静电场的能量 能量密度
-静电场的能量和能量密度
l
-+ - + R1 - + R2 -+
_
_ _ _
++ + _ + + _ + ++ _
_
R2 Eb R2 U max Eb R1 ln 9.10103 V R1 2 e
9 – 5 静电场的能量 能量密度
C, U, q, E 的变化。 （ 1 ） 充电后切断电源 （2）充电后不切断电源
9 – 静电场的能量 5 静电场的能量 能量密度 第九章静电场中的导体和电介质 例9-9 求半径为R 带电量为Q 的均匀带电球的静电能。 解一：计算定域在电场中的能量 球内 r 处电场
Qr E ， 3 4 0 R (r R)
1 2 0 R Qr 2 4r dr W 0 E dV 0 3 2 2 4 0 R
第九章静电场中的导体和电介质
例 1.平行板电容器，其间充满介质 r , 求下列情况充入介质前后的
A
K 300V
E0
d
B
r
U Ed U0
（1）q不变 解 : 提示： （1）q不变
（2）U不变
C r C0 E
r
U （2）U不变 C r C0 E 不变 q CU r CU d S U 基本公式： C E d d q C C r C0 U
Q2 We 8π R1
（孤立导体球贮存的能量）
9 – 5 静电场的能量 能量密度
第九章静电场中的导体和电介质
例2 如图圆柱形电容器，中间是空气，空气的击 2 6 -1 穿场强是 Eb 310 V m，电容器外半径 R2 10 m. 在空气不被击穿的情况下，内半径 R1 ? 可使电容器 存储能量最多. （ 空气 r 1 ）43; ++ _
10-8 静电场的能量
课 比较均匀带电球面和均匀带电球体所储存的能量。 堂 讨 R R q q 论
0 E q 4 r 2 0 rR rR
qr 4 R 3 0 E q 2 4 r 0 rR rR
W
W面
0
R
1 1 2 2 2 2 0 E 4r dr 0 E 4r dr 2 2 R
6
例2: 求半径为 R 、带电量为 q 的均匀带电球体的静电能。
解：由高斯定理得： 均匀带电球体的场强
E内
q r 4 0 R q
3
q
R
E外
o
r dr
We
0 R q r 2 0 q 2 2 2 ( ) 4 r d r ( ) 4 r dr 3 2 2 0 4 0 R 2 R 4 0 r
D
2
q 4π r
4
5
2
该处的能量密度为
we
1 2
E
2
q
32 r
2
在半径为 r 与 r+dr 之间的球壳的能量为
d We we 4r d r
空间的总能量为
2
q
2 2
8 r
dr
q q dr We dWe 2 8 R r 8 R
2
2
4
(1101A) 例1：一个半径为R，带电荷为 q 的金属球浸没在电容 率为 的无限大均匀电介质中，求空间的电场能量。 解：因为球内没有电场，电场能为 零，由高斯定理求得球外的电场强 度为
r
q
S D dS q
电场能量在静电场中的计算与应用
电场能量在静电场中的计算与应用在我们生活的这个世界中，电的存在无处不在。
从日常使用的电器设备到大型的电力系统，电都扮演着至关重要的角色。
而在电学的领域里，静电场中的电场能量是一个关键的概念，它不仅具有重要的理论价值，还有着广泛的实际应用。
首先，我们来了解一下什么是电场能量。
简单来说，电场能量就是静电场中所储存的能量。
就好像一个充满气的气球具有弹性势能一样，静电场也具有储存能量的能力。
当电荷分布发生变化或者电场的强度改变时，电场中就会有能量的转移和转化。
那么，如何计算静电场中的电场能量呢？这就需要引入一些相关的公式和方法。
其中一种常见的方法是利用电场能量密度来计算。
电场能量密度的表达式为：＄w ＝＼frac{1}｛2}＼epsilon_0 E^2$，其中$＼epsilon_0$是真空介电常数，＄E$是电场强度。
通过对整个电场区域积分，就可以得到总的电场能量。
举个例子来说，如果我们有一个平行板电容器，其极板面积为$S$，极板间距为$d$，所加电压为$U$。
那么电容器中的电场强度$E ＝＼frac{U}｛d}＄，电场能量就可以通过积分计算得出为$W ＝＼frac{1}｛2}＼epsilon_0 ＼frac{U^2}｛d^2} Sd ＝＼frac{1}｛2}CU^2$，其中$C ＝＼frac{＼epsilon_0 S}｛d}＄是电容器的电容。
除了平行板电容器，对于其他更复杂的电场分布，计算电场能量可能需要使用更高级的数学方法，但基本的思路都是基于电场能量密度的概念。
电场能量在实际中有哪些应用呢？一个重要的应用就是在电子设备中的储能元件，比如电容器。
电容器可以在电路中快速充电和放电，实现能量的储存和释放。
在一些需要瞬间提供大量能量的场合，如闪光灯、电子点火系统等，电容器就发挥了关键作用。
另外，电场能量的概念在电磁兼容和电磁防护方面也有着重要意义。
在电子设备的设计中，为了减少外界电磁场对设备的干扰，需要考虑电场能量的分布和屏蔽措施。
浙江农林大学电容及电容器静电场的能量能量密度习题
四 计算题1、空气中有一半径为R 的孤立导体球，令无穷远处电势为0，试计算：（1）该导体球的电容；（2）球上所带电荷为Q 时储存的静电能；（3）若空气的击穿场强为Eg ，导体球上能储存的最大电荷值。
