0902201-02 基于蔡氏电路的混沌电路研究
基于蔡氏电路混沌系统的伪随机数产生器
本 课 题 的研 究 将 以 混 沌理 论 为 基 础 ， 拟 蔡 氏 电 路混 沌 系 统 模 的计 算 结 果 ， 别 分析 、 论其 经 典 的分 形特 性 、 涡卷 吸引 子 特 分 讨 双
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性 和 系 统对 初 始 条件 的敏 感 特性 。 在此 基 础 上设 计 伪 随 机数 产 生
《 工业 控 制 计算 机 ｝ ０ ２年第 ２ ２１ ５卷第 １ Ｏ期
７ ３
基于蔡氏电路混沌系统的伪随机数产生器
Ｐ ｅ ｄ ａ ｄ ｍ Ｎ ｍｂ ｒ ｎ ｒｔｒ Ｒ Ｇ）Ｂ ｓ ｄ ｏｌ ｈ ａＳ Ｃｒｕ ｆＣ ａ ｔ ｓ ｉ ｔｒ ｓ ｕ ｏ Ｒ ｎ ｏ ｕ ｅ Ｇｅ ｅａ （ Ｎ ｏ Ｐ ａ ｅ ｒ Ｃ ｕ ｉ ｉｏ ｈ ｏｉ Ｏ ｃｌ ｏ ｃ ｔ ｃ ｌ ａ
了计 算机 程 序 进 行 混 沌 系统 的模 拟 。使 用 随机 性 规 则检 验 了模 拟 的 结 果 ， 明该 伪 随机 数 产 生 器 算 法 易于 实现 、 算 速 度 表 运
快、 灵敏 度 高 ， 其 应 用 于保 密 通信 、 联 网等 领 域 可 以 大 大提 高 系统 处理 速 度 和 安 全 性 能 。 将 物 关 键 词 ： 沌 ， 氏 电路 ， 随 机 数 ， Ａ Ｌ Ｂ 混 蔡 仂 Ｍ Ｔ Ａ
般 认 为 ，将 自然 界 某 个 对 象 不 是 由随 机 性 外 部 因 素 引 起
ｘ ＝ ｘ （－ ）』十 －Ｘ ７ ） ） ｂ ＋ ａ ｂ （ｘ １ＩＩ一 ／ Ｉ２
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的 ，而 是 由确 定 性 方 程 即 内 部 规 律 产 生 的具 有 随机 性 特 征 的 运
混沌电路的设计与研究电子专业论文
混沌电路的设计与研究一、绪论（一）混沌研究的背景1.混沌研究的发展过程混沌学于上世纪六十年代初在美国兴起。
它是非线性系统中存在的一种普遍现象，也是非线性系统所特有的一种复杂状态。
所以研究的蔡氏电路必然是一个非线性系统，确切地说是一个非线性动力系统。
从函数构造的角度来说，非线性系统要比“线性系统”更多、更普遍。
“线性系统”与“非线性系统”的不同之处至少有两个方面。
第一：线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统则不能。
第二：（也就是最本质的）非线性系统对初值极敏感，而线性系统则不然。
经典的动力学理论认为：任何一个系统只要知道了它的初始状态，就可以根据动力学规律推算出它随着时间变化所经历的一系列状态，拉普拉斯曾将这种思想推广到整个宇宙，认为只要知道了构成宇宙的每个质点在某一瞬间的位置和速度，又知道了动力学方程，我们就可以精确地知道宇宙过去将来的一切情况。
这就是被称为拉普拉斯决定论的基本观点。
概率论和统计的概念引入物理学后，科学思想发生了重大变化，促使科学家从决定论的那种“经典科学缔造的神话”中走了出来。
概率论和统计的观点认为，一个系统的未来状态，并不是完全确定的线性因果链，而有许多偶然的随机的因素，人们只从大量的偶然性中寻求必然的趋势，世界的发展遵循着统计的规律。
对此，历来有着尖锐的争论。
爱因斯坦认为“上帝不是在掷骰子”，只是因为知识不完备，才出现这种情况。
霍金则认为，概率性、统计性是世界的本质，“上帝”不仅在掷骰子，而且会把骰子掷到人们无法知道和根本看不到的地方。
决定论和非决定论，动力学规律和统计规律似乎有着不可调和的矛盾，使科学方法论陷入苦恼的悖论之中。
而对混沌现象的研究，给这种困境带来了希望之光。
过去，人们一直认为宇宙是一个可以预测的系统。
后来天文学家在研究三体问题时发现，用决定论的方程，找不到稳定的模式，得到的是随机的结果，这意味着：整个太阳系是不可预测的，用牛顿定理，无法推算出在某一时刻行星运动的准确位置和速度。
蔡氏混沌非线性电路的分析研究
研究生课程论文(2018-2018学年第二学期>蔡氏混沌非线性电路的研究研究生：***蔡氏混沌非线性电路的研究***摘要：本文介绍了非线性中的混沌现象，并从理论分析和仿真两个角度研究非线性电路中的典型混沌电路-蔡氏电路。
只要改变蔡氏电路中一个元件的参数，就可产生多种类型混沌现象。
利用数学软件MATLAB对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，就可实现双蜗卷和单蜗卷状态下的同步，并能准确地观察到混沌吸引子的行为特征。
关键词：混沌；蔡氏电路；MATLAB仿真Abstract：This paper introduces the chaos phenomenon in nonlinear circuits. Chua’scircuit was a typical chaos circuit,and theoretical analysis and simulation was made to research it.Many kinds of chaos phenomenonenwould generate as long as one component parameter was altered in Chua’s circuit．On the platform of Matlab ,mathematical model of Chua’s circuit were programmed and simulatedto realize the synchronization of dual and single cochlear volume．At the same time, behavior characteristics of chaos attractor is able to be observed correctly．Key words：chaos phenomenon；Chua’S circuit；simulation引言：混沌是一种普遍存在的非线性现象，随着计算机的快速发展，混沌现象及其应用研究已成为自然科学技术和社会科学研究领域的一个热点。
蔡氏混沌电路简介——Chua's Circut
2018/6/20
蔡 氏 电 路 简 介 及 分 析
R很大的情况，电路状态变化中v1与v2相图为稳 定焦点，呈蝌蚪形，为衰减振荡，这就是不动点 。
R1
R
220 15V
R4 22k
R逐渐减小至1.911kΩ时，等幅振荡
R逐渐减小至1.910kΩ时，增幅振荡开始 R为1.918 kΩ～1.820kΩ，周期2
clear all; [T,Y]=ode45('chua',[0,300],[0.1,0.1,0.1]);%解微分 方程 figure(1); plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3),'-'); xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z'); title('x-y-z立体相图'); figure(2); plot(T,Y(:,1),'-'); xlabel('t/s'); ylabel('x'); title('x时域波形'); figure(3); plot(T,Y(:,2),'-'); xlabel('t/s'); ylabel('y'); title('y时域波形'); figure(4);plot(T,Y(:,3),'-'); xlabel('t/s'); ylabel('z'); title('z时域波形'); figure(5); plot(Y(:,1),Y(:,2),'-'); xlabel('x'); ylabel('y'); title('x-y平面相图'); figure(6); plot(Y(:,1),Y(:,3),'-'); xlabel('x'); ylabel('z'); title('x-z平面相图');
蔡氏电路毕业设计论文[管理资料]
