材料力学课件：梁弯曲变形的叠加法
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叠加法求梁弯曲变形
( )F1F2 ( )F1 ( )F2
二、叠加法应用 结合查表4.2，求某特定截面的挠度和转角。
例 如图示的简支梁，抗弯刚度为EI，集中载荷F,均布 载荷q,求wC及θ A、θB。
F q
A
B C
2
2
wC
wC q
wC F
5ql 4 384EI
Fl 3 48EI
A
B
A
q
A
F
ql 3 24EI
θ
′
B
θ
″
B
w′A w″A
θ
″
B
12 2
Fl 2 16EI
例 试用叠加法求图示的简支梁跨度中点的挠度wC 和
两端截面的转角θ A、θB ，梁的抗弯刚度为EI 。
5(q 2)l 4
5ql 4
wC1 384EI
768EI
A1
B1
(q 2)l3 24EI
ql 3 48EI
wC 2 0
A2
B2
(q
2)(l 2)3 24EI
叠加法求梁的变形 ---基本原理及应用
一、叠加法 1.力的独立作用原理
线弹性结构发生小变形时，力对结构的作用不因 其它力的存在而改变。
2.叠加原理 线弹性梁发生小变形时，挠度和转角与载荷是线 性关系，所以几种载荷共同作用下的挠度和转角， 等于每个载荷单独作用下挠度和转角的叠加。
(w)F1F2 (w)F1 (w)F2
1）在qa单独作用时，
B
qa(qa) 2 16EI
qa 3 4EI
wA
B
a
qa 4 4EI
2）在均布载荷q单独作用时 逐段刚化法
左段刚化，BA段为悬臂梁
二、叠加法应用 结合查表4.2，求某特定截面的挠度和转角。
例 如图示的简支梁，抗弯刚度为EI，集中载荷F,均布 载荷q,求wC及θ A、θB。
F q
A
B C
2
2
wC
wC q
wC F
5ql 4 384EI
Fl 3 48EI
A
B
A
q
A
F
ql 3 24EI
θ
′
B
θ
″
B
w′A w″A
θ
″
B
12 2
Fl 2 16EI
例 试用叠加法求图示的简支梁跨度中点的挠度wC 和
两端截面的转角θ A、θB ，梁的抗弯刚度为EI 。
5(q 2)l 4
5ql 4
wC1 384EI
768EI
A1
B1
(q 2)l3 24EI
ql 3 48EI
wC 2 0
A2
B2
(q
2)(l 2)3 24EI
叠加法求梁的变形 ---基本原理及应用
一、叠加法 1.力的独立作用原理
线弹性结构发生小变形时，力对结构的作用不因 其它力的存在而改变。
2.叠加原理 线弹性梁发生小变形时，挠度和转角与载荷是线 性关系，所以几种载荷共同作用下的挠度和转角， 等于每个载荷单独作用下挠度和转角的叠加。
(w)F1F2 (w)F1 (w)F2
1）在qa单独作用时，
B
qa(qa) 2 16EI
qa 3 4EI
wA
B
a
qa 4 4EI
2）在均布载荷q单独作用时 逐段刚化法
左段刚化，BA段为悬臂梁
材料力学(赵振伟)梁的弯曲变形2
3. 应用叠加原理的若干情况 1 ) 荷载的分解或重组
q m
q
L/2 L/2
L
F
q
q
m L/2 L/2
F
例
q0
EI
A 求图示自由端的挠度。
L2
L2
q0
L
w1
q0
w3
B
w2
L2
L2
w1
q0 L4 8EI
w2
q0 L 24
8EI
q0 L4 128EI
w3
B
L 2
q0 L 23
6EI
L 2
q0 L4 96EI
wA
w1
w2
w3
41q0 L4 384EI
2) 逐段刚化法
依据： 若结构可分为若干部分，且各部分在荷载作用下的 变形不是相互独立的，那么，结构中 A 点的位移是各个部 分在这一荷载作用下的变形在 A 点所引起的位移的叠加。
A EI a
变形刚体
F
F
Fa 2
B
C
a/2
wwww1122
B (F1, F2,, Fn ) B1(F1) B2 (F2 ) Bn(Fn )
yB (F1, F2,, Fn ) yB1(F1) yB2 (F2 ) yBn(Fn )
叠加法的特征： 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查； 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
分析和讨论
q
在下列不同的支承方 式中，哪一种刚度最高？
q
q
分析和讨论
q
梁由混凝土材料制成，如果横截面从左图改为右图，能 够改善强度吗？能够改善刚度吗？
梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善强度吗？ 梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善刚度吗？
材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
材料力学第5章弯曲变形ppt课件
qL
4.22kNm
4.22kNm
M
max
32 M
max
76.4MPa
WZ
d 3
例题
20kN m
A
4m
FA
20kN m
A
MA
4m
试求图示梁的支反力
40kN
B
D
2m
2m
B
B1 FB
FB 40kN
B
D
B2
2m
2m
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不
计,所以为一次超静定.
