二元一次方程组的应用ppt
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《二元一次方程组的应用》PPT课件(沪科版)
视察下图：
截取部 分高为 x毫米
长方体
圆住体半径 为200/2=100
长方体长300mm、 宽300mm、高为80mm
思考：题目中隐藏着怎样的相等关系（等量关 系）？
假设圆住体的高为xmm.
圆柱体体积＝长方形体积
3.14 ×1002 x ＝ 300 ×300 ×80
解：设至少要截取圆柱体钢Xmm. 根据题意得：
分析题意（方法二）： 1、若假设胜利了x场，平局为У场，共进行11场比赛.
你能找到它们三者之间的等量关系吗？
2、胜利一场得3分，胜利x场共得了3 x分， 平一场得1分，平局У场共得y分， 总得27分，这3个得分间有什么等量关系呢？
胜利场数+平局场数=总场数
胜利得分+平局得分=总分
设两个未知数，就需要列二元一次方程组来解决 你能列出这个方程组吗？
1、该队共进行比赛多少场，有没有输？ 没有
2、若假设胜利了x场，则平多少场？
（11-x）
3、胜利一场得3分，胜利x场得了多少分？ 3x
4、平一场得1分，平局共得多少分？
（11-x）
5、该队共得27分.
上分析你 有信心独立列出方程吗？
解：设该队胜利x场，则平了（11-x）场. 由题意可得 3x+（11-x）=27
二元一次方程组的应用
引入：
请同学们思考： 我们学习解方程的目
的是什么？
我们学习解方程的目 的是为了应用！
二．列方程解应用题
【例1 】：
用直径为200mm的圆柱钢，锻 造一个长、宽、高分别是300mm、 300mm和80mm的长方体，至少 应截取多少毫米的圆柱体钢（计 算时π取3.14，结果精确到1mm)
(完整版)二元一次方程组优秀课件PPT
矩阵法解二元一次方程组
总结词
利用矩阵的运算性质和逆矩阵的性质，将二元一次方程组转化为线性方程组进行求解。
详细描述
矩阵法的基本思路是将二元一次方程组转化为线性方程组，然后利用矩阵的运算性质和 逆矩阵的性质求解。具体步骤包括：将二元一次方程组写成矩阵形式，然后对矩阵进行 变换，将其化为行最简形式，得到线性方程组；然后利用逆矩阵的性质求解线性方程组
示例
x + y = 1, 2x - y = 3
二元一次方程组的解法概述
01
02
03
消元法
通过加减或代入法消去一 个未知数，将二元一次方 程组转化为一元一次方程 求解。
替换法
通过一个方程中的未知数 表示另一个未知数，然后 将其代入另一个方程求解 。
矩阵法
利用矩阵表示方程组，通 过矩阵运算求解。
二元一次方程组的应用场景
化学问题
在化学中，有些问题涉及到两种化学物质之间的反应，如反 应速率和反应物浓度等，这时也可以用二元一次方程组来表 示和解决。
04
二元一次方程组的扩展知识
二元一次方程组的几何意义
平面直角坐标系
二元一次方程组可以表示平面上的点集，通过坐标系将代数问题与几何问题相互 转换。
直线交点
二元一次方程组的解对应于直线交点，即两个方程的公共解。
二元一次方程组的解的个数与性质
解的个数
二元一次方程组可能有无数解、唯一 解或无解，取决于方程组中方程的系 数和常数项。
解的性质
解的个数与方程组系数矩阵的秩和增 广矩阵的秩有关，通过比较两者可以 判断解的情况。
二元一次方程组的解的判定定理
定理内容
如果二元一次方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则该方程组有唯一解；如果秩不相等，则该 方程组无解或有无数解。
二元一次方程组的应用优质数学课件
等量关系：
等量关系：
① 9个笑脸气球的费用+2个心形气球的费用=21元
等量关系：
① 9个笑脸气球的费用+2个心形气球的费用=21元 ② 5个笑脸气球的费用+4个心形气球的费用=16元
① 9个笑脸气球的费用+2个心形气球的费用=21元 ② 5个笑脸气球的费用+4个心形气球的费用=16元
① 9个笑脸气球的费用+2个心形气球的费用=21元 ② 5个笑脸气球的费用+4个心形气球的费用=16元
例1 七年级（1）（2）两班准备购买一些气球 装扮班级活动的会场，为此两班同学到同一商 店购买气球，气球的种类有笑脸和心形两种。 七年级（1）班购买了9个笑脸气球，2个心形气 球共用了21元，七年级（2）班购买了同样的5 个笑脸气球，4个心形气球共用了16元，问每个 笑脸气球和每个心形气球各多少元？
班级
笑脸气球费用 心形气球费用 数量 单价
七（1）
总费用
七（2）
① 9个笑脸气球的费用+2个心形气球的费用=21元 ② 5个笑脸气球的费用+4个心形气球的费用=16元
班级
笑脸气球费用 心形气球费用 数量 单价
七（1）
总费用
七（2）
① 9个笑脸气球的费用+2个心形气球的费用=21元 ② 5个笑脸气球的费用+4个心形气球的费用=16元
根据题意,可得
x 2y 1680 2x y 2280
解方程5×组9,得60+2×xy 396366000=5520＞5300
答：7个餐厅同时开放能满足全校的5300
名学生就餐。
.
