【数学一】2013年全国硕士研究生入学统一考试真题

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历年考研数学一真题及答案(1987-2013)

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)1202x x dx -⎰=_____________.(2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________.(3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.(4)已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解,则a= _____________.(5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >(C)()()()()f x g x f b g b >(D)()()()()f x g x f a g a >(2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有(A)14SS xdS xdS =⎰⎰⎰⎰(B)14SS ydS xdS =⎰⎰⎰⎰(C)14SS zdS xdS =⎰⎰⎰⎰(D)14SS xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰(3)设级数1n n u ∞=∑收敛,则必收敛的级数为(A)1(1)n n n u n∞=-∑ (B)21n n u ∞=∑(C)2121()n n n u u ∞-=-∑(D)11()n n n u u ∞+=+∑(4)设n 维列向量组1,,()m m n <αα线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ线性无关的充分必要条件为(A)向量组1,,m αα可由向量组1,,m ββ线性表示 (B)向量组1,,m ββ可由向量组1,,m αα线性表示 (C)向量组1,,m αα与向量组1,,m ββ等价 (D)矩阵1(,,)m =A αα与矩阵1(,,)m =B ββ等价 (5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Y ξ=+与 X Y η=-不相关的充分必要条件为(A)()()E X E Y =(B)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-(C)22()()E X E Y = (D)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+三、(本题满分6分) 求142e sin lim().1e xx xx x→∞+++四、(本题满分5分) 设(,)()x xz f xy g y y=+,其中f具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求2.zx y∂∂∂五、(本题满分6分) 计算曲线积分224L xdy ydx I x y -=+⎰,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1),R >取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有2()()e 0,x Sxf x dydz xyf x dzdx zdxdy --=⎰⎰其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数,且0lim ()1,x f x +→=求()f x .七、(本题满分6分)求幂级数113(2)nn nn x n ∞=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比(比例常数0k >),求球体的重心位置.九、(本题满分6分) 设函数()f x 在[0,]π上连续,且()0,()cos 0.f x dx f x xdx ππ==⎰⎰试证:在(0,)π内至少存在两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==十、(本题满分6分)设矩阵A的伴随矩阵*10000100,10100308⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A (2)验证1241,11-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.(3)当111212x y ⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭时,求11.n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X,求X 的数学期望()E X 和方差()D X .十三、(本题满分6分) 设某种元件的使用寿命X的概率密度为2()2e (;)0x x f x x θθθθ-->⎧=⎨≤⎩,其中θ>为未知参数.又设12,,,n x x x 是X 的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设e (sin cos )(,x y a x b x a b =+为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)222z y x r ++=,则(1,2,2)div(grad )r -=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(ydx y x f dy ＝_____________. (4)设24+-=A A E O ,则1(2)--A E = _____________.(5)()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(A)(B)(C)(D) (2)设),(y x f 在点(0,0)的附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f 则(A)(0,0)|3dz dx dy =+ (B)曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}(C)曲线(,)0z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}(D)曲线(,)0z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}(3)设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导⇔ (A)2(1cos )limh f h h→-存在 (B)0(1e )limh h f h→-存在 (C)20(sin )lim h f h h h→-存在(D)hh f h f h )()2(lim 0-→存在(4)设1111400011110000,11110000111100⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B ,则A 与B (A)合同且相似 (B)合同但不相似(C)不合同但相似 (D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 相关系数为 (A) -1 (B)0(C)12(D)1三、(本题满分6分)求2arctan e e xxdx ⎰.四、(本题满分6分) 设函数),(y x f z =在点(1,1)可微,且3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x f f f ,)),(,()(x x f x f x =ϕ,求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分) 设()f x = 21arctan 010x x x x x +≠=,将)(x f 展开成x 的幂级数,并求∑∞=--1241)1(n nn的和.六、(本题满分7分)计算222222()(2)(3)L I y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰,其中L是平面 2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f .证明:(1)对于)1,0()0,1( -∈∀x ,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立.(2)5.0)(lim 0=→x x θ.八、(本题满分8分)设有一高度为t t h )((为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、(本题满分6分)设12,,,s ααα为线性方程组=AX O 的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβαα,其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββ也为=AX O 的一个基础解系?十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A 和三维向量x ,使得2,,A A x x x 线性无关,且满足3232=-AA A x x x .(1)记2(,,),=P A A x x x 求B 使1-=A PBP .(2)计算行列式+A E .十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<且中途下车与否相互独立.Y 为中途下车的人数,求: (1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率.(2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分)设2~(,)X N μσ抽取简单随机样本122,,,(2),n X X X n ≥ 样本均值∑==n i iX n X2121,∑=+-+=ni i n i X X X Y12)2(,求().E Y2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)⎰∞+exx dx 2ln = _____________.(2)已知2e 610y xy x ++-=,则(0)y ''=_____________. (3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________. (4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.(5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程42=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质: ①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在. 则有:(A)②⇒③⇒① (B)③⇒②⇒①(C)③⇒④⇒① (D)③⇒①⇒④(2)设0≠n u ,且1lim=∞→nn u n,则级数)11()1(11+++-∑n n n u u 为 (A)发散 (B)绝对收敛(C)条件收敛 (D)收敛性不能判定.(3)设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x (B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x (D) 当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B))(x f X )(y f Y 必为密度函数(C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D))(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与2arctan 0e xt y dt-=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分)计算二重积分22max{,}e xy Ddxdy⎰⎰,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分) 设函数)(x f 在R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线,起点为(b a ,),终点为(d c ,). 记dy xy f y yxdx xy f yy I]1)([)](1[1222-++=⎰, (1)证明曲线积分I 与路径L 无关. (2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数∑∞==03)!3()(n nn x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e x y y y '''++=.(2)求幂级数∑∞==03)!3()(n nn x x y 的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy 面,其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当,A B为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分) 设维随机变量X 的概率密度为()f x =1cos 0220 xx x≤≤其它对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分)设总体X 的概率分布为X123P2θ)1(2θθ-2θθ21-其中θ(102θ<<)是未知参数,利用总体X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1))1ln(12)(cos lim x x x +→ = .(2)曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 . (3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx a x n n ,则2a = .(4)从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为 .(5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =60x01x y ≤≤≤其它,则=≤+}1{Y X P .(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 . (注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim=∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有 (A)n n b a <对任意n 成立 (B)n n c b <对任意n 成立(C)极限n n n c a ∞→lim不存在 (D)极限n n n c b ∞→lim 不存在 (3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ,则 (A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 (B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点 (C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点 (4)设向量组I:12,,,r ααα可由向量组II:12,,,s βββ线性表示,则(A)当s r <时,向量组II 必线性相关 (B)当s r >时,向量组II 必线性相关(C)当s r <时,向量组I 必线性相关 (D)当s r >时,向量组I 必线性相关(5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题: ① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解以上命题中正确的是(A)①② (B)①③ (C)②④ (D)③④ (6)设随机变量21),1)((~XY n n t X =>,则 (A)2~()Y n χ (B)2~(1)Y n χ- (C)~(,1)Y F n (D)~(1,)Y F n三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D .(1)求D 的面积A .(2)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .四、(本题满分12分)将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五、(本题满分10分)已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界.试证: (1)sin sin sin sin e e e e y x y x L L x dy y dx x dy y dx ---=-⎰⎰. (2)sin sin 2e e 2.y x L x dy y dx π--≥⎰六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?(注:m 表示长度单位米.)七、(本题满分12分)设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dxx y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八、(本题满分12分) 设函数()f x 连续且恒大于零,⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y xf t F σ,⎰⎰⎰-+=t t D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ,其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九、(本题满分10分)设矩阵322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ,:2l032=++a cy bx ,:3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为()f x =2()2e 0x θ-- 0x x θ>≤ 其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ,记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1)求总体X 的分布函数()F x .(2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ.(3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-L ydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===03002sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f > (9)设∑∞=1n n a 为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n n a 收敛 (B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n n a 发散 (C)若级数∑∞=1n n a 收敛,则0lim 2=∞→n n a n (D)若级数∑∞=1n n a 发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim (10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=t ty dx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于 (A)2(2)f (B)(2)f (C)(2)f - (D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu (B)21α-u(C)21α-u (D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ= (B)21Cov(,)X Y σ=(C)212)(σnn Y X D +=+ (D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分) 设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()e b a b a ->-.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)(17)(本题满分12分)计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10n x nx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1α>时,级数1n n x α∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n nn a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分)设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量.。

历年考研数学一真题及答案(1987-2013)