答案：4πε0R , Q 2/(8πε0R ), 4πε0R 2E g解：（1）设导体球上带电荷Q ，则导体球的电势为：RQ U 04πε=孤立导体电容：R CQC 04πε==（2）R Q C Q W 02282πε== （3）Eg R Q E ≤=204πε Eg R Q M 204πε=2、一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a ，外筒半径为b ，筒长都是L ，中间充满相对介电常数为r ε的各向同性均匀电介质。
内、外筒分别带有等量异号电荷+Q 和—Q 。
设b-a<<a, L>>b, 可以忽略边缘效应，求：（1） 圆柱形电容器的电容 （填写A 、B 、C 或D ，从下面的选项中选取）； （2） 电容器储存的能量 （填写A 、B 、C 或D ，从下面的选项中选取）。
A 、[]02ln(/)r Lb a πεε B 、[]0ln(/)rLb a πεε C 、()20ln 4r Q b a LπεεD 、()20ln 2r Q b a Lπεε答案：A ，C解：由题给条件（b-a ）<<a 和L>>b,忽略边缘效应应用高斯定理可求出两筒之间的场强为：E=Q/(20πεr εLr) 两筒间的电势差ab L Q r dr L qU r bar ln 2200επεεπε==⎰电容器的电容[])/ln()2(/0a b L U Q C r επε==电容器储存的能量()a b L Q CU W r ln 421022επε==3、一球形电容器，内球壳半径为R 1 外球壳半径为R 2 两球壳间充满了相对介电常数为r ε的各向同性均匀电介质，设两球壳间电势差为U 12, 求：（1）电容器的电容 ；（2）电容器储存的能量 。
静电场的能量
= W互 + W自
5
W互是带电系统内N个带电体之间的相互作用能， 简称为系统的互能。
W自是每个带电体的静电能之和，简称为自能。
静电能 = 自能 + 相互作用能
⑵ 点电荷的自能
设想点电荷q是由半径为R（ R → 0 ）的均匀带电
球收缩半径而成，则球内一点产生的电势为
∫ ∫ ∫ U =
∞r r E ⋅ dl =
12
例1 如图所示，在一边长为d的立方体的每个顶 点上放有一个点电荷-e，立方体中心放有一个 点电荷+2e，求此带电系统的相互作用能量 。
解：法一
8个顶点上的负电荷的相 互作用能为12对，即
e2 12
4πε 0 d
6个面上对角顶点负电荷的相 互作用能为12对，即
12 e2 4πε0 2d
−e −e
R 0
Qr 4πε 0 R 3
2
4π
r 2dr
+
ε0 2
∞ R
Q 4πε 0 r 2
2
4π
r 2dr
= 3Q2
20πε 0 R
20
例4 球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，所带电荷为Q。 若在两球壳间充以电容率为ε的电介质，求此电容器贮存 的电场能量。
解：由高斯定理， r
w1 = 0 (r < R1)
w4 = 0 (r > R2 )
w2
=
1 ε E2 2
=
32π
q2 2ε0ε r1r 4
(R1 < r < R)
w3
=
32π
q2 2ε 0ε r 2r 4
(R < r < R2 )
《静电场能量》课件
D1 1
r1
h
2
D2
r
2
在分界面上无自由电荷时，电位移 的法向分量是连续的。界面两侧电 场强度的法向分量是不连续的。
二、切向分量
E dl 0
ABCDA
E dl E dl E dl E dl 0
AB
R1
R2
解：若电容器两极板上电荷的分布是均匀的， 则球壳间的电场是对称的。由高斯定理可求得 球壳间的电场强度的大小为
E＝
Q
4
r
2
电场总能量为
电场的能量密度为
e
1 2
E
2＝
Q2
32 2
r4
取半径为r、厚为dr的球壳，其体
积为dV=4πr2dr。所以此体积元内
Q R2
2
We R1 8 r 2 dr
E1t＝E2t
D1t ＝ D2t
1 2
9－8 压电效应 铁电体 驻极体
一、压电效应
•压电效应(正压电效应)：某些固体电介质，当它们发生机械形 变时，会产生极化，在它们相对的两个面上将产生异号的极化 电荷。这种因机械形变而产生的电极化现象称为压电效应。 •电致伸缩(逆压电效应)：在电场的作用下，晶体发生机械形变。 •应用：
热驻极法 电驻极法 •应用：电容传声器、拾音器、拾振器等。
小结
•静电场的能量 •能量密度
W Q2 1 CU 2 1 QU
2C 2
2
we
1 2
0
r
E
2
1 2
DE
作业：
思考题：
6-(4-5)电容 电容器 静电场的能量和能量密度
R1+ + + R2 +
平行板电 容器电容
第六章 静电场中的导体和电介质
10
物理学
第五版
6-4 电容 电容器
例3 球形电容器的电容 解 设内外球带分别带电 设内外球带分别带电±Q Q ( R1 < r < R2 ) E= 2 4 π ε 0r
v v U = ∫ E ⋅ dl dl
l
Q R2 dr = 4 π ε 0 ∫R1 r 2 Q 1 1 = ( − ) 4 π ε 0 R1 R2
E = E+ + E − λ λ = + 2 π ε 0 x 2 π ε 0 (d − x)
第六章 静电场中的导体和电介质
v E
−λ
o
P
x d −x
d
x
13
物理学
第五版
