《自动控制原理》3-6线性系统的稳态误差分析
自动控制原理(3-4)
式中Φn(s)——系统的扰动误差传递函数。
Φn
(s)
=
1+
Gc
Go (s) (s)Go (s)H
(s)
=
Go (s) 1+ G(s)
五、给定稳态误差终值的计算
Er
(s)
1
1 G(
s)
R(s)
esr
lim e(t)
t
lim
s0
sEr
(s)
lim s s0 1 G(s)
R(s)
esr为给定稳态误差的终值；G(s)为开环传递函数。
Er
(
s)
1
1 G(s)
R(s)
e
(s)R(s)
假定输入信号r(t)是任意分段连续函数，则可以利用
卷积公式计算给定误差：
式中
t
er (t) 0e (t) r(t ) d
er
(t)
1
2
j
c j
E c j r
(
s)
e
st
ds
e
(t)
1
2
j
c j
3.对于给定输入为抛物线函数时
r(t) Rt 2 2
R R(s) s3
则
esr
lim
s0
1
s G(s)
R(s)
lim
s0
s2
R s2G(s)
R Ka
式中
Ka
lim s2 G(s) s0
Ka为加速度误差系数，或称抛物线误差常数。
自动控制原理 线性系统的误差分析
e ss =
α 1 + k + ∞ + ∞ = ∞ , β , = 0 + + ∞ = ∞ k γ γ 0+0+ = , k k
本章作业
P134 • 3-3(3) • 3-4(2) • 3-6 • 3-7 • 3-11 • 3-12(2) • 3-13 • 3-14 • 3-15 • 3-16 • 3-18
系统输入r(t)=(α+βt+γt2/2)1(t)，求0 型、Ⅰ型、Ⅱ型 例3.9 系统输入 α β γ ， 系统的稳态误差。 系统的稳态误差。 解：利用叠加原理，可得系统的稳态误差为： 利用叠加原理，可得系统的稳态误差为：
α β γ + + 1+ kp kv ka 0 型系统 Ι 型系统 Ι I 型系统
N(s)
例3.8 G 1 (s) =
250 2 , G 2 (s ) = s + 50 s(s + 1)
R(s) (-) -
C(s) G1(s) G2(s)
时系统稳态误差。 求r(t)=1(t)+2t, n(t)=-1(t)时系统稳态误差。 时系统稳态误差 解：r(t)作用时：Kp=∞, Kv=K=10, essr=0+2/10=0.2 。 作用时： 作用时 n(t)作用时： 作用时： 作用时
2( s + 50) = lim sE ( s ) = lim = 0.2 s →0 s →0 s( s + 50)( s + 1) + 500
• 对扰动作用来讲，减小或消除误差的措施： 对扰动作用来讲，减小或消除误差的措施：增大扰动作用点之 前的前向通路增益、增大扰动作用点之前的前向通路积分环节数。 前的前向通路增益、增大扰动作用点之前的前向通路积分环节数。 • 终值定理法不能表示稳态误差随时间变化的规律。 终值定理法不能表示稳态误差随时间变化的规律。
自动控制原理（北航）电子教案扰动下对稳态误差及减小稳态误差的措施（第10讲）
第10讲3.6 线性系统的稳态误差计算3.6.1 稳态误差的定义3.6.2 系统类型3.6.3 扰动作用下的稳态误差以上讨论了系统在参考输入作用下的稳态误差。
事实上，控制系统除了受到参考输入的作用外，还会受到来自系统内部和外部各种扰动的影响。
例如负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。
这种误差称为扰动稳态误差，它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。
对于扰动稳态误差的计算，可以采用上述对参考输入的方法。
但是，由于参考输入和扰动输入作用于系统的不同位置，因而系统就有可能会产生在某种形式的参考输入下，其稳态误差为零；而在同一形式的扰动作用下，系统的稳态误差未必为零。
因此，就有必要研究由扰动作用引起的稳态误差和系统结构的关系。
考虑图3-23的系统，图中)(s R 为系统的参考输入，)(s N 为系统的扰动作用。
为了计算由扰动引起的系统稳态误差，假设R(s)=0，则输出对扰动的传递函数为 （控制对象控制器）图3-23 控制系统N(s)C(s))()()(1)()()()(212s H s G s G s G s N s C s M N +== (3-71))()()(21s G s G s G = 由扰动产生的输出为)()()()(1)()()()(212s N s H s G s G s G s N s M s C N n +==(3-72)系统的理想输出为零，故该非单位反馈系统响应扰动的输出端误差信号为)()()()(1)()(0)(212s N s H s G s G s G s C s E n n +-=-=(3-73) 根据终值定理和式(3-73)求得在扰动作用下的稳态误差为)()()()(1)()(lim 2120s N s H s G s G s sG s sE e n s ssn +-==→ (3-74) 若令图3-23中的21)()(,)()(222111ννs s W K s G s s W K s G == (3-75)为讨论方便起见假设1)(=s H 则系统的开环传递函数为νs s W K s W K s G s G s G )()()()()(221121==(3-76)1)0()0(,2121==+=W W ννν。
