2017年湖南长沙雅礼中学新苗杯暨理实班签约考试数学试卷(PDF版)
【湖南省长沙雅礼中学年】2017届高考模拟试题文科数学年(二)
6.83，
aˆ y bx 46.25 6.83 4 18.93，即 b 6.83 ， aˆ 18.93 ， b 6.5 ， a 17.5
b b 5% ， aˆ a 8% ，均不超过 10%，
b
a
因此可以使用位置最接近的已有旧井 6 (1, 24) ；
(ⅱ)若 3 a 0 ，则 f (x) 在 (0, a ) 单调递减，在 ( a ,1) 单调递增，
3
3
故当 x a 时， f (x) 取的最小值，最小值为 f ( a ) 2a a 1 ．
3
3 3 34
①若 f ( a ) 0 ，即 3 a 0 ， f (x) 在 (0,1) 无零点；
2
2
| x a | | x b || (x a) (x b) | a b 且 | x b | 0 ，
2
2
2
2
f (x) a b ，当 x b 时取等号，即 f (x) 的最小值为 a b ，
2
2
2
a b 1， 2a b 2 ； 2
2
2
因为 AE EC ，所以在 Rt△AEC 中，可得 EG 3 x 2
由 BE 平面 ABCD ，知 △EBG 为直角三角形，可得， BE 2 x 2
由已知得，三棱锥
E
ACD
的体积 VE ACD
1 3
1 2
AC
GD
BE 6 x3 6 ，
24
3
故 x 2 ，从而可得 AE EC ED 6 ，
2t t 的方程为 y2 x2 1
12 24 5 ．【 解 析 】 本 题 主 要 考 查 同 角 三 角 函 数 关 系 、 两 角 和 与 差 公 式 的 应 用 ． 由 题 意 m sin( )cos cos( )sin sin[( ) ] sin() 因为 为第三象限角，所以 sin m 0 ，
湖南省长沙市2020年雅礼中学理实班自主招生考试数学模拟试题(PDF版)
解析：如图，连接 OE，∵∠PEF＝90°﹣∠OEB＝90°﹣∠OBE＝∠OFB＝∠EFP，
﹣1＝31 克，26﹣1﹣2＝23 克，26﹣1﹣6＝19 克，26﹣2﹣6＝18 克除去重复的外，7 种
③当天平两端放四个砝码时，可称量重物的克数有：26+1+2﹣6＝23 克，26+2+6﹣1＝33
克，26+1+6﹣2＝31 克，26+1﹣2﹣6＝19 克，26+2﹣1﹣6＝21 克，26+6﹣1﹣2＝29 克，
机动车辆数如图所示．图中 x1，x2，x3 分别表示该时段单位时间通过路段 AB，BC，CA
的机动车辆数（假设单位时间内在上述路段中同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则
有（
）
A．x1＞x2＞x3
B．x1＞x3＞x2
C．x2＞x3＞x1
解析：依题意，有 x1＝50+x3﹣55＝x3﹣5＝＞x1＜x3，
湖南省雅礼中学初升高自招卷
1．如图，AB 为半圆 O 的直径，C 是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形 AOC、△COB、
弓形 BmC 的面积为 S1、S2、S3，则它们之间的关系是（
A．S1＜S2＜S3
B．S2＜S1＜S3
）
C．S1＜S3＜S2
D．S3＜S2＜S1
解析：作 OD⊥BC 交 BC 与点 D，
；
랐
，即：（x，y）＝（16，19）
；
，即：（x，y）＝（34，136）；
ᚰ
，即：（x，y）＝（68，170）；
ͳ랐
ᚰ
，即：（x，y）＝（158，332）
；
５
．
⑦
⑧
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湖南四大名校内部资料2017年雅礼中学高二年级学业水平考试 模拟(一)数学
2017年雅礼中学高二年级学业水平考试数学模拟试卷（一）时量：80分钟 满分：100分命题人：张新民 审题人：薛祖山本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{1,0,1,2}A =-,{2,1,2}B =-，则A B = ( ) . A. {1} B. {2} C. {1,2} D. {2,0,1,2}-2. 若运行右图的程序，则输出的结果是（ ）. A. 4 B. 13 C. 9 D. 223. 已知圆C 的方程为()()22124x y -+-=，则圆C 的圆心坐标和半径r 分别为（ ）. A. ()1,2,2r = B. ()1,2,2r --= C. ()1,2,4r = D. ()1,2,4r --= 4. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）. A.圆柱 B. 三棱柱C.球D.四棱柱下列函数中，5. 已知向量(2,1),(1,).x ==a b 若⊥a b ，则实数x 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．0 D ．16. 将函数x y sin =的图象向左平移3π个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为A ．)3sin(π+=x y B ．)3sin(π-=x yC ．)32sin(π+=x yD ．)32sin(π-=x y 7. 点的实数表示的平面区域内，则不在不等式m y x m P 02)1,(<-+A 1<mB 1≤m C1≥m D 1>m取值范围是则函数f(x)一定存在零点的区间是A (-1,0)B (0,1)C (1,2)D (2,3)9. 已知直线l 过点（0，7），且与直线42y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ）. A. 47y x =-- B. 47y x =- C.47y x =-+ D.47y x =+10. 如图，长方形的面积为2，将100颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有60颗豆子落在阴影部分内，则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为A ．32B ．54C ．56D ．34二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11. ._________)3lg()(的定义域为函数-=x x f 12. 函数._________)32sin(的最小正周期为π+=x y13. 在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c, 已知_______sin ,21sin ,2===C A a c 则 14. 张山同学家里开了一个小卖部，为了研究气温对某种冷饮销售量的影响，他收集了一段时间内这种冷饮每天的销售量y （杯）与当天最高气温()x C的有关数据，通过描绘散点图，发现y 和x 呈线性相关关系，并求得其回归方程260y x ∧=+如果气象预报某天的最高温度气温为34C，则可以预测该天这种饮料的销售量为.杯15. 已知1,,9x 成等比数列，则实数x =三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）已知1sin ,(0,)22παα=∈（1）求cos α的值；（2）求sin 2cos 2αα+的值.17．（本小题满分8分）某中学有高一学生1200人，高二学生800人参加环保知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取200名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图.(1)求从该校高一、高二学生中各抽取的人数；(2)根据频率分布直方图，估计该校这2000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数.18. (本小题满分8分)如图,在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ,且PA=AB. （1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求异面直线BC 与PD 所成的角.19. (本小题满分8分)如图，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为24平方米，设熊猫居室的一面墙AD 的长为x 米 (26)x ≤≤.（1）用x 表示墙AB 的长；（2）假设所建熊猫居室的墙壁造价（在墙壁高度一定的前提下）为每米1000元，请将墙壁的总造价y （元）表示为x(米)的函数； （3）当x 为何值时，墙壁的总造价最低？20．（本小题满分10分）已知数列{n a }的前n 项和为a S n n +=2(a 为常数，∈n N *)． （1）求1a ，2a ，3a ；（2）若数列{n a }为等比数列，求常数a 的值及n a ；（3）对于（2）中的n a ，记34)(112-⋅-⋅=++n n a a n f λλ，若0)(<n f 对任意的正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．2017年雅礼中学高中学业水平考试 数学模拟试卷本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 5 页.时量120分钟.满分100分.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{1,0,1,2}A =-,{2,1,2}B =-，则A B = ( ) . A. {1} B. {2} C. {1,2} D. {2,0,1,2}-2. 若运行右图的程序，则输出的结果是（ ）. A. 4 B. 13 C. 9 D. 223. 已知圆C 的方程为()()22124x y -+-=，则圆C 的圆心坐标和半径r 分别为（ ）. A. ()1,2,2r = B. ()1,2,2r --= C. ()1,2,4r = D. ()1,2,4r --= 4. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）. A.圆柱 B. 三棱柱C.球D.四棱柱下列函数中，5. 已知向量(2,1),(1,).x ==a b 若⊥a b ，则实数x 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．0 D ．16. 将函数x y sin =的图象向左平移3π个单位长度，得到的图象对应的函数解析式 B ．)3sin(π-=x yC ．)3sin(+=x yD ．)32sin(π-=x y 7. 点的实数表示的平面区域内，则不在不等式m y x m P 02)1,(<-+A 1<mB 1≤mC 1≥mD 1>m则函数f(x)一定存在零点的区间是取值范围是A (-1,0)B (0,1)C (1,2)D (2,3)9. 已知直线l 过点（0，7），且与直线42y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ）. A. 47y x =-- B. 47y x =- C.47y x =-+ D.47y x =+10. 如图，长方形的面积为2，将100颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有60颗豆子落在阴影部分内，则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为A ．2B ．54．34二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11. ._________)3lg()(的定义域为函数-=x x f ()+∞,3 12. 函数._________)32sin(的最小正周期为π+=x y π13. 在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c, 已知_______sin ,21sin ,2===C A a c 则1 14. 张山同学家里开了一个小卖部，为了研究气温对某种冷饮销售量的影响，他收集了一段时间内这种冷饮每天的销售量y （杯）与当天最高气温()x C的有关数据，通过描绘散点图，发现y 和x 呈线性相关关系，并求得其回归方程260y x ∧=+如果气象预报某天的最高温度气温为34C ，则可以预测该天这种饮料的销售量为.杯 12815. 已知1,,9x 成等比数列，则实数x 三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）已知1sin ,(0,)22παα=∈（1）求cos α的值；（2）求sin 2cos 2αα+的值.解析（1）(0,),cos 02παα∈∴> ，从而cos α=（2）2sin 2cos 22sin cos 12sin ααααα+=+-=17．（本小题满分8分）某中学有高一学生1200人，高二学生800人参加环保知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取200名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图.(1)求从该校高一、高二学生中各抽取的人数；(2)根据频率分布直方图，估计该校这2000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数.解析（1）高一有：20012001202000⨯=（人）；高二有20012080-=（人） （2） 频率为0.015100.03100.025100.005100.75⨯+⨯+⨯+⨯=∴人数为0.7520001500⨯=（人）18. (本小题满分8分)如图,在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ,且PA=AB. （1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求异面直线BC 与PD 所成的角. 解析1）证明：∵PA ABCD ⊥平面，BD ABCD ⊂平面，PA BD ∴⊥，……………………1分又ABCD 为正方形，BD AC ∴⊥，……………2分 而,PA AC 是平面PAC 内的两条相交直线，BD PAC ∴⊥平面……………………4分(2)解： ∵ABCD 为正方形，BC ∴∥AD ，PDA ∴∠为异面直线BC 与AD 所成的角，…6分 由已知可知，△PDA 为直角三角形，又PA AB =， ∵PA AD =， 45PDA ∴∠=︒，∴异面直线BC 与AD 所成的角为45º.……………………8分19. (本小题满分8分)如图，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为24平方米，设熊猫居室的一面墙AD 的长为x 米 (26)x ≤≤.（1）用x 表示墙AB 的长；（2）假设所建熊猫居室的墙壁造价（在墙壁高度一定的前提下）为每米1000元，请将墙壁的总造价y （元）表示为x(米)的函数； （3）当x 为何值时，墙壁的总造价最低？.解：（1）24,⋅== AB AD AD x 24∴=AB x…………………2分 （2）163000()(26)y x x x=+≤≤………………5分（没写出定义域不扣分）（3）由163000()3000224000x x +≥⨯= 当且仅当16=x x，即4=x 时取等号 4∴=x (米)时，墙壁的总造价最低为24000元.答：当x 为4米时，墙壁的总造价最低.……………8分20．（本小题满分10分）已知数列{n a }的前n 项和为a S n n +=2(a 为常数，∈n N *)． （1）求1a ，2a ，3a ；（2）若数列{n a }为等比数列，求常数a 的值及n a ；（3）对于（2）中的n a ，记34)(112-⋅-⋅=++n n a a n f λλ，若0)(<n f 对任意的正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．解：（1）211+==a S a ， ……………………1分 由212a a S +=，得22=a ， ……………………2分 由3213a a a S ++=，得43=a ； …………………3分 （2）因为21+=a a ，当2≥n 时，112--=-=n n n n S S a ，又{n a }为等比数列，所以11=a ，即12=+a ，得1-=a ， …………5分 故12-=n n a ； …………………………………6分 （3）因为12-=n n a ，所以3242)(2-⋅-⋅=n n n f λλ， ………………7分 令n t 2=，则2≥t ，34)2(34)(22---=-⋅-⋅=λλλλt t t n f ， 设34)2()(2---=λλt t g ，当0=λ时，03)(<-=n f 恒成立， …………………8分 当0>λ时，34)2()(2---=λλt t g 对应的点在开口向上的抛物线上，所以0)(<n f 不可能恒成立， ……………9分当0<λ时，34)2()(2---=λλt t g 在2≥t 时有最大值34--λ，所以要使0)(<n f 对任意的正整数n 恒成立，只需034<--λ，即43->λ，此时043<<-λ， 综上实数λ的取值范围为043≤<-λ． …………………………10分。
2017-2018学年湖南省长沙市雅礼中学高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年湖南省长沙市雅礼中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）是z的共轭复数，若z+＝2，（z﹣）i＝2（i为虚数单位），则z＝（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i2．（5分）设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2} 3．（5分）设x∈R，则“|x﹣1|＜1”是x3＜8的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞05．（5分）下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（）A．y＝ln（1﹣x）B．y＝ln（2﹣x）C．y＝ln（1+x）D．y＝ln（2+x）6．（5分）已知x，y为正实数，则（）A．2lnx+lny＝2lnx+2lny B．2ln（x+y）＝2lnx•2lnyC．2lnx•lny＝2lnx+2lny D．2ln（xy）＝2lnx•2lny7．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x+5y的最大值为（）A．6B．19C．21D．459．（5分）函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ），k∈ZC．（2k﹣，2k），k∈Z D．（k﹣，k），k∈Z10．（5分）在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A等于（）A．B．C．﹣D．﹣11．（5分）设a＝ln，b＝，则（）A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b 12．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，|a n﹣a n﹣1|＝（n∈N，n≥2），且{a2n﹣1}是递减数列，{a2n}是递增数列，则12a10＝（）A．6﹣B．6﹣C．11﹣D．11﹣二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|+2|＝．14．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为15．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f （2a2）≤0．则实数a的取值范围是．16．（5分）△ABC中，AB＝1，＝2，则tan∠ACB的最大值为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜a，a＞0}，集合B＝{x|＜1}（1）若a＝1，求A∩B；（2）若A⊊B，求实数a的取值范围．18．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且．（1）求角A的大小；（2）若b+c＝5，，求a的值．20．（12分）某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析．经数据处理后，得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中，身不低于1.69米的学生只有16名，其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率．（I）求该市高一学生身高高于1.70米的概率，并求图1中a、b、c的值．（II）若从该市高一学生中随机选取3名学生，记ξ为身高在（1.50，1.70]的学生人数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）若变量S满足P（μ﹣σ＜S≤μ+σ）＞0.6826且P（μ﹣2σ＜S≤μ+2σ）＞0.9544，则称变量S满足近似于正态分布N（μ，σ2）的概率分布．如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布N（1.6，0.01）的概率分布，则认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．