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4.2.1 等差数列的性质 课件PPT
3．等差中项
如果a，A，b成等差数列．那么A叫做a与b的等
差中项．即 A a b
2
例题分析
例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价 值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设 备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请 确定d的范围.
4.2.1等差数列的性质
知识梳理
1.等差数列概念 an an1 d n 2
2.等差数列通项公式及其变体
通项公式： an a1 n 1d
变体： (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
(2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
(3)d＝ann－－mam(m，n∈N*，且 m≠n).
知识梳理
归纳总结
等差数列的性质1：
等差数列每相邻两项之间插入 kk N* 合适的
数,还可以是等差数列
等差数列中每隔 kk N* 项抽取出来的项，按
照原顺序排列，构成的仍是等差数列
分析：（1){an}是一个确定的数列，只要把a1 ，a2表示为{bn}中的项， 就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设{an}中的第n项是 {bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29 是否为{an}的项.
特别的， 若s t 2 p s,t, p N* ,则as at 2ap
（3）应用等差数列解决生活中实际问题
谢谢
小结：
（1）等差数列的性质1：
等差数列每相邻两项之间插入 kk N*个合适的数,还可以
是等差数列
等差数列中每隔 kk N * 项抽取出来的项，按照原顺序排列，
构成的仍是等差数列
如果a，A，b成等差数列．那么A叫做a与b的等
差中项．即 A a b
2
例题分析
例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价 值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设 备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请 确定d的范围.
4.2.1等差数列的性质
知识梳理
1.等差数列概念 an an1 d n 2
2.等差数列通项公式及其变体
通项公式： an a1 n 1d
变体： (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
(2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
(3)d＝ann－－mam(m，n∈N*，且 m≠n).
知识梳理
归纳总结
等差数列的性质1：
等差数列每相邻两项之间插入 kk N* 合适的
数,还可以是等差数列
等差数列中每隔 kk N* 项抽取出来的项，按
照原顺序排列，构成的仍是等差数列
分析：（1){an}是一个确定的数列，只要把a1 ，a2表示为{bn}中的项， 就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设{an}中的第n项是 {bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29 是否为{an}的项.
特别的， 若s t 2 p s,t, p N* ,则as at 2ap
（3）应用等差数列解决生活中实际问题
谢谢
小结：
（1）等差数列的性质1：
等差数列每相邻两项之间插入 kk N*个合适的数,还可以
是等差数列
等差数列中每隔 kk N * 项抽取出来的项，按照原顺序排列，
构成的仍是等差数列
4.2.1等差数列的概念(第1课时)课件(人教版)
五、作业布置 课本P15：练习 第4、5题
例3 求等差数列8，5，2，…，的通项公式an 和第20项，并判断289是否是数列中的项，若是，是第几项？
解:由已知条件，得 = 5 − 8 = −3,
把1 = 8, = −3代入 = 1 + − 1 ，得
= 8 + − 1 ×(−3)= −3+11，
所以，a20 = −3×20+11=-49
③
对于数列①，我们发现：
18=9+9, 27=18+9，…，81=72+9，即 从第二项起，每一项
18 − 9=9, 27 − 18=9，…，81 − 72=9.
与前一项的差都等于
如果用{ } 表示数列①，则有：
同一个常数.
2 − 1 =9, 3 − 2 =9,…， 9 − 8 =9.
数列的定义域是正整数集或它的子集.
数列{ } 是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数，
记为 =().
如果数列{an } 的第项 与它的序号之间的对应关系可以用一
个式子来表示，那么这个式子就是数列的函数解析式，叫做这个
数列的通项公式.
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来
4.2.1
等差数列的概念
第1课时
人教A版（202X）选择性必修第二册
学习目标
Hale Waihona Puke 1.理解等差数列的含义.2.掌握等差数列通项公式的推导过程及其运用.
3.理解等差数列与一次函数的关系.
4.核心素养：直观想象、数学运算、数学抽象
一、复习导入
定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，
数列中的每一个数叫做这个数列的项.
