连续体的振动

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第四章连续体的振动

第四章连续体的振动拉格朗日（grange):1762年建立了离散系统振动的一般理论．对连续系统研究最早的是弦线的振动达朗贝尔（J.le R.d’Alembert)1746年用偏微分方程得到弦线振动的波动方程，并求出行波解伯努利（D.Bernoulli)1753年用无穷多个模态叠加的方法得到了弦线振动的驻波解1759年拉格朗日（grange):从驻波解推得行波解1811年傅里叶提出函数的阶数展开理论，给出严格的数学证明‘其它连续系统的振动问题也相继得到研究伯努利（D.Bernoulli)1744-1751年研究了梁的横向振动，导出了自由.简支和固定端的频率方程和振型函数奇拉尼（E.F.F.Chladni):1802年研究了杆的轴向和扭转振动．本章只讨论理想弹性体的振动理想弹塑性体满足以下假设条件①各向同性；②均质分布；③服从虎克定律§4.1 弦的振动T (,)q x t 讨论两端受到张力拉紧的弦，弦上还受到横向干扰力的作用(,)q x t yxdxxdm Adsρ=第四章连续体的振动设弦的密度为ρ（质量/单位体积）假设小变形，弦力不随挠度变化。

则弦上的任意一点的位移y 应为位置x 与时间t 的函数，即(,)y y x t =22()()dm Ads A dx dy Adxρρρ==+≈(,)(,)y x t x t tg xθθ∂=≈∂y [,]x x dx +沿方向作用在微小区间的外力之和为(,)[(,)](,)(,)(,)(,)x t T x t dx T x t q x t dxxx t T dx q x t dxxθθθθ∂+-+∂∂=+∂根据牛顿第二定律，弦的单元微段ds 沿y 方向的运动微分方程为：22(,)(,)(,)y x t x t Adx T dx q x t dx txθρ∂∂=+∂∂(,)(,)y x t x t xθ∂=∂代入得：2222(,)(,)(,)y x t y x t A T q x t t xρ∂∂=+∂∂22222(,)(,)1(,)y x t y x t c q x t t x Aρ∂∂=+∂∂Tc A ρ=设代入得：C 为波沿长度方向的传播速度(,)()()()sin()n y x t Y x H t Y x t ωϕ==+如无干扰力作用时，22222(,)(,)y x t y x t c t x∂∂=∂∂——称为波动方程弹性体系统作某阶主振动时，其各点也应当作同样的频率及相位运动，各点也应当同时通过静平衡位置和到达最大偏离位置，即系统具有一定的与时间无关的振型()Y x 为振型函数2222222(,)()sin()(,)()sin()nn n y x t Y x t t y x t d Y x t xdx ωωϕωϕ⎧∂=-+⎪⎪∂⎨∂⎪=+⎪∂⎩得2222()()sin()sin()n n n d Y x Y x t c t dx ωωϕωϕ-+=+()sincosnnY x A x B xc c ωω=+(,)(sin cos )sin()n nn y x t A x B x t c cωωωϕ=+⋅+2222()()0n d Y x Y x dxcω+=故,,,n A B ωϕ4个待定常数，可由弦的边界条件及振动的两个初始条件来确定。

第十二次课第四章连续体的振动

第四章连续体的振动§4.2 杆的纵向振动例：有一根 x =0 端为自由、x =l 端处为固定的杆，固定端承受支撑运动 td t u g ωsin )(=d 为振动的幅值试求杆的稳态响应。