3-6线性系统的稳态误差计算
m 1
m2
2
+ 2ζ kτk s +1) + 2ζlTs +1) l
∏(T s +1)∏(Ts
=
2
K ⋅ G0 (s) sν
sR(s) 1 essr = lim = = s→0 1+ G (s) 1+ limGk (s) k
s→0
1 1 = K 1+ Kp 1+ lim ν ⋅ G0 (s) s→0 s
三、扰动作用下的稳态误差(3) 扰动作用下的稳态误差(3) [例]系统结构图如图所示。当 r(t) = n(t) = 1(t) 系统结构图如图所示。 时，求系统的稳态误差 ess；若要求稳态误差 为零，如何改变系统结构。 为零，如何改变系统结构。 解：该系统对给定输入而言属于Ⅰ型系统。 该系统对给定输入而言属于Ⅰ型系统。 所以当给定输入为单位阶跃函数时的稳态误差 essr = 0
3、单位抛物线输入时的稳态误差
R(s) =
1 s3
sR(s) 1 essr = lim = = 2 s→0 1+ G (s) lims ⋅ Gk (s) k
s→0
1 1 = K Ka lim ν −2 ⋅ G0 (s) s→0 s
∞ 1 = K 0
Ka
根据
ν =0,1 ν =2 ν ≥3
m2
=
K ⋅ G0 (s) ν s
K－开环增益
系统型别（即积分环节的个数） ν − 系统型别（即积分环节的个数）
当ν =0，无积分环节，称为0型系统 无积分环节，称为0
当 = ，有一个积分环节，称为Ⅰ型系统 ν 1 有一个积分环节，称为Ⅰ
自动控制原理 自动控制原理 第三章3：线性定常系统的稳定误差计算P
∞ v R00 ess = K 0
ν =0 ν =1 ν ≥2
13
e ss
∞ R v 00 = K 0
ν = 0 ν = 1 ν ≥ 2
0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入 Ⅰ型系统能跟踪斜坡输入,但存在一个稳态位置误差 型系统能跟踪斜坡输入, Ⅱ 型及 Ⅱ 型以上系统 , 稳态时能准确跟踪斜坡输入 型及Ⅱ型以上系统, 信号,不存在位置误差. 信号,不存在位置误差.
( 3 66 )
K p : 静态位置误差系数
K G (s)H (s) = s
20102010-7-11
ν
∏1 i= ∏1 j=
n ν
m
(τ (T
i
s + 1) ,
j
n ≥ m
s + 1)
K
p
K ,ν = 0 = ∞ ,ν ≥ 1
10
第三章 线性系统的时域分析法
K
p
K ,ν = 0 = ∞ ,ν ≥ 1
2 s→ 0
K s v2
s→ 0
20102010-7-11
第三章 线性系统的时域分析法
17
误差系数 类型
静态位置误 差系数
Kp
静态速度误差 系数
Kv
静态加速度误 差系数
K
a
0型
K
∞ ∞
0
0
Ⅰ型
K
∞
0 K
Ⅱ型
20102010-7-11
第三章 线性系统的时域分析法
18
输入
类型
r(t ) = R0
R0 1+ K
e
ss
ν 与 K R (s)
系统型别 开环增益有关 输入信号
《自动控制原理》第三第讲
误差系数 Kp Kv Ka
单位阶跃 输入
r(t) = u(t)
单位速度 输入
r(t) = t
单位加速 度输入
r(t) = 1 t 2 2
0
K0 0
1 1+K
I
∞ K0
0
II
∞ ∞K
0
∞
∞
1
∞
K
1
0
K
1. 稳态误差与输入信号有关；与开环增益有关；与积分环节的个 数有关。
2. 减小或消除稳态误差的方法： a、增加开环放大系数K； b、提高系统的型号数;
R(s)
E(s) -
G1 ( s)
+ G2 (s) C(s)
H (s) (b)
通常，给定输入作用产生的误差为系统的给定误差
(E=R-HC)，扰动作用产生的误差为扰动误差。认为扰动输入时 系统的理想输出为零，故从输出端的误差信号为：
En
= C理想
− C实际
=
−C实际
=
−Cn
= − G2 1+ G1G2 H
=
lim sv+1R(s)
s→0
lim sv + K
s→0
由上式可见, ess 与系统的型号v﹑开环增益K及输入信号
的形式及大小有关，由于工程实际上的输入信号多为阶跃信号
﹑斜坡信号(即等速度信号) ﹑抛物线信号(即等加速度信号) 或者为这三种信号的组合, 所以下面只讨论这三种信号作用 下的稳态误差问题.