历年考研数学一真题1987-2013（经典珍藏版）1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x =_____________时,函数2x y x =⋅取得极小值.(2)由曲线ln y x =与两直线e 1y x =+-及0y =所围成的平面图形的面积是_____________.1x = (3)与两直线 1y t =-+2z t=+及121111x y z +++==都平行且过原点的平面方程为_____________.(4)设L为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰= _____________.(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数a 与,b 使等式201lim 1sin x x bx x →=-⎰成立.三、(本题满分7分)(1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),u f x xy v g x xy ==+求,.u v x x∂∂∂∂ (2)设矩阵A和B满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 求矩阵.B四、(本题满分8分)求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解,其中常数0.a >五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2()()lim1,()x af x f a x a →-=--则在x a =处 (A)()f x 的导数存在,且()0f a '≠ (B)()f x 取得极大值(C)()f x 取得极小值 (D)()f x 的导数不存在 (2)设()f x 为已知连续函数0,(),st I t f tx dx =⎰其中0,0,t s >>则I 的值(A)依赖于s 和t (B)依赖于s 、t 和x(C)依赖于t 、x ,不依赖于s (D)依赖于s ,不依赖于t(3)设常数0,k >则级数21(1)n n k n n∞=+-∑(A)发散 (B)绝对收敛(C)条件收敛 (D)散敛性与k 的取值有关(4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于(A)a (B)1a(C)1n a - (D)na六、（本题满分10分）求幂级数1112n nn x n ∞-=∑的收敛域，并求其和函数.七、（本题满分10分）求曲面积分2(81)2(1)4,I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑=++--⎰⎰其中∑是由曲线13()0z y f x x ⎧=≤≤⎪=⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y 轴正向的夹角恒大于.2π八、（本题满分10分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个,x 函数()f x 的值都在开区间(0,1)内,且()f x '≠1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x 使得().f x x =九、（本题满分8分）问,a b 为何值时,现线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=-有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件A 发生的概率为,p 现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为____________;而事件A 至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量X 的概率密度函数为221(),xx f x-+-=则X 的数学期望为____________,X 的方差为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为()X f x =101x ≤≤其它,()Y f ye 0y- 00y y >≤, 求2Z X Y=+的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求幂级数1(3)3nnn x n ∞=-∑的收敛域. (2)设2()e ,[()]1x f x f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域.(3)设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,计算曲面积分333.I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若21()lim (1),tx x f t t x→∞=+则()f t '= _____________.(2)设()f x 连续且31(),x f t dt x -=⎰则(7)f =_____________.(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-上定义为()f x =22x1001x x -<≤<≤,则的傅里叶()Fourier 级数在1x =处收敛于_____________.(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 可导且01(),2f x '=则0x ∆→时,()f x 在0x 处的微分dy 是(A)与x ∆等价的无穷小 (B)与x∆同阶的无穷小(C)比x ∆低阶的无穷小 (D)比x ∆高阶的无穷小 (2)设()y f x =是方程240y y y '''-+=的一个解且00()0,()0,f x f x '>=则函数()f x 在点0x 处(A)取得极大值 (B)取得极小值(C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少 (3)设空间区域2222222212:,0,:,0,0,0,x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥则(A)124xdv dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(B)124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(C)124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D)124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)设幂级数1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定(5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα 线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k +++≠ααα(B)12,,,s ααα 中任意两个向量均线性无关(C)12,,,s ααα 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)12,,,s ααα 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设()(),x y u yf xg yx=+其中函数f 、g 具有二阶连续导数,求222.u u x y x x y∂∂+∂∂∂五、(本题满分8分)设函数()y y x =满足微分方程322e ,x y y y '''-+=其图形在点(0,1)处的切线与曲线21y x x=--在该点处的切线重合,求函数().y y x=六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为2(0kkr>为常数,r为A质点与M之间的距离),质点M沿直线y=(2,0)B运动到(0,0),O求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.七、（本题满分6分）已知,=AP BP其中100100000,210,001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B P求5,.A A八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A与20000001y⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B相似.(1)求x与.y(2)求一个满足1-=P AP B的可逆阵.P九、（本题满分9分）设函数()f x在区间[,]a b上连续,且在(,)a b内有()0,f x'>证明:在(,)a b内存在唯一的,ξ使曲线()y f x=与两直线(),y f x aξ==所围平面图形面积1S是曲线()y f x=与两直线(),y f x bξ==所围平面图形面积2S的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于19,27则事件A在一次试验中出现的概率是____________.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________.(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知22(),(2.5)0.9938,u xx du φφ-==⎰则X 落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度函数为21(),(1)X f x x π=-求随机变量1Y =-的概率密度函数().Y f y1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h→--= _____________. (2)设()f x 是连续函数,且10()2(),f x x f t dt =+⎰则()f x =_____________.(3)设平面曲线L为下半圆周y =则曲线积分22()Lxy ds +⎰=_____________.(4)向量场div u在点(1,1,0)P 处的散度div u =_____________.(5)设矩阵300100140,010,003001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A I 则矩阵1(2)--A I =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当0x >时,曲线1sin y x x=(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210,x y z ++-=则点的坐标是(A)(1,1,2)- (B)(1,1,2)-(C)(1,1,2) (D)(1,1,2)-- (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)11223c y c y y ++ (B)1122123()c y c y c c y +-+(C)1122123(1)c y c y c c y +--- (D)1122123(1)c y c y c c y ++--(4)设函数2(),01,f x x x =≤<而1()sin ,,n n S x b n x x π∞==-∞<<+∞∑其中12()sin ,1,2,3,,n b f x n xdx n π==⎰ 则1()2S -等于(A)12- (B)14-(C)14(D)12(5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)设(2)(,),z f x y g x xy =-+其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂ (2)设曲线积分2()c xy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0,ϕ=计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值.(3)计算三重积分(),x z dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由曲面z =与z =所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数1()arctan 1x f x x+=-展为x 的幂级数.五、(本题满分7分)设0()sin ()(),xf x x x t f t dt =--⎰其中f 为连续函数,求().f x六、（本题满分7分）证明方程0ln exx π=-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根.七、（本题满分6分）问λ为何值时,线性方程组13x x λ+=123422x x x λ++=+ 1236423x x x λ++=+有解,并求出解的一般形式. 八、（本题满分8分）假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明 (1)1λ为1-A 的特征值.(2)λA为A 的伴随矩阵*A 的特征值.九、（本题满分9分）设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件A 的概率()0.5,P A =随机事件B 的概率()0.6P B =及条件概率(|)0.8,P B A =则和事件A B 的概率()P A B =____________.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.(3)若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210x x ξ++=有实根的概率是____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差)的正态分布,而Y 服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)2x t =-+(1)过点(1,21)M -且与直线 34y t =-垂直的平面方程是_____________.1z t =-(2)设a 为非零常数,则lim()x x x a x a→∞+-=_____________.(3)设函数()f x =111x x ≤>,则[()]f f x =_____________.(4)积分2220e y x dx dy -⎰⎰的值等于_____________. (5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 是连续函数,且e ()(),xxF x f t dt -=⎰则()F x '等于(A)e (e )()x x f f x ---- (B)e (e )()x x f f x ---+(C)e (e )()x x f f x ---(D)e (e )()x x f f x --+ (2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n f x 是(A)1![()]n n f x + (B)1[()]n n f x +(C)2[()]n f x(D)2![()]n n f x(3)设a 为常数,则级数21sin()[n na n∞=∑ (A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)收敛性与a 的取值有关 (4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim2,1cos x f x f x→==-则在点0x =处()f x (A)不可导 (B)可导,且(0)0f '≠(C)取得极大值 (D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是(A)1211212()2k k -+++ββααα(B)1211212()2k k ++-+ββααα(C)1211212()2k k -+++ββαββ(D)1211212()2k k ++-+ββαββ三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求120ln(1).(2)x dx x +-⎰(2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂(3)求微分方程244e x y y y -'''++=的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数0(21)n n n x ∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分) 求曲面积分2SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'>七、（本题满分6分）设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C 且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.九、（本题满分8分）质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.2π求变力F对质点P 所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞ 则X 的概率分布函数()F x =____________.(2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -=== 则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设 21cos x t y t=+=,则22d ydx =_____________.(2)由方程xyz +=所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________.(4)已知当0x →时123,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________.(5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A的逆阵1-A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221e 1ex x y --+=-(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)若连续函数()f x 满足关系式20()()ln 2,2tf x f dt π=+⎰则()f x 等于(A)e ln 2x(B)2e ln 2x(C)eln 2x+(D)2eln 2x+(3)已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1n n a ∞=∑等于(A)3 (B)7 (C)8 (D)9 (4)设D 是平面xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于(A)12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B)12D xydxdy ⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D)0(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有(A)=ACB E (B)=CBA E(C)=BAC E (D)=BCA E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求20lim .x π+→(2)设n是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =在点P 处沿方向n的方向导数.(3)22(),x y z dv Ω++⎰⎰⎰其中Ω是由曲线 220yz x ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围城的立体.四、(本题满分6分)过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.六、（本题满分7分）设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dx f =⎰证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '=七、（本题满分8分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β(1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________.(2)随机地向半圆0y a <<为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y =(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数()y y x =由方程e cos()0x y xy ++=确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad Mu=_____________.(3)设()f x =211x-+ 00x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π处收敛于_____________. (4)微分方程tan cos y y x x'+=的通解为y=_____________.(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中0,0,(1,2,,).i i a b i n ≠≠= 则矩阵A的秩()r A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x →时,函数1211e 1x x x ---的极限(A)等于2 (B)等于0(C)为∞ (D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos )(n n a n∞=--∑常数0)a >(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与a 有关(3)在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线(A)只有1条 (B)只有2条(C)至少有3条 (D)不存在(4)设32()3,f x x x x =+则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为(A)[]212- (B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求0x x →(2)设22(e sin ,),x z f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.zx y∂∂∂ (3)设()f x= 21exx -+ 00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰四、(本题满分6分)求微分方程323e x y y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分) 计算曲面积分323232()()(),xaz dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =.六、（本题满分7分）设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+七、（本题满分8分）在变力F yzizxj xyk =++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F所做的功W 最大?并求出W 的最大值.八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问:(1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论. (2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β(1)将β用123,,ξξξ线性表出. (2)求(n n A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A、B 、C 全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }X E X -+=____________. 十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表22()e)t xx dt --∞Φ=.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数1()(2(0)x F x dt x =>⎰的单调减少区间为_____________.(2)2232120x y z +==绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为1(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________. (4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小 (D)低价无穷小(2)双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d πθθ⎰ (B)404cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)2401(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为(A)6π(B)4π(C)3π(D)2π(4)设曲线积分[()e ]sin ()cos xL f t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于(A)e e 2x x--(B)e e 2x x--(C)e e 12x x-+-(D)e e 12x x-+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则(A)6t =时P 的秩必为1 (B)6t =时P的秩必为2(C)6t ≠时P 的秩必为1 (D)6t ≠时P的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求21lim(sin cos ).x x x x→∞+(2)求.x(3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y ==的特解.四、(本题满分6分)计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰ 其中∑是由曲面z =与z =.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.(2)设,b a e >>证明.ba ab >七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞ (1)求X 的数学期望EX 和方差.DX(2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关? (3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)011lim cot ()sin x x xπ→-= _____________.(2)曲面e 23x z xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3)设e sin ,xxu y-=则2u x y ∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________.(4)设区域D为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________. (5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则nA =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M << (B)MP N<<(C)N MP<<(D)P MN<<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,λ>且级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与λ有关 (4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e-→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d = (B)4b d =- (C)4a c = (D)4a c =- (5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)011lim cot ()sin x x xπ→-= _____________.(2)曲面e 23x z xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3)设e sin ,xxu y-=则2u x y ∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________. (4)设区域D为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________. (5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则nA =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M << (B)MP N<<(C)N MP <<(D)P MN<<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (3)设常数0,λ>且级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与λ有关 (4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d = (B)4b d =-(C)4a c = (D)4a c =- (5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组 (A)12233441,,,++++αααααααα线性无关 (B)12233441,,,----αααααααα线性无关 (C)12233441,,,+++-αααααααα线性无关 (D)12233441,,,++--αααααααα线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设 2221cos()cos()tx t y t t udu ==-⎰,求dy dx 、22d y dx在t =的值.(2)将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数.(3)求.sin(2)2sin dxx x+⎰四、(本题满分6分)计算曲面积分2222,Sxdydz z dxdyx y z +++⎰⎰其中S是由曲面222x y R +=及,(0)z R z R R ==->两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分) 设()f x 具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,f f '==且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数,且()lim0,x f x x →=证明级数11()n f n ∞=∑绝对收敛.七、（本题满分6分）已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x +=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +-(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=AA 时,证明0.≠A十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N 且X 与Y 的相关系数1,2xy ρ=-设,32X Y Z =+ (1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差. (2)求X 与Z 的相关系数.xz ρ (3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)2sin 0lim(13)xx x →+=_____________.(2)202cos x d x t dt dx ⎰= _____________.(3)设()2,⨯=a b c 则[()()]()+⨯++a b b c c a =_____________.(4)幂级数2112(3)n n nn nx ∞-=+-∑的收敛半径R=_____________.(5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设有直线:L321021030x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L(A)平行于π (B)在π上(C)垂直于π (D)与π斜交(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是(A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-(B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>(D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的(A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (4)设(1)ln(1n n u =-则级数 (A)1n n u ∞=∑与21nn u ∞=∑都收敛 (B)1n n u ∞=∑与21nn u ∞=∑都发散(C)1n n u ∞=∑收敛,而21nn u ∞=∑发散 (D)1n n u ∞=∑收敛,而21nn u ∞=∑发散(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有(A)12AP P =B (B)21AP P =B (C)12P P A =B (D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,y u f x y z x z y x ϕ===其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数,且0.zϕ∂≠∂求.du dx(2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1(),f x dx A =⎰求110()().x dx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分,zdS ∑⎰⎰其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分.(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33(,),22求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)L xydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,).Q x y七、（本题满分8分）假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====试证:(1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使()().()()f fg g ξξξξ''=''八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥= 则{max(,)0}P X Y ≥=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度为()X f x = e 0x- 00x x ≥<,求随机变量e XY =的概率密度().Y f y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设2lim()8,x x x a x a →∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程22e x y y y '''-+=的通解为_____________. (4)函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于 (A)-1 (B)0(C)1 (D)2 (2)设()f x 具有二阶连续导数,且()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则(A)(0)f 是()f x 的极大值 (B)(0)f 是()f x 的极小值 (C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点(3)设0(1,2,),n a n >= 且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,),2πλ∈则级数21(1)(tan )n n n n a nλ∞=-∑(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)散敛性与λ有关 (4)设有()f x 连续的导数220,(0)0,(0)0,()()(),xf f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与k x 是同阶无穷小,则k 等于(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(5)四阶行列式112233440000000a b a b a b b a 的值等于(A)12341234a a a a b b b b - (B)12341234a a a a b b b b +(C)12123434()()a a b b a a b b -- (D)23231414()()a a b b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数.(2)设1110,1,2,),n x x n +=== 试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z x y x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换 2u x yv x ay =-=+可把方程2222260z z zx x y y∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,zu v∂=∂∂求常数.a五、(本题满分7分) 求级数211(1)2nn n ∞=-∑的和.六、(本题满分7分) 设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y轴上的截距等于01(),x f t dt x⎰求()f x 的一般表达式.。