l x 0)(t u g §4.2 杆的纵向振动解： l x 0t d t u g ωsin )(=方程建立 dx u dx x u u u g ∂-∂+)(22xu Sdx ∂∂ρdx x F F ∂∂+F 微段分析应变： xu u dx u dx x u u u g g ∂-∂=-∂-∂+=)(])([ε内力： xu u ES ES F g ∂-∂==)(ε达朗贝尔原理： F dx F F u Sdx -∂+=∂)(2ρ),(t x u 杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移 22)(u u ES u S g -∂=∂ρl x 0td t u g ωsin )(=令：代入方程： 2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρg u u u -=*g u u u +=*即： **''g Su ESu Su ρρ-=-2sin Sd tρωω=-设解为： ∑∞==1*)()(i i i t q x u φ)(x i φ为归一化的正则模态 ,...5,3,1,2cos 2)(==i x li l x i πφ代入方程，得： tSd ESq q S i i i i i ωωρφφρsin )(2,...5,3,1''=-∑∞=l x0t d t u g ωsin )(=2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρgu u u -=*∑∞==1*)()(i i i t q x u φ,...5,3,1,2cos 2)(==i x l i l x i πφtSd ESq q S i i i i i ωωρφφρsin )(2,...5,3,1''=-∑∞= )(x j φ用乘上式，并沿杆长积分：⎰∑⎰⎰=-∞=lj i l j i i l j i idx t Sd dx ES q dx S q 0210''0sin )(φωωρφφφφρ 利用正交性： t d i l l q q i i i i ωωπωsin )1(2222/)1(2--=+l x 0td t u g ωsin )(=2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρg u u u -=*∑∞==1*)()(i i i t q x u φ,...5,3,1,2cos 2)(==i x li l x i πφt d i l l q q i i i i ωωπωsin )1(2222/)1(2--=+ 模态稳态解： t d i l l q i i i i ωπηωωsin )1(222/)1(22--=2)/(11i i ωωη-=t lx i d i E l u i i i ωπηπωρsin 2cos )1(16,...5,3,132/)1(322*∑∞=--=l x 0td t u g ωsin )(=2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρg u u u -=*2)/(11i i ωωη-=t lx i d i E l u i i i ωπηπωρsin 2cos )1(16,...5,3,132/)1(322*∑∞=--=t d l x i i E l u u u i i i gωπηπωρsin 2cos )1(161 ,...5,3,12/)1(3322*⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=∑∞=-小结1. 建立动力学方程2. 根据边界条件求解固有频率和模态3. 变量分离4. 代入动力学方程，并利用正交性条件得到模态空间方程5. 物理空间初始条件转到模态空间6. 模态空间方程求解7. 返回物理空间，得解)()(),(1t q x t x u i i i φ∞=∑=)(2t Q q q j j j j =+ω )(,x i i φω)0(),0(j j q q )(t q j )()(),(1t q x t x u i i i φ∞=∑=物理空间问题模态空间问题 )()(),(1t q x t x u i i i φ∞=∑=模态叠加法§4.3圆轴的扭转振动取圆轴的轴心线作为x 轴，图示轴任一 x 截面处的转角表示为θ(x ,t ) 。

第七章弹性连续体振动的准确解

179第七章弹性连续体振动的准确解实际的振系都是弹性连续体系统，在很多情况下只是为了使问题简化，计算简便，才把它们简化成前几章所讨论的有限多的离散系统来分析。

当需要对弹性体振动问题作严密的分析时，这时就需要作为连续系统来处理。

弹性连续体问题与离散体问题有不同的特点，弹性连续体的质量、刚度、阻尼是连续分布的，因之具有无限多个自由度，需用无限多个点的独立坐标来表确定，其运动微分方程需要用偏微分方程来描述，而离散体在力学模型上具有明显的集中质量和不计质量的弹性元件，其自由度有限，运动以与自由度个数相等的二阶常系数微分方程来描述。

尽管如此，但两类问题在物理本质上是相同的，若把连续系统的质量分段聚集到有限个点上，各点之间用弹性元件连接起来便成为连续体，反之，离散系统当其质点数趋于无限多时就成为连续体，它们之间有相同的动力特性。

n 自由度连续体系统有n 个固有频率及主振型，而连续体则有无限多个固有频率及主振型，连续体中也存在各个主振型之间关于质量矩阵、刚度矩阵的正交性，对弹性体的响应分析，主振型迭加法有效。

本章将研究具有以下三个条件的理想弹性连续体振动问题的求解：1.材料是均匀的，具有各向同性；2.应力不超过弹性极限、并服从虎克定律；3.变形是微小的且是连续的。

具体是一维弹性体：轴、杆、梁等。

至于其它类弹性连续体如板、壳等的振动问题，因涉及到弹性力学知识，本章将不予讨论。

7-1弦的横向振动先研究最简单的弦的横向振动问题。

设有理想柔软的细弦张紧在两个固定点之间，张力为T 0，跨长为L ，弦的单位体积的质量为ρ，橫截面面积为A ，如图7-1所示。

建立xoy 坐标系如图示，以y （x ，t ）表示弦的位移，向上为正，由于是微振动，位移很小，弦的张力变换可忽略不计，即在整个振动过程中T 0保持不变。

在弦上x 处取一微段dx ，其质量dm ＝ρAdx ，在任一微段两端作用着大小相等方向不同的张力T 0，根据牛顿运动定律，得2200sin )sin(tyAdx T dx x T ∂∂=-∂∂+ρθθθ由于微振动，有dx dy tg /sin =≈≈θθθ180故有2200)(ty Adx T dx x T ∂∂=-∂∂+ρθθθ代入x y∂∂=θ，简化后，即为 22220ty A x y T ∂∂=∂∂ρ 或写成22222t y a x y ∂∂=∂∂ （7-1）式中AT a ρ0=称为波沿弦长度方向传播的速度。