课堂小结
课堂小结
实际问题
课堂小结
(完整版)二元一次方程组优秀课件PPT
距离问题
浓度问题
通过给定的两点坐标，利用二元一次 方程组求解两点之间的距离。
通过给定的溶液浓度和体积，利用二 元一次方程组求解溶液的配制比例和 浓度。
速度问题
通过给定的时间和速度，利用二元一 次方程组求解物体的运动轨迹和速度 。
THANKS
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(完整版)二元一次方程 组优秀课件
汇报人：可编辑
2023-12-25
CONTENTS
目录
• 二元一次方程组的基本概念 • 二元一次方程组的解法 • 二元一次方程组的实际应用 • 二元一次方程组的变式与拓展
CHAPTER 01
二元一次方程组的基本概念
二元一次方程组的定义
定义
二元一次方程组是由两个或两个以上的方程组成，其中含有两个未知数，且每 个方程中未知数的次数都是一次。
代数问题
例如，在求解两个未知数的和、差、 积、商等问题时，需要使用二元一次 方程组来表示和求解。
物理中的二元一次方程组问题
运动问题
例如，在计算两个物体之间的相对速度和距离时，需要使用二元一次方程组来表示和求 解。
力的问题
例如，在计算两个物体之间的相互作用力和扭矩时，需要使用二元一次方程组来表示和 求解。
示例
x + y = 1, 2x - y = 3。
二元一次方程组的表示方法
代数表示法
使用代数符号表示二元一次方程 组，如x + y = 1, 2x - y = 3。
图形表示法
通过图形表示二元一次方程组的 解，如平面直角坐标系中的直线 。
二元一次方程组的解的概念
01
02
03
解的概念
满足二元一次方程组的未 知数的值称为解。
5.4 应用二元一次方程组——增收节支 课件 2024-2025学年数学北师版八年级上册
∵810 000>725 000>630 000,
∴选择方案三获利最多.
4.(2024·成都七中)某校英语组组织学生进行“英语美食节”
活动,需购买甲、乙两种奖品.老师发现购买甲奖品4个和乙
奖品3个,需用去128元;购买甲奖品5个和乙奖品4个,需用去
164元.
(1)请用列二元一次方程组的方法,求甲、乙两种奖品的单价
的总支出=780万元,可列方程为 (1+20%)x-(1-10%)y=780 .
− = 200,
因此,可列方程组为 ቊ
.
(1 + 20%) − (1 − 10%) = 780
2.利润问题中常用的等量关系
(1)利润=售价-进价=进价×利润率.
利润
(2)利润率=
×100%
进价
标价×折扣−进价
− = 5 000,
= 20 000,
ቊ
解得ቊ
= 15 000.
(1 + 15%) − (1 − 10%) = 9 500.
答:去年收入20 000元,支出15 000元.
1.小李以两种形式储蓄3 000元,一种储蓄的年利率为
1.5%,另一种储蓄的年利率为2.0%,一年后本息和为3
3.存款问题中常见的等量关系
(1)利息=本金×利率×期数.
(2)本息和=本金+利息.
(3)本息和=本金×(1+利率×期数).
例:小高以两种形式分别储蓄了2 000元和1 000元,一
年后全部取出,得利息和为64.8元,已知两种储蓄的年
利率和为5.04%.问这两种储蓄的年利率各是多少?
解:设储蓄2 000元的年利率为x,储蓄1 000元的年利
∴选择方案三获利最多.
4.(2024·成都七中)某校英语组组织学生进行“英语美食节”
活动,需购买甲、乙两种奖品.老师发现购买甲奖品4个和乙
奖品3个,需用去128元;购买甲奖品5个和乙奖品4个,需用去
164元.
(1)请用列二元一次方程组的方法,求甲、乙两种奖品的单价
的总支出=780万元,可列方程为 (1+20%)x-(1-10%)y=780 .
− = 200,
因此,可列方程组为 ቊ
.
(1 + 20%) − (1 − 10%) = 780
2.利润问题中常用的等量关系
(1)利润=售价-进价=进价×利润率.
利润
(2)利润率=
×100%
进价
标价×折扣−进价
− = 5 000,
= 20 000,
ቊ
解得ቊ
= 15 000.
(1 + 15%) − (1 − 10%) = 9 500.
答:去年收入20 000元,支出15 000元.
1.小李以两种形式储蓄3 000元,一种储蓄的年利率为
1.5%,另一种储蓄的年利率为2.0%,一年后本息和为3
3.存款问题中常见的等量关系
(1)利息=本金×利率×期数.
(2)本息和=本金+利息.
(3)本息和=本金×(1+利率×期数).
例:小高以两种形式分别储蓄了2 000元和1 000元,一
年后全部取出,得利息和为64.8元,已知两种储蓄的年
利率和为5.04%.问这两种储蓄的年利率各是多少?