2013年考研数学一真题及答案解析(全国硕士研究生入学统一考试数学一试题)

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）已知极限0arctan limkx x xc x →-=，其中,c k 为常数，且0c ≠，则（）（A ）12,2k c ==-（B ）12,2k c ==（C ）13,3k c ==-（D ）13,3k c ==（2）曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（）（A ）2x y z -+=- （B ）2x y z ++= （C ）23x y z -+=- （D ）0x y z --=（3）设1()2f x x =-，102()sin (1,2,...)n b f x n xdx n π==⎰，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9(4S -=（）（A ）34 （B ）14（C ）14-（D ）34-（4）设222222221234:1,:2,:22,:22,l x y l x y l x y l x y +=+=+=+=为四条逆时针的平面曲线，记33((2)(1,2,3,4)63ii l y x I y dx x dy i =++-=⎰Ñ，则()i MAX I =( )（A ）1I （B ）2I （C ）3I （D ）3I（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价（D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=（7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量~(),~(1,),X t n Y F n 给定(00.5),a a <<常数c 满足{}P X c a >=,则2{}P Y c >=（）（A ）α （B ）1α-（C ）2α （D ）12α-二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)设函数()f x 由方程(1)x y y x e --=确定，则1lim (()1)n n f n→∞-= ．(10)已知321xx y exe =-，22x x y e xe =-，23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为y = ．(11)设sin sin cos x t y t t t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），则224t d y dx π== ．(12)21ln (1)xdx x +∞=+⎰．（13）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则（14）设随机变量Y 服从参数为1的指数分布,a 为常数且大于零，则{1|}P Y a Y a ≤+>=________。

2013考研数学一真题解析

则｜A｜＝
。
【考点分析】：伴随矩阵。
【求解过程】：-1
从题目条件 aij + Aij = 0 得知 Aij = −aij ，根据 A 和它的伴随矩阵之间的关系得知
A* = −AT （1）
再根据公式 AA* =| A | E = −AAT ，两边取行列式 − | A |2 =| A |3 解得：
| A |= 0 或| A |= -1
得 y(0)=1，因此极限的值为 1.
【方法总结】： lim n[ f ( 1) −1] 为 0* 型的极限，此类极限求法为先将其化作 0 型或者
n→
n
0

型，然后使用洛必达法则，等价无穷小代换或者泰勒公式求得。
10.已知 y1=e3x –xe2x，y2=ex –xe2x，y3= –xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解 y= 。【考点分析】：二阶常系数微分方程求解。
【求解过程】：1− 1 。 e
PY a +1 Y a
dy dx
=
dt dx
=
sin t
+ t cos t cos t
− sin t
=t，
dt
d2y dx2
=
d (dy ) dx dx
=
d(dy ) dx dt
•
dt dx
=
sec t
，带入
t
的值，原式=
2。
【方法总结】：对于参数方程求导和反函数求导的题目，需要掌握求导的过程，特别对于其
中二阶倒数甚至更高阶导数的求法，更需认真对待。
x→ 1+ x
1
= 0 − 0 + 0 − (− ln 2)

历年考研数一真题及答案

历年考研数一真题及答案【篇一：历年考研数学一真题及答案(1987-2013)】ss=txt>数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)?=_____________.(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________.(3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.?121?(4)已知方程组??23a?2???x1??1?x???3??1a?2???2无解,则a= ???????x3????0??_____________.(5)设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为19,a发生b不发生的概率与b发生a不发生的概率相等,则p(a)=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有(a)f(x)g(b)?f(b)g(x)(b)f(x)g(a)?f(a)g(x)(c)f(x)g(x)?f(b)g(b)(d)f(x)g(x)?f(a)g(a)(2)设s:x2?y2?z2?a2(z?0),s1为s在第一卦限中的部分,则有(a)??xds?4s??xdss1(b)??yds?4??xdsss1(c)??zds?4??xdsss1(d)??xyzds?4??xyzdsss1(3)设级数??un收敛,则必收敛的级数为n?1(a)??(?1)nun (b)??u2nn?1nn?1(c)??(u2n?1?u2n)n?1(d)??(un?un?1)n?1(a)e(x)?e(y)(b)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2(c)e(x2)?e(y2) (d)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2三、(本题满分6分) 1求lim(2?exx??4?sinx).1?exx四、(本题满分5分) 设z?f(xy,xy)?g(xy),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求?2z?x?y.五、(本题满分6分) 计算曲线积分i??xdy?ydxl4x2?y2,其中l是以点(1,0)为中心,r为半径的圆周(r?1),取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面s,都有??xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0,其中函数f(x)在s(0,??)内具有连续的一阶导数,且xlim?0?f(x)?1,求f(x).七、(本题满分6分)求幂级数??1xnn?13n?(?2)nn的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为r的球体,p0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到p0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.九、(本题满分6分) 设函数f(x)在[0,?]上连续,且???f(x)dx?0,?0f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.十、(本题满分6分)??1000?000? 设矩阵a的伴随矩阵a*??1??1010??,且?0?308??aba?1?ba?1?3e,其中e为4阶单位矩阵,求矩阵b.十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量??xn?y??. ?n(1)求??xn?1?与??xn?的关系式并写成矩阵形?y?n?1??y?n?式:??xn?1??xn?y??a???. n?1??yn??1??是a的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.?1?(3)当??x1??2?时,求??y?????xn?1??. 1???1??yn?1??2??十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为x,求x的数学期望e(x)和方差d(x).十三、(本题满分6分) 设某种元件的使用寿命x的概率密度为?2e?2(x??)x??f(x;?)??x???0x1,x2,,其中??0为未知参数.又设,xn是x的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:?01?y?1dy?2f(x,y)dx＝_____________. (4)设a2?a?4e?o,则(a?2e)?1= _____________.(5)d(x)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计p{x?e(x)?2}? _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为(a)(b)(c)【篇二：2000年-2016年考研数学一历年真题完整版(word版)】ss=txt>数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)?=_____________.(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________. (3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.1??x1??1??12??????(4)已知方程组23a?2x2?3无解,则a=_____________. ????????1a?2????x3????0??(5)设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为生的概率相等,则p(a)=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有 (a)f(x)g(b)?f(b)g(x) (c)f(x)g(x)?f(b)g(b)(b)f(x)g(a)?f(a)g(x) (d)f(x)g(x)?f(a)g(a)1,a发生b不发生的概率与b发生a不发9(2)设s:x2?y2?z2?a2(z?0),s1为s在第一卦限中的部分,则有 (a)(c) ??xds?4??xdsss1(b)(d)??yds?4??xdsss1ss1??zds?4??xdsss1??xyzds?4??xyzds(3)设级数?un?1?n收敛,则必收敛的级数为u(a)?(?1)nnn?1n?(b)?un?1?2n(c)?(un?1?2n?1?u2n)(d)?(un?1?n?un?1)(5)设二维随机变量(x,y)服从二维正态分布,则随机变量??x?y 与 ??x?y不相关的充分必要条件为(a)e(x)?e(y)(c)e(x2)?e(y2)三、(本题满分6分)(d)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2(b)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2求lim(x??2?e1?e1x4x?sinx). x四、(本题满分5分)xx?2z设z?f(xy,)?g(),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求. yy?x?y五、(本题满分6分)计算曲线积分i?xdy?ydx??l4x2?y2,其中l是以点(1,0)为中心,r为半径的圆周(r?1),取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面s,都有???xsx?0?(f)x?dyd(z)x?2xyfex?dzd0x,f(x)在z(0,d??x)内具有连续的一阶导数dy其中函数,且limf(x)?1,求f(x).七、(本题满分6分)八、(本题满分7分)1xn求幂级数?n的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. n3?(?2)nn?1?设有一半径为r的球体,p0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到p0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数f(x)在[0,?]上连续,且??f(x)dx?0,?f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两?个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.十、(本题满分6分)?10?01*?设矩阵a的伴随矩阵a??10??0?300100?0??,?1?1且aba?ba?3e,其中e为4阶单位矩阵,求0??8?矩阵b.十一、(本题满分8分)1熟练工支援其他生产部62门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工.设第5某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量??xn?1??xn??xn?1??xn?与的关系式并写成矩阵形式:?a???????.?yn?1??yn??yn?1??yn??xn??. ?yn?(1)求??4???1??1??1??1??x1??2??xn?1?(3)当?????时,求??.y1y?1????n?1????2?十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为x,求x的数学期望e(x)和方差d(x).十三、(本题满分6分)?2e?2(x??)x??设某种元件的使用寿命x的概率密度为f(x;?)??,其中??0为未知参数.又设x???0x1,x2,?,xn是x的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)= _____________.(3)交换二次积分的积分次序:?0?1dy?1?y2f(x,y)dx＝_____________.2(4)设a?a?4e?o,则(a?2e)?1= _____________.(5)d(x)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计p{x?e(x)?2}?_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为(a) (b)(c) (d)(2)设f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且fx?(0,0)?3,fy?(0,0)?1则(a)dz|(0,0)?3dx?dy(b)曲面z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}(c)曲线z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}y?0z?f(x,y)(d)曲线在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}y?0(3)设f(0)?0则f(x)在x=0处可导?f(1?cosh)(a)lim存在2h?0h(c)limh?0f(1?eh)(b) lim存在h?0h(d)limh?0f(h?sinh)存在h2111111111??4??1?0,b???01???1??00000000f(2h)?f(h)存在h?1?(4)设a??1?1??10??0?,则a与b 0??0?(a)合同且相似 (c)不合同但相似(b)合同但不相似 (d)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n次,以x和y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则x和y相关系数为(a) -1 (c)(b)0 (d)11 2三、(本题满分6分)arctanex. 求?e2x四、(本题满分6分)【篇三：历年考研数学一真题及答案(1987-2015)】1987-2014 （经典珍藏版）1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值.(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.1?x(3)与两直线y??1?tz?2?t及x?1y?2z?11?1?1都平行且过原点的平面方程为_____________.(4)设l为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分??l(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy= _____________.(5)已知三维向量空间的基底为此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分) 求正的常数a与b,使等式lim1x2x?0bx?sinx?0?1成立.三、(本题满分7分)1(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求?u?x,?v?x. (2)设矩阵a和b满足关系式ab=a?2b,其中?301?a???110?,求矩阵 ?4?b.?01??四、(本题满分8分)求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设limf(x)?f(a)x?a(x?a)2??1,则在x?a处(a)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (b)f(x)取得极大值(c)f(x)取得极小值 (d)f(x)的导数不存在 (2)设f(x)为已知连续函数s,i?t?t0f(tx)dx,其中t?0,s?0,则i的值(a)依赖于s和t (b)依赖于s、t和x(c)依赖于t、x,不依赖于s (d)依赖于s,不依赖于t (3)设常数?k?0,则级数?(?1)nk?nn2n?1(a)发散(b)绝对收敛2(c)条件收敛(d)散敛性与k的取值有关(4)设a为n阶方阵，且a的行列式|a|?a?0,而a*六、（本题满分10分）求幂级数?a1n?1的收敛域，并求其和函数. xnn?2n?1?是a的伴随矩阵，则|a*|等于(a)a (b)1 (c)an?1七、（本题满分10分）求曲面积分i???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,?(d)an??z?1?y?3f(x)?其中?是由曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?. ?2x?0??八、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.九、（本题满分8分）3问a,b为何值时,现线性方程组?x2?x3?x4?02?2x3?2x4?1x2?(a?3)x3?2x4?bx1?2x2?x3?ax4?? 1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则a至少发生一次的概率为____________;而事件a至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量____________.4x的概率密度函数为f(x)??x2?2x?1,则x的数学期望为____________,x的方差为十一、（本题满分6分）设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为fx(x)?10?x?1,fy(y)? y?0,求z?2x?y的概率密度函数.?y其它y?05。