Ka
m
G(s)H (s)
=
K sv
∏ (τ is +1)
i =1
n−v
∏ (Tjs +1)
《自动控制原理》第三章 35 稳态误差计算
两种定义的联系： E ' ( s ) E ( s ) H (s)
H ( s ) 1时， E ( s ) E ' ( s )
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
3
1. 误差与稳态误差的定义…
e(t ) L1[ E (s)] L1[e (s) R (s)] L1[ R (s) ] 1 G(s)H (s)
3-6 线性系统的稳态误差计算 （Steady-state error）
稳定性 系统性能 动态性能
稳态性能 稳态误差
稳态性能
原理性误差 结构性误差 (附加稳态误差）
系统结构 输入类型、形式 摩擦，间隙 死区等非线性
能源与动力学院
第三章 线性系统的时域分析法
1
3-6 线性系统稳态误差计算
本节内容：
N(s)
C(s)
G2 (s)
H (s)
输出端误差定义
E'n
(s)
Cn(s)
G2(s)
1G1(s)G2(s)H(s)
N(s)
输入端误差定义
En(s)
Cn(s)H(s)
G2(s)H(S) 1G1(s)G2(s)H(s)
ets (t ) ess (t ) 稳态误差
ess ( )
Lim
s0
sE (s)
Lim
s0
1
sR (s) G(s)H
(s)
ess():终值误差 条件s： E(s)在右半平面及析 虚（ 轴原 上点 解除外）
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
4
1. 误差与稳态误差的定义…
例1
R(s) E(S)
误差与稳态误差的定义 系统的类型 输入作用下稳态误差计算 扰动作用下稳态误差 减小或消除稳态误差的措施
自动控制原理第三章
3-2 一阶系统的时域分析
用一阶微分方程描述的控制系统
3-2-1 一阶系统数学描述 RC电路 其微分方程为： 电路， 例如 RC电路，其微分方程为：
R + r(t) _ I
1 Cs
+ C c(t) _ C(s)
ɺ T c+c = r
其中：c(t) 为电路输出电压， 其中： 为电路输出电压， R(s) UR r(t) 为电路输入电压， 为电路输入电压， T=RC为时间常数 为时间常数 由原理图得系统结构图。 由原理图得系统结构图。 R(s) 当初始条件为零时，其传递函数为: 当初始条件为零时，其传递函数为 C ( s) 1 = Φ ( s) = 一阶惯性环节 R(s) Ts + 1
t − 1 2 c (t ) = t − Tt + T 2 1 − e T 2
误差： 误差：
(t ≥ 0)
t − e (t ) = r (t ) − c (t ) = Tt − T 1 − e T 2
(t ≥ 0)
跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 因此，一阶系统不能跟踪加速度输入。 因此，一阶系统不能跟踪加速度输入。
1 R
-
1 Ts
C(s)
6
3-2-2 一阶系统单位阶跃响应 系统输入： 系统输入：R(s ) = 1 系统输出： 系统输出：C ( s ) = Φ ( s ) R( s ) = 1 ⋅ 1 Ts + 1 s 1 T = − s Ts + 1 变换， Λ−1变换，得：h( t ) = 1 − e ,t ≥ 0 阶跃响应的特点： 阶跃响应的特点： 1 1) 在 t=0 时的斜率最大，为： 时的斜率最大，
自动控制原理3.6 线性系统的稳态误差
系统稳态误差是系统的稳态性能指标，是系统控 制精度的一种度量，它是控制系统设计中的一项重要 技术指标。 一、误差与稳态误差：
1、误差：被控量的希望值 c0(t )和实际值 c(t )之差：
(t) c0(t) c(t)
2、稳态误差：当 t 时系统误差的极限值：
二、给定输入下的稳态误差与静态误差系数：
1、阶跃
输
入下的esr与静
态位置误
差系数K
：
p
r(t) A 1(t)，R(s) A