解:设储蓄2 000元的年利率为x,储蓄1 000元的年利
二元一次方程组-图课件
解二元一次方程组时，可以通过消元 法、代入法等方法得到不同的解。
二元一次方程组的拓展
多元一次方程组
除了二元外，还可以扩展 到更多未知数的多元一次 方程组。
分式方程组
将一次方程组的未知数次 数降低，可以得到分式方 程组。
高次方程组
将一次方程组的未知数次 数提高，可以得到高次方 程组。
二元一次方程组与其他数学知识的结合
二元一次方程组可以表示为平面上的两条直线， 这两条直线的交点就是解。解的几何意义是两条 直线的交点坐标，即两条直线的公共点。
02
二元一次方程组的图解法
直线交点法
总结词
通过作图找到两条直线的交点，该交点即为方程组的解 。
详细描述
首先，将二元一次方程组中的两个方程分别表示为两条 直线的方程。然后，在坐标系上画出这两条直线。最后 ，找到这两条直线的交点，该交点的坐标即为方程组的 解。
02 代数问题
在代数中，二元一次方程组是基本的问题类型之 一，需要掌握其解法。
03 概率统计问题
在概率统计中，经常需要计算两个事件同时发生 的概率或两个变量的相关性。
科学中的二元一次方程组问题
01
02
03
物理问题
在物理学中，经常需要解 决与速度、力和加速度相 关的二元一次方程组问题 。
化学问题
在化学中，二元一次方程 组可以用来描述化学反应 中两种物质的反应速率和 反应条件。
进阶习题2
解方程组$begin{cases}x + 2y = 6 2x + y = 4end{cases}$
进阶习题3
解方程组$begin{cases}5x - y = 11 x + 2y = 7end{cases}$
《应用二元一次方程组—鸡兔同笼》二元一次方程组PPT课件3
28、每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。 29、最终你相信什么就能成为什么。因为世界上最可怕的二个词，一个叫执着，一个叫认真，认真的人改变自己，执着的人改变命运。只要 在路上，就没有到不了的地方。
30、人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自己不奋斗，终归是摆设。无论你是谁，宁可做拼搏的失败者，也不要做安于现状的平凡人。 31、不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 32、过自己喜欢的生活，成为自己喜欢的样子，其实很简单，就是把无数个“今天”过好，这就意味着不辜负不蹉跎时光，以饱满的热情迎 接每一件事，让生命的每一天都有滋有味。
3
3
10x 910 y 9 21a.
解得 {xy==01.09.a8.a,
所以24×10.8a+0.9a×24×18=18×za
z=36
答：第三块牧场可供36头牛吃18个星期.
返回
已知某电脑公司有A型，B型，C型三种 型号的电脑，其价格分别为A型每台6000 元，B型每台4000元，C型每台2500元，我 市东坡中学计划将100500元钱全部用于从
用绳子测量水井的深度.如果将绳子 折成三等份，一份绳长比井深多5尺； 如果将绳子折成四等份，一份绳长比 井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？
题中有哪些等量关系?
关系一
关系二
考考你
古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里， 听到外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个 声音，下面有这一古诗为证：
隔壁听到人分银， 不知人数不知银. 只知每人五两多六两， 每人六两少五两， 问你多少人数多少银？
4y=6x
应用二元一次方程组——增收节支(28张PPT)
利润：总产值 - 总支出
利润率：(总产值 - 总支出)/总产值×100%
根据上述公式，我们可以列出二元一次方程组，解决实际问题.
【分析】设去年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元，则有
总产值/万元
总支出/万元
利润/万元
去年
今年
(1 + 20﹪)x
(1 - 10﹪)y
780
x
y
200
已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车 m 辆，B型车 n 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
解：（1）设1辆A型车装满货物一次可运货 x 吨，1辆B型车装满
货物一次可运货 y 吨.根据题意，得解得故1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次
可运货4吨.
（2）根据题意，得3 m ＋4 n ＝31.因为 m ， n 均为正整数，所以或或
所以该物流公司共有以下三种租车方案：
方案一：租A型车1辆，B型车7辆；
导入新课
1.一种商品进价为 150 元，售价为 165 元，则该商品的利润为_____元；2.一种商品进价为 150 元，售价为 165 元，则该商品的利润率为______；3.一种商品标价为 150 元，打八折后的售价为____元；4.一种商品标价为 200 元，当打______折后的售价为170 元.
标价
利润
总收入
总支出
时间
数学 八年级上册 BS版
0 2
课前导入
新年来临，爸爸想送小莫一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对小莫说：“我在超市、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是 452 元，且随身听的单价比书包单价的 4 倍少 8 元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”. 你能帮助他吗？
利润率：(总产值 - 总支出)/总产值×100%
根据上述公式，我们可以列出二元一次方程组，解决实际问题.
【分析】设去年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元，则有
总产值/万元
总支出/万元
利润/万元
去年
今年
(1 + 20﹪)x
(1 - 10﹪)y
780
x
y
200
已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车 m 辆，B型车 n 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
解：（1）设1辆A型车装满货物一次可运货 x 吨，1辆B型车装满
货物一次可运货 y 吨.根据题意，得解得故1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次
可运货4吨.
（2）根据题意，得3 m ＋4 n ＝31.因为 m ， n 均为正整数，所以或或
所以该物流公司共有以下三种租车方案：
方案一：租A型车1辆，B型车7辆；
导入新课
1.一种商品进价为 150 元，售价为 165 元，则该商品的利润为_____元；2.一种商品进价为 150 元，售价为 165 元，则该商品的利润率为______；3.一种商品标价为 150 元，打八折后的售价为____元；4.一种商品标价为 200 元，当打______折后的售价为170 元.
标价
利润
总收入
总支出
时间
数学 八年级上册 BS版
0 2
课前导入
新年来临，爸爸想送小莫一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对小莫说：“我在超市、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是 452 元，且随身听的单价比书包单价的 4 倍少 8 元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”. 你能帮助他吗？
人教版数学七年级下册8.1 二元一次方程组 课件(共26张PPT)
第八章 二元一次方程组
8.1 二元一次方程组
1.经历根据实际问题列二元一次方程（组）的过程,让学生体 会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的数学模型. 2.通过复习类比一元一次方程,探究掌握二元一次方程（组） 及其解的概念. 3.培养学生的数学类比思想,感受方程组的实际应用价值.