试判断该市高一学生的身高发育总体是否正常，并说明理由．21．（12分）已知f（x）＝（x﹣1）e x﹣a（x2+1），x∈[1，+∞）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥﹣2a+lnx，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数），M 为曲线C1上的动点，动点P满足＝a（a＞0且a≠1），P点的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程，并说明C2是什么曲线；（2）在以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A点的极坐标为（2，），射线θ＝α与C2的异于极点的交点为B，已知△AOB面积的最大值为4，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x|+a（Ⅰ）若a＝0，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）＝x有三个不同的解，求a的取值范围．2017-2018学年湖南省长沙市雅礼中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：由于，（z﹣）i＝2，可得z﹣＝﹣2i①又z+＝2 ②由①②解得z＝1﹣i故选：D．2．【解答】解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x＜1}，∴A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}．故选：B．3．【解答】解：由“|x﹣1|＜1”得﹣1＜x﹣1＜1，即0＜x＜2，由x3＜8，得x＜2，则“|x﹣1|＜1”是x3＜8的充分不必要条件，故选：A．4．【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3＝2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A 不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2＝2a1+d＜0，a2+a3＝2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2＝a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＝﹣d2≤0，即D不正确．故选：C．5．【解答】解：首先根据函数y＝lnx的图象，则：函数y＝lnx的图象与y＝ln（﹣x）的图象关于y轴对称．由于函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称．则：把函数y＝ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y＝ln（2﹣x）．即所求得解析式为：y＝ln（2﹣x）．故选：B．6．【解答】解：根据指数与对数的运算性质可得：2ln（xy）＝2lnx+lny＝2lnx•2lny．可知：只有D正确，而A，B，C都不正确．故选：D．7．【解答】解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞＝•＝＝＝，故选：A．8．【解答】解：由变量x，y满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得A（2，3）．当目标函数z＝3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．将其代入得z的值为21，故选：C．9．【解答】解：由图可知，，则T＝2，∴y轴左侧第一个最高点的横坐标为，y轴右侧第一个最底点的横坐标为．∴f（x）的单调递减区间为（2k﹣，2k），k∈Z．故选：C．10．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC＝θ，∵在△ABC中，B＝，BC边上的高AD＝h＝BC＝a，∴BD＝AD＝a，CD＝a，在Rt△ADC中，cosθ＝＝＝，故sinθ＝，∴cos A＝cos（+θ）＝cos cosθ﹣sin sinθ＝×﹣×＝﹣．故选：C．11．【解答】解：∵a＝ln＜＝﹣1，0＜b＝＜＝1，∴ab＜a+b＜0．故选：B．12．【解答】解：由|a n﹣a n﹣1|＝，则|a2n﹣a2n﹣1|＝，|a2n+2﹣a2n+1|＝，∵数列{a2n﹣1}是递减数列，且{a2n}是递增数列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＜0，且a2n+2﹣a2n＞0，则﹣（a2n+2﹣a2n）＜0，两不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＜0，即a2n﹣a2n﹣1＜a2n+2﹣a2n+1，又∵|a2n﹣a2n﹣1|＝＞|a2n+2﹣a2n+1|＝，∴a2n﹣a2n﹣1＜0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＜a2n+1﹣a2n，又|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，则a2n+1﹣a2n＝，当数列{a n}的项数为偶数时，令n＝2m（m∈N*），，…，，，这2m﹣1个等式相加可得，a2m﹣a1＝﹣（）+（），∴＝．∴12a10＝．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，∴＝+4•+4＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12，∴|+2|＝2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形＝+＝+2；在△OAC中，由余弦定理得||＝＝2，即|+2|＝2．故答案为：2．14．【解答】解：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，∴S7＝＝381，解得a1＝3．故答案为：3．15．【解答】解：函数f（x）＝x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）＝3x2﹣2+e x+≥﹣2+2＝0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）＝（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣＝0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）由f（﹣（a﹣1））＝﹣f（a﹣1），f（2a2）≤f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤，故答案为：[﹣1，]．16．【解答】解：以A为圆心，建立坐标系，如图所示：，∵AB＝1，∴B（1，0），设C（x，y），则＝（1，0），＝（x，y），由＝2，得x＝2，故C（2，y），于是BC＝，AC＝，sin A＝，∴sin C＝＝≤，故tan∠ACB的最大值是，故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．【解答】解：（1）将a＝1代入A中不等式得：|x﹣2|＜1，变形得：﹣1＜x﹣2＜1，解得：1＜x＜3，即A＝（1，3）；由B中不等式变形得：＜0，即（x﹣5）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜5，即B＝（﹣3，5），则A∩B＝（1，3）；（2）∵A⊊B，且A＝（2﹣a，a+2），B＝（﹣3，5），∴，解得：a＜3．18．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，．∴2a1＝22+m，2（a1+a1q）＝23+m，2（a1+a1q+a1q2）＝24+m，联立解得：m＝﹣2，a1＝1，q＝2．∴a n＝2n﹣1．（Ⅱ）数列{b n}满足＝＝，∴数列{b n}的前n项和T n＝++……+＝＝．19．【解答】解：（1）由正弦定理得：由于sin C≠0，∴，∴，即，∵0°＜A＜180°，∴﹣30°＜A﹣30°＜150°，∴A﹣30°＝30°，∴A＝60°．（2）∵S△ABC＝bc sin A＝bc＝，∴bc＝4，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc＝13，∴．20．【解答】解：（I）由图2 可知，100名样本学生中身高高于1.70米共有15 名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70 的概率为0.15．记X为学生的身高，给合图1可得：f（1.30＜X≤1.40）＝f（1.80＜X≤1.90）＝＝0.02，f（1.40＜X≤1.50）＝f（1.70＜X≤1.80）＝＝0.13，f（1.50＜X≤1.60）＝f（1.60＜X≤1.70）＝（1﹣2×0.02﹣2×0.13）＝0.35，又由于组距为0.1，所以a＝0.2，b＝1.3，c＝3.5．（II）以样本的频率估计总体的概率可得：从这批学生中随机选取1名，身高在（1.50，1.70]的概率为0.35+0.35＝0.7．所以随机变量ξ服从二项分布B（3，0.7），故P（ξ＝k）＝•0.7k•0.33﹣k（k＝0，1，2，3）．故ξ的分布列为：∴E（ξ）＝3×0.7＝2.1．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，P（1.50＜X≤1.70）＝0.7＞0.6826，又结合（I），可得：P（1.40＜X≤1.80）＝1﹣0.02×2＝0.96＞0.9544，所以这批学生的身高满足近似于正态分布N（1.50，0.01）的概率分布，所有应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．21．【解答】解：（1）f′（x）＝xe x﹣2ax＝x（e x﹣2a），当a≤时，x∈[1，+∞），f′（x）≥0．∴f（x）在[1，+∞）上单调递增；当a＞时，由f′（x）＝0，得x＝ln2a．当x∈（1，ln2a）时，f′（x）＜0；当x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＞0．所以f（x）在（1，ln2a）单调递减；在（ln2a，+∞）单调递增．（2）令g（x）＝（x﹣1）e x﹣a（x2﹣1）﹣lnx，问题转化为g（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，则g′（x）＝xe x﹣2ax﹣，注意到g（1）＝0．当a＞时，g′（1）＝e﹣2a﹣1＜0，g′（ln（2a+1））＝ln（2a+1）﹣，因为2a+1＞e，所以ln（2a+1）＞1，g′（ln（2a+1））＞0，所以存在x0∈（1，ln（2a+1）），使g′（x0）＝0，当x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）递减，所以g（x）＜g（1）＝0，不满足题意．当a≤时，g′（x）≥xe x﹣（e﹣1）x﹣＝x[e x﹣（e﹣1）]﹣，因为x＞1，x[e x﹣（e﹣1）]＞1，0＜＜1，所以g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上单调递增；所以g（x）≥g（1）＝0，满足题意．综上所述：a≤．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】（1）动点P满足＝a（a＞0且a≠1），P点的轨迹为曲线C2．设P（x，y）M（x0，y0），所以：，则：，由于点M在曲线C1的图象上，则：，即：（θ为参数）．消去参数θ得：（x﹣2a）2+＝4a2（a≠1）．故曲线c2是以（2a，0）为圆心，2|a|为半径的圆．（2）：A点的直角坐标为（1，）．∴直线AO的普通方程为y＝，即：，设B点坐标为（2a+2a cosθ，2a sinθ），则B点到直线的距离：，＝，当时，．所以：，解得：a＝2．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）若a＝0，f（x）＝|x+1|﹣|x|＝，∴当x＜﹣1时，不等式即﹣1≥0，解得x∈∅．当﹣1≤x＜0时，不等式即2x+1≥0，解得x≥﹣，综合可得﹣≤x＜0．当x≥0 时，不等式即1≥0，恒成立，故不等式的解集为x≥0．综上，不等式的解集为[﹣，+∞）．（5分）（Ⅱ）设u（x）＝|x+1|﹣|x|，则函数u（x）的图象和y＝x的图象如右图：由题意易知，把函数y＝u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y＝x的图象始终有3个交点，从而﹣1＜a＜0．（10分）。
湖南省长沙市雅礼中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题
【全国百强校】湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列集合中，是集合{}2|5A x x x =<的真子集的是（ ）A ．{}2,5B ．()6+∞，C ．()0,5D ．()1,5 2．复数11i z i +=-（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i - 3．若3sin 5α=-，且α为第三象限角，则()tan 45α+等于( ) A ．7 B ．17 C ．1 D ．0 4．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >> 5．已知圆2220x y x my +-+=上任意一点M 关于直线0x y +=的对称点N 也在圆上，则m 的值为（ ）A ．1-B ．2C ．2-D ．16．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β”是“αβ”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若将它的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一条对称轴的方程为（ ）A ．12x π= B ．3x π= C ．4x π= D ．2x π=8．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．49．函数22y cos x sinx ＝－ 的最大值与最小值分别为( )A ．3，－1B ．3，－2C ．2，－1D ．2，－210．某市国庆节7天假期的楼房认购量(单位：套)与成交量(单位：套)的折线图如图所示，小明同学根据折线图对这7天的认购量与成交量作出如下判断：①日成交量的中位数是16;②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增量大于10月7日成交量的增量．上述判断中错误的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知12,F F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，直线1PF 与圆222x y a +=相切，且212PF F F =，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．43 C ．53 D ．2二、填空题12．向量(),2a m =，()1,2b =，若a b ⊥，则m =__________．13．[2019·雅礼中学]在集合{2,3}A =中随机取一个元素m ，在集合{1,2,3}B =中随机取一个元素n ，得到点(,)P m n ，则事件“点P 在直线y x =上”的概率为________．14．若椭圆()222124x y a a +=>的离心率与等轴双曲线的离心率之积为1，则a =__________．三、解答题15．已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =. （1）求{}n a 的通项公式（2）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 的通项公式n b 及{}n b 的前n 项和n T . 16．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c2sin c A =且c b <. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若4b =，延长AB 至D ，使BC BD =，且5AD =，求ABC 的面积. 17．A 市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士－12369”的绿色环保活动小组对2017年1月－2017年12月(一月)内空气质量指数API 进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：（Ⅰ）若A 市某企业每天由空气污染造成的经济损失P (单位：元)与空气质量指数API (记为t )的关系为：0,0100{4400,1003001500,300t P t t t ≤≤=-<≤>，，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(]200,600P ∈元的概率；（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为A 市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=，PDC ∆和BDC ∆均为等边三角形，且平面PDC ⊥平面BDC ，点E 为PB 中点.（Ⅰ）求证：//AE 平面PDC ；（Ⅱ）若PBC ∆,求三棱锥A EBD -的体积. 19．如图所示，在直角坐标系xOy 中，点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭到抛物线()2:20C y px p =>的准线的距离为54.点(),1M t 是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点(),Q m n 在直线OM 上.（Ⅰ）求曲线C 的方程及t 的值；（Ⅱ）记d =，求d 的最大值.20．已知函数()(2)(1)2ln f x a x x =---（a R ∈）.（1）若曲线()()g x f x x =+上点(1,(1))g 处的切线过点(0,2)，求函数()g x 的单调递减区间；（2）若函数()y f x =在1(0,)2上无零点，求a 的最小值.参考答案1．D【解析】(0,5)A =, 真子集就是比A 范围小的集合;故选D;2．A【解析】分析：利用乘法公式，分子、分母同时乘以1i +，然后化简为a bi +的形式，b 为虚部.详解：()()()()112112i i i z i i i ++===-+ ，所以虚部为1， 故选A点睛：分式型复数化简，需要对分母利用平方差公式，分子分母同时乘一个式子， 然后化简为一般形式，注意虚部不包含i ，包含符号.3．A【解析】 因为35sin α=-，且α为第三象限角，所以4sin 3cos ,tan ,5cos 4αααα==-== ()tan45tan tan 457.1tan45tan ααα+∴+==- 本题选择A 选项.4．D【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.详解：由题意可知：3337392log log log <<，即12a <<，103111044⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即01b <<，133317552log log log =>，即c a >，综上可得：c a b >>.本题选择D 选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．5．B【解析】分析：圆上任意一点关于某直线的对称点还在圆上，说明该直线必过圆心，根据圆心表达式求出圆心坐标，代入直线方程，即可求得m. 详解：由题意知，直线必过圆心，由圆心表达式可得圆心坐标为1,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭， 代入直线0x y +=，解得2m =.故选B.点睛：圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=中，圆心坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 圆的对称轴为过圆心的任意直线，可知直线过圆心.6．B【解析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项. 7． B分析：由左加右减，得出()g x 解析式，因为解析式为正弦函数， 所以令()2x k k Z πωϕπ+=+∈，解出x ，对k 进行赋值，得出对称轴.详解：由左加右减可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 解析式为正弦函数，则令()262x k k Z πππ-=+∈， 解得：()32k x k Z ππ=+∈，令0Z =，则3x π= ，故选B. 