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目录前言 (4)第一章混沌学基本理论 (4) (5)混沌的定义 (5)混沌的主要特征 (6)混沌的意义 (7)混沌的发展与前景展望 (7)蔡氏电路简介 (8)软件介绍 (8)第二章蔡氏电路理论分析 (10)蔡氏电路构成及蔡氏二极管 (10)蔡氏电路的数学模型 (14) (14)平衡点及稳定性 (15)第三章蔡氏电路的电路实验 (19)典型蔡氏电路仿真 (19)振荡吸收器 (23)等效电感 (31)第四章结束语 (34)第五章总结与心得 (36)参考文献 (39)致谢 (40)附录 (41)蔡氏电路混沌特性的实验研究摘要：混沌现象是一种确定性的非线性运动，在非线性控制领域，混沌控制的研究受到人们越来越多的关注。
典型蔡氏电路结构简单，但有复杂的混沌动力学特征，因而在混沌控制领域中成为研究的重要对象。
本次设计简单介绍了混沌学基本理论，从理论分析和仿真实验两个角度分别研究Chua's Circuit的混沌行为，用Multisim 软件对电路进行仿真实验，通过改变参数，得到了系统各周期的相轨图，并对实验中遇到的现象进行简单的讨论，将蔡氏电路与一个线性二阶电路耦合，得到了更加丰富的混沌行为。
由于普通蔡氏电路在产生混沌现象时,其元件参数可调范围很小,且对初始条件极为敏感，不易于搭建实验电路。
所以引入了电感等效电路，在本文的最后将蔡氏电路中的电感用等效电路替代，从而实现了无感蔡氏电路。
关键词：混沌；蔡氏电路；Multisim；振荡吸收器；等效电感Experimental Study of Chua's Circuit ChaoticAbstract：Chaos is a deterministic non-linear movement, in the field of nonlinear control, chaotic control get more and more attention by people. Typical Chua's circuit is simple, but complex and chaotic dynamics characteristics, so become an important research object in the field of chaos control . The design simple introduced the basic theory of chaos, study the chaotic behavior of Chua's Circuit from two angles of the theoretical analysis and experimental with Multisim circuit simulation software, by changing the parameters, get each cycle tracks phase diagram of the system, simple discuss the experimental phenomena encountered, couple the second-order Chua's circuit with a linear circuit ("oscillation absorber"), get even more chaotic behavior of the rich. As the general chaos in Chua's circuit in the production, its range of component parameters adjustable is very small, and extremely sensitive to initialconditions, hard to set up experimental circuit. Therefore introduce the inductor equivalent circuit, in this final, change the inductor of Chua's circuit with the equivalent circuit, thus achieving non- inductor of Chua's circuit.Key words：chaos; Chua's circuit; Multisim; vibration absorber; equivalent inductance前言“1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。
混沌电路
混沌非线性电路及其研究摘要：在混沌电路的研究中，前人关于混沌电路中蔡氏电路（非线性电路）的建模已趋成熟。
所以本次实验通过研究混沌非线性电路，借助Multisims 10仿真软件对电路进行研究，从而得出蔡氏电路（非线性电路）中一些基本结论，加深对其的了解。
关键词：混沌非线性电阻特性曲线引言：混沌电路与系统理论经过3O多年的发展，在科学和工程中得到了广泛的应用。
混沌信号由于具有伪随机似噪声和宽频带特性，在保密通信领域获得了广泛的重视与研究。
在适当的电路参数范围内能够产生混沌现象，该电路结构简单、易于工程实现，因而获得了广泛的重视与研究。
蔡氏混沌电路是一个典型的非线性电路，在适当的电路参数范围内能够产生混沌现象，该电路结构简单、易于工程实现，因而获得了广泛的重视与研究是熟悉和理解混沌现象的一个基本的典型电路。
本文以蔡氏混沌电路为例进行仿真研究。
首先，借助Multisims 10仿真软件直接显示非线性电路的伏安特性曲线，再通过点测法来观察所做的图与示波器上观察到的图的吻合度来验证蔡氏电路。
其次，通过对混沌电路实验中的某几个元件进行研究，再得出其对混沌非线性电路的影响，从实验角度论证了蔡氏电路参数的非唯一性和蔡氏电路混沌状态对赋值的敏感性。
正文：非线性电路中的混沌现象是最早引起人们关注的现象之一，而迄今为止，最好的混沌实验结果也是在非线性电路中得到的.因为仿真电路实验有许多优点，如方程比较容易实现，仿真实验的条件可以以精确控制，数据精确度较高等.因此，非线性电路的仿真实验能够给出较好的定量结果，观察到比较单纯的、接近理论模式的混沌行为.因此，在混沌的研究中，仿真电路充当一个非常重要的角色.这里我们借助MULTISIM仿真软件进行仿真实验研究.蔡氏混沌电路是一个典型的非线性电路，它在一定的参数空间内，能够产生混沌信号，在实际中已获得大量应用。
本节以蔡氏电路为例，研究其产生的混沌特性。
（一）利用非线性负电阻电路，测量非线性伏安特性曲线。
蔡氏电路
2.6.3蔡氏电路中混沌现象的观察研究混沌是自然界客观存在的一种现象，而混沌电路是至今为止最方便有效的一种实验观察手段。
由于混沌现象对电路参数的极度敏感性，用一般电路实验手段来观察，其参数调节比较困难，相比之下在Multisim 环境下进行仿真观察是非常容易实现的。
用来实现混沌现象的混沌电路很多，其中以著名的美藉华裔学者蔡少棠1984 年提出的一种三阶非线性自治电路（称之蔡氏电路）最为典型。
该电路具有电路结构简单，混沌现象丰富等特点，因而得到了广泛的学术研究和工程应用。
蔡氏电路的理论模型如图2-70 所示。
R CLC2100nFC1 10nF17. H4mR图2-70蔡氏电路的理论模型图中，C1、C2 为两个线性电容，L 为线性电感，R C 为线性电阻，而R 则为一非线性电阻（R 习惯被称之为蔡氏二极管，Chua’s diode），具有图2-71 所示的压控特性，R 可由五段分段线性的线性电阻构成。
U R图2-71蔡氏电路非线性电阻的特性实现该非线性电阻R 的方案也很多，典型的电路之一如图2-72 所示，由双运放与 6 只线性电阻构成。
I R R3 22kΩR6 220ΩA1 LM224A1 LM224U RR1R2 22kΩR42.2kΩR5 220Ω3.3kΩ图2-72由双运放构成的蔡氏二极管将图2-70 所示电路中的R C 分成两电阻串联，R c = R1 + R2 ，即其中R2 = 1kΩ， 1 是1kΩR的可调电位器。
我们就可以在基于上述参数的蔡氏电路上，通过Multisim 的仿真，清楚的观察到倍周期分岔、阵发混沌以及奇怪吸引子等一系列混沌所特有的现象。
1．编辑原理图首先编辑非线性电阻R 构成电路，如图2-73 (a)所示。
在这个图中取用两个输入接线端，是为了把该电路设置成如图2-73 (b)所示的R 子电路。