考研数一真题2013

考研数一真题20132013年的考研数学一真题涵盖了多个知识点和难度级别，本文将按照真题的顺序逐一分析解答。

首先，我们来看第一道选择题。

选择题1：已知数列{an}的通项公式为an = (-1)^(n-1)*(2n-1)，n∈N+。

则数列{a1+a2+...+an}的和为（）。

A. -nB. -2nC. 2nD. n解析：针对这道题，我们需要根据给定的通项公式求出前n项的和。

可以通过观察数列的规律得出：a1 = -1a1 + a2 = -1 + 3 = 2a1 + a2 + a3 = -1 + 3 - 5 = -3...可以总结出，前n项的和为(-1)^(n-1)*(2n-1)。

因此，正确答案为C选项。

接下来，我们来看第二道选择题。

选择题2：设函数f(x) = x^2 - 2ax - a + 2，g(x) = x + a - 2的图像分别为C₁，C₂，则下列结论错误的是（）。

A. 对任意实数a，C₁与C₂有两个交点。

B. 对任意实数a，C₁与C₂有一个交点。

C. 当a = -1时，C₁与C₂没有交点。

D. 当a = 0时，C₁与C₂没有交点。

解析：要回答这道题，我们需要根据给定的函数来分析两个图像的交点情况。

首先，我们求解f(x) = g(x)的解。

将f(x)和g(x)代入等式中得到：x^2 - 2ax - a + 2 = x + a - 2整理可得：x^2 - 2ax - 2x = -2a - a + 4x^2 - (2a + 2)x + 3a + 4 = 0根据二次方程的求根公式，我们可以求出x的解。