C
B1 B2
FBBBMF12AA2383qFEqELBqqLI84LI2LLZZ32F35BFF4FEFB83PBPLIEL7Z3L12IZ.218352.k75N5kFkN2PNmEL2IZ2
x
边界条件
A
L2
B
L2
C
y
连续条件
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
全梁仅一个挠曲线方程
C
q
EA
共有两个积分常数 边界条件
L1
A
x
B
EI Z
L
y
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
q
a
B C LBC
B
2a
FN
B
q2a4
8EIZ
FN 2a3
3EIZ
C
FN
a
D
北京航空航天大学-材料力学课件ppt-14+第七章+弯曲变形
3. 求 wC
17 Fa 3
A
Fa
C
B
wC 2
wC1
wB
wC
wC1 wC 2
48EI
4EA
D
a
H
4. 比较弯曲与拉压位移 A bh, I bh3 12
设b×h矩形截面
17 Fa 3 48EI
Fa 4EA
17
a h
2
结论: (如果题意没有要求)，拉压与弯曲共同
作用时，拉压引起的位移可以忽略。
18
第七章 弯曲变形
§7-6 简单静不定梁
• 静不定度与多余约束
q(x)
M
5-3=2 度静不定
q(x)
F
6-3 = 3 度静不定
静不定度 ＝支反力（力偶）数－有效平衡方程数 多余约束 多于维持平衡所必须的约束
静不定度＝多余约束数 多余反力 与多余约束相应的支反力或支力偶矩
19
第七章 弯曲变形
静定基与相当系统
例: 求图示外伸梁C点 的挠度和转角
q
C B
l
a
q
仅考虑BC段变形(刚化AB,可
A
视BC为悬臂梁)
qa4 wC1 8EI ()
C1
qa 3 6EI
()
B
l
qa
仅考虑AB段变形(刚化BC)
A
B
C2
B2
qa2l 6EI
()
总挠度和转角
wC 2
B2a
qa3l 6EI
()
l
qa 3 wC wC1 wC 2 24EI (3a 4l ) ()
0
0
wB 0, B 0
A
B
25
材料力学梁的弯曲变形第3节 用叠加法求梁的变形
挠曲轴线 近似微分方程
y M (x) EI
• 叠加原理：当梁为小变形时，梁的挠度和转角均是 载荷的线性函数，可以使用叠加法计算梁的转角和 挠度，即梁在几个载荷同时作用下产生的挠度和转 角等于各个载荷单独作用下梁的挠度和转角的叠加 和，这就是计算梁弯曲变形的叠加原理。
• 叠加原理的步骤： ①分解载荷；②分别计算各载荷 单独作用时梁的变形；③叠加得最后结果。
a
x
5ql 4 384 EI
例6-5 悬臂梁AB上作用有均布载荷q，自由端作 用有集中力F = ql，梁的跨度为l，抗弯刚度为EI，如 图所示。试求截面B的挠度和转角。
解：（1）分解载荷
梁上载荷可分解成均布载 荷 q 与集中力 F 的叠加。
（2）查表得这两钟情况下
截面 B 的挠度和转角
yBq
ql3 2EI
2ql
3
（顺时针）
3EI
例6-6 如图所示，外伸梁在外伸段作用有均布 载荷q，梁的抗弯刚度为EI。求C截面的挠度。
解： 1）简化、分解载荷
2）分别计算 B 截面挠度：
悬臂梁因 B 截面产生转角引
起的挠度 yC1和悬臂梁在均布 载荷作用下产生的挠度 yC2
0.5qa2
qa
+
B
yA3
ql4 8EI
7ql 4 384EI
5Fl3 48EI
41ql4 5Fl3 384EI 48EI
代入数值得：
yA 3.89 103 m 3.89mm（）
ql 4 8EI
+
Bq
ql3 6EI
y M (x) EI
• 叠加原理：当梁为小变形时，梁的挠度和转角均是 载荷的线性函数，可以使用叠加法计算梁的转角和 挠度，即梁在几个载荷同时作用下产生的挠度和转 角等于各个载荷单独作用下梁的挠度和转角的叠加 和，这就是计算梁弯曲变形的叠加原理。
• 叠加原理的步骤： ①分解载荷；②分别计算各载荷 单独作用时梁的变形；③叠加得最后结果。
a
x
5ql 4 384 EI
例6-5 悬臂梁AB上作用有均布载荷q，自由端作 用有集中力F = ql，梁的跨度为l，抗弯刚度为EI，如 图所示。试求截面B的挠度和转角。
解：（1）分解载荷
梁上载荷可分解成均布载 荷 q 与集中力 F 的叠加。
（2）查表得这两钟情况下
截面 B 的挠度和转角
yBq
ql3 2EI
2ql
3
（顺时针）
3EI
例6-6 如图所示，外伸梁在外伸段作用有均布 载荷q，梁的抗弯刚度为EI。求C截面的挠度。
解： 1）简化、分解载荷
2）分别计算 B 截面挠度：
悬臂梁因 B 截面产生转角引
起的挠度 yC1和悬臂梁在均布 载荷作用下产生的挠度 yC2
0.5qa2
qa
+
B
yA3
ql4 8EI
7ql 4 384EI
5Fl3 48EI
41ql4 5Fl3 384EI 48EI
代入数值得：
yA 3.89 103 m 3.89mm（）
ql 4 8EI
+
Bq
ql3 6EI
