第四章随机变量的数字特征
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2
引例：某大学新聘一位教授给1位5 研究生上课， 期末考试成绩如下：
72,81,90,85, 76, 90,80,83, 78, 75, 63, 73,30,82,90. 成绩上报后，教学院长认为：试题太易，因为得 90分的就有3人；系主任认为：考题偏难，因为 平均成绩才7分6.；5 教授认为：考题适宜，因为从 总体看8分0是有代表性的，多于分8和0 少于分的80 人数相等，谁的话有道理？
第四章 随机变量的数字特征
分布函数能够完整地描述随机变量的统计特 性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的 某些特征，因而不需要求出它的分布函数. 例如：
评定某企业的经营能力时，只要知道该企业 人均赢利水平；
研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的 平均粒数及每粒的平均重量；
检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长 度，又要注意 纤维长度与平均长度的偏离程度， 平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好;
k =1
k = 1,2,
绝对收敛，则称其和为随机变量 X 的数学期望
记为
+∞
∑ EX = xk pk k =1
5
例 已知X求~ B(n, p), EX
n
∑ 解 EX =
kC
k n
pk (1 −
p)n−k
k=0
∑n
=k
n!
pk (1 − p)n−k
k=1 k!(n − k )!
∑n
= np
(n − 1)!
1
考察一射手的水平，既要看他的平均环数 是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数 据的波动是否小.
由上面例子看到，与随机变量有关的某些 数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰 地描述随机变量在某些方面的重要特征 , 这些 数字特征在理论和实践上都具有重要意义.
随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写
若积分
+∞
∫ xf ( x)dx −∞
绝对收敛，则称此积分的值为随机变量 X 的
数学期望，记为
+∞
∫ EX = xf (x)dx −∞
数学期望简称期望，又称均值
注意:数学期望反映了随机变量取值的平均值, 它是一种加权平均
9
例 已知，X 求~ U (a,b) EX
∫ ∫ 解
EX =
+∞
xf (x)dx
=
k)
=
C
k n
pk (1 −
p)n−k
np
k = 0,1,2,, n
P( X = k) = λke−λ
k!
λ
k = 0,1,2,
12
分布
概率密度
期望
区间(a,b)上的 均匀分布
f
(
x
)
=
b
1 −
a
0
, ,
a< x<b 其它
a+b 2
E(λ)
λe−λx , x > 0
f (x) =
1
0 , 其它
∑ ∑ EZ E= [g( X ,Y )]
g ( xi , y j ) pij
（2）若二维连续型随机变量的(概X ,率Y )密度
为，f (x则, y有)
+∞ +∞
∫ ∫ EZ E= [g( X ,Y )]
g(x, y) f (x, y)dxdy
−∞ −∞
15
例
XY 1
已知的( X联,Y合) 分布列为
0 12 3
0 3/8 3/8 0
求 EX , EY , E( XY )
3
1/8 0 0 1/8
解 X13
Y0 1 2 3
P 3/4 1/4 P 1/8 3/8 3/8 1/8
∴ EX= 3 , EY= 3
E
(
XY
2
)=
(1×
pk −1 (1 − p)(n−1)−(k −1)
k=1 (k − 1)!(n − k )!
n−1
∑ = np
C
k n−1
p
k
(1
−
p)(n−1)−k
k=0
= np
6
例 已知X求~ P(λ), (λ > 0), EX
解
∑ ∑ EX = ∞ k λ k e−λ
∞
=λ
λ k −1 e−λ
k=0 k !
