相对论性量子力学简介狄拉克方程
量子力学中的狄拉克方程研究
量子力学中的狄拉克方程研究狄拉克方程是量子力学中的一项重要成果，由英国物理学家狄拉克（Paul Dirac）于1928年提出。
该方程描述了粒子行为，特别是描述了自旋为1/2的粒子，如电子，以及反粒子。
1. 狄拉克方程的提出狄拉克方程的提出源于对经典相对论性方程与量子力学的融合的努力。
根据相对论性量子力学的原理，狄拉克试图找到一个既符合相对论性原理又解释电子自旋性质的方程。
经过数年的努力，他终于成功地推导出了狄拉克方程。
2. 狄拉克方程的形式与意义狄拉克方程的形式为：(γμPμ - mc)ψ = 0其中，Pμ是四维动量算符，m是粒子质量，c是光速。
γμ是一组4×4矩阵，也称为狄拉克矩阵。
狄拉克方程的解ψ是一个具有四个复分量的四分量旋量。
方程中的狄拉克矩阵γμ是与方程解ψ相关的算符。
狄拉克方程描述了电子和正电子（反电子）的行为，并成功地预言了反电子的存在。
3. 狄拉克方程的物理意义狄拉克方程的提出对量子力学理论的发展和应用产生了深远的影响。
它不仅解释了自旋为1/2的粒子的行为，还成功地预言了反粒子的存在。
狄拉克方程揭示出自旋粒子的波函数不仅包含了波函数本身的信息，还包含了粒子的能量、动量、自旋等物理性质的信息。
这使得狄拉克方程成为量子力学中不可或缺的一部分。
4. 狄拉克方程的应用狄拉克方程的应用涉及到许多领域。
例如，在粒子物理学中，狄拉克方程被用于描述带电粒子，如电子、质子等的行为。
在核物理学中，狄拉克方程被用于研究原子核、中子、质子等微观粒子。
此外，狄拉克方程还在量子场论的研究中发挥着重要的作用。
它被广泛运用在相对论性量子场论理论中，如量子电动力学（QED）等。
5. 狄拉克方程的发展与挑战尽管狄拉克方程在描述粒子行为方面取得了巨大成功，但它也引发了一些困扰和挑战。
例如，负能解和空穴解等解释上的困惑，以及与相对论的统一等方面的挑战。
狄拉克方程的发展仍然是一个活跃的研究领域，物理学家们在不断深入研究中不断改善和完善狄拉克方程的理论框架，以更好地解释粒子行为。
狄拉克方程
狄拉克方程1928年英国物理学家狄拉克（Paul Adrien MauriceDirac）提出了一个电子运动的相对论性量子力学方程，即狄拉克方程。
利用这个方程研究氢原子能级分布时，考虑有自旋角动量的电子作高速运动时的相对论性效应，给出了氢原子能级的精细结构，与实验符合得很好。
从这个方程还可自动导出电子的自旋量子数应为1/2，以及电子自旋磁矩与自旋角动量之比的朗德g因子为轨道角动量情形时朗德g因子的2倍。
电子的这些性质都是过去从分析实验结果中总结出来的，并没有理论的来源和解释。
狄拉克方程却自动地导出这些重要基本性质，是理论上的重大进展。
1概念自然单位制下的狄拉克方程为了避免克莱因－高顿方程中概率不守恒的问题，狄拉克在假设方程关于时间与空间的微分呈一次关系后得出了有名的狄拉克方程。
但该方程仍无法避免得出负能量解的问题。
2应用既然实验已充分验证了狄拉克方程的正确，人们自然期望利用狄拉克方程预言新的物理现象。
按照狄拉克方程给出的结果，电子除了有能量取正值的状态外，还有能量取负值的状态，并且所有正能状态和负能状态的分布对能量为零的点是完全对称的。
自由电子最低的正能态是一个静止电子的状态，其能量值是一个电子的静止能量，其他的正能态的能量比一个电子的静止能量要高，并且可以连续地增加到无穷。
与此同时，自由电子最高的负能态的能量值是一个电子静止能量的负值，其他的负能态的能量比这个能量要低，并且可以连续地降低到负无穷。
这个结果表明：如果有一个电子处于某个正能状态，则任意小的外来扰动都有可能促使它跳到某个负能状态而释放出能量。
同时由于负能状态的分布包含延伸到负无穷的连续谱，这个释放能量的跃迁过程可以一直持续不断地继续下去，这样任何一个电子都可以不断地释放能量，成为永动机，这在物理上显然是完全不合理的。
3空穴理论针对这个矛盾，1930年狄拉克提出一个理论，被称为空穴理论。
最多只能容纳一个电子，物理上的真空状态实际上是所有负能态都已填满电子，同时正能态中没有电子的状态。
狄拉克量子力学
狄拉克量子力学，也称为相对论量子力学或狄拉克方程，是由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年提出的一种描述自旋1/2粒子的量子力学理论。
它结合了量子力学和相对论的原理，成功地描述了电子的行为。
狄拉克方程是一种描述自旋1/2粒子的量子场方程，比如电子。
与薛定谔方程不同，狄拉克方程是在相对论性框架下推导出来的，并且能够准确描述高速运动的粒子。
狄拉克方程引入了电子的自旋，自旋描述了电子在空间中的方向性质。
狄拉克方程预测了自旋的两个可能取值，分别对应电子的两种自旋态。
狄拉克方程的推导是基于相对论性的洛伦兹不变性要求，并且采用四分量的旋量形式。
这种方程的解可以用来描述电子的波动性质，包括它们的能量、角动量、自旋等。
狄拉克量子力学为量子场论和粒子物理的发展奠定了基础，它在解释物质的微观行为和基本粒子之间的相互作用等方面做出了重要贡献。
它是现代粒子物理学的重要组成部分，也是核物理和凝聚态物理等领域研究的基础。
量子力学中的相对论性量子力学与Dirac方程
量子力学中的相对论性量子力学与Dirac方程相对论性量子力学是一种将相对论和量子力学结合的理论框架，用于描述高速运动的微观粒子。
相对论性量子力学的基础是Dirac方程，该方程由英国物理学家Paul Dirac于1928年提出。
Dirac方程的提出在量子力学的发展中起到了重要的作用，它不仅解决了克莱因-高登方程在描述高速粒子时存在的问题，还预言了反物质的存在。
相对论性量子力学是狭义相对论和量子力学的统一描述。
根据狭义相对论，粒子的动能不再是经典力学中的动能，而是动量和质量的函数。
Dirac方程通过引入四分量波函数来描述自旋1/2的粒子，如电子。
这种四分量波函数包含了自旋的自由度和空间位置的自由度，可以用来描述粒子的相对论性行为。
