材料力学课件：梁弯曲变形的叠加法
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A
F=20 kN
30
D C
2m
3m
1m
§ 3 . 8 梁的强度计算
解 ： 1)计算T形界面的形心
和惯性矩
y 200
30
y 200 30 100 200 30 215
c
2 200 30
200
158mm
yc
z
30
112 30 2003 200 30 582
I zc
1
200
303
12
200 30215 158
t
40MPa
§ 3 . 8 梁的强度计算
2)计算支座反力，做内力图
q=10 kN/m
FRB=30kN，FRD=10kNy
A
B
200
30
2m
200
yc
z
My
max
30
max
Iz
20 103158103 6010 108
52.6MPa
max
c
160MPa
F=20 kN
D C
3m
1m
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
梁上有分布载荷，集中力与集中力偶
Me
q
A
x
F
l
B
弯矩方程：M
Me
Fx
qx 2 2
Me
q
Me
q
A
x
F
l
A
M
F
x
Fs
B qx 2
M 1 2 M 2 Fx M 3 M e
弯矩的叠加原理----
M M1 M 2 M 3
梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下
例题3：求图示梁B截面的挠度（EI 已知）。
解：1) 结构分解如图
A
2) 查梁的简单载荷变形表
L
C
q
a
B
=+
（a’）
q
q
（a）
A
L C
aB
C
B
M=qa2
的弯矩的代数和。
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
梁上有分布载荷，集中力与集中力偶
Me
q
A
x
F
l
B
弯矩方程：M
Me
Fx
qx 2 2
EIy M ( x )
Me
q
A
x
F
l
E Iy 1 M 1 ( x )
E I y 2 M 2 ( x )
B
E I y 3 M 3 ( x )
弯矩的叠加原理----
§ 3 . 8 梁的强度计算
习题：铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用拉应力 [σt]= 40 MPa,许用压应力 [σc]=160 MPa。试按正应力强度条件校核
梁的强度。若载荷不变，但将T形横截面倒置，
200
即翼缘在下成为⊥形，是否合理？何故？
30
单 位 （ mm ）
200
q=10 kN/m B
§ 3 . 8 梁的强度计算
2)计算支座反力，做内力图
q=10 kN/m
FRB=30kN，FRD=10kNy
A
B
200
30
2m
200
yc
z
F=20 kN
D C
3m
1m
My
max
30
max
Iz
10103 158103 6010108
26.3MPa
max
t
40MPa
前情回顾：弯曲变形的度量 积分法
q
解：1、载荷分解如图
A
C
2、查梁的简单载荷变形表
L/
L/
2
2
=
yCa
5(q 2 )L4 ; 384EI
yCb 0
A
q/ 2
C
3、叠加
L/
L/
yC yCa yCb yCa 0
2
2
(a)
q/
+
5(q 2)L4 5qL4 384EI 768EI
2
A
C
q/
L/
2L/
(b)
2
2
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。
PF
A
C
B
DP
边界条件： y A 0 y B 0
yD 0 D 0
连续条件：y 左 y 右
C
C
C左
C右
变形计算、刚度条 件及超静定问题
§5.4 用叠加法计算梁的变形 §5.5 梁的刚度计算，提高刚度的途径 §5.7 超静定梁的解法
§ 5 . 4 叠加法计算弯曲变形
tg Fra Baidu biblioteky
前情回顾：弯曲变形的度量 积分法
积分法计算梁的变形(EI为常数）
1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。
2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分 EIy(x) M (x)
EIy( x) M (x)dx C1
EIy ( x ) ( M ( x ) dx ) dx C 1 x C 2
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
F q 例题1：叠加法求A截面的转角和C截面的挠度. 解：a)载荷分解如图 b)由梁的简单载
A
C
a
a
F
a
a
q
a
a
+
=
荷变形表(教材P112页)
查简单载荷引起的变形
FA
F L2 16 EI
Fa2
4 E I F L3
Fa3
y FC 4 8 E I 6 E I
二、叠加原理：各载荷同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等
于各载荷分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。
B (F1, F2,, Fn) B1(F1) B2 (F2) Bn(Fn)
yB (F1, F2,, Fn ) yB1(F1) yB2 (F2 ) yBn (Fn )
三、叠加法的适用性： 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查； 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
mm4
2
6010cm4
§ 3 . 8 梁的强度计算
2)计算支座反力，做内力图
q=10 kN/m
FRB=30kN，FRD=10kNy
A
B
200
30
2m
F=20 kN
D C
3m
1m
200
yc
z
My
max
30
max
Iz
20103 230 158103
6010108
24MPa
max
F
C
y
四、挠曲线方程和转角方程
y = y（x） ……挠曲线方程 挠度向下为正；向上为负
y
挠度：横截面形心沿垂 直于轴线方向的位移 用“y” 表示
转角：横截面绕中 性轴转过的角度 用“” 表示
θ=θ(x) ……转角方程
由变形前的横截面转到变形后， 顺时针为正；逆时针为负。
五、挠度和转角的关系 y( x) y tg
M M1 M 2 M 3
梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下
的弯矩的代数和。
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
叠加法计算梁的变形
EI y M ( x)
y y1 y 2 y 3 M ( x ) M 1 M 2 M 3
y
y
1
y
2
y
3
y y1 y2y3
一、前提条件：线弹性、小变形
qA
q L3 24 E I
qa 3 3 EI
5 qL4
5 qa 4
y qC 3 8 4 EI 2 4 E I
A
FA
qA
a2
12 EI
(3 F
4 qa )
5 qa 4 F a 3 yC y FA yqA 24 E I 6 E I
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