6-4 电容 电容器
U =
∫
d −R
R
Edx
2R
λ = 2 πε0
∫
d −R
R
1 1 ( + )dx x d−x
+λ
v E
−λ
λ d−R λ d = ln ≈ ln πε0 R πε0 R
第六章 静电场中的导体和电介质
6
B
v v E ⋅ dl
物理学
第五版
6-4 电容 电容器
平行平板电容器 例1 平行平板电容器 σ Q 解 E= = ε 0 ε r ε 0ε r S
U = Ed = Qd
+ + + + + + Q
εr
d
ε 0ε r S
- - - - - - −Q
6-5 静电场的能量和能量密度
R r
Q
12
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
1 1 1 2 2 We = ∫ ( DE )dV = ∫ ε0 E1 dV + ∫ ε0 E2 dV V 2 V1 2 V2 2 2 2 R1 ∞1 Qr Q 2 4πr dr + ∫ ε0 4πr 2 dr = ∫ ε0 3 R 2 4 πε r 2 0 2 0 4πε0 R
B
17
物理学
第五版
总结：电容器 电容 总结：
电容器的电容
6-5 静电场的能量和能量密度
C = q −U
U
A
B
三种常见的电容器 平行板电容器 圆柱形电容器的电容 球形电容器的电容 电容器的能量
C =
C
q U AB
=
=
ε0S
d
0
2 πε ln R R
l
2 1
4πε 0 R B R A C = (R B − R A )
dr
r
R2
R1
Q
-Q
4
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
2 2
1 1 1 Q Q ( − )= 讨 论 We = 8 π ε R1 R 2 2 4πε R1 R 2 R 2 − R1 （1） C = 4 π ε R2 R1 ） R2 − R1 dr 球形电容器） （球形电容器） r R1 Q2 We = R2 2 2 C Q （2） R2 → ∞ W e = ） 8 π εR 1
_
6
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
解 E=
Eb =
U =
第2章 静电场(8) 静电场的能量
2
400 R 5Q
2
―带电金属球”或“均匀带电球面”
We Q 80 R
400 R
35
均匀带电球体
We 6Q
2
400 R
―带电金属球”或“均匀带电球面”
We 5Q
2
400 R
36
[结论] 将“带电金属球”改为同样大小的 “均匀带电球面”，结果？
Answer: 改为球面, We不变； 同样大小的“均匀带电球体”？
20
能量体密度：
（定义）
1 we D E 2
we E 2 1
2
（2-103）
对于理想介质： （2-104）
物理意义：
电场是一种物质，它具有能量。
21
注释：
We 1
2
d V
（2-97）
V
★适用范围： 仅适用于静电场
★适用范围：
（反映了：静止电荷所具有的静电位能）
即位移是虚设的，故称为虚位移法。
45
★虚位移法
★原理：能量守恒
外力做的功=静电场能量的变化+电场力做功
d W d We f g d g
d W k dqk
与各带电导体 相连的外电源 提供的能量；
K
第p号导体作dg 位移后电场储 能We的增量；
f 在 g 方向 的分量。
46
★方法：
第二章 静电场
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8 库仑定律与电场强度 静电场的无旋性与电位函数 静电场中的导体与电介质 高斯通量定理 泊松方程和拉普拉斯方程 分界面上的边界条件 导体系统的电容 静电场能量和静电力
静电场能量密度
静电场能量密度静电场是指电荷静止或者以恒定速度运动时所产生的电场。
在静电场中，电荷之间存在作用力，这个作用力产生的能量就是静电能。
而在静电场中，电场能量密度则是描述单位体积内的能量。
静电场能量密度的计算公式是：\[ U_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 \]其中，\( U_E \) 表示单位体积内的静电场能量密度，\( \varepsilon_0 \) 是真空电容率，而 \( E \) 则代表电场强度。
根据这个公式，可以看出电场强度越大，静电场能量密度也越大。
在物理学中，静电场能量密度的概念可以用来研究和分析电磁场的能量分布情况。
在不同的电场分布情况下，静电场能量密度也会有所变化。
例如，在均匀电场中，电场强度处处相等，那么静电场能量密度也是均匀分布的。
此时，可以通过计算单位体积内的能量，来求得整个电场的总能量。
而在非均匀电场中，电场强度和静电场能量密度则会随着位置的不同而不同。
此时，需要将空间划分为微小体积，然后对每个微小体积内的能量密度进行计算，最后进行积分求和，得到整个电场的总能量。
除此之外，在介质存在的情况下，静电场能量密度的计算公式还会发生变化。
考虑到介质极化的影响，公式可以改写为：\[ U_E = \frac{1}{2} \varepsilon E^2 \]其中，\( \varepsilon \) 表示介质的电容率。