Dirac方程可以写作：(iγμ∂_μ-mc/ħ)ψ=0其中，i是虚数单位，γμ是一组4x4矩阵，描述自旋的自由度，∂_μ是四维导数算符，m是粒子的质量，c是光速，ħ是约化普朗克常数。
这个方程描述了电子在空间和时间中的行为，并且可以推导出电子的能谱和波函数。
Dirac方程的一个重要结果是预言了反物质的存在。
根据该方程，存在负能态的解，这些解被解释为反粒子。
Dirac方程的解释启发了物理学家发展了量子场论，进一步统一了相对论和量子力学。
除了预言反物质的存在，Dirac方程还解决了克莱因-高登方程在描述高速粒子时的问题。
克莱因-高登方程是描述自旋1/2粒子的无质量粒子的方程，但在描述质量非零的粒子时存在负能态的问题。
Dirac方程通过引入具有四个分量的波函数，解决了这个问题，并且提供了一种描述自旋1/2粒子的方便方法。
Dirac方程的发展对量子力学和粒子物理学的发展做出了重要贡献。
它改变了人们对粒子行为的认识，推动了相对论性量子力学和量子场论的发展。
Dirac方程的建立标志着相对论性量子力学的诞生，它为解释微观世界的行为提供了强有力的工具。
总结起来，量子力学中的相对论性量子力学与Dirac方程是一种将相对论和量子力学相结合的理论框架，用于描述高速运动的微观粒子。
量子力学中的狄拉克方程与相对论性粒子
量子力学中的狄拉克方程与相对论性粒子量子力学是研究微观世界的一门学科，而狄拉克方程则是量子力学在相对论性粒子上的应用。
狄拉克方程由英国物理学家狄拉克（Paul Dirac）于1928年发表，对描述自旋为1/2的粒子提供了一个较为准确的数学模型。
狄拉克方程结合了爱因斯坦的相对论与薛定谔的波动力学，主要用于描述高能粒子的运动情况。
本文将介绍狄拉克方程的基本原理以及它在相对论性粒子中的应用。
狄拉克方程的基本原理狄拉克方程是由爱因斯坦的相对论理论与薛定谔的量子力学理论相结合得出的。
根据相对论的基本原理，质量为m的粒子的能量与动量之间的关系为：E^2 = m^2c^4 + p^2c^2其中，E代表能量，p代表动量，c代表光速。
而根据薛定谔的波动力学理论，物质粒子的运动可以用波动函数ψ来描述，且满足薛定谔方程：Hψ = iħ∂ψ/∂t其中，H为哈密顿算符，ħ为约化普朗克常数，t为时间。
为了描述自旋为1/2的粒子，狄拉克引入了一个新的四分量波函数Ψ = [ψ1, ψ2, ψ3, ψ4]，并用一个四维矢量表示动量p = [mc^2, px, py, pz]。
根据以上的基本原理，狄拉克方程可以表示为：(iγ^μ∂_μ - mc)Ψ = 0其中，γ^μ是4×4的矩阵，∂_μ是四维导数算符，c为光速。
通过求解狄拉克方程，可以得到粒子的波函数Ψ及其能谱。
相对论性粒子中的狄拉克方程应用狄拉克方程的引入主要是为了解决施蜥缺点，使其能适用于相对论性情况下的粒子。
相对论性粒子的能量高，速度接近光速，因此需要用相对论性的理论进行描述。
狄拉克方程的解可以提供相对论性粒子的波函数及其对应的能谱。
狄拉克方程的解不仅给出了相对论性粒子的波函数，还预言了反粒子的存在。
根据狄拉克方程，对于正能量解E > 0，可以得到四个解，分别对应电子、正电子、正电子中微子和电子中微子。
其中，正电子是电子的反粒子，正电子中微子是电子中微子的反粒子。
狄拉克方程的推导与解析
狄拉克方程的推导与解析狄拉克方程是描述自旋1/2粒子运动的方程，由英国物理学家狄拉克于1928年提出。
它是量子力学中的重要基础方程，对于描述电子、质子等粒子的运动具有重要意义。
本文将对狄拉克方程的推导和解析进行探讨。
狄拉克方程的推导始于对相对论性的薛定谔方程的修正。
相对论性薛定谔方程是根据爱因斯坦的相对论原理推导出来的，但是它只适用于自旋为0的粒子。
狄拉克希望能够得到适用于自旋为1/2的粒子的方程，于是他尝试了一种新的方法。
狄拉克的思路是将薛定谔方程中的波函数扩展为一个四分量的波函数，即一个二维的波函数和一个二维的自旋函数的乘积。
这样，狄拉克方程中的波函数就具有了自旋的信息。
为了得到这个四分量的波函数满足的方程，狄拉克引入了四个矩阵，称为狄拉克矩阵。
这四个矩阵分别是泡利矩阵和单位矩阵的张量积。
通过引入这些矩阵，狄拉克方程可以写成一个形式简洁的形式。
接下来，我们来推导狄拉克方程。
首先，我们假设四分量的波函数可以写成一个形如：\[\psi(x,t) = \begin{pmatrix} \psi_1(x,t) \\ \psi_2(x,t) \\ \psi_3(x,t) \\ \psi_4(x,t)\end{pmatrix}\]的列向量。
其中，\(\psi_1(x,t)\)和\(\psi_2(x,t)\)表示粒子在位置x和时间t的概率幅，\(\psi_3(x,t)\)和\(\psi_4(x,t)\)表示自旋向上和向下的概率幅。
然后，我们可以得到狄拉克方程的形式为：\[(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\psi(x,t) = 0\]其中，\(\gamma^{\mu}\)是四个狄拉克矩阵的线性组合，\(\partial_{\mu}\)是四维导数算符，m是粒子的质量。
狄拉克方程的解析解是一个非常复杂的问题，但是我们可以通过一些近似方法来得到一些近似解。
例如，我们可以使用平面波的形式来表示波函数：\[\psi(x,t) = u(p)e^{-ip\cdot x}\]其中，u(p)是一个四分量的自旋函数，它的形式可以通过狄拉克方程来确定。
狄拉克方程与相对论量子力学
狄拉克方程与相对论量子力学在现代物理学中，狄拉克方程是一项具有重要意义的理论成果，它是描述带电粒子行为的一个方程。
狄拉克方程是在二十世纪二十年代由英国物理学家保罗·狄拉克提出的，他为此曾获得了1933年的诺贝尔奖。
狄拉克方程的提出，开辟了相对论量子力学的新篇章。
在相对论量子力学之前，量子力学和狭义相对论是分开研究的两个物理学分支。
量子力学基于薛定谔方程，用来描述微观粒子的运动和性质。
而相对论则是爱因斯坦关于光速不变原理的理论框架，用来描述高速运动和引力场中的物体。
然而，当物体速度接近光速时，狭义相对性和量子力学之间的理论异同就变得明显了。