点睛：三角函数图像左右平移时，需注意要把x 放到括号内加减，求三角函数的对称轴，则令x ωϕ+等于正弦或余弦函数的对称轴公式，求出x 解析式，即为对称轴方程.8．C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2,2,2,1PD AD CD AB ====，由勾股定理可知：3,PA PC PB BC ====则在四棱锥中，直角三角形有：,,PAD PCD PAB ∆∆∆共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.9．D分析：将2cos x 化为21sin x -，令()sin 11x t t =-≤≤，可得关于t 的二次函数，根据t 的取值范围，求二次函数的最值即可.详解：利用同角三角函数关系化简，22cos 2sin sin 2sin 1y x x x x =-=--+ 设()sin 11x t t =-≤≤，则()()22211211y t t t t =--+=-++-≤≤， 根据二次函数性质当1t =-时，y 取最大值2，当1t =时，y 取最小值2-.故选D.点睛：本题考查三角函数有关的最值问题，此类问题一般分为两类，一种是解析式化为2sin sin y A x B x C =++的形式，用换元法求解；另一种是将解析式化为()sin y A x k ωϕ=++的形式，根据角的范围求解.10．C【解析】分析：将数据按照大小顺序排列后，由于一共有7个数字，所以取第四个数字为中位数. 日均成交量为成交量的平均数，正相关为统计图中的点从左下分布至右上.认购量与成交量的增量均是第七天与第六天数据之差.详解：将成交量数据按大小顺序排列，中位数为26，所以①错； 平均成交量为1383216263816644.17++++++≈，超过44.1的只有一天，所以②错； 由图中可以看出，数据点并不是从左下分布至右上，所以③错；10月7日认购量增量为276112164-=，成交量增量为16638128-=，所以④对. 故选C.点睛：本题主要考察统计知识，需熟练掌握样本数据特征的计算以及变量的相关性的概念. 11．C【解析】设1PF 与圆相切于点M ，则因为212PF F F =，所以12PF F ∆为等腰三角形，设1PF 的中点为N ，由O 为12F F 的中点，所以1111124F M F N PF ==，又因为在直角1F MO ∆中，2222211F M FO a c a =-=-，所以1114F M b PF ==①又12222PF PF a c a =+=+②，222c a b =+③ 故由①②③得，53c e a ==，故本题选C 点睛：在圆锥曲线中涉及到焦点弦问题，通常要灵活应用圆锥的定义得到等量关系，本题中由几何关系得到114b PF =，由双曲线定义有122PF PF a =+，列方程即可求离心率的值.. 12．4- 【解析】分析：向量垂直即向量的乘积为0，根据向量乘法的坐标运算列式，即可解出m. 详解：由a b ⊥可得·1220a b m =⨯+⨯=，解得4m =-.点睛：本题考查向量的垂直关系以及向量的坐标运算，熟练掌握计算公式. 13．13P =【解析】分析：列出两集合中各取一个元素，两两结合的所有情况，再分别代入直线，求出点在直线上的情况，利用古典概型公式计算.详解：两集合中各取一个元素，两两结合的所有情况为：()2,1、()2,2、()2,3、()3,1、()3,2、()3,3，共6种情况，其中在直线上的为()2,2、()3,3，共2种情况，所以概率为2163=. 点睛：本题考查古典概型的计算以及点在直线上的判定方法，注意数据的抽取方式以及情况总数.14．【解析】分析：根据椭圆离心率公式表示出椭圆离心率e ，列出乘积为1的式子，即可求出a .详解：椭圆离心率c e a ===，则根据乘积为1列1=，解得a =±，因为2a >，所以取a =.点睛：本题考查离心率公式，等轴双曲线的概念以及,,a b c 之间点的关系.根据题意列式即可，需要熟练掌握双曲线有关概念，如共轭双曲线、等轴双曲线等. 15．（1）12n n a +=；（2）12n n b -=，21nn T =-． 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得，．化简得11322,,2a d a d +=+=解得11=1,2a d =，故通项公式1=1+2n n a -，即+1=2n n a ． （2）由（1）得141515+1=1==82b b a ，．设{}n b 的公比为q ,则3418b q b ==,从而2q．12n n b -=故{}n b 的前n 项和1(1)1(12)21112n n n n b q T q ．16．(Ⅰ) 3C π=． 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合正弦定理和大边对大角可得3C π=；(Ⅱ)结合题意首先求得sin A =然后利用面积公式可得ACD .试题解析： （Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，2sin sin A C A =，∵sin 0A ≠，∴sin C =， 又c b <，∴3C π=.（Ⅱ）设BC x =，则5AB x =-，在ABC 中，由余弦定理得()2225424cos3x x x π-=+-⋅⋅，求得32x =，即37,22BC AB ==， 在ABC 中，由正弦定理得sin sin BC ABA C=，∴sin sin 14BC C A AB ==，∴ACD 的面积1sin 2S AC AD A =⋅⋅= 1452⨯⨯=. 17．（Ⅰ）39100. （Ⅱ）有95%的把握认为A 市本年度空气重度污染与供暖有关． 【解析】分析：（Ⅰ）根据经济损失求出t 的范围，根据t 的范围，求出相应的天数，与总天数作比即可求出概率；（Ⅱ）根据重度污染天数与供暖天数等求出各值，填入列联表，根据公式计算2K ，与95%所对应的的k 值3.841对比，若2K 大，则有95%把握，否则没有.详解：（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失(]200,600P ∈元”为事件A . 由2004400600t <-≤，得150250t <≤，频数为39， ∴()39100P A =. （Ⅱ）根据以上数据得到如表：2K 的观测值()22100638227 4.575 3.84185153070K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有95%的把握认为A 市本年度空气重度污染与供暖有关．点睛：本题第一问考察古典概型，根据公式计算即可，第二问考察数据的综合分析，需要利用各类数据的和差填表，注意求2K 时要保留三位小数，且由于问题为能否有95%的把握，所以要与0.05所对应的值3.841对比. 18．（1）见解析；（2）14. 【解析】分析：（Ⅰ）证明线面平行，需在平面内构造一条线平行于已知直线，将直线AE 沿AD 平移，点A 至点D 处，则点E 应移至PC 中点处，故取PC 中点F ，连接EF 、FD . 若证//AE DF ，则需证明AD 、EF 平行且相等，AD 、EF 需要以BC 作为中间量. （Ⅱ）根据两个等边三角形和面面垂直，假设一边长为x ，表示PBC 的面积，解出x ，求出三棱锥底面ABD △的面积.因为E 为PB 中点，所以三棱锥E ABD -底面上的高为P 到底面距离的一半. 详解：（1）取PC 的中点F ，连接EF ，DF ；取BC 的中点G ,连接DG ， 因为BCD ∆是正三角形，所以90DGB ∠=.因为90ABC BAD ∠=∠=，所以四边形ABGD 为矩形， 从而12AD BG BC ==，//AD BC . 因为EF 为BCP ∆的中位线, 所以12EF BC =，//EF BC ，即AD EF =，//AD EF ， 所以四边形ADFE 是平行四边形，从而//AE DF ， 又DF ⊆面PDC ，所以//AE 面PDC .（2）取CD 的中点M ，连接PM ，则PM DC ⊥. 过点P 作PN BC ⊥交BC 于N .因为PM DC ⊥，面PDC ⊥面BDC ，面PDC ⋂面BDC DC = 所以PM ⊥面BCD .又因为BC ⊆面BCD ，所以PM BC ⊥. 又因为PN BC ⊥，PN PM P ⋂=，PN PM ⊆、面PMN ，. 所以BC ⊥面PMN ，又因为MN ⊆面PMN ，所以MN BC ⊥. 由于M 为DC 中点,易知14NC BC =.设BC x =，则PBC ∆的面积为2x =， 解得2BC =，从而1AD =，111324ABD V S PM =⋅⋅=.点睛：证明平行有三种方式，分别为平行四边形、中位线和相似，一般通过平移直线的方作辅助线，求三棱锥体积时，要注意改变底面，选择底面与高容易求的形式，同时注意可以将高转化为其他线段去求.19．（Ⅰ）()220y px p =>，1t =.（Ⅱ）1.【解析】分析：（Ⅰ）由抛物线准线方程及P 到准线的距离，可求得p ，进而求得抛物线方程，将点M 的坐标代入抛物线 ，即可求得t.（Ⅱ）求直线OM 方程，点Q 在直线OM 上，根据直线方程表示点Q 坐标，消去参数n ， 利用点差法表示出直线AB 斜率，进而求出直线方程，将直线AB 方程与抛物线方程联立，用弦长公式求弦长，从而将d 表示为关于m 的函数，根据m 范围求最值.详解：（1）()220y px p =>的准线为2p x =-，∴5124p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴12p =， ∴抛物线C 的方程为2y x =.又点(),1M t 在曲线C 上，∴1t =. （2）由（1）知，点()1,1M ，从而n m =，即点(),Q m m ， 依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的斜率为()0k k ≠.且()11,A x y ，()22,B x y ，由211222,,y x y x ⎧=⎨=⎩得()()121212y y y y x x -+=-，故21k m ⋅=， 所以直线AB 的方程为()12y m x m m-=-，即2220x my m m -+-=. 由22220,,x my m m y x ⎧-+-=⎨=⎩消去x ，整理得22220y my m m -+-=， 所以2=440m m ∆->，122y y m +=，2122y y m m =-.从而12AB y y =-==∴()11d m m ==≤+-=，当且仅当1m m =-，即12m =时，上式等号成立， 又12m =满足2440m m ∆=->.∴d 的最大值为1. 点睛：圆锥曲线的最值问题，一般是利用参数，表示最值，通过函数值域求最值， 或者设未知量构造基本不等式求最值，要注意等号成立的条件. 20．（1）()0,2；（2）24ln 2-． 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，计算g′（1），求出a 的值，从而求出g （x ）的递减区间即可；（2）问题转化为对x ∈（0，12），a ＞2﹣21lnx x -恒成立，令l （x ）=2﹣21lnx x -，x ∈（0，12），根据函数的单调性求出a 的最小值即可． 试题解析：（1）∵g （x ）=（3﹣a ）x ﹣（2﹣a ）﹣2lnx ，∴g′（x ）=3﹣a ﹣2x，∴g′（1）=1﹣a ， 又g （1）=1，∴1﹣a=1210--=﹣1，解得：a=2， 由g′（x ）=3﹣2﹣2x =2x x-＜0，解得：0＜x ＜2，∴函数g （x ）在（0，2）递减； （2）∵f （x ）＜0在（0，12）恒成立不可能， 故要使f （x ）在（0，12）无零点，只需任意x ∈（0，12），f （x ）＞0恒成立， 即对x ∈（0，12），a ＞2﹣21lnxx -恒成立，令h （x ）=2﹣21lnx x -，x ∈（0，12）， 则h′（x ）=()22221lnx x x +--， 再令m （x ）=22lnx x +﹣2，x ∈（0，12）， 则m′（x ）=()221x x--＜0，故m （x ）在（0，12）递减，于是m （x ）＞m （12）=2﹣2ln2＞0， 从而h′（x ）＞0，于是h （x ）在（0，12）递增，∴h （x ）＜h （12）=2﹣4ln2，故要使a ＞2﹣21lnxx -恒成立，只要a ∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数y=f （x ）在（0，12）上无零点，则a 的最小值是2﹣4ln2．。
湖南省长沙市雅礼中学2017-2018学年高一下期中考试数学试题
雅礼中学2017-2018学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}{}，，，，，，，，54323210==B A 则B A 中元素的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.52.已知角θ的终边与单位圆的交点为，，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2321P 则θcos 等于（ ） A.21 B.21- C.22- D.23 3.已知向量()()241，，-==k 且，b a ⊥则实数k 的值为（ ） A.21- B.21 C.2- D.2 4.设βαtan tan 、是方程0232=+-x x 的两根,则()βα+tan 的值为（ ）A.-3B.-1C.1D.35,在某学校图书馆的书架上随意摆放着有编号1、2、3、4、5的五本史书,若某同学从中任意选出两本史书,则选出的两本史书编号相连的概率为（ ） A.101 B.51 C.21 D.52 6.已知非零向量b a 、=则b a 、的夹角大小为（ ） A.65π B.32π C.3π D.6π 7.函数()x e e y x x sin -+=的部分图像大致为（ ）8.计算:=︒-⋅︒︒-20cos 180cos 10cos 12 （ ） A.22 B.21 C.23 D.22- 9.将函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 图像向右平移6π个单位,得到函数()x g 的图像,则下列说法不正确的是（ ） A.()x g 的周期为π B.236=⎪⎭⎫ ⎝⎛πg C.6π=x 是()x g 的一条对称轴 D.()x g 为奇函数 10.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经三处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?其意思是:“诗人带着装有部分酒的壸去春游,先遇到酒店就将酒添加一倍，后遇到朋友饮酒一斗，如此三次先后遇到陋酉店和朋友,壶中酒恰好饮完问壶中原有多少酒?”用程序相图表达如图所示,即最终输出的0=x ,那么在这个空白框□可以填入（ ）A.1-=x xB.12-=x xC.x x 2=D.12+=x x11.如图,将45°直角三角板和30°角直角三角板拼在一起,其中45°角直角三角板的斜边与30°角直角三角板的角所对的直角边重合,若，y x +=则=+y x （ ）A.13+B.33+C.13-D.33-12.一个几何体的三视图图际,其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的体积为（ ）A.π334B.π38C.π316 D.π27332 二、填空题(毎小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若一个扇形的圆心角为2,半径为1cm,则该扇形的面积为_______2cm .14.某餐厅的原料费支出x 与销售额y (单位:万元)之间有如下数据,根据表中提供的全部费用,用最小二乘法得出与的线形回归方程为，5.75.8+=∧x y 则表中的m 的值为_______.15.若[]，，π0∈θ则213sin ＞π⎪⎭⎫ ⎝⎛+θ成立的概率为_______. 16.已知函数()(]()()，，，，，⎩⎨⎧∞+∈-∞-∈-=222222x x f x x x x f 则方程()012sin =-+x x f π在[]66，-∈x 上所有实数根的和为_________.三、解答题17.(本小题满分10分)已知函数().cos sin R x x x x f ∈=，(1)求函数()x f 的最小正周期；(2)求函数()x f 的单调增区间。
2017年湖南省长沙市中学考试数学试卷(含解析汇报)
2017年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列实数中，为有理数的是（）A．B．πC．D．12．（3分）下列计算正确的是（）A．=B．a+2a=2a2C．x（1+y）=x+xy D．（mn2）3=mn63．（3分）据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（）A．0.826×106B．8.26×107C．82.6×106D．8.26×1084．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．直角三角形 B．正五边形C．正方形D．平行四边形5．（3分）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形6．（3分）下列说法正确的是（）A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4D．“367人中有2人同月同日出生”为必然事件7．（3分）某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（）A．长方形B．圆柱C．球D．正三棱柱8．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（）A．（3，4） B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（2，4）9．（3分）如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=110°，则∠2的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．110°10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm11．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）A．24里B．12里C．6里 D．3里12．（3分）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H 不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC 交于点G．设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为（）A．B．C．D．随H点位置的变化而变化二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：2a2+4a+2=．14．（3分）方程组的解是．15．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为．16．（3分）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是．17．（3分）甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=0.5，则在本次测试中，同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）18．（3分）如图，点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，OM=4，则k的值为．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（）﹣1．20．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．21．（8分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．请根据所给信息，解答以下问题：（1）表中a=，b=；（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．22．（8分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？23．（9分）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．24．（9分）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．25．（10分）若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数y=（k为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；（3）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c （a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围．26．（10分）如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．2017年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列实数中，为有理数的是（）A．B．πC．D．