例题2：求图示梁C截面的挠度
F=20 kN
30
D C
2m
3m
1m
§ 3 . 8 梁的强度计算
解 ： 1)计算T形界面的形心
和惯性矩
y 200
30
y 200 30 100 200 30 215
c
2 200 30
200
158mm
yc
z
30
112 30 2003 200 30 582
I zc
1
200
303
12
200 30215 158
t
40MPa
§ 3 . 8 梁的强度计算
2)计算支座反力，做内力图
q=10 kN/m
FRB=30kN，FRD=10kNy
A
B
200
30
2m
200
yc
z
My
max
30
max
Iz
20 103158103 6010 108
52.6MPa
max
c
160MPa
F=20 kN
D C
3m
1m
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
梁上有分布载荷，集中力与集中力偶
Me
q
A
x
F
l
B
弯矩方程：M
Me
Fx
qx 2 2
Me
q
Me
q
A
x
F
l
A
M
F
x
Fs
B qx 2
M 1 2 M 2 Fx M 3 M e
弯矩的叠加原理----
M M1 M 2 M 3
梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下
例题3：求图示梁B截面的挠度（EI 已知）。
解：1) 结构分解如图
A
2) 查梁的简单载荷变形表
L
C
q
a
B
=+
（a’）
q
q
（a）
A
L C
aB
C
B
M=qa2
的弯矩的代数和。
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
梁上有分布载荷，集中力与集中力偶
Me
q
A
x
F
l
B
弯矩方程：M
Me
Fx
qx 2 2
EIy M ( x )
Me
q
A
x
F
l
E Iy 1 M 1 ( x )
E I y 2 M 2 ( x )
B
E I y 3 M 3 ( x )
弯矩的叠加原理----
§ 3 . 8 梁的强度计算
习题：铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用拉应力 [σt]= 40 MPa,许用压应力 [σc]=160 MPa。试按正应力强度条件校核
梁的强度。若载荷不变，但将T形横截面倒置，
200
即翼缘在下成为⊥形，是否合理？何故？
30
单 位 （ mm ）
200
q=10 kN/m B
§ 3 . 8 梁的强度计算
2)计算支座反力，做内力图
q=10 kN/m
FRB=30kN，FRD=10kNy
A
B
200
30
2m
200
yc
z
F=20 kN
D C
3m
1m
My
max
30
max
Iz
10103 158103 6010108
26.3MPa
max
t
40MPa
前情回顾：弯曲变形的度量 积分法
q
解：1、载荷分解如图
A
C
2、查梁的简单载荷变形表
L/
L/
2
2
=
yCa
5(q 2 )L4 ; 384EI
yCb 0
A
q/ 2
C
3、叠加
L/
L/
yC yCa yCb yCa 0
2
2
(a)
q/
+
5(q 2)L4 5qL4 384EI 768EI
2
A
C
q/
L/
2L/
(b)
2
2
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。
PF
A
C
B
DP
边界条件： y A 0 y B 0
yD 0 D 0
连续条件：y 左 y 右
C
C
C左
C右
变形计算、刚度条 件及超静定问题
§5.4 用叠加法计算梁的变形 §5.5 梁的刚度计算，提高刚度的途径 §5.7 超静定梁的解法
§ 5 . 4 叠加法计算弯曲变形
tg Fra Baidu biblioteky
前情回顾：弯曲变形的度量 积分法
积分法计算梁的变形(EI为常数）
1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。
2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分 EIy(x) M (x)
EIy( x) M (x)dx C1
EIy ( x ) ( M ( x ) dx ) dx C 1 x C 2
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
F q 例题1：叠加法求A截面的转角和C截面的挠度. 解：a)载荷分解如图 b)由梁的简单载
A
C
a
a
F
a
a
q
a
a
+
=
荷变形表(教材P112页)
查简单载荷引起的变形
FA
F L2 16 EI
Fa2
4 E I F L3
Fa3
y FC 4 8 E I 6 E I
二、叠加原理：各载荷同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等
于各载荷分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。
B (F1, F2,, Fn) B1(F1) B2 (F2) Bn(Fn)
yB (F1, F2,, Fn ) yB1(F1) yB2 (F2 ) yBn (Fn )
三、叠加法的适用性： 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查； 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
mm4
2
6010cm4
§ 3 . 8 梁的强度计算
2)计算支座反力，做内力图
q=10 kN/m
FRB=30kN，FRD=10kNy
A
B
200
30
2m
F=20 kN
D C
3m
1m
200
yc
z
My
max
30
max
Iz
20103 230 158103
6010108
24MPa
max
F
C
y
四、挠曲线方程和转角方程
y = y（x） ……挠曲线方程 挠度向下为正；向上为负
y
挠度：横截面形心沿垂 直于轴线方向的位移 用“y” 表示
转角：横截面绕中 性轴转过的角度 用“” 表示
θ=θ(x) ……转角方程
由变形前的横截面转到变形后， 顺时针为正；逆时针为负。
五、挠度和转角的关系 y( x) y tg
M M1 M 2 M 3
梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下
的弯矩的代数和。
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
叠加法计算梁的变形
EI y M ( x)
y y1 y 2 y 3 M ( x ) M 1 M 2 M 3
y
y
1
y
2
y
3
y y1 y2y3
一、前提条件：线弹性、小变形
qA
q L3 24 E I
qa 3 3 EI
5 qL4
5 qa 4
y qC 3 8 4 EI 2 4 E I
A
FA
qA
a2
12 EI
(3 F
4 qa )
5 qa 4 F a 3 yC y FA yqA 24 E I 6 E I
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
例题2：求图示梁C截面的挠度