(a)图2-73(b) Multisim 中编辑出的非线性电阻R 及其子电路子电路的创建方法是在选中图中所有的部分（按住鼠标，拖一个把该电路部分全部包围进去的方框，如电路窗口中仅有这部分电路，也可选择Edit/Select All 命令），启动Place/Replace by Subcricuit 命令，即可得。
混沌系统不稳定平衡点的镇定及其在蔡氏电路中的应用
Stabilization of unstable equilibria of chaotic systemsand its applications to Chua’s circuitAbstractBased on the ergodicity of chaos and the state PI regulator approach, a new method was proposed for stabilizing unstable equilibria and for tracking set point targets for a class of chaotic systems with nonlinearities satisfying a specific condition.A criterion was derived for designing the controller gains, in which control parameters could be selected by solving a Lyapunov matrix inequality. In particular, for piecewise linear chaotic systems, such as Chua’s circuit, the control parameters can be selected via the pole placement technique in linear control theory. More importantly, this method has high robustness to system parametric variations and strong rejection to external constant disturbances. For verification and demonstration, the design method is applied to the chaotic Chua’s circuit, showing satisfactory simulation results.Key words: Chua’s circuit; unstable equilibrium point; stabilization; P I regulator1.IntroductionIn the past decade, much attention has been paid to chaos control, and many methods have been proposed for suppressing chaos[1,2]. For instance, the delayed feedback control (DFC) method[3]is based on the difference between the current system output and the time_delayed output signals, which does not require any knowledge of the target points.However, this approach in general cannot specify the target setting point and is subject to the so_called odd number eigenvalue limitation[4~6]. On the other hand, the OGY method[7],which is a local control scheme, and the methods[8,9]that are based on precise state feedback control usually fail with system parameters variation and are inconvenient for practical engineering systems. In this paper, based on the ergodicity of chaos and state PIregulator approach[10], a feedback control design method is proposed for stabilizing unstable equilibria and for set-point tracking for a class of chaotic systems with nonlinearities satisfying a specific condition. The proposed method combines a state feedback and an integral of the difference between the target output and the current output signals. The output signal is a simple function (e.g., linear combination) of the state variables of the chaotic system. In particular, if a suitable linear combination is selected and used as the output feedback, the target output signal can become zero, and then no information about the target equilibrium is needed in the integral part of the controller. Moreover, this control method has satisfactory control performance and robustness. It will also be demonstrated that this control method can reject external bounded constant-disturbances asymptotically. Based on the Lyapunov stabilization theory, a criterion is derived for choosing the proportional and integral gains. The control parameters can be selected via solving aLyapunov matrix inequality. In particular, for piece-wise linear chaotic systems, such as Chua’s circuit, the control parameters can be chosen via the pole placement technique in linear control theory2. Working with Chaos: Building the circuitThe hardest part in building the circuit is getting the correct value of the inductance （电感）. I used a simple RL filter to tune the inductance. I used a known R and applied a sinusoid at the input. Since I know the