狭义相对论的洛伦兹变换将时间和空间纳入统一框架，而量子力学中的薛定谔方程却无法适应这一框架。
为了解决这个问题，狄拉克提出了狄拉克方程。
狄拉克方程是一个基于相对论的扩展薛定谔方程，它将时间和空间重新定义，引入了四分量波函数。
这个方程描述了自旋1/2的粒子，如电子和正电子的行为。
狄拉克方程的突破在于将相对论和量子力学结合起来，成功地描述了高速运动中的粒子特性。
狄拉克方程的形式非常复杂，但它包含了一些重要的物理概念。
首先，狄拉克方程引入了负能态，即存在能量小于零的解。
这一现象被解释为存在一个无限大的负能量海，粒子从其中被激发到正能级。
这也说明了狄拉克方程成功地预言了反物质的存在，并将其视作正能态被填满的一种可能性。
其次，狄拉克方程提供了一种自旋的几何解释。
传统的量子力学中，自旋只是一个抽象的概念，而在狄拉克方程中，自旋可以用矩阵来表示，从而与空间的几何关系联系在一起。
这为后来的量子场论提供了重要的理论基础。
此外，狄拉克方程还解决了电子速度超过光速的困惑。
根据相对论的理论，任何质量大于零的物体都无法达到光速。
然而，在狄拉克方程中，电子的速度可以超过光速，这是因为他们具有不为零的自旋。
狄拉克方程开启了许多新的研究领域，如量子电动力学、量子场论等。
它的出现极大地推动了粒子物理学的发展。
相对论性量子力学简介狄拉克方程
[ ], 和各为2分量旋量
则： [ E mc 低速时，
2
c
0 c ][ ] [ ] 2 0 E mc
(
c ) 2 E mc
E mc 2 Es 2mc 2 , /
t
Dirac方程
解决方法2：设H算符可写为p的一次形式 H c p mc2
c2 p2 m2c4 (c p mc2 )2 (cx px c y py cz pz mc2 )2
2 α、β与空间坐标无关 H cp mc , , [ , p] 0
所需薛定谔波函数为 相应的哈密顿量为：
p2 S (1 2 2 ) 8m c
p2 p2 p2 H S (1 2 2 ) H(1 2 2 ) H [ 2 2 ,V ] 8m c 8m c 8m c
后一项与H的第五项结合形成达尔文项：
2 2 2 2 1 1 V e 2 HD { 2 p [ p , V ] [ p , V ]} [ p , [ p , V ]] ( r ) 2 2 2 2 2 2 2 2 8m c 8m c 8m c 2m c
t
(c p mc2 ) t
二、狄拉克粒子与电磁场的作用
H [(p eA/ c)2 c2 m2c4 ]1/2 e
i
[c (p eA/ c) mc 2 e ] t
量子力学狄拉克方程
量子力学狄拉克方程量子力学狄拉克方程是描述自旋1/2粒子行为的基本方程，它由英国物理学家狄拉克于1928年提出。
这个方程将相对论和量子力学相结合，成功地解释了电子的自旋，为粒子物理学的发展作出了巨大贡献。
狄拉克方程是一个四分量波函数方程，描述了自旋1/2粒子的运动。
它的形式非常复杂，包含了四个复数分量。
这四个分量分别代表了粒子的两种自旋状态，以及正负能量的运动。
狄拉克方程的解被称为狄拉克旋量，它描述了自旋1/2粒子的波函数随时间和空间的演化。
狄拉克方程的提出极大地推动了量子力学的发展。
它不仅成功地解释了电子的自旋，还预言了反物质的存在。
根据狄拉克方程，每个粒子都有一个反粒子与之对应，它们具有相同的质量但电荷相反。
这个预言在随后的实验证实了，为粒子物理学的研究打开了新的方向。
狄拉克方程的形式非常复杂，但它的实际应用却非常广泛。
它在量子电动力学、量子色动力学和弦理论等领域都有重要的应用。
狄拉克方程提供了描述粒子行为的基本工具，为我们理解微观世界的奥秘提供了重要线索。
狄拉克方程的提出也引发了许多深刻的思考。
它揭示了自然界的对称性，如时间反演对称性和空间反演对称性。
狄拉克方程还激发了人们对粒子自旋的研究，以及对粒子性质的更深层次的理解。
通过对狄拉克方程的研究，我们可以更好地理解粒子的本质和行为规律。
量子力学狄拉克方程是一个重要的物理方程，描述了自旋1/2粒子的运动行为。
它的提出推动了量子力学的发展，为粒子物理学的研究提供了重要线索。
狄拉克方程的成功解释了电子的自旋，并预言了反物质的存在。
通过对狄拉克方程的研究，我们可以更好地理解微观世界的奥秘，推动科学的进步。
狄拉克方程 狭义相对论 量子力学
狄拉克方程狭义相对论量子力学狄拉克方程和狭义相对论是量子力学和相对论的两个重要理论。
狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的量子力学方程，它成功地统一了狭义相对论和量子力学。
狭义相对论是爱因斯坦提出的一种描述高速运动物体的物理学理论，它改变了牛顿的经典力学观念，提出了新的时空观念和相对论效应。
下面我们将详细介绍狄拉克方程和狭义相对论的相关内容。
狄拉克方程是量子力学中描述自旋1/2粒子的方程，由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年提出。
它是一个四分量波函数的方程，描述了自旋1/2粒子的动力学行为。
狄拉克方程的形式为：(iγμ∂_μ-m)ψ=0其中ψ是四分量波函数，γμ是四个4x4的矩阵，∂_μ是四维导数，m为粒子的质量。
狄拉克方程描述了自旋1/2粒子的薛定谔态演化，同时包含了狭义相对论的效应。
这是因为在狭义相对论中，对粒子的描述需要考虑相对论修正的哈密顿量。
狄拉克方程的解可以通过引入一种新的数学工具“旋量”来得到，从而描述了自旋1/2粒子的量子态。
相对论是描述高速运动物体的物理学理论。
爱因斯坦于1905年提出了狭义相对论，它建立在两个基本假设之上：光速不变原理和等效原理。
光速不变原理指出，在任何惯性参考系中，光速在真空中的传播速度都是恒定的。
等效原理指出，任何惯性系中的自由粒子运动都可以等效于重力场中的自由粒子运动。
狭义相对论引入了新的时空观念，即时空是一个四维时空的连续结构。
它认为时间和空间不再是独立的，而是构成了一个时空的统一整体。
狭义相对论还引出了著名的洛伦兹变换，描述了不同惯性参考系之间的变换关系。