1【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：，π，是无理数，1是有理数，故选：D．【点评】本题考查了实数，正确区分有理数与无理数是解题关键．2．（3分）下列计算正确的是（）A．=B．a+2a=2a2C．x（1+y）=x+xy D．（mn2）3=mn6【分析】分别利用合并同类项法则以及单项式乘以多项式和积的乘方运算法则化简判断即可．【解答】解：A、+无法计算，故此选项错误；B、a+2a=3a，故此选项错误；C、x（1+y）=x+xy，正确；D、（mn2）3=m3n6，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了合并同类项以及单项式乘以多项式和积的乘方运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．3．（3分）据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（）A．0.826×106B．8.26×107C．82.6×106D．8.26×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将82600000用科学记数法表示为：8.26×107．故选B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．直角三角形 B．正五边形C．正方形D．平行四边形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．（3分）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【分析】根据三角形内角和等于180°计算即可．【解答】解：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、3x，则x+2x+3x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，∴这个三角形一定是直角三角形，故选：B．【点评】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．6．（3分）下列说法正确的是（）A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4D．“367人中有2人同月同日出生”为必然事件【分析】根据可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．【解答】解：A、检测某批次灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，应采用抽样调查，此选项错误；B、可能性是1%的事件在一次试验中可能发生，此选项错误；C、数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，此选项错误；D、“367人中有2人同月同日出生”为必然事件，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、随机事件，熟练掌握基本定义是解题的关键．7．（3分）某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（）A．长方形B．圆柱C．球D．正三棱柱【分析】从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．【解答】解：从正面看，是一个矩形；从左面看，是一个矩形；从上面看，是圆，这样的几何体是圆柱，故选B．【点评】本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．8．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（）A．（3，4） B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（2，4）【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．【解答】解：y=2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．故选A．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．9．（3分）如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=110°，则∠2的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．110°【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠3=∠1=110°，∴∠2=180°﹣110°=70°，故选B．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC，OB=BD，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=×6=3cm，OB=BD=×8=4cm，根据勾股定理得，AB===5cm，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm．故选D．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记．11．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）A．24里B．12里C．6里 D．3里【分析】设第一天走了x里，则第二天走了x里，第三天走了×x…第六天走了（）5x里，根据路程为378里列出方程并解答．【解答】解：设第一天走了x里，依题意得：x+x+x+x+x+x=378，解得x=192．则（）5x=（）5×192=6（里）．故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意得到（）5x里是解题的难点．12．（3分）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H 不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC 交于点G．设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为（）A．B．C．D．随H点位置的变化而变化【分析】设CH=x，DE=y，则DH=﹣x，EH=﹣y，然后利用正方形的性质和折叠可以证明△DEH∽△CHG，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，HG分别用x，y分别表示，△CHG的周长也用x，y表示，然后在Rt△DEH中根据勾股定理可以得到x﹣x2=y，进而求出△CHG的周长．【解答】解：设CH=x，DE=y，则DH=﹣x，EH=﹣y，∵∠EHG=90°，∴∠DHE+∠CHG=90°．∵∠DHE+∠DEH=90°，∴∠DEH=∠CHG，又∵∠D=∠C=90°，△DEH∽△CHG，∴==，即==，∴CG=，HG=，△CHG的周长为n=CH+CG+HG=，在Rt△DEH中，DH2+DE2=EH2即（﹣x）2+y2=（﹣y）2整理得﹣x2=，∴n=CH+HG+CG===．∴=．故选：B．【点评】本题考查翻折变换及正方形的性质，正方形的有些题目有时用代数的计算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决．本题综合考查了相似三角形的应用和正方形性质的应用．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：2a2+4a+2=2（a+1）2．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=2（a2+2a+1）=2（a+1）2，故答案为：2（a+1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（3分）方程组的解是．【分析】根据加减消元法，可得答案．【解答】解：两式相加，得4x=4，解得x=1，把x=1代入x+y=1，解得y=0，方程组的解为，故答案为：．【点评】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法是解题关键．15．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为5．【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角△OCE 中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．16．（3分）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是（1，2）．【分析】根据位似变换的性质进行计算即可．【解答】解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．【点评】本题考查的是位似变换的性质，掌握平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k是解题的关键．17．（3分）甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=0.5，则在本次测试中，乙同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S甲2=1.2，S乙2=0.5，∴S甲＞S乙，∴甲、乙两名同学成绩更稳定的是乙；故答案为：乙．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．18．（3分）如图，点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，OM=4，则k的值为4．【分析】作MN⊥x轴于N，得出M（x，x），在Rt△OMN中，由勾股定理得出方程，解方程求出x=2，得出M（2，2），即可求出k的值．【解答】解：作MN⊥x轴于N，如图所示：设M（x，y），∵点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，∴M（x，x），在Rt△OMN中，由勾股定理得：x2+（x）2=42，解得：x=2，∴M（2，2），代入y=得：k=2×2=4；故答案为：4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的图象得交点、勾股定理、反比例函数解析式的求法；求出点M的坐标是解决问题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（）﹣1．【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=3+1﹣1+3=6．【点评】此题考查了实数的运算，绝对值，以及零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x≥﹣9﹣x，得：x≥﹣3，解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2，则不等式组的解集为x＞2，将解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（8分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．请根据所给信息，解答以下问题：（1）表中a=0.3，b=45；（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．【分析】（1）首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b；（2）B组的频率乘以360°即可求得答案；（2）列树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；【解答】解：（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），则a==0.3，b=100×0.45=45（人），故答案为：0.3，45；（2）360°×0.3=108°，答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°；（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，列树形图得：∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，∴甲、乙两名同学都被选中的概率为=．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题；（2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定；【解答】解：（1）∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=30°．（2）作PH⊥AB于H．∵∠BAP=∠BPA=30°，∴BA=BP=50，在Rt△PBH中，PH=PB•sin60°=50×=25，∵25＞25，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．23．（9分）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可知∠ACO=90°，由于=，所以∠AOC=∠BOC，从而可证明∠A=∠B，从而可知OA=OB；（2）由（1）可知：△AOB是等腰三角形，所以AC=2，从可求出扇形OCE的面积以及△OCB的面积【解答】解：（1）连接OC，∵AB与⊙O相切于点C∴∠ACO=90°，由于=，∴∠AOC=∠BOC，∴∠A=∠B∴OA=OB，（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，∴BC=AB=2，∴sin∠COB==，∴∠COB=60°，∴∠B=30°，∴OC=OB=2，∴扇形OCE的面积为：=，△OCB的面积为：×2×2=2∴S=2﹣π阴影【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是求证OA=OB，然后利用等腰三角形的三线合一定理求出BC与OC的长度，从而可知扇形OCE与△OCB的面积，本题属于中等题型．24．（9分）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．根据16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题；（2）根据总利润=两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题；（3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500，分三种情形讨论即可解决问题．【解答】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．由题意：=×2，解得x=150，经检验x=150是分式方程的解，答：一件B型商品的进价为150元，则一件A型商品的进价为160元．（2）因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品（250﹣m）件．由题意：v=80m+70（250﹣m）=10m+17500，∵80≤m≤250﹣m，∴80≤m≤125，（3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500，①当10﹣a＞0时，w随m的增大而增大，所以m=125时，最大利润为（18750﹣125a）元．②当10﹣a=0时，最大利润为17500元．③当10﹣a＜0时，w随m的增大而减小，所以m=80时，最大利润为（18300﹣80a）元．【点评】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型．25．（10分）若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数y=（k为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；（3）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c （a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围．【分析】（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；（2）把M、N、R三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t和k分别表示出y1、y2、y3，再由和谐三组数的定义可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）①由直线解析式可求得x1=﹣，联立直线和抛物线解析式消去y，利用一元二次方程根与系数的关系可求得x2+x3=﹣，x2x3=，再利用和谐三数组的定义证明即可；②由条件可得到a+b+c=0，可得c=﹣（a+b），由a＞2b＞3c可求得的取值范围，令m=，利用两点间距离公式可得到OP2关于m的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP2的取值范围，从而可求得OP的取值范围．【解答】解：（1）不能，理由如下：∵1、2、3的倒数分别为1、、，∴+≠1，1+≠，1+≠∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；（2）∵M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数（k为常数，k ≠0）的图象上，∴y1、y2、y3均不为0，且y1=，y2=，y3=，∴=，=，=，∵y1，y2，y3构成“和谐三组数”，∴有以下三种情况：当=+时，则=+，即t=t+1+t+3，解得t=﹣4；当=+时，则=+，即t+1=t+t+3，解得t=﹣2；当=+时，则=+，即t+3=t+t+1，解得t=2；∴t的值为﹣4、﹣2或2；（3）①∵a、b、c均不为0，∴x1，x2，x3都不为0，∵直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），∴0=2bx1+2c，解得x1=﹣，联立直线与抛物线解析式，消去y可得2bx+2c=ax2+3bx+3c，即ax2+bx+c=0，∵直线与抛物线交与B（x2，y2），C（x3，y3）两点，∴x2、x3是方程ax2+bx+c=0的两根，∴x2+x3=﹣，x2x3=，∴+===﹣=，∴x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②∵x2=1，∴a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，∵a＞2b＞3c，∴a＞2b＞3（﹣a﹣b），且a＞0，整理可得，解得﹣＜＜，∵P（，）∴OP2=（）2+（）2=（）2+（）2=2（）2+2+1=2（+）2+，令m=，则﹣＜m＜且m≠0，且OP2=2（m+）2+，∵2＞0，∴当﹣＜m＜﹣时，OP2随m的增大而减小，当m=﹣时，OP2有最大值，当m=﹣时，OP2有最小值，当﹣＜m＜时，OP2随m的增大而增大，当m=﹣时，OP2有最小值，当m=时，OP2有最大值，∴≤OP2＜且OP2≠1，∵P到原点的距离为非负数，∴≤OP＜且OP≠1．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识．在（1）中注意利用和谐三数组的定义，在（2）中由和谐三数组得到关于t的方程是解题的关键，在（3）①中用a、b、c分别表示出x1，x2，x3是解题的关键，在（3）②中把OP2表示成二次函数的形式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．26．（10分）如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．。
湖南省长沙市雅礼中学2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题 文(含解析)
空气质量
优
良
轻微污染
轻微污染
中度污染
中重度污染
重度污染
天数
4
13
18
30
9
11
15
（Ⅰ）若 市某企业每天由空气污染造成的经济损失 (单位：元)与空气质量指数 (记为 )的关系为： ，，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失 元的概率；
（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有 天是在供暖季节，其中有 天为重度污染，完成 列联表，并判断是否有 的把握认为 市本年度空气重度污染与供暖有关？
所以概率为 .
点睛：本题考查古典概型的计算以及点在直线上的判定方法，注意数据的抽取方式以及情况总数.
15.若椭圆 的离心率与等轴双曲线的离心率之积为 ，则 __________．
【答案】
【解析】分析：根据椭圆离心率公式表示出椭圆离心率e，等轴双曲线的离心率为 ，列出乘积为1的式子，即可求出 .
