数值转换器试题

“数值转换器”例题解析
进入新课改后，紧扣教材的中考题中出现了“数值转换器”型新试题，此类试题要求学生需多角度、多层次、多侧面地运用数学思想方法分析和解决问题，在解题过程中灵活考查运算能力，成为数学题型中的一朵奇葩，特举几例以飨读者。

例1 在计算器上按照下面的程序进行操作：
下表中的x 与y 分别是输入的6个数及相应的计算结果：
x -2
-1
1
2
3
y -5 -2 1 4 7 10
上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是________________。

解析：观察数据可以发现，将输入的数据x 乘以3加1，恰好等于y ，故应按。

例2 如图，某计算装置有一数据输入口A 和一运算结果的输出口B ，下表是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果：
A 1 2 3 4 5 B
2
5
10
17
26
根据这个计算装置的计算规律，若输入的数是10，则输出的数是___________。

解析：这是一道规律探究题，通过观察不难发现当输入x 时，输出结果为1x 2
+，故当输入10时，输出结果为101。

例3 按下列程序计算，把答案写在表格内：
（1输入n
3
21
2- 3-
…
输出答案 1 1
… （2）请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简。

解析：这是一道程序计算题，明确计算程序是解答本题的关键，（1）表格列出的答案均
为1，（2）计算程序用代数式表示为：（2n 2+）n n -÷化简结果为1。

例4 在如图所示的运算流程中，若输出的数3y =，则输入的数=x __________。

解析：这是一道选择程序计算题，需分情况讨论：如果输入数据为偶数，则根据输出结果可判断该数为6；如果输入数据不是偶数，则根据输出结果可判断该数为5，故正确答案为5或6。

例5 根据下图所示的程序计算函数值，若输入的x 值为23
，则输出的结果为（ ）
A. 27
B. 49
C. 21
D. 29
解析：这是一道选择分支结构的计算题，将这个流程图转化为数学表达式，可能同学们就会感觉比较亲切了。

⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<--≤≤-+=.2x 1,2x ,
1x 1,x ,1x 2,
2x y 2
因为
223x 1≤=
<所以
212x y =+-=，选C 。

例6 按下列图示的程序计算，若开始输入的值为3x =，则最后输出的结果是（ ）
A. 6
B. 21
C. 156
D. 231
解析：这是一道循环结构的选择程序计算题，当输入3时，()10062133<=+，再将6
从新输入，()100212166<=+再将21从新输入，()100231212121>=+故应选D 。

例7 定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为5n 3+；②当n 为
偶数时，结果为k
2n （其中k 是使k
2n 为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取26n =，
则：
若449n =，则第449次“F 运算”的结果是___________。

解析：这是一道选择程序兼循环结构的程序计算题，其特点是必须通过计算在计算过程中发现循环，过程如下：
而当输入1和8时过程重复循环，当原数据为奇数时结果为8，偶数时结果为1，故填8。

例8 如图，是一个数值转换的示意图，按图示的程序计算，并填写下表。

x -1 0 -2 -0.5 y 1 -2 -3 -0.25 输出
解析：这是一道二元程序运算题，实际上是已知x ，y 的值，求代数式()2
2
y 3x 2+的值，
答案从左到右分别是11、36、89、1617。

例9 某人设计了一个计算机应用程序——只要按顺序输入两个数（x ，y ）就会输出一
个二次三项式22cy bxy ax ++的相应计算结果，小明发现不论两个数取什么值如（1k ，2k ），
只要把输入顺序交换位置，如（2k ，1k ），所得结果始终相同，当他输入（1，1）时结果
为1；当输入（-1，2）时，显示结果为7。

（1）求证：c a =。

（2）这个二次三项式是什么？
（3）若输入（2007，2008）时输出结果为A ，请写出另外三组整数，使得输出结果都为A 。

解析：这是一道二元二次程序运算题，（1）运用求代数式思想根据题意可得
212122222121ck k bk ak ck k bk ak ++=++，整理得()()()2121k k k k c a -+-=0，又1k 、2k 可
取任意值故0c a =-，c a =。

（2）∵当1x =，1y =时，
1cy bxy ax 2
2=++；当1x -=，2y =时， 7cy bxy ax 22=++。

∴⎪⎩⎪
⎨⎧==+-=++.c a ,7c 4b 2a ,1c b a
解得⎪⎩⎪
⎨⎧=-==.1c ,1b ,
1a 二次三项式为2
+-y xy x 2。

（3）由对称式知识可知另外三组解为（2008，2007）（-2008，-2007）、（-2007，-2008）。

例10 按下图所示的流程，输入一个数据x ，根据y 与x 的关系式就输出一个数据y ，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20~100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：
（I ）新数据都在60~100（含60和100）之间；
（II ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。

（1）若y 与x 的关系是()x 100p x y -+=，请说明：当p 21
=
时，这种变换满足上述两
个要求：
（2）若按关系式()()0a k h x a y 2
>+-=将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。

（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程。

）
解析：这是一道新情境下的函数类程序题，在探索的过程中蕴含开放思想，在解决它们的过程中又可产生许多新方法、新观念，增强学生的创新意识。

（1）当
21p =
时，()x 10021
x y -+=，
即50x 21
y +=。

∴随着x 的增大而增大。

即21
p =
时，满足条件（II ）。

又当20x =时，60502021y =+⨯=，当100x =时，100
5010021y =+⨯=。

而原数据
都在20~100之间，所以新数据都在60~100之间，即满足条件（I ），综上可知，当
21p =
时，这种变换满足要求；（2）本题是开放性问题，答案不唯一。

若所给出的关系式满足：
()20h a ≤；()b 若20x =，100时，y 的对应值m ，n 能落在100~60之间，则这样的关系式都符合要求。

如取20h =，
()k 20x a y 2
+-=， ∵0a >，∴当100x 20≤≤时，y 随着x 的增大。

令20x =，60y =，得60k =。

①
令100x =，100y =，得100k 80a 2
=+⨯。

②
由①②解得⎪
⎩⎪⎨⎧
==.60k ,1601a
∴()6020x 1601
y 2+-=。

练习
那么，当输入数据是8时，输出的数据是（ ）
A. 618
B. 638
C. 658
D. 678
2. 如下图是一个简单的数值运算程序，当输入x 的值为-1时，则输出的数值为_________。

答案：1. C
2. 1。