用叠加法求弯曲变形
yC
3 i 1
yCi
5ql4 384EI
ql 4 48EI
ql4 16EI
11ql4 ( ) 384EI
B
3
Bi
i 1
ql3 24EI
ql3 16EI
ql3 3EI
11ql3 ( ) 48EI
目录
材料力学 材料力学
用叠加法求弯曲变形
例4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、
yC
EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C
材料力学
材料力学
用叠加法求弯曲变形
设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为M(x)，转角为 ，挠度为y，则有：
EI
d2y dx2
EIy''
M(x)
若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩
为 M i ( x) ，转角为 i ，挠度为 yi ，则有：
EIy''i Mi ( x)
材料力学
7-4
解 1）首先，将梁上的载荷变成有表可查 的情形
为了利用梁全长承受均布载荷 的已知结果，先将均布载荷延长至梁 的全长，为了不改变原来载荷作用的 效果，在AB 段还需再加上集度相同、 方向相反的均布载荷。
目录
材料力学 材料力学
用叠加法求弯曲变形
2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用
yC
的情形，计算各自C截面的挠度和转角。
等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数 和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
材料力学
目录
材料力学 材料力学
用叠加法求弯曲变形
例3 已知简支梁受力如图示，q、l、EI 均为已知。求C 截面的挠度yC ；B截面的 转角B
第八章叠加法求变形(3,4,5)
§8-3
用叠加法计算梁的变形及 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形——简捷方法 叠加法应用的条件 在材料服从胡克定律、且变形很小的前 提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。 即挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系 计算梁变形时须记住梁在简单荷载作用下 的变形——转角、挠度计算公式（见附录Ⅳ）。
3 3
pl 7 pl 3 pl wc wc1 wc 2 24 EI 48EI 16 EI
B
c
c
p
这种分析方法叫做梁的逐段刚化法。
例题2 用叠加法求AB梁上E处的挠度 E
p
p
p
wE 2
wE 1
B
wE = wE 1+ wE 2 = wE 1+ wB/ 2
wB=?
P
机械：1/5000~1/10000,
土木：1/250~1/1000 机械：0.005~0.001rad
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定于构 件正常工作时的要求。 [例8-8]图示工字钢梁，l =8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3 ，[ w/l ]= 1／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁 的刚度条件，确定梁的许可载荷 [P]，并校核强度。
例题 2
按叠加原理得
wC wC 1 wC 2
5ql 4 5ql 4 0 768EI 768EI
ql 3 ql 3 3ql 3 A A1 A2 48EI 384EI 128EI ql 3 ql 3 7ql 3 B B1 B 2 48EI 384EI 384EI
c
c
A
P M =Pl/2 B C B
用叠加法计算梁的变形及 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形——简捷方法 叠加法应用的条件 在材料服从胡克定律、且变形很小的前 提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。 即挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系 计算梁变形时须记住梁在简单荷载作用下 的变形——转角、挠度计算公式（见附录Ⅳ）。
3 3
pl 7 pl 3 pl wc wc1 wc 2 24 EI 48EI 16 EI
B
c
c
p
这种分析方法叫做梁的逐段刚化法。
例题2 用叠加法求AB梁上E处的挠度 E
p
p
p
wE 2
wE 1
B
wE = wE 1+ wE 2 = wE 1+ wB/ 2
wB=?