frequency and amplitude of the sinusoid, I can use the frequency response of the circuit to obtain the value of the inductance I want. In order to measure the series resistance of the inductor, use a simple ohm-meter. I even used an ohm-meter to figure out across which pins in the T1105 is the coil actually connected. Screenshots:3. Other possible component values for Chua's circuitThe list below shows some other possible component values for Chua's circuit. Please note that the nonlinear resistor (Chua Diode) is the same as shown in the schematic from the Simulation section. You can refer to the schematic shown at the banner on top of the page.①L=8mH, C2=47nF, C1=3nF, R=1.85k②L=18mH, C2=50nF, C1=4.7nF, R=2.1k4 Stabilizing unstable equilibria of a class of chaotic systems Consider a controlled chaotic system of the form =.x Ax+g(x)+u (1) Where n R x ∈is the state vector, n R u ∈ is the control input to be designed, A ∈×a constant matrix, and g(x) is a continuous nonlinear function satisfying the following condition[11]: ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-~,~~)()(x x M x g x g x x (2) where ~,x x M is a bounded matrix that depends on both x and ~x . Remark1 Many chaotic systems can be described by (1) and (2), such as the classic Chua’s circuit[12],the modified Chua’s circuit with a sine function, the modified Chua’s circuit with nonlinear quadratic function x | x |[13],and the MLC circuit.Let s x be an unstable equilibrium of (1) when u =0,that is,0)(=+s s x g Ax (3)The objective is to design a controller u such that the states of system (1) are stabilized to s x , which is a constant vector independent of time. Later, the objective will also be extended to tracking a constant set point. According to the state PIregulator theory, a controller is constructed as follows:)])()(([0τλd y y k x x K B u t s s ⎰-+-= (4)Where B ∈1⨯n R is a constant gain matrix, K ∈1⨯n R is the proportional state feedback gain vector, k ∈R s the integral gain, y = Cx is the output with a constant matrix C ∈1⨯n R ,s s Cx y = is the observation of the target equilibrium s x ,andWhere x Ω denotes the neighborhood of the unstable equilibrium s xRemark2 Because of the ergodicity of chaos, the trajectory will visit or access Ωx sat times. When the trajectory accesses x Ω, the controller (4) is turned on, and the trajectory will converge to s x asymptotically under the controller (4), in which the control parameters will be chosen to ensure the error dynamic system is asymptotically stable, as further described below.Remark3 In control law (4), if we choose r y s = , where is a constant set point for tracking, then the output y can track this set point asymptotically.Remark 4 If there exists an external bounded constant disturbance w, whose value is unknown but bounded, in the system (1), then we can easily prove that the chaotic system can be stabilized at the targeted unstable equilibrium point by using the similar procedure above.5. Applications of ChaosBelieve it or not, there are tons of applications for Chaos. Here are a few: The stock market (finance) ,Power systems (electrical engineering) ,Population Dynamics (biology) ,Communication Systems (electrical engineering) There are also very interesting chaotic processes in the human brain. Here are two excellent papers by French scientists on this topic (pubmed links to both articles):Conclusion and discussion In this paper, a new method for stabilizing unstable equilibria has been developed for a class of chaotic systems based on the state PI regulator