初中数学格点与面积(B)同步练习及答案
2023年中考数学《网格作图》真题及答案解析
2023中考真题抢先练：数学网格作图1.（2023达州18题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC 的顶点均在小正方形的格点上.（1）将△ABC 向下平移3个单位长度得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90度得到△A 2B 2C 2，画出△A 2B 2C 2；（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC 扫过的面积.第1题图【推荐区域：安徽陕西】【参考答案】解：（1）如解图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如解图，△A 2B 2C 2即为所求；第1题解图（3）由图可得，△ABC 为等腰直角三角形，∴51222=+==BC AB ，AC =101322=+，∴25552121=´´=×=D BC AB S ABC ，∴△A 1B 1C 1在旋转过程中扫过的面积为2ABCACA S S D +扇形290360p ´=+52=52π+52.反比例与一次函数性质综合题2.（2023自贡24题）如图，点A (2，4)在反比例函数xm y =1图象上，一次函数b kx y +=2的图象经过点A ，分别交x 轴，y 轴于点B ，C ，且△OAC 与△OBC 的面积比为2：1.（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）请直接写出y 1≥y 2时，x 的取值范围.第2题图【推荐区域：安徽江西甘肃】【参考答案】解：（1）将A （2，4）代入x m y =1中得24m =，解得m =8，∴xy 81=，∵C （0，b ），∴12OAC S OC D =·2=b ，∵△OAC 与△OBC 的面积比为2：1，∴b OB OC S OBC 2121=´=D ，解得OB =1，∴B （-1，0）或（1，0），①将A （2，4），B （-1，0）代入b kx y +=2中，得îíì+-=+=，，b k b k 024解得ïîïíì==，，3434b k ∴34342+=x y ；②将A （2，4），B （1，0）代入b kx y +=2中，得îíì+=+=，，b k b k 024解得îíì-==，，44b k ∴442-=x y ；综上可知，一次函数的解析式为34342+=x y 或442-=x y ；（2）当34342+=x y 时，x ≤-3或0＜x ≤2；当442-=x y 时，x ≤-1或0＜x ≤2.解直角三角形的实际应用3.（2023达州19题）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱，如图所示，秋千链子的长度为3m ，当摆角∠BOC 恰为26°时，座板离地面的高度BM 为0.9m ，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC 为50°，求座板距地面的最大高度为多少m?(结果精确到0.1m ；参考数据：sin 26°=0.44，cos 26°≈0.9，tan 26°≈0.49，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.2)第3题图【推荐区域：安徽江西河南甘肃】【参考答案】解：如解图，过点B 作BD ⊥ON 于点D ，过点A 作AE ⊥ON 于点E ，作AF ⊥MN于点F，第3题解图∴四边形BDNM，AENF均为矩形，∴BM=DN=0.9，AF=EN，在Rt△OBD中，OD=OB·cos26°=3cos26°，∴ON=OD+DN=3cos26°+0.9，在Rt△OAE中，OE=OA·cos50°=3cos50°，∴EN=ON-OE=3cos26°+0.9-3cos50°，∴AF=3cos26°+0.9-3cos50°≈3×0.9+0.9-3×0.64=1.68≈1.7（m），答：座板距地面的最大高度为1.7m.4.（2023重庆A卷24题）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A—D—C—B；②A—E—B.经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向.( 1.41≈1.73)（1）求AD的长度；(结果精确到1千米)（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②?第4题图【推荐区域：安徽江西河南甘肃】【参考答案】解：（1）如解图，过点D作DF⊥AB于点F.第4题解图由题意可知，AB∥CD，BC⊥AB，∴四边形BCDF是矩形，且BC=10，CD=14.∴DF=BC=10，在Rt△ADF中，∠DAF=45°，∴AD≈14（千米），答：AD的长度约为14千米；（2）由题意可知，EA⊥AB，∠ABE=90°-60°=30°，∵AF=DF=10，BF=CD=14，∴AB=AF+BF=10+14=24，∴在Rt△ABE中，AE AB BE=2AE线路①：AD+CD+BC≈38.1（千米），线路②：AE+BE41.52（千米），∵38.1＜41.52，∴小明应选择线路①.二次函数的实际应用5.（2023南充23题）某工厂计划从A ，B 两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x 件，已知A 产品成本价m 元/件(m 为常数，且4≤m ≤6)，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B 产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y 元，y (元)与每日产销x （件）满足关系式201.080x y +=.（1）若产销A ，B 两种产品的日利润分别为1w 元，2w 元，请分别写出1w ，2w 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）分别求出产销A ，B 两种产品的最大日利润；(A 产品的最大日利润用含m 的代数式表示)（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品?并说明理由.[利润=(售价一成本)×产销数量一专利费]【推荐区域：安徽河北云南江西】【参考答案】解：（1）根据题意，得30)8(1--=x m w ，0≤x ≤500.)01.080()1220(22x x w +--=80801.02-+-=x x ，0≤x ≤300；（2）∵8-m >0，∴1w 随x 的增大而增大，又0≤x ≤500，∴当x =500时，1w 的值最大，39705001+-=m w 最大.1520)400(01.080801.0222+--=-+-=x x x w .∵-0.01<0，对称轴为直线x =400，当0≤x ≤300时，2w 随x 的增大而增大，∴当x =300时，2w 最大=-0.01×(300-400)2+1 520=1 420（元）.（3）①若最大1w =最大2w ，即-500m +3970=1420，解得m =5.1；②若最大1w >最大2w ，即-500m +3970>1 420，解得m <5.1；③若最大1w <最大2w ，即-500m +3 970<1420，解得m >5.1.又∵4≤m ≤6，∴综上可得，为获得最大日利润：当m =5.1时，选择A ，B 产品产销均可；当4≤m <5.1时，选择A 种产晶产销；当5.1<m ≤6时，选择B 种产品产销.二次函数性质综合题6.（2023遂宁25题）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线c bx x y ++=241经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C (2，-2)且垂直于y 轴.过点B 的直线1l 交抛物线于点M ，N ，交直线l 于点Q ，其中点M ，Q 在抛物线对称轴的左侧.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当BM ：MQ =3：5时，求点N 的坐标；（3）如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线1l 下方的抛物线上一动点，连接PQ ，PO ，其中PO 交1l 于点E ，设△OQE 的面积为1S ，△PQE 的面积为2S ，求12S S 的最大值.第6题图【推荐区域：安徽陕西】【参考答案】解：（1）由题意得0b 2124c =ìïïí-=ï´ïî，，解得01c b =ìí=-î，，∴抛物线的解析式为y =214x -x ；（2）如解图，过点M ，Q 作MD ⊥x 轴，QH ⊥x 轴分别于点D ，H ，第6题解图∴DM ∥HQ ，∴△BDM ∽△BHQ ，∴BM BQ =DM HQ ，∴38=2DM ，∴DM =34，∴点M 的纵坐标为-34，代入y =34x 2-x 中，解得x M =1或x M =3，∵点M 在抛物线对称轴的左侧，∴x M =1，∴点M （1，-34），设直线BM 的解析式为y =kx +b 1，将点M （1，-34）和点B （2，0）代入，得113=402k b k b ì-+ïíï=+î，，解得13=432k b ìïïíï=-ïî，，∴直线BM 的解析式为y =2343-x ，联立2143342y x x y x ì=-ïïíï=-ïî，，解得134x y =ìïí=-ïî，或63x y =ìí=î，，∵点N 在对称轴的右侧，∴点N （6，3）；（3）由题意可知，点Q 的坐标为（0，-2），设点P （m ，14m 2-m ），由题意得直线y OP =（14m -1）x ，直线l 1的解析式为y BQ =x -2，联立1(1)42y m x y x ì=-ïíï=-î，，∴点E 的横坐标为x E =88m -，∴S 1=21OQ ·x E =21×2×m -88=m-88，S 2=21OQ ·(P E x x -）=21×2（m -m-88）=m m m ---8882，∴22188888S m m m S m ---=-=1812-+-m m =1)4812+--m （，∵81-＜0，∴当m =4时，12S S 有最大值，最大值为1，∴12S S 的最大值为1.。
苏教版初一数学下学期期末专题《三角形格点与面积》
三角形格点与面积1．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，且通过两次平移（沿网格线方向作上下或左右平移）后得到△A'B'C'，点C的对应点是直线上的格点C'．（1）画出△A'B'C'；（2）在BC上找一点P，使AP平分△ABC的面积；（3）试在直线l上画出所有的格点Q，使得由点A'、B'、C'、Q四点围成的四边形的面积为9．2．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△A′B′C′；（2）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是．（3）作直线MN，将△ABC分成两个面积相等的三角形．3．如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．（1）画出△ABC中BC边上的高AH和BC边上的中线AD．（2）画出将△ABC向右平移5格又向上平移3格后的△A′B′C′．（3）△ABC的面积为．（4）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是．4．正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC各顶点的位置如图所示．将△ABC平移，使点A移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）画出平移后的△DEF；（2）在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积；（3）利用网格画△ABC的高BH；（4）连接AD、CF，AD与CF的关系是．5．如图，三角形ABC的顶点A，B，C都在格点（正方形网格线的交点）上，将三角形ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到三角形A'BC“（设点A、B、C分别平移到A′、B′、C′）（1）请在图中画出平移后的三角形A'B′C′；（2）若连接BB′、CC′，则这两条线段的位置关系是．数量关系是（3）若BB'与AC相交于点P，则∠A'B'P，∠B'PA与∠PAB三个角之间的数量关系为A．∠A'B'P+∠B'PA+∠PAB＝180°B．∠A'B'P+∠B'PA+∠PAB＝360°C．∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB＝180°D．∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB＝360°6．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点C变换为点D，点A、B的对应点分别是点E、F．（1）在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD；（2）在图中画出△ABC的AB边上的高CH；（3）若点P在格点上，且S△PBC＝S△ABC（点P与点A不重合），满足这样条件的P点有个．7．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．（1）画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1；（2）画出△ABC中AB边上的中线CM；（3）图中△ABC的面积是．8．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：（1）补全△A′B′C′；（2）作出△ABC的中线CD；（3）画出BC边上的高线AF；（4）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有个．（注：格点指网格线的交点）9．画图（只能借助于网格）并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．（1）将△ABC向左平移4格，再向上平移1格，请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）△A′B′C′的面积为；（3）利用网格在图中画出△ABC的中线AD，高线AE；（4）在右图中能使S△PBC＝S△ABC的格点p的个数有个（点P异于A）．10．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出AB边上的中线CD和BC边上的高线AE；（3）线段AA′与线段BB′的关系是：；（4）求四边形ACBB′的面积．11．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：（1）画出△A′B′C′；（2）画出△ABC的高BD；（3）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是，线段AC扫过的图形的面积为．12．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．利用网格点和三角板画图或计算：（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出BC边上的高线AE；（4）△A′B′C′的面积为．（5）点F为方格纸上的格点（异于点B），若S△ACB＝S△ACF，则图中这样的格点F共有个．13．如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到△A′B′C′．（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是；（3）△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为．14．利用直尺画图（1）利用图（1）中的网格，过P点画直线AB的平行线和垂线．（2）把图（2）网格中的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形．（3）如果每个方格的边长是单位1，那么图（2）中组成的三角形的面积等于．15．如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．（1）分别画出△ABC中BC边上的高AH、中线AG．（2）画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF．（3）画一个锐角△MNP（要求各顶点在格点上），使其面积等于△ABC的面积的2倍．16．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△A′B′C′，并求△A′B′C′的面积＝；（2）请在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积，在图上作出线段CP；（3）请在图中画出过点C且平行于AB的直线CM．17．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△DEF；（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是；（3）在图中找出所有满足S△ABC＝S△QBC的格点Q（异于点A），并用Q1、Q2表示．18．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．（1）将△ABC向左平移8格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）利用网格在图中画出△ABC的中线CD，高线AE；（3）△A′B′C′的面积为．（4）在平移过程中线段BC所扫过的面积为．（5）在右图中能使S△PBC＝S△ABC的格点P的个数有个（点P异于A）．19．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△DEF，并求△DEF的面积＝；（2）在AB上找一点M，使CM平分△ABC的面积；（3）在网格中找格点P，使S△ABC＝S△BCP，这样的格点P有个．20．如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和三角板画图：（1）补全△A′B′C；（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出AC边上的高线BE；（4）平移过程中，线段AB扫过的面积为．21．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△A′B′C′，并求△A′B′C′的面积；（2）在图中找出格点D，使△ACD的面积与△ABC的面积相等．22．如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到△A′B′C′．（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出平移后的△A′B′C′的中线B′D′（3）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是（4）△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为（5）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有个（注：格点指网格线的交点）23．如图所示，在8×8的网格中，△ABC是格点三角形（顶点是网格的交点），若点A坐标为（﹣1，3），按要求回答下列问题：（1）建立符合条件的平面直角坐标系，并写出点B和点C的坐标；（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△DEF，请在图中画出△DEF，并求出线段AC在平移过程中扫过的面积．24．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和三角板画图：（1）补全△A′B′C′（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出BC边上的高线AE；（4）△A′B′C′的面积为．25．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC向左平移1格，再向上平移3格，其中每个格子的边长为1个长度单位．（1）在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）若连接AA′，CC′，则这两条线段的关系是；（3）作直线l，将△ABC分成两个面积相等的三角形．【分析】（1）作出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可；（2）根据平移的性质可知，线段AA′，CC′这两条线段之间的关系是相等且平行；（3）构造平行四边形ABCD，对角线BD所在的直线即为所求的直线MN．【解答】解：（1）平移后的△A′B′C′如图所示．（2）根据平移的性质可知，线段AA′，CC′这两条线段之间的关系是相等且平行，故答案为相等且平行．（3）构造平行四边形ABCD，对角线BD所在的直线即为所求的直线MN．【点评】本题考查平移变换、平移变换的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．（1）画出△ABC中BC边上的高AH和BC边上的中线AD．（2）画出将△ABC向右平移5格又向上平移3格后的△A′B′C′．（3）△ABC的面积为3．（4）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是AA′＝CC′且AA′∥CC′．【分析】（1）根据三角形的中线和高的定义作图即可得；（2）根据平移变换的定义作出变换后的对应点，再顺次连接即可得；（3）直接利用三角形的面积公式计算可得；故答案为：AD＝CF，AD∥CF．【点评】本题考查平移变换，三角形的中线，高等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．如图，三角形ABC的顶点A，B，C都在格点（正方形网格线的交点）上，将三角形ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到三角形A'BC“（设点A、B、C分别平移到A′、B′、C′）（1）请在图中画出平移后的三角形A'B′C′；（2）若连接BB′、CC′，则这两条线段的位置关系是BB′∥CC′．数量关系是BB′＝CC′（3）若BB'与AC相交于点P，则∠A'B'P，∠B'PA与∠PAB三个角之间的数量关系为CA．∠A'B'P+∠B'PA+∠PAB＝180°B．∠A'B'P+∠B'PA+∠PAB＝360°C．∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB＝180°D．∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB＝360°【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可；（2）根据平移的性质求解；（3）根据平行线的性质和三角形外角性质解答．【解答】解：（1）如图所示：△A'B'C'即为所求：（2）根据平移的性质可得：BB′∥CC′，BB′＝CC′；故答案为4【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．（1）画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1；（2）画出△ABC中AB边上的中线CM；（3）图中△ABC的面积是8．【分析】（1）根据平移的定义作出变换后的对应点，再顺次连接即可得；（2）根据中线的概念作图可得；（3）利用割补法求解可得．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，CM即为所求；（3）△ABC的面积是×5×7﹣×2×6﹣×（2+5）×1＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．8．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：（1）补全△A′B′C′；（2）作出△ABC的中线CD；（3）画出BC边上的高线AF；（4）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有6个．（注：格点指网格线的交点）【分析】（1）由点B及其对应点B′的位置得出平移方向和距离，据此将点A、C按照相同方式平移得到对应点，再顺次连接即可得；（2）根据中线的概念作图可得；（3）根据高线的概念求解可得；（4）根据共底等高及平行线间的距离处处相等作图可得．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．（2）如图所示，CD即为所求；（3）如图所示，AF即为所求；（4）如图所示，中满足条件且异于点C的格点E共有6个，故答案为：6．【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质及中线、高线的概念、平行线间的距离处处相等．9．画图（只能借助于网格）并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．（1）将△ABC向左平移4格，再向上平移1格，请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）△A′B′C′的面积为4；（3）利用网格在图中画出△ABC的中线AD，高线AE；（4）在右图中能使S△PBC＝S△ABC的格点p的个数有7个（点P异于A）．【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；（2）取线段AB的中点D，连接CD，过点A作AE⊥BC的延长线与点E即可；（3）根据图形平移的性质可直接得出结论；（4）根据S四边形ACBB′＝S梯形AFGB+S△ABC﹣S△BGB′﹣S△AFB′即可得出结论．【解答】解：（1）如图所示；（2）如图所示；（3）由图形平移的性质可知，AA′∥BB′，AA′＝BB′．故答案为：平行且相等；（4）S四边形ACBB′＝S梯形AFGB+S△ABC﹣S△BGB′﹣S△AFB′＝（7+3）×6+×4×4﹣×1×7﹣×3×5＝30+8﹣﹣＝27．【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．11．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：（1）画出△A′B′C′；（2）画出△ABC的高BD；（3）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是平行且相等，线段AC扫过的图形的面积为10．【分析】（1）根据平移的定义和性质作出点A、C平移后的对应点，顺次连接即可得；（2）根据三角形高的定义作图即可得；（3）根据平移变换的性质可得，再利用割补法求出平行四边形的面积．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；（2）如图所示，BD即为所求；（3）如图所示，AA′与CC′的关系是平行且相等，线段AC扫过的图形的面积为10×2﹣2××4×1﹣2××6×1＝10，故答案为：平行且相等、10．【点评】此题主要考查了平移变换以及平行四边形面积求法等知识，根据题意正确把握平移的性质是解题关键．12．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．利用网格点和三角板画图或计算：（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出BC边上的高线AE；（4）△A′B′C′的面积为8．（5）点F为方格纸上的格点（异于点B），若S△ACB＝S△ACF，则图中这样的格点F共有7个．