P
机械：1/5000~1/10000,
土木：1/250~1/1000 机械：0.005~0.001rad
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定于构 件正常工作时的要求。 [例8-8]图示工字钢梁，l =8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3 ，[ w/l ]= 1／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁 的刚度条件，确定梁的许可载荷 [P]，并校核强度。
例题 2
按叠加原理得
wC wC 1 wC 2
5ql 4 5ql 4 0 768EI 768EI
ql 3 ql 3 3ql 3 A A1 A2 48EI 384EI 128EI ql 3 ql 3 7ql 3 B B1 B 2 48EI 384EI 384EI
c
c
A
P M =Pl/2 B C B
材料力学 弯曲变形PPT课件
EIw ql x3 - q x4 Cx D 12 24
(3) 利用边界条件确定积分常数
x 0: w0 D0 x l : w 0 C ql3
24
(4) 求转角方程、挠度方程 EIw ql x q x2 0 x l
22
w q l3 6lx2 4x3
转角方程
EI为常量 EIw [ M (x)dx] dx Cx D 挠度方程
C、D 为积分常数；由边界条件和连续性条件确定。
边界条件: 固定端：w＝0；θ＝0；
铰支座：w＝0；
弯曲变形的对称点：θ＝0。
连续性条件: 挠曲线上任意点的挠度和转角只有一个
值。
[例7-3-1]用积分法求挠度方程和转角方程，并确定绝
第七章 弯曲变形
第七章 弯曲变形
§7.1 概述 §7.2 挠曲线的近似微分方程 §7.3 用积分法求挠度和转角 §7.4 用叠加法求挠度和转角 §7.5 梁的刚度计算 §7.6 简单超静定梁 §7.7 梁的弯曲应变能 §7.8 提高弯曲刚度的措施
§7-1 概述
一、工程中的弯曲变形问题
若变形过大，会引起较大的振动，破坏起吊工 作的平稳性。
又如，车床主轴：
若变形过大，不 仅会影响齿轮的 啮合和轴承的配 合，使传动不平 稳，磨损加快， 而且还会严重地 影响加工精度。
4
又如，如图所示轮轴： 若轮轴的变形过大，会使轮子不能正常啮合，影响工 作的平稳性等。
5
但有时又有相反要求，要求构件有适当变形，才能 符合使用要求。
如汽车叠板弹簧，要求产生较大变形，才能在车辆 行驶时发挥缓冲减振作用符合使用要求。
24EI
w
q
w qx l3 2lx2 x3
第七章弯曲变形第二节叠加法
B
C
wC1 3EI
l/2
l/2
F
2）令BC 不变形，只考虑AB变形
B
C C1
F
Me Fl / 2
A
C
B
2）令BC 不变形，只考虑AB变形
（ a ）在F作用下
A
5F l / 23
wC2
F
62EI
（ b ）在Me作用下
Mel / 2
B2
Me
2EI
A
解：
q
A
C
B
l/2
l/2
叠加法的要点 —— 1）叠加法适用前提：线弹性、小变形 2）记住常用结论 3）必须画出叠加变形图 4）掌握叠加法的常用技巧
第五节 弯曲刚度计算
一、梁的刚度条件
w ≤w max
式中，[w] 为梁的许用挠度
二、提高梁的弯曲刚度的措施
1. 合理选材 选用弹性模量 E 较高的材料 结论：用高强度合金钢取代普通碳钢对于提高弯曲刚度没有意义
wB2
Me
Me l / 22
4EI
A
wC2
Me
ห้องสมุดไป่ตู้
wB
M
e
B
Me
l
/ 2
M el2 16EI
M el 4EI
l 2
A
3M el2 16EI
F
2EI
EI
B
C
l/2
l/2
F Me Fl / 2
C
B
F
C
B
B2F
C2F
Me Fl / 2
材料力学课件第六章1 弯曲变形
代入通解得方程组： F (0) 2 Fl (0) C 0
2 F 1 3 (0) Fl (0) 2 C (0) D 0 6 2 D0
解得： C 0, 6、确定挠曲线方程和转角方程: F EIw ' x 2 Flx 2 F Fl 2 EIw x 3 x 6 2 7、求截面位移
由方程所确定的曲率：
1 3 2 2 ( x) dw 1 dx
d w dx2 dw 1 dx
2 2
d 2w dx2
y
w x
x
3
F
因此有：
2
2
M ( x) EI
dw d 2 w M ( x) 又 1 得： 2 dx EI dx
二、画AB、DE受力图
三、变形协调条件 三、建立补充方程
v AB中 vDE中
( P RC ) L RC L2 48EI1 48EI 2
3 1 3
D
E
3 I 2 L1 P 解得：RC 3 3 I 2 L1 I1 L2 I1 L3 P 2 AB梁负担：P RC 3 3 I 2 L1 I1 L2
ห้องสมุดไป่ตู้
水平位移 2、弯曲变形的度量： （1）截面位移及特点： •横截面形心的竖向线位移 •横截面绕中性轴的角位移。 •横截面形心的水平线位移， 较竖向线位移小许多。
（2）度量变形的基本量： •挠度w： 横截面形心的竖向线位移，向上为正。 •截面转角θ ：横截面绕中性轴的角位移，逆时针为正。
3、弯曲变形简化计算 （1）简化： 认为截面只有竖向位移。 y （2）简化后问题的特点： •挠曲线方程为挠度方程：
2 F 1 3 (0) Fl (0) 2 C (0) D 0 6 2 D0
解得： C 0, 6、确定挠曲线方程和转角方程: F EIw ' x 2 Flx 2 F Fl 2 EIw x 3 x 6 2 7、求截面位移
由方程所确定的曲率：
1 3 2 2 ( x) dw 1 dx
d w dx2 dw 1 dx
2 2
d 2w dx2
y
w x
x
3
F
因此有：
2
2
M ( x) EI
dw d 2 w M ( x) 又 1 得： 2 dx EI dx
二、画AB、DE受力图
三、变形协调条件 三、建立补充方程