s
esr
令K
p
lim sE(s)
s0
lim
s0
Gk
(s
lim
s0
)
1
s A
A
Gk s
esr
1
lim
As0
Gk
1 Kp
(
s)
0型：K p
ess
lim (t)
t
§3---6 稳态误差的分析计算
稳态误差的分析计算（续）
▲稳态误差是指在稳定条件下，加入输入信号后经 过足够长的时间，其瞬时响应已衰减到微不足道时， 稳态响应的期望值与实际值之差。因此，只有稳定 的系统讨论稳态误差才有意义。
●单位反馈系统的r(t)即为要求值：r(t) c0(t)
lim
s0
K
G0(s)
K
esr
A 1 K
1型：K p
lim
s0
K s
G0(s)
esr 0
1型以上：同1型一样ess 0
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
自动控制原理课件：线性系统的稳定性和稳态特性分析
上述系统在干扰作用消失后，能够恢复到 原始的平衡状态，或者说系统的零输入响应具 有收敛性质，则系统为稳定的。
由此可得到线性系统稳定的充分必要条件: 系统特征方程的所有根（系统的所有闭环极点），均位于复数s平面的左半部．
系统给定误差传递函数为
Er (s) R(s)
1 1 G(s)
1
1 K (0.5s 1)
s(s 1)(3s 1)
Er
(s)
s(s
s(s 1)(3s 1) 1)(3s 1) K (0.5s
1)
R(s)
esr
lim
s0
sEr
(s)
lim s
s0
s(s 1)(3s 1)
1
s(s 1)(3s 1) K(0.5s 1) s
3.3 劳斯稳定判据 线性系统稳定与否，取决于特征根的实部是否均为负值（复数s平面
的左半部）．但是求解高阶系统的特征方程是相当困难的．而劳斯判据，
避免解特征方程，只需对特征方程的系数进行代数运算，就可以判断系统
的稳定性，因此这种数据又称为代数稳定判据．
１．劳斯判据 将系统的特征方程写成如下标准形式
下面要讨论系统跟踪输入信号的精确度或抑制干扰信号的能 力．
这里讨论的稳态误差仅限于由系统结构、参数及输入信号的不 同而导致的稳态误差，不包含由于具体元件的灵敏性、温湿度影响所 带来的误差问题。
控制系统的输入包含给定输入和扰动量， 对应的控制系统的稳态误差也分为两类：
给定稳态误差
扰动稳态误差
Er (s) R(s) B(s) R(s) Er (s)Gc (s)Go (s)H(s)
《自动控制原理》第三章-3-5-稳态误差计算
伺服电动机
R(s)
E(s)
1
C(s)
-
s(s 1)
K 1, 1
r(t) 1(t),k p , ess 0
r(t) t, kv 1, ess 1
r(t)
1 2
t2, ka
0, ess
位置随动系统
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
14
4.扰动作用下稳态误差
R(s)
-
E(s)
R(s) E(s) 20
s4
N (s)
+
2
C(s)
s(s 2)
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
28
3-20
R
-
K1
U
K2 S(T1S 1)
C
G(s)
K1K 2
B
s(T1s 1)(T2s 1)
1 T2S 1
(s)
C(s) R(s)
T1T2 s 3
K1K2 (T2s 1) (T1 T2 )s2 s
1
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
7
3.输入作用下稳态误差计算
（1）阶跃作用下的稳态误差
r(t) R 1(t), R(s) R s
ess
Lim sR(s) s0 1 G(s)H (s)
Lim s1R(s)
s0
K Lim s
s0
1
R LimG(s)H (s)
Lim s R
s0
K Lim s
27
参考答案: Kp= ,kv=5,ka=0,essr=0.4，essn=-0.2
四、控制系统如图, r(t) 1 2t, n(t) 1(t), 试计算