当判别式为0时，代表两个图像有且仅有一个交点，当判别式大于0时，代表两个图像有两个交点，当判别式小于0时，代表两个图像没有交点。

因此，当判别式大于0时，选择A项和B项是正确的，当判别式小于0时，选择C项和D项是正确的。

而这道题要求我们选择错误的结论，因此，正确答案为C选项。

接下来，我们来看第三道选择题。

2013-15年考研数学一、二、三答案

2013年考研数学一真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．已知c xxx k x =-→arctan lim0，则下列正确的是（A ）21,2-==c k （B ）21,2==c k（C ）31,3-==c k （D ）31,3==c k【分析】这是0型未定式，使用洛必达则即可．或者熟记常见无穷小的马克劳林公式则可快速解答．【详解1】c kx x kx x x x x x k x k x kx ==+=--→-→→12012200lim 1lim arctan lim ，所以k ，c k 121==-，即31,3==c k ．【详解2】因为)(31arctan 33x o x x x +-=，显然331arctan x x x =-，当然有31,3==c k ．应该选（Ｄ） 2．曲面0)cos(2=+++x yz xy x 在点)1,1,0(-的切平面方程为（A ）2-=+-z y x （B ）0=++z y x （C ）32-=+-z y x （D ）0=--z y x【分析】此题考查的是空间曲面在点),,(000z y x M 处的法向量及切平面的方程．其中法向量为()),,(000|,,z y x z y x F F F =．【详解】设x yz xy x z y x F +++=)cos(),,(2，则在点点)1,1,0(-处())1,1,1(|,,000,,(-==z y x z y x F F F ，从而切平面方程为0)1()1()0(=++---z y x ，即2-=+-z y x ．应该选（Ａ）３．设21)(-=x x f ，),2,1(d sin )(210 ==⎰n x x n x f b n π，令∑∞==1sin )(n n x n b x S π，则=⎪⎭⎫⎝⎛-49S（Ａ）43 （Ｂ）41 （Ｃ）41- （Ｄ）43【分析】此题考查的是傅立叶级数的收敛性．【详解】由条件可知，∑∞=1sin n n x n b π为21)(-=x x f 的正弦级数，所以应先把函数进行奇延拓，由收敛定理可知∑∞==1sin )(n nx n b x S π也是周期为２的奇函数，故41414141)49(-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-f S S S ，应选（Ｃ）．４．设1:221=+y x L ，2:222=+y x L ，22:223=+y x L ，22:224=+y x L 为四条逆时针方向的平面曲线，记)4,3,2,1(32633=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰i dy x x dx y y I i L i ，则{}=4321,,,max I I I I （Ａ）1I （Ｂ）2I （Ｃ）3I （Ｄ）4I 【分析】此题考查的是梅林公式和二重积分的计算．【详解】由格林公式，⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=i i i D i D L i dxdy y x D S dxdy y x dy x x dx y y I 2)(21326222233． .8343)(43)2(403202222222222R dr r d dxdy y x dxdy y x R R y x R y x πθπ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+ 所以πππ85831=-=I ，248322πππ=⋅-=I ；在椭圆D ：12222≤+by a x 上，二重积分最好使用广义极坐标计算：πθθθθθθθπππ4)2(cos 4)2(sin 2cos 4sin 21cos )2(222022220222210222222201222222b a ab d ba ab b a ab abrdrr b r a d dxdy y x b y ax +=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+故ππ82523-=I ，πππ222224=-=I ．显然π224=I 最大．故应选（Ｄ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设函数)(x f y =由方程)1(y x e x y -=-确定，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛∞→11lim n f n n ．【详解】当0=x 时，1)0(==f y ，利用隐函数求导法则知1)0('=f ．1)0('1)0(1lim 11lim ==-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞→f nf n f n f n n n ． 10．已知x x x x x xe y xe e y xe e y 2322231,,-=-=-=是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则该方程的通解为．【详解】显然x e y y 331=-和x e y y =-32是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为x x x xe e C e C y 2231-+=，其中21,C C 为任意常数．11．设⎩⎨⎧+==t t t y t x cos sin sin t 为参数，则==422|πt dx y d ．【详解】t dx dy tdt t dy tdt dx ===,cos ,cos ，t t dxy d sec cos 122==，所以2|422==πt dx yd ．12．=+⎰∞+x d x x12)1(ln ．【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 三、解答题15．（本题满分10分）计算⎰10)(dx xx f ，其中⎰+=x dt t t x f 1)1ln()(．【分析】被积函数中含有变上限积分，所以应该用分部积分法．【详解】π282ln 414|)1ln(4)1ln(4)1ln(2|)(2)(2)(1010110101010-+-=+++-=+-=+-==⎰⎰⎰⎰⎰dx xxx x x d x dx x x x x f x x d x f dx xx f16．（本题满分10分）设数列{}n a 满足条件：)2(0)1(,1,3110≥=--==-n a n n a a a n n ，)(x S 是幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数．（1）证明：0)()(=-''x S x S ；（2）求)(x S 的表达式．【详解】（1）证明：由幂级数和函数的分析性质可知，;)(100∑∑∞=∞=+==n n n n nn x a a x a x S∑∑∑∑∑∞=+∞=+∞=-∞=∞=++=+==+==1110111100)1()1()'()'()('n n n n nn n n n n nn n nn x a n a x a n xna x a a x a x S ；∑∑∑∞=+∞=-+∞=+++=+=++=''02111111)2)(1()1()')1(()('n n n n n n n nn x a n n xa n n x a n a x S ，由条件可得n n a a n n =+++2)2)(1(，所以)()2)(1()('02x S x a x a n n x S n nn n nn ==++=''∑∑∞=∞=+，也就有0)()(=-''x S x S ．（2）解：由于,)(100∑∑∞=∞=+==n n n n nn x a a xa x S 所以3)0(0==a S∑∞=+++=111)1()('n n n x a n a x S ，所以1)0('1==a S ，解微分方程1)0(',3)0(,0)()(===-''S S x S x S ，可得x x e e x S 2)(+=-． 17．（本题满分10分）求函数yx e x y y x f +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3),(3的极值．18．（本题满分10分）设奇函数)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ；（2）存在)1,1(-∈η，使得1)()(='+''ηηf f ．【详解】证明：（1）由于)(x f 为奇函数，则0)0(=f ，由于)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在)1,0(∈ξ，使得101)0()1()('=--=f f f ξ．（2）由于)(x f 为奇函数，则)('x f 为偶函数，由（1）可知存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ，且()1'=-ξf ，令)1)('()(-=x f e x x ϕ，由条件显然可知)(x ϕ在[]1,1-上可导，且0)()(==-ξϕξϕ，由罗尔定理可知，存在)1,1(),(-⊂-∈ξξη，使得(),0'=ηϕ即1)()(='+''ηηf f ． 19．（本题满分10分）设直线L 过,)0,0,1(A )1,1,0(B 两点，过L 绕Z 轴旋转一周得到曲面∑，曲面∑与平面2,0==z z 所围成的立体为Ω．（1）求曲面∑的方程；（2）求立体Ω的质心坐标．【详解】（1）直线L 的对称式方程为1111zy x ==--，设),,(z y x M 为曲面∑上的任意一点，并且其对应于直线L 上的点为),,(0000z y x M ，由于过L 绕Z 轴旋转一周得到曲面∑，所以有如下式子成立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--+=+=11110002202200z y x y x y x z z ，整理可得，122222+-=+z z y x ，这就是曲面∑的方程．（2）设Ω的质心坐标为()z y x ,,，由对称性，显然0,0==y x ，57310314)122()22(2220231222012220222222==+-+-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-≤++-≤+ΩΩππππdz z z dz z z z dxdy zdzdxdy dzdvzdv z z z y x z z y x ，所以Ω的质心坐标为()⎪⎭⎫ ⎝⎛=57,0,0,,z y x ．2013年考研数学二真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．设2)(),(sin 1cos παα<=-x x x x ，当0→x 时，()x α （）（A ）比x 高阶的无穷小（B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价无穷小（D ）与x 等价无穷小【详解】显然当0→x 时)(~21~)(sin ,21~)(sin 1cos 2x x x x x x x ααα--=-，故应该选（C ）． 2．已知()x f y =是由方程()1ln cos =+-x y xy 确定，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛∞→12lim n f n n （）（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 【分析】本题考查的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义．【详解】将0=x 代入方程得1)0(==f y ，在方程两边求导，得01')')(sin(=+-+-yy xy y xy ，代入1,0==y x ，知1)0(')0('==f y ．2)0('22)0()2(lim 212lim ==-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞→f nf n f n f n n n ，故应该选（A ）．３．设⎩⎨⎧∈∈=]2,[,2),0[,sin )(πππx x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(则（）（Ａ）π=x 为)(x F 的跳跃间断点．（Ｂ）π=x 为)(x F 的可去间断点．（Ｃ）)(x F 在π=x 连续但不可导．（Ｄ）)(x F 在π=x 可导．【详解】只要注意π=x 是函数)(x f 的跳跃间断点，则应该是⎰=x dt t f x F 0)()(连续点，但不可导．应选（Ｃ）．４．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-=+-e x xx e x x x f ,ln 11,)1(1)(11αα，且反常积分()dx x f ⎰∞+收敛，则（）（A ）2-<α （B ）2>a （C ）02<<-a （D ）20<<α 【详解】⎰⎰⎰∞++-∞++-=e e dx xx x dx dx x f 1111ln 1)1()(αα，其中⎰⎰---=-10111)1(e e t dt x dxαα当且仅当11<-α时才收敛；而第二个反常积分x x dx xx x eαξαααln lim 11|ln 1ln 111+∞→∞+-∞++-=-=⎰，当且仅当0>a 才收敛．从而仅当20<<α时，反常积分()dx x f ⎰∞+才收敛，故应选（Ｄ）．５．设函数()xy f x y z =，其中f 可微，则=∂∂+∂∂yz x z y x （）（A ）)('2xy yf （B ）)('2xy yf -（C ）)(2xy f x （D ）)(2xy f x- 【详解】)('2)(')(1)(')(22xy yf xy yf xy f xxy f x y xy f x y y x y z x z y x =++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂+∂∂．应该选（A ）． 6．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk kk D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9． =⎪⎭⎫⎝⎛+-→xx x x 10)1ln(2lim ．【详解】21)(21(lim)1ln(lim 101022202)1ln(1lim )1ln(2lim e eex x x x x x x o x x x xx x xx xx x x ===⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--+-→→→→．10．设函数dt e x f x t ⎰--=11)(，则)(x f y =的反函数)(1y f x -=在0=y 处的导数==0|y dydx．【详解】由反函数的求导法则可知11011|1|--==-==e dxdy dy dx x y ．11．设封闭曲线L 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-=663cos πθπθr t 为参数，则L 所围成的平面图形的面积为．【详解】12cos 313cos 2121202662662πθθθπππππ====⎰⎰⎰--dt t d d r A所以．答案为12π．12．曲线上⎪⎩⎪⎨⎧+==21ln arctan ty tx 对应于1=t 处的法线方程为．【详解】当1=t 时，2ln 21,4==y x π，1|111|'1221=++===t t t t ty ，所以法线方程为 )4(12ln 21π--=-x y ，也就是042ln 21=--+πx y ．13．已知x x x x x xe y xe e y xe e y 2322231,,-=-=-=是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足1)0(',0)0(==y y 方程的解为．【详解】显然x e y y 331=-和x e y y =-32是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为x x x xe e C e C y 2231-+=，其中21,C C 为任意常数．把初始条件代入可得1,121-==C C ，所以答案为x x x xe e e y 23--= 三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,．【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式．【详解】当0→x 时，)(211cos 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，所以2,7==n a ．16．（本题满分10分）设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x 轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值．【详解】由微元法可知πππ35320253a dx x dx y V a ax ===⎰⎰；πππ37340762)(2a dx x dx x xf V a ay ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ．17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰Ddxdy x 2．【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx xx D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）设奇函数)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ；（2）存在)1,1(-∈η，使得1)()(='+''ηηf f ．【详解】证明：（1）由于)(x f 为奇函数，则0)0(=f ，由于)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在)1,0(∈ξ，使得101)0()1()('=--=f f f ξ．（2）由于)(x f 为奇函数，则)('x f 为偶函数，由（1）可知存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ，且()1'=-ξf ，令)1)('()(-=x f e x x ϕ，由条件显然可知)(x ϕ在[]1,1-上可导，且0)()(==-ξϕξϕ，由罗尔定理可知，存在)1,1(),(-⊂-∈ξξη，使得(),0'=ηϕ即1)()(='+''ηηf f ． 19．（本题满分10分）求曲线)0,0(133≥≥=+-y x y xy x 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．【分析】考查的二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法．【详解】构造函数)1(),(3322-+-++=y xy x y x y x L λ令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=-+=∂∂=-+=∂∂10)3(20)3(23322y xy x x y y y Ly x x x L λλ，得唯一驻点1,1==y x ，即)1,1(1M ．考虑边界上的点，)0,1(),1,0(32M M ；距离函数22),(y x y x f +=在三点的取值分别为1)0,1(,1)1,0(,2)1,1(===f f f ，所以最长距离为2，最短距离为1．20．（本题满分11）设函数xx x f 1ln )(+=⑴求)(x f 的最小值；⑵设数列{}n x 满足11ln 1<++n n x x ，证明极限n n x ∞→lim 存在，并求此极限．【详解】（1）22111)('xx x x x f -=-=，令0)('=x f ，得唯驻点1=x ，当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，函数单调递减；当),1(∞∈x 时，0)('>x f ，函数单调递增．所以函数在1=x 处取得最小值1)1(=f ．（2）证明：由于11ln 1<++n n x x ，但11ln ≥+nn x x ，所以n n x x 111<+，故数列{}n x 单调递增．又由于11ln ln 1<+≤+n n n x x x ，得到e x n <<0，数列{}n x 有界．由单调有界收敛定理可知极限n n x ∞→lim 存在．令a x n n =∞→lim ，则11ln 1ln lim 1≤+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→a a x x n n n ，由（1）的结论可知1lim ==∞→a x n n ．21．（本题满分11）设曲线L 的方程为)1(ln 21412e x x x y ≤≤-=．（1）求L 的弧长．（2）设D 是由曲线L ，直线e x x ==,1及x 轴所围成的平面图形，求D 的形心的横坐标．【详解】（1）曲线的弧微分为dx xx dx x x dx y dx )1(211411'12+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=，所以弧长为41)1(2121+=+==⎰⎰e dx x x ds s e ．（2）设形心坐标为()y x ,，则)7(4)32(31271632324324ln 214101ln 21410122---=---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--e e e e e e dy dx dy xdx dxdy xdxdyx x x x x eD D．2013年考研数学三真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（A ）)()(32x o x o x =⋅ （B ）)()()(32x o x o x o = （C ）)()()(222x o x o x o =+ （D ）)()()(22x o x o x o =+【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2332x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是)(2x o 故应该选（D ）． 2．函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x ex xx xln ~11ln -=-，1ln ln limln )1(1lim)(lim 0==+-=→→→x x x x x x x x x f x xx x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点．21ln 2ln limln )1(1lim)(lim 011==+-=→→→xx xx xx x x x f x xx x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→xx x x xx x x x f x x x x ln )1(ln limln )1(1lim)(lim 111，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的可去间断点．故应该选（C ）．３．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk kk D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）．４．设{}n a 为正项数列，则下列选择项正确的是（）（A ）若1+>n n a a ，则∑∞=--11)1(n n n a 收敛；（B ）若∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则1+>n n a a ；（C ）若∑∞=1n na收敛．则存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在；（D ）若存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在，则∑∞=1n na收敛．【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A ）（B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A ），但少一条件0lim =∞→n n a ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B ）也不正确，反例自己去构造．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设曲线)(x f y =和x x y -=2在点()0,1处有切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ．【详解】由条件可知()1)1(',01==f f ．所以2)1('22222)1(221lim 2lim -=-=-+⋅+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→f nn n f n f n n nf n n 10．设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x=+确定，则=∂∂)2,1(|xz．【详解】设()xy y z z y x F x-+=)(,,，则()1)(),,(,)ln()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ，当2,1==y x 时，0=z ，所以2ln 22|)2,1(-=∂∂xz． 11．=+⎰∞+x d x x12)1(ln ．【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 12．微分方程041=+'-''y y y 的通解为．【详解】方程的特征方程为041=+-λλr，两个特征根分别为2121==λλ，所以方程通解为221)(xe x C C y +=，其中21,C C 为任意常数．三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,．【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式．【详解】当0→x 时，)(211cos 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，所以2,7==n a ．16．（本题满分10分）设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x 轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值．【详解】由微元法可知πππ35032253a dx x dx y V a a x ===⎰⎰；πππ370340762)(2a dx x dx x xf V a a y ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ． 17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰D dxdy x 2．【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx x x D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为,100060QP -=（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义．（3）使得利润最大的定价P ．【详解】（1）设利润为y ，则6000100040)206000(2--=+-=Q Q Q PQ y ，边际利润为.50040'Q y -= （2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20．（3）令0'=y ，得.40100002000060,20000=-==P Q19．（本题满分10分）设函数()x f 在),0[+∞上可导，()00=f ，且2)(lim =+∞→x f x ，证明（1）存在0>a ，使得();1=a f（2）对（1）中的a ，存在),0(a ∈ξ，使得af 1)('=ξ．【详解】证明（1）由于2)(lim =+∞→x f x ，所以存在0>X ，当X x >时，有25)(23<<x f ，又由于()x f 在),0[+∞上连续，且()00=f ，由介值定理，存在0>a ，使得();1=a f （2）函数()x f 在],0[a 上可导，由拉格朗日中值定理，存在),0(a ∈ξ，使得aa f a f f 1)0()()('=-=ξ．2014年考研数学一真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin+= 2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21x x ,及常数10≤≤λ，恒有())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，则曲线是凸的．显然此题中x x x ===λ,,1021，则=+-)()()(211x f x f λλ)()())((x g x f x f =+-110，而())()(x f x x f =+-211λλ，故当0≤'')(x f 时，曲线是凸的，即())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，也就是)()(x g x f ≥，应该选（C ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≤'')(x f 时，曲线是凸的，从而010==≥)()()(F F x F ，即0≥-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≥，应该选（C ）３．设)(x f 是连续函数，则=⎰⎰---y y dy y x f dy 11102),(（Ａ）⎰⎰⎰⎰---+210011010x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),(（Ｂ）⎰⎰⎰⎰----+010111012x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),((Ｃ）⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020dr r r f d dr r r f d（Ｄ）⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020rdr r r f d rdr r r f d【分析】此题考查二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图．【详解】积分区域如图所示如果换成直角坐标则应该是⎰⎰⎰⎰---+xx dy y x f dx dy y x f dx 10101012),(),(，（A ），（B ）两个选择项都不正确；如果换成极坐标则为⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020rdr r r f d rdr r r f d ．应该选（D ）４．若函数{}⎰⎰-∈---=--ππππdx x b x a x dx x b x a x Rb a 2211)sin cos (min)sin cos (,，则=+x b x a s in c o s 11（Ａ）x sin 2 （Ｂ）x cos 2 （Ｃ）x sin π2 （Ｄ）x cos π2 【详解】注意3232πππ=⎰-dx x ，222πππππ==⎰⎰--dx x dx x sin cos ，0==⎰⎰--dx x x dx x x ππππsin cos cos ， πππ2=⎰-dx x x sin ，所以b b a dx x b x a x πππππ42322232-++=--⎰-)()sin cos ( 所以就相当于求函数b b a 422-+的极小值点，显然可知当20==b a ,时取得最小值，所以应该选（A ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．曲面)sin ()sin (x y y x z -+-=1122在点),,(101处的切平面方程为．【详解】曲面)sin ()sin (x y y x z -+-=1122在点),,(101处的法向量为()),,(|,,),,(1121101--=-y x z z ，所以切平面方程为0110112=--+--+-))(())(()(z y x ，即012=---z y x ．10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=⎰2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ．11．微分方程0=-+)ln (ln 'y x y xy 满足31e y =)(的解为．【详解】方程的标准形式为x y x y dx dy ln =，这是一个齐次型方程，设xyu =，得到通解为1+=Cx xe y ，将初始条件31e y =)(代入可得特解为12+=x xey ．12．设L 是柱面122=+y x 和平面0=+z y 的交线，从z 轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分⎰=+Lydz zdx ．【详解】由斯托克斯公式⎰⎰⎰∑∂∂∂∂∂∂=++RQ P z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx L 可知π===+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑xyD Ldxdy dxdy dzdx dydz ydz zdx ．其中⎩⎨⎧≤+=+∑1022y x z y :取上侧，{}122≤+=y x y x D xy |),(．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t x x dtt e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）设函数)(x f y =由方程06223=+++y x xy y 确定，求)(x f 的极值．【详解】解：在方程两边同时对x 求导一次，得到0223222=++++)(')(xy y y x xy y ，（１）即222232xxy y xyy dx dy ++--=, 令0=dx dy 及06223=+++y x xy y ，得到函数唯一驻点21-==y x ,．在（１）式两边同时对x 求导一次，得到（022*******=+++++++y y x xy y y x xy y yy ")(')''(把0121=-==)(',,y y x 代入，得到0941>=)("y ，所以函数)(x f y =在1=x 处取得极小值2-=y ． 17．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足xx e y e z yz x z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u x cos =，则)cos ()(y e f u f z x ==，y e u f y e u f xze uf xzx x y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z x x xcos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； xx x e y e f e u f yz x z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件xx e y e z yz x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂，可知 u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u ue C eC u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*．故非齐次方程通解为u e C e C u f u u 412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,．所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 18．（本题满分10分）设曲面)(:122≤+=∑z y x z 的上侧，计算曲面积分：dxdy z dzdx y dydz x )()()(11133-+-+-⎰⎰∑【详解】设⎩⎨⎧≤+=∑11221y x z :取下侧，记由1∑∑,所围立体为Ω，则高斯公式可得 123322222221120(1)(1)(1)(3(1)3(1)1)(33766)(337)(37)4rx dydz y dzdx z dxdy x y dxdydzx y x y dxdydz x y dxdydzd rdr r dz πθπ∑+∑ΩΩΩ-+-+-=--+-+=-++--=-++=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰在⎩⎨⎧≤+=∑11221y x z :取下侧上，0111111133=-=-+-+-⎰⎰⎰⎰∑∑dxdy dxdy z dzdx y dydz x )()()()(，所以dxdy z dzdx y dydz x )()()(11133-+-+-⎰⎰∑=π4111133-=-+-+-⎰⎰∑+∑dxdy z dzdx y dydz x )()()( 19．（本题满分10分）设数列{}{}n n b a ,满足2020ππ<<<<n n b a ,，n n n b a a cos cos =-且级数∑∞=1n nb收敛．（1）证明0=∞→n n a lim ；证明级数∑∞=1n nnb a 收敛．【详解】（1）证明：由n n n b a a cos cos =-，及2020ππ<<<<n n b a ,可得20π<-=<n n n b a a cos cos ，所以20π<<<n n b a ，由于级数∑∞=1n nb收敛，所以级数∑∞=1n na也收敛，由收敛的必要条件可得0=∞→n n a lim ．（2）证明：由于2020ππ<<<<n n b a ,，所以2222nn n n n n n n a b a b b a b a -≤-+≤+sin ,sin2sinsin cos cos 22n n n n n n nn nn a b b aa ab b b b +--==222222222n n n nn n n n n n n a b b a b a b b b b b +--≤=<=由于级数∑∞=1n n b 收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数∑∞=1n nnb a 收敛． 2014年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210 2．下列曲线有渐近线的是（）（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin+= 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（）（Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22xx ξlim（）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21（Ｄ）316．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂yx u及02222=∂∂+∂∂y ux u ，则（）．（A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．⎰∞-=++12521dx x x ．10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．11．设),(y x z z =是由方程4722=+++z y x e yz 确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ．12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为． 13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．16．（本题满分10分）已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 17．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy y x y x x )sin(22π 18．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足xx e y e z yz x z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明：（2） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分）设函数[]101,,)(∈+=x xxx f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞→lim ．21．（本题满分11分）已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积．2014年考研数学三真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．设0≠=∞→a a n n lim ，则当n 充分大时，下列正确的有（）（A ）2a a n >（B ）2a a n <（C ）n a a n 1-> (D)na a n 1+< 【详解】因为0≠=∞→a a n n lim ，所以0>∀ε，N ∃，当N n >时，有ε<-a a n ，即εε+<<-a a a n ，εε+≤<-a a a n ，取2a =ε，则知2a a n >，所以选择（A ）2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin += 【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以．【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim且01==-∞→∞→xx y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设32dx cx bx a x P +++=)(，则当0→x 时，若x x P tan )(-是比3x 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（）（A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）61=d 【详解】只要熟练记忆当0→x 时)(tan 3331x o x x x ++=，显然31010====d c b a ,,,，应该选（D ） 4．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21x x ,及常数10≤≤λ，恒有())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，则曲线是凸的．显然此题中x x x ===λ,,1021，则=+-)()()(211x f x f λλ)()())((x g x f x f =+-110，而())()(x f x x f =+-211λλ，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，即())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≤+-，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设某商品的需求函数为p Q 240-=（p 为商品的价格），则该商品的边际收益为．【详解】2240p p pQ p R -==)(，边际收益p p R 440-=)('．10．设D 是由曲线01=+xy 与直线0=+y x 及2=y 所围成的有界区域，则D 的面积为．【详解】22112101ln +=+=⎰⎰⎰⎰--yydx dy dx dy S 11．设412=⎰ax dx xe ，则=a ．【详解】411241244120202+-=-==⎰)(|)(a e x e dx xe a ax ax ．所以.21=a12．二次积分=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰dx e xe dy y y x 11022．【详解】)()(12111010101010100110101102222222222-==+-=--=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dy ye dy e edy y e dy x ex d dx e dy dy x e dx dx e x e dy y y y dxx xy x x y y x y y x三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t x x dtt e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy y x y x x )sin(22π 【详解】由对称性可得432112121212022222222-==+=+++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D D D Ddr r r d dxd y x dxdy y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππsin )sin()sin()()sin()sin(17．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足xx e y e z yz x z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u xcos =，则)cos ()(y e f u f z x==，y e u f y e u f xz e u f xzxx y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z xx x cos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； x x x e y e f e u f yzx z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂由条件x x e y e z yzx z 222224)cos (+=∂∂+∂∂，可知u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*．故非齐次方程通解为u e C eC u f u u412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,．所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 18．（本题满分10分）求幂级数∑∞=++031n nxn n ))((的收敛域、和函数．【详解】由于11=+∞→nn n a a lim，所以得到收敛半径1=R ．当1±=x 时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为()11,-．令和函数)(x S =∑∞=++031n nxn n ))((，则3211121112131111234)('"'")())(()()(x xx x x x x x x n x n n x n n x S n n n n n nn nn n--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++=++=∑∑∑∑∑∞=+∞=+∞=∞=∞=19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明：（3） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；。