相对论效应包括时间膨胀、长度收缩、质能关系及对速度的加成等。
狄拉克方程和狭义相对论的结合使得量子力学可以应用到高速运动粒子的描述中。
狄拉克方程可以推导出一系列重要的结果，如负能态（反粒子）的存在、自旋和角动量的关系、粒子自旋的量子测量结果等。
同时，狄拉克方程还为量子电动力学的发展奠定了基础，在粒子物理学中起到了重要的作用。
狄拉克方程的理论推导
狄拉克方程的理论推导狄拉克方程是描述自旋1/2粒子运动的基本方程之一，由英国物理学家保罗·狄拉克在1928年提出。
这个方程在量子力学和量子场论中具有重要的地位，对理解粒子物理学的基本问题起到了至关重要的作用。
1. 自旋与相对论性粒子在相对论性量子力学中，我们必须考虑自旋的概念。
自旋是粒子的内禀角动量，不同于经典观念中的自转，它并没有经典的对应物。
自旋的量子数可以是整数或半整数，对于自旋1/2的粒子，其量子数可以取正负1/2。
在量子力学中，我们用波函数来描述粒子的运动状态。
对于自由粒子，我们可以用薛定谔方程来描述其运动。
但当我们考虑到粒子的自旋时，薛定谔方程的形式就不再适用了。
为了描述自旋1/2粒子的运动，我们需要引入狄拉克方程。
2. 狄拉克方程的形式狄拉克方程可以写成如下的形式：$$ (i\\gamma^{\\mu}\\partial_{\\mu}-m)\\psi=0 $$其中，$\\gamma^{\\mu}$是4个Dirac矩阵构成的矩阵向量，$\\partial_{\\mu}$是4-梯度算符，m是粒子的质量，$\\psi$是物质场。
该方程可以看成是一个波动方程，它描述了自旋1/2粒子的运动行为。
3. 矩阵表示及Dirac矩阵的性质在狄拉克方程中，Dirac矩阵是关键的部分。
Dirac矩阵由四个4x4的矩阵组成，可以表示为：$$ \\gamma^0=\\begin{pmatrix}I & 0\\\\ 0 & -I\\end{pmatrix} \\quad\\gamma^i = \\begin{pmatrix}0 & \\sigma^i\\\\ -\\sigma^i & 0\\end{pmatrix} $$ 其中，i=1,2,3。
I是2x2的单位矩阵，$\\sigma^i$表示泡利矩阵。
Dirac矩阵具有一些重要的性质：•$\\{\\gamma^\\mu,\\gamma^\ u\\} = 2g^{\\mu\ u}$•$\\gamma^\\mu\\gamma^\ u+\\gamma^\u\\gamma^\\mu=2g^{\\mu\ u}$•$\\gamma^\\mu\\gamma^\ u-\\gamma^\ u\\gamma^\\mu=0$ 这些性质是根据Dirac矩阵的定义和矩阵之间的乘法运算推导得出的。
狄拉克方程
R_{uv} - \frac{1}{2}g_{uv} R = - 8 \pi {G \over c^2} T_{uv} </math>其中G 为牛顿万有引力常数这被称为爱因斯坦引力场方程，也叫爱因斯坦场方程。
该方程是一个以时空为自变量、以度规为因变量的带有椭圆型约束的二阶双曲型偏微分方程。
它以复杂而美妙著称，但并不完美，计算时只能得到近似解。
最终人们得到了真正球面对称的准确解——史瓦兹解。
加入宇宙学常数后的场方程为：<math>R_{uv} - \frac{1}{2}g_{uv} R + \Lambda g_{uv}= - 8 \pi {G \over c^2}T_{uv} </math>式右边应该是光速的4次方，即：c^4狄拉克方程式理论物理中，相对于薛定谔方程式之于非相对论量子力学，狄拉克方程式是相对论量子力学的一项描述自旋-½粒子的波函数方程式，由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年建立，不带矛盾地同时遵守了狭义相对论与量子力学两者的原理，实则为薛定谔方程的洛仑兹协变式。
这条方程预言了反粒子的存在，随后1932年由卡尔·安德森发现了正子(positron)而证实。
狄拉克方程式的形式如下：，其中是自旋-½粒子的质量，与t分别是空间和时间的座标。
狄拉克的最初推导狄拉克所希望建立的是一个同时具有洛仑兹协变性和薛定谔方程形式的波方程，并且这个方程需要确保所导出的概率密度为正值，而不是像克莱因-高登方程那样存在缺乏物理意义的负值。
考虑薛定谔方程薛定谔方程只包含线性的时间一阶导数从而不具有洛仑兹协变性，因此很自然地想到构造一个具有线性的空间一阶导数的哈密顿量。
这一理由是很合理的，因为空间一阶导数恰好是动量。
其中的系数αi和β不能是简单的常数，否则即使对于简单的空间旋转变换，这个方程也不是洛仑兹协变的。
因此狄拉克假设这些系数都是N×N阶矩阵以满足洛仑兹协变性。
狄拉克方程推导过程
狄拉克方程推导过程狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的量子力学方程，由物理学家狄拉克于1928年提出。
狄拉克方程是一个具有一阶时间导数和一阶空间导数的方程，可以用来描述自旋为1/2的粒子的运动状态。
下面将从狄拉克方程的推导过程入手，详细介绍狄拉克方程的内容。
我们知道在相对论性量子力学中，对于自由粒子，其能量与动量之间的关系由E² = p²c² + m²c⁴给出，其中E是能量，p是动量，m 是粒子的静止质量，c是光速。
狄拉克的思路是将这个能量-动量关系运用到量子力学框架中。
为此，狄拉克引入了四分量波函数来描述自旋1/2粒子的运动状态，这个四分量波函数被称为狄拉克旋量。
狄拉克旋量是一个具有四个分量的复向量，分别表示自旋向上和向下的两种可能。
接下来，狄拉克假设狄拉克旋量满足一个满足一阶时间导数和一阶空间导数的方程。
根据狄拉克的思路，我们可以得到如下的狄拉克方程：(iγ⁰∂/∂t - iγ¹∂/∂x - iγ²∂/∂y - iγ³∂/∂z - mc)Ψ = 0其中，Ψ是四分量狄拉克旋量，γ⁰、γ¹、γ²、γ³是矩阵，它们被称为狄拉克矩阵。
这个方程描述了自旋1/2粒子的运动状态，其中的质量项mc对应于粒子的静止质量。