0
=
lim (−
x→+∞
x e λx
)
+1
λ
+∞ λe−λxdx
0
∫ =
lim (−
x→+∞
1
λeλx
)
+
1
λ
+∞ e−λxd(λx)
0
=1
λ
10
例 若随机变量服 X 从柯西分布即,其概率
密度为 f (x=)
1
π
⋅
1 1+ x2
, − ∞ < x < +∞
说明随机变量的 X 数学期望不存在
∫ ∫ 解
3
本
随机变量的平均取值 —— 数学 期望
章 随机变量取值平均偏离平均值的
内
情况 —— 方差
容 描述两个随机变量之间的某种关
系的数 —— 协方差与相关系数
4
§4.1 数学期望
1. 数学期望的定义
定义 设离散型随机变量X 的分布律为
P( X = xk ) = pk ,
若无穷级数
+∞
∑ xk pk
(2) 对连续型随机变量若X有, 密度函数则 f (x) ,
+∞
∫ E[g(X )] = g(x) f (x)dx −∞
14
设是Z 随机变量的函X数,Y ( g是连续函数)
Z = g(X,Y) ,
（1）若二维离散型随机变量的( X分,布Y )律为
P(=X xi ,=Y y=j ) pij ,i= , j 1, 2, 则有
b
=
x dx
−∞
a b−a
例 已知服X 从参数为的指λ 数分布求 ,
= a+b 2
EX
解
λe−λx , x > 0
f (x) =
0 , x≤0
∫ ∫ ∫ EX = +∞xf ( x)dx = +∞ λxe−λxdx = − +∞ xd (e−λx )
−∞
0
0
∫ ∫ =
− xe −λx
+∞ 0
+
+∞ e −λxdx
因为
+∞
x f (x)dx =
1
−∞
π
+∞ x −∞ 1 + x2 dx = +∞
+∞
∫即不绝xf对( x收)d敛x −∞
故的X 数学期望不存在
11
常见随机变量的数学期望
分布
概率分布
期望
参数为p 的 0-1分布
P( X = 1) = p P( X = 0) = 1 − p
p
B(n,p)
P(λ)
P(X
λ
N(µ,σ 2)
f (x) =
1
−( x−µ )2
e 2σ 2
µ
2π σ
13
3. 随机变量函数的数学期望
定理设有随机变量的连X 续函数， E[g(x)] 存在
Y = g(X)
(1) 对离散型随机变量X ,若 P( X = xk ) = pk ,则
∑ E[g( X )] = g(xk ) pk k
k=1 (k −1)!
=λ
例 已知服X 从参数为的p几何分布，即, P( X= k=) pqk−1
k = 1, 2, ，求 EX
解 EX = 1
p
7
例
设X的分布列为 P( X
= (−1)k−1 2k k
)
= 21ຫໍສະໝຸດ Baidu , k = 1, 2,
讨论其数学期望
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设连续型随机变量X 的概率密度为 f ( x)
引例：某大学新聘一位教授给1位5 研究生上课， 期末考试成绩如下：
72,81,90,85, 76, 90,80,83, 78, 75, 63, 73,30,82,90. 成绩上报后，教学院长认为：试题太易，因为得 90分的就有3人；系主任认为：考题偏难，因为 平均成绩才7分6.；5 教授认为：考题适宜，因为从 总体看8分0是有代表性的，多于分8和0 少于分的80 人数相等，谁的话有道理？
第四章 随机变量的数字特征
分布函数能够完整地描述随机变量的统计特 性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的 某些特征，因而不需要求出它的分布函数. 例如：
评定某企业的经营能力时，只要知道该企业 人均赢利水平；
研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的 平均粒数及每粒的平均重量；
检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长 度，又要注意 纤维长度与平均长度的偏离程度， 平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好;
k =1
k = 1,2,
绝对收敛，则称其和为随机变量 X 的数学期望
记为
+∞
∑ EX = xk pk k =1
5
例 已知X求~ B(n, p), EX
n
∑ 解 EX =
kC
k n
pk (1 −
p)n−k
k=0
∑n
=k
n!
pk (1 − p)n−k
k=1 k!(n − k )!
∑n
= np
(n − 1)!
1
考察一射手的水平，既要看他的平均环数 是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数 据的波动是否小.
由上面例子看到，与随机变量有关的某些 数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰 地描述随机变量在某些方面的重要特征 , 这些 数字特征在理论和实践上都具有重要意义.
随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写
若积分
+∞
∫ xf ( x)dx −∞
绝对收敛，则称此积分的值为随机变量 X 的
数学期望，记为
+∞
∫ EX = xf (x)dx −∞
数学期望简称期望，又称均值
注意:数学期望反映了随机变量取值的平均值, 它是一种加权平均
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例 已知，X 求~ U (a,b) EX
∫ ∫ 解
EX =
+∞
xf (x)dx
=
k)
=
C
k n
pk (1 −
p)n−k
np
k = 0,1,2,, n
P( X = k) = λke−λ
k!