【分析】（1）利用网格特点和平移的性质分别画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′即可得到△A′B′C′；（2）根据平移的性质求解；（3）由于线段AB扫过的部分为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式可求解．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；（2）BB′∥CC′，BB′＝CC′；（3）线段AB扫过的面积＝4×3＝12．故答案为平行且相等；12．【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．14．利用直尺画图（1）利用图（1）中的网格，过P点画直线AB的平行线和垂线．（2）把图（2）网格中的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形．（3）如果每个方格的边长是单位1，那么图（2）中组成的三角形的面积等于 3.5．【分析】（1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与AB平行的格点以及垂直的格点作出即可；（2）根据网格结构的特点，过点E找出与AB、CD位置相同的线段，过点F找出与AB、CD位置相同的线段，作出即可；（3）根据S△＝S正方形﹣三个角上的三角形的面积即可得出结论．【解答】解：（1）、（2）如图所示；（3）S△EFH＝3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3＝9﹣1﹣3﹣＝3.5．故答案为：3.5．【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．15．如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．（1）分别画出△ABC中BC边上的高AH、中线AG．（2）画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF．（3）画一个锐角△MNP（要求各顶点在格点上），使其面积等于△ABC的面积的2倍．【分析】（1）根据三角形的高和中线的定义结合网格作图可得；（2）根据平移变换的定义和性质作图可得；【点评】本题考查了平移变换的作图、三角形的面积、平分三角形的面积、平行线，知道三角形的中线平分三角形的面积，并会根据一个对应点的平移规律进行作图．17．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△DEF；（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是AD＝CF，AD∥CF；（3）在图中找出所有满足S△ABC＝S△QBC的格点Q（异于点A），并用Q1、Q2表示．【分析】（1）将三角形的三顶点分别向右平移6格、向下平移1格得到三顶点，再顺次连接可得；（2）根据平移变换的性质可得答案；（3）过点A作线段BC的平行线，平行线经过的网格点即为点Q1、Q2．【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求．（2）根据平移变换的性质知，AD＝CF，AD∥CF，故答案为：AD＝CF，AD∥CF；（3）过点A作线段BC的平行线，平行线经过的网格点即为点Q1、Q2．【点评】本题考查了利用平移变换作图，平移的性质，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．（1）请画出平移后的△DEF，并求△DEF的面积＝7；（2）在AB上找一点M，使CM平分△ABC的面积；（3）在网格中找格点P，使S△ABC＝S△BCP，这样的格点P有4个．【分析】（1）根据平移的性质画出图象，再利用三角形的面积公式计算即可；（2）根据中线的定义画出中线即可平分三角形面积；（3）在过点A平行BC的直线上有4个格点，所以满足条件的△PCB有4个．【解答】解：（1）如图所示：△DEF即为所求，△DEF的面积为：4×4﹣×2×4﹣×2×3﹣×1×4＝7；故答案为：7；（2）如图所示：点M即为所求；（3）使S△ABC＝S△BCP，这样的格点P有4个．故答案为：4．【点评】本题考查平移变换、三角形的面积、三角形的中线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和三角板画图：（1）补全△A′B′C；（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出AC边上的高线BE；（4）平移过程中，线段AB扫过的面积为8．S△A′B′C′＝3×3﹣×2×1﹣×3×1﹣×2×3＝9﹣1﹣﹣3＝3.5；（2）如图，点D1，D2即为所求．【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．22．如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到△A′B′C′．（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出平移后的△A′B′C′的中线B′D′（3）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是BB′∥CC′，BB′＝CC′（4）△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为12（5）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有10个（注：格点指网格线的交点）【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可；（2）利用网格特点找出A′C′的中点D′，然后连接B′D′即可；（3）根据平移的性质求解；（4）利用平移的性质和平行四边形的面积公式求解；（5）过点C作AB的平行线，然后找出此平行线上的格点即可．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；（2）如图，中线B′D′为所作；（3）BB′∥CC′，BB′＝CC′；（4）△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积＝4×3＝12；（5）满足条件且异于点C的格点E共有10个．线段AC在平移过程中扫过的面积＝×2×1+2×3＝7．【点评】本题主要考查作图﹣平移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的定义和性质及割补法求四边形的面积．24．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和三角板画图：（1）补全△A′B′C′（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出BC边上的高线AE；（4）△A′B′C′的面积为8．【分析】（1）直接利用平移的性质得出各点位置即可；（2）利用中线的定义得出D点的位置；（3）利用高线的定义得出E点的位置（4）直接利用三角形面积求法得出答案．【解答】解：（1）（2）（3）题如图所示．（4）△A′B′C′的面积为：×4×4＝8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出平移后对应点位置是解题关键．25．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC向左平移1格，再向上平移3格，其中每个格子的边长为1个长度单位．（1）在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）若连接AA′，CC′，则这两条线段的关系是AA′∥CC′，AA′＝CC′；（3）作直线l，将△ABC分成两个面积相等的三角形．【分析】（1）根据图形平移不变性的性质画出△A′B′C′即可；（2）根据图形平移的性质即可得出结论；（3）过三角形的顶点与对边的中点作直线即可．【解答】解：（1）如图所示；（2）∵△A′B′C′由△ABC平移而成，∴AA′∥CC′，AA′＝CC′．故答案为：AA′∥CC′，AA′＝CC′；（3）如图所示．【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．。
格点与面积习题讲解1
格点与面积习题讲解1如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。
一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形，本讲就，学习求格点多边形的面积问题。
这种格点多边形的面积计算起来很方便，一般有三种方法：①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积；②一些简单而又特殊的格点多边形，可以通过数格子求出面积；③较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。
其中数格子的方法比较原始，很少用。
任意格点多边形，只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数，就可用下面的皮克公式算出面积：格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。
皮克定理的证明：将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。
格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆，所以周界上圆在图内的面积为：周界格点数÷2-1所以格点多边形面积为：图内格点个数+周界格点数÷2-1。
皮克定理的证明过程比较抽象，孩子难以理解。
本讲只要求孩子初步认识格点面积公式，掌握格点面积公式的应用，到初中还会进一步学习皮克定理。
【解析】：图①是个平行四边形，周界上有10个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图①的面积为：4+10÷2-1=8；图②是个梯形，周界上有8个格点，图内有2个格点，根据格点面积公式，图②的面积为：2+8÷2-1=5；图③是个三角形，周界上有6个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图③的面积为：4+6÷2-1=6；以上3个图形都是规则图形，但四年级学生还没有学过这3种图形的面积计算，不能用面积公式计算。
小学数学《格点与面积》练习题
小学数学《格点与面积》练习题基础班1.求下列各个格点多边形的面积.分析：①∵L=12；N=10，∴S=N+L/2-1=10+6-1=15（面积单位）.②∵L=10；N=16，∴S=N+L/2-1=16+5-1=20（面积单位）.③∵L=6，N=12，∴S=N+L/2-l=12+3-1=14（面积单位）.④∵L=10；N=13，∴S=N+L/2-1=13+5-1=17（面积单位）.2. 右图是一个8⨯12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.分析：箭形ABCDEFGH的面积=(8+10÷2-1)+4⨯8+(4÷2-1)⨯2=12+32+2=46(面积单位).3.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.分析：①∵L=7；N=7，∴S=2×N+L-2=2×7+7-2=19（面积单位）.②∵L=5；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+5-2=19（面积单位）.③∵L=5；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+5-2=20（面积单位）.④∵L=7；N=8；∴S=2×N+L-2=2×8+7-2=21（面积单位）.4.将图中的图形分割成面积相等的三块.分析：提高班1.求下列各个格点多边形的面积.分析：①∵L=12；N=10，∴S=N+L/2-1=10+6-1=15（面积单位）.②∵L=10；N=16，∴S=N+L/2-1=16+5-1=20（面积单位）.③∵L=6，N=12，∴S=N+L/2-l=12+3-1=14（面积单位）.④∵L=10；N=13，∴S=N+L/2-1=13+5-1=17（面积单位）.2. 右图是一个8⨯12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.分析：箭形ABCDEFGH的面积=(8+10÷2-1)+4⨯8+(4÷2-1)⨯2=12+32+2=46(面积单位).3.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.分析：①∵L=7；N=7，∴S=2×N+L-2=2×7+7-2=19（面积单位）.②∵L=5；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+5-2=19（面积单位）.③∵L=5；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+5-2=20（面积单位）.④∵L=7；N=8；∴S=2×N+L-2=2×8+7-2=21（面积单位）.4.右图有12个点,相邻两个点之间的距离是1厘米,这些点可以连成多少个面积为2平方厘米的三角形?分析：面积为2平方厘米的三角形有54个.面积为2平方厘米分类如下:①②③底为2,高为2 底为2,高为2 底为2,高为25⨯3=15(个) 5⨯3=15(个) 2(个)④⑤⑥⑦底为4,高为1 底为4,高为1 底为1,高为4 它的面积为 5⨯2=10(个) 2⨯2=4(个) 4(个) 4（个）所以,面积为2平方厘米的三角形有:15+15+2+10+4+4+4=54(个).5.将图中的图形分割成面积相等的三块.分析：精英班1.求下列各个格点多边形的面积.分析：①∵L=12；N=10，∴S=N+L/2-1=10+6-1=15（面积单位）.②∵L=10；N=16，∴S=N+L/2-1=16+5-1=20（面积单位）.③∵L=6，N=12，∴S=N+L/2-l=12+3-1=14（面积单位）.④∵L=10；N=13，∴S=N+L/2-1=13+5-1=17（面积单位）.2. 右图是一个8⨯12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.分析：箭形ABCDEFGH的面积=(8+10÷2-1)+4⨯8+(4÷2-1)⨯2=12+32+2=46(面积单位).3.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.分析：①∵L=7；N=7，∴S=2×N+L-2=2×7+7-2=19（面积单位）.②∵L=5；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+5-2=19（面积单位）.③∵L=5；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+5-2=20（面积单位）.④∵L=7；N=8；∴S=2×N+L-2=2×8+7-2=21（面积单位）.4.右图有12个点,相邻两个点之间的距离是1厘米,这些点可以连成多少个面积为2平方厘米的三角形?分析：面积为2平方厘米的三角形有54个.面积为2平方厘米分类如下:①②③底为2,高为2 底为2,高为2 底为2,高为25⨯3=15(个) 5⨯3=15(个) 2(个)④⑤⑥⑦底为4,高为1 底为4,高为1 底为1,高为4 它的面积为 5⨯2=10(个) 2⨯2=4(个) 4(个) 4（个）所以,面积为2平方厘米的三角形有:15+15+2+10+4+4+4=54(个).5.将图中的图形分割成面积相等的三块.分析：6．（第五届“华杯赛”）正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?分析：将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个小正三角形．于是正六边形ABCDEF被分成了24个小正三角形，三角形MNP由9个小正三角形所组成，所以三角形MNP的面积=924×6=2。
人教版九年级数学上册《24.2 点和圆直线和圆的位置关系》同步练习题-附答案
人教版九年级数学上册《24.2 点和圆直线和圆的位置关系》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点1点与圆的位置关系1. 点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r点P到圆心的距离为OP＝d点P在⇔d＞r点P在⇔d＝r点P在⇔d＜r。
2.三点圆：不在直线上的三个点一个圆。
3.三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆这个圆叫做三角形的圆．外接圆的圆心是三角形三条边的的交点叫做这个三角形的外心。
考点2直线和圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：（1）直线和圆有两个公共点时我们说这条直线和圆．这条直线叫做圆的线。
（2）直线和圆只有一个公共点时我们说这条直线和圆．这条直线叫做圆的线这个点叫做点。
（3）直线和圆没有公共点时我们说这条直线和圆。
（4）设⊙O的半径为r圆心O到直线l的距离d直线l和⊙O⇔d＜r直线l和⊙O⇔d＝r直线l和⊙O⇔d＞r。
2.切线的判定定理和性质定理（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线。
（2）切线的性质定理：圆的切线于过切点的半径。
3.切线长定理：（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上这点和点之间线段的长叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线它们的切线长这一点和圆心的连线两条切线的夹角。
4.内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的．内切圆的圆心是三角形三条的交点叫做三角形的内心。
限时训练:一选择题：在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的。
1.(2024·全国·同步练习)以点P(1,2)为圆心r为半径画圆与坐标轴恰好有三个交点则r应满足( )A. r=2或√ 5B. r=2C. r=√ 5D. 2≤r≤√ 52.(2024·全国·同步练习)如图在△ABC中O是AB边上的点以O为圆心OB为半径的⊙O与AC相切于点D BD平分∠ABC AD=√ 3OD AB=12CD的长是( )A. 2√ 3B. 2C. 3√ 3D. 4√ 33.(2024·江苏省·同步练习)下列命题中真命题的个数是( ) ①经过三点可以作一个圆②一个圆有且只有一个内接三角形③一个三角形有且只有一个外接圆④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等⑤直角三角形的外心是三角形斜边的中点。
备战中考数学二轮专题归纳提升真题格点图问题(解析版)
专题10 格点图问题【题型一：格点中的作图问题】【例1】（2021·宁波）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上.（1）在图1中画出以AB为边且周长为无理数的▱ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）.（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上.【答案】（1）解：如图四边形ABCD即为所作，答案不唯一.（2）解：如图，四边形AEBF即为所求作的正方形.【解析】（1）根据两边对边相等的四边形是平行四边形作图，注意根据勾股定理，结合无理数的定义作出AD和BC；（2）以AB为斜边分别作等腰直角△AFB和等腰直角△AEB，即可得出正方形AEBF.【例2】（2021温州）如图4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成.图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）.（1）选一个四边形画在图2中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形.（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的√5倍，画在图3中.【答案】（1）解：画法不唯一，当选四边形为正方形时可以是如图1或图2；当四边形式平行四边形时可以是图3或图4.（2）解：画法不唯一，当直角边长为√2时，扩大√5即直角边长为√10利用勾股定理画出直角边长为√10直角三角形可以是如图5或图6当直角边长为2√2时，扩大√5即直角边长为2√10利用勾股定理画出直角边长为2 √10直角三角形可以是如图7或图8等.【解析】（1）任选一个四边形，根据平移的性质分别得出对应点位置，然后将各点顺次连接起来即可；（2）先任选一个三角形，然后根据各边长扩大到原来的用勾股定理在方格图中画出边长扩大后的三角形即可.【练1】如图①,②,③都是3×3的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.A,B,C均为格点.在给定的网格中,按下列要求画图:(1)在图①中,画一条不与AB重合的线段MN,使MN与AB关于某条直线对称,且M,N为格点.(2)在图②中,画一条不与AC重合的线段PQ,使PQ与AC关于某条直线对称,且P,Q为格点.(3)在图③中,画一个△DEF,使△DEF与△ABC关于某条直线对称,且D,E,F为格点.【答案】(1)如图①,MN即为所求(答案不唯一).(2)如图②,PQ即为所求(答案不唯一).(3)如图③,△DEF即为所求(答案不唯一).【练2】如图,在所给的方格纸中,每个小正方形的边长都是1,点A,B,C位于格点处,请按要求画出格点四边形.(1)在图①中画出格点P,使AC=CP,且以点A,B,C,P为顶点的四边形面积为3;(2)在图②中画出一个以点A,B,C,P为顶点的格点四边形,使AP2+CP2=15.【答案】(1)如图①中,四边形即为所求(答案不唯一).(2)如图②中,四边形即为所求(答案不唯一)【练3】如图，由5个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形．（用阴影表示）（1）使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．（2）使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；（3）使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形．【答案】【题型二：格点中的计算问题】【例】如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,点A,B,C都在格点上,则cos∠BAC的值为.【答案】√55【解析】如图,找出格点D,E,连接CD,AD,易知△ACD是直角三角形,A,C,E三点共线,连结BE,由勾股定理可知:AB 2=1+9=10,AE 2=1+1=2,BE 2=4+4=8,∴AB 2=AE 2+BE 2,∴△ABE 是直角三角形,∴cos ∠BAC =AE AB =√2√10=√55, 故答案为√55.【练1】如图,将正三角形ABC 分割成m 个边长为1的小正三角形和1个黑色菱形,这个黑色菱形可分割成n 个边长为1的小正三角形.若m n =4725,则正三角形ABC 的边长是 .【答案】12【解析】设正三角形ABC 的边长为x ,则高为√32x ,∴S △ABC =12x ·√32x =√34x 2, ∵所分成的都是边长为1的正三角形, ∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线长为√32x -√3,较短的对角线长为√32x -√3√33=12x -1, ∴黑色菱形的面积=12√32x -√312x -1=√38(x -2)2, ∴m n =√34x 2-√38(x -2)2√38(x -2)2=4725, 整理得11x 2-144x +144=0,解得x 1=1211(不符合题意,舍去),x 2=12,所以,△ABC 的边长是12.【练2】如图,在△ABC 中,AB ,BC ,AC 三边的长分别为√2,√13,√17,求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC (即△ABC 的三个顶点都在小正方形的顶点处),如图W5-9①所示.这样不需求△ABC 的高,而借用网格就能计算出它的面积.(1)请你将△ABC 的面积直接填写在横线上: .(2)我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法.若△ABC 三边的长分别为2√2a ,√10a ,√26a ( >0),请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为 )画出相应的△ABC ,并求出它的面积.(3)若△ABC 三边的长分别为√m 2+4n 2 ,√m 2+16n 2 ,2√m 2+n 2 (m>0,n>0,m ≠n ),请运用构图法在图③指定区域内画出示意图,并求出△ABC 的面积.【答案】（1）2.5（2）图见解析，S=4 2（3）图见解析，S=3mn【解析】（1）S △ABC =2×4-12×1×1-12×3×2-12×1×4=2.5,(2)如图,∵AB =2√2 ,BC =√10 ,AC =√26 ,∴S △ABC =2 ×5 -12×2 ×2 -12×3 × -12× ×5 =4 2.（3）如图,AB =√m 2+4n 2,AC =√m 2+16n 2,BC =2√m 2+n 2,∴S △ABC =2m ×4n -12×2m ×2n -12×m ×4n -12×m ×2n =3mn.【练3】如图,在5×5的正方形方格纸中,每个小正方形的边长为单位1,点A,B,C,P都在格点处.(1)请在图中作△BCD,使△BCD是以CD为底的等腰三角形,且点D为格点.(2)在(1)的条件下,连结AD,则四边形ABCD的面积为,再连结AC,则tan∠ACD=.(3)请仅使用无刻度直尺在线段BC上作一点Q,使点Q满足∠PQB=45°.(温馨提示:点Q可以是非格点哦!)【答案】（1）图见解析（2）10，13（3）图见解析【解析】（1）（2）如图，连接AD、AC四边形ABCD的面积=正方形ABMN的面积-三角形BMC的面积-三角形DNC的面积=4×4−12×2×4−12×2×2=16−4−2=10由图可得，AC=BC （3）【题型三：格点中的计数问题】【例】如图,A ,B 是4×5网格中的格点,网格中的每个小正方形的边长是1,图中使以A ,B ,C 为顶点的三角形是等腰三角形的格点C 有几个？【答案】3个【解析】如图，∵A ,B 是4×5网格中的格点,∴AB =√22+32=√13,同理可得AC =AE =BD =√13.∴所求三角形有:△ABD ,△ABC ,△ABE.【练1】如图,点A 是5×5网格图形中的一个格点(小正方形的顶点),图中每个小正方形的边长为1,以A 为其中的一个顶点,面积等于52的格点等腰直角三角形(三角形的三个顶点都是格点)的个数为【答案】16个的格点等腰直角三角形,所以就要求直角边长为√5,如图,【解析】因为是面积等于52因为√5=√12+22,所以以点A为圆心,√5为半径画圆,与格点的交点就是三角形的另一顶点,①当A位于直角顶点时,存在8种情况,如图①②.②当A位于斜边的一个顶点时,同样存在8种情况,如图③④.的格点等腰直角三角形共有16个.∴以A为顶点且面积等于52【练2】在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形(即顶点恰好是正方形的顶点)，则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是．【答案】4个【解析】如图所示，以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个，总计个.。
2019中考数学《面积的计算》专题复习考点讲解(含答案)