这个公式表明了在介质存在时，静电场能量密度与电场强度的关系。
总结起来，静电场能量密度是描述单位体积内静电场能量的物理量。
通过对电场强度和介质电容率的计算，可以得到静电场能量密度在不同电场分布和介质环境下的数值。
这一概念在电磁学和物理学的研究中有着重要的应用和意义。
静电场的能量密度公式
静电场的能量密度公式静电场的能量密度公式可以通过对电场能量进行分析得到。
首先，我们需要知道电场能量在空间的不同位置上具体是多少。
静电场能量密度（U）是指单位体积空间中电场能量的大小。
在充满静电场的空间中，任意体积元内包含的电场能量可以表示为：dU = ε/2 E^2 dV其中，dU是体积元dV内的电场能量，ε是真空介电常数（ε ≈ 8.85 × 10^-12 F/m），E是电场强度。
将电场能量密度公式积分，可以得到整个空间的静电场能量。
设整个空间的体积为V，整个空间的静电场能量为U，可以表示为：U = ∫(ε/2 E^2)dV为了更好地理解这个公式，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有两个平行带电板，它们之间的距离为d，电场强度为E。
我们希望计算这个空间中的电场能量密度。
首先，从第一个平行板开始，我们可以将其认为是一个电容器的上板。
如果在该平行板上施加电势差ΔV，可以得到电场强度E = ΔV/d。
根据前面的能量密度公式，可以得到该电场能量密度为：U₁ = ∫(ε/2E^2)dV = ∫(ε/2 (ΔV/d)^2)dV对上述积分进行化简，使用ΔV/d = E，可以得到：U₁ = ∫(ε/2 E^2)dV = (ε/2) E^2 ∫dV = (ε/2) E^2 V同样的，对于第二个平行板，电场能量密度为：U₂ = ∫(ε/2 E^2)dV = (ε/2) E^2 V由于两个平行板之间的电场相等，整个空间的电场能量密度为：U = U₁ + U₂ = (ε/2) E^2 V + (ε/2) E^2 V = ε E^2 V这个例子中的计算结果说明了能量密度公式的有效性。
特别地，如果将上述的公式化简，可以得到静电场能量密度与电场强度的平方成正比，表明电场强度越大，能量密度也越大。
在实际应用中，静电场的能量密度公式对于电容器、电动机和静电场研究等领域的分析和计算具有重要意义。
通过该公式，我们可以了解不同位置上电场能量的分布情况，并且可以根据需要进行优化设计和安全评估。
10-8-静电场的能量和能量密度
11-5 静电场的能量和能量密度
A2
q2
q1
4 0r12
A3
q3
q1
4 0r13
q3
q1
4 0r23
三个点电荷的系统具有的电势能应等于系统
建立过程中外力所做总功，即
A
A2
A3
q1q2
4 0r12
q3
(
q1
4 0r13
q2 )
4 0r23
1 2
q1U1
1 2 q2U2
( r ) ,那么(1)、(2)的结果如何?
解(1)插入d’,若电容充电,达到静电平衡后,铜板内E=0.相
当于电容器的板间距减少d’.故
C' 0s
d d'
插入位置无影响
(2) U0 时,
W
1 2
CU
2 0
0 SU02
2(d d ')
断开电源抽出铜板
21
11-5 静电场的能量和能量密度
Q2
(d ' d ')
2 0S
0S
2 0 S
r
( 此处 Q C'U0 )
A'
0
SU
2 0
(d
'
d
'/
r
)
2(d d ' d '/ r )2
r ( r 1)0Sd ' 2 rd ( r 1)d '2
U
2 0
23
dr
第8章习题答案
第八章 电磁感应习题（答案）一、填空题1. 感应电动势根据磁场的变化和回路所围面积的变化，分为两种，一种是 动生电动势 ；另一种是 感生电动势 。
2. 引起动生电动势的非静电力是洛伦兹力，引起感生电动势的非静电力是 感生电场（涡旋电场） 力。
3. 麦克斯韦提出了 有旋电场 和 位移电流 两个假设，揭示了电场和磁场之间的内在联系。
4. 静电场的能量密度e ω=2021E ε或221E ε或ED 21；磁场的能量密度m ω=2021B μ或221B μ或BH 21。
5. 电磁感应现象的发现改变了人类的生活。
在我们的生活和生产中利用这个基本物理知识的例子很多，如 交流发电机、 感应圈、变压器 。
二、选择题1. 一无铁芯的长直螺线管，在保持其半径和长度不变的情况下，减少线圈的匝数，则它的自感系数将 BA ．增大；B ．减小；C ．不变 ；D ．不能确定。
2. 在感生电场中，电磁感应定律可表达为tΦl E L i d d d -=⋅⎰ ，式中i E 为感生电场的场强，此式表明： B (A)闭合曲线L 上i E 处处相等； (B) 感生电场中不能像静电场那样引入电势的概念；(C) 感生电场是保守力场； (D) 感生电场i E 线不闭合。
3. 尺寸相同的铁环和铜环所包围的面积中，通以相同变化率的磁通量，环中 D（A ）感应电动势不同，感应电流不同；（B ）感应电动势相同，感应电流相同；（C ）感应电动势不同，感应电流相同；（D ）感应电动势相同，感应电流不同。
4. 下列叙述中，正确的是( C )（A ）流过线圈的电流强度为I 时，通过该线圈的磁通量LI m =φ，因而线圈的自感系数与回路的电流成反比；（B ）由LI m =φ可知，通过回路的磁通量越大，回路的自感系数也一定大；（C ）感应电场的电场线是一组闭合曲线；（D ）感应电场是保守场。