无限自由度体系振动(第15讲,11月23日)

=0
频率方程
cos λl cosh λl +1= 0
解得：解得：当 i=1,2,3时 λ1l =1.875 时
λ2l = 4.694
λ3l = 7.855
2i −1 当 i ≥ 3时 λil ≈ π , (i = 3,4,⋯ ) 2 EI 2 各阶固有频率： ωi = (λil) 各阶固有频率： , (i =1,2,⋯ ) 4 ρSl
0
y
x
φ(0) = 0 φ′′(0) = 0 φ(l) = 0 φ′′(l) = 0
A =0 4
A = A =0 1 3 A sin λl + A sinh λl = 0 2 4 −A sin λl + A sinh λl = 0 2 4
频率方程：频率方程： sin λl = 0
iπ 2 EI , (i = 1,2,⋯ ) 固有频率：固有频率： ωi = ( ) l ρS ω2 2 EI 4 ϕ(x) = A cos λx + A2 sin λx + A3 cosh λx + A4 sinh λx λ = 2 a0 = 1 a0 ρS
再来看空间方程
ϕ '''' ( x ) − λ ϕ ( x ) = 0
4
假定解的形式为：假定解的形式为：
ϕ ( x ) = De
由此可得：由此可得：
αx
α = ± λ , ± iλ
无限自由度体系的振动 / 单跨梁的横向弯曲自由振动
于是可得：于是可得：
ϕ ( x ) = D1eiλ x + D2e −iλ x + D3eλ x + D4 e− λ x
无限自由度体系的振动 / 单跨梁的横向弯曲自由振动

连续系统振动(a)-杆的纵向振动

令： a0 F / A
2015年1月24 日并考虑到：《振动力学》
2 y 达朗贝尔 Adx 2 t 惯性力
y x
2 2 y 1 2 y a p ( x, t ) 弦的横向强迫振动方程 0 2 2 t x
a0 弹性横波的纵向传播速度
9
连续系统的振动 / 一维波动方程
( l ) 0 l cos 0 a0
u (l , t ) 0 x
频率方程
零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移 x x 2015年1月24日 u ( x , t ) ( x ) q (t ) ( x ) c1 sin c2 cos 《振动力学》 a0 a0
2015年1月24日《振动力学》
( x) (t ) q 2 a0 （常数） q(t ) ( x)
13
连续系统的振动 / 杆的纵向振动记： 2
(t ) q 2 ( x) a0 q(t ) ( x)
''
q (t ) 2 q (t ) 0 2 ( x) ( a ) ( x) 0 0
i 1
2015年1月24日《振动力学》 15
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
几种常见边界条件下的固有频率和模态函数
（1）两端固定特征：两端位移为零边界条件： u(0, t ) (0)q(t ) 0
0 l
x
u(l , t ) (l )q(t ) 0
q(t )
不能恒为零
u ( x , t ) ( x ) q (t ) 19
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
0 l
x
0 l
x

第十三次课第四章连续体的振动

§4.4 梁的弯曲振动
C1 (cos l cosh l ) C2 (sin l sinh l ) 0 C1 (cos l cosh l ) C2 (sin l sinh l ) 0
cos l cosh l C1、C2 非零解条件： sin l sinh l
(3)
分部积分： j dx 0 j (EIi)dx j (EIi) 0 j (EIi) 0 0 EIi dx （4） (EI )dx EI dx S dx （5）代入（3）式，有： EI dx S dx 同理， (2)式两边乘 i 并沿梁长积分可得： EI l
y
0
x
解得：当 i 0 时
2 模态函数： i ( x) cos i x cosh i x i (sin i x sinh i x), (i 1,2,)
其中： i
0l 0 对应刚体模态当 i=1,2,3时 1l 4.730 2l 7.853 3l 10.996 1 i 3 当时 i l (i ) , (i 3,4,)
y ( x, t ) ( x)q (t )
固定端： (0) 0
y
(0) 0
0
k1
弹性支撑端： EI (l ) k2 (l ) EI (l ) k1 (l )
k2
l
x
由固定端条件解得：C1 C3 , C2 C4 由弹性支撑固定端条件解得：