面积的计算考点图解技法透析面积法是一种重要方法，计算图形面积是平面几何中最常见的基本问题之一，与面积相关的知识有：(1)常见图形的面积计算公式：正方形面积＝边长×边长；矩形的面积＝长×宽；平行四边形面积＝底×高；三角形面积＝底×高÷2；梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2；圆的面积＝×半径的平方；扇形面积＝2360n r（n为圆心角，r为半径）(2)计算面积常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形的面积相等；②等底的两个三角形的面积比等于对应高的比；③等高的两个三角形的面积比等于对应底的比；④三角形一边上的中线平分这个三角形的面积．(3)面积计算常用到以下方法：①和差法：把所求图形的面积转化为常见图形面积的和、差表示，运用常见图形的面积公式；②等积法：找出与所求图形面积相等的或者关联的特殊图形，通过代换转化来求出图形的面积；③运动法：通过平移、旋转、割补等方式，将图形中的部分图形运动起来，把图形转化为容易观察或解决的形状；④代数法：通过寻求图形面积之间的关系列方程（组）；把几何问题转化为代数问题．(4)非常规图形的面积计算往往采用“等积变换”，所谓“等积变换”就是不改变几何图形的面积，而是把它的形状改变成能够直接求出面积的图形，等积变换的主要目的，是把复杂的图形变成简单的图形，把不规则的图形变成规则的图形．(5)“等积变换”的方法①公式法，即运用某些图形的面积公式及其有关推论．②分割法，即把一个图形分割成熟知的若干部分图形．③割补法，即把一个图形的某一部分分割出来，然后用与其等积图形填补到某一位置．名题精讲考点1 用面积公式计算常规图形面积例1 如图，将直角三角形BC 沿着斜边AC 的方向平移到 △DEF 的位置（A 、D 、C 、F 四点在同一条直线上）．直角边DE 交BC 于点G ．如果BG ＝4，EF ＝12，△BEG 的面积等于4，那 么梯形ABGD 的面积是 ( )A ．16B ．20C ．24D ．28【切题技巧】【规范解答】 B【借题发挥】 把不能直接求出面积的图形通过转化或找出与它面积相等的特殊图形，从而能够求解．【同类拓展】 1．如图所示，A 是斜边长为m 的等腰直角三角形，B ，C ，D 都是正方形，则A ，B ，C ，D 的面积的和等于 ( )A ．94m 2B ．52m 2C ．114m 2D ．3m 2考点2 用面积的和、差计算非常规图形有面积例2 如图，P 是平行四边形ABCD 内一点，且S △PAB ＝5， S △PAD ＝2，请你求出S △PAC （即阴影部分的面积）．【切题技巧】 △APC 的底与高显然无法求，则应用已知三角 形的面积的和或差来计算△APC 的面积．【规范解答】【借题发挥】 对于不能直接求的图形可以把图形进行分解和组合，通过图形的面积和或差进行计算．【同类拓展】 2．如图，长方形ABCD 中，△ABP 的面积为a ， △CDG 的面积为b ，则阴影四边形的面积等于 ( )A ．a ＋bB ．a －bC ．2a bD ．无法确定考点3 列方程（组）求面积例3 如图所示，△ABC 的面积是1cm 2．AD ＝DE ＝EC ， BG ＝GF ＝FC ，求阴影四边形的面积．【切题技巧】条件中有两组等分点，易知△BCE，△ACF的面积为13，但仍然不能求阴影部分面积，因此，只要求出△BCE中另两块面积即可，【规范解答】如图，设AG与BE交于N，AF与BE交于P，连接NC，ND，PC，PD．设△NGB的面积为x，△NDE的面积为y，则有△NCG的面积为2x，△NEA的面积为2y．因为△ABC的面积是1cm2，且AD＝AE＝EC，BG＝GF＝FC．【借题发挥】求一些关系复杂的图形面积，列方程是一个重要方法，它不但可以使我们熟悉列方程和了解方程在几何中的应用，而且能清晰地表明图形面积之间的关系，从而可以化解或降低解题的难度．【同类拓展】3．如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，AE、DE、BF、AF把正方形分成8小块，各小块的面积分别为S1、S2、…、S8，试比较S3与S2＋S7＋S8的大小，并说明理由．考点4 面积比与线段比的转化例4 如图所示，凸四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，若△AOD的面积是2，△COD的面积是1，△COB的面积是4，则四边形ABCD的面积是 ( )A．16 B．15 C．14 D．13【切题技巧】分析△AOD，△DOC，△AOB，△COB四个三角形的面积，只有通过线段比联系起来，相邻两个三角形的面积都存在着一种比例关系．【规范解答】【借题发挥】 两三角形的高相等时，面积比等于对应底之比，则可以将面积比与对应线段比相互转化，这是．解答面积问题、线段比等问题的常用技巧．【同类拓展】 4．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则AGCD ABCDS S 四边形矩形等于 ( )A ．56B ．45C ．34D ．23考点5例5 如图所示，在四边形ABCD 中，AM ＝MN ＝ND ， BE ＝EF ＝FC ，四边形ABEM 、MEFN 、NFCD 的面积分别记为S 1，S 2和S 3．求213?S S S =+【切题技巧】 把四边形分割成多个三角形，运用三角形等积变换定理即可求出，【规范解答】 连接A ．E 、EN 、PC 和AC ．【借题发挥】 等积变形的题目中，常将多边形面积转化为三角形面积，再运用等底同高来进行等积代换，因此，在转化时只要抓住题设中的等分点，就可以将多边形面积进行等积变换了．【同类拓展】 5．如图，张大爷家有一块四边形的菜地，在A 处有一口井，张大爷欲想从A 处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水 渠将四边形菜地分成面积相等的两部分，请你为张大爷设计一种引水 渠的方案，画出图形并说明理由． 考点6 格点多边形的面积例6 如图，五边形ABCDE 的面积为多少？我们把方格纸上两组互相平行且垂直的直线的交点叫格点． 顶点在格点上的多边形叫格点多边形．可以通过图形的分割，转化为规则图形，再求面积．【规范解答】如图，标上字母F 、G 、H 、I 、J 点，使得△ABF ， △BCG ，△CDH ，△DEI ，△EAJ 为直角三角形，【借题发挥】 格点多边形面积有如下计算规律：格点多边形的面积等于其所包含有格点个数，加上由其边界上的格点的个数之半，再减去1．此规律对凹多边形也适用．即：若格点多边形的面积为S ，格点多边形内部有且只有n 个格点，它各边上格点的个数和为x ．则S ＝12x ＋n －1． 【同类拓展】 6．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形 格中，阴影部分面积与正方形ABCD 面积的比是 ( ) A ． 3：4 B ．5：8 C ．9：16 D ．1：2 参考答案1．A 2．A 3．S 3＝S 2＋S 7＋S 8． 4．D 5．S △ABF ＝S 四边形AFCD ． 6．B2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS2．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1.5小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，t＝32或t＝72，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．点P（﹣3，m+1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.4．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧，交边AD于点F；②再分别以B，F为圆心画弧，两弧交于平行四边形ABCD内部的点G处；③连接AG并延长交BC于点E，连接BF，若3BF=， 2.5AB=，则AE的长为( )A.2B.4C.8D.55．如图，点是边长为1的菱形对角线上的一个动点，点，分别是边，的中点，则的最小值是( )A. B.1 C. D.26．方程组的解是( )A.B. C. D.7．多项式4x-x 3分解因式的结果是( ) A ．()2x 4x-B ．()()x 2x 2x -+C ．()()x x 2x 2-+D ．2x(2x)-8．一几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）A ．四棱锥B ．圆锥C ．三棱柱D ．四棱柱9．如图，水平的讲台上放置的圆柱笔筒和长方体形粉笔盒，它的俯视图是（ ）A．B． C．D．10．从甲，乙，丙三人中任选一名代表，甲被选中的可能性是A.12B.1C.23D.1311．分解因式3a2b﹣6ab+3b的结果是（）A．3b（a2﹣2a）B．b（3a2﹣6a+1）C．3（a2b﹣2ab）D．3b（a﹣1）212．在整数范围内，有被除数＝除数×商+余数，即a＝bq+r(a≥b，且b≠0，0≤r＜b)，若被除数a和除数b确定，则商q和余数r也唯一确定，如：a＝11，b＝2，则11＝2×5+1此时q＝5，r＝1．在实数范围中，也有a＝bq+r(a≥b且b≠0，商q为整数，余数r满足：0≤r＜b)，若被除数是，除数是2，则q与r的和( )A．﹣4 B．﹣6 C．-4 D．-2二、填空题13．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝，点E是BC的中点，点F在AB上，FB＝2，P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE＝30°时，FP的长为_____．14．计算：（﹣12）2=_____．15．如图，扇形纸扇完全打开后，∠BAC=120°，AB=AC=30厘米，则BC的长为_____厘米．（结果保留π）16．若关于x 的一元二次方程2230x x m -+-=有两个相等的实数根，则m 的值是______________.17．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．18．计算：（a+b ）（2a ﹣2b ）＝_____． 三、解答题19．已知：△ABC 的两边AB 、BC 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+2）x+k 2+2k ＝0的两个实数根，第三边长为10．问当k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？20．如图，已知⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆,点D 在圆上，过A 作AE ∥BC 交CD 延长线于E.（1）求证：EA 是⊙O 的切线；（2）若BD 经过圆心O ，其它条件不变，则△ADE 与圆重合部分的面积为_____.(在备用图中画图后，用阴影标出所求面积)21．小张在网上销售一种成本为20元/件的T 恤衫，销售过程中的其他各种费用(不再含T 恤衫成本)总计40(百元)，若销售价格为x(元/件)，销售量为y(百件)，当30≤x≤50时，y 与x 之间满足一次函数关系，且当x ＝30时，y ＝5，有关销售量y(百件)与销售价格x(元/件)的相关信息如下：(1)请在表格中直接写出当30≤x≤50时，y与x的函数关系式；(2)求销售这种T恤衫的纯利润w(百元)与销售价格x(元/件)的函数关系式；(3)销售价格定为多少元/件时，获得的利润最大？最大利润是多少？22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，点O在AB上，以点O为圆心，OB 为半径的圆经过点D，交BC于点E（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB＝2，CD留π）．23．为考察甲、乙两种农作物的长势，研究人员分别抽取了6株苗，测得它们的高度（单位：cm）如下：甲：98，102，100，100，101，99；乙：100，103，101，97，100，99．（1）你认为哪种农作物长得高一些？说明理由；（2）你认为哪种农作物长得更整齐一些？说明理由．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，过C作CF∥AB交DE延长线于点F，连接AF、DC．求证：（1）DE＝FE；（2）四边形ADCF是菱形．25．已知，抛物线C1:y=- 12x2+mx+m+12（1）①当m=1时，抛物线与x轴的交点坐标为_______;②当m=2时，抛物线与x轴的交点坐标为________;（2）①无论m取何值，抛物线经过定点P________;②随着m的取值的变化，顶点M（x，y）随之变化，y是x的函数，记为函数C2，则函数C2的关系式为：________ ；（3）如图，若抛物线C1与x轴仅有一个公共点时，①直接写出此时抛物线C1的函数关系式；②请在图中画出顶点M满足的函数C2的大致图象，在x轴上任取一点C，过点C作平行于y轴的直线l分别交C1、C2于点A、B，若△PAB为等腰直角三角形，求点C的坐标；（4）二次函数的图象C2与y轴交于点N，连接PN，若二次函数的图象C1与线段PN有两个交点，直接写出m的取值范围．【参考答案】***一、选择题二、填空题14．415．20π16．417．4218．2a 2﹣2b 2三、解答题19．k ＝8或10【解析】【分析】因为方程有两个实根，所以△＞0，从而用k 的式子表示方程的解，根据△ABC 是等腰三角形，分AB ＝AC ，BC ＝AC ，两种情况讨论，得出k 的值．【详解】∵△＝[﹣(2k+2)]2﹣4(k 2+2k)＝4k 2+8k+4﹣4k 2﹣8k=4>0，∴x ＝()222k --+⎡⎤⎣⎦，∴x 1＝k+2，x 2＝k ，设AB ＝k+2，BC ＝k ，显然AB≠BC，而△ABC 的第三边长AC 为10，(1)若AB ＝AC ，则k+2＝10，得k ＝8，即k ＝8时，△ABC 为等腰三角形；(2)若BC ＝AC ，则k ＝10，即k ＝10时．△ABC 为等腰三角形．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，公式法，解本题要充分利用条件，选择适当的方法求解k 的值，从而证得△ABC 为等腰三角形．20．（1）见解析；（2）23π．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠O AE=90°，可得：AE 是⊙O 的切线；（2）如备用图，根据等边三角形的性质得到BD ⊥AC ，∠ABD=∠CBD=30°，∠BAD=∠BCD=90°，根据平行线的性质得到∠AED=∠BCD=90°，解直角三角形得到AD=2，连接OA ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．(1)证明：如图1，连接OA，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠BCA=60°，∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，∴AE是⊙O的切线；（2）如备用图，∵△ABC是等边三角形，BD经过圆心O，∴BD⊥AC，∠ABD=∠CBD=30°，∠BAD=∠BCD=90°，∵EA是⊙O的切线，∴∠EAD=30°，∵AE∥BC，∴∠AED=∠BCD=90°，∵∴AD=2，∵OA=OB ，∴∠OAB=OBA=30°，∴∠AOD=60°，∴△ADE 与圆重合部分的面积=S 扇形AOD -S △AOD=260212236023ππ⋅⨯-⨯=故答案为：23π【点睛】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定和性质，扇形的面积计算，正确的作出图形是解题的关键．21．(1)y ＝﹣110x+8；(2)见解析；(3)销售价格定为60元/件时，获得的利润最大，最大利润是60百元．【解析】【分析】（1）把x ＝50代入y ＝150x得y ＝3，设y 与x 的函数关系式为：y ＝kx+b ，把x ＝30，y ＝5；x ＝50，y ＝3，代入解方程组即可得到结论；（2）根据x 的范围分类讨论，由“总利润＝单件利润×销售量”可得函数解析式；（3）结合（1）中两个函数解析式，分别依据二次函数的性质和反比例函数的性质求其最值即可．【详解】(1)把x ＝50代入y ＝150x得y ＝3， 设y 与x 的函数关系式为：y ＝kx+b ，∵当x ＝30时，y ＝5，当x ＝50时，y ＝3，∴530350k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：1k 10b 8⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y 与x 的函数关系式为：y ＝﹣1x+8；故答案为：y ＝﹣110x+8； (2)当30≤x≤60时，w ＝(x ﹣20)(﹣0.1x+8)﹣40＝﹣0.1x 2+10x ﹣200；当60＜x≤80时，w ＝(x ﹣20)• 150x ﹣40＝﹣3000x+110； (3)当30≤x≤60时，w ＝﹣0.1x 2+10x ﹣200＝﹣0.1(x ﹣50)2+50，∴当x ＝50时，w 取得最大值50(百元)；当60＜x≤80时，w ＝﹣3000x +110， ∵﹣3000＜0，∴w 随x 的增大而增大，当x ＝60时，w 最大＝60(百元)，答：销售价格定为60元/件时，获得的利润最大，最大利润是60百元．【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的应用，理解题意依据相等关系列出函数解析式，并熟练掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键．22．（1）见解析；（2）23π-【解析】【分析】（1）欲证明AC 是⊙O 的切线，只要证明OD ⊥AC 即可．（2）证明△OBE 是等边三角形即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OD ，如图，∵BD 为∠ABC 平分线，∴∠1＝∠2，∵OB ＝OD ，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∵∠C ＝90°，∴∠ODA ＝90°，∴OD ⊥AC ，∴AC 是⊙O 的切线．（2）过O 作OG ⊥BC ，连接OE ，则四边形ODCG 为矩形，∴GC ＝OD ＝OB ＝2，OG ＝CD ，在Rt △OBG 中，利用勾股定理得：BG ＝1，∴BE ＝2，则△OBE 是等边三角形，∴阴影部分面积为260?2360π⨯﹣12＝23π- 【点睛】本题考查切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，思想的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．甲组数据的平均数为100cm ；乙组数据的平均数为100cm ；（2）甲种农作物长得比较整齐．【解析】【分析】（1）根据平均数的计算公式分别把这6株农作物的高度加起来，再除以6即可；（2）先算出甲与乙的方差，再进行比较，方差越小的，农作物长势越整齐，即可得出答案．【详解】（1）甲组数据的平均数＝16×（98+102+100+100+101+99）＝100（cm ）； 乙组数据的平均数＝16×（100+103+101+97+100+99）＝100（cm ）； （2）s 2甲＝16×[（98﹣100）2+（102﹣100）2+…+（99﹣100）2]＝53； s 2乙＝16×[（100﹣100）2+（103﹣100）2+…+（100﹣99）2]＝103． s 2甲＜s 2乙．所以甲种农作物长得比较整齐．【点睛】本题考查了平均数与方差，一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差大，波动性越大，反之也成立．24．（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】【分析】（1）由“AAS ”可证AED CEF ∆≅∆，可得DE EF ＝；（2）由直角三角形的性质可得CD AD ＝，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形ADCF 是平行四边形，即可证四边形ADCF 是菱形．【详解】（1）证明：∵CF AB ∥ ，∴DAC ACF ∠∠＝，又∵AE EC AED CEF ∠∠＝，＝ ，∴AED CEF AAS ≌（）， ∴DE EF ＝．（2）∵90ACB ∠︒＝，D 是AB 的中点，∴CD AD ＝∵DE EF AE EC ＝，＝∴四边形ADCF 是平行边形又∵AD CD ＝∴四边形ADCF 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．25．（1）（﹣1，0）（3，0）；（﹣1，0）（5，0）；（2）（-1，0）； y=12 (x+1)；（3）点C 的坐标为（1，0）或（-3，0）；（4）-12＜m≤0 【解析】【分析】（1）①把m=1,y=0分别代入抛物线C1，得到一个一元二次方程，解方程即可求出交点横坐标。
初三数学 格点问题资料
初三数学格点问题一、网格中的图形变换1.如图，正方形网格图中每个小正方形边长都为1，每格的顶点叫做格点。
（1）以格点为顶点画出三边长分别为23104、、的ABC∆，并求出三角形的面积；（2）画出ABC∆的外接圆的圆心O，并求出这个外接圆的面积。
（π取14.3）二、网格中的计算问题2.图2是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为________m．（结果保留根号）图2 图3 图4 图53.如图3，在边长为1的正方形网格中，•按下列方式得到“L”形图形．第1个“L”形图形的周长是8，第2•个“L•”形图形的周长是12，则第n个“L”形图形的周长是______．4.如图4，直角坐标系中，△ABC•的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为（2，-1），则△ABC的面积为________平方单位.5.如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点．作△ABC的外接圆⊙O，则弧AC的长等于三、网格中的计数问题6.如图6，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A．B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A．B．C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是个.第6题第7题第7题A BCC’B’7.如图7，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ’B ’，则tanB ’的值为8.如第8题图，1∠的正切值等于 。
四、网格中的相似图形1. 如图2，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC ∽△PQR ，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁2．有一张足够大的网格图，每一小格都是边长为a 正方形，每格的顶点叫做格点。
网格上有如右图的D C B A ,,,四点，连接AD BC AC AB 、、、。
（１）请问在网格上可以找到几个格点（记这个点为E ）使得以点E D A 、、为顶点的ADE ∆与ACD ∆相似；选择其中的一点，来说明ADE ∆与ACD ∆相似。
小学数学《格点与面积》练习题(含答案)
小学数学《格点与面积》练习题（含答案）内容概述同学们，一看这个题目，你一定会有许多疑问：什么是格点?格点与面积之间又有什么关系等等．这一节我们就来探讨这些问题。
在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达?下面就让我们一起来探讨这些问题吧！正方形格点问题正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.【例1】判断下列图形哪些是格点多边形？【例2】如右图，计算各个格点多边形的面积.分析：本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.【例3】如右图（a），计算这个格点多边形的面积.【例4】（1998年新加坡小学数学奥林匹克竞赛）右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例5】分别计算右图中两个格点多边形的面积。
【例6】用N表示多边形内部格点， L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积,填写下表：图形图形内的格点数（N）边界上的格点数（L）面积（S）例2图4例3例4例5（1）【例7】本讲开始提到的图“乡村小屋”的面积是多少？【例8】 (保良局亚洲区城市小学数学竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例9】右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?【例10】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图).如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少?面积等于2平方厘米的三角形有多少个？三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.【例11】如右图（a），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角形ABC的面积.【例12】如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积.【例13】把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果大三角形的面积是128,求图中粗线所围成的三角形的面积.【例14】（第五届“华杯赛”）正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?练习一1.求下列各个格点多边形的面积.2. 右图是一个8 12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.3.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.4.右图有12个点,相邻两个点之间的距离是1厘米,这些点可以连成多少个面积为2平方厘米的三角形?5.将图中的图形分割成面积相等的三块.正方形格点问题正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.【例15】判断下列图形哪些是格点多边形？分析：根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线，顶点要在格点上！所以只有（1）是格点多边形。
初中数学中格点问题有答案
析解： 本题是一道综合型网格作图试题， 涉及到无理数、 勾股定理等知识， 主要考查同学们的计算能力、
动手操作能力．类比小东的作法，可设新正方形的边长为
正方形得边长等于两个小正方形组成第 3 条水平线位置，并且由题意知， y 轴的正方向向上，故白棋⑨的位置应记为（ D ，6）．
四、格点中的相似问题 例 4 （福州市罗源平潭）如图 6，在 7×12 的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，算算看画面中由实线组成
的相似三角形有（
）
D
A ． 4 对 B ． 3 对 C． 2 对 D ．1 对 析解：本题是一道以网格为背景的结论探索性问题， 在正方形网格中画了一只可爱的小狐狸，增强了题目
小东同学的做法是：设新正方形的边长为
x(x＞ 0)．依题意，割补前后图形的面积相等，有
x2=5，解得
x= 5 ．由此可知新正方形得边长等于两个小正方形组成得矩形对角线得长．于是，画出如图
②所示的分割
线，拼出如图 ③ 所示的新正方形．
图①
图②
图③ 图 12
图④
图⑤
请你参考小东同学的做法，解决如下问题： 现有 10 个边长为 1 的正方形，排列形式如图④，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图