v AB中 vDE中
( P RC ) L RC L2 48EI1 48EI 2
3 1 3
D
E
3 I 2 L1 P 解得：RC 3 3 I 2 L1 I1 L2 I1 L3 P 2 AB梁负担：P RC 3 3 I 2 L1 I1 L2
ห้องสมุดไป่ตู้
水平位移 2、弯曲变形的度量： （1）截面位移及特点： •横截面形心的竖向线位移 •横截面绕中性轴的角位移。 •横截面形心的水平线位移， 较竖向线位移小许多。
（2）度量变形的基本量： •挠度w： 横截面形心的竖向线位移，向上为正。 •截面转角θ ：横截面绕中性轴的角位移，逆时针为正。
3、弯曲变形简化计算 （1）简化： 认为截面只有竖向位移。 y （2）简化后问题的特点： •挠曲线方程为挠度方程：
材料力学_-刘鸿文-第四版_第六章_课件__弯曲变形
A
B
x l
y A
θ maxB
max
x
' Plx Px2
EI 2EI Plx 2 Px3
2EI 6EI
l
P
max 及 ωmax 都发生在自由端截面处
max
|xl
Pl 2 EI
Pl 2 2EI
Pl 2 2EI
（
）
max
|xl
Pl 3 3EI
（）
例题： 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁, 在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 ωmax 和最大转角 max .
B
A
B
例题：确定梁的边界条件和连续条件
A
B
C
D
边界条件
A 0 D 0, D 0
EI M(x)
A
B
C
D
连续条件
C左 C右 , C左 C右 B左 B右
例题 ： 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 P 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 ωmax 和最大转角 max .
由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作
1 (x)
| (1
''| '2 ) 32
1 M(x)
( x) EI
| ''|
(1
'2
)
3 2
M ( x) EI
| ''|
(1
2
)
3 2
M ( x) EI
在规定的坐标系中，x 轴水平向右
为正，y 轴竖直向上为正。
y
M>0
第九章梁的弯曲变形-PPT精品文档
第九章 梁的弯曲变形
第一节
工程中的弯曲变形
梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强 度条件，还要满足刚度条件，即要求梁在工作时的变 形不能超过一定范围，否则就会影响梁的正常工作。 一、挠曲线 挠曲线：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力F的 作用下，将产生平面弯 曲，变形后梁的轴线将变 为一条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲线。 挠曲线方程
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分：
积分一次得转角方程：
M ( x ) y x C EI d
积分二次得挠度方程：
M ( x ) y d x d x Cx D EI
第九章 梁的弯曲变形 转角方程 挠度方程
M ( x ) y x C EI d M ( x ) y d x d x Cx D EI
式中积分常数C、D由边界条件（梁中已知的截面 位移）确定：
0 , y 0 简支梁： y A B
悬臂梁： 0 , A
y 0 A
由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通 过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度， 这方法称积分法。
第九章 梁的弯曲变形
例9-1 如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷 q作用，梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠 度及截面A处的转角。 解：梁的弯矩方程为：
第九章 梁的弯曲变形 挠曲轴线 近似微分方程 结论 两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即： 挠曲轴线 近似微分方程
M(x) y EI
M ( x) y EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
ห้องสมุดไป่ตู้
第一节
工程中的弯曲变形
梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强 度条件，还要满足刚度条件，即要求梁在工作时的变 形不能超过一定范围，否则就会影响梁的正常工作。 一、挠曲线 挠曲线：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力F的 作用下，将产生平面弯 曲，变形后梁的轴线将变 为一条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲线。 挠曲线方程
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分：
积分一次得转角方程：
M ( x ) y x C EI d
积分二次得挠度方程：
M ( x ) y d x d x Cx D EI
第九章 梁的弯曲变形 转角方程 挠度方程
M ( x ) y x C EI d M ( x ) y d x d x Cx D EI
式中积分常数C、D由边界条件（梁中已知的截面 位移）确定：