4
2
2 a0
EI a S
2 0
§4.4 梁的弯曲振动
y
(0) 0

第七章连续体振动讲诉

五、超声波的特点（2）
• 容易衰减（在液体和固体中衰减较小） • 传播速度受温度影响 • 在两种不同介质的界面处反射强烈，在许多场合必须使用耦合剂或匹配材料。 • 超声波可以聚焦。
六、超声波的产生机制
• • • • • 电磁振动磁致伸缩效应压电效应静电引力其它形式的机械振动
超声波效应
梁的弯曲振动方程为：
梁弯曲振动方程的解的一般形式就可以表示成：
对于两端固定的梁，其固定边界处位移为零，同时位移曲线在边界处的斜率也为零，因此：
其特征值方程为：
其解αl不能解析表达出来，但当n＞3时，可近似表达为：
梁弯曲振动的固有频率为 n
两端自由梁，弯曲振动的边界条件为：

超声波的类型
• • • • 纵波横波表面波板波
纵波横波超声波分类表面波板波超声波在均匀介质中传播
纵波：质点振动方向和波的传播方向在同一条直线上的传播的波称为纵波。也称压缩波或疏密波。
一、超声波分类
横波：质点振动方向和波的传播方向相垂直的波称为横纵波。也称切变波。横波只能在固体材料中传播。
由于液体和气体介质没有刚性，不能承受切应力，横波和表面波不能在液体和气体中传播，只有纵波可以在液体气体中传播。
三、超声波声速
纵波在液体气体中声速
C K
结论： 1、介质弹性性能愈强（E越大），密度愈小，则超声波在该介质中传播声速愈高； 2、在同一种介质中，纵波声速约为横波的2倍，横波声速约为表面波0,9 倍； 3、在液体和气体介质中只能传播纵波。
四、超声波传播时相遇
4、惠更斯原理在连续介质中传播波的波前所有各点，都可以看作是发射子波的波源，经过一段时间后，这些子波波前新位置的包络线决定新的波阵面。这就是惠更斯原理。

连续系统的振动振动力学课件

(l )q(t )
C1
sin
l
a
2 q(t )
q(t) A cos(t )
q(t) A2 sin(t ) 2q(t)
2u t 2
(l)q(t)
C1 sin
l
a
2 q(t )
代入
EA u(l,t) W x g
2u(l, t 2
t
)
ku(l
,
t
)
0
2
EA cos l q t W 2 sin l q t k sin l q t 0
u(x, 0) u(x) u(x, 0) u(x) 确定
2.两端自由
特征：两自由端轴向力为零
即 FN (0,t) 0 FN (l,t) 0
EA u(0,t) 0, x
EA u(l,t) 0, x
'(0)qt 0
'(l)qt 0
' (0) 0
' (l) 0
2.两端自由
' (x)
W gkl 2
Eg
EA kl
W
lA
tan
a
l
EA
a
W 2 k
g
EA ( l)
lk a
Wa2 gkl 2
a
l
2
1
l
a
( l)2
a
1
讨论：（1）
W 0 右端只有弹簧k，
频率方程
tan l (l )
a
a
tanu u作图法得出
（2） W 0 k 0 即自由端情形
频率方程 cos l 0
2. 弹性弦横向振动
微段分析
以变形前弦的方向为 x轴，

哈工程振动噪声--第4章连续体振动

2 2 ( ,t) x,(tx ),t ) ( x , t( )x GI J1 J p p 2 t 2t 2 GI x x x 0 x l x 0 x l
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page 9
i a i i l l
授课人——柳贡民
E