学习重点：二元一次方程(组)以及解的概念. 学习难点：二元一次方程组的解的概念.
写出二元一次方程3x+2y=19的正整数解. 解：ቊyx==81；, ቊyx==53；, ቊxy==25.,
例3 二元一次方程组ቊxx−+yy==180, 的解是（ C ）
A.ቊxy==35,
B.ቊxy==111,
C.ቊyx==−91,
D.ቊxy==16..55,
下列各组值中是二元一次方程组ቊxx−+yy==35,的解的 是（ C ）
我们已经学习了一元一次方程，并学会了用它解 决实际问题。 一元一次方程中只含有一个未知数，下面我们来 看下这些问题含有几个未知数？
篮球比赛不仅出现在奥运赛场上，在生活中也随处可见,请 同学们看下面这个问题：在某次篮球联赛中，每场比赛都要分 出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队在10场比赛中得到 16分，那么这个队胜负场数分别是多少呢？
思考：这个问题中包含了 哪些必须同时满足的条件？
分析：胜的场数+负的场数=总场数，胜场积分+负场积分=
总积分.
胜
负
合计
场数
x
y
10
积分
2x
y
16
解:设这个队胜的场数为x场,负的场数为y场. 依据题意,得x+y=10,2x+y=16.
学生活动一【一起探究】
8.1 二元一次方程组
1.经历根据实际问题列二元一次方程（组）的过程,让学生体 会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的数学模型. 2.通过复习类比一元一次方程,探究掌握二元一次方程（组） 及其解的概念. 3.培养学生的数学类比思想,感受方程组的实际应用价值.
学习重点：二元一次方程(组)以及解的概念. 学习难点：二元一次方程组的解的概念.
写出二元一次方程3x+2y=19的正整数解. 解：ቊyx==81；, ቊyx==53；, ቊxy==25.,
例3 二元一次方程组ቊxx−+yy==180, 的解是（ C ）
A.ቊxy==35,
B.ቊxy==111,
C.ቊyx==−91,
D.ቊxy==16..55,
下列各组值中是二元一次方程组ቊxx−+yy==35,的解的 是（ C ）
我们已经学习了一元一次方程，并学会了用它解 决实际问题。 一元一次方程中只含有一个未知数，下面我们来 看下这些问题含有几个未知数？
篮球比赛不仅出现在奥运赛场上，在生活中也随处可见,请 同学们看下面这个问题：在某次篮球联赛中，每场比赛都要分 出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队在10场比赛中得到 16分，那么这个队胜负场数分别是多少呢？
思考：这个问题中包含了 哪些必须同时满足的条件？
分析：胜的场数+负的场数=总场数，胜场积分+负场积分=
总积分.
胜
负
合计
场数
x
y
10
积分
2x
y
16
解:设这个队胜的场数为x场,负的场数为y场. 依据题意,得x+y=10,2x+y=16.
学生活动一【一起探究】
二元一次方程组应用.ppt
设上底长为x，下底长为y。
1
2 ×6×（x+y）= 42 y = 2x - 1
Байду номын сангаас
含有“比”“是”“多”“少”类型的应用题 王老师的年龄是个两位数，个位上的数字比十位上的数 字的2倍多1，将十位数字与个位数字调换位置，所得的 新数比原两位数的2倍还多2，问王老师的年龄多大？ 等量关系：
个位数字 = 十位数字×2+1 新数 = 原数×2+2
（男孩看到） 男孩人数 – 1 = 女孩人数 （女孩看到） 男孩人数 = （女孩人数 – 1）× 2 3）怎样设未知数？可以列出几个方程？
设男孩x人，女孩y人。 x-1=y
x = 2（y – 1）
游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游 泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每 位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女 孩各有多少人吗？
比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；
如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相
遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？请根据下面的图示，
36千米
解答此问题
甲先行2时走的路程 乙出发后甲、乙2.5时共走路程
甲
乙
36千米
相 遇
甲出发后甲、乙3时共走路程 乙先行2时走的路程
甲
乙
相 遇
行程问题
解：设男孩x人，女孩y人，则由题意得：
X-1=y X=2(y-1)
归纳：
整理得 X-y=1 X-2y=-2
解得 X=4 y=3
经检验，这个解满足方程
１．列二元一次方程解决问题， 能使问题变得简单，比较容易找 出等量关系，
２.必须设两个未知数，找出两条 等量关系，列两个不同的方程。
1
2 ×6×（x+y）= 42 y = 2x - 1
Байду номын сангаас
含有“比”“是”“多”“少”类型的应用题 王老师的年龄是个两位数，个位上的数字比十位上的数 字的2倍多1，将十位数字与个位数字调换位置，所得的 新数比原两位数的2倍还多2，问王老师的年龄多大？ 等量关系：
个位数字 = 十位数字×2+1 新数 = 原数×2+2
（男孩看到） 男孩人数 – 1 = 女孩人数 （女孩看到） 男孩人数 = （女孩人数 – 1）× 2 3）怎样设未知数？可以列出几个方程？
设男孩x人，女孩y人。 x-1=y
x = 2（y – 1）
游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游 泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每 位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女 孩各有多少人吗？
比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；
如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相
遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？请根据下面的图示，
36千米
解答此问题
甲先行2时走的路程 乙出发后甲、乙2.5时共走路程
甲
乙
36千米
相 遇
甲出发后甲、乙3时共走路程 乙先行2时走的路程
甲
乙
相 遇
行程问题
解：设男孩x人，女孩y人，则由题意得：
X-1=y X=2(y-1)
归纳：
整理得 X-y=1 X-2y=-2
解得 X=4 y=3
经检验，这个解满足方程
１．列二元一次方程解决问题， 能使问题变得简单，比较容易找 出等量关系，
２.必须设两个未知数，找出两条 等量关系，列两个不同的方程。
二元一次方程组的应用PPT课件
解得
x=50 y=300
答：火车的速度为50 m/s，长度为300m.
