无穷级数-级数的应用
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
l
i
nπ x l
e 1 e = 2nπh 2i 1 nπh = sin 2nπh l
+∞
i nπh l
i nπh l
(n = ± 1, ± 2 , L )
i nπx l
f ( x ) 的(复数形式 )傅里叶级数 :
nπh 1 1 1 + sin e ∑ l 2l 2 π h n = ∞ n
f (x ) = 1 4h
e x + i y = e x (cos y + i sin y ) = e x
r θ
y x x
o
二、典型例题
例1 计算 解
3
3
130 的近似值 , 精确到 10 4 .
3
130 =
m
125 + 5
二项展开式
1 = 5 1 + 25
1 3
(1 + x )
m (m 1 )L (m k + 1 ) k + x +L k!
① 绝对收敛:
若 ∑ un + i v n = ∑
n =1 ∞ ∞ n =1 2 un 2 + v n 收敛 .
n =1
∑ ( un + i v n ) 绝对收敛
n =1 ∞
∞
∑ un , ∑ v n 绝对收敛
n =1
∞
∞
un ≤ un + v n
2
2
n =1
∑ ( un + i v n ) 收敛 .
莱布尼茨交错级数 , 取前三项 , 则误差为 1 1 7 (0 . 2 ) = r3 < < 10 6 3! 7 3281250 1 1 0 .2 x 2 3 (0 .2 )5 d x ≈ 0 .2 (0 .2 ) + 故 ∫0 e 3 2! 5 ≈ 0 . 2 0 .0026667 + 0 .0000320
1 1 (1)n sin x 1 + L+ +L dx = 1 ∫0 3 3! 5 5! (2n + 1) (2n + 1)! x
1 sin x ∫0
≈ 1 0.05556 + 0.00167 ≈ 0.9461
1 1 = < 0.3 × 10 4 r3 < 7 7 ! 35280
*例5 把宽为 τ ,高为 h , 周期为 T 的矩形波展成 y 复数形式的傅里叶级数 .
π
∫
1 2 2e x 0
1 1 1 1 6 + L d x = 1 2 + 4 π 2 3 2 5 2! 2 7 3!
1 1 4 rn < 欲使截断误差 < 10 2n π n !( 2n + 1) 2
则 n 应满足 π n !( 2n + 1) 2
取 n = 4 , 得近似值
i
nπ τ T
( n = ±1 , ± 2 , L )
+∞
2 nπ t i e T
1 nπ τ hτ h 故 u( t ) = + ∑ sin T T π n= ∞ n
n≠0
τ ( t ≠ ± + kT , k = 0 , ± 1 , L ) 2
三、同步练习 1. 计算 5 240 的近似值, 精确到 10 4 .
1 ∞ 2 ( 1) n ∑ 0 n = 0
x 2n dx = ∫ dx ∫ π π n! 1 2 ∞ ( 1) n 1 2 n 2 ∞ ( 1) n 2 x dx = 2 n+1 = ∑ ∑ ∫0 π n= 0 n ! π n= 0 n !( 2n + 1) 2
2
1 2 2 e x 0
2
x3 2. 利用 sin x ≈ x ,求 sin 9° 的近似值 , 并 3!
估计误差.
3. 计算积分
10
4
1 1 π
π ∫0
1 2 2 e x
d x 的近似值, 精确到
. (取
≈ 0.56419 )
1 , x <h *4. 将 f ( x ) = 2 h 0, h ≤ x ≤ l 展开成复数形式的傅里 叶级数.