2016年9月7日星期三
(i 1, 2, )
动力与能源工程学院 College of Power and Energy Engineering
第四章连续体振动
§4.2 杆的纵振
由于U（x）幅值的任意性，对应于ωi的振型可取 i x U i cos l 令i=1、2、3，分别代入前两式，求得前3个非零阶固有频率和相应的主振型，即
应力为零
左端边界条件
u u0, t 0 x u 0 x
u ku EA x 2u u m 2 EA t x
2016年9月7日星期三
右Байду номын сангаас边界条件
ul , t 0
F AE
u 0 x
u ku EA x
2u u m 2 EA t x

a
x D cos

a
x) sin(t )
动力与能源工程学院 College of Power and Energy Engineering
2016年9月7日星期三
第四章连续体振动
§4.2 杆的纵振
在实际应用中，边界条件一般很难确定。杆的几种典型边界条件是：杆端条件固定端自由端
第四章连续体振动
§4.2 杆的纵振
利用分离变量法，设 ux, t U x Gt 代入上述一维波的方程，得到即

振动理论10连续体系统

连续体系●系统具有连续分布的质量和弹性●物体内材料均匀，各向同性，弹性极限内服从胡克定律●弹性体具有无限多的自由度⏹需要无限多的坐标指定弹性体中任一点的位置●弹性体自由振动可以看成主振型或者正则振型的叠加●对于正则振型的振动，每个颗粒都做简谐振动⏹其频率是相应频率方程的根⏹各颗粒同时经过各自的平衡位置⏹如果物体的运动起始时的弹性曲线精确与每个主振型一致，物体将仅作主振动⏹爆炸或者外力的突然移除导致的弹性曲线，通常与主振动不一致，因而会激起所有振型的振动●在很多情况下，可以通过适当的初始条件激起某个特定的主振型●对于连续质量分布的系统的受迫振动，通过振型叠加法，可以使其转变为有限自由度的系统进行分析●常常把约束作为结构的附加支承来处理⏹会改变系统的主振型●用于表征系统变形的振型不需要一定是正交的●存在使用非正交函数的系统合成⏹例如在进行颤振计算时，为了避免质量变化引起正交振型改变时导致气动力的重新计算，可采用非正交振型，在每次计算中，保持振型不变，而重新计算非对角形式的广义质量矩阵弦的振动●一个柔软的弦，单位长度的质量为，在拉力作用下被张紧●假定其横向挠度很小，挠度引起的张力变化也很小，可以忽略不计●考虑单元长度为的一段弦的受力●挠度和斜率均很小●向的运动方程为●弦的斜率⏹波的扩展速度●一般解可以表示成如下的形式⏹和为任意函数●不管函数的类型如何，对变量微分将得到●如果做变量代换●注意到●简化后●积分两次⏹分量波以速度沿着轴方向移动⏹分量表示波以速度沿着轴方向移动⏹看成是波扩展的速度.●这一方法称为行波法10分离变量法●假定解具有分离变量的形式●代入微分方程后可得●方程左边各项与无关，方程右边各项与无关，因此两边必须是常数●令这个常数为, 得到两个常微分方程●其通解为⏹其中的待定常数, , , 由边界条件和初始条件确定●例题两端固定的张紧的弦，长度为边界条件为●由●由为波长; 为振动频率的每个值代表一个主振动模态固有频率为●振型为如下的正弦函数●由任意方式激起的更一般情况的自由振动, 解包括多个振动模态, 位移方程可以写为●应用初始条件and, 可以计算出和●如果把弦拉成任意形状后释放，初始条件可以表示为●每个方程都乘以并从到积分, 方程右边各项除外均为零。

第4章：连续体的振动

因为
C1 0
( i 1, 2, ) ( i 1, 2, )
2i 1 x 模态函数 i ( x ) Ci sin 2 l
亦可令这个常数为1,有
2i 1 x i ( x ) sin l 2
( i 0,1, 2,
)
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
Dynamics of Structures
• Prof. Lanhe Wu • Shijiazhuang Tiedao Univ.
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
第四章连续系统的振动
具有连续分布的质量和弹簧系统称作连续系统或分布质量系统。连续系统具有无限多个自由度，其动力学方程为偏微分方程，只对一些简单情形才能求得精确解。对于复杂的连续系统则必须利用各种近似方法简化为离散系统求解。
EIy Sy 0
仍采用分离变量法，令代入动力学方程,整理得到
y( x , t ) ( x ) q(t )
EI ( x ) ( x ) q q S ( x ) ( x )
DYNAMICS OF STRUCTURES
a 因为数学模型相同，以上在各种边界条件下导出的固有频率和模态函数也完全适用于弦的横向振动、杆的扭转振动和梁的剪切振动。关于这类系统的受迫振动本节不作讨论，因为与下节梁的弯曲受迫振动的分析和计算方法基本相同
相应的模态函数为 i ( x ) sin
将边界条件代入 ( x ) C1 sin a C 2 cos a 得到 C2 0 及频率方程
l
a
x
化作
tan
l