狄拉克方程的推导过程并不简单，它需要用到矩阵的代数运算和相对论性的量子力学知识。
推导过程中，狄拉克通过考虑自由粒子的动力学方程和相对论性能量-动量关系，最终得到了这个描述自旋1/2粒子的方程。
狄拉克方程的重要性在于它成功地将相对论性和量子力学结合起来，描述了自旋1/2粒子的运动状态。
这个方程在粒子物理学中起着重要的作用，被广泛应用于描述电子、质子和中子等粒子的行为。
除了自由粒子的狄拉克方程，还可以通过引入相互作用项来描述粒子在外场中的行为。
这个相互作用项可以通过狄拉克方程与外场的耦合得到，从而描述粒子在电磁场或强相互作用场中的运动。
量子力学中的狄拉克方程与相对论性粒子
量子力学中的狄拉克方程与相对论性粒子量子力学是描述微观世界的理论框架，而狄拉克方程则是量子力学中的一个重要方程，用于描述相对论性粒子的行为。
在本文中，我们将探讨狄拉克方程的背景、推导过程以及其在量子力学中的应用。
狄拉克方程是由英国物理学家狄拉克在20世纪20年代提出的，他的目标是将量子力学和相对论统一起来。
在狄拉克之前，量子力学只能描述非相对论性粒子的行为，而对于相对论性粒子，如电子，却无法给出满意的解释。
狄拉克方程的提出填补了这一空白，为相对论性粒子的描述提供了一种新的框架。
狄拉克方程的推导过程相对复杂，但基本思想可以概括如下：首先，狄拉克假设粒子的波函数是一个四分量的对象，称为狄拉克旋量。
这个四分量包含了两个自旋分量和两个粒子-反粒子分量。
然后，狄拉克引入了一个新的算符，称为狄拉克算符，用于描述粒子的动力学行为。
最后，通过将狄拉克旋量代入薛定谔方程，并考虑相对论性修正，得到了狄拉克方程。
狄拉克方程的形式非常简洁且优美，可以写作：(iγ^μ∂_μ - m)ψ = 0其中，i是虚数单位，γ^μ是一组4x4矩阵，∂_μ是四维导数算符，m是粒子的质量，ψ是狄拉克旋量。
这个方程描述了粒子的运动和自旋，同时满足相对论性和量子力学的要求。
狄拉克方程的一个重要特征是它的解具有负能量解释。
这意味着狄拉克方程可以描述反物质粒子，如反电子（即正电子）。
这一发现在狄拉克方程提出后不久就得到了实验证实，为粒子物理学的发展开辟了新的方向。
除了描述粒子的运动和自旋，狄拉克方程还可以用于计算粒子的散射截面和衰变率等物理量。
通过求解狄拉克方程，可以得到粒子的波函数，从而计算出这些物理量。
这为实验结果的解释和预测提供了理论基础。
狄拉克方程的成功不仅在于它的形式美学和数学上的严谨性，更重要的是它对量子场论的发展产生了深远的影响。
狄拉克方程可以看作是量子场论的基础方程之一，它为后来的量子电动力学和量子色动力学等理论奠定了基础。
总结起来，狄拉克方程是量子力学中描述相对论性粒子行为的重要方程。
狄拉克 量子力学原理
狄拉克量子力学原理狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的量子力学方程。
在量子力学中，自旋是描述微观粒子固有角动量的物理量，它是粒子的内禀性质，与粒子的运动无关。
自旋1/2粒子包括电子、质子、中子等，它们的自旋量子数为1/2。
狄拉克方程由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年提出，是描述自旋1/2粒子的重要方程之一。
狄拉克方程的提出，标志着量子力学的发展迈入了一个新阶段。
狄拉克方程综合了爱因斯坦的相对论和薛定谔的波动力学，描述了自旋1/2粒子的运动规律。
相对论性量子力学的建立，为物理学家们解决了一系列难题，使他们能够更好地理解微观世界的奥秘。
狄拉克方程的形式非常优美，它是一个四分量的波函数方程，描述了自旋1/2粒子的运动状态。
狄拉克方程的推导过程非常复杂，需要运用相对论性量子力学、场论等高深的数学和物理知识。
狄拉克方程的解包括正能量解和负能量解，正能量解对应着粒子，负能量解对应着反粒子，这是狄拉克方程的一个重要特征。
狄拉克方程的提出，不仅为自旋1/2粒子的描述提供了一个统一的框架，而且还预言了反粒子的存在。
事实上，正是由于狄拉克方程的成功预言，反电子（即正电子）在不久之后被发现，这一发现极大地推动了粒子物理学的发展。
狄拉克方程的成功预言，使得狄拉克成为了20世纪物理学领域的巨匠之一。
狄拉克方程的重要性不仅在于它对自旋1/2粒子的描述，还在于它对量子场论的奠基作用。
狄拉克方程是量子场论的基础，它描述了自旋1/2粒子的场，为后来量子电动力学等理论的建立奠定了基础。
狄拉克方程的成功提出，开启了相对论性量子力学的新篇章，推动了物理学的发展。
总之，狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的重要方程，它的提出标志着量子力学的发展迈入了新的阶段。
狄拉克方程的形式优美，预言了反粒子的存在，为量子场论的建立奠定了基础，对物理学的发展产生了深远的影响。
狄拉克方程的成功提出，彰显了狄拉克在物理学领域的卓越贡献，使他成为了物理学史上的名人之一。
狄拉克方程的解析解
狄拉克方程的解析解狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的相对论性量子力学方程，由英国物理学家狄拉克于1928年提出。
它是量子力学和相对论的融合，具有重要的理论和实验意义。
本文将从历史背景、方程的推导、解析解的求解以及物理意义等方面，对狄拉克方程进行探讨。
首先，我们来看一下狄拉克方程的历史背景。
20世纪初，爱因斯坦提出了相对论的理论，揭示了光速不变原理和质能关系。
而量子力学的发展也逐渐揭示了微观粒子的奇特性质，如波粒二象性和不确定性原理。
然而，狄拉克方程的提出则是为了解决描述自旋1/2粒子的相对论性方程的问题，以满足相对论和量子力学的统一。
其次，我们来看一下狄拉克方程的推导。
狄拉克方程是通过对四维波动方程进行推导得到的。
在推导过程中，狄拉克引入了四分量波函数，其中两个分量描述粒子的粒子性质，另外两个分量描述粒子的反粒子性质。
通过引入矩阵形式的波动方程，狄拉克方程成功地将相对论和量子力学进行了统一。
接下来，我们来看一下狄拉克方程的解析解的求解。