详解：椭圆离心率 等轴双曲线离心率为 ，则根据乘积为1列式为： ，解得 ，因为 ，所以取 .
必要时可以借助笔和纸进行模拟演示.
8.已知 ，若将它的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则函数 的图象的一条对称轴的方程为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：由左加右减，得出 解析式，因为解析式为正弦函数，
所以令 ，解出 ，对k进行赋值，得出对称轴.
详解：由左加右减可得 ，
解析式为正弦函数，则令 ，
6.已知圆 上任意一点 关于直线 的对称点 也在圆上，则 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：圆上任意一点关于某直线的对称点还在圆上，说明该直线必过圆心，
根据圆心表达式求出圆心坐标，代入直线方程，即可求得m.
湖南省长沙市雅礼中学2016-2017学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析
2016-2017学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则下列式子正确的是（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={2，3}D．M∪N={1，4}2．计算的结果为（）A．a B．a C．a D．a3．若f（2x+1）=x2﹣2x，则f（2）的值为（）A．﹣ B．C．0 D．14．定义A﹣B={x|x∈A，且x∉B}，若A={1，2，4，6，8，10}，B={1，4，8}，则A﹣B=（）A．{4，8}B．{1，2，6，10}C．{1}D．{2，6，10}5．下列四个函数中，在（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）=﹣B．f（x）=x2﹣3x C．f（x）=3﹣x D．f （x）=﹣|x|6．已知函数f（x）=，则f（f（））（）A．B．C．D．7．设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定8．已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a9．已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．10．函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（1，3） C．（1，3]D．[3，+∞）11．已知函数f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2，则有（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜112．已知关于x的方程x2+2alog2（x2+2）+a2﹣3=0有唯一解，则符合条件的实数a值是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设集合={a2，a+b，0}，则a2014+b2015=．14．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（9）=．15．已知函数f（x），g（x）分别由如表给出满足不等式f[g（x）]＞g[f（x）]解集是．16．函数y=2x﹣的值域是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，）（1）求a的值（2）比较f（2）与f（b2+2）的大小．18．已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜9}，B={x|﹣2≤x≤5}．（1）求A∩B；B∪（∁U A）；（2）已知集合C={x|a≤x≤a+2}，若C⊆∁U B，求实数a的取值范围．19．设函数f（x）=log2（4x）•log2（2x），，（1）若t=log2x，求t取值范围；（2）求f（x）的最值，并给出最值时对应的x的值．20．已知函数f（x）=x﹣．（1）利用定义证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数；（2）当x∈（0，1）时，t•f（2x）≥2x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．21．A城市的出租车计价方式为：若行程不超过3千米，则按“起步价”10元计价；若行程超过3千米，则之后2千米以内的行程按“里程价”计价，单价为1.5元/千米；若行程超过5千米，则之后的行程按“返程价”计价，单价为2.5元/千米．设某人的出行行程为x千米，现有两种乘车方案：①乘坐一辆出租车；②每5千米换乘一辆出租车．（Ⅰ）分别写出两种乘车方案计价的函数关系式；（Ⅱ）对不同的出行行程，①②两种方案中哪种方案的价格较低？请说明理由．22．二次函数y=ax2+x+1（a＞0）的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2．（1）证明：（1+x1）（1+x2）=1；（2）证明：x1＜﹣1，x2＜﹣1；（3）若x1，x2满足不等式|lg|≤1，试求a的取值范围．2016-2017学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则下列式子正确的是（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={2，3}D．M∪N={1，4}【考点】集合的表示法．【分析】利用集合与集合间的基本关系与基本运算判断即可．【解答】解：∵1∈M，1∉N，∴M⊆N不正确；同理知N⊆M不正确；∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，M∪N={1，2，3，4}；故选C．2．计算的结果为（）A．a B．a C．a D．a【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值．【解答】解：=．故选：C．3．若f（2x+1）=x2﹣2x，则f（2）的值为（）A．﹣ B．C．0 D．1【考点】函数的值．【分析】直接利用函数的解析式，求解即可．【解答】解：f（2）=f（2×）==．故选：A．4．定义A﹣B={x|x∈A，且x∉B}，若A={1，2，4，6，8，10}，B={1，4，8}，则A﹣B=（）A．{4，8}B．{1，2，6，10}C．{1}D．{2，6，10}【考点】元素与集合关系的判断．【分析】理解新的运算，根据新定义A﹣B知道，新的集合A﹣B是由所有属于A 但不属于B的元素组成．【解答】解：A﹣B是由所有属于N但不属于M的元素组成，所以A﹣B={2，6，10}．故选D．5．下列四个函数中，在（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）=﹣B．f（x）=x2﹣3x C．f（x）=3﹣x D．f （x）=﹣|x|【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据常见函数的性质判断函数的单调性即可．【解答】解：对于A：函数在（0，+∞）递增，符合题意；对于B：函数的对称轴是x=，在（0，）递减，不合题意；对于C：函数在R递减，不合题意；对于D：函数在（0，+∞）递减，不合题意；故选：A．6．已知函数f（x）=，则f（f（））（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【分析】先求出f（）==﹣2，从而f（f（））=f（﹣2），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）==﹣2，f（f（））=f（﹣2）=．故选：B．7．设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定【考点】二分法求方程的近似解．【分析】由已知“方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号．【解答】解析：∵f（1.5）•f（1.25）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．故选B．8．已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．9．已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化；函数图象的作法．【分析】根据函数y=a x与y=log a x互为反函数，得到它们的图象关于直线直线y=x 对称，从而对选项进行判断即得．【解答】解：∵函数y=a x与y=log a x互为反函数，∴它们的图象关于直线y=x对称．再由函数y=a x的图象过（0，1），y=a x，的图象过（1，0），观察图象知，只有C正确．故选C．10．函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（1，3） C．（1，3]D．[3，+∞）【考点】复合函数的单调性．【分析】由已知中f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，结合底数的范围，可得内函数为减函数，则外函数必为增函数，再由真数必为正，可得a的取值范围．【解答】解：若函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则解得a∈（1，3）故选B11．已知函数f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2，则有（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1【考点】函数的零点与方程根的关系；指数函数与对数函数的关系．【分析】先将f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点转化为y=|lgx|与y=2﹣x有两个交点，然后在同一坐标系中画出两函数的图象得到零点在（0，1）和（1，+∞）内，即可得到﹣2﹣x1=lgx1和2﹣x2=lg x2，然后两式相加即可求得x1x2的范围．【解答】解：f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2即y=|lgx|与y=2﹣x有两个交点由题意x＞0，分别画y=2﹣x和y=|lgx|的图象发现在（0，1）和（1，+∞）有两个交点不妨设x1在（0，1）里x2在（1，+∞）里那么在（0，1）上有2﹣x1=﹣lgx1，即﹣2﹣x1=lgx1…①在（1，+∞）有2﹣x2=lg x2…②①②相加有2﹣x2﹣2﹣x1=lgx1x2∵x2＞x1，∴2﹣x2＜2﹣x1即2﹣x2﹣2﹣x1＜0∴lgx1x2＜0∴0＜x1x2＜1故选D．12．已知关于x的方程x2+2alog2（x2+2）+a2﹣3=0有唯一解，则符合条件的实数a值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得方程x2+2alog2（x2+2）+a2﹣3=0的唯一解为0；从而求出a 再检验即可．【解答】解：∵方程x2+2alog2（x2+2）+a2﹣3=0有唯一解，又∵函数f（x）=x2+2alog2（x2+2）+a2﹣3是偶函数；∴方程x2+2alog2（x2+2）+a2﹣3=0的唯一解为0；故2a+a2﹣3=0，故a=1或a=﹣3；经验证，当a=1时，成立；当a=﹣3时，方程有三个解；故选A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设集合={a2，a+b，0}，则a2014+b2015=1．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据集合相等的条件建立条件关系，即可求出a，b的值，进而可得a2014+b2015的值．【解答】解：∵集合A={a，，1}，B={a2，a+b，0}，且A=B，∴a≠0，则必有=0，即b=0，此时两集合为A={a，0，1}，集合Q={a2，a，0}，∴a2=1，∴a=﹣1或1，当a=1时，集合为P={1，0，1}，集合Q={1，1，0}，不满足集合元素的互异性．当a=﹣1时，P={﹣1，0，1}，集合Q={1，﹣1，0}，满足条件，故a=﹣1，b=0．a2014+b2015=1，故答案为：1．14．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（9）=27．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】用待定系数法求出幂函数y=f（x）的解析式，再计算f（9）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=x a，a∈R，且图象过点，∴2a=2，解得a=，∴f（x）=；∴f（9）==27．故答案为：27．15．已知函数f（x），g（x）分别由如表给出满足不等式f[g（x）]＞g[f（x）]解集是{2} ．【考点】函数的值．【分析】根据表格分别求出对应的函数值即可得到结论．【解答】解：若x=1，则g（1）=3，f[g（x）]=f（3）=1，g[f（1）]=g（1）=3，此时f[g（x）]＞g[f（x）]不成立，若x=2，f[g（2）]=f（2）=3，g[f（2）]=g（3）=1，此时f[g（x）]＞g[f（x）]成立，若x=3，则f[g（3）]=f（1）=1，g[f（3）]=g（1）=3，此时f[g（x）]＞g[f（x）]不成立，故不等式的解集为{2}，故答案为：{2}16．函数y=2x﹣的值域是（﹣∞，] ．【考点】函数的值域．【分析】令，解出x=，所以得到函数y=，对称轴为t=，所以函数在[0，+∞）上单调递减，t=0时，y=，所以y，这便求出了原函数的值域．【解答】解：令，则x=；∴；∴该函数在[0，+∞）上单调递减；∴，即y；∴原函数的值域为（﹣]．故答案为：（﹣]．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，）（1）求a的值（2）比较f（2）与f（b2+2）的大小．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】（1）代值计算即可，（2）根据指数函数的单调性即可求出．【解答】解：（1）f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，），∴a2=，∴a=；（2）∵f（x）=（）x在R上单调递减，又2≤b2+2，∴f（2）≥f（b2+2）．18．已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜9}，B={x|﹣2≤x≤5}．（1）求A∩B；B∪（∁U A）；（2）已知集合C={x|a≤x≤a+2}，若C⊆∁U B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）根据集合的基本运算即可求A∩B，（∁U A）∪B；（2）∁U B，求出根据C⊆∁U B，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）全集U=R，集合A={x|2＜x＜9}，B={x|﹣2≤x≤5}．则：∁U A={x|2≥x或x≥9}那么：A∩B={x|2＜x≤5}；B∪（∁U A）={x|5≥x或x≥9}．（2）集合C={x|a≤x≤a+2}，B={x|﹣2≤x≤5}．则：∁U B={x|﹣2＞x或x＞5}，∵C⊆∁U B，∴需满足：a+2＜﹣2或a＞5，故得：a＜﹣4或a＞5，所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（5，+∞）．19．设函数f（x）=log2（4x）•lo g2（2x），，（1）若t=log2x，求t取值范围；（2）求f（x）的最值，并给出最值时对应的x的值．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】（1）由对数函数的单调性，结合，我们易确定出t=log2x的最大值和最小值，进而得到t取值范围；（2）由已知中f（x）=log2（4x）•log2（2x），根据（1）的结论，我们可以使用换元法，将问题转化为一个二次函数在定区间上的最值问题，根据二次函数的性质易得答案．【解答】解：（1）∵∴即﹣2≤t≤2（2）f（x）=（log2x）2+3log2x+2∴令t=log2x，则，∴时，当t=2即x=4时，f（x）max=1220．已知函数f（x）=x﹣．（1）利用定义证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数；（2）当x∈（0，1）时，t•f（2x）≥2x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）任取0＜x1＜x2，利用定义作差后化简为f（x1）﹣f（x2），再讨论乘积的符号，即可证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数；（2）当x∈（0，1]时，t•f（2x）≥2x﹣1恒成立⇔t≥恒成立，构造函数g（x）=，利用其单调性可求得g（x）的最大值为g（1），从而可求得实数t 的取值范围．【解答】（1）证明：任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣）﹣（x2﹣）=，∵0＜x1＜x2，∴1+x1x2＞0，x1x2＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数；（2）∵t（2x﹣）≥2x﹣1，∴≥2x﹣1∵x∈（0，1]，∴1＜2x≤2，∴t≥恒成立，设g（x）==1﹣，显然g（x）在（0，1]上为增函数，g（x）的最大值为g（1）=，故t的取值范围是[，+∞）．21．A城市的出租车计价方式为：若行程不超过3千米，则按“起步价”10元计价；若行程超过3千米，则之后2千米以内的行程按“里程价”计价，单价为1.5元/千米；若行程超过5千米，则之后的行程按“返程价”计价，单价为2.5元/千米．设某人的出行行程为x千米，现有两种乘车方案：①乘坐一辆出租车；②每5千米换乘一辆出租车．（Ⅰ）分别写出两种乘车方案计价的函数关系式；（Ⅱ）对不同的出行行程，①②两种方案中哪种方案的价格较低？请说明理由．【考点】函数模型的选择与应用；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）根据两种乘车方案：①乘坐一辆出租车；②每5千米换乘一辆出租车，分别写出两种乘车方案计价的函数关系式；（Ⅱ）分类讨论，作差，即可得出对不同的出行行程，①②两种方案中哪种方案的价格较低．【解答】解：（Ⅰ）方案①计价的函数为f（x），方案②计价的函数为g（x），则f（x）=；g（x）=；（Ⅱ）当0＜x≤5时，f（x）=g（x），x＞5时，f（x）＜g（x）即方案①的价格比方案②的价格低，理由如下：x∈（5k，5k+3）（k∈N），f（x）﹣g（x）=2.5x﹣13k﹣9.5≤﹣0.5k﹣2＜0；x∈（5k+3，5k+5）（k∈N），f（x）﹣g（x）=x﹣5.5k﹣5≤﹣0.5k＜0．22．二次函数y=ax2+x+1（a＞0）的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2．（1）证明：（1+x1）（1+x2）=1；（2）证明：x1＜﹣1，x2＜﹣1；（3）若x1，x2满足不等式|lg|≤1，试求a的取值范围．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）根据韦达定理求出x1+x2，x1•x2的值，证明即可；（2）由△＞0，求出a的范围，从而证出结论；（3）求出x2=﹣，由≤≤10，得到≤﹣（1+x1）≤10，求出a的范围即可．【解答】（1）证明：由题意得：x1+x2=﹣，x1•x2=，∴（1+x1）（1+x2）=x1x2+（x1+x2）+1=1；（2）证明：由△=1﹣4a＞0，解得：a＜，∵（1+x1）（1+x2）=1＞0，而（1+x1）（1+x2）=x1+x2+2=﹣+2＜﹣4+2＜0，∴1+x1＜0，1+x2＜0，故x1＜﹣1，x2＜﹣1；（3）解：x2=﹣，|lg|≤1，∵≤≤10，∴≤﹣（1+x1）≤10，∴﹣11≤x1≤﹣，a==﹣（+）=﹣+，当=﹣时，a的最大值是，当=﹣时，a的最小值是，故a的范围是[，]．2017年2月6日。