2013年全国硕士研究生入学考试数学一真题答案及解析

1 a 1 2 0 0 【解析】设 A a b a ，B 0 b 0 ，因为 A与 B 为实对称矩阵， 1 a 1 0 0 0
则 A与B 相似的充要条件是 A 的特征值分别为 2,b, 0 ，
1
A的特征方程 E-A a 1
1 /2 1 2 2 1 1 /2 2 1 3 2 sin d r dr 2 2 4 cos d sin d 0 0 0 0 2 0 4 2 0 4 1!! 1 1 1!! 1 11 . 2 2 4 4 2 2!! 2 4 2 2!! 2 4 2 8 8
/2 1 1 cos 2 d sin 2 d 0 4 4
I 3 I 4 故应选 (D). .
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2013年考研真题
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（5）设 A, B, C 均为 n 阶矩阵，若 AB C ，且 B 可逆，则（）. （A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价. （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价. （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价. （D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价. 【答案】B. 【解析】将 A, C 按列分块，若 A=(1 ,..., n ),C=( 1 ,..., n ) 由于 AB C ，故
a
1

a
1
b
a
a 0 b a 1 0 2a 2
[( b)( 2) 2a 2 ]
因为 0， 2,b 是 A 的特征值，所以 2a 0，即a 0 .
2
当a 0时

2013年考研数学一真题及答案

2013年考研数学一真题及答案2013年考研数学一真题及答案2013年考研数学一真题是考研数学考试中的一道难题，对于考生来说是一个重要的参考资料。

本文将对2013年考研数学一真题及答案进行分析和解读，帮助考生更好地理解和掌握这道题目。

首先，我们来看一下2013年考研数学一真题的具体内容。

这道题目是一道概率题，涉及到随机变量的概念和性质。

题目要求考生计算一个随机变量的期望和方差，以及给出一个概率的近似估计。

在解答这道题目时，我们首先需要理解随机变量的概念和性质。

随机变量是一个数值的函数，它的取值是由一个随机事件的结果决定的。

在这道题目中，随机变量X表示一个随机事件的结果，我们需要计算X的期望和方差。

计算随机变量的期望和方差是概率论的基本操作。

期望是随机变量的平均值，可以看作是随机变量的中心位置。

方差是随机变量离其期望值的平均偏离程度的平方根，可以看作是随机变量的离散程度。

在解答这道题目时，我们可以利用随机变量的定义和性质，结合概率的计算方法，进行计算。

首先，我们需要计算随机变量的期望。

根据随机变量的期望的定义，我们可以将随机变量的取值和对应的概率相乘，然后将所有的乘积相加，即可得到期望的值。

接下来，我们需要计算随机变量的方差。

根据随机变量的方差的定义，我们需要计算每个取值与期望的差的平方，然后将所有的平方相加，再乘以对应的概率，即可得到方差的值。

最后，题目还要求给出一个概率的近似估计。

在概率的近似估计中，我们可以利用大数定律和中心极限定理进行计算。

大数定律指出，随着试验次数的增加，样本平均值会趋近于总体平均值。

中心极限定理指出，随机变量的和在一定条件下会近似服从正态分布。

在解答这道题目时，我们可以利用大数定律和中心极限定理，进行概率的近似估计。

首先，我们需要进行多次试验，计算每次试验的结果。

然后，我们将每次试验的结果相加，再除以试验次数，即可得到概率的近似估计。

综上所述，2013年考研数学一真题是一道概率题，涉及到随机变量的期望和方差的计算，以及概率的近似估计。

(2013考研必备)考研数学一历年真题(1987-2012年)-文字版无水印免积分

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：C【解析】：221lim 1x x x x ®+=¥-，所以1x =为垂直的22lim 11x x xx ®¥+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线故两条选C（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---L ，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n ---（B ）(1)(1)!nn --（C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!nn - 【答案】：C 【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---L L L L 所以'(0)f =1(1)!n n --（3）如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（）（A ）若极限00(,)lim x y f x y x y ®®+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（B ）若极限2200(,)limx y f x y x y ®®+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限0(,)limx y f x y x y ®®+存在（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限2200(,)limx y f x y x y®®+存在【答案】：【解析】：由于(,)f x y 在()0,0处连续，可知如果22(,)limx y f x y x y®®+存在，则必有00(0,0)lim (,)0x y f f x y ®®==这样，2200(,)limx y f x y x y ®®+就可以写成2200(,)(0,0)lim x y f x y f x y D ®D ®D D -D +D ，也即极限220(,)(0,0)limx y f x y f x y D ®D ®D D -D +D 存在，可知lim 0x y D ®D ®=，也即(,)(0,0)00f x y f x y oD D -=D +D +。