知识要点
CONTENTS
3
知识要点
1.(2019·自贡)某活动小组购买了4个篮球和5个 足球，一共花费
了466元，其中篮球的单价比足球 的单价多4元，求篮球的单
价和足球的单价.设篮 球的单价为x元，足球的单价为y元，依
题意，可列方程组为
七年级数学下册冀教版
第六章 二元一次方程组
6.3 二元一次方程组的应用
知识要点
1
知识要点
CONTENTS
1
知识要点
想一想：
前面所学的解二元一次方程组的基本思路及常见方法是什么呢？
基本思路:
加减消元法
消元: 二元
一元
代入消元法
1.代入法：求表示式 代入消元 解一元一次方程 回代求解
2.加减法 ：变换系数 加减消元 解一元一次方程 回代求解
(2)如果设大马驮货x包，小马驮货y包，请列出二元一次方程组. (3)请你试着解出2中所列的二元一次方程组，并和同学们进行交流.
知识要点
利用二元一次方程组解决实际问题
根据题意，得 x1 y1, x+1=2( y1).
整理，得 x y2, ① x2 y3. ② ①－②， 得 y=5. 把y=5代入①，得 x=7. 所以，方程组的解为 x7, y 5. 答：大马驮物7包，小马驮物5包.
x y 4, 4x 5y
466.
.
知识要点
2.如图，周长为68 cm的长方形ABCD被分成7个相同的小长方 形，设小长方形的长为x cm，宽为y cm，
（ 3x y） 2 68,
则可以列出的方程组为 2x=5y.
二元一次方程组的应用(课件)七年级数学下册(浙教版)
数学（浙教版）
七年级 下册
第2章 二元一次方程组
2.4 二元一次方程组的应用
学习目标
1．根据题干所给的具体数量关系，能列出二元一次方程组，解
答简单的实际问题、几何问题、行程问题和运输问题；
2．根据所列的方程组解决实际问题，注意要符合实际情况，不
满足要求的答案要进行排除；
当堂检测
知识回顾
二元一次方程组的解法有哪些？
=6
解得：
，
=3
∴这个两位数为36．
讲授新课
归纳总结
解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
数量关系
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
字母
(2)设元：用___________表示题目中的未知数；
2
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
代入消元
(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的
答：甲型机器购买33台，乙型机器购买6台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量
关系列出方程是解题关键．
讲授新课
练一练
1．商店有甲、乙两种型号的足球，已知购买2个甲型号足球和5个乙型
号足球共需500元，购买3个甲型号足球和2个乙型号足球共需310元．
(1)甲、乙型号足球的单价各是多少元？
组，解之即可得出结论；
（2）设这所学校买了m个甲型号足球，买了n个乙型号足球，根据该学
校一次性购买甲、乙型号足球共100个且共花费5900元，即可得出关于m，
n的二元一次方程组，解之即可得出结论．
讲授新课
【详解】（1）解：设甲型号足球的价格为x元，乙型号的足球的价格
七年级 下册
第2章 二元一次方程组
2.4 二元一次方程组的应用
学习目标
1．根据题干所给的具体数量关系，能列出二元一次方程组，解
答简单的实际问题、几何问题、行程问题和运输问题；
2．根据所列的方程组解决实际问题，注意要符合实际情况，不
满足要求的答案要进行排除；
当堂检测
知识回顾
二元一次方程组的解法有哪些？
=6
解得：
，
=3
∴这个两位数为36．
讲授新课
归纳总结
解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
数量关系
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
字母
(2)设元：用___________表示题目中的未知数；
2
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
代入消元
(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的
答：甲型机器购买33台，乙型机器购买6台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量
关系列出方程是解题关键．
讲授新课
练一练
1．商店有甲、乙两种型号的足球，已知购买2个甲型号足球和5个乙型
号足球共需500元，购买3个甲型号足球和2个乙型号足球共需310元．
(1)甲、乙型号足球的单价各是多少元？
组，解之即可得出结论；
（2）设这所学校买了m个甲型号足球，买了n个乙型号足球，根据该学
校一次性购买甲、乙型号足球共100个且共花费5900元，即可得出关于m，
n的二元一次方程组，解之即可得出结论．
讲授新课
【详解】（1）解：设甲型号足球的价格为x元，乙型号的足球的价格
人教版七年级下册数学：8.3二元一次方程组与实际应用 (共48张PPT)
例1：据以往的统计资料,甲、乙两种作物的单位面积产量的比
是 1:1.5,•现要在一块长200m,宽100m的长方形土地上种
植这两种作物,怎样把这块地分为两个长方形,•使甲、乙
两种作物的总产量的比是 3 : 4 (结果取整数)?