method.. The proposed method is robust to a certain level of external disturbances as well as system parameters variation. Based on the Lyapunov stabilization theory, a precise criterion is derived to accomplish the stabilization of the target unstable equilibria of the chaotic system. The control parameters can be selected via solving a Lyapunov matrix inequality. Particularly, for piece wise linear chaotic systems such as Chua’s circuit, they can be selected via the simple pole placement technique. This new design method is better than the state feedback control method in the sense that even the given.出处：Control Theory & Applications 2003.V ol.20.No.5摘要基于混沌系统的遍历性和状态PI调节器理论,提出一类混沌系统不稳定平衡点的镇定和设定点跟踪新方法,给出用于控制器参数设计的Lyapunov矩阵不等式.对于分段线性混沌系统,如蔡氏电路,可通过控制理论中的极点配置技术来设计控制器参数.该方法对系统参数变化具有很强的鲁棒性,能够消除外部定值扰动.将该方法用于蔡氏混沌电路不稳定平衡点的镇定,取得了满意的结果.关键词:混沌系统蔡氏电路;不稳定平衡点;镇定; PI调节器1.简介在过去的十年中，混沌控制受到了很大重视，提出了许多控制混沌的方法。
基于蔡式电路的仿真
一、选题背景混沌(chaos)研究是20 世纪物理学的重大事件。
混沌现象普遍存在于自然界和人类社会中，是在确定性系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象，是非线性动力学系统特有的一种运动形式。
混沌具有三个特点：随机性；遍历性；规律性。
随着高精度电子器件的广泛应用，电路中出现了大量的非线性现象。
已有的线性电路理论无法解释非线性电路的行为，又不能指导非线性电路的分析与综合，于是有关非线性电路的理论研究迅速展开，非线性电路中的混沌现象研究也开始兴起。
1984 年，Chua 提出著名的“蔡氏电路”，这个电路为非线性电路中分岔、混沌现象的研究提供了经典的范例。
1、蔡氏电路模型蔡氏电路是一种物理结构和数学模型简单的混沌系统，该混沌系统也常被用来进行混沌理论及应用方面的研究。
该电路使用三个储能元件和一个分段线性电阻。
这样可以把电路分为线性和非线性两部分。
其中线性部分包括:电阻R、电感L(含内阻r)和两个电容C1 与C2；非线性部分由分段线性电阻N R来完成。
电路原理图如下：图一蔡氏电路原理图图二分段线性电阻N R的伏安特性曲线2、蔡氏电路理论基础由Kirchhoff结点电流定律（KCL）得到蔡氏电路的动力学状态方程为：蔡氏电路中的非线性电阻又称为蔡氏二极管，可采用多种方式实现。
一种较简单的实现电路见图三。
图三用集成运放组成蔡氏二极管电路二、电路实现和仿真验证（1）用直流扫描分析蔡氏二极管的伏安特性。
已知R1=3.3kΩ，R2=22kΩ，R3=22kΩ，R4=2.2kΩ，R5=220Ω，R6=220Ω。
通过双运算放大器（型号：TL082）和6个电阻来实现非线性电阻。
在仿真时，除集成运算放大器外均使用的是虚拟元件。
电路原理图如下：通过直流扫描（DC Sweep），得到蔡氏二极管的伏安特性曲线如下：从而得到分段线性电阻N R的伏安特性曲线中U0=0.966V（2）R=1.6kΩ，L =18mH，C1=10nF，C2=100nF，初值为零，蔡氏二极管按（1）中参数实现。
模电期末论文《蔡氏电路混沌特性的研究》2009013157.docx
模电期末论文《蔡氏电路混沌特性的研究》2009013157模电期末论文——关于蔡氏电路混沌现象的研究2009013157 生医9 王颖奇*所有仿真结果均于2010年12月24日完成在上学期的大学物理教材中，混沌现象就曾经被老师提起。
书中介绍，混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。
进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。
牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。
因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。
“ 混沌”是近代非常引人注目的热点研究，它掀起了继相对论和量子力学以来基础科学的第三次革命。
科学中的混沌概念不同于古典哲学和日常语言中的理解，简单地说，混沌是一种确定系统中出现的无规则的运动。
混沌理论所研究的是非线性动力学混沌，目的是要揭示貌似随机的现象背后可能隐藏的简单规律，以求发现一大类复杂问题普遍遵循的共同规律。
那么这种现象在电路有什么应用呢？传统上，人们把信号分为两大类：确定性信号这种信号所有时刻的波形都是确定的；随机过程它的波形由概率分布确定。
然而，这样的分类忽略了另一类极为重要的信号——混沌信号。
混沌信号的波形是非常不规则的，表面上看来就象噪声，但实际上它却是由确定性的规则所产生的，这种规则有时是很简单的。
正是这种简单的规则产生出复杂的波形激发了人们对它极大的兴趣。
在图（1-2）中，我们向大家展示了由Logistic映射所生成的混沌信号与白噪声信号，从表面上我们是无法判断出噪声与混沌的。
让人兴奋的是：实践证明，在大量的物理系统和自然系统中都存在着混沌信号！虽然，混沌现象的出现使我们无法对系统的长期行为进行预测，但是我们完全可以利用混沌的规律对系统进行短期的行为预测，这样比传统的统计学方法更加有效。
在工程学中，混沌现象主要有以下两方面的应用。
蔡氏混沌电路分析研究
蔡氏混沌电路分析研究蔡氏混沌电路分析研究摘要：众所周知，蔡氏电路是一种简单的非电子性电路设计，它可以表现出标准的混沌理论行为。
混沌是一种发生在确定系统中的不确定行为，表现为不同于平衡状态、周期状态和拟周期状态的这三种状态外的另一种状态，产生的混沌现象极为丰富。
随着社会的开展，混沌动力学以其内容丰富的特点，成为了一个被广泛研究应用的知识学科。
混沌现象是产生于确定性的状态方程中的一种相似随机的运动，在我们现实生活中较为广泛的存在。
在工程和电工电子学科上最近几年的开展前景也越来越开阔和活泼。
随着时代开展，在现实生活中，混沌应用取得了很大的成果，得到了广泛的成果研究。
尤其是混沌独电路这一局部，其中包括混沌压缩、混沌保密通信、混沌加密和混沌同步。
但是还有一些实际问题需要探讨和研究，作者通过文章来介绍蔡氏混沌电路的电路设计根底与存在的问题及其面临的挑战与机遇。
关键词：混沌电路；广泛；开展；问题文章着重介绍了蔡氏混沌电路的根本设计思路与混沌系统分析方法和混沌电路的根底设计，依据国内外对电路的研究，分析当前各种混沌系统，总结得出混沌电路的开展历史。
文章在理论根底的分析和参考文献研的前提下，对混沌电路的动力学行为的复杂性提出了一种具有多方向多漩涡吸引子的可扩展的蔡氏电路；对混沌振荡的频率那么提出了如MOS管的Colpitts振荡电路设计和同步的一种方法。
20年的时间，人们对蔡氏混沌电路的深入研究与探究，我们发现在蔡氏电路里呈现出来一种丰富的混沌力学行为。
且蔡氏混沌电路已经在保密通讯领域具备了一定的应用能力。
混沌学，是继量子论、相对论的20世纪第三次物理革命产物。
法国数学家在19世纪末期首次发现了动力学系统中的异归宿轨迹和同归宿轨迹，混沌现象作为存在在非线性动力学系统中的一种现象，虽没有复杂的运动形式，但具有普遍性的规律。
