专题 圆锥曲线的离心率(学生版)

专题五 第二讲 离心率专题

离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于中低档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心

率，只需要由条件得到一个关于基本量a 与b 或a 与c 的其次式，从而根据221c b e a a ==-（这是椭圆）2

21c b e a a

==+（这是双曲线），就可以从中求出离心率．但如果选择方法不恰当，则极可能“小题”大作，误入歧途。许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题，用最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！

一、求椭圆与双曲线离心率的值：

（一）、用定义求离心率问题：

122121(05,,

221A.

B. C. 2 2 D. 21F F F P F PF ∆例、全国Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）

－－－

【强化训练】1.在ABC △中，AB BC =，7cos 18

B =-

．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．

2、已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_________；

3、已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为 。

4.已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A ．324+

B ．13-

C ．213+

D ．13+

5、如图，1F 和2F 分别是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两个焦点， A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交

点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

（A ）3

（B ）5 （C ）25 （D ）31+

（二）、列方程求离心率问题：构造a 、c 的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e

例2、如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .

变式：设双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6

【点评】本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.

【强化训练】1、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲

线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )

（A

（B

（C

（D

2.在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2

c ，以O 为圆心，a 为半 径的圆，过点(a 2c

，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ．

3.已知椭圆C ：22

221x y a b

+=（a>b>0

）的离心率为2，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。则k =( )

（A ）1 （B

（C

（D ）2

4.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF 2FD =，则C 的离心率为

5. 已知双曲线()22

2210,0x y C a b a b

-=>>：的右焦点为F ,过F

的直线交C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为（ ） .

A ．65 B. 75 C. 58 D. 95

二、求椭圆或双曲线的离心率范围问题：一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列出不等式. 模型三：几何性质求离心率： 例3.已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，若该椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率的取值范围是 ．

【强化训练】1.已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，若该椭圆上存在一点P ， 使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率的取值范围是 ．

2．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F a PF F c

=，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．

例4.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A ．(0,1)

B ．1(0,]2 C

． D

．

【强化训练】1、椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） Ａ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦

，

Ｂ．0⎛ ⎝⎦ Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，

Ｄ．1⎫⎪⎪⎣⎭

2、已知双曲线22

221,(0,0)x y a b a b

-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（ ）

A ．43

B ．53

C ．2

D ．73

3、双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）

A.(1,3)

B.(]1,3

C.(3,+∞)

D.[)3,+∞