周长为 AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝5＋5＝10.
【解析】 (1)×.因为|F1F2|＝10，所以动点轨迹是线段 F1F2，不是椭圆，故 不正确．
(2)√.双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹是双曲线的一支，不是双 曲线，故正确．
(3)×.抛物线定义中，“F 不在 l 上”不能省略，因为 F 在 l 上时，轨迹是一 条直线，故不正确．
(4)√.圆锥曲线是平面图形，因此是正确的． 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
抛物线的定义及应用
已知动点 M(x，y)满足|3x＋4y＋1|＝5 x－12＋y－22，试判断动点 M 的轨迹．
【精彩点拨】 把条件式化为点 M 到点(1,2)与点 M 到直线 3x＋4y＋1＝0 的距离相等，利用抛物线的定义求解．
【自主解答】 选定直线 l：3x＋4y＋1＝0，定点 F(1,2)，则 M 到 l 的距离 为 d＝|3x＋45y＋1|，MF＝ x－12＋y－22.由题意知 d＝MF，且 F∉l，由抛物线 定义知，M 的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线．
【自主解答】 (1)∵| x＋52＋y2－ x－52＋y2|表示点 P(x，y)到两定点 F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，
故点 P 的轨迹是双曲线． (2)∵ x＋42＋y2－ x－42＋y2表示点 P(x，y)到两定点 F1(－4,0)，F2(4,0) 的距离之差，|F1F2|＝8， ∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|， 故点 P 的轨迹是双曲线的右支．
[小组合作型]
椭圆的定义及应用 (1)在△ABC 中，B，C 是两个定点，sin B＋sin C＝2sin A，试确定顶 点 A 的轨迹； (2)已知 F1，F2 为椭圆的两焦点，直线 AB 过点 F1，若椭圆上任一点 P 满足 PF1＋PF2＝5，求△ABF2 的周长． 【精彩点拨】 (1)利用正弦定理转化为边之间的关系，结合椭圆的定义求 解；(2)利用椭圆的定义，把△ABF2 的周长分解为点 A 和点 B 到焦点的距离之和．
阶
阶
段
段
一
三
2.1 圆锥曲线
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．了解椭圆、双曲线和抛物线的定义和几何图形．(重点) 2．了解圆锥曲线特别是双曲线的形成过程．(难点) 3．椭圆定义与双曲线定义的区别．(易混点)
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[基础·初探] 教材整理 圆锥曲线 阅读教材 P27～P28 例 1 以上内容，完成下列问题． 1．用平面截圆锥面能得到的曲线图形是__两__条__相__交__直__线___、_圆____、__椭__圆__、 _双__曲__线____、__抛__物__线___．
[构建·体系]
1．已知 F1(－2,0)，F2(2,0)，动点 P 满足 PF1＋PF2＝6，则点 P 的轨迹是 ________．
【解析】 ∵PF1＋PF2＝6＞F1F2，∴点 P 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的椭圆． 【答案】 以 F1，F2 为焦点的椭圆
2．已知抛物线上一点 P 到焦点 F 的距离为32，则点 P 到抛物线准线的距离
_|_P_F_1_－__P_F_2_| __ ＝2a_＜__F1F2
抛 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(__F_不__在__l_上__)的距离 _P_F_＝__d___，其
物 _相__等___的点的轨迹叫做抛物线，__定__点__F___叫做抛物线的焦 中 d 为点 P 到
线 点，_定__直__线__l____叫做抛物线的准线
椭圆定义的应用方法 1．判定动点 P 的轨迹为椭圆，关键分析两点：(1)点 P 到两 定点的距离之和是否为常数，(2)该常数是否大于两定点之间的距 离． 2．判定点的轨迹时，应注意对个别点进行检验，如本例(1) 中，因为△ABC 三顶点不共线，所以应去掉直线 BC 与椭圆的两 个交点． 3．若已知某点在椭圆上时，要应用椭圆的定义 PF1＋PF2＝ 2a 进行求解．
3．点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l：x＝－6 的距离小 2，则点 P 的轨迹 为________．
【解析】 由题意可知，点 P 到 F(4,0)的距离与到直线 x＝－4 的距离相等．根
据抛物线的定义知，点 P 的轨迹为抛物线． 【答案】 抛物线
[探究共研型]
如何区分椭圆与双曲线 探究 1 已知 F1(－2,0)，F2(2,0)，若 PF1＋PF2＝6 时，点 P 的轨迹是什么？ 若|PF1－PF2|＝2 时，点 P 的轨迹是什么？ 【提示】 若 PF1＋PF2＝6>4，则 P 的轨迹为椭圆；若|PF1－PF2|＝2<4， 则 P 的轨迹为双曲线．理解椭圆关注几个词：“和”“定值”“大于焦距”； 理解双曲线关注几个词：“差”“绝对值”“定值”“小于焦距”．
2．设 P 为相应曲线上任意一点，常数为 2a(a>0).