D
C
甲种作物的总产量 = 甲的单位面积产量×甲的种植面积
乙种作物的总产量 = 乙的单位面积产量 ×乙的种植面积 A
同学有y人，列方程组为（
2( x A.1 x
1 y) 2 y 36
59
B
）
2
1 B.12
x x
2 y
y 59 36
2
C.2xxyy3366
D.2x x2
y y
36 59
十二，总结等量关系
⑴ . 工作量问题 工作量 = 工作效率 × 工作时间
2. 利润问题
利润 = 售价 – 进价
利润率
15 17
y
＝ 94 2 17
解：设AE为 x 米,BE为 y 米，由题意得：
x + y＝200
100 x: 1.5×100 y ＝3:4
X≈ 106 由题意取值:
y ≈ 94
答： 过长方形土地的长边上离一端约106米处, 把这块地分为两个长方形.较大一块地种甲种作 物,较小一块地种乙种作物.
七，探究长度，产量的数量关系
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的 和1887800元。
九，如何书写八框中的问题呢？
解：设产品重x吨，原料重y吨，则
｛1.5×（20x+10y）=15000
• 1.2×（110x+120y）=97解20得0方程组得：
｛x = 300 y = 400 8000x －（1000y+15000+97200） =8000 × 300－（1000×400+15000+97200） =1887800（元） 答：这批产品的销售款比原料费与运输费的 和1887800元。
《二元一次方程组的应用》PPT课件
解:设甲乙两车的速度分别为 x Km/h、y Km/h
若甲车先出发1ｈ后乙车出 发，则乙车出发后5ｈ追上 甲车
根据题意，得 5y=6x
4y=4x+40
解之得
X=50 Y=6o
答：甲乙两车的速度分别为50km、 60km
若甲车先开出30ｋｍ后乙车出 发，则乙车出发4ｈ后乙车所走 的路程比甲车所走路程多10ｋ ｍ．
同时同地同向在同一跑道进行比赛
A
B
当男生第一次赶上女生时 男生跑的路程-女生跑的路程=跑道的周长
同时异地追及问题 乙的路程-甲的路程=甲乙之间的距离
T ( V乙 - V甲 )=s
t
乙
甲
S
例1.某站有甲、乙两辆汽车， 若甲车先出发1ｈ后乙车出发， 则乙车出发后5ｈ追上甲车； 若甲车先开出30ｋｍ后乙车出 发，则乙车出发4ｈ后乙车所 走的路程比甲车所走路程多10 ｋｍ．求两车速度．
x+y=3/5(10+y) x+2y=7/10(10+2y)
解得
x=4 y=5
所以第一次加入 的金属5kg,原来这块合金 中含种甲金属40%
甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你 才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁 数时，你将61岁．”问甲、乙现在各多少岁？
现在年龄
将来年龄
甲比乙大的岁数
练习.一辆汽车从甲地驶往乙地，途中要过一桥。用 相同时间，若车速每小时60千米，就能越过桥2千米； 若车速每小时50千米，就差3千米才到桥。问甲地与 桥相距多远？用了多长时间？
船在逆水中的速度=船在 静水中的速度-水流的速度
水流方向
轮船航向
船在顺水中的速度=船在 静水中的速度+水流的速度
应用二元一次方程组——增收节支课件
把③代入②，得 11x+12(1 000-2x)=8100，解得 x=300，
把 x=300 代入③，得 y=1000-2×300，解得 y=400.
= 300,
所以这个方程组的解是 ቊ
= 400.
这个实际问题的答案是什么？
销售款：8 000×300=2 400 000(元)；
原料费：1 000×400=400 000 (元) ；
5.4 应用二元一次方程组
——增收节支
知识回顾
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
审：认真审题，明确等量关系
设：恰当地设未知数
列：根据等量关系列出方程组
解：解方程组，求出未知数的值
验：检验是否符合题意和实际意义
答：写出答
学习目标
1.会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二
元一次方程组解决实际问题．
ቊ
1.2 × 110 + 120 = 97200．
1.5 × 20 + 10 = 15000，
解：根据题意，得 ቊ
1.2 × 110 + 120 = 97200．
2 + = 1 000, ①
化简方程组，得 ൝
11 + 12 = 8 100. ②
由①，得 y=1000-2x，③
仓库运出40%,结果乙仓库所余的食粮比甲仓库所
余的食粮多30吨,共设甲仓库原有食粮 x 吨,乙仓
+ = 450,
库原有食粮 y 吨,则可列方程组为 ቊ
.
0.6 − 0.4 = 30
2.武汉某学校原计划向贵州地区的学生捐其赠3500册
图书,实际共捐赠了4125册,其中初中学生捐赠了原计
划的120%,高中学生捐赠了原计划的115%,初中学生和
把 x=300 代入③，得 y=1000-2×300，解得 y=400.
= 300,
所以这个方程组的解是 ቊ
= 400.
这个实际问题的答案是什么？
销售款：8 000×300=2 400 000(元)；
原料费：1 000×400=400 000 (元) ；
5.4 应用二元一次方程组
——增收节支
知识回顾
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
审：认真审题，明确等量关系
设：恰当地设未知数
列：根据等量关系列出方程组
解：解方程组，求出未知数的值
验：检验是否符合题意和实际意义
答：写出答
学习目标
1.会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二
元一次方程组解决实际问题．
ቊ
1.2 × 110 + 120 = 97200．
1.5 × 20 + 10 = 15000，
解：根据题意，得 ቊ
1.2 × 110 + 120 = 97200．
2 + = 1 000, ①
化简方程组，得 ൝
11 + 12 = 8 100. ②
由①，得 y=1000-2x，③
仓库运出40%,结果乙仓库所余的食粮比甲仓库所
余的食粮多30吨,共设甲仓库原有食粮 x 吨,乙仓
+ = 450,
库原有食粮 y 吨,则可列方程组为 ቊ
.
