圆锥曲线微专题----求离心率的值

圆锥曲线微专题----求离心率的值

一、知识纵横

1. 离心率：c e a

=，在椭圆中(0,1)e ∈，且e =

在双曲线中(1,)e ∈+∞，且e = 2. 离心率的几何意义：在椭圆中e 越大，椭圆越扁，在双曲线中e 越大，开口越大.

3. 求离心率的基本方法：通过对已知几何条件的代数化翻译，得到关于a ，b ，c 的齐次方程，最后除以a 相应的次数，得到e 的方程，解之即可.

4. 求解基本流程：①作出图形；

②利用已知条件尽量将图形中能表示的边长用a ，b ，c 表示出来；

③再借助图形的几何特点，列出相应的等量关系，解之.

此类问题的核心在于翻译几何条件，需要在解题过程中不断积累、总结经验，最终才能得心应手. 常见几何条件大致总结如下：

①点在曲线上：⎧⎨⎩

定义（优先），点坐标代入曲线方程，； ②垂直：勾股定理，斜边中线等于斜边一半，特殊角三角函数，数量积为0等； ③双余弦定理：借助互补的两个角余弦值互为相反数得到相应等量关系；

④椭圆的对称性：过原点的直线与曲线交于两点，则连接两交点与两焦点可得一平行四边形； ⑤二级结论：需要熟练掌握一些椭圆、双曲线中常用的二级结论.

二、典型例题

【题型1 点在曲线上】

例1. （2018全国卷II 文11）

已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）

A

．1 B ．2C D 1

例2. （2013全国卷II 文5）

设椭圆C ：22

221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点，2PF ⊥12F F ， ∠12PF F =30，则C 的离心率为（ ）

A B ．13 C ．12 D

例3. （2015全国卷II 理11）

已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）

A

B ．2

C D

例4. （2018全国卷II 理12）

已知1F ，2F 是椭圆22

221(0)x y C a b a b

+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率

的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A ．23 B ．12 C ．13 D ．14

例5. （2012全国卷 理4）

设1F 、2F 是椭圆E ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）

A ．

12 B ．23 C ．34 D ．45

例6． 已知点P 在椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>上，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，O 为坐标原点，且满足12F PF △的三边长成等差数列，又12PF PF ⊥，则此椭圆的离心率为（ ） A ．

37 B ．57 C ．34

D ．23

【题型3 双余弦定理】

例7. （2018全国卷III 理11）

设21,F F 是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线

的垂线，垂足为P ．若1PF =，则C 的离心率为（ ）

A

B

C ．2 D

例8． 设椭圆C 的左、右焦点为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于点P ，Q ，若12PF F △是以1PF 为底的等腰三角形，且1143PF QF =

，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．

12 B ．34 C ．57 D ．23

例9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，直线3y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为（ ）

A ．

21- B ．21- C ．31- D ．31-

例10. 已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>，点F 是双曲线C 的左焦点，过原点的直线交双曲线C 于,A B 两点，且3AF BF =，AB BF ⊥，如图所示，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2

B ．3

C ．2

D ．5

【题型5 常用二级结论】

例11. （2011全国卷 理7）

设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．3

例12. （2016全国卷II 理11）

已知1F ，2F 是双曲线22

22:1x y E a b

-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为（ ） A ．2 B ．

32

C ．3

D ．2

例13. （2019全国卷I 理16）

已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．

【题型6 与圆综合】

例14. （2017全国卷II 理9）

若双曲线C:22221x y a b

-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）

A

．2 B

C D

例15. （2017全国卷I 理15） 已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________

例16. （2019全国卷II 理11）

设F 为双曲线C ：22

221x y a b

-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ）

A

B C ．2 D