狄拉克方程是一个一阶偏微分方程，一般情况下很难求得解析解。
然而，对于特定的势能场，我们可以通过一些数学技巧来求解狄拉克方程的解析解。
例如，对于自由粒子情况下的狄拉克方程，可以通过平面波的形式来求解。
而对于一维势阱或者一维势垒，可以通过将狄拉克方程转化为一维薛定谔方程来求解。
最后，我们来看一下狄拉克方程的物理意义。
狄拉克方程的解析解可以给出粒子的波函数和能量本征值，从而揭示了粒子的性质和行为。
例如，通过求解狄拉克方程，我们可以得到粒子的自旋角动量和自旋磁矩等信息。
此外，狄拉克方程还可以描述自旋1/2粒子的相互作用，如电磁场和弱相互作用等。
因此，狄拉克方程不仅在理论物理学中具有重要的地位，而且在粒子物理学和量子信息领域也有广泛的应用。
综上所述，狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的相对论性量子力学方程，具有重要的理论和实验意义。
本文从历史背景、方程的推导、解析解的求解以及物理意义等方面对狄拉克方程进行了探讨。
量子力学之薛定谔方程与狄拉克方程
他 对物理学的主要贡献是：给出描述费米子的相 对论性量子力学方程（狄拉克方程），给出反粒子（正电 子）解，1932年， 物理学家安德森证实反粒子的存在； 预言磁单极；费米—狄拉克统计。另外在量子场论尤其是 量子电动力学方面也作出了奠基性的工作。在重力论和重 力量子化方面也有杰出的工作。
狄拉克方程
在理论物理中，相对于薛定谔方程之 于非相对论量子力学，狄拉克方程是相对论 量子力学的一项描述自旋-½ 粒子的波函数方 程，不带矛盾地同时遵守了狭义相对论与量 子力学两者的原理，实则为薛定谔方程的洛 伦兹协变式。这条方程预言了反粒子的存在， 随后1932年由卡尔·安德森发现了正电子 (positron)而证实。
其他即将实现的应用
谢谢观看！
上图：晶体管的变迁 右图：Intel公布的含15 亿晶体管的Ivy Bridge 芯片
二、激光诞生 今天，无论是家用CD播放器，还是战区导弹防御系
统，激光已经在当代人类的社会生活中，占据了核心地位。 激光器的原理，是先冲击围绕原子旋转的电子，令其
在重回低能量级别时迸发出光子。这些光子随后又会引发 周围的原子发生同样的变化，即发射出光子。最终，在激 光器的引导下，这些光子形成稳定的集中束流，即我们所 看到的激光。当然，人们能够知晓这些，离不开理论物理 学家马克斯·普朗克及其发现的量子力学原理。普朗克指 出，原子的能量级别不是连续的，而是分散、不连贯的。 当原子发射出能量时，是以在离散值上被称作量子的最小 基本单位进行的。激光器工作的原理，实际上就是激发一 个特定量子散发能量。
度诺贝尔物理学奖。
今天，无论是家用CD播放器，还是战区导弹防御系统，激光已经在当代人类的社会生活中，占据了核心地位。 到1954年， 军方成功制造出世界首台晶体管计算机TRIDAC。 在晶体管上加电压能实现门的功能，控制管中电流的导通或者截止，利用这个原理便能实现信息编码，以至于编写一种1和0的语言来 操作它们。 在晶体管上加电压能实现门的功能，控制管中电流的导通或者截止，利用这个原理便能实现信息编码，以至于编写一种1和0的语言来 操作它们。 在重力论和重力量子化方面也有杰出的工作。 薛定谔(Erwinschrodinger，1887-1961)因发现原子理论的有效的新形式——波动力学和狄拉克(PaulAdvienMauriceDirac，1902— 1984)因创立相对论性的波动力学方程——狄拉克方程，共同分享了1933年度诺贝尔物理学奖。 到1954年， 军方成功制造出世界首台晶体管计算机TRIDAC。 激光器的原理，是先冲击围绕原子旋转的电子，令其在重回低能量级别时迸发出光子。 到1954年， 军方成功制造出世界首台晶体管计算机TRIDAC。 一、陌生的量子，不陌生的晶体管 正是在量子力学基础研究领域获得的突破，斯坦福大学的研究者尤金·瓦格纳及其学生弗里德里希·塞茨得以在1930年发现半导体的性 质。 普朗克指出，原子的能量级别不是连续的，而是分散、不连贯的。 在理论物理中，相对于薛定谔方程之于非相对论量子力学，狄拉克方程是相对论量子力学的一项描述自旋-½粒子的波函数方程，不带 矛盾地同时遵守了狭义相对论与量子力学两者的原理，实则为薛定谔方程的洛伦兹协变式。 在1926年发表的第二篇论文中，薛定谔建立了更为一般的含时间的薛定谔方程 1932年任剑桥大学数学教授。 当原子发射出能量时，是以在离散值上被称作量子的最小基本单位进行的。 在1926年发表的第二篇论文中，薛定谔建立了更为一般的含时间的薛定谔方程 1932年任剑桥大学数学教授。 保罗·阿德里·莫里斯·狄拉克（Paul Adrie Maurice Dirac，1902年8月8日－1984年10月20日），英国理论物理学家，量子力学的奠基 者之一 当原子发射出能量时，是以在离散值上被称作量子的最小基本单位进行的。 激光器的原理，是先冲击围绕原子旋转的电子，令其在重回低能量级别时迸发出光子。 与之前动辄楼房般臃肿的不靠谱的真空管计算机前辈们相比，TRIDAC只有3立方英尺大，耗电不过100瓦特。 今天，英特尔和AMD的尖端芯片上，已经能够摆放数十亿个微处理器。 正是在量子力学基础研究领域获得的突破，斯坦福大学的研究者尤金·瓦格纳及其学生弗里德里希·塞茨得以在1930年发现半导体的性 质。 在理论物理中，相对于薛定谔方程之于非相对论量子力学，狄拉克方程是相对论量子力学的一项描述自旋-½粒子的波函数方程，不带 矛盾地同时遵守了狭义相对论与量子力学两者的原理，实则为薛定谔方程的洛伦兹协变式。 右图：Intel公布的含15亿晶体管的Ivy Bridge芯片 在晶体管上加电压能实现门的功能，控制管中电流的导通或者截止，利用这个原理便能实现信息编码，以至于编写一种1和0的语言来 操作它们。 今天，无论是家用CD播放器，还是战区导弹防御系统，激光已经在当代人类的社会生活中，占据了核心地位。
狄拉克方程式的物理解释
狄拉克方程式的物理解释狄拉克方程式是量子力学中最重要的方程式之一，也是量子场论的基础。