0.6 − 0.4 = 30
2.武汉某学校原计划向贵州地区的学生捐其赠3500册
图书,实际共捐赠了4125册,其中初中学生捐赠了原计
划的120%,高中学生捐赠了原计划的115%,初中学生和
应用二元一次方程组——里程碑上的数课件
5.5 应用二元一次方程组
——里程碑上的数
知识回顾
储蓄问题
程二
组元
的一
应次
用方
增长率
问题
增（减）量
× 100％
基数
增长（降低）的数量=基数×（1±增
长（降低）率）
增长（降低）率：
利润
× 100％
进价
总利润=总销售额﹣总成本=（售价﹣
进价）×销量
利润率：
销售问题
学习目标
1.能分析复杂问题中的数量关系，建立方程组解决
设他始终保持平路每分钟走 60 m，下坡路每分钟走 80 m，
上坡路每分钟走 40 m，则他从家里到学校需 10 min，从
学校到家里需 15 min.小华家离学校多远？
等量关系：
路程=平均速度×时间
走平路的时间+走下坡路的时间=10 min；
走上坡路的时间+走平路的时间= 15 min．
直接设元法：
的数字为 a，十位上的数字为 b，个位上的数
字为 c，则这个三位数为 100a+10b+c.
2.利用方程组解决数字问题时，一般不直接设
这个数，而是设这个数的数位上的数字，再根
万元.
3.有一个三位数，若将最左边的数字移到最右边，则比
原数小 45，又知原百位数字的 9 倍比由原十位数字和
个位数字组成的两位数(原个位数字仍作为个位数字)小
3，求原三位数.
等量关系：
将最左边的数字移到最右边后得到的数=原数- 45.
9 ×原百位数字=由原十位数字和个位数字组成的两
位数-3.
解：设原百位数字为 x，由原十位数字和个位数字组成
= 45,
——里程碑上的数
知识回顾
储蓄问题
程二
组元
的一
应次
用方
增长率
问题
增（减）量
× 100％
基数
增长（降低）的数量=基数×（1±增
长（降低）率）
增长（降低）率：
利润
× 100％
进价
总利润=总销售额﹣总成本=（售价﹣
进价）×销量
利润率：
销售问题
学习目标
1.能分析复杂问题中的数量关系，建立方程组解决
设他始终保持平路每分钟走 60 m，下坡路每分钟走 80 m，
上坡路每分钟走 40 m，则他从家里到学校需 10 min，从
学校到家里需 15 min.小华家离学校多远？
等量关系：
路程=平均速度×时间
走平路的时间+走下坡路的时间=10 min；
走上坡路的时间+走平路的时间= 15 min．
直接设元法：
的数字为 a，十位上的数字为 b，个位上的数
字为 c，则这个三位数为 100a+10b+c.
2.利用方程组解决数字问题时，一般不直接设
这个数，而是设这个数的数位上的数字，再根
万元.
3.有一个三位数，若将最左边的数字移到最右边，则比
原数小 45，又知原百位数字的 9 倍比由原十位数字和
个位数字组成的两位数(原个位数字仍作为个位数字)小
3，求原三位数.
等量关系：
将最左边的数字移到最右边后得到的数=原数- 45.
9 ×原百位数字=由原十位数字和个位数字组成的两
位数-3.
解：设原百位数字为 x，由原十位数字和个位数字组成
= 45,
2024年湘教版七年级数学上册 3.7 二元一次方程组的应用(课件)
的单位要统一；③方程两边的数值要相等 .
感悟新知
2. 利用二元一次方程组解决有关实际问题的思路：
知1－讲
实际 分析题意 列出二 问题 找出两个 元一次
等量关系 方程组
解方程组
检查解是否符合 实际问题的需要， 如果符合，它就 是实际问题的解
感悟新知
3. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 审→ 设→ 找→ 列→ 解→ 检→ 答 .
感悟新知
知2－练
3-1.一个两位数的两个数字之和为 10，两个数字之差 为 6，求这个两位数，此题的解有( C )
A． 0 个
B． 1 个
C． 2 个
D． 4 个
感悟新知
知2－练
例4 [月考·哈尔滨南岗区]某机械厂加工车间平均每人每天 加工甲种零件 10 个或乙种零件 16 个，已知 3 个甲种 零件和 2个乙种零件配成一套，共有 85 名工人参加 生产，问怎样安排人员才能使每天加工的甲、乙零件 数刚好配套？
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣桥梁长度和隧道长度之间的数量 关系，关键是根据和、差、倍、分关 系列方程组．
感悟新知
知2－练
解：设港珠澳大桥的隧道长度为 x km，桥梁长度 为 y km.
由题意得ቊy=x+9xy=－554，， 解得ቊxy==54.99.，1. 答： 港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为 49.1 km和 5.9 km.
知1－讲
(1) 审： 通过审题，把实际问题抽象成数学问题；
(2) 设： 分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个
未知量(设元)；
(3) 找： 找出能表示题意的两个等量关系；
(4) 列： 根据等量关系列出方程组；
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一旦解决了方程问题,一切问题将迎刃而解。
----笛卡尔
二元一次方程组的应用
授 课 人：刘伟平 七年级备课组
列方程:
1、小红一家8人去公园玩,大人X人,小孩Y人,可列
式:
.门票花了34元,大人门票每人5元,
小孩门票每人3元,又可列式:
.