0 , y 0 简支梁： y A B
悬臂梁： 0 , A
y 0 A
由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通 过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度， 这方法称积分法。
第九章 梁的弯曲变形
例9-1 如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷 q作用，梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠 度及截面A处的转角。 解：梁的弯矩方程为：
第九章 梁的弯曲变形 挠曲轴线 近似微分方程 结论 两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即： 挠曲轴线 近似微分方程
M(x) y EI
M ( x) y EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
ห้องสมุดไป่ตู้
11.梁弯曲变形的叠加法
（对于土木工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属 地位）
§4.5 梁的刚度计算
三、提高梁的刚度的措施 由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看： 由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看： 梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载 梁的支座和荷载有关外还取决于 梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于 下面三个因素： 下面三个因素 材料——梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比 成反比； 材料 截面——梁的位移与截面的惯性矩 I z成反比 成反比； 截面—— 跨长——梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比 次幂成正比。 跨长 次幂， （转角为 L 的 2 次幂，挠度为 L的 3 次幂） 的 次幂） 1、增大梁的抗弯刚度（EIz） 、增大梁的抗弯刚度（ 2、减小跨长或增加支座 、 方法——同提高梁的强度的措施相同 方法 同提高梁的强度的措施相同 3、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反，目的起到 、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反， 一定的抵消作用） 一定的抵消作用）
θ B ( F1 , F2 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅, Fn ) = θ B1 ( F1 ) + θ B 2 ( F2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +θ Bn ( Fn )
y B ( F1 , F2 ,⋅ ⋅ ⋅, Fn ) = y B1 ( F1 ) + y B 2 ( F2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + y Bn ( Fn )
D
= 0
θC左 = θC右
§4.4 叠加法计算梁弯曲变形
Me
q
梁上有分布载荷， 梁上有分布载荷，集中力与 集中力偶。 集中力偶。
qx 2 B 弯矩： M = M − Fx − 弯矩： e 2
材料力学第六章弯曲变形
以图示悬臂梁为例： x
A
w
q qy
2.梁的变形可以用以下两个位移度量：
F Bx
B1
① 挠度：梁横截面形心的竖向位移y，向下的挠度为正 ② 转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，顺时针转动为正
简支梁
挠度方程：挠度是轴线坐标x的函数
转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系
=tan =dy =f ´(xd)x
梁在简单荷载作用下的转 角和挠度可从表中查得。
例3 图示悬臂梁，其弯曲刚度EI为常数，求B点转角和挠度。
q
A
C
F
1.在F作用下：
查表： BF
Fl 2 2EI
,
yBF
Fl 3 3EI
B
2.在q作用下：
查表： Cq
q(l / 2)3 6EI
ql3 48 EI
A A
qBF
F
B
q(l / 2)4 ql4
M图 Fl / 4
Wz
M max
35 103 160 106
2.19 10 4 m3
3、梁的刚度条件为：
Fl3 l 48EIz 500
解得
Iz
500 Fl 2 48 E
500 35 103 42 48 200 109
2.92 10 5 m4
由型钢表中查得，22a工字钢的弯曲截面系数Wz＝3.09×l0-4m3 ，惯性矩 Iz=3.40×10-5m4，可见．选择.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。
提高梁刚度的措施：
y ln EI
1.增大梁的弯曲刚度 EI；主要增大截面惯性矩I值，在截面 面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴 较远的地方。例如：工字形、箱形等。
第10章-梁的弯曲变形PPT课件
弯矩方程M(x)不同，因而各段的转角和挠度具有不同 的函数形式，应分段积分，每一段的积分常数有2个， 这些常数由支承约束条件和分段点连续光滑条件确定。
2. 求积分常数
P D