1 蔡氏混沌电路工作原理的介绍与研究意义蔡氏混沌电路由线性电感、线性电阻、非线性电阻各一个和线性电容两个组成的三阶段自治动态电路，非线性电阻的伏特安特性，是一个分段型函数，电路中电感L和电容LC振荡电路，有原型的电阻R和电容做成了一个源RC滤波电路。
蔡氏混沌电路的分析与仿真
蔡氏混沌电路分析与仿真1 蔡氏电路混沌理论自20世纪70年代以来已成为许多不同学科领域的研究热点。
粗略地说，混沌是发生在确定性系统中的一种不确定行为，或类似随机的行为。
混沌运动是另一种非周期运动。
混沌的一个显著特点是：状态变量的波形对状态变量的初始值极为敏感，或者说初始值对波形有重大影响。
混沌现象广泛的存在于非线性电路中，其中比较典型并已得到深入研究的电路是二阶非自治铁磁谐振电路和称为蔡氏电路的三阶自治电路。
蔡氏电路是著名的非线性混沌电路，结构简单，但却出现双涡卷奇怪吸引子和极其丰富的混沌动力学行为。
近二十年来，通过人们对蔡氏电路的深入研究和探索，发现蔡氏电路呈现出丰富的混沌动力学行为，蔡氏电路已在保密通信领域获得了一定的应用。
蔡氏电路如图1所示，它是一个三阶自治电路，由两个线性电容、一个线性电感、一个线性电阻和一个电压控制型的非线性电阻元件构成。
非线性电阻的伏安特性如图2所示。
u C2RR+-uR 图1 蔡氏电路R图2 压控型非线性电阻伏安关系2 基本分析对图1所示蔡氏电路推导其状态方程，分别以u C1, u C2和i L为变量列写KCL和KVL方程，其方程组如下所示：2212112210C C C L C C C R L C du u u C i dt R u u du C i R dt di u L dt -⎧+=⎪⎪⎪-⎪=+⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩式中，i R = g(u R )。
整理上述各式，且令u C1=x, u C2=y, i L =z ，取电路中各参数的值为L=7/100 H, C 1=1/9 F, C 2=1 F, R 0=1 Ω, k 0= -8/7, k 1= -5/7。
方程可变换为标准的蔡氏方程，即为：[()]dxa y f x dt dyx y z dt dzby dt ⎧=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-⎪⎩其中，1010101()...........(1)()............................(1)() (1)m x m m x f x m x x m x m m x +-≥⎧⎪=≤⎨⎪--≤-⎩式中，a=9, b=100/7, m 0= -1/7, m 1=2/7。
混沌电路实验报告
一、实验目的1. 理解混沌现象的产生原理及其在电路中的应用。
2. 掌握混沌电路的基本搭建方法。
3. 通过实验观察混沌现象，并分析其特性。
4. 研究混沌电路在通信、加密等领域的应用潜力。
二、实验原理混沌现象是指在确定性系统中，由于初始条件的微小差异，导致系统行为表现出高度复杂、不可预测的特性。
混沌电路是一种模拟混沌现象的电路系统，通过非线性元件和反馈环路实现。
本实验采用蔡氏电路（Chua’s circuit）作为研究对象。
蔡氏电路是一种三阶互易非线性自治电路，由电阻、电容和电感元件组成，其中包含一个有源非线性元件。
通过改变电路参数，可以观察到混沌现象的产生。
三、实验仪器与设备1. 蔡氏电路实验板2. 双踪示波器3. 数字万用表4. 信号发生器5. 计算机及数据采集软件四、实验步骤1. 搭建蔡氏电路，确保电路连接正确。
2. 使用示波器观察电路的输出波形，记录初始状态下的波形特征。
3. 改变电路参数，如电阻、电容或电感，观察波形变化。
4. 逐步调整参数，观察混沌现象的产生、发展及消失过程。
5. 使用数字万用表测量电路关键参数，如电压、电流等。
6. 使用信号发生器输入不同频率的信号，观察电路对不同信号的响应。
五、实验结果与分析1. 混沌现象的产生：当电路参数调整至一定范围时，输出波形呈现出复杂、无规律的特性，即混沌现象。
2. 混沌现象的特性：敏感依赖初始条件：混沌现象对初始条件非常敏感，微小差异会导致截然不同的结果。
长期行为的不可预测性：混沌现象的长期行为具有不可预测性，即使初始条件相同，系统的状态也会随时间演化而发生变化。
分岔现象：混沌现象的产生与分岔现象密切相关。
当电路参数发生变化时，系统状态会出现分岔，从而产生混沌现象。
3. 混沌电路的应用：通信：混沌通信利用混沌信号的自相似性和非线性特性，实现信号的加密和解密。
加密：混沌密码学利用混沌现象的复杂性和不可预测性，设计出具有较高安全性的加密算法。
控制：混沌控制利用混沌现象的特性，实现对系统的精确控制。
基于蔡氏电路的混沌仿真研究
式中微分都是相对变量!。 将 （(） 式可以化为： / 2! / 2# $ / 2( ’"
通过调整系统初始值或 + 的阻值， 可以观察到蔡氏电路丰富 的非线性动态特性。 仿真中步长定为 " ? "! 秒， 运行 #"""" 次。 （ 3 /! ） （)） " 当系统初始值为 "# $ " ? ""!， + 固定为 ! ? ’#+4， "# $ "， !. $ ! # 出现双涡卷混沌吸引子， 如图 ’ 所示； 当初始值为 "# $ " 时， ! 出现如图 ) 所示的稳 ( ? ",,(#， "# $ ’ ! ? "’#(，!. $ * ? +(!))， # 定周期轨道。 当固定初始值为 "# $ " ? ""!， "# $ "， !. $ " 时， ! # 当 + $ ! ? #,)4 时， 开始出现稳定周期轨道； 当+ + 由小变大， 开始出现双涡卷混沌吸引子。 $ ! ? ’#+4 时， （*）
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蔡氏电路的混沌仿真研究
蔡氏电路的混沌仿真研究摘要：蔡氏电路是能产生混沌现象的典型且最简单三阶自治电路。
该文通过对该非线性电路建立数学模型，解释了产生混沌现象的原因，由李雅普诺夫指数分析了系统的动力学行为，从理论分析和Matlab仿真两个方面分别进行了研究。
结果表明，在一定条件下蔡氏电路能够产生双涡旋混沌吸引子，混沌行为复杂，从而理论分析在仿真实验中得到了证实。
关键词：蔡氏电路;李雅普诺夫指数;混沌1引言物理、化学、生物学，以及社会讲科学等等各个学科领域中都有混沌现象。
作为一种普遍存在的非线性现象，今年来许多专家和学者对非线性电路的混沌行为进行了广泛研究[1-6]，其中最典型的是由美国Berkeley大学的Leon.O.Chua提出的蔡氏电路（Chua’sCircuit），它是能产生混沌行为的最小、最简单的三阶自治电路[7]，其非线性动力学行为复杂丰富，这使得该混沌电路有可能在更广的领域得到应用，如混沌保密通信技术，传感器应用，混沌扩频通信技术等。
基于这些特点，对蔡氏电路的讨论和研究也有较高的实践意义。
2蔡氏电路模型一般自治动力系统产生混沌现象需要具备一定的条件：系统至少有三个状态变量，并且存在一定的非线性环节[8]。
蔡氏电路使用三个储能元件（电感L、两个电容C1和C2）和一个非线性电阻NR，电路如图1所示。
由Kirchhoff电流定律（KCL）和Kirchhoff电压定律（KVL），可推出图1电路的状态方程为：（1）其中，VC1为电容C1两端的电压，VC2为电容C2两端的电压，iL为通过电感L的电流，i（VC1）为非线性电阻NR的伏安特性函数：（2）非线性电阻NR是分段线性的蔡氏二极管，是核心元件，它由两个非线性电阻RN1与RN2并联构成，每个非线性电阻又分别由1个运算放大器和3个电阻组成，两个非线性电阻及其伏安特性如图2所示。
当适当选取电阻的参数值，使E2>>E1，同时也使E2远大于蔡氏电路正常工作时|VC1|的变化范围，则在电路工作范围内，RN2是一个线性负电阻，RN1与RN2并联后可实现非线性电阻NR的伏安特性，其中，，，。
蔡氏电路混沌现象仿真
引言混沌研究最先起源于 Lorenz研究天气预报时用到的三个动力学方程．后来的研究表明，无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨，但实际是非周期有序运动，即混沌现象．现在混沌研究涉及的领域包括数学、物理学、生物学、化学、天文学、经济学及工程技术的众多学科，并对这些学科的发展产生了深远影响．随着计算机和计算科学的快速发展，混沌现象及其应用研究已成为自然科学技术和社会科学研究领域的一个热点。