2、小华共买了香蕉X千克和苹果Y千克，共9 千克。可
列式 :
. 香蕉的售价为5元/千克、苹果的
有意思，再想想
❖ 鸡兔同笼，8个头，24条腿，试 找出兔多少只，鸡多少只？
同学们 ： 你能把我们今天学习的
内容小结一下吗？
设未知数 列方程（组） 二元一次方程（组）解 方 程 （ 组 ）
检验
方程（组）的解
作业：
课本99页，练习第3.4题
悟空顺风探妖踪,千里只行四分钟; 归时四分行六百,风速多少才称雄?
香蕉的数量+苹果的数量=总数量 买香蕉的钱+买苹果的钱=共付出的钱
考考你（只需设未知数，列出二元一次方程组）
1、 妈妈给我20元钱买笔记本和笔，商 店里的笔记本价格3元/本，笔2元/支，买笔记 本和笔9件，笔记本和笔各能买多少？
分析：笔记本的数量+笔的数量=9 买笔记本的钱+买笔的钱=20
2、班长为同学购买 了以下两种面值的 IP卡，共9张，花了 330 元．你知道两 种面值的IP卡各买 了多少张吗？
分析：笔记本的数量+笔的数量=9 买笔记本的钱+买笔的钱=20
看看谁写得好
解:设你买笔记本x本,买笔y支根据题意可得：
｛x+y=9 3x+2y=20
｛ 解这个方程组得：
x=2
y=7
答：你买笔记本2本,买笔7支。
你能用一元一次方程来解这道题吗？ 比一比，看看哪个方法更适合你呢？
❖ 妈妈给我20元钱买笔记本和笔，商店里的笔记 本价格3元/本，笔2元/支，买笔记本和笔9件， 笔记本和笔各能买多少？
3、检鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20 个，雨天每天只能采12个，它一连共采了 112个，平均每天采14个，问这几天当中 有几天晴几天下雨？
考考你（只需设未知数，列出二元一次方程组）
1、 妈妈给我20元钱买笔记本和笔，商 店里的笔记本价格3元/本，笔2元/支，买笔记 本和笔9件，笔记本和笔各能买多少？
售价为3元/千克，付款33元。又可列
式：
.
3、一只老牛驮X个包裹,一只小马驮Y个包裹,老牛比小
马多驮2个,则可列式:
.从小马背上拿来
1个给老牛,则老牛是小马的2倍,又可列式：
.
我们一起来解决!
香蕉的售价为5元/千克、苹果的售价为3 元/千克，小华共买了香蕉和苹果共9 千克， 付款33元。问香蕉和苹果各买了多少？
----笛卡尔
二元一次方程组的应用
授 课 人：刘伟平 七年级备课组
列方程:
1、小红一家8人去公园玩,大人X人,小孩Y人,可列
式:
.门票花了34元,大人门票每人5元,
小孩门票每人3元,又可列式:
.
2、小华共买了香蕉X千克和苹果Y千克，共9 千克。可
列式 :
. 香蕉的售价为5元/千克、苹果的
有意思，再想想
❖ 鸡兔同笼，8个头，24条腿，试 找出兔多少只，鸡多少只？
同学们 ： 你能把我们今天学习的
内容小结一下吗？
设未知数 列方程（组） 二元一次方程（组）解 方 程 （ 组 ）
检验
方程（组）的解
作业：
课本99页，练习第3.4题
悟空顺风探妖踪,千里只行四分钟; 归时四分行六百,风速多少才称雄?
香蕉的数量+苹果的数量=总数量 买香蕉的钱+买苹果的钱=共付出的钱
考考你（只需设未知数，列出二元一次方程组）
1、 妈妈给我20元钱买笔记本和笔，商 店里的笔记本价格3元/本，笔2元/支，买笔记 本和笔9件，笔记本和笔各能买多少？
分析：笔记本的数量+笔的数量=9 买笔记本的钱+买笔的钱=20
2、班长为同学购买 了以下两种面值的 IP卡，共9张，花了 330 元．你知道两 种面值的IP卡各买 了多少张吗？
分析：笔记本的数量+笔的数量=9 买笔记本的钱+买笔的钱=20
看看谁写得好
解:设你买笔记本x本,买笔y支根据题意可得：
｛x+y=9 3x+2y=20
｛ 解这个方程组得：
x=2
y=7
答：你买笔记本2本,买笔7支。
你能用一元一次方程来解这道题吗？ 比一比，看看哪个方法更适合你呢？
❖ 妈妈给我20元钱买笔记本和笔，商店里的笔记 本价格3元/本，笔2元/支，买笔记本和笔9件， 笔记本和笔各能买多少？
3、检鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20 个，雨天每天只能采12个，它一连共采了 112个，平均每天采14个，问这几天当中 有几天晴几天下雨？
考考你（只需设未知数，列出二元一次方程组）
1、 妈妈给我20元钱买笔记本和笔，商 店里的笔记本价格3元/本，笔2元/支，买笔记 本和笔9件，笔记本和笔各能买多少？
售价为3元/千克，付款33元。又可列
式：
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3、一只老牛驮X个包裹,一只小马驮Y个包裹,老牛比小
马多驮2个,则可列式:
.从小马背上拿来
1个给老牛,则老牛是小马的2倍,又可列式：
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我们一起来解决!
香蕉的售价为5元/千克、苹果的售价为3 元/千克，小华共买了香蕉和苹果共9 千克， 付款33元。问香蕉和苹果各买了多少？