《等差数列的概念》课件
。
等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数 列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问 题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方 法。而等差数列可以用来表示数据的组距和 分组范围。例如，将一组数据分成若干组， 每组的组距相等，就可以用等差数列来表示 各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？ 如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什 么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举 例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其 中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公 差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控 制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项 数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析
等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数 列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问 题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方 法。而等差数列可以用来表示数据的组距和 分组范围。例如，将一组数据分成若干组， 每组的组距相等，就可以用等差数列来表示 各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？ 如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什 么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举 例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其 中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公 差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控 制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项 数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析
等差数列的概念公开课ppt课件
个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推 公式。
(1)第23到第29届奥运会举行的年份依次为 1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008
(2)已知数列{an} ，其中 a1 =15， an = an-1 －2，n≥2， 写出这个数列的前六项。
15 13 11 9 7 5 (3)所有正偶数排成一列组成的数列
本节课主要学习： 一个定义：an an1 d, n 2, n N (d是常数)
一个公式：an a1 (n 1)d
一种思想：方程思想．
d 64
(2) 15，13，11，9，7，5 (3) 2, 4, 6, 8, 10， ……
a8=？ a1d00=2？我
们该如何求解 呢？d 2
(4) 1, 1, 1, 1, 1, ……
d 0
公差为0的数列
叫做常数列
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差， 防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数， 负数，也可以为0 .
复习回顾
数列的定义，通项公式，递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一
已知一个等差数列{an}的首项是a1， 公差是d，如何求出它的任意项an呢？
根据等差数列的定义填空
a2 ＝a1＋d，
a3 ＝ a2 ＋d ＝（ a1 + d ） ＋d ＝a1 ＋ 2 d，
a4 ＝ a3 ＋d ＝（ a1 + 2 d ） ＋d ＝a1 ＋ 3 d ， ……
(1)第23到第29届奥运会举行的年份依次为 1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008
(2)已知数列{an} ，其中 a1 =15， an = an-1 －2，n≥2， 写出这个数列的前六项。
15 13 11 9 7 5 (3)所有正偶数排成一列组成的数列
本节课主要学习： 一个定义：an an1 d, n 2, n N (d是常数)
一个公式：an a1 (n 1)d
一种思想：方程思想．
d 64
(2) 15，13，11，9，7，5 (3) 2, 4, 6, 8, 10， ……
a8=？ a1d00=2？我
们该如何求解 呢？d 2
(4) 1, 1, 1, 1, 1, ……
d 0
公差为0的数列
叫做常数列
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差， 防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数， 负数，也可以为0 .
复习回顾
数列的定义，通项公式，递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一
已知一个等差数列{an}的首项是a1， 公差是d，如何求出它的任意项an呢？
根据等差数列的定义填空
a2 ＝a1＋d，
a3 ＝ a2 ＋d ＝（ a1 + d ） ＋d ＝a1 ＋ 2 d，
a4 ＝ a3 ＋d ＝（ a1 + 2 d ） ＋d ＝a1 ＋ 3 d ， ……
等差数列课件ppt课件
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contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
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目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
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等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
《等差数列的概念》-PPT课件
2018
2．2 等差数列
第1课时 等差数列的概念
情景导学
在过去的三百多年里， 人们分别在下列时间 里观测到了哈雷彗星：
相差76
思 1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062）
考
观察上组数的特点，有什么规律？你能预测 出下一次的大致时间吗？
教 学 目 标
01
1.理解等差数列的概念 2.掌握等差数列的通项公式和等差中项
a3 a2 d a1 d d a1 2d , a4 a3 d a1 2d d a1 3d ,
LL
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由此归纳出等差数列 的通项公式为
由此归纳出等差数列的通项公式为
这个公式还可以用下面的方法得到. 由等差数列的定义得 a2-a1=d,a3-a2=d, a4-a3=d,…… an-1-an-2=d,an-an-1=d. 将这n-1个式子的等号两边分别相加， 得an-a1=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d.