5. 激发涡旋电场的是：（ C ）（A ）静止电荷； （B ）运动电荷； （C ）变化的磁场； （D ）电流。
静电场的能量 能量密度
C = 4πεo R1 ,
孤立导体球电容。 孤立导体球电容。 ②R2 –R1= d , R2 ≈R1 = R
4πε o R 1 R 2 C = R 2 − R1
C = 4πεo R2 d = ε o S d
平行板电容器电容。 平行板电容器电容。
③
圆柱形电容器
板间电场
R2
R1 l
解：设两极板带电 ± q
Q C＝ = C 1 + C 2 U
C
22、电容器的串联 、 特点 每个电容器极板所带的电量相等 总电压
Q Q 1 1 U = U 1 + U 2 = ＋ ＝ ＋ Q C1 C 2 C1 C 2 等效电容
C= Q 1 ＝ 1 1 U ＋ C1 C 2
C1
C2
等效
1 1 1 ＝ ＋ C C1 C 2
讨论
C = ∑ Ci
i
并联电容器的电容等于 各个电容器电容的和。 各个电容器电容的和。 串联电容器总电容的倒数 等于各串联电容倒数之和。 等于各串联电容倒数之和。
1 1 =∑ C i Ci
当电容器的耐压能力不被满足时， 当电容器的耐压能力不被满足时，常用串并联 使用来改善。 使用来改善。 串联使用可提高耐压能力 并联使用可以提高容量 电介质的绝缘性能遭到破坏，称为击穿。 电介质的绝缘性能遭到破坏，称为击穿。 击穿 所能承受的不被击穿的最大场强叫做击穿场强或 所能承受的不被击穿的最大场强叫做击穿场强或 击穿场强 介电强度。 介电强度。
球形
柱形
平行板
R1 R2
R1
R2
d
4 4、电容器的作用 、 •在电路中：通交流、隔直流； 在电路中：通交流、隔直流； 在电路中 •与其它元件可以组成振荡器、时间延迟电路等； 与其它元件可以组成振荡器、 与其它元件可以组成振荡器 时间延迟电路等； •储存电能的元件； 储存电能的元件； 储存电能的元件 •真空器件中建立各种电场； 真空器件中建立各种电场； 真空器件中建立各种电场 •各种电子仪器。 各种电子仪器。 各种电子仪器 5 、电容器电容的计算 5、 计算电容的一般步骤为： 计算电容的一般步骤为： •设电容器的两极板带有等量异号电荷； 设电容器的两极板带有等量异号电荷 设电容器的两极板带有等量异号电荷； •求出两极板之间的电场强度的分布； 求出两极板之间的电场强度的分布； 求出两极板之间的电场强度的分布 •计算两极板之间的电势差； 计算两极板之间的电势差； 计算两极板之间的电势差 •根据电容器电容的定义求得电容。 根据电容器电容的定义求得电容。 根据电容器电容的定义求得电容
电场能量体密度计算公式为
电场能量体密度计算公式为电场能量体密度计算公式。
电场能量体密度是描述电场中能量分布情况的物理量，它表示单位体积内电场所具有的能量。
在电磁学中，电场能量体密度的计算公式可以通过电场强度和介质电容率来表示。
本文将介绍电场能量体密度的计算公式及其应用。
首先，我们来看一下电场能量体密度的定义。
在电磁学中，电场能量体密度（U）表示单位体积内电场所具有的能量，其单位通常为焦耳/立方米（J/m³）。
电场能量体密度可以通过电场强度（E）和介质电容率（ε）来计算，其计算公式如下：\[ U = \frac{1}{2} \times \epsilon \times E^2 \]其中，U表示电场能量体密度，ε表示介质电容率，E表示电场强度。
从这个公式可以看出，电场能量体密度与介质电容率和电场强度的平方成正比，这意味着在相同介质中，电场强度越大，电场能量体密度也越大。
接下来，我们来分析一下电场能量体密度计算公式的应用。
在实际应用中，电场能量体密度的计算可以帮助我们了解电场中能量的分布情况，从而更好地设计电场相关的设备和系统。
例如，在电容器中，电场能量体密度的计算可以帮助我们确定电场存储的能量量，从而保证电容器的安全使用。
此外，电场能量体密度的计算还可以帮助我们理解电场的能量传递和转化过程。
在电磁波传播中，电场能量体密度的变化可以反映电磁波的能量传递情况，从而帮助我们优化电磁波传播系统的设计。
除此之外，电场能量体密度的计算还可以帮助我们研究电场与介质之间的相互作用。
通过对电场能量体密度的计算和分析，我们可以更好地理解电场在不同介质中的能量传递和转化过程，从而为相关领域的研究提供理论支持。
总之，电场能量体密度的计算公式可以通过电场强度和介质电容率来表示，其计算公式为U=1/2×ε×E²。
电场能量体密度的计算可以帮助我们了解电场中能量的分布情况，优化相关设备和系统的设计，研究电场与介质之间的相互作用，以及理解电场的能量传递和转化过程。
6静电场的能量
2 a ⎛ 1 1 Q Q 3 r ⎞ 2 We = ∫ ρ udV = ∫ ⎟ ⎜ 4 π r dr − 3 3 ⎟ ⎜ 2 2 0 4 π a 3 8πε 0 ⎝ a a ⎠
3Q 2 = 16 πε 0 a 3
∫
a
0
2 ⎛ ⎞ r 3 2 r ⎜ ⎜ a − a3 ⎟ ⎟dr ⎝ ⎠
Q
a
3Q We = 20 πε 0 a
1 q2 = 2C
4 πε R1 R2 C= R2 − R1
思考: 半径为R、带电量为Q的均匀带电球面, 其静电能与球体 的静电能相比, 哪个大?