而非线性电路是混沌及混沌同步应用研究的重要途径之一。
其中一个最典型的电路是三阶自治蔡氏电路，这个电路是由加州大学伯克利分校的蔡少棠首先发起研究的。
在这个电路中观察到了混沌吸引子。
蔡氏电路是能产生混沌行为最简单的自治电路，所有应该从三阶自治常微分方程描述的系统中得到的分岔和混沌现象都能够在蔡氏电路中通过计算机仿真和示波器观察到。
蔡氏电路虽然简单，但其中蕴含着丰富和复杂的非线性现象。
不须改变电路系统结构，只调整控制参数R，就能获得电路系统不同状态的响应输出信号[1]。
该文对产生混沌现象的蔡氏电路进行了研究,建立了数学模型,分析了产生混沌的原因,并根据建立的数学模型,利用MATLAB进行了仿真研究,仿真结果表明在一定的条件下该电路能够出现混沌双涡卷吸引子和稳定周期轨道。
+1 混沌学概述1.1混沌与非线性科学混沌学于上世纪六十年代初在美国兴起。
它是非线性系统中存在的一种普遍现象，也是非线性系统所特有的一种复杂状态。
所以我在论文中研究的蔡氏电路必然是一个非线性系统，确切地说是一个非线性动力系统。
从函数构造的角度来说，非线性系统要比“线性系统”更多、更普遍。
“线性系统”与“非线性系统”的不同之处至少有两个方面。
第一：线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统则不能。
第二：（也就是最本质的）非线性系统对初值极敏感，而线性系统则不然。
1.2混沌的含义混沌到目前为止，还没有一个统一的、有足够数学定理支持的、普遍适用和完美的混沌理论，所以只能通过混沌系统所表现出的一些普遍现象总结归纳出其所谓的本质。
蔡氏混沌实验报告
#### 实验背景混沌理论作为非线性动力学的一个分支，近年来在物理学、数学、生物学等多个领域都得到了广泛的研究和应用。
蔡氏电路（Chua's circuit）作为混沌现象的一个典型模型，因其简单性、可控性和易于实验验证的特点，成为了混沌研究的重要工具。
本实验旨在通过搭建蔡氏电路，观察并分析其混沌现象，加深对混沌理论的理解。
#### 实验目的1. 搭建蔡氏电路，观察其混沌现象。
2. 分析蔡氏电路混沌产生的条件及影响因素。
3. 研究蔡氏电路混沌同步现象。
#### 实验原理蔡氏电路是一种典型的三阶非线性自治电路，包含电阻、电容和电感三个基本元件，以及一个非线性电阻元件。
非线性电阻元件的电压-电流特性为三段线性函数，使得电路能够产生复杂的混沌行为。
蔡氏电路的数学模型由三个一阶常微分方程组成，分别描述电容C1和C2上的电压，以及电感L1上的电流强度。
方程如下：\[\begin{align}\frac{dV_1}{dt} &= \frac{1}{C_1}(I_L - I_R) \\\frac{dV_2}{dt} &= \frac{1}{C_2}(I_R - I_L) \\\frac{dI_L}{dt} &= \frac{1}{L_1}(V_1 - V_2) \\I_R &= f(V_1)\end{align}\]其中，\(I_L\)、\(V_1\)、\(V_2\) 分别表示电感L1上的电流、电容C1上的电压和电容C2上的电压，\(I_R\) 表示非线性电阻元件的电流，\(f(V_1)\) 表示非线性电阻元件的电压-电流特性。
#### 实验设备1. 蔡氏电路实验板2. 信号发生器3. 示波器4. 计算机及仿真软件（如MATLAB）#### 实验步骤1. 按照实验板说明书，搭建蔡氏电路。
2. 使用信号发生器为电路提供激励信号，调节信号参数。
3. 使用示波器观察电路输出信号，记录数据。
混沌电路
非线性电阻电路的应用——混沌电路摘要：本文主要讨论了利用蔡氏电路产生混沌现象，运用非线性电阻和运算放大器实现了非线性电路，测量了非线性电阻的伏安特性曲线,研究了在不同参数下的混沌图象，最后又给出了一个用非线性电容实现混沌的实例。
关键字：蔡氏电路，混沌，非线性电阻。
1．引言：蔡氏电路是美国贝克莱大学的蔡少堂教授设计的能产生混沌行为的最简单的一种自治电路。
在蔡氏电路及蔡氏振荡器和分析及实验研究中，为电路建立一个精确的实验模型，从而观察混沌现象并定量分析他。
混沌（Chaos）研究是20 世纪物理学的重大事件。
混沌研究最先起源于Lorenz研究天气预报时用到的三个动力学方程。
后来的研究表明，无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨，但实际是非周期有序运动，即混沌现象。
现在混沌研究涉及的领域包括数学、物理学、生物学、化学、天文学、经济学及工程技术的众多学科，并对这些学科的发展产生了深远影响。
混沌包含的物理内容非常广泛，研究这些内容更需要比较深入的数学理论，如微分动力学理论、拓扑学、分形几何学等等。
目前混沌的研究重点已转向多维动力学系统中的混沌、量子及时空混沌、混沌的同步及控制等方面。
本实验将借助非线性电阻电路，从实验上对这一现象进行一番探索。
2．实验原理1．非线性电阻：实验所用电路原理图如图1 所示。
电路中电感L和电容C1、C2并联构成一个振荡电路。
方程如下：这里，U C1、U C2是电容C1、C2上的电压，i L是电感L上的电流，G = 1/R0是电导，g 为R的伏安特性函数。
如果R 是线性的，g 是常数，电路就是一般的振荡电路，得到的解是正弦函数。
电阻R0的作用是调节C1和C2的位相差，把C1和C2两端的电压分别输入到示波器的x，y轴，则显示的图形是椭圆。
如果R是非线性的，会看到什么现象呢？电路中的R 是非线性元件，它的伏安特性如图2 所示，是一个分段线性的电阻，整体呈现出非线性。
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基于蔡氏电路的混沌电路分析唐永洪，付云峰，王德玉（哈尔滨工业大学能源科学与工程学院飞行器动力工程，哈尔滨，150001）摘要：对一种典型的产生混沌现象的电路——蔡氏混沌电路进行了分析研究，并运用multisim10.0软件进行仿真。
测定有源非线性负电阻的伏安特性曲线，观察不同参数条件下出现的倍周期分岔，阵发混沌，奇异吸引子等一系列不同的混沌现象。
同时分析了电感值为15mH下出现的变异双二倍周期、变异单二倍周期、对称倍周期、死区等低电感参数下的新特性，以及典型蔡氏电路混沌现象随电感变化的关系，并简单描述了混沌电路在保密通信、自动控制等领域的应用。
关键词：蔡氏电路，非线性负电阻；混沌电路；吸引子引言混沌是本世纪最重要的科学发现之一，被誉为是继相对论和量子力学后的第三次物理革命，它打破了确定性与随机性之间不可逾越的分界线，将经典力学研究推进到一个崭新的时代[1]。
混沌信号是一种貌似随机而实际却是由确定信号系统产生的信号，混沌电路因具有丰富的非线性动力学特性，在非线性科学、信息科学、保密通信、混沌密码以及其他工程领域获得了广泛的应用，已成为非线性电路与系统的一个热点课［2］。
非线性电路中的混沌现象是最早引起人们关注的现象之一，在非线性电路中能够得到很好的混沌实验结果，蔡氏混沌电路[3-5]就是一个典型的混沌电路。
我们在模拟蔡氏混沌电路观察混沌现象时，由于实验的条件不能得到精确控制，而混沌电路又对初始条件具有高度的敏感性，以至于实验现象不明显。
因此本文采用multisim10.0对电路进行仿真[6]，在理想条件观察不同参数条件下出现的倍周期分岔，吸引子，奇异吸引子等一系列不同的混沌现象。
1混沌概念及其相关特征1.1混沌和吸引子的定义混沌至今没有统一的定义，但人们一致的看法是：一个确定的非线性系统，如果含有貌似噪声的有界行为，且又表现若干特性，便可称为混沌系统，此处所说的若干特性主要是如下三个方面：（1）振荡信号的功率连续分布，且可能是带状分布的，这个特征表明振荡为非周期的，也就是说明信号貌似噪声的原因。
（2）在相空间，该系统的相邻近的轨道线彼此以指数规律迅速分离，从而导致对初始值得极端敏感性，这使得系统的行为长期不可预测。
（3）在轨道线存在的相空间的某一特定的有界部分内，轨道线具有遍历性和混合性。
遍历性是指任何一条轨道线会探访整个特定的有界部分，混合性是指初始间单关系将弥漫的动力学行为所消除。
混沌吸引子：吸引子是指这样的一个集合，当时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道都趋于它。