如果A是x和y的等差中项，则A = x + y . 2
练一练：求出下列等差数列中未知的项。
(1) 3, a, 5 (2)-3, b, -9 (3) 3, c, d, -9
a= 4
b= -6 c= -1,d=-5
当堂达标训练
1.下列数列中,是等差数列的有 ( )
①5,5,5,……
1
②sin 0,sin 1,sin 2,sin 3;
{an}中， a可n＝以a看1＋出(，n－当1公)d=差ndd=+0(a时1－，d该) 数列 是常数列.即常数列是等差数列的 特殊形式，公差为0
当公差d≠0时， an是关于n的一次式，其图象是直线y=dx+ （a1-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直 线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯 一确定了，
等差数列的概念PPT优秀课件
anan1an1(n2)； 2
(2)在数列{an}中,若对于任意的正整数n(n≥2)，
a a 都满足 a n
n 1
n 1
2
那么数列{an}一定是等差数列。
随堂练习
1.已知下列数列是等差数列，填空： (1) ( 0 )，5 ，10 (2) 1， 2 ，( 2 21 ) (3) 31， ( 24 )，( 17 )，10
2.2.1等差数列的概念
问题引入
请从日历中挑几个数，构成一个你认为有意思的数列。
❖ 等差数列的定义：一般地，如果一个数列 从第 2项起，每一项减去它的前一项所得 的差等于同一个常数，那么这个数列就叫 等差数列，这个常数叫做等差数列的公差， 公差通常用字母 d表示。
•你能再举出一些等差数列的例子吗？
例1.判断下列数列是否为等差数列：
(1) 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ； (2) 4 ， 7 ， 10 ， 13 ， 1 6； (3) -2， -1 ， 0 ， 2 ， 3.
；.
例1.判断下列数列是否为等差数列：
(4) an n ； n 1
(5) a n1 2 n.
❖ 等差数列的定义：一般地，如果一个数列 从第 2项起，每一项减去它的前一项所得 的差等于同一个常数，那么这个数列就叫 等差数列，这个常数叫做等差数列的公差， 公差通常用字母 d表示。
课堂小结
❖知识点：
❖思想方法：
课后作业
❖1.课本p38 习题2.2(1) 2，8 ❖2.《评》p27 2.2(1)
谢谢！
2.已知 a , b , c 成等差数列， 求证：b +c , c +a , a +b成等差数列．
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
(2)在数列{an}中,若对于任意的正整数n(n≥2)，
a a 都满足 a n
n 1
n 1
2
那么数列{an}一定是等差数列。
随堂练习
1.已知下列数列是等差数列，填空： (1) ( 0 )，5 ，10 (2) 1， 2 ，( 2 21 ) (3) 31， ( 24 )，( 17 )，10
2.2.1等差数列的概念
问题引入
请从日历中挑几个数，构成一个你认为有意思的数列。
❖ 等差数列的定义：一般地，如果一个数列 从第 2项起，每一项减去它的前一项所得 的差等于同一个常数，那么这个数列就叫 等差数列，这个常数叫做等差数列的公差， 公差通常用字母 d表示。
•你能再举出一些等差数列的例子吗？
例1.判断下列数列是否为等差数列：
(1) 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ； (2) 4 ， 7 ， 10 ， 13 ， 1 6； (3) -2， -1 ， 0 ， 2 ， 3.
；.
例1.判断下列数列是否为等差数列：
(4) an n ； n 1
(5) a n1 2 n.
❖ 等差数列的定义：一般地，如果一个数列 从第 2项起，每一项减去它的前一项所得 的差等于同一个常数，那么这个数列就叫 等差数列，这个常数叫做等差数列的公差， 公差通常用字母 d表示。
课堂小结
❖知识点：
❖思想方法：
课后作业
❖1.课本p38 习题2.2(1) 2，8 ❖2.《评》p27 2.2(1)
谢谢！
2.已知 a , b , c 成等差数列， 求证：b +c , c +a , a +b成等差数列．
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
等差数列概念及通项公式PPT课件
(1) 1, 1, 1, 1 , 1, (2) 1, 0, 1, 0, 1 . (3) -3, -2, -1, 1, 2. (4) 4, 7, 10, 13, 16.
首项为a1 ,公差为d的等差数列｛an｝的通项公式:
an = a1 + (n－1)d.
证:因为｛an｝为等差数列, 所以当n≥2时,有
3.在等差数列｛an｝中,a10= 100,
a19=10,
a1+an=0 , 求n的值.
课堂小结
1. 等差数列的概念及通项公式.
(1)数列｛an｝为等差数列 : an－ an-1 = d (n≥2) 或 an+1－ an = d
(2)通项公式an = a1 + (n－1)d. an = am + (n－m)d.
n值为( )
A.667 B.668 C.669 D.670
观察上面的数列有什么共同的特点?
