相对论性量子力学简介狄拉克方程

五、氢原子能级的狄拉克方程严格解

Enj

mc 2 [1
( n
(
j

1)

[( j

1)2
2 ]1/2
)2 ]1/2
2
2
展开成α的级数，可得静止能量、薛定谔能级能量、精细结 构能量等等。
能谱对给定nj兼并（任意阶） Enj与实验高度符合，但要解释Lamb移动(2S1/2能级比2P1/2
解决方法？
Klein-Gordon方程
解决方法1： H 2 c2 pv2 m2c4


Klein-Gordon方程：
2 t 2

(
c
2 pv2 h2

m2c4 h2 )


非自由粒子：
(i h
t

V)2

(c2 pv2 m2c4 )
问题：
（1）几率密度不正定 （2）有负能解，且无下限（考虑跃迁，似乎很不合理） （3）时间二阶方程，初始条件需要Ψ及其时间一阶导数 （4）Ψ是标量，只可能描述无自旋粒子如п介子、к中介
vv LS
( i h 4m2c2
e r
2
))

与讨论精细结构的旋轨作用
:

v

v Beff

v
vv c
v E

vv e2L S m2c2r3
托马斯因子“2”
相差一
可见狄拉克方程正确地描述了旋轨作用
精确至p的4次方正确的自旋-轨道耦合作用
四、氢原子的厄米哈密顿量

E

(cv

v


m
c2
)
;


[ ],
和各为2分量旋量


则： E mc2
[
cv

v
cv
v

0
][ ] [ ]
E mc2 0



(
cv v
E mc2
)
低速时，
E mc2 Es 2mc2,
/ v 1 : 大分量，：小分量。
子，不能描述电子（所得氢原子能级也与实验符合不好）
Dirac方程
解决方法2：设H算符可写为p的一次形式 H c p mc 2
c2 p2 m2c4 (cv pv mc2)2 (cx px cy py cz pz mc2 )2
α、β与空间坐标无关 H cp mc 2 , , [, p] 0
3. 若4个厄米矩阵Mi（i=1,2,3,4）满足关系： MiMj+MjMi=2δij，证明：1）Mi的本证值为±1；2）Mi 的迹为0；3）Mi必为偶数维矩阵。


p
Em


p2 E2 m2
1,
E ( p2 m2 )1/ 2
正能解不稳定，如何解释？ 狄拉克：真空=负能电子填满态。推论：正电子、电子-正电子对湮灭。 预言得到实验验证！
作业
1. 习题8.10、8.11
2. 对核子数为Z的类氢原子，估算其基态波函数大小 分量模平方的比值。
c2 ( px2

p
2 y

pz2 )

m2c4

[c
2
(
2 x
px2


2 y
p
2 y


2 z
pz2 )


2m2c4]
[c2 px py (x y yx ) c2 py pz ( yz z y ) c2 pz px (zx xz )]
[mc3 px (x x ) mc3 py ( y y ) mc3 pz (z z )]
相对论在薛定谔方程建立时已获得公认。即使没有上述问题，发展符合 相对论时空协变的量子理论，也是理论物理的重要任务。
本章仅处理无粒子产生或湮灭的情形
一、自由粒子的相对论性方程
非相对论关系：H=p2/2m, p p(算符）， H ih t ,

有薛定谔方程：
ih
pv2
[

(1

p2 4m2c2
)
]drv

[(1

p2 8m2c
2
)

]
[(1

p2 8m2c2
)

]drv

const.
所需薛定谔波函数为
S

(1
p2 8m2c2
)
相应的哈密顿量为：
HS

(1
p2 8m2c
2
)
H(1

p2 8m2c2 )

H
[
p2 8m2c2
,V ]
后一项与H的第五项结合形成达尔文项：

(2mc2
)1 (1
Es V 2mc2
)
，得
Es
pv2 [
2m
V
v
pv(Es V)v
4m2c2
pv]
pv2 [
2m
V

pv2 (Es V) 4m2c2
v
pvv [Es V ,
4m2c2
pv]]
[ pv2 2m
V

pv4 8m3c2

iv ( pv[ pv,V ])
H

pv2 2m
V

pv4 8m3c
2

iv

( pv[ pv,V 4m2c2
])

pv[ pv,V ] 4m2c2
因最后一项不厄米，即
2drv 不
守恒，χ不是所需的薛定谔波函数(能量精确至p2是, 至p4阶不是).