2 1 q we = ε E 2 = 2 8πε r 2
dWe = we dV
静电场的能量
We = ∫ we dV = ∫
计算电容量:
R2
R1
q2 q2 dr = 2 8πε r 8πε
⎛1 1 ⎞ ⎜ ⎜R −R ⎟ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 1
q2 1 We = 2 4 πε R1 R2 R2 − R1
2
静电场的能量
解法二:
We = ∫ we dV = ∫0
=∫
a 2
a
∞1 1 2 ε 0 E1 dV + ∫ ε 0 E22 dV a 2 2
2
o
∞1 ⎛ Q ⎞ 1 ⎛ Qr ⎞ 2 2 ⎟ ⎜ ⎟ r r 4 π r dr 4 π d ε0⎜ ε + 0⎜ 3 ⎟ 2 ∫ ⎟ ⎜ a 2 2 ⎝ 4 πε 0 a ⎠ ⎝ 4 πε 0 r ⎠
1 2 We = ε E Sd 2
电容器体积: V = Sd
静电场的能量
Hale Waihona Puke 电场的能量密度: 单位体积电场所具有的能量
电场的能量与能量密度
电场具有方向和大小，是一个矢量场。
03
电场对电荷的作用力遵循库仑定律。
电场强度与电势差
电场强度是描述电场强弱的物理量，用E表示， 单位是牛/库仑（N/C）。
电势差是指电场中两点间的电势之差，用U表 示，单位是伏特（V）。
电场强度和电势差之间存在微分关系：E = grad(U)。
电场线及等势面
03
能量密度概念
能量密度定义
能量密度是指单位体积内的能量储存 量，用于描述电Байду номын сангаас、磁场等物理场中 的能量分布情况。
在电场中，能量密度表示电场能量的 空间分布情况，即单位体积内电场能 量的多少。
能量密度与电场关系
电场强度与能量密度成正比关系。电场强度越大，能量密度 也越大。
电场中的能量密度与电场的分布、电荷的分布以及电场的边 界条件等因素密切相关。
电场的能量与能量密 度
汇报人：XX 2024-01-20
目录
• 电场基本概念 • 电场能量 • 能量密度概念 • 电场能量与能量密度关系 • 不同类型电场中能量与能量密度表现 • 实际应用举例
01
电场基本概念
电场定义及性质
01
电场是存在于电荷周围的一种特殊物质，它对放入 其中的电荷产生力的作用。
高压输电线路周围环境影响评估
电场强度分布
高压输电线路周围存在强电场，其强度随距离的增加而迅 速减小。评估时需测量不同距离处的电场强度，以了解空 间分布情况。
对人体的影响
强电场可能对人体产生生理效应，如引发头痛、失眠等症 状。评估时需考虑电场对人体健康的影响，并制定相应的 防护措施。
对周围环境的影响
高压输电线路周围的强电场可能对周边设备、建筑物等产 生干扰或损坏。评估时需综合考虑电场对周围环境的影响 ，以确保输电线路的安全运行。
11-2-电容器-静电场的能量
l
RA
RB
电容器的电容取决于其
几何形状， 极板的相对距离和 填充的材料， 与是否带电无关！
3. 几种常见电容的计算
（3）球形电容器（ Spherical Capacitor）
B
A
RA RB
RA RB C 4 π0 RB RA
电容器的电容取决于其
几何形状， 极板的相对距离和 填充的材料， 与是否带电无关！
计算电场能量的三种方法：
1 （1） We QU 2
+ + + + O Q+ + + + R + + + +
1 （2） We Vdq （已知电荷分布） 2 q 1 2 （3） W E dV （已知电场分布） e 2 V
1 Q 2 CU 2 2C （是电容器）
2
例3 有两半径分别为 R 和 2 R 的金属球壳同心放置 ，两球壳之间填有 r 2 的介质，已知外球壳带净电荷 q0，内球壳接地，求：（1）内球壳上的带电量；
把带电体分割成无限多个电荷元 dq，把 所有电荷元从无限远聚集到现有的状态过程中 克服电场力所做的功。
We
1 Vdq q 2
五、静电场的能量
4.电容器存储的静电能
1 We QU 2
1 Q 2 CU 2 2C
2
+++++++++
Q
d
--------Q
讨论：
（1）电容器接到电源上，拉大两个极板的间距， 则其存储的静电能 减小 ； （2）电容器接到电源后断开，拉大两个极板的间 距，则其存储的静电能 增大 。
时变电场能量密度表达式
时变电场能量密度表达式
时变电场能量密度公式：W=(1/2)UQ。
时变电场能量密度即单位体积内的电场能量。
静电场的能量是静电场的一个重要特征，对于静电场的能量，一般电磁学教材在讲述这一基本概念时，利用电容器的储能来说明能量定域在电场中，时变电场中的电介质要受到电场力的作用。
时变电场是电荷及变化磁场周围空间里存在的一种特殊物质。