A
M1(x) C
M2(x) PB
（1）支点位移条件：
vD 0 D 0
vA 0 vB 0
（2)连续条件： vC vC 或写 vC左成 vC右
支座条件： x 0 , vA 0, A 0
x al,
vC 0
连续条件： x a, vB左 vB右
推导纯弯梁横截面正应力时，得到挠曲线的曲
率公式： 1 M
ρ EI z
忽略剪力对变形的影响，也可
用上式计算横力弯曲梁的变形：
P
1 M(x)
D
(x) EIz
以挠曲线的曲率来度量梁弯曲变形的程度。显然，在
纯弯曲时，曲率为常数，其挠曲线为一圆弧。在横力
弯曲时，曲率与弯矩成正比。
14
由数学知识可知：平面曲线的曲率公式为
主讲 韩志型
西南科技大学土建学院力学教研室
第10章 梁的变形
§10–1 概述 §10–2 梁的挠曲线近似微分方程 §10–3 用积分法求梁的变形 §10–4 用叠加法求梁的变形 §10–5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
学 时：3 关键术语：
挠度，转角，挠曲线，挠度方程，转角方程，边界条件， 连续条件，光滑条件 教学重点 ：
1
d 2v dx 2 [1 ( dv )2 ]3
dx
在小变形（小挠度） dv 1
dx 1 d 2v
略去高阶小量，得 dx 2
1 M(x)
(x) EIz
所以
d2v M(x) dx2 EIz
2. 求积分常数
P D
A
M1(x) C
M2(x) PB
（1）支点位移条件：
vD 0 D 0
vA 0 vB 0
（2)连续条件： vC vC 或写 vC左成 vC右
支座条件： x 0 , vA 0, A 0
x al,
vC 0
连续条件： x a, vB左 vB右
推导纯弯梁横截面正应力时，得到挠曲线的曲
率公式： 1 M
ρ EI z
忽略剪力对变形的影响，也可
用上式计算横力弯曲梁的变形：
P
1 M(x)
D
(x) EIz
以挠曲线的曲率来度量梁弯曲变形的程度。显然，在
纯弯曲时，曲率为常数，其挠曲线为一圆弧。在横力
弯曲时，曲率与弯矩成正比。
14
由数学知识可知：平面曲线的曲率公式为
主讲 韩志型
西南科技大学土建学院力学教研室
第10章 梁的变形
§10–1 概述 §10–2 梁的挠曲线近似微分方程 §10–3 用积分法求梁的变形 §10–4 用叠加法求梁的变形 §10–5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
学 时：3 关键术语：
挠度，转角，挠曲线，挠度方程，转角方程，边界条件， 连续条件，光滑条件 教学重点 ：
1
d 2v dx 2 [1 ( dv )2 ]3
dx
在小变形（小挠度） dv 1
dx 1 d 2v
略去高阶小量，得 dx 2
1 M(x)
(x) EIz
所以
d2v M(x) dx2 EIz
材料力学梁的弯曲问题
F2 M
F1
A
B
●工程实例
建筑工程中的各类梁、火车轴、水压作用下的水 槽壁等。
火车轴
厂房吊车梁
●对称（平面）弯曲 (Planar bending)
对称平面 F2
F1
(b)
F2
F1
(a)
A
B
(c)
平面弯曲：梁的轴线在变形后仍保持在同一平面( 荷载作用面)内，即梁的轴线成为一条平面曲线。
梁的荷载和支座反力
1.5m
FRB
3m
15.3 内力图──剪力图和弯矩图
为了形象地看到内力的变化规律，通常将剪力、弯 矩沿梁长的变化情况用图形表示出来，这种表示剪力 和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图。
具体作法是：
剪力方程： FQFQx 函数图形 弯矩方程： MMx
例4 求作图示受均布荷载作用的简支梁的剪力图和
FQ2FRAF1F2
FQ2 FRB
M O
0
M 2 F R A 2 F 1 1 . 5 F 2 0 . 5 0 M 2 7 k N m
M 2 F R A 2 F 1 1 .5 F 2 0 .5
FQ2FRAF1F2
FQ
F1
M 2 F R A 2 F 1 1 .5 F 2 0 .5
当变形为微小时，可采用变
形前尺寸进行计算。
MB
1、叠加原理：当梁在各项
A
荷载作用下某一横截面上
的弯矩等于各荷载单独作
用下同一横截面上的弯矩
的代数和。
2、区段叠加法作弯矩图：
设简支梁同时承受跨间荷
MB
载q与端部力矩MA、MB的作用 。其弯矩图可由简支梁受端部
力矩作用下的直线弯矩图与跨
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qA
q L3 24 E I
qa 3 3 EI
5 q4 E I
A
FA
qA
a2
12 EI
(3 F
4 qa )
5 qa 4 F a 3 yC y FA yqA 24 E I 6 E I
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
例题2：求图示梁C截面的挠度
§ 3 . 8 梁的强度计算
2)计算支座反力，做内力图
q=10 kN/m
FRB=30kN，FRD=10kNy
A
B
200
30
2m
200
yc
z
F=20 kN
D C
3m
1m
My
max
30
max
Iz
10103 158103 6010108
26.3MPa
max
t
40MPa
前情回顾：弯曲变形的度量 积分法
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
F q 例题1：叠加法求A截面的转角和C截面的挠度. 解：a)载荷分解如图 b)由梁的简单载
A
C
a
a
F
a
a
q
a
a
+
=
荷变形表(教材P112页)
查简单载荷引起的变形
FA
F L2 16 EI
Fa2
4 E I F L3
Fa3
y FC 4 8 E I 6 E I
§ 3 . 8 梁的强度计算