湖南省长沙市雅礼中学2017-2018学年高一下期中考试数学试题
雅礼中学2017-2018学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}{}，，，，，，，，54323210==B A 则B A 中元素的个数为 A.2 B.3 C.4 D.52.已知角θ的终边与单位圆的交点为，，⎪⎪⎭⎫⎝⎛2321P 则θcos 等于 A.21 B.21- C.22- D.23 3.已知向量()()241，，-==k 且，⊥则实数k 的值为 A.21- B.21 C.2- D.2 4.设βαtan tan 、是方程0232=+-x x 的两根,则()βα+tan 的值为A.-3B.-1C.1D.35,在某学校图书馆的书架上随意摆放着有编号1、2、3、4、5的五本史书,若某同学从中任意选出两本史书,则选出的两本史书编号相连的概率为 A.101 B.51 C.21 D.52 6.已知非零向量==则的夹角大小为 A.65π B.32π C.3π D.6π 7.函数()x e e y x x sin -+=的部分图像大致为8.计算:=︒-⋅︒︒-20cos 180cos 10cos 12 A.22 B.21 C.23 D.22- 9.将函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 图像向右平移6π个单位,得到函数()x g 的图像,则下列说法不正确的是A.()x g 的周期为πB.236=⎪⎭⎫ ⎝⎛πg C.6π=x 是()x g 的一条对称轴 D.()x g 为奇函数 10.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经三处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?其意思是:“诗人带着装有部分酒的壸去春游,先遇到酒店就将酒添加一倍，后遇到朋友饮酒一斗，如此三次先后遇到陋酉店和朋友,壶中酒恰好饮完问壶中原有多少酒?”用程序相图表达如图所示,即最终输出的0=x ,那么在这个空白框□可以填入A.1-=x xB.12-=x xC.x x 2=D.12+=x x11.如图,将45°直角三角板和30°角直角三角板拼在一起,其中45°角直角三角板的斜边与30°角直角三角板的角所对的直角边重合,若，DA y DC x DB +=则=+y xA.13+B.33+C.13-D.33-12.一个几何体的三视图图际,其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的体积为A.π334B.π38C.π316 D.π27332 二、填空题(毎小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若一个扇形的圆心角为2,半径为1cm,则该扇形的面积为_______2cm .14.某餐厅的原料费支出x 与销售额y (单位:万元)之间有如下数据,根据表中提供的全部费用,用最小二乘法得出与的线形回归方程为，5.75.8+=∧x y 则表中的m 的值为_______.15.若[]，，π0∈θ则213sin ＞π⎪⎭⎫ ⎝⎛+θ成立的概率为_______. 16.已知函数()(]()()，，，，，⎩⎨⎧∞+∈-∞-∈-=222222x x f x x x x f 则方程()012sin =-+x x f π在[]66，-∈x 上所有实数根的和为_________.三、解答题17.(本小题满分10分)已知函数().cos sin R x x x x f ∈=，(1)求函数()x f 的最小正周期；。
湖南长沙雅礼教育集团2017-2018学年八年级下学期期中联考数学试题
湖南长沙雅礼教育集团2017-2018学年八年级下学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．B．C．D．二、填空题1三、解答题19．解下列一元二次方程（1）2230x x --=（2）22540x x -+-=20．已知一次函数y kx b =+的图象经过点()2,3A 和()5,7B 两点．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求该函数图象与两坐标轴围成的三角形面积．21．为响应国家推行的蓝天保卫战，某企业推出一种叫“CNG ”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装费为b 元，据市场调查知：每辆车改装前、后的燃料费(含改装费)01y y 、(单位：元)与正常运营时间x (单位：天)之间分别满足关系式：0150y ax y b x ==+、，如图所示．试根据图象解决下列问题．a元；每辆车的改装费b=元．（1）每辆车改装前每天的燃料费=（2）正常营运多少天后，可以从燃料费中收回改装成本？22．某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示，其中BA是线段，且BA//x轴，AC是射线．（1）当x≥30，求y与x之间的函数关系式；（2）若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？（3）若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少？23．为了了解某学校八年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽取了该学校八年级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．（1）根据以上信息，回答下列问题．①求m的值；②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数；③补全条形统计图．（2）直接写出这组数据的众数、中位数，求出这组数据的平均数．24．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC 三边的长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由．25．用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为250,a ≥所以2511,a +≥即：当0a =时，251a +有最小值1.同样，因为()2510,a -+≤所以()25166a -++≤有最大值1,即：当1a =-时，()2516a -++有最大值6．（1）当x = _时，代数式()2324x -+有最_ (填写大或小值为 ．（2）当x = 时，代数式244x x -++有最_ (填写大或小)值为 ． （3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是14m ，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？26．如图1，已知平行四边形ABCD ，点A 的坐标为()1,4-，点B 的坐标为()7,4-，点D 的坐标为()3,4-，点P 是平行四边形ABCD 边上的一个动点．（1）点C 的坐标为_ ，AD 的长为 _．（2）若点P 在边AB AD ，上，点P 关于x 坐标轴对称的点Q 落在直线1y x =-上，求点P 的坐标．（3）若点P 在边,,AB AD CD 上，点G 是AD 与y 轴的交点，如图2，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将PG M △沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，求点P 的坐标．(直接写出答案)。
长沙市雅礼中学新初一分班数学试卷含答案
长沙市雅礼中学新初一分班数学试卷含答案一、选择题1．两地间的实际距离是80千米，画在地图上是4厘米．这幅地图的比例尺是（）．A．1：20 B．1：20000 C．1：20000002．笑笑在方格图中画了一个直角三角形（如图），A点用数对()1,4表示，C点用数对()5,2表示，那么三角形的面积是（）。
A．4 B．8 C．10 D．203．一堆煤有12吨，第一次运走14吨，第二次运走总数的18，两次共运走多少吨？正确的算式是（）。
A．1148+B．111()248⨯+C．111428+⨯D．111()248⨯-4．一根彩绳和A、B、C三个钉子围成如下图所示的三角形。
如果保持其中两个钉子及钉子间的彩绳不动，挪动三角形另一个顶点处的钉子，并再加一个钉子，使这个彩绳围成一个长方形，则所围成的长方形的面积是（）。
A．14或20 B．14或18或20 C．7或15或16 D．以上答案都不正确5．如下图，四个圆的圆心在一条直线上，大圆的周长与三个小圆的周长之和比较，结果是( )．A．大圆的周长较长B．大圆的周长较短C．相等D．无法比较6．观察由小正方体组成的立体图形,从左面看到的是,从右面看到的一定是()．A．B．C．D．7．下列说法错误的是（）。
A ．如果1=a b ，那么a 一定是b 的倒数B ．1千米增加15后，又减少15千米，结果还是1千米C ．正方体的棱长扩大为原来的3倍，那么表面积扩大为原来的6倍，体积扩大为原来的9倍8．如图将一个圆柱转化成一个长方体、体积（ ）。
A ．不变B ．增加C ．减少9．某市出租车收费标准如下表，根据表格描述，（ ）的说法是正确的。
里程收费 2千米（含2千米）以内 6.00元（起步价）2千米以上，每增加1千米1.50元A ．该市出租车所行的里程与所需费用成正比例B ．该市出租车所行的里程与所需费用成反比例C ．该市出租车所行里程在2千米以上，所行的里程与所需费用成正比例D ．该市出租车所行里程在2千米以上，所行的里程与所需费用成反比例10．下图是丁小乖去图书馆的折线统计图，他在（ ）区间内，走的路程与时间成正比例关系．A ．8:30～8:45B ．8:45～9:45C ．9:45～10:30D ．以上答案都不正确二、填空题11．0.35时＝（______）分 680m ＝（______）km 0.55L ＝（______）mL十12．27的分数单位是（______），0.82里面有（______）个0.01。
湖南省长沙市雅礼中学2017届高考模拟试卷二数学文 试
炎德·英才大联考雅礼中学2017届高考模拟卷（二）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}|12,|14,A x x B x x x Z =-≤≤=-<<∈，则A B = （ ） A ． {}0,1,2 B ．[]0,2 C ．{}0,2 D ．()0,22.已知复数21z i=-+，则（ ） A ．z 的模为2 B ．z 的虚部为-1 C ．z 的实部为1 D ．z 的共轭复数为1i +3.已知命题()1:0,,sin p x x x x∀∈+∞=+，命题:,1xq x R π∃∈<，则下列为真命题的是（ ）A ． ()p q ∧⌝B ．()()p q ⌝∧⌝C ． ()p q ⌝∧D ．p q ∧4.一个焦点为()0,6，且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线的方程是 （ ） A ．2211224x y -= B ．2211224y x -= C. 2212412y x -= D ．2212412x y -= 5.若()()sin cos cos sin m αβααβα---=，且β为第三象限角，则cos β的值为（ ）A ．B ． ．6.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=+，则()1f '= （ ） A ．e - B ．-1 C. 1 D ． e7.已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为（ ）A ．1043π- B ． 1083π- C. 1643π- D ．1683π- 8.已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若()3cos 13cos b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）A ．2：3B ．4：3 C. 3：1 D ．3：29.当4n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．6B ． 8 C. 14 D ．3010.如图，将绘有函数()()506f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，若AB ()1f -=（ ）A ．-1B ．1 C. 11.已知定义在R 上的函数()f x 为增函数，当121x x +=时，不等式()()()()1201f x f f x f +>+恒成立，则实数1x 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞ 12.已知正方体1111ABCD A BC D -，点,,EFG 分别是线段1,DC D D 和1D B 上的动点，给出下列结论：①对于任意给定的点E ，存在点F ，使得1AF A E ⊥； ②对于任意给定的点F ，存在点E ，使得1AF A E ⊥； ③对于任意给定的点G ，存在点F ，使得1AF B G ⊥； ④对于任意给定的点F ，存在点G ，使得1AF B G ⊥. 其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1 C. 2 D ．3第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题 ，每小题5分.13.已知向量()()2,1,3,a b x =-= ，若3a b =，则x = ．14.向面积为S 的平行四边形ABCD 内任投一点M ，则MCD ∆的面积小于3S的概率为 ．15.若无论实数a 取何值时，直线10ax y a +++=与圆22220x y x y b +--+=都相交，则实数b 的取值范围是 ．16.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）.已知《易知》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为 寸．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 中，131,9a a ==，且()112n n a a n n λ-=+-≥. （1）求λ的值及数列{}n a 的通项公式；（2）设()()1nn n b a n =-+ ，且数列{}n b 的前2n 项和为2n S ，求2n S ．18. 如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD ．（1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（2）若0120,ABC AE EC ∠=⊥，三棱锥E ACD -（平面ACD 为底面）．19.在“一带一路”的建设中，中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探.由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用.勘探初期数据资料下表：（1）在散点图中16 号旧井位置大致分布在一条直线附近，借助前5组数据求得回归线方程为 6.5y x a =+，求a ，并估计y 的预报值；（2）现准备勘探新井()71,25，若通过1、3、5、7号井计算出的ˆˆ,ba 的值（ˆˆ,b a 精确到0.01）相比于（1）中,b a 的值之差（即：ˆˆ,b b a a b a--）不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井()61,y ，否则在新位置打井，请判断可否使用旧井？（参考公式和计算结果：442121212122111ˆˆˆ,,94,945ni ii i i i ni i i i x y nx yba y bx x x y x nx=---===-==-==-∑∑∑∑ ） （3）设出油量与钻探深度的比值k 不低于20的勘探井称为优质井，在原有井号26 的井中任意勘探3口井，求恰好2口是优质井的概率．20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左焦点1F 与抛物线24y x =-的焦点重合，椭圆E ，过点(),0M m 作斜率存在且不为0的直线l ，交椭圆E 于,A C 两点，点5,04P ⎛⎫⎪⎝⎭，且PA PC 为定值．（1）求椭圆E 的方程； （2）求m 的值．21. 已知函数()()31,ln 4f x x axg x x =++=-．（1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线； （2）用{}m in ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>，讨论()h x 零点的个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为2112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos21ρθ=，直线l 与曲线C 交于,A B 两点． （1）求AB 的长；（2）若点P 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，求AB 中点M 到P 的距离． 23.选修4-5：不等式选讲已知0,0a b >>，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1． （1）求2a b +的值；（2）若2a b tab +≥，求实数t 的最大值．试卷答案一、选择题1-5: ABCBB 6-10: BCCDD 11、12：DC二、填空题13. 3 14.2315. (,6)-∞- 16. 