这种物质与通常的实物不同，它虽然不是由分子原子所组成的，但它却是客观存在的特殊物质，具有通常物质所具有的力和能量等属性。
时变电场的力的性质表现为：时变电场对放入其中的电荷有作用力，这种力称为电场力。
时变电场的能的性质表现为：当电荷在电场中移动时，电场力对电荷做功，说明时变电场具有能量。
课件：静电场的能量 能量密度1
E0 '
r
(d
d
d ')r
d'
E0
C0
0S
d
,W0
1 2
C0U
2 0
C1
d
0S
d 'd
'
/
r
W1
1 2
C1U
2 0
②C不2 断开d电0Sd源' ，电压W保2 持12不EC变02U' 02Ud 0dd因WE' E02此d>0 W， 1EC>02W'>(Cd0 1。>Cd0')，
2π 0 R1 r 2π 0 R1
-+
__ _
单位长度的电场能量
We
1 2
U
2 4π 0
ln
R2 R1
_ +++++ _ _ +++ _
_
§6-5 静电场的能量 能量密度
We
2 4π 0
ln
R2 R1
Eb
max 2π 0R1
max 2π 0EbR1
We
π
0 Eb2 R12
ln
R2 R1
dWe dR1
量增加。
§6-5 静电场的能量 能量密度
例2 一平板电容器接在电源上，当两板间未插入介质时， 两板间场强为E0，（1）如不断开电源，①在两板间平行
插入相对电容率r、厚度为d 的电介质，试问介质内场强 E =E0 / r仍成立吗？比较板间电容，电势差和电容器能
量；②若插入同厚度的金属板，情况又如何？（2）如在 断开电源的情况下，上述情况又如何？
r12
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负极板搬运到正极板时所作的功
q dA =Vdq = dq C
在极板上的电荷由零增加到Q的过 在极板上的电荷由零增加到 的过 程中电源所作的总功
上页
dq
q q
下页
A =W = ∫ e
Q
0
q 1 Q2 dq = 2C C
利用Q=CV,可以得到电容器的储能公式为 可以得到电容器的储能公式为 利用 可以得到电容器的储能公式
εrBiblioteka 上页下页(2)两球的电势差为： 两球的电势差为： 两球的电势差为
1 1 ( − ) V = ∫ E2dr = R 4πεoεr R R2 1 1 q1 4 oεr R R πε 1 2 电容为 C = = V R −R 2 1
R2
q1
q1+q2 dr -q1 r q1 o
R3 R2 R1
(3) 电介质中的电场能量： 电介质中的电场能量：
1 Q2 1 1 2 = CV = Q V W= e 2C 2 2 三、静电场的能量 能量密度
电容器储存的电能等于两极板间的电场的能量， 电容器储存的电能等于两极板间的电场的能量，用 描述场的量来改写上式有（以平行板电容器为例） 描述场的量来改写上式有（以平行板电容器为例）
1 εS 2 2 1 2 1 2 We = E d = εE Sd = εE V 2 d 2 2 (V = Sd : 电容器体积 )
λ2 h dwe = we dV = dr 4πεr
沿轴线单位长度内的电场能量为
We V = h h
∫ dW
e
λ2 = 4πε
∫
b
a
1 b λ2 dr = In r 4πε a
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重点和难点： 重点和难点：
★ 电容器的储能公式
1Q 1 1 2 W= = CV = Q V e 2C 2 2
★ 静电场的能量密度
上页 下页
电场的能量密度(即单位体积内储存的电能 电场的能量密度 即单位体积内储存的电能): 即单位体积内储存的电能 1 2 1 ωe = εE = ED 2 2 表明：电场能量是储存在电场中的。 表明 ： 电场能量是储存在电场中的 。 就是说 场是 能量的携带者。
说明
（1）上式适用于任何电场 ） （2）对任一带电系统整个电场能量为 ）
Q+ q
B
−q
q
AR 1 O
R2 R3
解: 电荷分布
q
−q
Q+ q
r<R 1
2
由高斯定理得
场 强 分 布
E=
0 q
R2 < r < R3
4 0r πε Q+ q 4 0r 2 πε
R < r < R2 1
r>R 3
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场 强 分 布
0 r < R R2 < r < R3 1
Q+ q
E=
q 4 0r 2 πε
r r 1⋅ λ ∫ E ⋅ dS = E ⋅ 2πr ⋅1 =
S
a
ε
∴
λ E= 2πεr
(a < r < b )