自动控制原理实验报告--控制系统的稳定性和稳态误差
本科实验报告课程名称：自动控制原理实验项目：控制系统的稳定性和稳态误差实验地点：多学科楼机房专业班级：学号：学生姓名：指导教师：2012 年5 月15 日一、实验目的和要求：1．学会利用MATLAB 对控制系统的稳定性进行分析； 2．学会利用MATLAB 计算系统的稳态误差。
二、实验内容和原理：1．利用MATLAB 描述系统数学模型如果系统的的数学模型可用如下的传递函数表示nn n m m m a s a s b s b s b s U s Y s G ++++++==-- 11110)()()( 则在MATLAB 下，传递函数可以方便的由其分子和分母多项式系数所构成的两个向量惟一确定出来。
即num=[b 0,b 1 ,…, b m ]; den=[1,a 1,a 2 ,…,a n ]例2-1 若系统的传递函数为5234)(23+++=s s s s G 试利用MA TLAB 表示。
当传递函数的分子或分母由若干个多项式乘积表示时，它可由MA TLAB 提供的多项式乘法运算函数conv( )来处理，以获得分子和分母多项式向量，此函数的调用格式为 p=conv(p1,p2)其中，p1和p2分别为由两个多项式系数构成的向量，而p 为p1和p2多项式的乘积多项式系数向量。
conv( )函数的调用是允许多级嵌套的。
例2-2 若系统的传递函数为)523)(1()66(4)(232++++++=s s s s s s s s G试利用MA TLAB 求出其用分子和分母多项式表示的传递函数。
2．利用MATLAB 分析系统的稳定性在分析控制系统时，首先遇到的问题就是系统的稳定性。
判断一个线性系统稳定性的一种最有效的方法是直接求出系统所有的极点，然后根据极点的分布情况来确定系统的稳定性。
对线性系统来说，如果一个连续系统的所有极点都位于左半s 平面，则该系统是稳定的。
MATLAB 中根据特征多项式求特征根的函数为roots( )，其调用格式为r=roots(p) 其中，p 为特征多项式的系数向量；r 为特征多项式的根。
自动控制原理稳态误差
自动控制原理稳态误差
在自动控制原理中，稳态误差是指系统在达到稳态时，输出值与期望值之间的差异。
稳态误差的大小和系统的控制算法有关，常用的控制算法包括比例控制、积分控制和微分控制。
比例控制是最简单的控制算法，通过调整比例增益来控制系统的输出。
然而，比例控制往往会产生稳态误差。
当比例增益增大时，稳态误差会减小，但系统的稳定性可能会受到影响。
当比例增益调整得过大时，系统可能会变得不稳定。
为了降低稳态误差，可以采用积分控制。
积分控制通过对误差进行积分来调整系统的输出。
积分控制可以消除稳态误差，但会引入超调现象，导致系统的动态响应变差。
为了解决超调问题，可以采用微分控制。
微分控制通过对误差进行微分来调整系统的输出。
微分控制可以提高系统的响应速度，但可能导致系统的稳态误差增加。
为了综合利用比例控制、积分控制和微分控制的优势，可以采用PID控制。
PID控制是一种常用的自动控制算法，通过对误差进行比例、积分和微分操作来调整系统的输出。
PID控制可
以同时减小稳态误差和超调现象，提高系统的稳定性和响应速度。
综上所述，稳态误差是自动控制系统中常见的问题，可以通过调整控制算法的参数来减小稳态误差。
但需要根据具体的系统要求和性能指标来选择合适的控制算法和参数。
自动控制原理 第三章第5
2
（2）从输出端定义：
误差 E'(s) 等于系统希望输出量的希望值
Cr (s)与实际值C(s)之差。
E ' (s)
Cr
(s)
C(s)
1 H (S )
R(s)
C(s)
R(s)
1 Cr (s) H (s)
E(s)
G1 ( s)
N (s)
C(s)
G2 (s)
3
i 1
n
(Tj S 1)
j 1
S0 K S
K p
K
Kp
limG(s)H (s)
s0
G(0)H (0)
K s
Kp
K
Kv
lim sG(s)H (s)
s0
s
s
Kv 0
Kv
K
Kv
0 1 1
0 1
Ka