连续体振动讲解

Vibration of Countinuous System1. Euler —Bernoulli BeamEuler —Bernoulli 运动过程中没有考虑剪切效应的影响。

Euler —Bernoull Beam ：变形前垂直于梁中心线的截面在变形后仍保持垂直于梁的中心线。

Timoshenko Beam ：Euler —Bernoull 梁中并没有考虑梁的剪切变形，在实际工程中，会存在梁的剪切变形，变形后截面与中心线存在一个夹角，截面的转角变为y xθγ∂=-∂中性面定义：+++变形的几何关系：假设距离中性层距离为h 的层为b b -。

根据平面假设，单元体d x 变形后层面b b -为b b ''-其中，d θ为变形的角度bbo ohCC 'd θoo 'o 'b 'b 'MMRhA 'B 'A ϕBϕMC应变的表达式为()d -d d R h R hR Rθθεθ+==弯矩的表达式为2d d d AAA E EIM h A h E A h A R Rσε====⎰⎰⎰其中，I 为截面的惯性矩。

转角的表达式，A 点的转角为A ϕ，B 点的转角为B ϕA y xϕ∂=∂对于B 点，假定转角对位置坐标线性变化，有22d d AB A x xy y x x x ϕϕϕ∂=+∂∂∂=+∂∂因此，弯曲的角度d θ表示为22d d B A yx xθϕϕ∂=-=∂由于梁弯曲变形为小变形，有如下d d R x θ=得到221y R x∂=∂得到弯矩的表达式2M EI x=∂1.1 Newton 2th law Equation.yx取长度为L 的梁中的微元体研究，单元体的长度为d x 。

假定受到与位置坐标x 相关的载荷()p x 的作用，考虑到变截面梁，假定截面面积为()A x 。

梁的密度表示为位置坐标x 的函数()x ρ。

单元体受力情况如图++所示。

连续系统振动-杆的纵向振动PPT课件

x
达朗贝尔原理：
2019年10月15日
Sdx
2u t 2
(F

F x
dx) F

p(x,t)dx
7
p( x, t )
0 x dx l
连续系统的振动 / 一维波动方程
x
u(x,t)
杆上距原点 x 处截面
在时刻 t 的纵向位移
横截面上的内力： F ES ES u
x
达朗贝尔原理：
a02
2u x 2

1
S
p(x,t)
（2）弦的横向振动（3）轴的扭转振动
2y t 2

a02
2y x 2

1

p(x,t)
2
t 2
a02
2
x2

1
Ip
p( x, t )
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分方程是类同的，都属于一维波动方程
2019年10月15日 12
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
• 固有频率和模态函数
p( x, t ) x
0
以等直杆的纵向振动为对象
l
2u t 2
a02
2u x 2

1
S
p(x,t)
a0 E /
2u t 2

a02
2u x 2
自由振动
假设杆的各点作同步运动： u(x,t) (x)q(t)
圆截面杆的扭转振动强迫振动方程等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数
I
p
dx
2
t 2
2019年2t210月 1a5日02
2
x2

连续系统振动b梁弯曲振动

略去高阶小量得：
Fs
Mm(x,t) x
材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系： M(x,t)EI2yx(x2,t)
变截面梁的动力学方程：
2连0续21系年统3月振x212动3[日bE梁I弯曲2振y动x( x2 , t) ]
S
2 y(x,t) t 2
f (x,t) m(x,t) x
4
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
2021年3月13日连续系统振动b梁弯曲振动
4
2
a02
a02
EI
S
18
(0) 0 (0) 0 (l) 0 (l) 0
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
y
x
0
l
(x) C1 cos x C2 sin x C3 cosh x C4 sinh x
(0) 0 (0) 0
C1 C3 0 C2 C4 0
第 i 阶主振动： y(i)(x ,t) a i i(x )siin t(i)
a i 和 i 由系统的初始条件确定
系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：
y(x,t) aii(x)si nit(i)
2021年3月13日
i1
7
连续系统振动b梁弯曲振动
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
常见的约束状况与边界条件
Fs M
f (x,t)dx
m(x,t)dx
M M dx x
Fs x
f(x,t)S2 t2y
Sdx
2y t 2
Fs
Fs x
dx
以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：
dx
（ M M x d ) M x F s d fx ( x ,t ) d d 2 x x S 2 t d 2 y d 2 x m x ( x ,t ) d 0 x