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因此长直导线和圆筒之间的电场能量密度为
λ2 1 2 we = εE = 2 2 2 8π εr
在该区域取长为h 半径为r、厚为dr的薄圆筒 的薄圆筒， 在该区域取长为 、半径为 、厚为 的薄圆筒，其体 积元为: 积元为 dV = 2π rhdr ,在此体积元内电场的能量为 在此体积元内电场的能量为
2
1 2 1 ωe = εE = ED 2 2
★ 静电场的能量的计算
1 1 2 We = ∫ we dV = ∫ ( DE )dV = ∫ εE dV 2 2 V V V
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已知R 例2.已知 1 R2 R3 q Q 已知
求 ①电荷及场强分布；球心的电势 电荷及场强分布； ②如用导线连接A、B，再作计算 如用导线连接 、 ，
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②用导线连接A、B，再作计算 用导线连接 ， 连接A 连接 、B， ，
Q+ q
− q + (−q )
中和
B
−q q
AR 1 O
R2 R3
球壳外表面带电 Q+ q
r < R3
R3
Q+ q uo = ∫ Edr + ∫ Edr = 4πε0R3 0 R3
E=0
∞
r > R3
∞
Q+ q E= 4 0r 2 πε
R < r < R2 1
B
−q q
AR 1 O
R2 R3
Q+ q 4 0r 2 πε
r>R 3
球心的电势
R3 R2 ∞ r r R1 uo = ∫ E • dr = ∫ Edr + ∫ Edr + ∫ Edr + ∫ Edr 0 0 R 1 R2 R3 ∞
1 1 1 q+Q ( )+ = − 4 0 R R2 πε 4 0 R3 πε 1 q
q+Q u= ∫ E = dr 4 0r πε r
上页
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由高斯定理有： 解 (1)由高斯定理有： 由高斯定理有
q1+q2
R3
0 < r < R : E = 0; 1 1
R < r < R2 : E2 = 1
; 2 4πεoεrr R2 < r < R3 : E3 = 0;
q1
-q1
q1 o oR1
R2
q1 + q2 r > R3 : E4 = 4πεor2
10-5 静电场的能量 能量密度
一、电容器的电能 电容器的充电过程实质上是电源逐步把正电荷从 电容器的充电过程 实质上是电源逐步把正电荷从 电容器的负极搬运到正极的过程。 电容器的负极搬运到正极的过程。电源所作的功就以 电能的形式储存在电容器中。 电能的形式储存在电容器中。 设某一瞬时,电容器两极板的带电量分别为+q和-q, 而极板间的电势差为V,那么电源将电荷dq由电容器
εr
R < r < R2 : 1 2 q1 q1 1 1 E2 = = ( − ) 4πεoεr r2 8πεoεr R R2 1 2 1 q1 电场能量也可用下式求得：W = 电场能量也可用下式求得： e 2C
R 1
W= e
∫
R2 1
2
εoεr E ⋅ 4πr2dr
2 2
上页
下页
的长直导线，外面套有共轴导体圆筒， 例10-9 如图，半径为a的长直导线，外面套有共轴导体圆筒，筒内 10- 如图， ε 导线与圆筒间充以介电常量为的均匀介质。 半径为b，导线与圆筒间充以介电常量为的均匀介质。沿轴线单位 圆筒带电为忽略边缘效应， 长度上导线带电为 λ ，圆筒带电为- λ 。忽略边缘效应，求沿 轴线单位长度内的电场能量。 轴线单位长度内的电场能量。 解：空间电场分布具有圆柱对称性，根据高 空间电场分布具有圆柱对称性， 斯定理可得在长直导线内部和圆筒内半径以 外区域场强为零， 外区域场强为零，而在长直导线和圆筒之间 场强为 b
1 1 2 We = ∫ we dV = ∫ ( DE )dV = ∫ εE dV 2 2 V V V
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例10-8 一球形电容器由两个同心导体球壳组成，其间充满 10- 一球形电容器由两个同心导体球壳组成， 的各向同性均匀电介质， 相对介电常数为εr的各向同性均匀电介质，外球壳以外为真 外球壳内、 空。内球壳半径为R1，带电量为q1；外球壳内、外半径分别 为R2和R3，带电量为q2。 求：(1)空间的电场分布；(2)该电容器的电容；(3)电介质 (1)空间的电场分布；(2)该电容器的电容；(3)电介质 空间的电场分布 该电容器的电容 中的电场能量。 中的电场能量。