1 l 1 h 1 1 c0 = ∫ l f ( x ) d x = ∫ h d x = 2l 2l 2h 2l 1 l cn = dx ∫ l f ( x ) e 2l nπ i nπ x 1 h 1 i l x 1 e l = dx = ∫ h e |h h nπ 2l 2h 4 lh i
h
解 一个周期 [ 内的函数表达式
u(t ) =
T 2
,
T 2
)
τ 2 τ 2 τ 2
T τ 2 2
oτ
Fra Baidu bibliotek
T 2 2
x
h, 0,
τ 2 T 2
≤t<
≤t< ,
≤t<
T 2
傅里叶系数（复数形式）： 1 T 1 τ hτ 2 u( t ) d t = c0 = ∫ T ∫ 2τ h d t = T 2 T T
2
1 c n = ∫ τ T 2
2 nπ t i τ T 2 u(t ) e
i
1 τ2 d t = ∫ τ h e T 2
i
2 nπ t T
dt
e
i nπ τ T
h T e = T 2 nπ i h nπ τ sin = nπ T
2 nπ t τ 2 T τ
2
h 1 = e nπ 2 i
v n ≤ un + v n
2
2
欧拉公式 e
ix
= cos x + i sin x
e i x + e i x cos x = 2 ix i x （也称欧拉公式） e e sin x = 2i y z= x+i y 复数的指数形式 r y z = x + i y = r ( cos θ + i sin θ )
1.2 3 3 2
125 3 3 3 3
取 n = 2 ( 前三项 ),
1 3
r2 < u 3
2 5 1 3 1 1 3 3 < = 5 = < 10 4 80600 3 ! 25 81 625 1.2 1 1 3 3 1 3 故 130 ≈ 5[1 + . 3 5 2! 25 24 = 5+ ≈ 5 .0658 1125
例2 求 ln 2 的近似值 ,准确到 10 4 . x2 x3 x4 + + L ( 1 < x ≤ 1 ) 解 ln(1 + x ) = x 2 3 4 x2 x3 x4 ln(1 x ) = x L ( 1 ≤ x < 1 ) 2 3 4 1+ x 故 ln = ln(1 + x ) ln(1 x ) 1 x 1 3 1 5 = 2 ( x + x + x + L ) ( 1 < x < 1 ) 3 5 1+ x 1 =2得x= ,有 令 1 x 3 1 1 1 1 1 ln 2 = 2 [ + . 3 + . 5 + L] 5 5 3 3 3
四、同步练习解答
的近似值, 精确到 10 4 . 1. 计算 240 1 1 ) 5 5 5 解 240 = 243 3 = 3 ( 1 4
5
1 1 1 4 1 1 4 9 1 8 3 12 L = 3 1 4 2 5 3 5 2! 3 5 3! 3 1 4 1 + 1 4 9 1 + 1 4 9 14 1 + L r2 = 3 2 3 12 4 16 8 5 4! 3 5 2! 3 5 3! 3 2 1 4 1 1 1 4 8 1 + + + L < 0.5 × 10 < 3 2 81 81 5 2! 3 1 1 5 故 240 ≈ 3 ( 1 4 ) ≈ 3 0.00741 ≈ 2.9926 5 3
例3
解 e
0 .2 x 2 d 求积分 ∫0 e ∞ n x2
x 的近似值，精确到 10 6 . x 2n x4 x6 = 1 x2 + +L n! 2! 3! ( ∞ < x < +∞ )
= ∑ ( 1 )
n=0
逐项积分 , 得
∫
0 .2 x 2 e 0
n! 2 n + 1 n! n=0 1 3 + 1 (0 . 2 )5 1 (0 . 2 )7 + L = 0 . 2 (0 . 2 ) 2! 5 3! 7 3
n=0
= ∑
∞
( 1 )n
∞ ( 1 )n 2 n 0 .2 x d x = ∫0 ∑ dx n = 0 n!
0 .2 ∫0
x 2n d x = ∑
∞
( 1 )n x 2 n + 1
| 0 .2 0
0 .2 x 2 ∫0 e
dx 1 1 1 3 5 (0.2) (0.2)7 + L = 0 . 2 (0 . 2 ) + 2!5 3 3!7
3
x3 2. 利用 sin x ≈ x ,求 sin 9° 的近似值 , 并 3! 估计误差. π π ×9 = (弧度) 解 角度化弧度 9° = 20 180 π π 1 π 3 1 π 5 1 π 7 因 sin = ( ) + ( ) ( ) +L 20 20 3 ! 20 5 ! 20 7 ! 20 1 π 5 1 5 1 < (0.2) < × 10 5 r2 < ( ) 3 120 5 ! 20 π π 1 π 3 故 sin ≈ ( ) ≈ 0.157080 0.000646 20 20 3 ! 20 x3 x5 x7 ≈0 +L sin x = x .15643 + ! 误差不超过 1035 5 ! 7 !
取前四项,
1 1 1 1 1 1 r4 = 2 9 + 11 + 13 + L 11 3 13 3 9 3 2 1 1 2 1 1 2 < 11 1 + + ( ) + L = 11 = 1 9 9 3 1 9 4 39 3 1 = < 0.2 × 10 4 78732 1 1 1 1 1 1 1 故 ln 2 ≈ 2 + 3 + 5 + 7 ≈ 0.6931 5 3 7 3 3 3 3
3. 计算积分
10
4
1
π 0
∫
1 2 2 e x
d x 的近似值, 精确到
. (取
2
1 π
≈ 0.56419 )
e x 解
( x 2 ) ( x 2 )2 ( x 2 )3 =1 + + +L + 1! 2! 3! ∞ x 2n ( ∞ < x < +∞ ) = ∑ ( 1) n n! n= 0 2
n≠0
l ≤ x ≤ l, x ≠ ±h x = ±h
m (m 1 ) 2 x +L = 1 + mx + 2!