82 三、解答题17.【解析】（1）∵131,9a a ==，且()112n n a a n n λ-=+-≥， ∴232,519a a λλ==-=，解得2λ=，∴()1212n n a a n n --=-≥，∴()()()22112123312n n n a n n n -+=-+-+++== ；（2）()()()()211nnn n b a n nn =-+=-+ ，()()()222122121224n n b b n n n n n -⎡⎤⎡⎤+=--+-++=⎣⎦⎣⎦，()2214222n n n S n n +=⨯=+． 18.【解析】（1）因为四边形ABCD 的菱形，所以AC BD ⊥， 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC BE ⊥，故AC ⊥平面BED ， 又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED ； （2）设AB x =，在菱形ABCD 中，由0120ABC ∠=，可得,2xAG GC x GB GD ====．因为AE EC ⊥，所以在Rt AEC ∆中，可得2EG x =． 由BE ⊥平面ABCD ，知EBG ∆为直角三角形，可得2BE x =， 由已知得，三棱锥E ACD -的体积31132E ACD V AC GD BE x -=⨯==， 故2x =，从而可得AE EC ED ===所以EAC ∆的面积为3，EAD ∆的面积与ECD ∆故三棱锥E ACD -的侧面积为3+19.【解析】（1）因为5,50x y ==，回归直线必过样本中心点(),x y ，则50 6.5517.5a y bx =-=-⨯=，故回归直线方程为 6.517.5y x =+，当1x =时， 6.517.524y =+=，即y 的预报值为24；（2）因为442212121114,46.25,94,945i i i i i x y xx y ---======∑∑，所以421211422221149454446.25ˆ 6.8394444i i i i i xy x ybxx--=-=--⨯⨯==≈-⨯-∑∑，ˆˆ46.25 6.83418.93ay bx =-=-⨯=，即ˆˆ6.83,18.93, 6.5,17.5b a b a ====， ˆˆ5%,8%b b a a b a--≈≈，均不超过10%， 因此可以使用位置最接近的已有旧井()61,24；（3）由题可知：3，5，6这3口井是优质井，2，4这2口井为非优质井，由题意从这5口井中随机选取3口井的可能情况有：()()()()()()()()()()2,3,4,2,3,5,2,3,6,2,4,5,2,4,6,2,5,6,3,4,5,3,4,6,3,5,6,4,5,6，共有10种，其中恰有2口是优质井的有()()()()()()2,3,5,2,3,6,2,5,6,3,4,5,3,4,6,4,5,6，6种，所以所求恰有2口是优质井的概率是63105P ==． 20.【解析】（1）∵24y x =-的焦点为()1,0-，∴1c =，又∵e =，∴1a b ==，∴椭圆E 的方程为2212x y +=； （2）由题意，k 存在且不为零，设直线l 方程为()()()1122,,,,y k x m A x y C x y =-，联立方程组()2212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消元得()22222124220k x mk x k m +-+-=，∴222121222422,1212mk m k x x x x k k -+==++ ，∴222121222422,1212mk m k x x x x k k-+==++ ， ∴()()21212121255554444PA PC x x y y x x k x m x m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()()()2222221212235225252514161216m m k k x x mk x x k m k ---⎛⎫=+-++++=+ ⎪+⎝⎭， ∵PA PC 为定值，∴23524m m --=-，即23520m m -+=，∴1221,3m m ==，∴m 的值为1或23． 21.【解析】（1）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，则()()000,0f x f x '==，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩， 解得：013,24x a ==-， 因此，当34a =-时，x 轴是曲线()y f x =的切线；（2）当()1,x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()()(){}()min ,0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在()1,+∞无零点，当1x =时，若54a ≥-，则()5104f a =+≥，()()(){}()1min 1,110h fg g ===，故1x =是()h x 的零点； 若54a <-，则()5104f a =+<，()()(){}()1min 1,110h fg f ==<，故1x =不是()h x 的零点，当()0,1x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在()0,1的零点个数，（Ⅰ）若3a ≤-或0a ≥，则()23f x x a '=+在()0,1无零点，故()f x 在()0,1单调，而()()150,144f f a ==+，所以当3a ≤-时，()f x 在()0,1有一个零点； 当0a ≥时，()f x 在()0,1无零点； （Ⅱ）若30a -<<，则()f x在⎛⎝单调递减，在⎫⎪⎪⎭单调递增，故当x =()f x取的最小值，最小值为14f =． ①若0f >，即304a -<<，()f x 在()0,1无零点； ②若0f =，即34a =-，则()f x 在()0,1有唯一零点；③若0f <，即334a -<<-，由于()()150,144f f a ==+，所以当5344a -<<-时，()f x 在()0,1有两个零点；当334a -<≤-时，()f x 在()0,1有一个零点． 综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点； 当5344a -<<-时，()h x 有三个零点． 22.【解析】（1）曲线2:cos 21C ρθ=的直角坐标方程为221x y -=，将112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线22:1C x y -=，得：2240t t --=， 设A 点、B 点所对应的参数分别为12t t 、，则12122,4t t t t +==- ，AB =；（2）点1,2P π⎛⎫ ⎪⎝⎭对应的直角坐标为()0,1在直线l 上，AB 中点M 对应的参数为1212t t +=， 所以M点坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，点M 到点P 的距离为1d =． 23.【解析】（1）法一：()222b b f x x a x b x a x x =++-=++-+-， ∵()222b b b x a x x a x a ⎛⎫++-≥+--=+ ⎪⎝⎭且02b x -≥， ∴()2b f x a ≥+，当2b x =时取等号，即()f x 的最小值为2b a +， ∴1,222b a a b +=+=； 法二：∵2b a -<， ∴()3,2,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=++-=-++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩， 显然()f x 在,2b ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，()f x 在,2b ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， ∴()f x 的最小值为22b b f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴1,222b a a b +=+=； （2）法一：∵2a b tab +≥恒成立，∴2a b t ab +≥恒成立， ()21212112219214142222a b a b a b ab b a b a b c ⎛+⎛⎫⎛⎫=+=++=+++≥++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ ， 当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92， ∴92t ≥，即实数t 的最大值为92； 法二：∵2a b tab +≥恒成立， ∴2a b t ab +≥恒成立，212a b t ab b a +≤=+恒成立，()21212149222b a b a b a ++=+≥=+， ∴92t ≥，即实数t 的最大值为92．。
数学---湖南省长沙市雅礼中学2017届高三二模试卷(理)(解析版)
湖南省长沙市雅礼中学2017届高三二模试卷（理）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知x∈R，则“x＜1”是“x2＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件2．（5分）若复数z为纯虚数且（1+i）z=a﹣i（其中i是虚数单位，a∈R），则|a+z|=（）A．B．C．2 D．3．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为（）A．16 B．18 C．48 D．1434．（5分）已知非零向量，，满足++=0，向量与夹角为120°，且||=2||，则向量与的夹角为（）A．60°B．90°C．120°D．150°5．（5分）已知数列{a n}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则S8=（）A．36 B．49 C．64 D．816．（5分）一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（）A．158 B．108 C．98 D．887．（5分）某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）（）A．2017年B．2018年C．2019年D．2020年8．（5分）若是函数图象的一条对称轴，当ω取最小正数时（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在单调递增C．f（x）在单调递减D．f（x）在单调递增9．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，有一内接矩形花园（阴影部分），其一边长为x （单位：m）．将一颗豆子随机地扔到该空地内，用A表示事件：“豆子落在矩形花园内”，则P（A）的最大值为（）A．B．C．D．10．（5分）如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．11．（5分）已知F是椭圆的左焦点，设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，则直线OP（O为原点）的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）﹣ax．若直线y=x与曲线y=f（x）至少有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（5分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为．14．（5分）若变量x，y满足，则z=2x﹣y的最大值是．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（0，1）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（x ∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．16．（5分）已知f（x）=25﹣x，g（x）=x+t，设h（x）=max{f（x），g（x）}．若当x∈N+时，恒有h（5）≤h（x），则实数t的取值范围是．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在边长为2的正三角形△ABC中，D为BC的中点，E，F分别在边CA，AB上．（1）若，求CE的长；（2）若∠EDF=60°，问：当∠CDE取何值时，△DEF的面积最小？并求出面积的最小值．18．（12分）如图，已知AB是半径为2的半球O的直径，P，D为球面上的两点且∠DAB=∠P AB=60°，．（1）求证：平面P AB⊥平面DAB；（2）求二面角B﹣AP﹣D的余弦值．19．（12分）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设n=4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．（Ⅰ）写出X的可能值集合；（Ⅱ）假设a1，a2，a3，a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；（Ⅲ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，①试按（Ⅱ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．20．（12分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0），曲线C1上任意一点M满足；曲线C2上的点N在y轴的右边且N到F2的距离与它到y轴的距离的差为1．（1）求C1，C2的方程；（2）过F1的直线l与C1相交于点A，B，直线AF2，BF2分别与C2相交于点C，D和E，F．求的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=ln x﹣ax（a＞0），设．（1）判断函数h（x）=f（x）﹣g（x）零点的个数，并给出证明；（2）首项为m的数列{a n}满足：①a n+1+a n≠；②f（a n+1）=g（a n）．其中0＜m＜．求证：对于任意的i，j∈N*，均有a i﹣a j＜﹣m．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为．（1）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）设P是曲线C上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．选修4-5：不等式选讲23．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．（1）求实数a，b的值；（2）求证：．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．B【解析】x2＜1，解得﹣1＜x＜1．∴“x＜1”是“x2＜1”的必要不充分条件．故选B．2．A【解析】由（1+i）z=a﹣i，得，∵复数z为纯虚数，∴，解得a=1．∴z=﹣i，则|a+z|=|1﹣i|=．故选A．3．C【解析】初始值n=3，x=3，程序运行过程如下表所示：v=1i=2，v=1×3+2=5i=1，v=5×3+1=16i=0，v=16×3+0=48i=﹣1，不满足条件，跳出循环，输出v的值为48．故选C．4．B【解析】∵=•（﹣﹣）=﹣﹣=﹣﹣||•2||•cos120°=﹣+=0．∴⊥，故选B．5．C【解析】数列{a n}是公差为d=2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，可得a22=a1a5，即有（a1+2）2=a1（a1+8），解得a1=1，则S8=8a1+×8×7d=8+×8×7×2=64．故选C．6．D【解析】由三视图知：几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4，∴腰长为5，∴底面三角形的周长为5+5+6=16，∴几何体的表面积S=2××6×4+（5+5+6）×4=24+64=88．故选D．7．D【解析】设该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是第n年，则130×（1+12%）n﹣2016≥200，则n≥2 016+==2 019.8，取n=2 020．故选D．8．D【解析】=2sin（ωx+）∴函数f（x）图象的对称轴方程：ωx+=+2kπ（k∈Z）∵是f（x）图象的一条对称轴，∴ω+=+2kπ，得ω=2+6kπ，（k∈Z）当k=0时，ω取最小正数2，此时f（x）=（2x+）∴f（x）的单调增区间为（﹣+kπ，+kπ），单调减区间为（+kπ，+kπ）对照ABCD各选项，可知只有D符合题意.故选D.9．C【解析】三角形的面积S1==800，矩形花园的另一边长为h，则，∴h=40﹣x，∴矩形花园的面积S2=hx=（40﹣x）x=﹣x2+40x，∴P（A）==，∵0＜x＜40，∴当x=20时，P（A）取得最大值=．故选C．10．B【解析】设正方体的棱长为1，显然，当P移动到对角线BD1的中点O时，函数取得唯一最大值，所以排除A、C；当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M1、N1、P1，则y=MN=M1N1=2BP1=2•x cos∠D1BD=2•是一次函数，所以排除D．故选B．11．A【解析】由，得a2=4，b2=3，∴．则F（﹣1，0），如图：过F作垂直于x轴的直线，交椭圆于A（x轴上方），则x A=﹣1，代入椭圆方程可得．当P为椭圆上顶点时，P（0，），此时，又，∴当直线FP的斜率大于时，直线OP的斜率的取值范围是．故选A．12．D【解析】设x＞0，则﹣x＜0，∵f（x）为偶函数，且当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）﹣ax，∴当x＞0时，f（x）=f（﹣x）=ln x+ax．∴f（x）=．若直线y=x与曲线y=f（x）至少有两个交点，即方程f（x）=x至少有两个根．令g（x）=f（x）﹣x=．下面研究：当x＜0时，函数g（x）=ln（﹣x）﹣ax﹣x零点情况：由g（x）=ln（﹣x）﹣ax﹣x=0，得ln（﹣x）=（a+1）x．作出y=ln（﹣x）的图象如图：若a+1≥0，即a≥﹣1，则y=ln（﹣x）与y=（a+1）x有1个交点，若a+1＜0，即a＜﹣1，设直线y=（a+1）x与y=ln（﹣x）的切点为（x0，ln（﹣x0）），则切线方程为y﹣ln（﹣x0）=（x﹣x0），代入原点（0，0），可得ln（﹣x0）=1，x0=﹣e．