图3
图4
（ 2）若网格中每个小正方形的边长为 l ，旋转后点 A 的对应点依次为 A1、A2、A3，求四边形 AA1A2A3 的面积；
(3) 这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．
析解：本题主要考查的是旋转变换，利用和差法计算图形的面积等方法以及勾股定理．
初中数学格点与面积（B）同步练习及答案
初中数学格点与面积（B）同步练习及答案九、格点与面积(B)年级______班_____ 姓名 _____得分_____一、填空题:1.右图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).2.右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).3.在一个9?6的长方形内,有一个凸四边形ABCD(如右图).用毕克定理先求出它的面积来,再用拼割方法计算它的面积,看两者是否一致.4.右图中每个小正方形的面积都是4平方厘米,求图中阴影部分的面积.5.右图是一个10?10的正方形,求正方形内的四边形ABCD 的面积.6.右图是一个8?12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.7.右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?8.右图是一个5?5的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点为格点.请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用线段连结所围成的面积尽可能大,那么,所用图形的面积1是多少平方厘米？9.右图中每个小正方形的面积为1平方分米,那么阴影部分的面积是多少平方分米?10.右图中每个小平行四边形的面积是1个面积单位,求阴影部分的面积.二、解答题:1.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算ABC的面积.2.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形DEFG的面积.3.把等边三角形ABC每边六等分,组成如右图的三角形网.若图中每个小三角形的面积均为12cm,试求图中三角形DEF的面积.4.把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果每个小三角形的面积都是1,求图中粗线所围成的三角形的面积.———————————————答案——————————————————————一、填空题:1. 面积单位.分析:解答这类问题可直接套用毕克定理:格点面积=内部格点数+周界上格点数÷2-1.注意:一是毕克定理只对格点凸多边形适用,二是在数格点时要细心.解: 5+3÷2-1=(面积单位).2. 5+5÷2-1=(面积单位).3. 面积单位.解: ①由毕克定理得:25+7÷2-1=(面积单位).②用拼割方法得:ABCD的面积=长方形EFGH的面积-四角上的四个三角形的面积=9?6-(6?2÷2+3?3÷2+4?3÷2+4?5÷2)=54-(6++6+10)=(面积单位).4. 48平方厘米.解: ①内部格点数为: 9个;②周界上格点数为: 8个;③阴影部分的面积是: 4?(9+8÷2-1)=48(平方厘米).。
课题学习 格点多边形的面积计算-2020春浙教版八年级数学下册同步训练
课题学习格点多边形的面积计算A组(第1题)1．如图，关于方格板中的两个四边形，下列叙述正确的是(C)A. 四边形Ⅰ的面积大于四边形Ⅱ的面积B. 四边形Ⅰ的面积小于四边形Ⅱ的面积C. 这两个四边形的面积相同，但Ⅰ的周长小于Ⅱ的周长D. 这两个四边形的面积相同，但Ⅰ的周长大于Ⅱ的周长2．在格点图中，横排或竖排相邻两格点间的距离都为1.若格点多边形边界上有12个格点，图形内有4个格点，则这个格点多边形的面积为__9__．3．在如图所示的5×5的方格纸中，每个小正方形的边长都为1.画出三个格点多边形，使格点多边形内的格点数为4，格点多边形边界上的格点数分别为5，6，7，并求出每一个图中的格点多边形的面积．,(第3题))【解】 如图所示(答案不唯一)．图①中，格点多边形内的格点数a ＝4，格点多边形边界上的格点数b ＝5， ∴S ＝a ＋12b －1＝4＋12×5－1＝112.图②中，格点多边形内的格点数a ＝4，格点多边形边界上的格点数b ＝6， ∴S ＝a ＋12b －1＝4＋12×6－1＝6.图③中，格点多边形内的格点数a ＝4，格点多边形边界上的格点数b ＝7， ∴S ＝a ＋12b －1＝4＋12×7－1＝132.4．“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为S ＝a ＋b2－1，小明只记得公式中的S 表示多边形的面积，a 和b 中有一个表示多边形边上(含顶点)的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a 还是b 表示多边形内部的整点个数．请你根据图①推断公式，并运用这个公式求得图②中多边形的面积．(第4题)【解】根据图①可得，－1；∵三角形内有1个格点，边上有8个格点，面积为4，即4＝1＋82－1，长方形内有2个格点，边上有10个格点，面积为6，即6＝2＋102∴公式中表示多边形内部整点个数的字母是a.∵图②中，a＝15，b＝7，－1＝17.5.∴图②中多边形的面积S＝15＋725．如图，每个小正方形的面积都为1.(第5题)(1)求凹多边形的面积．(2)若记格点多边形内的格点数为a ，边界上的格点数为b ，则图中a ＝__11__，b ＝__11__，代入格点多边形的面积计算公式S ＝a ＋12b －1中，得S ＝15.5．(3)根据问题(1)和(2)，猜想格点多边形的面积计算公式S ＝a ＋12b －1是否适合凹多边形的情形(直接写出结论)．【解】 (1)由长方形的面积减去三角形的面积，得S ＝4×6－12×1×3－12×3×2－12×2×2－12×1×4＝15.5.(3)格点多边形的面积计算公式S ＝a ＋12b －1适合凹多边形的情形．B 组6．如图，在5×4的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点O ，A ，B 在方格纸的交点(格点)上，在第四象限内的格点上找一点C ，使△ABC 的面积为3，则这样的点C 共有(B )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个,(第6题)),(第6题解)) 【解】点C的位置如解图所示，共有3个．(第7题)7．如图，在5×5的方格纸中，小正方形的面积均为1，小正方形的顶点为格点，请你在图中选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连结后围成的图形面积尽可能大，并求出这个最大面积．(第7题解)【解】 当7个格点的位置如解图所示时，围成的面积最大，最大面积为5×5－0.5×3＝23.5.(或∵a ＝16，b ＝17，∴S ＝a ＋12b －1＝16＋12×17－1＝23.5.)8．各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形．如何快速地计算它的面积？奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积公式：S ＝a ＋12b －1，其中a 表示多边形内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积．如图①，a ＝4，b ＝6，S ＝4＋12×6－1＝6.(1)请在图②中画一个格点正方形，使它内部只含有4个格点，并写出它的面积． (2)请在图③中画一个格点三角形，使它的面积为72，且每条边上除顶点外无其他格点．,(第8题))【解】 (1)画法不唯一，如解图①或②所示．,(第8题解))(2)画法不唯一，三角形内部的格点数为3即可，如解图③或④所示．9．如图，正六边形ABCDEF的面积为54 cm2，AP＝2PF，CQ＝2BQ.求四边形CEPQ 的面积．(第9题)(第9题解)【解】 如解图，把正六边形等分成54个小正三角形，由于正六边形ABCDEF 的面积为54 cm 2，故每一个小正三角形的面积为1 cm 2，∴S 四边形ABQG ＝7 cm 2，S ▱GPHQ ＝8 cm 2，S ▱PMEF ＝6 cm 2，S ▱CDEN ＝18 cm 2.根据平行四边形的对角线平分平行四边形的面积，得S △PQG ＝12S ▱GPHQ ＝4 cm 2，S △EFP ＝12S ▱PMEF ＝3 cm 2，S △CDE ＝12S ▱CDEN ＝9 cm 2，∴S 四边形ABQP ＝S 四边形ABQG ＋S △PQG ＝7＋4＝11(cm 2)，∴S 四边形CEPQ ＝S 正六边形ABCDEF －S 四边形ABQP －S △CDE －S △EFP ＝54－11－9－3＝31(cm 2)．数学乐园10．如图，A 是5×5网格图形中的一个格点(小正方形的顶点)，图中每个小正方形的边长为1.求以A 为其中一个顶点，面积等于52的格点等腰直角三角形(三角形的三个顶点都是格点)的个数．,(第10题))【解】 ∵面积等于52，且为格点等腰直角三角形，∴等腰直角三角形的直角边长为5，5，斜边长为10.观察图形可知，以A 为直角顶点的等腰直角三角形有8个；以A 为45°角顶点的等腰直角三角形有8个，故共有16个．。
2024年中考数学复习--坐标系与面积+专项练习
专题1 知坐标求面积核心考点一求有特殊边的图形面积----直接利用面积公式求01. 如图,写出图中A, B, C的坐标, 并求出△ABC的面积.02. 如图,写出图中A, B, C的坐标, 并求出△ABC的面积.03. 如图, 已知A, B, C, D的坐标,求出四边形ABCD 的面积.04. 如图,直线BC经过原点O, 点A在x轴上, AD⊥BC于D, 若B(m, 3),C(n, -4) , A(5, 0) , 则AD·BC的值为 .核心考点二割补法求一般三角形的面积：补法好理解，割法解难题05. 已知A(0, 1) , B(2, 0) C(4, 3) , 求△ABC的面积.06. 已知A(2, 3), B(3, 0) , C(0, -4) , 求△ABC的面积.07. 如图, A(3, 0) , B(0, 2), C(-2, -2) , BC交x轴于点G,求△ABC的面积及AG的长.08. 如图在平面直角坐标系中，点A(−1,−3),点B(3,−1),点 C (2, 2) , 则三角形ABC的面积是 ( )A. 7B. 7.5C. 8D. 8.5专题2 知面积求坐标核心考点一知面积求点坐标——水平或竖直类01. 在平面直角坐标系中,A(1, 0), B(5, 0), 点C(2, m)在第一象限,且S ABC=6,求m的值.02. 已知A(-2,0), C(2, 4) , S△ABc=6,△ABC的边AB在x轴上, 求B点的坐标.03. 如图,点A(-1,0),点B(0,3), 点C(2,4), 点D(3,0), 点P是x轴上一点, 直线CP 将四边形 ABCD 的面积分成1∶2两部分, 则P 点的坐标为 .核心考点二知面积求点坐标——非水平且非竖直类04. 在平面直角坐标系中, A(1, 2), B(3, 1) , 点P在坐标轴上, S PAB=4,求P点的坐标.专题3 含参数的顶点图形面积核心考点一特殊值法求顶点含参数的图形面积01.在平面直角坐标系中,A(m,-1),B(m+2,3),C(m+6,1),则三角形ABC的面积为 .核心考点二含参数的坐标和垂线段的长度转化02. 如图,在平面直角坐标系中, 已知A(0, 2) , B(3,0) , C(3,4) 三点.),请用含 m的式子表示四边形ABOP的面积；(1) 如果在第二象限内有一点P(m,12(2)在(1) 的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP 的面积与△ABC的面积相等? 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.核心考点三由图形面积求点的横纵坐标的数量关系03. 在平面直角坐标系中, 已知点A(2,0), B(0, 3), 点P(m, n)为第三象限内一点，若三角形PAB的面积为18，则m，n满足的数量关系式为 .04.如图, 在平面直角坐标系xOy中.(1) 若A(2, 4), B(4, 2) , 直接写出三角形AOB的面积;(2)若A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)均为第一象限内的点, O, A,B三点不在同一直线上, 其中x₂>x₁, 且y₂<y₁. 求三角形AOB 的面积(用含. x₁, x₂,y₁,y₂的代数式表示)；(3)若四边形OABC的顶点A, B, C的坐标分别为(2, 4), (5, 3),(m, n), 其中m>5,且n<3. 若四边形OABC的面积为12，请直接写出m与n的关系式.01. 如图，在平面直角坐标系中，第一象限内有两点P(m−3,n),Q(m,n−2),将线段PQ平移使点 P，Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 .02. 如图,在平面直角坐标系中,点A在x轴上,点B(0, 9), 线段AB向右平移3个单位至线段CD，线段CD 与y轴交于点 E，若图中阴影部分面积是21，则点C 的坐标为 .03. 如图,在平面直角坐标系中, 已知点A(3, 4),. B(−1,−2),，将线段AB 平移到线段 CD，点A 平移到点C，若平移后点 C，D 恰好都在坐标轴上，则点C的坐标为 .04. 如图,在平面直角坐标系中, A,B两点的坐标分别为(-2, 2), (1,8) ,把直线AB 以每秒1个单位长度的速度向右平移，问经过多少秒后，该直线与y轴交于点Q(0,−1)?核心考点一面积法求直线和坐标轴的交点坐标01. 已知在平面直角坐标系中, A(-1, 3), B(2,1), 求线段AB 所在直线与坐标轴的交点的坐标.02. 已知在平面直角坐标系中, A(-2, -4) , B(2, 1), 求线段AB所在直线与坐标轴的交点的坐标.核心考点二坐标系内的图形面积求法和面积法的应用03. 如图,点A(1,0), B(3, 0) , C是y轴上一点, 且三角形ABC的面积为3,则点 C的坐标为 .04.如图，平面直角坐标系中的图案是由五个边长为1的正方形组成，B(3，3)，点A在x轴上，直线AB 将图案的面积分成2：3的两部分，则点A的坐标为 .专题6 面积和差法求直线上的含参数的点的坐标核心考点一定直线上的点已知横坐标或者纵坐标求另外一个坐标,n)在直线AB 上. 我们可以用面积法求点01.如图,在平面直角坐标系中,直线AB 与坐标轴交于A(-4,0), B(0, m) 两点,点C(2, 3), P(−32B 的坐标.(1) 请阅读并填空：一方面，过点C作 CN⊥x轴于点N，我们可以由A，C的坐标，直接得出三角形AOC的面积为平方单位；另一方面，过点 C作CQ⊥y轴于点Q，三角形AOB的面积=1BO⋅AO=2m,三角形 BOC的面积= 平方单位.2∵三角形AOC 的面积=三角形AOB的面积+三角形BOC的面积，∴可得关于 m的一元一次方程为，解这个方程，可得点B 的坐标为 .(2) 如图，请你仿照(1) 中的方法，求点P的纵坐标；(3)若点H(3，h)，且三角形ACH 的面积等于24平方单位，请直接写出h的值.核心考点二定直线上的点横、纵坐标用同一个参数表示01. 如图,点A(-4, 0), B(0, 2) , 若第一象限内的点. M(m,−2m+5)在直线AB上，求点M的坐标.02. 如图,在平面直角坐标系中, 已知A(0, 4), B(3,0) , 点P在线段AB上, 且P到两坐标轴的距离相等，求P点的坐标.03. 如图,在平面直角坐标系中, 已知A(-2, 4), B(2, 1) , 将线段AB沿某一方向平移, 使得点A, B的对应点. A′,B′分别落在x轴，y轴上，则线段. A′B′'上是否存在一点R，使得点R到x轴，y轴的距离相等，若存在请你画图并求出点R的坐标.04. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C三点的坐标分别是. A(−2,0),B(0, 4) , C (0, -1) , 过点C作( CD‖AB,，交第一象限的角平分线于点D，连接AD交y轴于点E，则点E的坐标为 .专题7 顶点在和坐标轴平行的直线上的图形面积01. 在平面直角坐标系中, O为坐标原点, A(a, b), B(c, d) 为平面直角坐标系中的两点，且√a−c+3+|b−d−4|=0.其中a, b, c, d为常数.(1) 若A(−1,−2),求三角形AOB的面积；(2)如果点A在x轴上方平行于x轴且到x轴距离等于2的直线上运动，且三角形AOB的面积等于11，直接写出a的值.02. 如图, 在平面直角坐标系中, A(−1,1),B(2,3),若点P (3, n)满足△ABP的面积等于 6，求n的值.03. 如图,在平面直角坐标系中, A,B 两点的坐标分别为(-2, 2), (1,8),若点M(−4,n),且三角形 MAB的面积为10，求点M的坐标.04. 如图,在平面直角坐标系中, A(-1, 1), B(2, 3), 设线段AB交y轴于 C,动点E 从点C 出发，在y轴上以每秒1个单位长度的速度向下运动，动点F从点. M(−8,0)出发，在x轴上以每秒2个单位长度的速度向右运动，若它们同时出发，设运动时间为t秒，问t 为何值时，有S ABE=2S ABF专题8 坐标系中线段的中点、面积比和线段比核心考点一线段的中点01. 教材上曾让同学们探究过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，若两点A(x₁，y₁) , B(x₂, y₂), 则线段AB 的中点M 的坐标为(x1+x22,y1+y22).例如: 点A(1, 2),B(3, 6), 则线段AB的中点M的坐标为(1+32,2+62),即M(2, 4). 请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点. E(a−1,a),F(b,a−b),线段EF的中点 G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是3，则a+2b的值等于 .核心考点二面积比和线段比02. 已知A(0, 5) , B(4, 0) , C(-2, 0).(1) P 点在线段AB上，且P到两坐标轴的距离相等，求P点的坐标；(2) E点在线段AB 上, 且BE=3AE, 求E点的坐标;(3) E点在直线AB上, BE=3AE, 求E点的坐标;S ABC,求E点的坐标.(4) E为线段AC上一点, 若S ABE=13S ABC,则 P点的坐标为 .03. 已知平面直角坐标系中,A(3, 4), B(-2,1), C(1,0),延长AB与x轴交于一点P，若S PBC=13核心考点三利用隐藏的面积比和线段比04. 在平面直角坐标系中, A(-2, 0), B(-3, n) (n>0), C(0,3) , 连接OB, AC相交于点 D, 若三角形BCD的面积为2, 则n的值为 .专题9 坐标系的格点作图与计算核心考点一平移、等面积多解01.如图所示的平面直角坐标系中, O为坐标原点, A(4,3), B(3,1), C (1,2),将△ABC平移后得到△DEF. 已知B点平移的对应点E点(0，-3) (A点与D点对应，C点与F点对应) .(1) 画出平移后的△DEF，并写出点D的坐标为，点F 的坐标为；(2) 直接写出△ABC的面积 ;(3)连 OC, OB, 则y轴上是否存在 P 点, 使S POC=S ABC,若存在，直接写出P 点坐标 .核心考点二构建坐标系、平移、利用平行线作等角02如图，由小正方形组成的10×10的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.三角形 ABC的三个顶点都是格点.(1)请建立合适的平面直角坐标系，使点B，C的坐标分别是(0，0)和(4，0) ，并写出点A的坐标；(2) 在(1) 的条件下，平移三角形ABC，使得点A平移至图中点D 的位置(其中 E，F 分别是B, C的对应点).①在图中画出三角形DEF，并写出点E和点F的坐标；②在射线AB上画点M, 使∠FDM=∠ACB.03.如图，网格中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点.已知图中A，B，C三点都是格点.(1) 若在坐标平面中A(-2,3), C(1, 1) , 则点B的坐标为 ;(2)将△ABC先向上平移一个单位，再向右平移4个单位，得到△A₁B₁C₁，在网格中画出△A₁B₁C₁(A与A₁对应, B 与B₁对应);(3) 直接写出线段AC在两次平移中一共扫过的面积为；(4) 在射线 BC 上标出点 E, 使∠BEB₁=∠ABC,得到的三角形 ABE的面积为 .核心考点三平移、平行四边形、点到直线的距离与面积法04. 如图, 已知△ABC的顶点坐标分别为. A(−2,0),B(−4,−2),C(−1,−4),将△ABC平移至△A'B'C', 使点A与点A'重合.(1)画出平移后的△A'B'C', 并写出点 C'的坐标( , );(2) 则线段 BC扫过的面积为 ;(3) 在第二象限内有一点D, 且以A', B', C', D'为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是；(4) 若 CC'=5, O为坐标原点, 直接写出点O 到直线( CC′'的距离为核心考点四平移、导角、共线最值、面积法求点的坐标05. 如图是由小正方形组成的12×10网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点三角形ABC中任意一点P(x₀，y₀)经过平移变换后对应点. P₁(x₀+5,y₀+3),将三角形作同样的平移变换得到三角形. A₁B₁C₁.(点A, B, C的对应点分别是点. A₁,B₁,C₁).(1) 画出平移后的三角形A₁B₁C₁;(2) 连接AA₁, CC₁, 则. ∠A₁AB+∠ABC+∠BCC₁=;(3) Q为x轴上一动点, 当BQ+C₁Q最小时，画出点Q 并直接写出点Q的坐标 .06.如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知图中A, B, C三点都是格点, 且A(-3, 1), C(4, 0), AB⊥BC.(1) 请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点B的坐标；(2) P为格点, 若三角形ABP的面积为6, 则 P 点的坐标 ;(3) 将线段AB平移至 CD, 使点B与点C重合.①画出线段CD，E为线段CD上一动点，则三角形ABE 的面积为；②若M为AD上一点，N为BC上一点，O为坐标原点，当OM+ON的值最小时，请仅用无刻度的直尺画出点M与点N(保留作图痕迹).专题10坐标规律探究(1)——点的排列核心考点一循环规律——正方形与循环节01. 如图, 正方形A₁A₂A₃A₄,A₅A₆A₇A₈, A₉A₁₀A₁₁A₁₂,…, (每个正方形从第三象限的顶点开始,按顺时针方向顺序,依次记为A₁,A₂, A₃, A₄; A₅, A₆, A₇, A₈; A₉, A₁₀, A₁₁, A₁₂;…)的中心均在坐标原点 O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点 A2017的坐标为 ( ) .A. (503, 503)B. (-504, 504)C. (-505, -505)D. (506, -506)02. 如图，在平面直角坐标系中，一质点自P₀(1,0)处向上运动1个单位长度至P₁(1，1) . 然后向左运动2个单位长度至P₂处，再向下运动3个单位长度至P₃处，再向右运动4个单位长度至 P₄处，再向上运动5个单位长度至P₅处，…，按此规律继续运动，则 P₂₀₂₃的坐标是( )A. (-1011, 1011)B. (1011, -1012)C. (-1011, -1012)D. (-1012, -1013)核心考点二递增规律——正方形与平方数03. 在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为整数点，如图，一列有规律的整数点, 其坐标依次为(1,0), (2, 0), (2, 1), (1, 1), (1, 2),(2, 2) , …, 根据规律，第2025个整数点坐标为( )A. (45, 2)B. (45, 42)C. (45, 0)D. (45, 10)04. 一个点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向运动: (0,0)→(0,1)→(1,1)→(1, 0)→…,且每秒移动一个单位长度，那么第63s时，这个点所在位置的坐标是 ( ).A. (7, 0)B. (0, 7)C. (7, 7)D. (6, 0)核心考点三递增规律——累计递增05. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0), (2,0), (2, 1), (3, 2), (3,1), (3, 0), (4,0)…, 根据这个规律探索可得，第2020个点的坐标是 .06. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0), (2, 0), (2, 1), (3, 1), (3,0), (3, -1), …, 根据这个规律可得,第100个点的坐标是( ) .A. (14, 0)B. (14, 1)C. (14, 2)D. (14, -1)07.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标和纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列, 第1个点为(1,0) , 后面依次为(2, 0),(1,1), (1, 2),(2,1), (3, 0), (4, 0) …, 根据这个规律, 第 110个点的坐标为 .08. 如图,一个粒子从(1,0) 出发, 每分钟移动一次,运动路径为(1,0)→(1,1)→(2,0)→(2, 1)→(2, 2)→(3, 1)→(4,0) →…, 即第1分钟末粒子所在点的坐标为(1，1)，第2分钟末粒子所在点的坐标为(2，0) ，…，则第2022分钟末粒子所在点的坐标为 ( )A. (991, 41)B. (947, 42)C. (947, 41)D. (991, 42)专题11 坐标规律探究(2) ——点的运动01在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1m.其行走路线如图所示，第1次移动到A₁,第2次移动到A₂, …, 第n次移动到An. 则△OA₂A₂₀₂₁的面积是( )A.505.5m²B.505m²C.504.5m²D.506m²02.如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆( O1,O2,O3,⋯,组成一条平滑的曲线，点P 从原点O出发，沿这条曲线向右运动，每秒运动的路程为π个单位长度，则第2021 秒时, 点 P的坐标是( )2A. (4042, 0)B. (2021, 1)C. (2021, -1)D. (4042, 1)03. 动点P从(0，3)出发，沿如图所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，点P第1次碰到矩形的边时，点P的坐标是(3，0)，则当点P第2016次碰到矩形的边时，点P的坐标是( )A. (1, 4)B. (0, 3)C. (5, 0)D. (8, 3)04.如图，长方形BCDE 的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点A(4，0)同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动. 物体甲按逆时针方向以2个单位长度/s匀速运动，物体乙按顺时针方向以4个单位长度/s匀速运动，则两个物体运动后的第2029次相遇点的坐标是 .05. 如图，一个蒲公英种子从平面直角坐标系的原点O出发，向正东走3米到达点. A₁,再向正北方向走6米到达点. A₂,再向正西方向走9米到达点. A₃,再向正南方向走12米到达点A₄，再向正东方向走15米到达点A₅,以此规律走下去，当蒲公英种子到达点. A₁₀时，它在坐标系中坐标为 ( )A. (-12, -12)B. (15, 18)C. (15, -12)D.(−15,18)06.如图，在平面直角坐标系上有点A(1，0) ，点A第一次跳动至点A₁(−1,1),第二次向右跳动3个单位至点. A₂(2,1),第三次跳动至点A₃(−2,2),第四次向右跳动5个单位至点A₄(3,2), …, 以此规律跳动下去,点A第2021 次跳动至点A2021的坐标是( )A. (-1009, 1009)B.(−1010,1010)C. (-1011, 1011)D.(−1012,1012)07.一个质点从原点开始在x轴上方按图中箭头所示方向运动且每次运动相同的距离，第1次, 它从原点运动到(-1, 1) , 第2次从( (−1,1)运动到(0, 2) , …, 即: (0, 0)→(-1, 1)→(0, 2)→ (1, 1) →(2, 2)→(1, 3)→ (2, 4)→ (3, 3)→…, 那么, 质点第20次移动到达的位置的坐标是 ( ).A. (9, 11)B. (11, 11)C. (10, 10)D. (10, 12)08. 如图，平面直角坐标系内有一条折线从原点出发后，在第一象限内曲折前行，已知A₁A₂⊥OA₁, A₁A₂=OA₁; A₂A₃⊥A₁A₂, A₂A₃=A₁A₂; A₃A₄⊥A₂A₃, A₃A₄=A₂A₃; …;依照这个规律进行下去, 其中A₁(1, 2) , A₂(3, 1), A₃(4, 3), …, 则A₂₀₁₉的坐标是( ).A. (2019, 2020)B. (2019, 2018)C. (3027, 1009)D. (3028, 1011)专题11 坐标系内的综合题(1) ——平移01. 在平面直角坐标系中, 点A(0, a), B(b, b)的坐标满足: |a−4|+(b+1)²=0,将线段AB向右平移到DC的位置(点A与D对应，点B与C对应).(1) 直接写出点A的坐标，点B的坐标；(2)如图1，将线段AB 向右平移3个单位得到线段 DC，求四边形ABCD 的面积；(3)如图2，点P(m，n)是四边形ABCD所在平面内的一点，且三角形ABP的面积为4，求m，n之间的数量关系.专题12 坐标系内的综合题(2) ——面积核心考点一面积和差与坐标关系01.在平面直角坐标系中, A(a, 1) , B(0, b), C(m, 3), √a−4+√b+2=0.(1) 求a, b的值;(2) 若点C在直线AB上，求出点C的坐标；(3) 过点C作AB 的平行线交x轴于点D, 交y轴于点E, 若( CD=2CE,，请直接写出m的值.核心考点二平行线与面积相等02.已知点A(a, 0) , 点B(0, b) , 点C(0, c) ,且|a+4|+√2−b+(c+4)2=0.(1) 求A, B, C三点的坐标;(2) 将线段AB 平移到线段CD, 点A 对应点C, 点B 对应点 D.①如图1，连接BD交x轴于点E，求三角形CED的面积；②如图2，点M从原点O出发以2个单位长度/秒的速度沿x轴正方向运动，过点M作AB的平行线交y轴于点N，点P在直线CD 上，设点M运动时间为t秒，当三角形AMN的面积等于三角形PMN面积的两倍时，直接写出t的值.。