它的发现是20世纪物理学的一座里程碑。
狄拉克方程式的推导过程涉及到相对论和量子力学的融合，物理解释较为复杂。
本文将从相对论、自旋和场论的角度来解释狄拉克方程式的物理意义。
一、相对论早在1905年，爱因斯坦提出了狭义相对论，揭示了光速不变定律和质量-能量等价的原理。
相对论原理意味着时间和空间是相对的，光速是所有参考系中不变的。
这些结论极大地改变了牛顿力学的理论框架，引发了物理学范式转换。
相对论意味着我们无法再使用简单的动量和能量公式来描述一个物体。
相对论动量和能量计算式中涉及了物体质量，速度越快，质量越大。
因此，需要重新定义动量和能量。
这就是著名的相对论Dirac方程式(狄拉克方程式)的出现的背景。
狄拉克方程式是相对论粒子物理学的基础之一，其具有与薛定谔方程式相同的形式。
通过考虑作为狄拉克方程式的解的“波函数”在它的时空变量中的行为，在特定的形式下可以推导出质子、中子和电子的物理性质。
二、自旋1900年左右，物理学家发现原子光谱中存在着一些奇怪的线。
这些线的出现不能被经典物理理解，为了解决这个问题，物理学家提出了一种全新的概念，称为自旋。
自旋是一个奇怪的量子化概念，它尚未被人们理解。
实际上，自旋是一个量子粒子的内禀性质。
简单来说，一个物体的自旋可以是1/2或者-1/2，这就像是一个磁性质一样。
电子具有自旋，可以拥有两种自旋状态：向上和向下。
三、场论在场论中，物质并不是构成物理世界的基本单元，而是能量密度在时空中的分布。
例如，光子场即指能量密度在时空中的分布，而光子被认为是该场量子的媒介。
场论的核心思想是场的变量在时空中的变化，而物质质量和其他属性通过场所在位置的变化来反映自身状态的改变。
狄拉克方程式源于场论，实际上是一个描述自由粒子的量子场方程。
由于它是相对论性的，因此它没有古典的牛顿或者经典物理学中水果成熟定律中的那种“作为一个固体的对象移动到整个空间中不同时间和空间点上”的真实感。
狭义相对论量子力学1——自由粒子的狄拉克方程
α12 = α22 = α32 = β2 = 1,
(αiαj + αjαi) = 0, i, j = 1, 2, 3
(αiβ + βαi) = 0, i = 1, 2, 3 可以验证：满足上面要求的系数α和β至 少 是 4 × 4 的 矩 阵 ，这里采用
利用结果α†
=
α,
β†
=
β；
∂ ∂t
Ψ†Ψ
3;
Ψ
∂Ψ† ∂t
∇ · Ψ†αΨ = Ψ† α· ∇Ψ + ∇Ψ† · αΨ 则有：
i
∂ ∂t
Ψ†Ψ
= −ic ∇ ·
Ψ†αΨ
.
现在定义概率密度ρ = Ψ†Ψ和概率流密度J = cΨ†αΨ则：
∂ρ ∂t
+
∇
·
J
=
0。
注意: 按照上面定义的概率密度总是非负的，因为 Ψ=[a, b, c, d]T , Ψ†=[a∗, b∗, c∗, d∗] 则 ρ=Ψ†Ψ=a∗a+b∗b+c∗c+d∗d≥0，因此狄拉克方程是可接受的。
一、自由粒子的狄拉克方程
April 10, 2020
1 自由粒子的狄拉克方程
假设：自旋为 /2的高速运动的自由粒子满足狄拉克方程：
其 中αi =
0 σi
数Ψ为4 × 1矩阵。
i
∂Ψ =
−ic
α· ∇ + βmc2
Ψ.
∂t
σi 0
i = 1, 2, 3, β =
狄拉克方程与相对论性量子力学
狄拉克方程与相对论性量子力学狄拉克方程是20世纪初由英国理论物理学家狄拉克提出的，它在相对论性量子力学中发挥了至关重要的作用。
它的提出对于解释微观粒子行为和建立粒子物理学的一个全新框架起到了重要的作用。
在这篇文章中，我们将探讨狄拉克方程及其与相对论性量子力学的关系。
狄拉克方程是一种描述自旋为1/2的费米粒子（如电子）的动力学行为的方程。
相对论性量子力学是将相对论与量子力学结合起来的理论框架。
相对论性量子力学的主要挑战之一是如何描述自旋。
经典的相对论方程无法解释自旋的存在和性质，因此狄拉克尝试利用相对论的数学形式以及量子力学的波函数来解决这个问题。
狄拉克方程的形式非常复杂，涉及到四个分量的波函数和四个互相耦合的偏微分方程。
这使得狄拉克方程的求解变得相对困难。
然而，狄拉克的贡献在于他成功地导出了这个方程，并通过引入新的数学工具（如矩阵）对其进行了解释。
狄拉克方程的引入不仅解决了自旋的存在问题，还预测到了反粒子的存在。
方程预测到的反粒子与粒子的物理性质完全相同，唯一的区别是电荷相反。
这一预言在后来的实验中得到了验证，从而使得狄拉克方程受到了广泛的认可。
除了描述自旋和反粒子的存在，狄拉克方程还揭示了相对论性量子力学的一些重要特性。
例如，狄拉克方程预测到了粒子的自旋由于空间转动而发生的变化。
这一效应称为“Thomas预进动”，它对于解释一些实验观测到的现象具有重要意义。
狄拉克方程在粒子物理学中的应用非常广泛。
它被用于描述电子、质子、中子等基本粒子的行为，并成功地解释了一系列实验结果。
此外，它还为进一步研究产生了重要的理论工具和概念，如量子电动力学和量子色动力学。
尽管狄拉克方程在相对论性量子力学中起着重要的作用，但它仍然存在一些问题和待解决的难题。
例如，狄拉克方程与引力理论的统一仍然是一个挑战。
为了解决这个问题，物理学家们不断地尝试提出新的理论和方法，以期找到一个更加完善和普适的理论。
总之，狄拉克方程是相对论性量子力学中的重要方程，它描述了自旋为1/2的费米粒子的动力学行为，并成功地解释了自旋、反粒子以及许多其他重要现象。
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(E V mc2 )1cv pv
得 (E V mc2 ) cv pv(E V mc2 )1cv pv
若取 (E V mc2 )1 (Es V 2mc2 )1 (2mc2 )1 ，得到薛定谔方程
取
(Es
V
2mc2 )1
H
pv2 2m
V
pv4 8m3c
2
iv
( pv[ pv,V 4m2c2
])
pv[ pv,V ] 4m2c2
因最后一项不厄米，即
2drv 不
守恒，χ不是所需的薛定谔波函数(能量精确至p2是, 至p4阶不是).