125 3 3 3
1 m= 3 1 x= 25
1 + 1 1 3 130 = 5 1 + 2! 25 3 25
1.2 3 3
2
1 L 3 ! 25
3
1 1 + 1 1 3 + L 130 = 5 1 + 3! 25 2! 25 3 25 属莱布尼茨交错级数 (因 u n ≥ u n + 1 → 0 ) n 项余和满足 : rn < u n + 1
z = re
iθ
θ
o
x
x
(cos θ + i sin θ )
n
= cos n θ + i sin n θ
(德莫弗公式)
(cos θ + i sin θ ) n = (e ) = e
iθ n inθ
e z1 + z2 = e z1 e z2
y
z = x+i y
特别
e x + i y= e x e i y = e x (cos y + i sin y )
2
2n
> 10
4
n≥4
π
∫
1 2 2 e x 0
1 1 1 1 ) 6 dx ≈ π ( 1 2 + 4 2 3 2 5 2! 2 7 3!
≈ 0.5205
1 , x <h *4. 将 f ( x ) = 2 h 0, h ≤ x ≤ l 展开成复数形式的傅里 叶级数.
解
周期延拓 , 傅里叶系数 :
第十一章
第八节 级数的应用
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
一、主要内容 (一) 近似计算
1. 函数值的近似计算 2.定积分的近似计算
(二) 欧拉(Euler)公式
1.复数项级数 ① 收敛 :
n =1 ∞
∑ ( un + i v n )
∞ n =1 n =1
∞
①
若 ∑ un = u , ∑ v n = v均收敛 ;
于是
0 .2 x 2 ∫0 e
d x ≈ 0 .197365 .
例4 计算积分 d x 的近似值, 精确到 10 4 . x sin x = 1, 非广义积分, 定义f(0)= 1, 则连续. 解 因 lim x →0 x 2 4 x 2n x x sin x n + L + ( 1) +L = 1 + ( 2n + 1) ! 3! 5! x
i
nπ x l
e 1 e = 2nπh 2i 1 nπh = sin 2nπh l
+∞
i nπh l
i nπh l
(n = ± 1, ± 2 , L )
i nπx l
f ( x ) 的(复数形式 )傅里叶级数 :
nπh 1 1 1 + sin e ∑ l 2l 2 π h n = ∞ n
f (x ) = 1 4h
e x + i y = e x (cos y + i sin y ) = e x
r θ
y x x
o
二、典型例题
例1 计算 解
3
3
130 的近似值 , 精确到 10 4 .
3
130 =
m
125 + 5
二项展开式
1 = 5 1 + 25
1 3
(1 + x )
m (m 1 )L (m k + 1 ) k + x +L k!
① 绝对收敛:
若 ∑ un + i v n = ∑
n =1 ∞ ∞ n =1 2 un 2 + v n 收敛 .
n =1
∑ ( un + i v n ) 绝对收敛
n =1 ∞
∞
∑ un , ∑ v n 绝对收敛
n =1
∞
∞
un ≤ un + v n
2
2
n =1
∑ ( un + i v n ) 收敛 .
莱布尼茨交错级数 , 取前三项 , 则误差为 1 1 7 (0 . 2 ) = r3 < < 10 6 3! 7 3281250 1 1 0 .2 x 2 3 (0 .2 )5 d x ≈ 0 .2 (0 .2 ) + 故 ∫0 e 3 2! 5 ≈ 0 . 2 0 .0026667 + 0 .0000320
1 1 (1)n sin x 1 + L+ +L dx = 1 ∫0 3 3! 5 5! (2n + 1) (2n + 1)! x
1 sin x ∫0
≈ 1 0.05556 + 0.00167 ≈ 0.9461
1 1 = < 0.3 × 10 4 r3 < 7 7 ! 35280
*例5 把宽为 τ ,高为 h , 周期为 T 的矩形波展成 y 复数形式的傅里叶级数 .
π
∫
1 2 2e x 0
1 1 1 1 6 + L d x = 1 2 + 4 π 2 3 2 5 2! 2 7 3!