习题：铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用拉应力 [σt]= 40 MPa,许用压应力 [σc]=160 MPa。试按正应力强度条件校核
梁的强度。若载荷不变，但将T形横截面倒置，
200
即翼缘在下成为⊥形，是否合理？何故？
30
单 位 （ mm ）
200
q=10 kN/m B
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。
PF
A
C
B
DP
边界条件： y A 0 y B 0
yD 0 D 0
连续条件：y 左 y 右
C
C
C左
C右
变形计算、刚度条 件及超静定问题
§5.4 用叠加法计算梁的变形 §5.5 梁的刚度计算，提高刚度的途径 §5.7 超静定梁的解法
§ 5 . 4 叠加法计算弯曲变形
tg y
前情回顾：弯曲变形的度量 积分法
积分法计算梁的变形(EI为常数）
1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。
2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分 EIy(x) M (x)
EIy( x) M (x)dx C1
EIy ( x ) ( M ( x ) dx ) dx C 1 x C 2
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
梁上有分布载荷，集中力与集中力偶
Me
q
A
x
F
l
B
弯矩方程：M
Me
Fx
qx 2 2
Me
q
Me
q
A
x
F
l
A
M
F
x
Fs
B qx 2
M 1 2 M 2 Fx M 3 M e
弯矩的叠加原理----
M M1 M 2 M 3
梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下
q
解：1、载荷分解如图
A
C
2、查梁的简单载荷变形表
L/
L/
2
2
=
yCa
5(q 2 )L4 ; 384EI
yCb 0
A
q/ 2
C
3、叠加
L/
L/
yC yCa yCb yCa 0
2
2
(a)
q/
+
5(q 2)L4 5qL4 384EI 768EI
2
A
C
q/
L/
2L/
(b)
2
2
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
例题3：求图示梁B截面的挠度（EI 已知）。
解：1) 结构分解如图
A
2) 查梁的简单载荷变形表
L
C
q
a
B
=+
（a’）
q
q
（a）
A
L C
aB
C
B
M=qa2
M M1 M 2 M 3
梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下
的弯矩的代数和。
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
叠加法计算梁的变形
EI y M ( x)
y y1 y 2 y 3 M ( x ) M 1 M 2 M 3
y
y
1
y
2
y
3
y y1 y2y3
一、前提条件：线弹性、小变形
的弯矩的代数和。
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
梁上有分布载荷，集中力与集中力偶
Me
q
A
x
F
l
B
弯矩方程：M
Me
Fx
qx 2 2
EIy M ( x )
Me
q
A
x
F
l
E Iy 1 M 1 ( x )
E I y 2 M 2 ( x )
B
E I y 3 M 3 ( x )
弯矩的叠加原理----
mm4
2
6010cm4
§ 3 . 8 梁的强度计算
2)计算支座反力，做内力图
q=10 kN/m
FRB=30kN，FRD=10kNy
A
B
200
30
2m
F=20 kN
D C
3m
1m
200
yc
z
My
max
30
max
Iz
20103 230 158103
6010108
24MPa
max
F
C
y
四、挠曲线方程和转角方程
y = y（x） ……挠曲线方程 挠度向下为正；向上为负
y
挠度：横截面形心沿垂 直于轴线方向的位移 用“y” 表示
转角：横截面绕中 性轴转过的角度 用“” 表示
θ=θ(x) ……转角方程
由变形前的横截面转到变形后， 顺时针为正；逆时针为负。
五、挠度和转角的关系 y( x) y tg
二、叠加原理：各载荷同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等
于各载荷分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。
B (F1, F2,, Fn) B1(F1) B2 (F2) Bn(Fn)
yB (F1, F2,, Fn ) yB1(F1) yB2 (F2 ) yBn (Fn )
三、叠加法的适用性： 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查； 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
A
F=20 kN
30
D C
2m
3m
1m
§ 3 . 8 梁的强度计算
解 ： 1)计算T形界面的形心
和惯性矩
y 200
30
y 200 30 100 200 30 215
c
2 200 30
200
158mm
yc
z
30
112 30 2003 200 30 582
I zc
1
200
303
12
200 30215 158
t
40MPa
§ 3 . 8 梁的强度计算
2)计算支座反力，做内力图
q=10 kN/m
FRB=30kN，FRD=10kNy
A
B
200
30
2m
200
yc
z
My
max
30
max
Iz
20 103158103 6010 108
52.6MPa
max
c
160MPa
F=20 kN
D C
3m
1m