因：
drv
[ ]drv
解决方法？
Klein-Gordon方程
解决方法1： H 2 c2 pv2 m2c4
Klein-Gordon方程：
2 t 2
(
c
2 pv2 h2
m2c4 h2 )
非自由粒子：
(i h
t
V)2
(c2 pv2 m2c4 )
问题：
（1）几率密度不正定 （2）有负能解，且无下限（考虑跃迁，似乎很不合理） （3）时间二阶方程，初始条件需要Ψ及其时间一阶导数 （4）Ψ是标量，只可能描述无自旋粒子如п介子、к中介
v B)
v
v
ieh
v B
c
对均匀磁场，Av
v B
rv
/
2
，得
H
pv2 2mv
vv eL B 2mc
O(B2) v
vv eS B
mc
pv2 2m
vL
v B
vS
v B O(B2)
vL
eL 2mc
;
vS
geS 2mc
,
g
2
可见，狄拉克方程自然地给出了电子为具有自旋1/2（两独 立分量）的粒子，且其g因子为2。
第七（八）章 相对论性量子力学简介：狄拉克方程
非相对论量子力学适用于v/c~Z/137<<1情形(对重元素有明显问题)。 即使对轻元素，也有可观测的修正如精细结构[~(v/c)4]等需要人为引入。 为自然地阐述一些重要概念如电子的自旋、磁矩（g=2）、自旋-轨道耦
合等和精确描述重原子体系，需要采用相对论性的量子力学方程。
E
(cv
v
m
c2
)
;
[ ],
和各为2分量旋量
则： E mc2
[
cv
v
cv
v
0
][ ] [ ]
E mc2 0
(
cv v
E mc2
)
低速时，
E mc2 Es 2mc2,
/ v 1 : 大分量，：小分量。
4m2c2
pv [ pv,V 4m2c2
]
]
H
第三项是相对论对动能的修正，第四项则是自旋-轨道相互作用。
三、氢原子的精细结构（续）
H
S.Oh.e42mv2ci(2vpvr3(4prvvm)2[cpv22,eVm2S]2v)c2Lrv3ivH
( pv
2 i
2
1
(i
x,
y,
z)
i j ji {i , j} [i , j ] 0 (i j)
i i [i , ] 0
α、β 的基本性质
α、β为厄米矩阵、本征值为±1( i2 2 1 )、迹为0
（ Tr[i (i j ji )] 2Tr( j ) 0 ），故为偶数阶矩阵，最低
vv LS
( i h 4m2c2
e r
2
))
与讨论精细结构的旋轨作用
:
v
v Beff
v
vv c
v E
vv e2L S m2c2r3
托马斯因子“2”
相差一
可见狄拉克方程正确地描述了旋轨作用
精确至p的4次方正确的自旋-轨道耦合作用
四、氢原子的厄米哈密顿量
HD
1 8m 2 c 2
{2
p[
p,V
]
[
p
Байду номын сангаас
2
,V
]}
1 8m 2 c 2
[
p,[
p,V
]]
22V 8m 2 c 2
e22
2m2c2
(r)
HD给出S态的精细结构能移,与以前用微扰法求得的结果互补.
vv
H S.O.
e2S L 2m2c2r3
Hv v LS
相对论在薛定谔方程建立时已获得公认。即使没有上述问题，发展符合 相对论时空协变的量子理论，也是理论物理的重要任务。
本章仅处理无粒子产生或湮灭的情形
一、自由粒子的相对论性方程
非相对论关系：H=p2/2m, p p(算符）， H ih t ,
有薛定谔方程：
ih
pv2
2c
二、狄拉克粒子与电磁场的作用（续）
Es cv
[
(pv
v eA/
v c)2
(v
v )(v
v )
2m
eh
v
v B]
H
[
v
2
2m
iv
v ( 2m
v )
]
2m 2mc
v
v A
v B
v A
v B
i
v (A
Dirac方程确是描述电子的合适方程 精确至p平方薛定谔方程、自旋角动量、g因子 自旋是种“相对论效应”
三、氢原子的精细结构
E (cv pv m c2 V ) ;
[ ]
对 V e e2 / r，波函数大小分量满足的关系为：
(E V mc2 ) cv pv; (E V mc2 ) cv pv
3. 若4个厄米矩阵Mi（i=1,2,3,4）满足关系： MiMj+MjMi=2δij，证明：1）Mi的本证值为±1；2）Mi 的迹为0；3）Mi必为偶数维矩阵。
t 2m
相对论能量关系： H (c2 p2 m2c4 )1/2
ih
(c2 p2 m2c4 )1/ 2
t
上式对时空处理不对称
ih
( pv,t) t
mc2 (1
pv2 2m2c2
pv4 8m4c4
...)(
pv, t ),
pv2 h22
(2mc2
)1 (1
Es V 2mc2
)
，得
Es
pv2 [
2m
V
v
pv(Es V)v
4m2c2
pv]
pv2 [
2m
V
pv2 (Es V) 4m2c2
v
pvv [Es V ,
4m2c2
pv]]
[ pv2 2m
V
pv4 8m3c2
iv ( pv[ pv,V ])
子，不能描述电子（所得氢原子能级也与实验符合不好）
Dirac方程
解决方法2：设H算符可写为p的一次形式 H c p mc 2
c2 p2 m2c4 (cv pv mc2)2 (cx px cy py cz pz mc2 )2
α、β与空间坐标无关 H cp mc 2 , , [, p] 0
（3）连续性方程：
v j
0;
,
v j
c
v.
t
二、狄拉克粒子与电磁场的作用
H
[(pv
v eA/
c)2 c2
m2c4 ]1/2
e
ih
[cv (pv
v eA/
c)
mc2
e ]
t
1. 电子的自旋与磁矩
取ϕ=0和展开精确至 (v/ c)2 ,对能量本征态 (t) exp(iEt / h),有
[
(1
p2 4m2c2
)
]drv
[(1
p2 8m2c
2
)
]
[(1
p2 8m2c2
)
]drv
const.
所需薛定谔波函数为
S
(1
p2 8m2c2
)
相应的哈密顿量为：
HS
(1
p2 8m2c
2
)
H(1
p2 8m2c2 )
H
[
p2 8m2c2
,V ]
后一项与H的第五项结合形成达尔文项：
五、氢原子能级的狄拉克方程严格解