定义(自然语言)
数学语言
椭 圆
平面内到两个定点 F1，F2 的_距__离__的__和_等于常数(大于_F_1_F_2_) 的点的轨迹叫做椭圆．_两__个__定__点___F_1_，__F_2__叫做椭圆的焦
点，两焦点间的_距__离__叫做椭圆的焦距
l 的距离
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两定点 F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之和为 10 的动点的轨迹是椭 圆．( ) (2)在双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹不是双曲线．( ) (3)在抛物线定义中，“F 不在 l 上”可以省略．( ) (4)在椭圆、双曲线、抛物线的定义中“平面内”这一条件都不能丢掉，否 则动点的轨迹就是空间图形．( )
[再练一题] 1．命题甲：动点 P 到两定点 A，B 的距离之和 PA＋PB＝2a(a>0，a 为常数)； 命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件． 【解析】 根据椭圆的定义，应填必要不充分． 【答案】 必要不充分
双曲线的定义及应用 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点 P 的轨 迹是什么图形？ (1)| x＋52＋y2－ x－52＋y2|＝6； (2) x＋42＋y2－ x－42＋y2＝6. 【精彩点拨】 把代数方程转化为几何问题解决，严格扣准双曲线的定义．
5．动点 P(x，y)的坐标满足 x－52＋y2－ x＋52＋y2＝4，试确定点 P 的
轨迹． 【解】
x－52＋y2的几何意义是点 P 到定点 A(5,0)的距离， x＋52＋y2
在双曲线的定义中，注意三个关键点：①在平面内；②差的 绝对值；③定值且定值小于两定点间距.在这三个条件中，缺少一 个条件，其动点轨迹也不是双曲线.
[再练一题] 2．已知 A(0，－5)，B(0,5)，若|PA|－|PB|＝6，则 P 点的轨迹为________， 若|PA|－|PB|＝10，则 P 点的轨迹为________. 【导学号：09390018】 【解析】 ∵|PA|－|PB|＝6<10 时， ∴P 的轨迹为双曲线的一支． 又∵|PA|－|PB|＝10 且|AB|＝10， ∴P 的轨迹为射线，是以 B 为端点向上的一条射线． 【答案】 双曲线的一支 一条射线
探究 2 抛物线的定义应注意什么？定点为 F(2,0)，定直线为 x＝－2 时，动 点 P 到 F 的距离与到直线 x＝－2 的距离相等，动点 P 的轨迹是什么？
【提示】 在抛物线定义中，要特别注意：①在平面内；②到定点距离等 于到定直线距离；③定点不在定直线上．因为(2,0)不在直线 x＝－2 上，所以点 P 的轨迹为抛物线．
抛物线定义的应用方法 1．涉及点线距、两点间距离的轨迹问题，要充分联想抛物 线的定义，判别动点的轨迹． 2．应用抛物线的定义判定动点的轨迹，关键是看动点到定 点与到定直线的距离是否相等，并且注意定点不在定直线上． 3．若已知某点在抛物线上，则该点到抛物线焦点的距离与 该点到抛物线准线的距离相等．
[再练一题]
为________． 【解析】 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的
距离相等，故点 P 到准线的距离为32.
【答案】
3 2
3．以 F1，F2 为焦点作椭圆，椭圆上一点 P1 到 F1，F2 的距离之和为 10，椭 圆上另一点 P2 满足 P2F1＝P2F2，则 P2F1＝________.
已知圆 C1：(x＋2)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－2)2＋y2＝9，动圆 M 同时与 圆 C1 及圆 C2 相外切，求动圆圆心 M 的轨迹．
【精彩点拨】 根据 M 到 C1，C2 的距离的关系，扣住圆锥曲线的定义． 【自主解答】 由已知得，圆 C1 的圆心 C1(－2,0)，半径 r1＝1，圆 C2 的圆 心 C2(2,0)，半径 r2＝3.设动圆 M 的半径为 r， 因为动圆 M 与圆 C1 相外切，所以 MC1＝r＋1.① 又因为动圆 M 与圆 C2 相外切，所以 MC2＝r＋3.② ②－①得 MC2－MC1＝2，且 2<C1C2＝4. 所以动圆圆心 M 的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
【解析】 由椭圆的定义可知 P2F1＋P2F2＝10. 又∵P2F1＝P2F2，∴P2F1＝5. 【答案】 5 4．已知 M(－2,0)，N(2,0)，PM－PN＝3，则动点 P 的轨迹为________． 【解析】 ∵MN＝4，PM－PN＝3<4，
∴动点 P 的轨迹为双曲线的右支． 【答案】 双曲线的右支