连续弹性体的振动

4 y d4y T (t ) 4 4 x dx
4 d 2T d y 2 Y x 2 a T t 4 0 dt dx
d y 1 dT 2 4 Y x dx T t dt
a
2
4
2
a 2 d 4Y d 2T 2 4 2 Ydx Tdt d 2T 2 T 0 2 dt
N A x A x E EA x u x
由牛顿第二定律
2u N N x A x dx 2 N dx N dx t x x u E A x x x
4.1 直杆的纵向自由振动 4.1.1 直杆纵向振动微分方程假设： 1）杆的任一横截面在作纵向振动过程中始终保持为平面，横截面上各点，在轴向上以相同的位移运动。 2）纵向运动过程中，略去杆的纵向伸缩而引起的横向变形。对任一横截面的纵向位移 u 都可写成关于 x 和 t 的函数 u x, t
4 y 2 y EI 4 A 2 0 x t
2 y EI 4 y 0 2 4 t A x
4 2 y y 2 a 0 2 4 t x 采用分离变量的求解思路,
,
y x, t Y x T t
2 y d 2T Y ( x) 2 2 t dt
扭矩为零
（3）弹性支承
k
, t GJp ,t X
(4) 右端有一惯性圆盘，则有
2 J o 2 , t Jpd ,t t x J 圆盘对称轴转动惯量
o
4.3 梁的弯曲振动
4.3.1 梁的横向振动微分方程研究对象：匀质细长梁（一般假定长细比>10），有纵向对称平面。振动运动过程中，假设： 1）梁的轴向位移可以忽略 2）截面绕中性轴（梁几何中心线）转动可忽略 3）变形时满足平面假设，并忽略剪力引起的变形

第7章：连续系统的振动

兰州理工大学李有堂编著机械系统动力学第7章连续系统的振动7.1 引言实际的物理系统都是由弹性体组成的系统，通常为连续系统。

离散系统是连续系统的近似模型，当其近似程度不能满足实际要求时，必须增加模型的自由度，或者采用连续模型。

连续模型是离散模型自由度无限增加时的极限。

连续系统是具有无限多个自由度的系统。

主要讨论可以获得精确解的问题。

弦的横向振动、杆的纵向振动和扭转振动、梁的弯曲振动7.2 弦的横向振动⏹弦：只能承受拉力，而抵抗弯曲及压缩的能力很弱。

⏹钢索、电线、电缆和皮带等柔性体构件⏹假设：材料是均匀连续和各向同性的；材料变形在弹性范围，服从虎克定律；运动是微幅的如图所示为一段长度为l 、两端固定的弦的横向振动的模型，f （x ，t ）是作用在弦上的载荷密度，弦的线密度为ρ。

T ——弦上的张力，近似为常量；——时刻t 张力T 与x 轴的夹角 ——时刻t 弦上x 处的横向位移量(,)x t (,)y x t沿y 方向的运动微分方程为22(,)sin (,)sin (,)y x t T x dx t T x t dx t θθρ∂+-=∂对于微幅振动sin tan yxθθθ∂≈≈≈∂(,)(,)x dx t x t dxxθθθ∂+=+∂2222(,)(,)y x t y x t T x tρ∂∂=∂∂T αρ=22222(,)(,)y x t y x t x tα∂∂=∂∂弦的振动微分方程◆ 是一个偏微分方程◆ 对离散系统，运动是一种“同步运动”◆ 弹性体系统即连续系统也应为同步运动，同时达到极大值，同时过零点，因而整个弦的形状在振动中保持不变◆ 弦上各点随时间变化的位移可以分解为两部分的乘积22222(,)(,)y x t y x t x tα∂∂=∂∂(,)()()y x t Y x t Φ=分离变量确定整条弦线在空间的形状，与时间无关，弦的振型函数确定弦上各点位移随时间的变化规律，与空间坐标无关，弦的振动方式✓当达到极值时，弦上各点位移同时达到极值 ✓当为零时，弦上各点同时回到平衡位置()t Φ()t Φ(,)()()y x t Y x t Φ=x x Y t Φx t x y ∂∂=∂∂)()(),(2222)()(),(xx Y t Φx t x y ∂∂=∂∂t t Φx Y t t x y ∂∂=∂∂)()(),(2222)()(),(tt Φx Y t t x y ∂∂=∂∂方程左边仅为空间坐标的函数，右边仅为时间的函数，左右两边要保持相等，只有一种可能，就是两边均等于一个常数22222()1()()()Y x t Y x x t tαΦΦ∂∂=∂∂22222(,)(,)y x t y x t x tα∂∂=∂∂222222)()(1)()(n tt Φt Φx x Y x Y ωα-=∂∂=∂∂222()()0n t t tΦωΦ∂+=∂2222()()0n Y x Y x x ωα∂+=∂()sin()n t C t Φωϕ=+()sin cos n nY x A x B xωωαα=+弦的主振型是谐波曲线 (,)()()y x t Y x t Φ=()sin()n t C t Φωϕ=+()sin cos n nY x A x B xωωαα=+12(,)(sin cos )sin()n n n y x t C x C x t ωωωϕαα=++弦的运动规律是正弦曲线C 1、C 2、ωn 、为待定系数 ωn 、C 2——两个端点的边界条件确定、C 1——振动的初始条件确定 )sin(cos sin ),(ϕωαωαω+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t x B x A C t x y n n n ϕϕ弦的两端固定，其边界条件为(0,)(,)0y t y l t ==弦的两端固定，其边界条件为12(,)(sin cos )sin()n nn y x t C x C x t ωωωϕαα=++210, sin 0n lC C ωα==sin 0n l ωα=n lk ωπα=弦振动的特征方程，即频率方程nk k k Tl lαππωρ==第k 阶固有频率✓连续系统固有频率的取值和离散系统固有频率的取值一样，只取某几个特定的数值。