一般地,如果一个数列从第二项起, 每一项减去它 的前一项所得的差都等于同一个常数, 那么这个数列就 叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常 用d表示.
数学表达式: an－ an-1 = d (n≥2) an+1－ an = d
练习: 判断下列数列是否为等差数列.若是,指出首项和公差.
a2－a1=d,
a3－a2=d,
……
叠加法
an－an-1=d,
将上面n-1个等式的两边分别相加,
得an－a1= (n-1)d,
所以, an= a1+(n-1)d, 当n=1时,上面的等式显然成立.
例1.在等差数列｛an｝中,已知a3=10, a9=28,求a12 .
等差数列的通项公式一般形式: an = am + (n－m)d.
首项为a1 ,公差为d的等差数列｛an｝的通项公式:
an = a1 + (n－1)d.
证:因为｛an｝为等差数列, 所以当n≥2时,有
3.在等差数列｛an｝中,a10= 100,
a19=10,
a1+an=0 , 求n的值.
课堂小结
1. 等差数列的概念及通项公式.
(1)数列｛an｝为等差数列 : an－ an-1 = d (n≥2) 或 an+1－ an = d
(2)通项公式an = a1 + (n－1)d. an = am + (n－m)d.
n值为( )
A.667 B.668 C.669 D.670
观察上面的数列有什么共同的特点?
一般地,如果一个数列从第二项起, 每一项减去它 的前一项所得的差都等于同一个常数, 那么这个数列就 叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常 用d表示.
数学表达式: an－ an-1 = d (n≥2) an+1－ an = d
练习: 判断下列数列是否为等差数列.若是,指出首项和公差.
a2－a1=d,
a3－a2=d,
……
叠加法
an－an-1=d,
将上面n-1个等式的两边分别相加,
得an－a1= (n-1)d,
所以, an= a1+(n-1)d, 当n=1时,上面的等式显然成立.
例1.在等差数列｛an｝中,已知a3=10, a9=28,求a12 .
等差数列的通项公式一般形式: an = am + (n－m)d.
等差数列教学PPT
以上6个数列的公差分别为…
等差数列的判断
判断：下列数列是不是等差数列？ （1） 1，1，2，3，4； 不是 （2） 1，2，4，7，11； 不是 （3） 9，7，5，3，1； 是 （4） x，2x，4x，6x，8x； 是
等差数列的通项公式 如果一个数列 a , a , a , …，a , …， 1 2 n 3
n
a1 (n 1)d
4. 求等差数列0，-7/2，-7…的第n+1项；
7 7 an 0 (n 1) (n 1), 2 2
课时小结
通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列 的定义及数学表达式：
an an1 d
(n 2, n N * )
定，所以该数列的 观察数列 ( 1) 4，5，6，7，8，9，10... 公差 d=1 递增数列 增减性尚不能确定。 (2) 1，4，7，10，13，16，… 公差 d=3 递增数列
因为x的正负性不确 等差数列的有关概念
(3)
(4) (5)
7x， 3x，-x，-5x，-9x，...
2，0，-2，-4，-6，… 5，5，5，5，5，5，…
a
n
的通项公式为
an a1 (n 1)d
当d≠0时，这是 关于n的一个一 次函数。
等差数列的的例题
例1 求等差数列8，5，2，…，的第20项。 解： a 8, d 5 8 3, n
1
an a1 (n 1)d
20,
a20 8 (20 1) (3) 49
a1表示， 第n项用 an表示， 第2项用 a2表示，…，
第1项（或首项）用 数列的一般形式可以写成： a1 , a2 , a3 , …， an , …，
等差数列的判断
判断：下列数列是不是等差数列？ （1） 1，1，2，3，4； 不是 （2） 1，2，4，7，11； 不是 （3） 9，7，5，3，1； 是 （4） x，2x，4x，6x，8x； 是
等差数列的通项公式 如果一个数列 a , a , a , …，a , …， 1 2 n 3
n
a1 (n 1)d
4. 求等差数列0，-7/2，-7…的第n+1项；
7 7 an 0 (n 1) (n 1), 2 2
课时小结
通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列 的定义及数学表达式：
an an1 d
(n 2, n N * )
定，所以该数列的 观察数列 ( 1) 4，5，6，7，8，9，10... 公差 d=1 递增数列 增减性尚不能确定。 (2) 1，4，7，10，13，16，… 公差 d=3 递增数列
因为x的正负性不确 等差数列的有关概念
(3)
(4) (5)
7x， 3x，-x，-5x，-9x，...