2021年春中考数学一轮复习小专题突破：三角形的面积问题(附答案)
2021年春中考数学一轮复习小专题突破：三角形的面积问题（附答案）1．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是（）A．5B．4C．3D．22．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A．中线B．角平分线C．高D．中位线3．如图，△ABC的两条中线AM、BN相交于点O，已知△ABO的面积为4，△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为（）A．4B．3C．4.5D．3.54．如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△A1B1C1的面积是14，那么△ABC的面积是（）A．2B．C．3D．5．如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，BC上，若AD：DB＝CE：EB＝2：3，则△DBE与△ADC的面积比为（）A．3：5B．4：5C．9：10D．15：166．如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（）A．B．C．D．7．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则S阴影等于（）A．2cm2B．1cm2C．cm2D．cm28．如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（）A．25B．12.5C．9D．8.59．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝9，则S1﹣S2＝（）A．B．1C．D．210．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（）A．2B．3C．4D．511．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，若△ABC的面积是18，则△ABE的面积是（）A．9B．6C．4.5D．412．如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S△BEF＝4cm2，则S的值为（）△ABCA．1cm2B．2cm2C．8cm2D．16cm213．如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若S阴影的面积为3，则△ABC的面积是（）A．5B．6C．7D．814．如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，则△ABC的面积等于△BEF的面积的（）A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍15．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，OF⊥BC，垂足为F，且AB＝6，BC＝5，AC＝3，OF＝2，则四边形ADOE的面积是（）A．9B．6C．5D．316．在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的高，且AD＝2，CE＝4，则AB：BC＝（）A．3：4B．4：3C．1：2D．2：117．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中△BFG与△CEG的面积和是．18．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积．19．如图，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD＝2DC，S△GEC＝3，S△GDC＝4，则△ABC的面积是．20．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则S△BEF＝cm2．21．如图，△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是．22．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝5，CD＝3，点P从点B出发沿线段BC的方向移动到点C停止，过点P作PQ⊥BC，交折线BA﹣AC于点Q，连接DQ、CQ，若△ADQ与△CDQ的面积相等，则线段BP的长度是．23．如图△ABC中，分别延长边AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为．24．如图，在△ABC中，D、E分别为边BC，AC的中点，若S△ABC＝48，则图中三角形ADE 部分的面积是．25．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，BE的中点．且S△ABC＝8cm2，则图中△CEF的面积＝．26．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE中点，且S△ABC＝4平方厘米，则S△BEF的值为．27．如图所示，D是BC的中点，E是AC的中点，若S△ADE＝1，则S△ABC＝．28．若a、b、c是△ABC的三边，且a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm，则△ABC最大边上的高是cm．29．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，BD、CE相交于O点．若S△OCD＝2，S△OBE＝3，S△OBC＝4，则S△ABC＝．30．如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF位置，平移的距离是BC的三倍，则图中四边形ACED的面积为．31．如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝2BE，BD是AC边上的中线，若△ABC 的面积S△ABC＝24，则S△ADF﹣S△BEF＝．32．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，已知△ABC的面积为10，则△ADE 的面积为．33．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积等于4cm2，则三角形BEF部分面积等于cm2．34．已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，BD＝2DC，AD，BE，CF交于一点G，S△BGD＝16，S△AGE＝6，则△ABC的面积是．35．如图，已知：D，E分别是△ABC的边BC和边AC的中点，连接DE，AD，若S△ABC ＝24cm2，求△DEC的面积．36．如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝3．（1）求点B的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）在y轴上是否存在P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．37．如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点E是CD边上的一点，且DE＝2cm，动点P从A点出发，以2cm/s的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．当△APE的面积等于20cm2时，求点P运动的时间．38．（1）在△ABC中，BC边上的高是；（2）在△AEC中，AE边上的高是；（3）若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，求△AEC的面积及CE的长．39．如图，在△ABC中，已知∠BDC＝∠EFD，∠AED＝∠ACB．（1）试判断∠DEF与∠B的大小关系，并说明理由；（2）若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点，S△DEF＝4，求S△ABC．40．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a，b满足|a+2|+＝0，点C的坐标为（0，3）．（1）求a，b的值及S△ABC；（2）若点M在x轴上，且S三角形ACM＝S三角形ABC，试求点M的坐标．41．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A（﹣8，0）、B（6，0）、C（0，6），点D是OC中点，连接BD并延长交AC于点E，求四边形AODE的面积．参考答案1．解：满足条件的C点有5个，如图平行于AB的直线上，与网格的所有交点就是．故选：A．2．解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选：A．3．解：解法一：∵AM和BN是中线，∴S△BNC＝S△ABC＝S△ABM，即S△ABO+S△BOM＝S△BOM+S四边形MCNO，S△ABO＝S四边形MCNO，∵△ABO的面积为4，∴四边形MCNO的面积为6﹣2＝4；解法二：如图连接MN，∵AM、BN是△ABC的两条中线，∴MN∥AB，∴△NAB的面积＝△MBA的面积，∴△AON的面积＝△BOM的面积＝2，∵△ABO的面积为4，∴△ABN的面积＝4+2＝6，∵N为中点，∴△BCN的面积＝△ABN的面积＝6，∴四边形MCNO的面积＝△BCN的面积﹣△BOM的面积＝6﹣2＝4，故选：A．4．解：如图，连接AB1，BC1，CA1，∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，∴＝S△ABC，＝＝S△ABC，∴＝+＝2S△ABC，同理：＝2S△ABC，＝2S△ABC，∴△A1B1C1的面积＝+++S△ABC＝7S△ABC＝14．∴S△ABC＝2，故选：A．5．解：∵AD：DB＝CE：EB＝2：3，∴S△BDC：S△ADC＝3：2，S△BDE：S△DCE＝3：2，∴设S△BDC＝3x，则S△ADC＝2x，S△BED＝1.8x，S△DCE＝1.2x，故△DBE与△ADC的面积比为：1.8x：2x＝9：10．故选：C．6．解：连接CP，设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．∵BD：DC＝2：1，E为AC的中点，∴△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，∵BD：DC＝2：1，CE：AC＝1：2，∴△ABP的面积是4x．∴4x+x＝2y+x+y，解得y＝x．又∵4x+x＝，x＝．则四边形PDCE的面积为x+y＝．故选：B．7．解：S阴影＝S△BCE＝S△ABC＝1cm2．故选：B．8．解：如图：小方格都是边长为1的正方形，∴四边形EFGH是正方形，S▱EFGH＝EF•FG＝5×5＝25S△AED＝DE•AE＝×1×2＝1，S△DCH＝•CH•DH＝×2×4＝4，S△BCG＝BG•GC＝×2×3＝3，S△AFB＝FB•AF＝×3×3＝4.5．S四边形ABCD＝S▱EFGH﹣S△AED﹣S△DCH﹣S△BCG﹣S△AFB＝25﹣1﹣4﹣3﹣4.5＝12.5．故选：B．9．解：∵BE＝CE，∴BE＝BC，∵S△ABC＝9，∴S△ABE＝S△ABC＝×9＝4.5．∵AD＝2BD，S△ABC＝9，∴S△BCD＝S△ABC＝×9＝3，∵S△ABE﹣S△BCD＝（S△ADF+S四边形BEFD）﹣（S△CEF+SS四边形BEFD）＝S△ADF﹣S△CEF，即S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD＝4.5﹣3＝1.5．故选：C．10．解：C点所有的情况如图所示：故选：C．11．解：∵D、E分别是BC，AD的中点，∴△ABD是△ABC面积的，△ABE是△ABD面积的，∴△ABE的面积＝18××＝18×＝4.5．故选：C．12．解：∵由于E、F分别为AD、CE的中点，∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等，∴S△BEC＝2S△BEF＝8（cm2），∴S△ABC＝2S△BEC＝16（cm2）．故选：D．13．解：∵D为BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，∵E，F分别是边AD，AC上的中点，∴S△BDE＝S△ABD，S△ADF＝S△ADC，S△DEF＝S△ADF，∴S△BDE＝S△ABC，S△DEF＝S△ADC＝S△ABC，S△BDE+S△DEF＝S△ADC+S△ABC＝S△ABC，∴S△ABC＝S阴影部分＝×3＝8．故选：D．14．解：∵点E是AD的中点，∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC，∴S△BCE＝S△ABC，∵点F是CE的中点，∴S△BEF＝S△BCE．∴△ABC的面积等于△BEF的面积的4倍．故选：C．15．解：∵BD、CE均是△ABC的中线，∴S△BCD＝S△ACE＝S△ABC，∴S四边形ADOE+S△COD＝S△BOC+S△COD，∴S四边形ADOE＝S△BOC＝5×2÷2＝5．故选：C．16．解：∵AD、CE分别是△ABC的高，∴S△ABC＝AB•CE＝BC•AD，∵AD＝2，CE＝4，∴AB：BC＝AD：CE＝2：4＝．故选：C．17．方法1解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．故答案为4．方法2设△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，根据中线平分三角形面积可得：S1＝S2，S3＝S4，S5＝S6，S1+S2+S3＝S4+S5+S6①，S2+S3+S4＝S1+S5+S6②由①﹣②可得S1＝S4，所以S1＝S2＝S3＝S4＝S5＝S6＝2，故阴影部分的面积为4．故答案为：4．18．解：如图，连接AB1，BC1，CA1，∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，∴S△ABB1＝S△ABC＝1，S△A1AB1＝S△ABB1＝1，∴S△A1BB1＝S△A1AB1+S△ABB1＝1+1＝2，同理：S△B1CC1＝2，S△A1AC1＝2，∴△A1B1C1的面积＝S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC＝2+2+2+1＝7．故答案为：7．19．解：∵BD＝2DC，∴S△ABD＝2S△ACD，∴S△ABC＝3S△ACD，∵E是AC的中点，∴S△AGE＝S△CGE，又∵S△GEC＝3，S△GDC＝4，∴S△ACD＝S△AGE+S△CGE+S△CGD＝3+3+4＝10，∴S△ABC＝3S△ACD＝3×10＝30．故答案为：30．20．解：∵点E是AD的中点，∴△BDE的面积是△ABD的面积的一半，△CDE的面积是△ACD的面积的一半．则△BCE的面积是△ABC的面积的一半，即为2cm2．∵点F是CE的中点，∴阴影部分的面积是△BCE的面积的一半，即为1cm2．21．解：∵AD是BC上的中线，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，∵BE是△ABD中AD边上的中线，∴S△ABE＝S△BED＝S△ABD，∴S△ABE＝S△ABC，∵△ABC的面积是24，∴S△ABE＝×24＝6．故答案为：6．22．解：①点Q在AB边上时，∵AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝5，CD＝3，∴S△ABD＝BD•AD＝×5×5＝，∠B＝45°∵PQ⊥BC，∴BP＝PQ，设BP＝x，则PQ＝x，∵CD＝3，∴S△DCQ＝×3x＝x，S△AQD＝S△ABD﹣S△BQD＝﹣×5×x＝﹣x，∵△ADQ与△CDQ的面积相等，∴x＝﹣x，解得：x＝，②如图，当Q在AC上时，记为Q'，过点Q'作Q'P'⊥BC，∵AD⊥BC，垂足为D，∴Q'P'∥AD∵△ADQ与△CDQ的面积相等，∴AQ'＝CQ'∴DP'＝CP'＝CD＝1.5∵AD＝BD＝5，∴BP'＝BD+DP'＝6.5，综上所述，线段BP的长度是或6.5．故答案为或6.5．23．解：连接AE和CD，∵BD＝AB，∴S△ABC＝S△BCD＝1，S△ACD＝1+1＝2，∵AF＝3AC，∴FC＝4AC，∴S△FCD＝4S△ACD＝4×2＝8，同理可以求得：S△ACE＝2S△ABC＝2，则S△FCE＝4S△ACE＝4×2＝8；S△DCE＝2S△BCD＝2×1＝2；∴S△DEF＝S△FCD+S△FCE+S△DCE＝8+8+2＝18．24．解：∵点D为BC中点，∴DC＝BC，∵△ADC与△ABC的DC，BC边上的高相同，∴S△ADC＝S△ABC＝24，∵点E为AC中点，∴AE＝AC，∵△ADC与△ADE的AC，AE边上的高相同，∴S△ADE＝S△ADC＝12，故答案为：12．25．解：如图，∵E为AD的中点，∴S△ABC：S△BCE＝2：1，同理可得，S△BCE：S△EFC＝2：1，∵S△ABC＝8cm2，∴S△EFC＝S△ABC＝×8＝2（cm2）．故答案为：2cm2．26．解：∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2cm2，∵E是AD的中点，∴S△BDE＝S△CDE＝×2＝1cm2，∴S△BEF＝（S△BDE+S△CDE）＝×（1+1）＝1cm2．故答案为：1cm2．27．解：∵D是BC的中点，E是AC的中点，∴△ADC的面积等于△ABC的面积的一半，△ADE的面积等于△ACD的面积的一半，∴△ADE的面积等于△ABC的面积的四分之一，又∵S△ADE＝1，∴S△ABC＝4．故答案为：4．28．解：∵a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm，∴△ABC是直角三角形，∵S△ABC＝3×4÷2＝6cm2，∴S△ABC＝5×最大边上的高＝12，∴△ABC最大边上的高是2.4cm．29．解：连接DE，如图则有，，将已知数据代入可得S△DOE＝1.5，设S△ADE＝x，则由，，所以得方程：，解得：x＝6.3，所以四边形ADOE的面积＝x+1.5＝7.8．所以S△ABC＝2+3+4+7.8＝16.8．故填：16.8．30．解：设点A到BC的距离为h，则S△ABC＝BC•h＝12cm2，∵平移的距离是BC的长的3倍，∴AD＝3BC，CE＝2BC，∴四边形ACED的面积＝（AD+CE）•h＝（3BC+2BC）•h＝5×BC•h＝5×12＝60（cm2）．故答案为：60cm2．31．解：如图，作DH∥AE交BC于H．∵DH∥AE，AD＝DC，∴EH＝CH，∵EC＝2BE，∴BE＝EH＝HC，∴S△ABE＝S△ABC＝8，S△ABD＝S△ABC＝12，∵EF＝DH，DH＝AE，∴EF＝AE，∴S△BEF＝×8＝2，S△ABF＝8﹣2＝6，∴S△ADF＝12﹣6＝6，∴S△ADF﹣S△BEF＝6﹣2＝4，故答案为4．32．解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积为10，∴S△ADC＝S△ABC＝×10＝5，∵DE是△ADC的中线，∴S△ADE＝S△ADC＝×5＝2.5．故答案为：2.5．33．解：如图，点F是CE的中点，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝EC，而高相等，∴S△BEF＝S△BEC，∵E是AD的中点，∴S△BDE＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD，∴S△EBC＝S△ABC，∴S△BEF＝S△ABC，且S△ABC＝4cm2，∴S△BEF＝1cm2，即阴影部分的面积为1cm2．故答案为1．34．解：∵BD＝2DC，∴S△CGD＝S△BGD＝×16＝8；∵E是AC的中点，∴S△CGE＝S△BGE＝6，∴S△BCE＝S△BGD+S△CGD+S△CGE＝16+8+6＝30∴△ABC的面积是：30×2＝60．故答案为：60．35．解：作高线AM．∵S△ABC＝BC•AM，S△ADC＝CD•AM又∵D是△ABC的边BC的中点，S△ABC＝24cm2，∴S△ACD＝S△ABC＝12cm2．同理，S△CDE＝S△ACD＝6cm2．36．解：（1）点B在点A的右边时，﹣1+3＝2，点B在点A的左边时，﹣1﹣3＝﹣4，所以，B的坐标为（2，0）或（﹣4，0）；（2）△ABC的面积＝×3×4＝6；（3）设点P到x轴的距离为h，则×3h＝10，解得h＝，点P在y轴正半轴时，P（0，），点P在y轴负半轴时，P（0，﹣），综上所述，点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．37．解：设点P运动的时间为ts．（1）如图1，当0＜t≤4时，S△APE＝×2t×6＝20，解得t＝（s）；（2）如图2，当4＜t≤7时，S△APE＝48﹣S△ADE﹣S△ABP﹣S△PCE，20＝48﹣×6×2﹣×8×（2t﹣8）﹣×6×（14﹣2t）解之得：t＝6（s）；（3）如图3，当7＜t≤10时，S△APE＝×6×（20﹣2t）＝20，解得t＝（s）．∵＜7，∴t＝应舍去综上，当t＝s或6s时，△APE的面积等于20cm2．38．解：（1）在△ABC中，BC边上的高是AB；（2）在△AEC中，AE边上的高是CD；（3）∵AE＝3cm，CD＝2cm，∴S△AEC＝AE•CD＝3cm2，∵S△AEC＝AB•CE＝3cm2，∴CE＝3cm．故S△AEC＝3cm2，CE＝3cm．故答案为：（1）AB；（2）CD39．解：（1）延长EF交BC于G，∵∠BDC＝∠EFD，∴EF∥BD，∵∠AED＝∠ACB，∴DE∥BC，∴四边形DEGB是平行四边形，∴∠DEF＝∠B；（2）∵F是CD边上的中点，S△DEF＝4，∴S△DEC＝2S△DEF＝8，∵E是AC边上的中点，∴S△ADC＝2S△DEC＝16，∵D是AB边上的中点，∴S△ABC＝2S△ACD＝32．40．解：（1）∵|a+2|+＝0，∴a+2＝0，b﹣4＝0，∴a＝﹣2，b＝4，∴点A（﹣2，0），点B（4，0）．又∵点C（0，3），∴AB＝|﹣2﹣4|＝6，CO＝3，∴S△ABC＝AB•CO＝×6×3＝9．（2）设点M的坐标为（x，0），则AM＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，又∵S△ACM＝S△ABC，∴AM•OC＝×9，∴|x+2|×3＝3，∴|x+2|＝2，即x+2＝±2，解得：x＝0或﹣4，故点M的坐标为（0，0）或（﹣4，0）．41．解：∵D是OC中点，C（0，6），∴D（0，3），设直线AC的解析式为：y＝kx+b，∵A（﹣8，0）、C（0，6），∴，∴，∴直线AC的解析式为：y＝x+6，直线BD的解析式为：y＝mx+n，∵B（6，0）、D（0，2），∴，∴，∴直线BD的解析式为：y＝﹣x+3；解得，，∴E（﹣，），∴S四边形AODE＝S△ABE﹣S△OBD＝×14×﹣×6×3＝。
第一讲格点与面积
第一讲格点与面积问
学习锦囊在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．
回顾与反思这是等差数列问题的应用题。通过细心观察,深入分析，我们可以探索得出一些题目中隐含着一个等差数列，然后可以运用等差数列求和的公式求得结果。
基础练习
1. 12个同学聚会，如果见面时每个人都和其余的人握手一次，那么一共握手多少次？
2.小红看一本书，第一天看了3页，以后每天都比前一天多看2页，10天刚好看完，这本书总共多少页？
例42001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？
一个星期是7天，因此7天为一个周期。10月1日是星期一，是第一个周期的第一天，再过7天即10月8日也是星期一。计算天数时为了方便，我们采用“算尾不算头”的方法，例如10月8日就用（8－1）÷7=1.没有余数说明8号仍是星期一。题中说从2001年10月1日到2002年1月1日，经过几天这才是这道题的关键。
2．777777+888888+999999的个位数字是几？
例33200被13除的余数是几？
3200表示200个3相乘，那么我们可以从1个3被13除，2个3被13除……，它们的余数中找到周期规律
31÷13=0……334÷13=6……3
《三角形格点与面积》专题
