直线与圆的方程的应用PPT

.5, 52,
所以，圆的方程为：x2(y10.5)214.52 把 P 的2 横坐标 x 代2入 圆的方程得：
( 2)2(y 10.5 )214.52
由题可知y＞0，解得：y≈3.86(m) 答：支柱A2P2的高度约为3.86 m.
思考：不建立坐 标系,如何解决 这个问题?
B C
Fra Baidu bibliotek
解法如下
作 P2H OP，在Rt△COA中 CA2CO2OA2
P2 P
A A1 A2 O A3 A4 B
分析：建立如图所示
y
P2 P
的直角坐标系，把实
际问题转化为数学问
x
题——求出圆拱桥所 A A1 A2 O A3 A4 B
在的圆的方程；然后解决这个实际问题——利用圆
的方程求出点P2的坐标，从而求线段A2P2的长，解 释实际意义——圆拱形桥支柱的高A2P2.
M
O
N
O'
E
D
A x
过四边形外接圆的圆心O′分别作AC、BD、AD的垂 线，垂足为M、N、E，则M、N、E分别为AC、BD、 AD的中点，由中点坐标公式，有：
xE
a 2
,
yE
d 2
,
xO'
xM
ac, 2
yO'
yN
bd 2
证明：以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、BD所
在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，
直线与圆的方程的应用
一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)和圆 (x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线的距离为
d | AaBbC| 则
A2 B2
位置 d与r的大小关系
相离 d>r
相切 d=r
相交 d<r
图形
r d
dr
dr
交点个数
0个
1个
2个
判断直线和圆的位置关系
设A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，
d），过四边形外接圆的圆心 分别作AC、BD、AD 的垂线，垂足为M、O N 、E，则M、N、E分别为AC、
BD、AD的中点，y B
C
M
O
N
O'
E
A x
第一步:建立坐 标系，用坐标 表示有关的量.
D
由中点坐标公式，有：
xE
=
a 2
,
yE
=
d 2
,
要考虑的问题是建立适当的直角坐标系，关键是
如何选取坐标系？ y
如图所示
O
x
探究：如图所示，设四边形的四个顶点分别为A(a，
0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的
长为多少？
y B
BC c2 b2
C
M
O
A x
E D
探究：四边形ABCD的外接圆圆心O′的坐标如何表示？
y B
C
几何方法 求圆心坐标及半径r （配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
代数方法
( x a)2 ( y b)2 r2 Ax By C 0
消去y
px2 qx t 0
d < r:相交 d = r:相切 d > r:相离
Δ> 0:相交 Δ= 0:相切 Δ< 0:相离
例1.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的 圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用 一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）.
即
得 r 14.5.
在Rt△CP2H中，得 C H 2r2O A 22206.25 ，
又 OC14.5410.5,
H
B
OH=CH-OC3.86.
C
所以支柱A2P2的高度约是3.86m.
例2．已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直， 求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的 一半.
探究:解决平面几何问题常利用“坐标法”，首先
12 12
2即6b2+所6.以
故x-y最大值为2＋ 6,最小值为2- .6
y (2)设 x＝k,则y＝kx与x2＋y2-4x＋1＝0
2.向量的方法：
与圆有关的最值问题
1.已知点A(3,0)及圆x2+y2=4,则圆上一点P到
点A距离的最大值是 ,最小值是
.
【解析】1.方法一(几何法):圆的半径为2,圆心到点A的距离为3,结合 图形可知,圆上一点P到点A距离的最大值是3+2=5,最小值是3-2=1. 方法二(代数法):设P(x,y)是圆上任意一点,则 |PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+4-x2=13-6x, 因为-2≤x≤2, 所以当x=-2时,|PA|max2=25,则|PA|max=5; 当x=2时,|PA|min2=1,则|PA|min=1. 答案:5 1
解：建立如图所示的 直角坐标系，使圆心
y
P2 P
在y轴上，设圆心的
x
坐标是（0，b），圆 A A1 A2 O A3 A4 B 的半径为r，那么圆的方程为：x2＋（y－b）2＝r2，
点P（0,4），B（10,0）在圆上，所以有
02 +(4 102 + b2
b)2 = = r2,
r2
,解得：
b r
10 2 14.
xM
=
xO'
=
a+c 2,
yN
=
yO'
=
b+d 2.
由两点间的距离公式，有：
第二步:进行 有关代数运算
O'E
= (d-b+d)2+(a-a+c)2 22 22
1 2
b2 c2，
B C b2 c2，
所以 O ' E 1 B C ， 2
第三步:把代数 运算结果翻译成
几何关系.
即圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
2.如图,以O为坐标原点,以直线BC为x轴,建立平 面直角坐标系,于是有B(-m,0),C(m,0),P(-n,0), Q(n,0).设A(x,y),由已知,点A在圆x2+y2=m2上. |AP|2+|AQ|2+|PQ|2=(x+n)2+y2+(xn)2+y2+4n2 =2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值).
【提升总结】
利用“坐标法”解决平面问题的“三步曲”： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程
表示问题中的几何元素，将平面几何问题转 化为代数问题． 第二步：通过代数运算，解决代数问题． 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．
练习：课 13本 页 24题
练习.如图,直角△ABC的斜边长为定值2m,以斜边 的中点O为圆心作半径为n的圆,直线BC交圆于 P,Q两点,求证:|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.
与圆有关的最值问题
2.已知实数x,y满足x2+y2-4x+1=0,
则x-y的最大值和最小值分别是______和________.
y的最大值和最是 小值和 分别 x
x2+y2的最大值和最小值分别是_____和_____.
2.(1)设x-y＝b，则y＝x-b与圆x2＋y2-4x＋1＝0有公共点,
2b 3,