1 1 4 rn < 欲使截断误差 < 10 2n π n !( 2n + 1) 2
则 n 应满足 π n !( 2n + 1) 2
取 n = 4 , 得近似值
i
nπ τ T
( n = ±1 , ± 2 , L )
+∞
2 nπ t i e T
1 nπ τ hτ h 故 u( t ) = + ∑ sin T T π n= ∞ n
n≠0
τ ( t ≠ ± + kT , k = 0 , ± 1 , L ) 2
三、同步练习 1. 计算 5 240 的近似值, 精确到 10 4 .
1 ∞ 2 ( 1) n ∑ 0 n = 0
x 2n dx = ∫ dx ∫ π π n! 1 2 ∞ ( 1) n 1 2 n 2 ∞ ( 1) n 2 x dx = 2 n+1 = ∑ ∑ ∫0 π n= 0 n ! π n= 0 n !( 2n + 1) 2
2
1 2 2 e x 0
2
x3 2. 利用 sin x ≈ x ,求 sin 9° 的近似值 , 并 3!
估计误差.
3. 计算积分
10
4
1 1 π
π ∫0
1 2 2 e x
d x 的近似值, 精确到
. (取
≈ 0.56419 )
1 , x <h *4. 将 f ( x ) = 2 h 0, h ≤ x ≤ l 展开成复数形式的傅里 叶级数.
1 l 1 h 1 1 c0 = ∫ l f ( x ) d x = ∫ h d x = 2l 2l 2h 2l 1 l cn = dx ∫ l f ( x ) e 2l nπ i nπ x 1 h 1 i l x 1 e l = dx = ∫ h e |h h nπ 2l 2h 4 lh i
h
解 一个周期 [ 内的函数表达式
u(t ) =
T 2
,
T 2
)
τ 2 τ 2 τ 2
T τ 2 2
oτ
Fra Baidu bibliotek
T 2 2
x
h, 0,
τ 2 T 2
≤t<
≤t< ,
≤t<
T 2
傅里叶系数（复数形式）： 1 T 1 τ hτ 2 u( t ) d t = c0 = ∫ T ∫ 2τ h d t = T 2 T T
2
1 c n = ∫ τ T 2
2 nπ t i τ T 2 u(t ) e
i
1 τ2 d t = ∫ τ h e T 2
i
2 nπ t T
dt
e
i nπ τ T
h T e = T 2 nπ i h nπ τ sin = nπ T
2 nπ t τ 2 T τ
2
h 1 = e nπ 2 i
v n ≤ un + v n
2
2
欧拉公式 e
ix
= cos x + i sin x
e i x + e i x cos x = 2 ix i x （也称欧拉公式） e e sin x = 2i y z= x+i y 复数的指数形式 r y z = x + i y = r ( cos θ + i sin θ )
1.2 3 3 2
125 3 3 3 3
取 n = 2 ( 前三项 ),
1 3
r2 < u 3
2 5 1 3 1 1 3 3 < = 5 = < 10 4 80600 3 ! 25 81 625 1.2 1 1 3 3 1 3 故 130 ≈ 5[1 + . 3 5 2! 25 24 = 5+ ≈ 5 .0658 1125
例2 求 ln 2 的近似值 ,准确到 10 4 . x2 x3 x4 + + L ( 1 < x ≤ 1 ) 解 ln(1 + x ) = x 2 3 4 x2 x3 x4 ln(1 x ) = x L ( 1 ≤ x < 1 ) 2 3 4 1+ x 故 ln = ln(1 + x ) ln(1 x ) 1 x 1 3 1 5 = 2 ( x + x + x + L ) ( 1 < x < 1 ) 3 5 1+ x 1 =2得x= ,有 令 1 x 3 1 1 1 1 1 ln 2 = 2 [ + . 3 + . 5 + L] 5 5 3 3 3
四、同步练习解答
的近似值, 精确到 10 4 . 1. 计算 240 1 1 ) 5 5 5 解 240 = 243 3 = 3 ( 1 4
5
1 1 1 4 1 1 4 9 1 8 3 12 L = 3 1 4 2 5 3 5 2! 3 5 3! 3 1 4 1 + 1 4 9 1 + 1 4 9 14 1 + L r2 = 3 2 3 12 4 16 8 5 4! 3 5 2! 3 5 3! 3 2 1 4 1 1 1 4 8 1 + + + L < 0.5 × 10 < 3 2 81 81 5 2! 3 1 1 5 故 240 ≈ 3 ( 1 4 ) ≈ 3 0.00741 ≈ 2.9926 5 3
例3
解 e
0 .2 x 2 d 求积分 ∫0 e ∞ n x2
x 的近似值，精确到 10 6 . x 2n x4 x6 = 1 x2 + +L n! 2! 3! ( ∞ < x < +∞ )
= ∑ ( 1 )
n=0
逐项积分 , 得
∫
0 .2 x 2 e 0
n! 2 n + 1 n! n=0 1 3 + 1 (0 . 2 )5 1 (0 . 2 )7 + L = 0 . 2 (0 . 2 ) 2! 5 3! 7 3
n=0
= ∑
∞
( 1 )n
∞ ( 1 )n 2 n 0 .2 x d x = ∫0 ∑ dx n = 0 n!