lim sG(s)H (s)
s0
s2
K s
KKaa
0 K
1 2
都跟系统的型别有关，下面按系统型别分类
输入信号
r (t )
1 2
t2
,
sin t，试求系统的稳态误差。
解：
当r (t )
1 2
t 2时
E(s)
e
(s)R(s)
1
R(s) G(s)
1
S3
1
1 TS
1 S2
1
S
1 T
反变换得：
e(t )
T
e2
1t T
T (t
T)
ess
lim e(t)
t
7
当r(t) sin t时，
自动控制原理第3章总结
一阶系统特点：
1. 响应曲线在[0，） 的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响
应称为非周期响应。无振荡 2.一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为0，以指数规律上升到终值1的
曲线。 3. ※实验中求取时间常数的方法--输出响应为0.632时对应的时间。 4.一阶系统可以跟踪单位阶跃信号，因为无稳态误差。
Td
n
2 1 2
ln( 1 )
p
2 (ln 1 )2
p
ts
3.5
n
ts
4.4
n
2.2 1 2
N
, 0.02
1.75 1 2
N
, 0.05
3-3 二阶系统的时域分析
3.3.4 二阶系统的动态性能指标 总结：
c(t) 1
1
1 2
ent
sin(dt ), t
0
c(t)
% e 1 2 100%
n s1j
j
j n 1 2
s1
0
s2
s1,2 j n (d) 0
0
j n 1 2
n
s2
s1,2 n j n 1 2
(e) 1 0
j
s1
s2
0
s1,2 n n 2 1 (c) 1
j
s1
s2
0
s1,2 n n 2 1
(f ) 1
3-3 二阶系统的时域分析来自s2 2n s n2 R C
2L
3-3 二阶系统的时域分析
3.3.1 二阶系统的数学模型
标准化二阶系统的结构图为：
R(s)
+﹣
n2
C(s)
s(s+2ξn)
n2
03 自动控制原理—第三章(2)
一,稳态误差的定义
1. 系统误差ε(t)定义为:系统响应的期望值c0(t)与实际值c (t)之差,即: ε (t ) = co (t ) c (t ) ε (s ) = co (s ) c(s ) 通常以偏差信号 R ( s ) H ( s ) C ( s ) 为零来确定希望值,即:
R (s ) H (s )CO (s ) = 0
3.6 系统稳态性能分析
评价一个控制系统的性能时,应在系统稳定的前提 下,对系统的动态性能与稳态性能进行分析.如前所 述,系统的动态性能用相对稳定性能和快速性能指标 来评价.而系统的稳态性能用稳态误差指标来评价, 即根据系统响应某些典型输入信号的稳态误差来评价. 稳态误差反映自动控制系统跟踪输入控制信号或抑 制扰动信号的能力和准确度.稳态误差主要与系统的 结构,参数和输入信号的形式有关.
上述三种误差系数定量地描述了系统在稳态误差与给定信号 种类和大小之间的关系,统称为系统静态误差系数. 4.控制系统的型别与无差度阶数 系统的开环传递函数可以看成由一些典型环节组成,即:
G K (s) = K sν
∏ (τ s + 1)∏ (τ
i =1 n1 i k =1 n2 j j =1 l =1
2.传递函数: Gc(s)=Kp(1+τds) 若偏差正处于下降状态,则 d τ d e (t ) < 0 dt 说明比例微分控制器预见到偏差在减小,将产生一个适当大小的控制 信号,在振荡相对较小的情况下将系统输出调整到期望值. 因此,利用微分控制反映信号的变化率(即变化趋势)的"预报"作 用,在偏差信号变化前给出校正信号,防止系统过大地偏离期望值和 出现剧烈振荡的倾向,有效地增强系统的相对稳定性,而比例部分则 保证了在偏差恒定时的控制作用. 可见,比例—微分控制同时具有比例控制和微分控制的优点,可以根 据偏差的实际大小与变化趋势给出恰当的控制作用. PD调节器主要用于在基本不影响系统稳态精度的前提下提高系统的相 对稳定性,改善系统的动态性能.