1．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，且通过两次平移（沿网格线方向作上下或左右平移）后得到△A'B'C'，点C的对应点是直线上的格点C'．（1）画出△A'B'C'；（2）在BC上找一点P，使AP平分△ABC的面积；（3）试在直线l上画出所有的格点Q，使得由点A'、B'、C'、Q四点围成的四边形的面积为9．2．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△A′B′C′；（2）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是．（3）作直线MN，将△ABC分成两个面积相等的三角形．3．如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．（1）画出△ABC中BC边上的高AH和BC边上的中线AD．（2）画出将△ABC向右平移5格又向上平移3格后的△A′B′C′．（3）△ABC的面积为．（4）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是．4．正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC各顶点的位置如图所示．将△ABC平移，使点A移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）画出平移后的△DEF；（2）在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积；（3）利用网格画△ABC的高BH；（4）连接AD、CF，AD与CF的关系是．5．如图，三角形ABC的顶点A，B，C都在格点（正方形网格线的交点）上，将三角形ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到三角形A'BC“（设点A、B、C分别平移到A′、B′、C′）（1）请在图中画出平移后的三角形A'B′C′；（2）若连接BB′、CC′，则这两条线段的位置关系是．数量关系是（3）若BB'与AC相交于点P，则∠A'B'P，∠B'P A与∠P AB三个角之间的数量关系为A．∠A'B'P+∠B'P A+∠P AB＝180°B．∠A'B'P+∠B'P A+∠P AB＝360°C．∠A'B'P+∠B'P A﹣∠P AB＝180°D．∠A'B'P+∠B'P A﹣∠P AB＝360°6．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点C变换为点D，点A、B的对应点分别是点E、F．（1）在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD；（2）在图中画出△ABC的AB边上的高CH；（3）若点P在格点上，且S△PBC＝S△ABC（点P与点A不重合），满足这样条件的P点有个．7．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．（1）画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1；（2）画出△ABC中AB边上的中线CM；（3）图中△ABC的面积是．8．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：（1）补全△A′B′C′；（2）作出△ABC的中线CD；（3）画出BC边上的高线AF；（4）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有个．（注：格点指网格线的交点）9．画图（只能借助于网格）并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．（1）将△ABC向左平移4格，再向上平移1格，请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）△A′B′C′的面积为；（3）利用网格在图中画出△ABC的中线AD，高线AE；（4）在右图中能使S△PBC＝S△ABC的格点p的个数有个（点P异于A）．10．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出AB边上的中线CD和BC边上的高线AE；（3）线段AA′与线段BB′的关系是：；（4）求四边形ACBB′的面积．11．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：（1）画出△A′B′C′；（2）画出△ABC的高BD；（3）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是，线段AC扫过的图形的面积为．12．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．利用网格点和三角板画图或计算：（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出BC边上的高线AE；（4）△A′B′C′的面积为．（5）点F为方格纸上的格点（异于点B），若S△ACB＝S△ACF，则图中这样的格点F共有个．13．如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到△A′B′C′．（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是；（3）△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为．14．利用直尺画图（1）利用图（1）中的网格，过P点画直线AB的平行线和垂线．（2）把图（2）网格中的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形．（3）如果每个方格的边长是单位1，那么图（2）中组成的三角形的面积等于．15．如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．（1）分别画出△ABC中BC边上的高AH、中线AG．（2）画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF．（3）画一个锐角△MNP（要求各顶点在格点上），使其面积等于△ABC的面积的2倍．16．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△A′B′C′，并求△A′B′C′的面积＝；（2）请在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积，在图上作出线段CP；（3）请在图中画出过点C且平行于AB的直线CM．17．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△DEF；（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是；（3）在图中找出所有满足S△ABC＝S△QBC的格点Q（异于点A），并用Q1、Q2表示．18．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．（1）将△ABC向左平移8格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）利用网格在图中画出△ABC的中线CD，高线AE；（3）△A′B′C′的面积为．（4）在平移过程中线段BC所扫过的面积为．（5）在右图中能使S△PBC＝S△ABC的格点P的个数有个（点P异于A）．19．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△DEF，并求△DEF的面积＝；（2）在AB上找一点M，使CM平分△ABC的面积；（3）在网格中找格点P，使S△ABC＝S△BCP，这样的格点P有个．20．如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和三角板画图：（1）补全△A′B′C；（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出AC边上的高线BE；（4）平移过程中，线段AB扫过的面积为．21．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△A′B′C′，并求△A′B′C′的面积；（2）在图中找出格点D，使△ACD的面积与△ABC的面积相等．22．如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到△A′B′C′．（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出平移后的△A′B′C′的中线B′D′（3）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是（4）△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为（5）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有个（注：格点指网格线的交点）23．如图所示，在8×8的网格中，△ABC是格点三角形（顶点是网格的交点），若点A坐标为（﹣1，3），按要求回答下列问题：（1）建立符合条件的平面直角坐标系，并写出点B和点C的坐标；（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△DEF，请在图中画出△DEF，并求出线段AC在平移过程中扫过的面积．24．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和三角板画图：（1）补全△A′B′C′（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出BC边上的高线AE；（4）△A′B′C′的面积为．25．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC向左平移1格，再向上平移3格，其中每个格子的边长为1个长度单位．（1）在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）若连接AA′，CC′，则这两条线段的关系是；（3）作直线l，将△ABC分成两个面积相等的三角形．参考答案与试题解析一．解答题（共25小题）1．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，且通过两次平移（沿网格线方向作上下或左右平移）后得到△A'B'C'，点C的对应点是直线上的格点C'．（1）画出△A'B'C'；（2）在BC上找一点P，使AP平分△ABC的面积；（3）试在直线l上画出所有的格点Q，使得由点A'、B'、C'、Q四点围成的四边形的面积为9．【分析】（1）根据平移的性质画出图形即可；（2）根据三角形中线的性质解答即可；（3）根据面积公式解答即可．【解答】解：（1）如图所示：△A'B'C'即为所求；（2）如图所示：点P即为所求；（3）如图所示：点Q即为所求．【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．2．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△A′B′C′；（2）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是相等且平行．（3）作直线MN，将△ABC分成两个面积相等的三角形．【分析】（1）作出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可；（2）根据平移的性质可知，线段AA′，CC′这两条线段之间的关系是相等且平行；（3）构造平行四边形ABCD，对角线BD所在的直线即为所求的直线MN．【解答】解：（1）平移后的△A′B′C′如图所示．（2）根据平移的性质可知，线段AA′，CC′这两条线段之间的关系是相等且平行，故答案为相等且平行．（3）构造平行四边形ABCD，对角线BD所在的直线即为所求的直线MN．【点评】本题考查平移变换、平移变换的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．（1）画出△ABC中BC边上的高AH和BC边上的中线AD．（2）画出将△ABC向右平移5格又向上平移3格后的△A′B′C′．（3）△ABC的面积为3．（4）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是AA′＝CC′且AA′∥CC′．【分析】（1）根据三角形的中线和高的定义作图即可得；（2）根据平移变换的定义作出变换后的对应点，再顺次连接即可得；（3）直接利用三角形的面积公式计算可得；（4）根据平移变换的性质可得答案．【解答】解：（1）如图所示，AH和AD即为所求；（2）如图所示，△A′B′C′即为所求；（3）△ABC的面积为×3×2＝3，故答案为：3；（4）由平移的性质知AA′＝CC′且AA′∥CC′，故答案为：AA′＝CC′且AA′∥CC′．【点评】本题主要考查作图﹣平移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．4．正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC各顶点的位置如图所示．将△ABC平移，使点A移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）画出平移后的△DEF；（2）在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积；（3）利用网格画△ABC的高BH；（4）连接AD、CF，AD与CF的关系是AD＝CF，AD∥CF．【分析】（1）作出B，C的对应点E，F即可解决问题．（2）取AB中点P，连接CP即可．（3）取格点T作射线BT交AC于H，线段BH即为所求．（4）根据平移的性质即可解决问题．【解答】解：（1）△DEF如图所示．（2）线段CP即为所求．（3）取格点T作射线BT交AC于H，线段BH即为所求．（4）AD＝CF，AD∥CF．故答案为：AD＝CF，AD∥CF．【点评】本题考查平移变换，三角形的中线，高等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．如图，三角形ABC的顶点A，B，C都在格点（正方形网格线的交点）上，将三角形ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到三角形A'BC“（设点A、B、C分别平移到A′、B′、C′）（1）请在图中画出平移后的三角形A'B′C′；（2）若连接BB′、CC′，则这两条线段的位置关系是BB′∥CC′．数量关系是BB′＝CC′（3）若BB'与AC相交于点P，则∠A'B'P，∠B'P A与∠P AB三个角之间的数量关系为CA．∠A'B'P+∠B'P A+∠P AB＝180°B．∠A'B'P+∠B'P A+∠P AB＝360°C．∠A'B'P+∠B'P A﹣∠P AB＝180°D．∠A'B'P+∠B'P A﹣∠P AB＝360°【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可；（2）根据平移的性质求解；（3）根据平行线的性质和三角形外角性质解答．【解答】解：（1）如图所示：△A'B'C'即为所求：（2）根据平移的性质可得：BB′∥CC′，BB′＝CC′；故答案为：BB′∥CC′；BB′＝CC′；（3）由图可知：∠A'B'P+∠B'P A﹣∠P AB＝180°故答案为：C【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．6．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点C变换为点D，点A、B的对应点分别是点E、F．（1）在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD；（2）在图中画出△ABC的AB边上的高CH；（3）若点P在格点上，且S△PBC＝S△ABC（点P与点A不重合），满足这样条件的P点有4个．【分析】（1）作出A，B的对应点，E，F即可．（2）根据高的定义画出图形即可．（3）利用等高模型解决问题即可．【解答】解：（1）△DEF如图所示．（2）线段CH如图所示．（3）如图所示满足条件的点P有4个．故答案为4【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．（1）画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1；（2）画出△ABC中AB边上的中线CM；（3）图中△ABC的面积是8．【分析】（1）根据平移的定义作出变换后的对应点，再顺次连接即可得；（2）根据中线的概念作图可得；（3）利用割补法求解可得．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，CM即为所求；（3）△ABC的面积是×5×7﹣×2×6﹣×（2+5）×1＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．8．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：（1）补全△A′B′C′；（2）作出△ABC的中线CD；（3）画出BC边上的高线AF；（4）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有6个．（注：格点指网格线的交点）【分析】（1）由点B及其对应点B′的位置得出平移方向和距离，据此将点A、C按照相同方式平移得到对应点，再顺次连接即可得；（2）根据中线的概念作图可得；（3）根据高线的概念求解可得；（4）根据共底等高及平行线间的距离处处相等作图可得．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．（2）如图所示，CD即为所求；（3）如图所示，AF即为所求；（4）如图所示，中满足条件且异于点C的格点E共有6个，故答案为：6．【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质及中线、高线的概念、平行线间的距离处处相等．9．画图（只能借助于网格）并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．（1）将△ABC向左平移4格，再向上平移1格，请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）△A′B′C′的面积为4；（3）利用网格在图中画出△ABC的中线AD，高线AE；（4）在右图中能使S△PBC＝S△ABC的格点p的个数有7个（点P异于A）．【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可；（2）利用三角形的面积公式即可得出结论；（3）根据格点的特点△ABC的中线CD，高线AE即可；（4）过点A作直线BC的平行线，此直线与格点的交点即为P点．【解答】解：（1）如图所示：（2））△A′B′C′的面积＝，故答案为：4；（3）如图所示：AD，AE即为所求；（4）能使S△PBC＝S△ABC的格点p的个数有7个，故答案为：7【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．10．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出AB边上的中线CD和BC边上的高线AE；（3）线段AA′与线段BB′的关系是：平行且相等；（4）求四边形ACBB′的面积．【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；（2）取线段AB的中点D，连接CD，过点A作AE⊥BC的延长线与点E即可；（3）根据图形平移的性质可直接得出结论；（4）根据S四边形ACBB′＝S梯形AFGB+S△ABC﹣S△BGB′﹣S△AFB′即可得出结论．【解答】解：（1）如图所示；（2）如图所示；（3）由图形平移的性质可知，AA′∥BB′，AA′＝BB′．故答案为：平行且相等；（4）S四边形ACBB′＝S梯形AFGB+S△ABC﹣S△BGB′﹣S△AFB′＝（7+3）×6+×4×4﹣×1×7﹣×3×5＝30+8﹣﹣＝27．【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．11．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：（1）画出△A′B′C′；（2）画出△ABC的高BD；（3）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是平行且相等，线段AC扫过的图形的面积为10．【分析】（1）根据平移的定义和性质作出点A、C平移后的对应点，顺次连接即可得；（2）根据三角形高的定义作图即可得；（3）根据平移变换的性质可得，再利用割补法求出平行四边形的面积．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；（2）如图所示，BD即为所求；（3）如图所示，AA′与CC′的关系是平行且相等，线段AC扫过的图形的面积为10×2﹣2××4×1﹣2××6×1＝10，故答案为：平行且相等、10．【点评】此题主要考查了平移变换以及平行四边形面积求法等知识，根据题意正确把握平移的性质是解题关键．12．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．利用网格点和三角板画图或计算：（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出BC边上的高线AE；（4）△A′B′C′的面积为8．（5）点F为方格纸上的格点（异于点B），若S△ACB＝S△ACF，则图中这样的格点F共有7个．【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可；（2）画出AB边上的中线CD即可；（3）过点A向BC的延长线作垂线，垂足为点E即可；（4）利用三角形的面积公式求解即可；（5）过点B作BF∥AC，直线BF与格点的交点即为所求，还有AC下方的一个点．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；（2）如图，线段CD即为所求；（3）如图，线段AE即为所求；（4）S△A′B′C′＝×4×4＝8．故答案为：8；（5）如图，共有7个格点．故答案为：7．【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．13．如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到△A′B′C′．（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是平行且相等；（3）△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为12．【分析】（1）利用网格特点和平移的性质分别画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′即可得到△A′B′C′；（2）根据平移的性质求解；（3）由于线段AB扫过的部分为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式可求解．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；（2）BB′∥CC′，BB′＝CC′；（3）线段AB扫过的面积＝4×3＝12．故答案为平行且相等；12．【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．14．利用直尺画图（1）利用图（1）中的网格，过P点画直线AB的平行线和垂线．（2）把图（2）网格中的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形．（3）如果每个方格的边长是单位1，那么图（2）中组成的三角形的面积等于 3.5．【分析】（1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与AB平行的格点以及垂直的格点作出即可；（2）根据网格结构的特点，过点E找出与AB、CD位置相同的线段，过点F找出与AB、CD位置相同的线段，作出即可；（3）根据S△＝S正方形﹣三个角上的三角形的面积即可得出结论．【解答】解：（1）、（2）如图所示；（3）S△EFH＝3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3＝9﹣1﹣3﹣＝3.5．故答案为：3.5．【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．15．如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．（1）分别画出△ABC中BC边上的高AH、中线AG．（2）画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF．（3）画一个锐角△MNP（要求各顶点在格点上），使其面积等于△ABC的面积的2倍．【分析】（1）根据三角形的高和中线的定义结合网格作图可得；（2）根据平移变换的定义和性质作图可得；（3）由△ABC的面积为3知所作三角形的面积为6，据此结合网格作图可得．【解答】解：（1）如图所示，AH、AG即为所求；（2）如图所示，△DEF即为所求；（3）如图所示，△MNP即为所求．【点评】本题主要考查作图﹣基本作图及平移变换，解题的关键是掌握三角形的高、中线的定义和平移变换的定义与性质．16．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△A′B′C′，并求△A′B′C′的面积＝7；（2）请在AB上找一点P，使得线段CP平分△ABC的面积，在图上作出线段CP；（3）请在图中画出过点C且平行于AB的直线CM．【分析】（1）根据点A到A'的平移规律：向右移6个单位，再向下平移2个单位，直接平移并利用面积差计算面积；（2）作中线AP，可平分△ABC的面积；（3）作平行线CM．【解答】解：（1）画△A'B'C'，S△A'B'C'＝4×4﹣×2×4﹣×2×3﹣×1×4＝7；（4分）故答案为：7；（2）取AB的中点P，作线段CP；（6分）（3）画AB的平行线CM．（8分）【点评】本题考查了平移变换的作图、三角形的面积、平分三角形的面积、平行线，知道三角形的中线平分三角形的面积，并会根据一个对应点的平移规律进行作图．17．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△DEF；（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是AD＝CF，AD∥CF；（3）在图中找出所有满足S△ABC＝S△QBC的格点Q（异于点A），并用Q1、Q2表示．【分析】（1）将三角形的三顶点分别向右平移6格、向下平移1格得到三顶点，再顺次连接可得；（2）根据平移变换的性质可得答案；（3）过点A作线段BC的平行线，平行线经过的网格点即为点Q1、Q2．【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求．（2）根据平移变换的性质知，AD＝CF，AD∥CF，故答案为：AD＝CF，AD∥CF；（3）过点A作线段BC的平行线，平行线经过的网格点即为点Q1、Q2．【点评】本题考查了利用平移变换作图，平移的性质，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．18．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．（1）将△ABC向左平移8格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）利用网格在图中画出△ABC的中线CD，高线AE；（3）△A′B′C′的面积为8．（4）在平移过程中线段BC所扫过的面积为32．（5）在右图中能使S△PBC＝S△ABC的格点P的个数有9个（点P异于A）．【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可；（2）根据格点的特点△ABC的中线CD，高线AE即可；（3）利用三角形的面积公式即可得出结论；（4）利用平行四边形的面积公式即可得出结论；（5）过点A作直线BC的平行线，此直线与格点的交点即为P点．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；（2）如图，中线CD，高线AE即为所求；（3）S△A′B′C′＝×4×4＝8．故答案为：8；（4）线段BC所扫过的面积＝8×4＝32．故答案为：32；（5）如图，共有9个点．故答案为：9．【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．19．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△DEF，并求△DEF的面积＝7；（2）在AB上找一点M，使CM平分△ABC的面积；（3）在网格中找格点P，使S△ABC＝S△BCP，这样的格点P有4个．【分析】（1）根据平移的性质画出图象，再利用三角形的面积公式计算即可；（2）根据中线的定义画出中线即可平分三角形面积；（3）在过点A平行BC的直线上有4个格点，所以满足条件的△PCB有4个．【解答】解：（1）如图所示：△DEF即为所求，△DEF的面积为：4×4﹣×2×4﹣×2×3﹣×1×4＝7；故答案为：7；（2）如图所示：点M即为所求；（3）使S△ABC＝S△BCP，这样的格点P有4个．故答案为：4．【点评】本题考查平移变换、三角形的面积、三角形的中线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，。