2013年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解【圣才出品】

j ．
又T
1 n n i1
X2 i 1
n
n
X
2 i
2
i 1
i 1
X
i
X
j
，故
ET
2 2
22
2 ．
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．
sin
kx
,
x
0
f (x) 3x
9．设函数
e3x cos 3x, x 0 在 x＝0 处连续，则常数 k＝
．
积为
．
【答案】 2 2
【解析】由题意知，平面图形的面积
S
sin x cos x dx
0
4 (cos x sin x)dx
0
(sin x cos x)dx 2 4
2
12．设函数
z
1 exy
2y
,则
z y
(1, 1)
．
1 【答案】 e2 2
z 【解析】由题意知， y
ex y (ex y
3．曲线 y f (x) 如图所示，函数 f (x) 具有连续的 2 阶导数，且 f (a) 1，则积分
a x f (x)dx
0
（）．
A．a－b
B．b－a
C．a＋b
D．ab
【答案】C
【解析】由上图可知 f 0 b, f a 0 ，则
a xf '' (x)dx 0
a 0
xd
f
' (x)
0
【解析】
2
2
00
2
20 1 0
3 3 0
0 3 0
0033 0 0 33
4 0 4 4 4 4

历年考研数一真题及答案

2000年-2013年考研数学一历年真题

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)⎰=_____________.(2)曲面2222321xy z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________.(3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.(4)已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有( )(A)()()()()f x g b f b g x >(B)()()()()f x g a f a g x >(C)()()()()f x g x f b g b >(D)()()()()f x g x f a g a >(2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有( )(A)14SS xdS xdS =⎰⎰⎰⎰(B)14SS ydS xdS =⎰⎰⎰⎰(C)14SS zdS xdS =⎰⎰⎰⎰(D)14SS xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰(3)设级数1nn u∞=∑收敛,则必收敛的级数为( )(A)1(1)nnn un ∞=-∑ (B)21nn u∞=∑(C)2121()n n n uu ∞-=-∑(D)11()nn n uu ∞+=+∑(4)设n 维列向量组1,,()m m n <ααL 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββL 线性无关的充分必要条件为( )(A)向量组1,,m ααL 可由向量组1,,m ββL 线性表示 (B)向量组1,,m ββL可由向量组1,,m ααL 线性表示(C)向量组1,,m ααL 与向量组1,,m ββL 等价(D)矩阵1(,,)m =AααL 与矩阵1(,,)m =B ββL 等价(5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Yξ=+与X Y η=-不相关的充分必要条件为( )(A)()()E X E Y =(B)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-(C)22()()E X E Y =(D)2222()[()]()[()]E XE X E Y E Y +=+三、(本题满分6分)求142e sin lim().1exx xxx→∞+++四、(本题满分5分)设(,)()x xz f xy g y y=+,其中f具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求2.zx y∂∂∂五、(本题满分6分)计算曲线积分224L xdy ydx Ix y -=+⎰Ñ,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1),R>取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有2()()e 0,xSxf x dydz xyf x dzdx zdxdy --=⎰⎰Ò其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数,且0lim ()1,x f x +→=求()f x .七、(本题满分6分)求幂级数113(2)nnnn x n ∞=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比(比例常数0k>),求球体的重心位置.九、(本题满分6分) 设函数()f x 在[0,]π上连续,且0()0,()cos 0.f x dx f x xdx ππ==⎰⎰试证:在(0,)π内至少存在两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==十、(本题满分6分)设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,10100308⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭(1)求11n n x y ++⎛⎫⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A(2)验证1241,11-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.(3)当111212x y ⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭时,求11.n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X,求X 的数学期望()E X 和方差()D X .十三、(本题满分6分)设某种元件的使用寿命X的概率密度为2()2e (;)0x x f x x θθθθ-->⎧=⎨≤⎩,其中0θ>为未知参数.又设12,,,n x x x L 是X的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设e (sin cos )(,x y a x b x a b =+为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)222z y x r++=,则(1,2,2)div(grad )r -= _____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设24+-=A A E O ,则1(2)--A E = _____________.(5)()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(A)(B)(C)(D)(2)设),(y x f 在点(0,0)的附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f 则(A)(0,0)|3dz dx dy =+ (B)曲面),(y x f z=在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1} (C)曲线(,)z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}(D)曲线(,)z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}(3)设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导⇔(A)20(1cos )limh f h h →-存在(B)(1e )limhh f h→-存在(C)2(sin )limh f h h h →-存在(D)hh f h f h )()2(lim-→存在(4)设1111400011110000,11110000111100⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B ,则A 与B (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似(D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 相关系数为 (A) -1(B)0(C)12(D)1三、(本题满分6分)求2arctan e exxdx ⎰.四、(本题满分6分) 设函数),(y x f z =在点(1,1)可微,且3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x f f f ,)),(,()(x x f x f x =ϕ,求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设()f x =21arctan 010x x x xx +≠=,将)(x f 展开成x的幂级数,并求∑∞=--1241)1(n n n的和.六、(本题满分7分) 计算222222()(2)(3)LI y z dx z x dy x y dz=-+-+-⎰Ñ,其中L是平面2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分) 设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f .证明:(1)对于)1,0()0,1(Y -∈∀x ,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立.(2)5.0)(lim 0=→x x θ.八、(本题满分8分) 设有一高度为tt h )((为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、(本题满分6分) 设12,,,s αααL为线性方程组=AX O 的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβααL ,其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββL 也为=AX O 的一个基础解系?十、(本题满分8分) 已知三阶矩阵A和三维向量x,使得2,,A A x x x线性无关,且满足3232=-A A A x x x .(1)记2(,,),=PA A x x x 求B 使1-=A PBP .(2)计算行列式+A E .十一、(本题满分7分) 设某班车起点站上客人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<且中途下车与否相互独立.Y 为中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率. (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分) 设2~(,)X N μσ抽取简单随机样本122,,,(2),n X X X n ≥K样本均值∑==ni i X n X 2121,∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(,求().E Y2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)⎰∞+exx dx2ln = _____________.(2)已知2e 610yxy x ++-=,则(0)y ''=_____________.(3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________. (4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.(5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续,③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在.则有:(A)②⇒③⇒① (B)③⇒②⇒① (C)③⇒④⇒①(D)③⇒①⇒④(2)设0≠nu ,且1lim=∞→n n u n ,则级数)11()1(11+++-∑n n n u u 为(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x(B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x(D) 当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d zc y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数(C))(x F X＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D) )(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分) 设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.四、(本题满分7分)已知两曲线)(x f y =与2arctan 0e x t y dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(limnnf n ∞→.五、(本题满分7分)计算二重积分22max{,}e xy Ddxdy⎰⎰,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分) 设函数)(x f 在R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线,起点为(b a ,),终点为(d c ,).记dy xy f y yxdx xy f y y I]1)([)](1[1222-++=⎰,(1)证明曲线积分I 与路径L 无关. (2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分) (1)验证函数∑∞==03)!3()(n nn x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e x y y y '''++=. (2)求幂级数∑∞==03)!3()(n nn x x y 的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy 面,其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D 的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分) 已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分) 设维随机变量X的概率密度为()f x =1cos 0220 xx x≤≤其它对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分) 设总体的概率分布为其中θ(12θ<<)是未知参数,利用总体X的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1))1ln(102)(cos lim x x x +→ = .(2)曲面22y x z +=与平面42=-+z y x 平行的切平面的方程是 .(3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx a xn n ,则2a = .(4)从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为 .(5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =60x 01x y ≤≤≤其它,则=≤+}1{Y X P .(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n nb a <对任意n 成立(B)n n c b <对任意n 成立(C)极限n n n c a ∞→lim 不存在(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在(3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ,则(A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点(B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点(C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点(4)设向量组I:12,,,r αααL 可由向量组II:12,,,s βββL 线性表示,则(A)当s r <时,向量组II 必线性相关 (B)当s r >时,向量组II 必线性相关(C)当s r <时,向量组I 必线性相关(D)当s r>时,向量组I 必线性相关(5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题:① 若0x=A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解③ 若0x=A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解以上命题中正确的是 (A)①②(B)①③(C)②④(D)③④(6)设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>,则(A)2~()Y n χ(B)2~(1)Yn χ-(C)~(,1)Y F n(D)~(1,)Y F n三、(本题满分10分) 过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D .(1)求D 的面积A .(2)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V.四、(本题满分12分) 将函数x xx f 2121arctan)(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.五、(本题满分10分)已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界.试证:(1)sin sin sin sin ee e e yx y x LLx dy y dx x dy y dx ---=-⎰⎰蜒.(2)sin sin 2e e 2.y x Lx dy y dx π--≥⎰Ñ六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r<<.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.)七、(本题满分12分) 设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八、(本题满分12分) 设函数()f x 连续且恒大于零,⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ,⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ,其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九、(本题满分10分)设矩阵322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ,:2l 032=++a cy bx , :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++cb a十一、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、(本题满分8分) 设总体X的概率密度为()f x =2()2e 0x θ-- 0x x θ>≤ 其中0>θ是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本n X X X ,,,21Λ,记).,,,min(ˆ21nX X X Λ=θ (1)求总体X 的分布函数()F x .(2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ. (3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ .(2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B=__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===0302sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,,(B)βγα,, (C)γαβ,,(D)αγβ,,(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少(C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f >(D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n na为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim=0,则级数∑∞=1n na 收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim,则级数∑∞=1n na 发散(C)若级数∑∞=1n na 收敛,则0lim2=∞→n n a n(D)若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于(A)2(2)f(B)(2)f(C)(2)f -(D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关(B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关(D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu(B)21α-u(C)21α-u(D)α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n Λ独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni iX n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ=(B)21Cov(,)X Y σ=(C)212)(σnn Y X D +=+(D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分) 设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()e b a b a ->-. (16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时) (17)(本题满分12分) 计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分) 设有方程10nxnx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1α>时,级数1nn x α∞=∑收敛.(19)(本题满分12分) 设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L L L L L试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化.(22)(本题满分9分) 设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分) 设总体X的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121Λ>β为来自总体X的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量.(2)β的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程x x yy x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________. (3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ρ,则)3,2,1(nu ∂∂=.________.(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1Λ中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有(A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数(B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数(C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数(D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数(9)设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有(A)2222yu x u ∂∂-=∂∂(B)2222yux u ∂∂=∂∂(C)222y uy x u ∂∂=∂∂∂(D)222xuy x u ∂∂=∂∂∂(10)设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y =(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ(B)02≠λ(C)01=λ(D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B(B)交换*A 的第1行与第2行得*B(C)交换*A 的第1列与第2列得*-B(D)交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件}0{=X与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b ==(B)0.4,0.1a b ==(C)0.3,0.2a b ==(D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X X n Λ为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X为样本均值,2S 为样本方差,则(A))1,0(~N X n(B)22~()nSn χ(C))1(~)1(--n t SXn(D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分11分) 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22(16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n nn x n n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分) 已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明:(1)存在),1,0(∈ξ使得ξξ-=1)(f .(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f(19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydyx yφ++⎰Ñ的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx y φ+=+⎰Ñ.(2)求函数)(y ϕ的表达式. (20)(本题满分9分) 已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.(1)求a 的值； (2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解. (21)(本题满分9分) 已知3阶矩阵A的第一行是cb ac b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =1001,02x y x<<<<其它求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X .(2)Y X Z-=2的概率密度).(z f Z(23)(本题满分9分) 设)2(,,,21>n X X X n Λ为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i iΛ=-=求:(1)i Y 的方差n iDY i ,,2,1,Λ=.(2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)0ln(1)lim 1cos x x x x→+=-. (2)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .(3)设∑是锥面z =(01z ≤≤)的下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = .(5)设矩阵2112⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2=+BA B E ,则B= .(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<(8)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A)(,)xf x y dy ⎰⎰(B)(,)dx f x y dy ⎰⎰(C)(,)yf x y dx ⎰⎰(C)(,)dy f x y dx ⎰⎰(9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a ∞=∑收敛 (B)1(1)n n n a ∞=-∑收敛(C)11n n n a a∞+=∑收敛 (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛 (10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=(B)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠(C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=(D)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠(11)设12,,,,s αααL 均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A)若12,,,,s αααL 线性相关,则12,,,,s A αA αA αL 线性相关(B)若12,,,,s αααL线性相关,则12,,,,s A αA αA αL 线性无关(C)若12,,,,s αααL 线性无关,则12,,,,s A αA αA αL 线性相关 (D)若12,,,,s αααL线性无关,则12,,,,s A αA αA αL 线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则(A)1-=C PAP(B)1-=C PAP(C)T=C P AP(D)T=C PAP(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有(A)()()P A B P A >U(B)()()P A B P B >U (C)()()P A B P A =U(D)()()P A B P B =U(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则(A)12σσ<(B)12σσ>(C)12μμ<(D)12μμ>三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=(){}22,1,0x y xy x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.(16)(本题满分12分) 设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==.求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之.(2)计算211lim nx n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.(17)(本题满分12分) 将函数()22x f x x x =+-展开成x 的幂级数.(18)(本题满分12分) 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220z zx y ∂∂+=∂∂. (1)验证()()0f u f u u'''+=.(2)若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式.(19)(本题满分12分) 设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t >都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰Ñ.(20)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A .(2)求,a b 的值及方程组的通解. (21)(本题满分9分) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TT=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解.(1)求A 的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T=Q AQ A .(22)(本题满分9分)随机变量x 的概率密度为()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(1)求Y 的概率密度()Y f y .(2)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分9分)设总体X 的概率密度为(,0)F X = 10θθ- 0112x x <<≤<其它,其中θ是未知参数(01)θ<<,12n,...,X X X 为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数,求θ的最大似然估计.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当0x +→时,与x 等价的无穷小量是(A)1e x-(B)ln1x-(C)11x +-(D)1cos x -(2)曲线1ln(1e )x y x=++,渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2(D)3(3)如图,连续函数()y f x =在区间[3,2],[2,3]--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[2,0],[0,2]-的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设()()xF x f t dt =⎰.则下列结论正确的是(A)3(3)(2)4F F =--(B)5(3)(2)4F F =(C)3(3)(2)4F F =(D)5(3)(2)4F F =-- (4)设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是(A)若0()limx f x x →存在,则(0)0f =(B)若0()()limx f x f x x→+- 存在,则(0)0f = (C)若0()lim x f x x → 存在,则(0)0f '=(D)若0()()limx f x f x x→-- 存在,则(0)0f '= (5)设函数()f x 在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()0f x >, 令()1,2,,,n u f n n ==L 则下列结论正确的是(A)若12u u >,则{n u }必收敛(B)若12u u >,则{n u }必发散(C)若12u u <,则{n u }必收敛(D)若12u u <,则{n u }必发散(6)设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点,N Γ为L 上从点M 到N 的一段弧,则下列小于零的是(A)(,)x y dx Γ⎰(B)(,)f x y dy Γ⎰(C)(,)f x y ds Γ⎰(D)'(,)'(,)x y f x y dx f x y dy Γ+⎰(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A),,122331---αααααα(B),,122331+++αααααα(C)1223312,2,2---αααααα(D)1223312,2,2+++αααααα(8)设矩阵211121112--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,100010000⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ,则A 与B(A)合同,且相似 (B)合同,但不相似 (C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为()01p p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)23(1)p p -(B)26(1)p p -(C)223(1)pp -(D)226(1)pp -(10)设随即变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,()X f x ,()Y f y 分别表示,X Y 的概率密度,则在Yy =的条件下,X的条件概率密度|(|)XYf x y 为(A)()X f x(B)()Y f y(C)()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上)(11)31211e x dx x⎰=_______. (12)设(,)f u v 为二元可微函数,(,)y x z f x y =,则zx∂∂=______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32e xy y y -+=的通解为y =____________.(14)设曲面:||||||1x y z ++=∑,则(||)x y ds ∑+⎰⎰Ò=_____________.(15)设矩阵0100001000010000⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ,则3A 的秩为________.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(17)(本题满分11分) 求函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)|4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值.(18)(本题满分10分) 计算曲面积分23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑=++⎰⎰其中∑为曲面221(01)4yz x z =--≤≤的上侧. (19)(本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值,()(),()()f a g a f b g b ==,证明:存在(,)a b ξ∈,使得 ()()f g ξξ''''=.(20)(本题满分10分) 设幂级数nn n a x∞=∑ 在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--===(1)证明:22,1,2,.1n n a a n n +==+L (2)求()y x 的表达式.(21)(本题满分11分)设线性方程组1231232123020,40x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 与方程12321,x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解.(22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征向量值12311,2, 2.(1,1,1)T λλλ===-=-α是A 的属于特征值1λ的一个特征向量,记534,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵.(1)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B . (23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他 (1)求{2}.P X Y >(2)求Z X Y =+的概率密度. (24)(本题满分11分)设总体X的概率密度为1,021(;),12(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他12,,n X X X L 是来自总体x 的简单随机样本,X是样本均值(1)求参数θ的矩估计量ˆθ. (2)判断24X 是否为2θ的无偏估计量,并说明理由.。