因：
drv
[ ]drv
(E V mc2 )1cv pv
得 (E V mc2 ) cv pv(E V mc2 )1cv pv
若取 (E V mc2 )1 (Es V 2mc2 )1 (2mc2 )1 ，得到薛定谔方程
取
(Es
V
2mc2 )1
可能阶数为4（构造不出与泡利矩阵反对易的β）

Dirac表象：v

0
v
v
0Fra Baidu bibliotek
,


I

0
0
I



由此有自由粒子的狄拉克方程： ih t
(cv pv mc2 )
（1）方程关于时空对称，符合相对论要求
（2） Ψ含4分量，称为Lorentz旋量。确是描述电子（2分 量）的方程？！
HD

1 8m 2 c 2
{2
p[
p,V
]

[
p
2
,V
]}

1 8m 2 c 2
[
p,[
p,V
]]

22V 8m 2 c 2

e22
2m2c2

(r)
HD给出S态的精细结构能移,与以前用微扰法求得的结果互补.
vv
H S.O.

e2S L 2m2c2r3

Hv v LS
4m2c2

pv [ pv,V 4m2c2
]
]

H
第三项是相对论对动能的修正，第四项则是自旋-轨道相互作用。
三、氢原子的精细结构（续）
H
S.Oh.e42mv2ci(2vpvr3(4prvvm)2[cpv22,eVm2S]2v)c2Lrv3ivH
( pv
t 2m
相对论能量关系： H (c2 p2 m2c4 )1/2

ih
(c2 p2 m2c4 )1/ 2
t
上式对时空处理不对称
ih
( pv,t) t

mc2 (1
pv2 2m2c2

pv4 8m4c4
...)(
pv, t ),
pv2 h22
Dirac方程确是描述电子的合适方程 精确至p平方薛定谔方程、自旋角动量、g因子 自旋是种“相对论效应”
三、氢原子的精细结构
E (cv pv m c2 V ) ;
[ ]

对 V e e2 / r，波函数大小分量满足的关系为：
(E V mc2 ) cv pv; (E V mc2 ) cv pv

（3）连续性方程：




v j

0;
,
v j

c
v.
t
二、狄拉克粒子与电磁场的作用
H

[(pv
v eA/
c)2 c2

m2c4 ]1/2

e


ih


[cv (pv
v eA/
c)


mc2
e ]
t
1. 电子的自旋与磁矩
取ϕ=0和展开精确至 (v/ c)2 ,对能量本征态 (t) exp(iEt / h),有
2c
二、狄拉克粒子与电磁场的作用（续）
Es cv

[
(pv
v eA/
v c)2

(v

v )(v

v )
2m
eh
v

v B]

H

[
v
2
2m

iv
v ( 2m
v )
]
2m 2mc
v
v A

v B

v A
v B

i
v (A

2 i


2
1
(i

x,
y,
z)
i j ji {i , j} [i , j ] 0 (i j)
i i [i , ] 0
α、β 的基本性质
α、β为厄米矩阵、本征值为±1( i2 2 1 )、迹为0
（ Tr[i (i j ji )] 2Tr( j ) 0 ），故为偶数阶矩阵，最低
第七（八）章 相对论性量子力学简介：狄拉克方程
非相对论量子力学适用于v/c~Z/137<<1情形(对重元素有明显问题)。 即使对轻元素，也有可观测的修正如精细结构[~(v/c)4]等需要人为引入。 为自然地阐述一些重要概念如电子的自旋、磁矩（g=2）、自旋-轨道耦
合等和精确描述重原子体系，需要采用相对论性的量子力学方程。
v B)
v

v

ieh
v B
c

对均匀磁场，Av

v B
rv
/
2
，得
H

pv2 2mv
vv eL B 2mc
O(B2) v
vv eS B
mc

pv2 2m

vL

v B
vS

v B O(B2)
vL

eL 2mc
;
vS

geS 2mc
,
g

2
可见，狄拉克方程自然地给出了电子为具有自旋1/2（两独 立分量）的粒子，且其g因子为2。
高)，则需要将电磁场量子化方可。
六、负能解
为简单计，考虑自由粒子，并记 h c 1
对 ( pv) exp[i(pv vr Et)]
有
E

(
p
m),
Em
p
p
E

m




0
p ,
Em