专题4.2 平面直角坐标系中点的面积问题专项训练(30道)(举一反三)(浙教版)(解析版)
专题4.2 平面直角坐标系中点的面积问题专项训练（30道）【浙教版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平面直角坐标系中的规律问题所有类型！一．选择题（共10小题）1．（2022春•龙泉驿区期末）如图，在平面直角坐标系中，将折线AEB 向右平移得到折线CFD ，则折线AEB 在平移过程中扫过的面积是（ ）A ．15B ．20C ．24D ．25【分析】折线AEB 在平移过程中扫过的面积＝S ▱ACFE +S ▱BDFE ，再根据平行四边形的面积公式求解即可．【解答】解：折线AEB 在平移过程中扫过的面积＝S ▱ACFE +S ▱BDFE＝5×3+5×2＝15+10＝25，故选：D ．2．（2022春•商南县期末）已知点A 的坐标为（0，0），点B 的坐标为（4，0），点C 在y 轴上，△ABC 的面积是10，则点C 的坐标可能是（ ）A ．（0，10）B ．（5，0）C ．（0，﹣5）D ．（0，4）【分析】首先求得AB 的长，根据三角形的面积公式，即可求得C 的纵坐标，进而得到C 的坐标．【解答】解：设点C 坐标是（0，y ）根据题意得，12AB ×AC ＝10即12×4×|y |＝10，解得y ＝±5．所以点C 坐标是：（0，5）或（0，﹣5）．故选：C ．3．（2022•市中区二模）平面直角坐标系中，P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做P（x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」＝|x|+|y|．若点B在第一象限且满足「B」＝4，则满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积为（ ）A．2B．4C．6D．8【分析】由勾股值的定义可得方程x+y＝4（x＞0，y＞0），变形得y＝﹣x+4，求出此函数与坐标轴的交点坐标即可求面积．【解答】解：设点P坐标为（x，y），由点B在第一象限且满足「B」＝4，∴x+y＝4（x＞0，y＞0）．即y＝﹣x+4，∵y＝﹣x+4与x轴交点为（4，0），与y轴交点为（0，4），∴满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积为12×4×4=8．故选：D．4．（2022春•江夏区校级月考）如图所示，直角坐标系中四边形的面积是（ ）A．15.5B．20.5C．26D．31【分析】图中四边形可以视为由两个直角三角形和一个梯形构成，分别计算其面积并求和即可．【解答】解：图中四边形可以视为由两个直角三角形和一个梯形构成，则其面积为：1 2×2×3+12（3+4）×3+12×1×4＝3+212+2＝15.5．故选：A．5．（2022春•汇川区期末）如图，点A、B的坐标分别为（﹣5，6）、（3，2），则三角形ABO的面积为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18【分析】作AC ⊥x 轴、BD ⊥x 轴，根据A 、B 坐标得出AC 、BD 及CD 的长，根据S △AOB ＝S 梯形ABDC ﹣S △AOC ﹣S △BOD 可得答案．【解答】解：如图，作AC ⊥x 轴于点C ，作BD ⊥x 轴于点D ，∵A （﹣5，6）、B （3，2），∴AC ＝6、OC ＝5，BD ＝2、OD ＝3，则CD ＝OC +OD ＝8，∴S △AOB ＝S 梯形ABDC ﹣S △AOC ﹣S △BOD=12×（2+6）×8−12×5×6−12×2×3＝32﹣15﹣3＝14，故选：B ．6．（2022春•沙河市期中）在网格图中有一个面积为10的△ABC ，△ABC 的三个顶点均在网格的格点上，墨墨在网格图中建立了适当的直角坐标系，并知道点A 的坐标为（2，3），点B 的坐标为（﹣3，﹣2），后来墨墨不小心在该图洒上了墨水，如图所示，点C 的坐标看不清了，但他记得线段AC 与y 轴平行，则点C 的坐标为（ ）A．（2，1）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（﹣1，2）【分析】根据三角形的面积公式求出AC，再根据网格结构确定出点C的坐标即可．【解答】解：∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），线段AC与y轴平行，∴点B到AC的距离为2+3＝5，∴S△ABC =12AC•5＝10，解得AC＝4，∴点C的纵坐标为3﹣4＝﹣1，∴点C的坐标为（2，﹣1）．故选：C．7．（2022春•嘉祥县期末）若△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，﹣1），B（2，﹣1），C（1，3），则△ABC的面积为（ ）A．7.5B．10C．15D．20【分析】构造平面直角坐标系，标出点A、B、C在坐标系中的位置，过点C向AB作垂线，垂足为D，根据S△ABC =12AB×CD，即可得到答案．【解答】解：过点C向AB作垂线，垂足为D，如下图所示：则AB ＝2﹣（﹣3）＝5，CD ＝3+1＝4，S △ABC =12AB ×CD =12×5×4＝10，故选：B ．8．（2022秋•历下区期中）如图，由8个边长为1的小正方形组成的图形，被线段AB 平分为面积相等的两部分，已知点A 的坐标是（1，0），则点B 的坐标为（ ）A ．(113，3)B ．(103，3)C ．(154，3)D ．(185，3)【分析】如图，设BC ＝x ，根据题意列方程即可得到结论．【解答】解：如图，设BC ＝x ，由题意得，12×3×（2+x ）=12×8，解得：x =23，3+23=113，∴点B 的坐标为（113，3），故选：A ．9．（2022春•重庆期末）已知点P 的坐标为（a ，b ）（a ＞0），点Q 的坐标为（c ，2），且|a ﹣c |+=0，将线段PQ 向右平移a 个单位长度，其扫过的面积为24，那么a +b +c 的值为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．20【分析】利用非负数的性质求出b 的值，推出a ＝c ，推出PQ ＝6，根据PQ 向右平移a 个单位长度，其扫过的面积为24，推出a ＝4即可解决问题．【解答】解：∵|a ﹣c |+0，又∵|a ﹣c |≥00，∴a ﹣c ＝0，b ﹣8＝0，∴a ＝c ，b ＝8，∴P （a ，8），Q （a ，2），∴PQ ＝6，∵线段PQ 向右平移a 个单位长度，其扫过的面积为24，∴a ＝4，∴a ＝c ＝4，∴a +b +c ＝4+8+4＝16，故选：C ．10．（2022春•嘉祥县期末）我们定义：过点（0，a ）且平行于x 轴的直线为y ＝a ，若A （﹣2，0），B （1，2），点P 为直线y ＝4上一动点，且△PAB 的面积为6平方单位，则点P 的坐标为（ ）A ．（﹣2，4）B ．（0，4）或（10，4）C ．（﹣2，4）或（10，4）D ．（9，4）【分析】设直线AB 交直线y ＝4于C ．求出点C 坐标，设P （m ，4），构建方程即可解决问题；【解答】解：∵A （﹣2，0），B （1，2），设直线AB 交直线y ＝4于C ．∴直线AB 的解析式为y =23x +43，∵直线PC 的解析式为y ＝4，∴C （4，4），设P （m ，4），由题意：12•|4﹣m |•4−12•|4﹣m |•2＝6，解得m ＝﹣2或10，∴P （﹣2，4）或（10，4）故选：C ．二．填空题（共6小题）11．（2022春•金乡县期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S ＝ah．例如，三点坐标分别为A（0，3），B（﹣3，4），C（1，﹣2），则“水平底”a＝4，“铅垂高”h＝6，“矩面积”S＝ah＝24．若D（2，2），E（﹣2，﹣1），F（3，m）三点的“矩面积”为20，则m的值为 3或﹣2 ．【分析】根据矩面积的定义表示出水平底”a和铅垂高“h，利用分类讨论对其铅垂高“h进行讨论，从而列出关于m的方程，解出方程即可求解．【解答】解：∵D（2，2），E（﹣2，﹣1），F（3，m）∴“水平底”a＝3﹣（﹣2）＝5“铅垂高“h＝3或|1+m|或|2﹣m|①当h＝3时，三点的“矩面积”S＝5×3＝15≠20，不合题意；②当h＝|1+m|时，三点的“矩面积”S＝5×|1+m|＝20，解得：m＝3或m＝﹣5（舍去）；③当h＝|2﹣m|时，三点的“矩面积”S＝5×|2﹣m|＝20，解得：m＝﹣2或m＝6（舍去）；综上：m＝3或﹣2故答案为：3或﹣212．（2022春•平泉市期末）如图，两个形状、大小完全相同的直角三角形叠放在一起，将直角三角形ABC 沿着x轴正方向平移到直角三角形DEF的位置．已知点A（1，5），点B（1，1），DG＝1，平移距离为2．（1）点G的坐标为 （3，4） ；（2）阴影部分的面积S ＝ 7 ．【分析】（1）求出BE ，GE 的长度即可得出答案；（2）根据平移的性质得S △ABC ＝S △DEF ，从而S △ABC ﹣S △CEG ＝S △DEF ﹣S △CEG ，梯形ABEG 的面积＝阴影部分的面积，求梯形的面积即可得到阴影部分的面积．【解答】解：（1）∵A （1，5），点B （1，1），∴AB ＝4，∵平移距离为2，∴BE ＝2，DE ＝AB ＝4，∵DG ＝1，∴GE ＝DE ﹣DG ＝4﹣1＝3，∴G （3，4）；故答案为：G （3，4）；（2）∵将直角三角形ABC 沿着x 轴正方向平移到直角三角形DEF 的位置，∴S △ABC ＝S △DEF ，∴S △ABC ﹣S △CEG ＝S △DEF ﹣S △CEG ，∴梯形ABEG 的面积＝阴影部分的面积，∴S =12×（AB +EG ）×BE=12×（4+3）×2＝7．故答案为：7．13．（2022春•仙居县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A （1，1），点B （3，0）．现将线段AB 平移，使点A ，B 分别平移到点A ′，B '，其中点A ′（1，4），则四边形AA 'B 'B 的面积为 6 ．【分析】把四边形AA′B′B的面积转化为特殊四边形的面积求解即可．【解答】解：如图，过点B′作B′E⊥AA′于点E，延长A′A交OB于点F．由题意得，AB＝A′B′，AB∥A′B′，∵点A（1，1），点B（3，0），点A′（1，4），∴AA′＝BB′＝3，∵B′E⊥AA′，∴四边形B′EFB是长方形，∴AA′＝EF＝3，∴四边形AA′B′B的面积＝四边形B′EFB的面积＝3×2＝6，故答案为：6．14．（2022春•海淀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积是 3 ．【分析】曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积可以看成是底为1，高为3的平行四边形的面积．【解答】解：曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积＝1×3＝3，故答案为：3．15．（2022春•昌黎县期末）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，2），B（3，﹣2），则△AOB的面积为 2 ．【分析】直接利用A，B点坐标，再利用△AOB所在直角三角形面积减去周围图形面积得出答案．【解答】解：△AOB的面积为：12×4×4−12×1×2﹣2−12×2×3＝2．故答案为：2．16．（2022•漳州校级一模）已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，﹣3），B（0，﹣3），C（﹣2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C 的面积为S2，则S1，S2的大小关系为s1 ＝ s2（填“＜”、“＞”、“＝”）．【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【解答】解：原来点的横坐标是0，纵坐标是﹣3，向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B 1点的横坐标是0+2＝2，纵坐标为﹣3+4＝1．那么原三角形的面积是：12×4×4＝8，新三角形的面积为：12×4×4＝8，∴两三角形的面积相等，即s 1＝s 2．三．解答题（共14小题）17．（2022春•上蔡县月考）如图，六边形ABCDE 在平面直角坐标系内．（1）写出点A 、B 、C 、D 、E 、F 的坐标：A （2，3） 、B （﹣2，3） 、C （﹣4，0） 、D （3，﹣3） 、E （ ）2，﹣3）； 、F （3，0）； ；（2）六边形ABCDE 的面积为 34.5 ．【分析】（1）根据图形直接写出坐标；（2）根据点点坐标利用割补法即可求出六边形ABCDE 的面积．【解答】解：（1）A （2，3）、B （﹣2，3）、C （﹣4，0）、D （﹣3，﹣3）、E （2，﹣3）、F （3，0）；故答案为：（2，3）、（﹣2，3）、（﹣4，0）、（﹣3，﹣3）、（2，﹣3）、（3，0）；（2）四边形ABCD 的面积为：6×7−12×2×3−12×1×3−12×1×3−12×1×3=34.5故答案为：34.5．18．（2022春•莆田期末）对于平面直角坐标系中的图形M 上的任意点P （x ，y ），给出如下定义：将点P （x ，y ）平移到P ′（x +e ，y ﹣e ）称为将点P 进行“e 型平移”，点P ′称为将点P 进行“e 型平移”的对应点；将图形M 上的所有点进行“e 型平移”称为将图形M 进行“e 型平移”．例如，将点P （x ，y ）平移到P ′（x +1，y ﹣1）称为将点P 进行“1型平移”．（1）已知点A （﹣1，2），B （2，3），将线段AB 进行“1型平移”后得到对应线段A ′B ′．①画出线段A ′B ′，并直接写出A ′，B ′的坐标；②四边形ABB ′A ′的面积为 4 （平方单位）；（2）若点A （2﹣a ，a +1），B （a +1，a +2），将线段AB 进行“2型平移”后得到对应线段A ′B ′，当四边形ABB ′A ′的面积为8平方单位，试确定a 的值．【分析】（1）①根据定义平移即可；②根据平移后的图形，写出坐标即可；（2）利用割补法求四边形的面积．【解答】解：（1）①A （﹣1，2）“1型平移”后得到A '（0，1），B （2，3）“1型平移”后得到B '（3，2）；②S 四边形ABB ′A ′＝S △ABB '+S △AB 'A '=12×4×1+12×4×1＝4，故答案为：4；（2）A （2﹣a ，a +1）“2型平移”后得到A '（4﹣a ，a ﹣1），B （a +1，a +2）“2型平移”后得到B '（a +3，a ），如图，在四边形外作矩形CDEF ，∴C （2﹣a ，a +2），D （2﹣a ，a ﹣1），E （a +3，a ﹣1），F （a +3，a +2），∴BC ＝2a ﹣1，AC ＝1，BF ＝2，B 'F ＝2，AD ＝2，A 'D ＝2，AE ＝2a ﹣1，BE '＝1，∴CF ＝2a +1，CD ＝3，∴S 四边形ABB ′A ′＝3（2a +1）−12×（2a ﹣1）×1×2−12×2×2×2＝4a ，∵四边形ABB ′A ′的面积为8平方单位，∴4a ＝8，∴a ＝2．19．（2022春•雨花区校级月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（a，0）和B（b，0），且a，b满足|a+4|+0，点C的坐标为（0，3）．（1）求a，b的值及S△ABC；（2）若点M在x轴上，且S△ACM =13S△ABC，试求点M的坐标．【分析】（1）由|a+4|+0结合绝对值、算术平方根的非负性即可得出a、b的值，再结合三角形的面积公式即可求出S△ABC的值；（2）设出点M的坐标，找出线段AM的长度，根据三角形的面积公式结合S△ACM =13S△ABC，即可得出点M 的坐标．【解答】解：（1）由|a +4|=0，可知，a +4＝0，8﹣b ＝0，∴a ＝﹣4，b ＝8，∴点A （﹣4，0），点B （8，0），又∵点C （0，3），∴AB ＝|﹣4﹣8|＝12，CO ＝3，∴S △ABC =12AB •CO =12×12×3＝18．（2）设点M 的坐标为（x ，0），则AM ＝|x ﹣（﹣4）|＝|x +4|，又∵S △ACM =13S △ABC ，∴12AM •OC =13×18，∴12|x +4|×3＝6，∴|x +4|＝4，即x +4＝±4，解得：x ＝0或﹣8，故点M 的坐标为（0，0）或（﹣8，0）．20．（2022春•长白县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣3b ，0）为x 轴负半轴上一点，点B （0，4b ）为y 轴正半轴上一点，其中b 满足方程3（b +1）＝6．（1）求点A ，B 的坐标；（2）点C 为y 轴负半轴上一点，且△ABC 的面积为12，求点C 的坐标；【分析】（1）解一元一次方程，可得结论．（2）利用三角形的面积公式求出OC 的长，可得结论．【解答】解：（1）解方程3（b+1）＝6，得到b＝1，∴A（﹣3，0），B（0，4）．（2）∵A（﹣3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∵S△ABC =12•BC•OA＝12，∴BC＝8，∵点C在y轴的负半轴上，∴OC＝4，C（0，﹣4）．21．（2022春•新市区期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）（1）求点C到x轴的距离；（2）求△ABC的面积；（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）点C的纵坐标的绝对值就是点C到x轴的距离解答；（2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解；（3）设点P的坐标为（0，y），根据△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），所以12×6×|x−3|=6，即|x﹣3|＝2，所以x＝5或x＝1，即可解答．【解答】解：（1）∵C（﹣1，﹣3），∴|﹣3|＝3，∴点C到x轴的距离为3；（2）∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）∴AB ＝4﹣（﹣2）＝6，点C 到边AB 的距离为：3﹣（﹣3）＝6，∴△ABC 的面积为：6×6÷2＝18．（3）设点P 的坐标为（0，y ），∵△ABP 的面积为6，A （﹣2，3）、B （4，3），∴12×6×|y ﹣3|＝6，∴|y ﹣3|＝2，∴y ＝1或y ＝5，∴P 点的坐标为（0，1）或（0，5）．22．（2022春•思明区校级期中）在平面直角坐标系中，点A ，B 在y 轴正半轴上，且点A 在B 的下方，将线段AB 进行平移得到线段CD ，点A 的对应点为点D ，点B 的对应点为点C ，（1）若点A （0，1），B （0，3），D （3，2），求点C 的坐标；（2）点E 是第二象限上的一个动点，过点E 作EF 垂直x 轴于F ，连接DF ，DE ，EC ．若点A （0，12m ），B （0，b ），C （a +b +1，12m +3），D （m ，﹣2m +3），三角形DEF 的面积为S △DEF =−38a +338，点D 到直线EF 的距离为3，试问是否存在m ，使得S △BCE =13S △ACE ？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出AB 的长，利用平移的性质解决问题即可．（2）利用平移变换的性质构建方程组求出a ，b （用m 表示），利用三角形的面积公式构建方程求出m 即可解决问题．【解答】解：（1）∵A （0，1），B （0，3），D （3，2），∴AB ＝3﹣1＝2＝CD ，∴C （3，4）．（2）由题意：b−12m =12m +3−(−2m +3)a +b +1=m，解得a =−2m−1b =3m ，∴C （m ，12m +3），∵S △DEF =EF ×32=−38a +338，∴EF =−14a +114=12m +3，∴EC ⊥y 轴，∴A 到CE 的距离为：12m +3−12m ＝3，∵S △BEC =13S △ACE ，∴B 到CE 的距离为：3×13=1，∴|3m ﹣（12m +3）|＝1，解得m =85或45，故存在m ，使得S △BCE =13S △ACE ，此时m =85或45．23．（2022春•大同期末）已知坐标平面内的三个点A （1，3），B （3，1），O （0，0），求△ABO 的面积．【分析】过A ，B 分别作y 轴，x 轴的垂线，则三角形ABC 的面积可以转化为梯形和三角形的面积的和差的问题解决．【解答】解：如图所示，过A ，B 分别作y 轴，x 轴的垂线，垂足为C ，E ，两线交于点D ，则C （0，3），D （3，3），E （3，0）．又因为O （0，0），A （1，3），B （3，1），所以OC ＝3，AC ＝1，OE ＝3，BE ＝1，AD ＝DC ﹣AC ＝3﹣1＝2，BD ＝DE ﹣BE ＝3﹣1＝2，则四边形OCDE 的面积为3×3＝9，△ACO和△BEO的面积都为12×3×1=32，△ABD的面积为12×2×2＝2，所以△ABO的面积为9﹣2×32−2＝4．24．（2022春•罗平县校级期中）在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（6，0），C （5，6）（1）求△ABC的面积．（2）在y轴上是否存在点D，使得△ABD的面积和△ABC的面积相等，若存在，求出点D的坐标．（3）除（2）中的点D，在平面直角坐标系中，还能不能找到别的点D，会满足△ABD的面积和△ABC 的面积相等，这样的点有多少个？它们的坐标有什么特点？直接写出答案．【分析】（1）由已知条件和三角形面积公式容易得出结果；（2）由三角形的面积关系得出点D的纵坐标绝对值为6，即可得出结果；（3）由题意得出满足条件的点D的纵坐标绝对值为6，即可得出结论．【解答】解：（1）∵A（0，0），B（6，0），C（5，6），∴OB＝6，△ABC的面积=12×6×6＝18；（2）存在，理由如下：∵△ABD的面积＝△ABC的面积=12×6×6＝18，∴点D的坐标为（0，6）或（0，﹣6）；（3）能找到别的点D，满足△ABD的面积和△ABC的面积相等，这样的点有无数个，它们的纵坐标为±6．25．（2022春•崆峒区期末）在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，0），如图1所示．（1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（﹣2，4），求点D的坐标；（2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示．若S△BCD ＝7（S△BCD表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标．（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使S△PCDS△BCD =23（S△PCD表示三角形PCD的面积）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用平移得性质确定出平移得单位和方向；（2）根据平移得性质，设出平移单位，根据S△BCD ＝7（S△BCD建立方程求解，即可，（3）设出点P的坐标，表示出PC用S△PCDS△BCD =23，建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵B（3，0）平移后的对应点C（﹣2，4），∴设3+a＝﹣2，0+b＝4，∴a＝﹣5，b＝4，即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C（﹣2，4），∴A点平移后的对应点D（﹣4，2），（2）∵点C 在y 轴上，点D 在第二象限，∴线段AB 向左平移3个单位，再向上平移（2+y ）个单位，符合题意，∴C （0，2+y ），D （﹣2，y ），连接OD ，S △BCD ＝S △BOC +S △COD ﹣S △BOD=12OB ×OC +12OC ×2−12OB ×y ＝7，∴y ＝2，∴C （0，4）．D （﹣2，2）；（3）设点P （0，m ），∴PC ＝|4﹣m |，∵S △PCD S △BCD =23，∴12|4﹣m |×2=23×7，∴|4﹣m |=143，∴m =−23或m =263，∴存在点P ，其坐标为（0，−23）或（0，263）．26．（2022春•通川区期末）已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（2，a ），点B 的坐标为（b ，2），点C 的坐标为（c ，0），其中a ，b 满足（a +b ﹣10）2+|a ﹣b +2|＝0．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）当△ABC 的面积为10时，求点C 的坐标；（3）当2≤S △ABC ≤12时，则点C 的横坐标c 的取值范围是 ﹣2≤c ≤8或12≤c ≤22 ．【分析】（1）根据非负数的性质即可得到A 点的坐标（2，4），B 点的坐标（6，2）；（2）求得直线AB 与x 轴的交点为D （10，0），于是得到S △ABC ＝S △ACD ﹣S △BCD ，列方程即可得到结论；（3）根据已知条件列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵（a +b ﹣10）2+|a ﹣b +2|＝0，∴（a +b ﹣10）2＝0，|a ﹣b +2|＝0，解得：a ＝4，b ＝6，∴A 点的坐标（2，4），B 点的坐标（6，2）；（2）∵A 点的坐标（2，4），B 点的坐标（6，2），如图，过点A 作AD ⊥x 轴于D ，∴D （2，0），AD ＝4，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，∴E （6，0），BE ＝2，∴DE ＝4，设C （c ，0），当c ＞10时，∴CE ＝c ﹣6，CD ＝c ﹣2∴S △ABC ＝S △ACD ﹣S △BCE ﹣S 梯形ABED =12×4×（c ﹣2）−12×2×（c ﹣6）−12×（2+4）×4＝c ﹣10＝10，∴c ＝20当c ＜10时，同上的方法得，c ＝0，∴点C 的坐标（0，0）或（20，0）；（3）由（2）知，①12×（10﹣c ）×4−12（10﹣c ）×2＝2或12×（c ﹣10）×4−12（c ﹣10）×2＝2，解得：c ＝8或12，②12×（10+c ）×4−12（10+c ）×2＝12或12×（|c |﹣10）×4−12（c ﹣10）×2＝12，解得：c ＝﹣2或c ＝22，∴当2≤S △ABC ≤12时，则点C 的横坐标c 的取值范围是﹣2≤c ≤8或12≤c ≤22，故答案为﹣2≤c ≤8或12≤c ≤22．27．（2022春•宁都县期末）已知：如图，△ABC 的三个顶点位置分别是A （1，0）、B （﹣2，3）、C （﹣3，0）．（1）求△ABC 的面积是多少？（2）若点A 、C 的位置不变，当点P 在y 轴上时，且S △ACP ＝2S △ABC ，求点P 的坐标？（3）若点B 、C 的位置不变，当点Q 在x 轴上时，且S △BCQ ＝2S △ABC ，求点Q 的坐标？【分析】（1）根据点A 、C 的坐标求出AC 的长，然后利用三角形的面积列式计算即可得解；（2）分点P 在y 轴正半轴和负半轴两种情况讨论求解；（3）分点Q 在C 的左边和右边两种情况讨论求解．