0 .2 ∫0
x 2n d x = ∑
∞
( 1 )n x 2 n + 1
| 0 .2 0
0 .2 x 2 ∫0 e
dx 1 1 1 3 5 (0.2) (0.2)7 + L = 0 . 2 (0 . 2 ) + 2!5 3 3!7
3
x3 2. 利用 sin x ≈ x ,求 sin 9° 的近似值 , 并 3! 估计误差. π π ×9 = (弧度) 解 角度化弧度 9° = 20 180 π π 1 π 3 1 π 5 1 π 7 因 sin = ( ) + ( ) ( ) +L 20 20 3 ! 20 5 ! 20 7 ! 20 1 π 5 1 5 1 < (0.2) < × 10 5 r2 < ( ) 3 120 5 ! 20 π π 1 π 3 故 sin ≈ ( ) ≈ 0.157080 0.000646 20 20 3 ! 20 x3 x5 x7 ≈0 +L sin x = x .15643 + ! 误差不超过 1035 5 ! 7 !
取前四项,
1 1 1 1 1 1 r4 = 2 9 + 11 + 13 + L 11 3 13 3 9 3 2 1 1 2 1 1 2 < 11 1 + + ( ) + L = 11 = 1 9 9 3 1 9 4 39 3 1 = < 0.2 × 10 4 78732 1 1 1 1 1 1 1 故 ln 2 ≈ 2 + 3 + 5 + 7 ≈ 0.6931 5 3 7 3 3 3 3
3. 计算积分
10
4
1
π 0
∫
1 2 2 e x
d x 的近似值, 精确到
. (取
2
1 π
≈ 0.56419 )
e x 解
( x 2 ) ( x 2 )2 ( x 2 )3 =1 + + +L + 1! 2! 3! ∞ x 2n ( ∞ < x < +∞ ) = ∑ ( 1) n n! n= 0 2
n≠0
l ≤ x ≤ l, x ≠ ±h x = ±h
m (m 1 ) 2 x +L = 1 + mx + 2!
125 3 3 3
1 m= 3 1 x= 25
1 + 1 1 3 130 = 5 1 + 2! 25 3 25
1.2 3 3
2
1 L 3 ! 25
3
1 1 + 1 1 3 + L 130 = 5 1 + 3! 25 2! 25 3 25 属莱布尼茨交错级数 (因 u n ≥ u n + 1 → 0 ) n 项余和满足 : rn < u n + 1
z = re
iθ
θ
o
x
x
(cos θ + i sin θ )
n
= cos n θ + i sin n θ
(德莫弗公式)
(cos θ + i sin θ ) n = (e ) = e
iθ n inθ
e z1 + z2 = e z1 e z2
y
z = x+i y
特别
e x + i y= e x e i y = e x (cos y + i sin y )
2
2n
> 10
4
n≥4
π
∫
1 2 2 e x 0
1 1 1 1 ) 6 dx ≈ π ( 1 2 + 4 2 3 2 5 2! 2 7 3!
≈ 0.5205
1 , x <h *4. 将 f ( x ) = 2 h 0, h ≤ x ≤ l 展开成复数形式的傅里 叶级数.
解
周期延拓 , 傅里叶系数 :
第十一章
第八节 级数的应用
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
一、主要内容 (一) 近似计算
1. 函数值的近似计算 2.定积分的近似计算
(二) 欧拉(Euler)公式
1.复数项级数 ① 收敛 :
n =1 ∞
∑ ( un + i v n )
∞ n =1 n =1
∞
①
若 ∑ un = u , ∑ v n = v均收敛 ;
于是
0 .2 x 2 ∫0 e
d x ≈ 0 .197365 .
例4 计算积分 d x 的近似值, 精确到 10 4 . x sin x = 1, 非广义积分, 定义f(0)= 1, 则连续. 解 因 lim x →0 x 2 4 x 2n x x sin x n + L + ( 1) +L = 1 + ( 2n + 1) ! 3! 5! x