自动控制原理
3-6 线性系统的稳态误差计算把在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统，称为无差系统；把具有原理性稳态误差的系统称为有差系统。
非线性因素引起的系统稳态误差称为附加稳态误差，或结构性稳态误差。
习惯上常把系统在阶跃输入作用下的稳态误差称为静差。
因而，0型系统可称为有（静）差系统或零阶无差度系统，一型系统可称为一阶无差度系统，二型系统可称为二阶无差度系统。
4-3 广义根轨迹2、附加开环零点的作用增加开环零点也就是增加了闭环零点，闭环零点对系统性能的影响，相当于减小闭环系统的阻尼，从而使系统的过渡过程有出现超调的趋势，并且这种作用将随闭环零点接近坐标原点的强度而加强。
4-4 系统性能的分析1、 闭环零极点与时间响应经验指出，如果闭环零、极点之间的距离比它们本身的模值小一个数量级，则这一对闭环零、极点就构成了偶极子。
在略去偶极子和非主导零、极点的情况下，闭环系统的根轨迹增益常会发生改变，必须注意核算，否则将导致性能的估算错误。
闭环系统零、极点位置对时间响应性能的影响，可以归纳为以下几点：（1） 稳定性。
如果闭环极点全部位于s 左半平面，则系统一定是稳定的，即稳定性只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关。
（2） 运动形式。
如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极点，则时间响应一定是单调的；果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。
（3） 超调量。
超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率1//d σωξ=，并与其他闭环零、极点接近坐标原点的程度有关。
（4） 调节时间。
调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实部绝对值1n σξω= ；如果实数极点距虚轴最近，并且它附近没有实数零点，则调节时间主要取决于该实数极点的模值。
（5） 实数零、极点影响。
零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；极点增大系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。
它们的作用，随着其本身接近坐标原点的程度而加强。
（6） 偶极子及其处理。
第三章自动控制原理作业参考答案2
G(s) 6s 4 s 2 (s 4)
3-9 一单位反馈控制的三阶系统，其开环传递函数为G(s)， 如要求：（1） 由单位斜坡函数输入的稳态误差等于2
（2）三阶系统的一对主导极点为：s1,2 1 1 j
求同时满足以上要求的系统开环传递函数G(s)
3-15 已知系统的特征方程如下，试用劳斯判据检验其稳定性
有纯虚根，临界稳定
3-16 根据下列单位反馈系统的开环传递函数，确定使系统 稳定的K值范围。
(1)G(s)
K
(s 1)(0.1s 1)
K 0
(2)G(s) K s 2 (0.1s 1)
系统不稳定
(3)G(s)
K
s(s 1)(0.5s 1)
0K 3
(1)s 4 2s3 8s 2 4s 3 0
稳
(2)s 4 2s3 s 2 4s 2 0
不稳，两个正根
(3)s5 s 4 3s3 9s 2 16s 10 0
不稳，两个正根
(4)s6 3s5 5s 4 9s3 8s 2 6s 4 0
s3 4s2 6s 4 0
求三阶开环传递函数G(s)，使得同时满足上述要求
解：分析：满足第一个条件，系统必须是Ⅰ型以上系统。
由特征方程： 1 G(s) 0 与给定特征方程对比：
s3 4s2 6s 4 0
满足条件的G(s)： G(s)
Hale Waihona Puke 4s(s 2 4s 6)
第三章作业参考答案
3-6 系统框图如图所示，试计算在单位斜坡输入下的稳态误 差。如在输入端加入一个比例微分环节，试证明当适当选 取a值后，系统跟踪斜坡输入的稳态误差可以消除。
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Step Response
1.8
N(s)
1.6
R(t) E(s)
G1 ( s)
+ G2(s)
C(s)
-
1.4
B(s)
H (s)
1.2
System: untitled2 Settling Time (sec): 6.81
理想值
System: untitled2
Final Value: 1
1
Amplitude
-
b(t)
N(s) C(t)
+ G2 (s)
e’(t) -
C(s)
式中： r(t)为给定输入；
B(s)
H (s)
b(t)为系统主反馈信号。
图 典型反馈系统结构图
H（s）是测量装置的传递函数（通常我们认为是理想的），故
此时误差就是给定输入与测量装置的输出量之差。
2020/4/11
误差的定义
“希望值”的基本概念：
给定输入量变化时，要求系统输出量以一定的精度跟 随输入量的变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态 性能。给定输入量不变时，需要分析输出量在扰动作用下 所受到的影响，因而用扰动稳态误差来衡量系统的稳态性 能。