【解答】解：（1）∵A （1，0），B （﹣2，3），C （﹣3，0），∴AC ＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，点B 到AC 的距离为3，∴△ABC 的面积=12×4×3＝6；（2）∵S △ACP ＝2S △ABC ＝12，∴以AC 为底时，△ACP 的高＝12×2÷4＝6，∴点P 在y 轴正半轴时，P （0，6）；点P 在y 轴负半轴时，P （0，﹣6）；（3）∵S △BCQ ＝2S △ABC ＝12，∴以CQ 为底时，△BCQ 的高为3，底边CQ ＝12×2÷3＝8，∴点Q 在C 的左边时，Q （﹣3﹣8，0），即Q （﹣11，0）；点Q 在C 的右边时，Q （﹣3+8，0），即Q （5，0）．28．（2022春•河北期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，4），B （8，0），C （8，6）三点．（1）求△ABC 的面积；（2）如果在第二象限内有一点P （m ，1），且四边形ABOP 的面积是△ABC 的面积的两倍；求满足条件的P 点的坐标．【分析】（1）由点的坐标得出BC＝6，即可求出△ABC的面积；（2）求出OA＝4，OB＝8，由S四边形ABOP ＝S△AOB+S△AOP和已知条件得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵B（8，0），C（8，6），∴BC＝6，∴S△ABC =12×6×8＝24；（2）∵A（0，4），B（8，0），∴OA＝4，OB＝8，∴S四边形ABOP ＝S△AOB+S△AOP=12×4×8+12×4（﹣m）＝16﹣2m，又∵S四边形ABOP ＝2S△ABC＝48，∴16﹣2m＝48，解得：m＝﹣16，∴P（﹣16，1）．29．（2022春•上杭县期末）在平面直角坐标系中（单位长度为1cm），已知点M（m，0），N（n，0），+|2m+n|＝0．（1）求m，n的值；（2）若点E是第一象限内一点，且EN⊥x轴，点E到x轴的距离为4，过点E作x轴的平行线a，与y 轴交于点A．点P从点E处出发，以每秒2cm的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒1cm的速度沿x轴向右移动．①经过几秒PQ平行于y轴？②若某一时刻以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是10cm2，求此时点P的坐标．【分析】（1）根据平方根和绝对值的性质得出m+n−3=02m+n=0，解方程组即可；（2）①设x秒后PQ平行于y轴，由于AP∥OQ，所以当AP＝OQ时，四边形AOQP是平行四边形，那么PQ平行于y轴，根据AP＝OQ列出关于x的方程，解方程即可；②设y秒后四边形AOQP的面积为10cm2，根据四边形AOQP的面积=12（OQ+AP）•OA列出关于y的方程，进而求出点P的坐标．【解答】解：（1）依题意，得m+n−3=0 2m+n=0，解得m=−3 n=6；（2）①设经过x秒PQ平行于y轴，依题意，得6﹣2x＝x解得x＝2，②当点P在y轴右侧时，4=10，解得x＝1，此时点P的坐标为（4，4），当点P在y轴左侧时，4=10，解得x=113，此时点P的坐标为(−43，4)．30．（2022春•武清区期中）已知点A（a，0）、B（b，0+|b﹣2|＝0．（1）求a 、b 的值．（2）在y 轴的正半轴上找一点C ，使得三角形ABC 的面积是15，求出点C 的坐标．（3）过（2）中的点C 作直线MN ∥x 轴，在直线MN 上是否存在点D ，使得三角形ACD 的面积是三角形ABC 面积的12？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据非负数的性质列方程即可得到结论；（2）由A （﹣4，0）、B （2，0），得到AB ＝6，根据三角形ABC 的面积是15列方程即可得到即可；（3）根据三角形ABC 的面积是15列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵（a +4）2+|b ﹣2|＝0，∴a +4＝0，b ﹣2＝0，∴a ＝﹣4，b ＝2；（2）如图1，∵A （﹣4，0）、B （2，0），∴AB ＝6，∵三角形ABC 的面积是15，∴12AB •OC ＝15，∴OC ＝5，∴C （0，5）；（3）存在，如图2，∵三角形ABC 的面积是15，∴S △ACD =12CD •OC ＝15，∴12CD ×5=12×15，∴CD＝3，∴D（3，5）或（﹣3，5）．。
(完整版)4-2-1格点型面积.题库教师版
格点型面积例题精讲板块一正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使随意两条相邻的平行线的距离都相等( 往惯例定是 1 个单位 ) ，这样在纸上就形成了一个方格网，此中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为极点画出的多边形叫做格点多边形，比如，右图中的农村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积怎样计算？它与格点数量有没相关系？假如有，这二者之间的关系可否用计算公式来表达？下边就让我们一同来商讨这些问题吧！用 N 表示多边形内部格点， L 表示多边形周界上的格点， S 表示多边形面积，请同学们剖析前几个例题的格点数．我们能发现以下规律：S N L 1 ．这个规律就是毕克定理．2毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的界限上有L 个格点，L1 ．则它的面积为 S N2【例 1】用 9 个钉子钉成互相间隔为 1 厘米的正方阵( 如右图 ) ．假如用一根皮筋将适合的三个钉子连结起来就获得一个三角形，这样获得的三角形中，面积等于 1 平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【分析】面积等于 1 平方厘米的三角形有32 个．面积等于 2 平方厘米的三角形有8 个．( 1) 面积等于 1 平方厘米的分类统计以下：①②③底为 2，高为 1底为2，高为1底为1，高为23× 2=6( 个 )3× 2=6( 个)3× 2=6( 个)④⑤⑥底为 1，高为 2底为2，高为1底为1，高为23× 2=6( 个 )2× 2=4( 个)2× 2=4( 个 )所以，面积等于 1 平方厘米的三角形的个数有：6+6+6+6+4+4=32( 个) ．( 2) 面积等于 2 平方厘米的分类统计以下：3× 2=6( 个 )1× 2=2( 个 )所以，面积等于 2 平方厘米的三角形的个数有：6+2=8( 个 ) ．【例 2】如图，4 4 的方格纸上放了16 枚棋子，以棋子为极点的正方形有个．【分析】依据正方形的大小，分类数正方形．共能构成五种大小不一样的正方形( 如右图 ) ．11的正方形：9个； 2 2 的正方形：4个； 3 3 的正方形：1个；以 1 1正方形对角线为边长的正方形： 4 个；以1 2 长方形对角线为边长的正方形： 2 个．故能够构成9 4 1 4 2 20 (个)正方形．【例 3】判断以下图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶⑷【分析】依据格点多边形的定义可知，图形的边一定是直线段，极点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【例 4】如图，计算各个格点多边形的面积．⑴⑵⑶⑷⑸⑹【分析】此题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只需判断出相应的相关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416(面积单位 )；图⑵是矩形，长是5，宽是 3，所以面积是5315(面积单位 )；图⑶是三角形，底是5，高是 4，所以面积是54 2 10 (面积单位)；图⑷是平行四边形，底是5，高是 3，所以面积是5 3 15(面积单位 )；图⑸是直角梯形，上底是3，下底是 5，高是3，所以面积是（3 5）3212(面积单位)；图⑹是梯形，上底是3，下底是 6，高是 4，所以面积是（36）4 218( 面积单位 )．【稳固】假如两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？( 教师总结：面积数值均扩大4倍． )方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还能够从推导它们的面积公式过程中获得启迪，即用“割补法”或“扩展法”分别转变成长方形来求．这一种方法很重要，在下边的题目中我们还将使用这类方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转变，以下图，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其暗影部分面积平移到右侧，转变成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用相同的思想．⑶⑷【例 5】如图 ( a) ，计算这个格点多边形的面积．III III(a)(b)(c)【分析】方法一 ( 扩展法 ) ．这是个三角形，固然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想其余方法：这个三角形是处在长是 6、宽是 4 的矩形内，除此以外还有其余三个直角三角形，以下右图 ( b) ，这三个直角三角形面积很简单求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是 6 4 24；直角三角形Ⅰ的面积是： 6 2 2 6 ；直角三角形Ⅱ的面积是：4 2 2 4；直角三角形Ⅲ面积是4 2 2 4；所求三角形的面积是24 （6 4 4） 10(面积单位)．方法二 ( 割补法 ) ．将原三角形切割成两个我们方便计算面积的三角形，如( c) 图．所以三角形的面积是：52252 2 10(面积单位)．【例 6】 ( “新加坡小学数学奥林匹克”比赛试题) 右图是一个方格网，计算暗影部分的面积．D AFC E B1cm1cmABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的VAEF ；【分析】扩展法．把所求三角形扩展成正方形此外三个分别是：V ABE 、 V FEC 、 V DAF ，它们都有一条边是水平搁置的，易求它们的面积分别为1.5cm2， 2cm2， 1.5cm2 ．所以，图中暗影部分的面积为： 3 3（1.5 22） 4 ( cm2) ．【例 7】分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴⑵【分析】利用“扩展法”和“割补法”我们都能够简单的获得⑴的面积均为9 面积单位．⑵的面积均为10 面积单位．【评论】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些要素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下边我们就来商讨一下！在稳固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还能够发现第一个图形界限上的格点数是8 个；第二个图形界限上的格点数是10 个，包括在图形内的格点数也相等，都是 6 个．【稳固】求以下各个格点多边形的面积．⑴⑵⑶⑷【分析】⑴ ∵L12； N10，∴ S N L101215(面积单位 )；1122⑵ ∵ L10； N16，∴ S N L161020(面积单位 )；1122⑶ ∵ L 6 ； N12，∴S N L1261 1 14( 面积单位 ) ；22⑷ ∵ L10； N13，∴ S N L131017(面积单位 )．1122用 N 表示多边形内部格点， L 表示多边形周界上的格点， S 表示多边形面积，请同学们剖析前几个例题的格点数．我们能发现以下规律： S N L1 ．这个规律就是毕克定理．2毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的界限上有L 个格点，L1 ．则它的面积为S N2【例 8】我们开始提到的“农村小屋”的面积是多少？【分析】图形内部格点数N 9；图形界限上的格点数 L20 ；依据毕克定理，则 S N L1 18( 单位2面积 )．【例 9】右图是一个8 12面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．HGFA ECBD【分析】箭形 ABCDEFGH 的面积（810 2 1） 4 8 （4 2 1） 2 12 32 2 46(面积单位)．【例 10】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【分析】图形内部格点数为54，图形周界上格点数为19．所以图形的面积为：54 19 2 1 62.5(面积单位)．【稳固】如图，每一个小方格的面积都是 1 平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【分析】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：( N+ L- 1) ×单位正方形面积，此中N 为图形内格点数，2L为图形周界上格点数．有 N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：( 4+72- 1) ×1=6． 5( 平方厘米 )方法二：如右上图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1．5，② =2÷ 2=1，③=2÷ 2=1，④=2÷ 2=1，⑤=2÷ 2=l，⑥=2÷ 2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1． 5+l +1+1+1+1+3=9． 5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16- 9． 5=6． 5 平方厘米．【例 11】( “小学数学奥林匹克”比赛试题) 5 5 的方格纸，小方格的面积是 1 平方厘米，小方格的极点称为格点．请你在图上选7 个格点，要求此中随意 3 个格点都不在一条直线上，而且使这7 个点用直线连结后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【分析】为了使这 7 个点围成最大的面积，这7 个点应尽量在正方形的边或极点上，如图选用7 个点，围成面积最大．最大面积为 5 5 0.5 3 23.5(平方厘米)．【例 12】( “保良局亚洲区城市小学数学”比赛试题) 第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7 月 21日开幕，下边的图形中，每一个小方格的面积是1，那么 7、2、1 三个数字所占的面积之和是多少？【分析】要计算三个数字所占的面积之和，能够先分别求出每个数字所占的面积．明显，图中的三个数字都能够看作格点多边形，依据毕克定理，能够很方便地求出每个数字所占的面积．值得注意的是：数字“ 7”内部有两个格点，而数字“2”和“ 1”内部都没有格点．7所占的面积为： 2 15 2 18.5；2所占的面积为： 2421 11；1所占的面积为：17 2 1 7.5 ．所以，这三个数字所占的面积之和为：8.5 117.527 ．【例 13】( 第六届“从小爱数学” 邀请赛试题 ) 两个边长相等的正方形各被分红25 个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的暗影部分 ( 块状 ) 面积为 5.12cm 2 ，右下角的暗影部分 ( 线状 ) 面积为 7.4cm 2 ，求大正方形的面积．【分析】 块状部分与线状部分之间的部分称为D ，则 D 与前者共 14 个方格，与后者共17 个方格，所以每个方格的面积是 （7.4 5.12）（17 14）19（ cm 2）19cm 2 ．25大正方形的面积为【例 14】 ( 第六届“华杯赛”试题) 图中正六边形ABCDEF 的面积是54， AP=2PF ， CQ=2BQ ，求暗影四边形 CEPQ 的面积．APFAPFB E B EQQCDCD【分析】 如图，将正六边形 ABCDEF 均分为 54 个小正三角形．依据平行四边形对角线均分平行四边形面积，VPEF 面积 3 ， VCDE 面积 9 ，四边形 ABQP 面积 11．上述三块面积之和为 3 9 11 23 ．因 此，暗影四边形 CEPQ 面积为 54 23 31．板块二 三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为 1，以这样的点为极点画出的多边形为三角形格点多边形．对于三角形格点多边形的面积相同有它的计算公式：假如用 S 表示面积， N 表示图形内包括的格点数，示图形周界上的格点数，那么有 S 2 N L 2 ，就是格点多边形面积等于图形内部所包括格点数的周界上格点数的和减去 2．L 表 2 倍与【例 15】 如图 ( a) ，有 21 个点，每相邻三个点成“∵”或“∴” ，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形 ABC 的面积．AA AⅡ'AHEEⅠⅡCF DC'Ⅲ'CF DCⅠⅢ RGBBB(c)B(a)(b)(d)【分析】 方法一：如图 ( b) 所示，在 V ABC 内连结相邻的三个点成 V DEF ，再连结 DC 、 EA 、 FB 后是 V ABC可当作是由 V DEF 分别延伸 FD 、 DE 、 EF 边一倍、一倍、二倍而成的，由等积变换不难得 到S V ACD 2 ， S VAEB 3 ， S VFBC 4 ，所以 S V 1 2 3 4 10(面积单位 )．方法二：如图 ( c) 所示，作协助线把图 Ⅰ′、 Ⅱ′、 Ⅲ ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的地点，这样能够经过数小正三角形的方法，求出VABC 的面积为 10．方法三：如图 ( d) 所示：作协助线可知：平行四边形ARBE 中有 6 个小正三角形，而 V ABE 的面积是平行四边形 ARBE 面积的一半，即 S VAEB 3 ，平行四边形ADCH 中有 4 个小正三角形，而V ADC 的面积是平行四边形ADCH 面积的一半，即 S V ACD 2 ．平行四边形 FBGC 中有 8 个小正三角形，而 V FBC 的面积是平行四边形 FBGC 的一半，即： S VFBC 4 ．所以S V 1 2 3 4 10(面积单位 )．【稳固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为 1 的等边三角形，计算 V ABC 的面积．ACB【分析】由于N 5；L 3：所以 S 2 N L 2 2 5 3 2 11(面积单位)．【例 16】求以下格点多边形的面积( 每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为 1 的等边三角形) ．⑴⑵⑶⑷【分析】⑴ ∵L7； N7，∴ S2N L2277219( 面积单位 )；⑵ ∵ L5； N8，∴ S2N L2285219(面积单位 )；⑶ ∵ L6； N7，∴ S2N L2276218( 面积单位 )；⑷ ∵ L7； N8，∴ S2N L2287221(面积单位)．【例 17】把大正三角形每边八均分，构成如右图所示的三角形网．假如大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【分析】图中有 1 3 57 9 11 13 15 64(个)小三角形，那么一个小三角形的面积是128 64 2，图形内部格点数为12，图形周界上格点数为4；图形的面积为： 2 12 4 2 26 (面积单位)，从而得图形的面积为：26 252 ．【例 18】如图，假如每一个小三角形的面积是 1 平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？【分析】法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：( 2N+L- 2) x 单位正三角形面积，此中N 为图形内格点数， L 为图形周界上格点数．有 N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：( 9×2+4- 2) ×1=20( 平方厘米 ) ．法二：以以下图，我们先数出粗实线内完好的小正三角形有10 个，而将不完好的小正三角形分红 4 部分计算，此中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为 2， 8， 6，所以②、③、④部分的面积分别为 1，4，3．所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3=20( 平方厘米 ) ．【例 19】把同一个三角形的三条边分别 5 均分、 7 均分 ( 如图 1，图 2) ，而后适合连结这些均分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图 1 中暗影部分面积是294 平方分米，那么图 2 中暗影部分的面积是 ______平方分米．【分析】图 1 中暗影部分占整个三角形面积的12，图 2 中暗影部分占整个三角形面积的16，故图 2 中暗影部分的面积为 294÷12162549 =200( 平方分米 ) ．2549【例 20】将图中的图形切割成面积相等的三块．【分析】如右图所示．【例 21】如图涂暗影部分的小正六角星形面积是16 平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【分析】如图，涂暗影部分的小正六角星形可分红12 个与三角形 PMN 全等 ( 能完好重叠地放在一同) 的小三角形．而图中的大正六角星形除掉小正六角星形后．有 6× 4=24 个与三角形 PMN 全等的小三角形，所以大正六角星形的面是小正六角星形的 3 倍，即 48 平方厘米．【例 22】( 第五届“华杯赛”试题) 正六边形 ABCDEF 的面积是6平方厘米． M是AB中点，N是 CD中点， P 是 EF 中点．问：三角形 MNP 的面积是多少平方厘米？A FQF AM P M PB E B ER SC D C DN N【分析】将正六边形分红六个面积为 1 平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为 4 个小正三角形．于是正六边形ABCDEF 被分红了24 个小正三角形，每一个小正三角形的面积是0.25 9 2.25 (平方厘米)．【例 23】假以以下图中随意相邻的三个点构成的三角形面积都是 2 平方厘米．那么，三角形ABC 的面积是_____平方厘米．【分析】 S ABC S ABD S BCD S ACD 2 12 2 12 2 966(平方厘米 )。
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九、格点与面积(B)
年级______班_____ 姓名 _____得分_____
一、填空题:
1.右图是用皮筋在钉板上围成的一个
三角形,计算它的面积是多少.(每相邻两个
小钉之间的距离都等于1个长度单位).
2.右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的
面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单
位).
3.在一个9⨯6的长方形内,有一个凸四边形
ABCD(如右图).用毕克定理先求出它的面积来,再用拼
割方法计算它的面积,看两者是否一
致.
4.右图中每个小正方形的面积都
是4平方厘米,求图中阴影部分的面
积.
5.右图是一个10⨯10的正方形,求正方形内的四边形ABCD
的面积.
6.右图是一个8⨯12面积单
位的图形.求矩形内的箭形
ABCDEFGH的面积.
7.右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只
“狗”所占的面积是多少?
8.右图是一个5⨯5的方格纸,小方格的
面积是1平方厘米,小方格的顶点为格点.
请你在图上选7个格点,要求其中任意3个
格点都不在一条直线上,并且使这7个点用
线段连结所围成的面积尽可能大,那么,所
用图形的面积1是多少平方厘米？
9.右图中每个小正方形的面积为1平方分米,那么阴影
部分的面积是多少平方分米?
10.右图中每个小平行四边形
的面积是1个面积单位,求阴影部
分的面积.
二、解答题:
1.右图中有21个点,其中每相邻的
三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面
积为1的等边三角形,试计算ABC
∆的
面积.
2.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所
形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形
DEFG的面积.
3.把等边三角形ABC每边六等分,
组成如右图的三角形网.若图中每个小
三角形的面积均为12
cm,试求图中三角
形DEF的面积.
4.把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果每个小三角形的面积都是1,求图中粗线所围成的三角形的面积.
———————————————答案——————————————————————
一、填空题:
1. 面积单位.
分析:解答这类问题可直接套用毕克定理:
格点面积=内部格点数+周界上格点数÷2-1.
注意:一是毕克定理只对格点凸多边形适用,二是在数格点时要细心.
解: 5+3÷2-1=(面积单位).
2. 5+5÷2-1=(面积单位).
3. 面积单位.
解: ①由毕克定理得:
25+7÷2-1=(面积单位).
②用拼割方法得:
ABCD的面积=长方形EFGH的面积-四角上的四个三角形的面积 =9⨯6-(6⨯2÷2+3⨯3÷2+4⨯3÷2+4⨯5÷2)
=54-(6++6+10)=(面积单位).
4. 48平方厘米.
解: ①内部格点数为: 9个;
②周界上格点数为: 8个;
③阴影部分的面积是: 4⨯(9+8÷2-1)=48(平方厘米).
5. 30面积单位.
解: 因为ABCD不是凸四边形,所以如在原题图上取格点E,则三角形BCE及四边形AECD都是凸的图形,故:
S=(4+6÷2-1)+(21+8÷2-1)
ABCD
=6+24=30(面积单位).
6. 46面积单位.
解: 因为ABCDEFGH不是凸多边形,所以,连结GC、MN,则ABH
∆、矩形GCNM、三角形MFE、EDN都是凸的图形.
故箭形ABCDEFGH的面积=(8+10÷2-1)+4⨯8+(4÷2-1)⨯2
=12+32+2=46(面积单位).
7. 面积单位.
解: 图形内部格点数为59,图形周界上格点数为19.
所以图形的面积为:59+19÷2-1=(面积单位).
8. (平方厘米).
分析与解: 这是一个5⨯5的方格纸,共有25个格点.现在要围成一个面积最大的图形,根据格点面积公式,要使图形面积最大,必须使图形包含的内部格点数和周界上格点数尽可能多.由方格纸可知,内部格点数最多为4⨯4=16,周界上格点数最多为5⨯4=20.但是,当周界上格点数为最多时,不符合题中“任意3个格点不在一条直线上”的条件,因此,适当调整图上7个格点的位置,如右上图所示,就得到了面积最大的图形.
所围成图形的最大面积为: 16+17÷2-1=(平方厘米).
9. 平方分米.
解:图形内部格点数为7,图形周界上格点数为 5.阴影部分的面积为:7+5÷2-1=(平方分米).
10. 面积单位.
解: 图形内部格点数为16,图形周界上格点数为7.
图形的面积为: 16+7÷2-1=(面积单位).
二、解答题:
1. 10面积单位.
分析: 由“∵”和“∴”重合两点可拼为平行四边形 ,可以推出如下计算这类格点面积的公式:
图形面积=(内部格点数+周界上格点数÷2-1)⨯2.
解: 图形内部格点数为4,图形周界上格点数为4.
ABC S ∆=(4+4÷2-1)⨯2=10(面积单位).
2. 12面积单位.
解: DEFG S 四边形=(5+4÷2-1)⨯2=12(面积单位).
3. 11面积单位.
解: 图形内部格点数为5,图形周界上格点数为3. DEF S ∆=(5+3÷2-1)⨯2=11(2cm ).
4. 26面积单位.
解: 图形内部格点数为12,图形周界上格点数为4. 图形的面积为: (12+4÷2-1)⨯2=26(面积单位).。