2013年考研数学真题及参考答案(数学一)

⑻ 设随机变量 X t ( n) ，Y F (1, n) ，给定 (0 0.5) ，常数 c 满足 P X c ，则P Y c

2
（
）
（A）（B） 1 （C） 2 （D） 1 2 二、填空题：9～14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．． ⑼ 设函数 y f ( x) 由方程 y x e ⑽ 已知 y1 e
x3 x y )e 的极值. 3
z 0 ， z 2 所围成的立体为 . （Ⅰ）求曲面的方程；（Ⅱ）求的形心坐标.
（20）（本题满分 11 分）设A
1 a 0 1 ，B ，当 a, b 为何值时，存在矩阵 C 使得 AC CA B ，并 1 0 1 b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1 x 2
Di
y2 )dxdy . 2
2
1 2 1 y 0 x2 y 2 1 ，所以被积函数在 2 2 1 1 D1 : x 2 y 2 1 内，恒有 f ( x, y ) 0 ；且 x 2 y 2 1 时，有 f ( x, y ) 0 2 2

(0,1, 1)
{1, 1,1} ,
于是切平面方程为 x ( y 1) ( z 1) 0 ，故应选（Ａ）. ⑶ 应选（C）．【分析】本题考查傅里叶级数的收敛定理.先将函数延拓成 ( 1,1) 上的奇函数 F ( x) .对
9 F ( x) 使用傅里叶级数的收敛定理(狄里赫雷定理)得到 S ( ) 的值. 4
（D） a 2, b 为任意常数
N (0,1) ， X 2
N (0, 22 ) , X 3

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2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. （1）已知极限0arctan lim
k
x x x
c x →-=，其中,c k 为常数，且0c ≠，则（）
（A ）1
2,2k c ==-
（B ）1
2,2k c ==
（C ）1
3,3k c ==-
（D ）1
3,3
k c ==
（2）曲面2
cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（）（A ）2x y z -+=- （B ）2x y z ++= （C ）23x y z -+=- （D ）0x y z --=
（3）设1()2f x x =-，102()sin (1,2,...)n b f x n xdx n π==⎰，令1
()sin n n S x b n x π∞==∑，则9
()4S -=（）
（A ）
3
4 （B ）14
（C ）1
4-
（D ）3
4
-
（4）设22222222
1234:1,:2,:22,:22,l x y l x y l x y l x y +=+=+=+=为四条逆时针的平面曲线，记
33
()(2)(1,2,3,4)63i
i l y x I y dx x dy i =++-=⎰，则()i MAX I =( )
（A ）1I （B ）2I （C ）3I （D ）3I
（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价（D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价
（6）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
⎝
⎭相似的充分必要条件为
（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a
（D ）为任意常数b a ,2=
（7）设123X X X ，，是随机变量，且22
123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,
{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（）
（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>
（8）设随机变量~(),~(1,),X t n Y F n 给定(00.5),a a <<常数c 满足{}P X c a >=,则2
{}P Y c >=（）（A ）α （B ）1α- （C ）2α （D ）12α-
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)设函数()f x 由方程(1)
x y y x e
--=确定，则1
lim (()1)n n f n
→∞
-= ．
(10)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23x
y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该
方程的通解为y = ．
(11)设sin sin cos x t y t t t
=⎧⎨=+⎩（t 为参数），则22
4
t d y dx π=
= ．
(12)
2
1
ln (1)x
dx x +∞
=+⎰
．
（13）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若
ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则
（14）设随机变量Y 服从参数为1的指数分布,a 为常数且大于零，则{1|}P Y a Y a ≤+>=________。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）计算
1
,⎰
其中1ln(1)()x t f x dt t +=⎰
（16）（本题满分10分）
设数列{}n a 满足条件：0123,1,(1)0(2),n n a a a n n a n -==--=≥()S x 是幂级数0
n
n n a x
∞
=∑的和函数，
（I ）证明：()()0S x S x ''-=, （II ）
求()S x 的表达式.
（17）（本题满分10分）
求函数3(,)()3
x y
x f x y y e +=+的极值.
（18）（本题满分10分）
设奇函数()f x 在[-1,1]上具有2阶导数，且(1)1,f =证明：（I ）存在(0,1),'()1f ξξ∈=使得
（II ）
存在()1,1η∈-，使得''()'()1f f ηη+=
（19）（本题满分10分）
设直线L 过(1,0,0),(0,1,1)A B 两点，将L 绕Z 轴旋转一周得到曲面,∑∑与平面0,2z z ==所围成的立体为Ω，（I ）
求曲面∑的方程
（II ）求Ω的形心坐标.
（20）（本题满分11分）设101,101a A B b ⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有矩阵C 。

（21）（本题满分11分）
设二次型()()()22123112233112233,,2f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记112233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

（I ）证明二次型f 对应的矩阵为2T T
ααββ+；
（II ）若,αβ正交且均为单位向量，证明二次型f 在正交变化下的标准形为二次型22
122y y +。

（22）（本题满分11分）
设随机变量的概率密度为2
103()4
x
x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，令随机变量21
1212x Y x x x ≤⎧⎪
=<<⎨⎪≥⎩
,
（I ）求Y 的分布函数（II ）求概率{}P X Y ≤ （23）（本题满分11分）
设总体X 的概率密度为()23,0,
0,.x e x f x x θ
θ-⎧>⎪=⎨⎪⎩
其它其中θ为未知参数且大于零，12,N X X X ，为来自总体
X 的简单随机样本.
（1）求θ的矩估计量；
（2）求θ的最大似然估计量.。