【干货】基于ANSYS的悬臂梁模态分析

【干货】基于ANSYS的悬臂梁模态分析1、连续系统的振动实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统。

由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连续体是具有无限多自由度的系统。

连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组，它是偏微分方程。

在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的。

2、说明(1) 本章讨论的连续体都假定为线性弹性体，即在弹性范围内服从虎克定律。

(2) 材料均匀连续；各向同性。

(3) 振动满足微振动的前提。

3、梁的弯曲振动动力学方程考虑细长梁的横向弯曲振动梁参数：ρ单位体积梁的质量E弹性模量I截面对中性轴的惯性距S 梁横截面积外部力：m(x,t): 单位长度梁上分布的外力矩f(x,t): 单位长度梁上分布的外力假设：(1) 梁各截面的中心惯性轴在同一平面xoy内(2) 外载荷作用在该平面内(3) 梁在该平面作横向振动（微振）(4) 这时梁的主要变形是弯曲变形(5) 在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响伯努利－欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam）令：y(x,t):距原点x处的截面在t时刻的横向位移微段受力分析力平衡方程：4、悬臂梁的固有频率和模态函数5、两端固定杆的纵向模态分析问题描述：一悬臂梁截面为矩形，如图1所示，几何尺寸及材料特性如下，分析其前三阶固有频率及振型。

GUI操作如下：一、菜单建模分析过程第一步，清除内存准备分析1) 清除内存：选择菜单Utility Menu>File>Clear& Start New，单击OK按钮。

2) 更换工作文件名：选择菜单Utility Menu>File>ChangeJobname，输入vibration of cantilever，单击OK按钮。

第十一次课第四章连续体的振动

2
m x ) 并从 0到l对x进行积分，将上式两边同乘以 sin( l l 得： l j m ( j m)
sin(
0
l
x) sin(
整理后得到：
x)dx 2 l 0( j m)
d 2 H m (t ) 2 m H m (t ) Qm (t ) 2 dt
'' (t ) q ( x) 2 a0 q(t ) ( x)
记：
2
q (t ) 2 q (t ) 0 2 ( x ) ( ) ( x) 0 a0
通解：
q(t ) a sin(t )
( x) c1 sin
得得
B0
A sin
n
l 0 A0 则 c
sin
n
c
l 0
n
c
l j
( j 1, 2
j
cj j ) j l l
T A
j y( x, t ) Aj sin x sin( j t j ) l j 1

j y j ( x, t ) Aj sin x sin( j j ) l
u( x, t ) ( x)q(t )
( x) c1 sin
一一对应
q(t ) a sin(t )
x
a0
c2 cos
x
a0
i
第 i 阶主振动：
i ( x)
u (i ) ( x, t ) aφ it i ), i i ( x) sin(
系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：
§4.2 杆的纵向振动
p( x, t )