2020/4/11
原理性误差、给定稳态误差、扰动稳态误差。
>> step(feedback(tf(1*[0.0,1],conv([1,1],[1.67,1])),1),0:.01:35)
一
从系统输出端定义的稳态误差，概念清晰，
பைடு நூலகம்
物理意义明确，也符合基本定义，但在实际
系统中 无Cr法(t) 测量，因而，一般只有数学意
义。而从系统输入端定义的稳态误差，它在
系统中是可以测量的，因而具有实用性。对
于单位反馈系统，要求输出量C(t)的变化规律
与给定输入r(t)的变化规律一致，所以给定输
入r(t)也就是输出量的希望值 ，即
典型系统结构如图所示，其误差定义有两种形式： E'(s) E(s) H (s)
（1）输出端定义法：e’ (t)C r(t)C (t)
式中：Cr (为t) 系统输出量的希望值；
C(t)为输出量的实际值。
R(t)
r(t)
（2）输入端定义法：e(t)r(t)b(t)
Cr (t)
1/H(s)
e(t)
E(s) G1(s)
从图形中体会误差和稳态误差
Time (sec)
阶跃响应：稳态误差为零
20
>>t=0:.01:20; 18 >>u=t;
斜坡响应：稳态误差为常数
Linear Simulation Results
16 >>lsim(feedback(tf(5*[0,1],conv([1,0],[1.67,1])),1),u,t)
第三章 线性系统的时域分析法
3-6 线性系统的稳态误差分析
项目
内容
教 学 目 的 理解稳态及稳态误差的概念，掌握其计算方法和
计算结果，进而熟悉减小或消除稳态误差的措施。
教 学 重 点 稳态误差系数定义和典型输入信号作用下的稳态
误差，即表3－5 ；减小或消除稳态误差的措施。
教 学 难 点 广义（动态）误差的概念和广义（动态）误差系
数的计算方法，各种补偿措施。
讲授技巧及注 意事项
表达式推导、图形显示和表格总结相辅相成。
2020/4/11
稳定性、过渡过
程性能(动态性能)和 稳态性能是我们分析
系统、评价系统、改
善系统时所用的三类 重要衡量标准。
2020/4/11
3-6 控制系统的稳态误差
系统响应的稳态分量(例如t>ts的输出分量）反映了系 统跟踪给定控制信号或希望输出信号的准确度或抑制扰动 信号的恢复能力。通常用稳态误差来衡量。它与系统本身 的结构、参数及外作用的形式有关，也与元件的不灵敏、 零点漂移、老化及各种传动机械的间隙、摩擦等因素有关。 本书只讨论由于系统结构、参数及外作用等因素所引起的 稳态误差，即原理性误差。 ➢ 给定稳态误差（由给定输入引起的稳态误差） ➢ 扰动稳态误差（由扰动输入引起的稳态误差）
误差
14
输入（理想值）
12
Amplitude
10
K=5
8 6 4 2
K=0.3
K=1
G KTds1 s1.67s1
Td 0
阶跃响应
0
0
2
4
6
2020/4/11
从图形中体会误差和稳态误差
8
10
12
14
16
18
20
Time (sec)
一、稳态误差的定义和基本概念
系统的误差 e(t)的基本定义为输出量的希望值与实际值之差。
0.8 System: untitled1
Settling Time (sec): 2.86 0.6
System: untitled1 Final Value: 0.909
System: untitled4 Final Value: 0.5
0.4
System: untitled4
Settling Time (sec): 2.49
0.2
>> step(feedback(tf(10*[0.0,1],conv([1,0],[1.67,1])),1),0:.01:35)
>> step(feedback(tf(10*[0.0,1],conv([1,1],[1.67,1])),1),0:.01:35)
0
0
5
10
15
20
25
30
35
2020/4/11
希望情况下偏差信号E(S)＝0，R (s)C r(s)H (s) 则系统在输入信号作用下的希望输出为：
Cr
(s)
1 H(s)
R(s)
希望的状态
E(s) 0
对于扰动信号N(s)而言,希望的情况就是扰动 信号引起的输出为0（R=0，E=0）,即系统的 希望输出Cn(t)一点都不受扰动的影响。
总2之020：/4/11C h o p eC r(s)C n(s)C r(s)H 1 (s)R (s)
。
此时Cr，(t) 上述两种Cr定(t) 义r(统t) 一为
e(t)= r(t) - c(t)
2020/4/11
一
说明
对于非单位反馈系统，若设定义1的误差为 E’(s), 定义2的误差为E(s)，则E(s)与E’(s)的关系如下：
E' (s) E(s) H (s)
可见，两种定义对非单位反馈系统是存在差异的， 但两种定义下的误差之间具有确定的关系，即误差 E’(s)可以直接或间接地由 E(s)来确定。从本质上 看，它们都能反映控制系统的控制精度。在本书以 后的讨论中，将采用第二种误差定义。 E(t)通常也 称为系统的误差响应，它反映了系统在输入信号和 扰动信号作用下整个工作过程中的精度。误差响应 中也包含有瞬态分量和稳态分量两个部分，如果所 研究的系统是稳定的，那么当时间t趋于无穷大时， 瞬态分量趋近于零，剩下的只是稳态分量。