则切点为（﹣e，1），切线斜率为﹣，要使直线y=（a+1）x与y=ln（﹣x）有交点，则a+1，即a；当x＞0时，函数g（x）=ln x+ax﹣x零点情况：由g（x）=ln x+ax﹣x=0，得ln x=（﹣a+1）x．作出y=ln x的图象如图：若﹣a+1≤0，即a≥1，则y=ln x与y=（﹣a+1）x有1个交点，若﹣a+1＞0，即a＜1，设直线y=（﹣a+1）x与y=ln x的切点为（x0，ln x0），则切线方程为y﹣ln x0=（x﹣x0），代入原点（0，0），可得ln x0=1，x0=e．则切点为（e，1），切线斜率为，要使直线y=（﹣a+1）x与y=ln x有交点，则﹣a+1，即．综上，满足直线y=x与曲线y=f（x）至少有两个交点，则实数a的取值范围是．故选D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．48【解析】根据题意，分2步进行分析：①、要求五位数为偶数，需要在2、4之中任选1个，安排在个位，有2种情况，②、将剩下的4个数字安排在其他四个数位，有A44=24种情况，则有2×24=48个五位偶数，故答案为：48．14．5【解析】作出变量x，y满足对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得C（3，1）将C（3，1）的坐标代入目标函数z=2x﹣y，得z=6﹣1=5．即z=2x﹣y的最大值为5．故答案为：5．15．x2+（y﹣1）2=8【解析】∵直线mx﹣y﹣2m﹣1=0，即m（x﹣2）﹣y﹣1=0，经过定点A（2，﹣1），∴以点B（0，1）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（x∈R）相切的所有圆中，当AB与直线垂直时，圆的半径最大，此时，K AB•m=﹣1，即•m=﹣1，m=1，圆的半径r=AB=2，故圆的标准方程为x2+（y﹣1）2=8，故答案为：x2+（y﹣1）2=8．16．[﹣5，﹣3]【解析】作出f（x）=25﹣x，g（x）=x+t的图象，设交点的横坐标为：x0，由当x∈N+时，恒有h（5）≤h（x），可得x＜x0时，h（x）=25﹣x，x＞x0时，h（x）=x+t，可得5≤x0≤6，即有h（5）=20=1，由1≤6+t解得t≥﹣5；可得4≤x0≤5，即有h（5）=5+t，由25﹣4≥5+t解得t≤﹣3，可得﹣5≤t≤﹣3，则t的取值范围是[﹣5，﹣3]．故答案为：[﹣5，﹣3]．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：（1）在△CDE中，，由余弦定理得，DE2=CD2+CE2﹣2×CD×CE×cos 60°，得CE2﹣CE﹣1=0，解得；（2）设∠CDE=α，300≤α≤900，在△CDE中，由正弦定理，得，所以，同理，故，因为300≤α≤900，300≤2α﹣300≤1500，所以当α=600时，sin（2α﹣300）的最大值为1，此时△DEF的面积取到最小值．即∠CDE=60°时，△DEF的面积的最小值为．18．解：（1）证明：在△P AB中，过P作PH⊥AB于点H，连HD．由Rt△APB≌Rt△ADB可知DH⊥AB，且，又PH2+HD2=3+3=6=PD2，∴PH⊥HD．又AB∩HD=H，∴PH⊥平面ABD，又PH⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面ABD．（2）由（1）可知HB，HD，HP两两垂直，故以H为原点，HB，HD，HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，可知．设平面APD的法向量为=（x，y，z），则，即，∴，令，则得y=z=1，∴，又平面APB的法向量=（0，1，0），∴cos===，而二面角B﹣AP﹣D与m，n的夹角相等，因此所求的二面角B﹣AP﹣D的余弦值为．19．解：（1）X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}∵在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，∴a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，∴|1﹣a1|+|3﹣a3|与|2﹣a2|+|4﹣a4|的奇偶性相同，∴X=（|1﹣a1|+|3﹣a3|）+（|2﹣a2|+|4﹣a4|）必为偶数，X的值非负，且易知其值不大于8，∴X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}（2）可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，计算每种排列下的X的值，在等可能的假定下，得到P（X=0）=P（X=2）=P（X=4）=P（X=6）=P（X=8）=（3）①首先P（X≤2）=P（X=0）+P（X=2）==将三轮测试都有X≤2的概率记做P，有上述结果和独立性假设得P==，②由于P=＜是一个很小的概率，这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小，∴我们认为该品酒师确实有良好的鉴别功能，不是靠随机猜测．20．解：（1）由题意可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，为实轴长的双曲线的左支，故有，∴C1的方程为，设N（x，y）（x＞0），则有，化简得y2=4x（x＞0），即C2的方程为y2=4x（x＞0）．（2）设直线l的方程为x=ky﹣1（0≤k2＜1），联立方程组，消去x得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，设AF2，BF2的斜率分别为k1，k2，则有，∴，，直线AF2的方程为y=k1（x﹣1），代入y2=4x有，设C（x3，y3），D（x4，y4），则有，∴，同理．∴，∴．21．解：（1）函数h（x）=f（x）﹣g（x）在上有且仅有一个零点．证明如下：函数f（x）=ln x﹣ax的定义域为（0，+∞），由，可得函数g（x）的定义域为（﹣∞，），∴函数h（x）=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，）．h（x）=f（x）﹣g（x）=ln x﹣ax﹣ln（）+2﹣ax．h′（x）=，当且仅当时等号成立，因此h（x）在上单调递增，又，故函数h（x）=f（x）﹣g（x）在上有且仅有一个零点；证明：（2）由（1）可知h（x）在上单调递增，且，故当时，h（x）＜0，即f（x）＜g（x）；当时，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）．∵，∴f（a1）＜g（a1）=f（a2），若，则由，且f（x）在上单调递减，知，即，这与矛盾，故，而当时，f（x）单调递增，故；同理可证，…，，故数列{a n}为单调递增数列且所有项均小于，因此对于任意的i，j∈N*，均有．22．解：（1）因为曲线C的参数方程为（θ为参数）．所以，所以曲线C的普通方程为，因为直线l的方程为．展开得ρsinθ﹣ρcos θ=3，即y﹣x=3，所以直线l的直角坐标方程为x﹣y+3=0；（2）设，则点P到直线l的距离为等号成立当且仅当，即，即时成立，因此点P到直线l的距离的最大值为．23．（1）解：由|x+a|＜b，得﹣b﹣a＜x＜b﹣a，则，解得a=﹣3，b=1．（2）由柯西不等式有，所以，当且仅当，即t=1时等号成立．又，所以，当且仅当t=4时等号成立，综上，．。
湖南省长沙市雅礼中学2017_2018学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)
雅礼中学年上学期期末考试试卷高二理科数学一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
. 是的共轭复数. 若（为虚数单位），则（）. . . .【答案】【解析】分析：先设，（∈），由题得关于的方程组，解方程组得的值即得的值.详解：设，（∈），由题得故答案为：.点睛：（）本题主要考查复数的计算和复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.() 复数的共轭复数复数相等:.. 设全集为，集合，，则（）. . . .【答案】【解析】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.. 设，则“”是的（）. 充分而不必要条件 . 必要而不充分条件 . 充要条件 . 既不充分也不必要条件【答案】【解析】分析：先化简两个不等式，再利用充要条件的定义来判断.详解：由得＜＜，所以＜＜.由得＜，因为，所以“”是的充分不必要条件.故答案为：.点睛：（）本题主要考查充要条件的判断和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.()本题利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：（）若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；（）若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；（）若且，即时，则是的充要条件.. 设是等差数列. 下列结论中正确的是（）. 若，则 . 若，则. 若，则 . 若，则【答案】【解析】试题分析：本题可使用举反例法排除错误选项．项中，取，可见命题是错误的；项中，取，可见命题是错误的；项中，取，可见命题是错误的；而项中，，因为，所以，可得，故本题的正确选项为.考点：等差数列的运用.. 下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是（）. . . .【答案】【解析】分析：直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果．详解：首先根据函数的图象，则：函数的图象与（﹣）的图象关于轴对称．由于函数的图象关于直线对称．则：把函数（﹣）的图象向右平移个单位即可得到：（﹣）．即所求得解析式为：（﹣）．故答案为：．点睛：本题主要考查函数图像的变换和对称问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平.. 已知为正实数，则（）. .. .【答案】【解析】试题分析：由对数与指数的运算法则，知，，所以，故正确，故选．考点：指数与对数的运算．. 已知点、、、，则向量在方向上的投影为（）. . . .【答案】【解析】，，向量在方向上的投影为，故选．. 【天津，文】设变量，满足约束条件则目标函数的最大值为（）. . . .【答案】【解析】分析：先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数的最大值．详解：由变量，满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得（，）．当目标函数经过时，直线的截距最大，取得最大值．将其代入得的值为，故答案为：．点睛：（）本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.() 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.. 函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）. .. .【答案】【解析】由图象可知，，解得，，所以，令，解得<<，，故单调减区间为(，)，，故选．【名师点睛】本题考查函数的图象与性质，先列出关于的方程，求出，或利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求出是解题的关键.. 在中，，边上的高等于,则（）. . . .【答案】【解析】试题分析：设,故选.考点：解三角形.视频. 设，则（）. . . .【答案】【解析】分析：先分析出<<，再利用作差法比较的大小关系得解.详解：由题得＜,>. 所以<..所以，所以.故答案为：.点睛：（）本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.()解答本题的关键是对数的运算.. 已知数列满足，且是递减数列，是递增数列，则（）. . . .【答案】【解析】试题分析：由可得：，又是递减数列，是递增数列，所以，即，由不等式的性质可得：，又因为，即，所以，即，同理可得：；当数列的项数为偶数时，令，可得：，将这个式子相加得：，所以，则，所以选．考点：．裂项相消法求和；．等比数列求和；二、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
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10.方程（x − 16x + 40)
；
11.方程x(x − 1)[x(x − 1) − 1] = 30的实数解的和为
12.关于 x 的方程x + 2mx + m + 2 = 0的一个根大于 0，一个根小于 0， 则 m 的取值范围为 ； 13.如图，小正方形构成的网络中，半径为 1 的圆在格点上，则图中阴影 部分两个小扇形的面积之和为 ；
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25.如图，圆 O 中弧 AB 的中点为 P，弦 PC，PD 分别交 AB 于 E，F 两点 （1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD 的大小； （2）若 BE 垂直平分线与 FD 的垂直平BAC=90º,圆 O 在点 A 处的切线与直线 BC 交于点 P，点 M 是劣弧 AB 的中点，线段 PM 与圆 O 的另一个交点为 Q，圆 O 在点 Q 处的切线与直线 AC 交于点 K，求证：∠PKC=90º
2017 雅礼集团“新苗杯”暨理实班签约考试数学测试题 （初三）
总分：150 一． 选择题 1.二次函数y = −x + 2√3x + 1的函数图像与 x 轴两交点之间的距离为 2.在实数范围内分解因式：2x y − 18y = 3.关于 x 的分式方程 = 1有增根，则实数 a 的值为 . . . 时量：120 分钟
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4.如图， 用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块， 随着铁钉的深 入，铁钉所受的阻力也越来越大，当铁钉未进入木块部分长度 已知这个铁钉被 足够时，每次铁钉入木块的长度是前一次的 。 敲击三次后完全进入木块（木块足够厚） ，且第一次敲击后，铁 钉进入木块的长度是acm，若铁钉的总长度为 6cm，则 a 的取值 范围： ； 5.用※定义新运算，对于任意实数 a,b，都有 a※b=2b-3a，例如 4※1=2× 1 − 3 × 4 = −10， 那么（-3）※2= ； 6.已知−1 < a < 0，化简 ( + a) − 4 + (a − ) + 4 = ; ; ；
① b − 4c > 0 ; ② 3b + c + 6 = 0 ; ③当 1 < x < 3 时，x + (b − 1)x + c < 0; ④ √b + c = 3√2，其中正确的是 ；
18.如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 A 在 x 轴上，顶点 C 的坐标为（4,3） ， D 是抛物线y = −x + 6x上一点，且在 x 轴上方，则△BCD 的面积最大值为 ； 19.等腰三角形 ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 A（-6,0） ，点 B 在原点， CA=CB=5，把等腰三角形 ABC 沿 x 轴正半轴作无滑动顺时针旋转，第一次旋转到位置 1， 第二次旋转到位置 2，……，依次规律，第 15 次旋转后点 C 的横坐标是 ； 20.如图，在等腰三角形 ABC 中，∠BAC=90º,AB=AC，BC=4√2,点 D 是 AC 边上一动点， 连接 BD，以 AD 为直径的圆交 BD 于点 E，则线段 CE 长度的最小值为 。
16.如图， 已知点A ，A , A , … , A 均在直线y = x − 1上， 点B , B , B , … , B 均在双曲线y = − 上，并且满足A B 垂直 x 轴，B A 垂直 y 轴，……,记A 的横坐标为a （n 为正整数） ，若 a = −1，则a = ; 17.函数y = x + bx + c 与 y = x的图像如图所示，有以下结论：
7.已知a是方程2x + 3x − 6 = 0的一个解， 则代数式3a(2a + 1) − (2a + 1)(2a − 1) = 8.已知二次函数y = ax + bx + c过点（-1，-3） ， （1，3） ， （2，12） ，则 abc= 9.已知实数x, y满足 x+y= 4 ，则x + y = x + y = 28 =1 的所有实数解的和为 ； ;
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14.如图，AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 交于点 E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段 CE 的长 为 ；
第 14 题图
第 16 题图
第 17 题图
第 18 题图
15.从-2，-1，0，1，2，3，4 这 7 个数中任选一个数作为 a 的值，则使得关于 x 的分式方程 +3= 概率是 有整数解， 且关于 x 的一次函数y = (a + 1)x + a − 4的图像不经过第二象限的 ；
；
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23.解方程 √2x + 1 + √x + 3
+ √2x + 1 + √x + 3 = 12
24.二次函数的顶点在原点，经过点 A（1， ） ，点 F（0,1）在 y 轴上，直线 y=-1 与 y 轴交于 点H （1）求二次函数的解析式 （2）点 P 是（1）中图像上的点，过点 P 作 x 轴的垂线与直线 y=-1 交于点 M，求证：FM 平 分∠OFP； （3）当△FPM 为等边三角形时，求 P 点的坐标
22.有一列按一定的顺序和规律排列的数： ， ， 请在对应横线上写出最简形式的答案）
，
，…… （ （1） ， （2） 问不要求写过程，
（1）请观察这列数的规律，猜想这列数中的第 5 个数为 （2）第 n 个数（n 为正整数）和第 n+1 个数的和等于 （3）设M = + + + ⋯+ ，求证： <M< ；
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二 解答题 21.为了参加中考体育测试， 甲乙丙三位同学进行足球传球训练， 球从一个人脚下随机传到另 一个人脚下，且每位传球人给其余两位传球的机会是均等的，由甲开始，共传三次。 （1）请用树状图列举三次传球的所有可能情况； （2）传球三次后，球回到甲脚下的概率； （3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？