λ
k = 0,1,2,
12
分布
概率密度
期望
区间(a,b)上的 均匀分布
f
(
x
)
=
b
1 −
a
0
, ,
a< x<b 其它
a+b 2
E(λ)
λe−λx , x > 0
f (x) =
1
0 , 其它
∑ ∑ EZ E= [g( X ,Y )]
g ( xi , y j ) pij
（2）若二维连续型随机变量的(概X ,率Y )密度
为，f (x则, y有)
+∞ +∞
∫ ∫ EZ E= [g( X ,Y )]
g(x, y) f (x, y)dxdy
−∞ −∞
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例
XY 1
已知的( X联,Y合) 分布列为
0 12 3
0 3/8 3/8 0
求 EX , EY , E( XY )
3
1/8 0 0 1/8
解 X13
Y0 1 2 3
P 3/4 1/4 P 1/8 3/8 3/8 1/8
∴ EX= 3 , EY= 3
E
(
XY
2
)=
(1×
pk −1 (1 − p)(n−1)−(k −1)
k=1 (k − 1)!(n − k )!
n−1
∑ = np
C
k n−1
p
k
(1
−
p)(n−1)−k
k=0
= np
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例 已知X求~ P(λ), (λ > 0), EX
解
∑ ∑ EX = ∞ k λ k e−λ
∞
=λ
λ k −1 e−λ
k=0 k !
0
=
lim (−
x→+∞
x e λx
)
+1
λ
+∞ λe−λxdx
0
∫ =
lim (−
x→+∞
1
λeλx
)
+
1
λ
+∞ e−λxd(λx)
0
=1
λ
10
例 若随机变量服 X 从柯西分布即,其概率
密度为 f (x=)
1
π
⋅
1 1+ x2
, − ∞ < x < +∞
说明随机变量的 X 数学期望不存在
∫ ∫ 解
3
本
随机变量的平均取值 —— 数学 期望
章 随机变量取值平均偏离平均值的
内
情况 —— 方差
容 描述两个随机变量之间的某种关
系的数 —— 协方差与相关系数
4
§4.1 数学期望
1. 数学期望的定义
定义 设离散型随机变量X 的分布律为
P( X = xk ) = pk ,
若无穷级数
+∞
∑ xk pk
(2) 对连续型随机变量若X有, 密度函数则 f (x) ,
+∞
∫ E[g(X )] = g(x) f (x)dx −∞
14
设是Z 随机变量的函X数,Y ( g是连续函数)
Z = g(X,Y) ,
（1）若二维离散型随机变量的( X分,布Y )律为
P(=X xi ,=Y y=j ) pij ,i= , j 1, 2, 则有
b
=
x dx
−∞
a b−a
例 已知服X 从参数为的指λ 数分布求 ,
= a+b 2
EX
解
λe−λx , x > 0
f (x) =
0 , x≤0
∫ ∫ ∫ EX = +∞xf ( x)dx = +∞ λxe−λxdx = − +∞ xd (e−λx )
−∞
0
0
∫ ∫ =
− xe −λx
+∞ 0
+
+∞ e −λxdx
因为
+∞
x f (x)dx =
1
−∞
π
+∞ x −∞ 1 + x2 dx = +∞
+∞
∫即不绝xf对( x收)d敛x −∞
故的X 数学期望不存在
11
常见随机变量的数学期望
分布
概率分布
期望
参数为p 的 0-1分布
P( X = 1) = p P( X = 0) = 1 − p
p
B(n,p)
P(λ)
P(X
λ
N(µ,σ 2)
f (x) =
1
−( x−µ )2
e 2σ 2
µ
2π σ
13
3. 随机变量函数的数学期望
定理设有随机变量的连X 续函数， E[g(x)] 存在
Y = g(X)
(1) 对离散型随机变量X ,若 P( X = xk ) = pk ,则
∑ E[g( X )] = g(xk ) pk k
k=1 (k −1)!
=λ
例 已知服X 从参数为的p几何分布，即, P( X= k=) pqk−1
k = 1, 2, ，求 EX
解 EX = 1
p
7
例
设X的分布列为 P( X
= (−1)k−1 2k k
)
= 21ຫໍສະໝຸດ Baidu , k = 1, 2,
讨论其数学期望
8
设连续型随机变量X 的概率密度为 f ( x)