若吸引子的轨线对初始条件高度敏感依赖，该吸引子就称为混沌吸引子。
吸引子无外乎两种状态，即单个点和稳定极限环。
系统的吸引子理论是关于吸引子的科学理论，它是混沌学的重要组成部分。
奇异（怪）吸引子：具有分数维结构的吸引子称为奇异吸引子。
奇异吸引子是反映混沌系统运动特征的产物，也是一种混沌系统中无序稳态的运动形态。
它具有自相似性,同时具有分形结构。
奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。
奇异吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性（不同于轨道不稳定性和李雅普诺夫不稳定性）有着密切关系，它具有不同属性的内外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向；一切到达奇异吸引子内的运动都互相排斥，对应于“不稳定”方向。
1.2混沌的基本特征混沌具有两个基本的特征：一是运转状态的非周期性，即混沌系统输出信号的周期为无穷大，且在功率上与纯粹噪声信号难以分辨，因而是随机信号，然而混沌系统是确定性动力学系统，本身并不包含任何随机因素的作用，其产生随机输出信号的原因完全是因为系统内部各变量之间的强非线性耦合。
因此，其输出的随机信号在理论上是可以精确重复的。
二是对初始条件的高度敏感性，即若存在对初始条件的任何微小的偏离（扰动），则此偏离随着系统的演化将迅速以指数率增长，使得在很短的时间内系统的状态与受扰前便失去任何的相关性，因此，混沌仅具有极为短期的预测性。
混沌状态具有以下三个关键(核心)概念：即对初始条件的敏感性、分形、奇异吸引子。
2蔡氏电路与非线性负电阻的实现2.1蔡氏电路的构成蔡氏电路是一个典型的混沌电路。
蔡氏电路实验电路图如图1所示。
电路中的电感L和电容C1、C2并联构成一个振荡电路。
R 是一个有源非线性负电阻元件，电感L和电容C2组成一损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R和电容C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
图1.蔡氏电路图图2.有源非线性负电阻伏安特性曲线蔡氏电路的状态方程式为：C1dUc1/dt=G（Uc2－Uc1）－gUc1C2dUc2/dt=G(Uc1－Uc2)+i LLdi L/dt= －Uc2式中U C1,U C2分别为电容C1,C2上的电压；i l 为电感L上的电流，G=1/R0为电导；g为R 的伏安特性函数。
当R为线性电阻时，g为常数，电路为一般振荡电路，此时把C1和C2两端的电压分别输入到示波器的x,y轴，显示的图形是椭圆形；当R为非线性负电阻时，其伏安特性如图2，此时把C1和C2两端的电压分别输入到示波器的x,y轴，调节G的值就会观察到不同的混沌现象。
2.2有源非线性负电阻的实现非线性负电阻的实现是混沌电路的关键，蔡氏混沌电路中采用两个运算放大器（型号为TL082CD）和六个配置电阻来实现。
电路图如图3。
图3.有源非线性负电阻的实现电路参数：R1=3.3kΩ，R2=22kΩ,R3=22kΩ,R4=2.2kΩ,R5=220Ω,R6=220Ω，V1=15V,V2=15V。
2.3有源非线性负电阻的伏安特性测定有源非线性负电阻的伏安特性，有两种方法：一种是逐步改变电源电压（-12V 至+12V），利用电压表、电流表测量负电阻两端的伏安特性；另一种是利用IV分析仪（自提供可变电源），自动测量电路的伏安特性，并显示图形。
在这里，我们采用第二种方法。
实验电路图如图4，有缘非线性负电阻伏安特性曲线如。
图4.IV分析仪测量有源非线性负电阻伏安特性电路图图5. 有源非线性负电阻伏安特性曲线3混沌电路实验特性选取在L=15mH条件下分析混沌电路特性，实验电路图如图6。
电路参数：L=15mH，C1=0.01uF，C2=0.1uF，R7为3kΩ可变电阻。
通过模拟实验可以看出，随着R7阻值的减小，将依次出现以下混沌现象，参见图7：单吸引子（R7=2000Ω）：电路接通，振荡电路工作，引发出单吸引子。
此时R7两端的电压Uc1最终趋近于一个固定值，Uc2=0，振荡电路趋近于稳定状态（混沌吸引子中的点状态）。
图6.典型蔡氏混沌电路图N倍周期（N=1，2，3，4，5，6……，如一倍周期R7=1850Ω；二倍周期R7=1780Ω）：逐渐减小电阻R7，将出现倍周期分岔，倍周期最终趋近于稳定极限环状态，环数为N值。
奇异（怪）吸引子（R7=1700Ω）：奇异吸引子，包括单漩涡混沌吸引子和双漩涡混沌吸引子，奇异吸引子带有明显的混沌特性，即分数维结构，阵发性，不稳定性（对初始条件的敏感性）。
从Uc1-Uc2图上可以看出，单漩涡混沌吸引子具有一个不稳定的中心，所有的状态均围绕这个中心旋转、靠近，但是始终无法到达中心点。
双漩涡混沌吸引子则具有两个旋转中心。
一次引发混沌吸引子状态，总是先从外围开始，围绕旋转中心收缩，意图无限靠近旋转中心，使之达到稳定状态，但是在某一个状态中，又突然脱离收缩趋势，继续在在最大状态与最小状态的范围内做不确定的运行，且具有明显的边界，即进入奇异吸引子状态。
任何一个微小的扰动（初始状态改变），都可能引起本质的改变。
而它具有不同属性的内外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向；一切到达奇异吸引子内的运动都互相排斥，对应于“不稳定”方向。
表现出既吸引又排斥的混沌状态。
极限环（R7≤1290Ω）：该状态是由双吸引子转变而成，电感L越小，转变过程越明显。
最终达到一个极限状态，即为极限环。
极限环类似于一倍周期，同一倍周期一样具有一个稳定的状态。
与一倍周期不同的是，极限环有明显的拐点，而一倍周期具有连续性。
没有突变的过程。
一般来讲，蔡氏电路的电感L选择范围为17mH~23mH之间，在这个范围内能明显的观察到以上各类混沌状态。
而我们通过模拟研究发现，对于高于L 高于23mH及低于17mH的蔡氏混沌电路，还有一些比较奇特的状态。
以L=15mH时的蔡氏电路为例。
当R7=1380Ω时，出现由极限双漩涡混沌吸引子变异而来的双向二周期稳定状态，笔者称之为变异双二倍周期该状态下能有稳定的二周期性，如图7；同时也保留了双吸引子和极限环的边界轮廓特性。
在变异双二倍周期之后，继续减小R7的阻值，会观察到由单漩涡吸引子演变而来的变异单二倍周期。
继续减小，会依次出现稳定的六倍、四倍、二倍、一倍周期，这些稳定的倍周期状态，与高阻值时的倍周期状态几乎一致，如同状态与阻值成对称分布一样。
在观察低阻值下的二倍周期、一倍周期引发过程，可以看到，有一个明显的突变过程。
在某一时刻，Uc2突然升高，然后短时间内达到稳定状态，开始成周期性分布。
R7=2000Ω单吸引子，趋近于点R7=1850Ω一倍周期（稳定极限环，下同）R7=1780Ω二倍周期二倍周期的波形（Vc2-t图，下同）R7=1700Ω奇异吸引子R7=1650Ω双吸引子R7=1650Ω双吸引子波形图R7=1400Ω极限双吸引子R7=1380Ω极限双吸引子演变的变异双二倍周期变异双二倍周期波形图奇异吸引子演变的变异单二倍周期变异单二倍周期波形图R7=1350Ω六倍周期六倍周期波形图R7=1345Ω四倍周期四倍周期波形图R7=1341.134Ω二四倍周期分界二四倍周期分界波形图二倍周期二倍周期波形图R7=1330Ω一倍周期一倍周期波形图，从无到有突变R7=1300Ω死区，截止点R7=1290Ω极限环图7：L=15mH条件下的混沌特性此外，在R7=1300Ω时，会存在一个死区，即此时的Uc1、Uc2几乎为零，图8所示。
对于高电感的电路，在此阻值时，没有死区存在，但是引发的极限环具有明显的延迟。
低电感时，当阻值跳过1300欧的临界点时，出现常规的极限环，此时与任何混沌电路的极限环一致。
L=17mH ，R7=1.3k Ω，t=14.394ms时突变L=16mH，R7=1.3kΩ，t=38.015ms时突变L=15mH，R7=1.3kΩ，死区L=10mH，R7=1.3kΩ，死区图8.低电感参数下的突变与死区L=25mH，R7=2.15kΩ，含边界二倍周期R7=2.12kΩ，含边界双吸引子图9.高电感参数下的边界化现象对比不同电感L下的混沌现象。
可以看出，对于同一阻值R7时，随着电感值L的增加，混沌现象提前，图10所示。