2，0，-2，-4，-6，… 5，5，5，5，5，5，…
a
n
的通项公式为
an a1 (n 1)d
当d≠0时，这是 关于n的一个一 次函数。
等差数列的的例题
例1 求等差数列8，5，2，…，的第20项。 解： a 8, d 5 8 3, n
1
an a1 (n 1)d
20,
a20 8 (20 1) (3) 49
a1表示， 第n项用 an表示， 第2项用 a2表示，…，
第1项（或首项）用 数列的一般形式可以写成： a1 , a2 , a3 , …， an , …，
4.2.1等差数列的概念PPT课件(人教版)
an a1 (n 1)d
结论：等差数列的通项公式的一般情势：an＝am＋(n－m)d
练习
求下列等差数列的通项公式
（1）9,18,27,36,45,54,63,72...
(1)an=9+(n－1)×9=9n
（2）38,40,42,44,46,48...
(2)an=38+(n－1)×2=2n+36
ab
叫做a与b的等差中项。即 A
2
这个式子叫做这个数列的递推公式.
引入
请看下面几个问题中的数列.
1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，
环绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依
次为
9,18,27,36,45,54,63,72,81.①
2.S,M,L,XL,XXL,L型号的女装上衣对应的尺码分别是
38,40,42,44,46,48.②
求an 的公差和首项；(2)求等差数列 8,5, 2, 的第20项.
解: (1)当n 2时,由an 5 2n, 得
an1 5 2(n 1) 7 2n.
于是, d an an1 (5 2n) (7 2n) 2.
当n 1时, a1 5 2 3.
练习
判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差
(1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10
×
(2) 3，3，3，3，3，3
a1=3,公差 d=0 常数列
(3) 3x，6x，9x，12x，15x
a1=3x 公差 d= 3x
(4)95，82，69，56，43，30
a1=95 公差 d=－3
等差数列的概念PPT课件
( m, n, p, q N * )
19
等差数列的性质
性质 1．an＝am＋ (n－m)d (m，n∈N*)． 性质 2．若 m＋n＝p＋q(m，n，q，p∈N*)，则 am＋an
＝ap＋aq. 特别地：若 m＋n＝2p (m，n，q∈N*)，则则am＋an ＝2ap.
性质3.在等差数列{a
n
}中，a m m
即a, b, c成等差 2b a c b是a与c的等差中项
数列an中，若对任意n N *, 都有
an
,
an1
,
an
成
2
等
差
，
则
该
数
列
是
等差
数
列.
探究二 等差中项的应用
【例 1】（1） 与 的等差中项是
（4）三个数成等差数列，和为 12，积为 48 ，则这三个数为
.
.
变式：在等差数列an 中，若 m n p q ，求证：am an a p aq
(2)若a1 a2 a3 7, a4 a5 a6 3， 则a10 a11 a12
(3)方程 x2 52 x m x252 x n 0的四个根
组成一个首项为 23的等差数列，则 m n ；
【思维拓展】: 数列{an}, a1 5, an 3an1 3n 1
例3 （1）求等差数列8,5,2，…的第20项；
（2）等差数列-5，-9，-13，…的第 几项是-401？ （3）等差数列-5，-9，-13，…，321的项数？
变式二：首项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数， 则公差的取值范围是？
例4 等差数列 an 中，已知 a5 10, a12 31 （1）求 an; （2）判断数列的单调性； （3）若an 100 ，求 n的最小值；
19
等差数列的性质
性质 1．an＝am＋ (n－m)d (m，n∈N*)． 性质 2．若 m＋n＝p＋q(m，n，q，p∈N*)，则 am＋an
＝ap＋aq. 特别地：若 m＋n＝2p (m，n，q∈N*)，则则am＋an ＝2ap.
性质3.在等差数列{a
n
}中，a m m
即a, b, c成等差 2b a c b是a与c的等差中项
数列an中，若对任意n N *, 都有
an
,
an1
,
an
成
2
等
差
，
则
该
数
列
是
等差
数
列.
探究二 等差中项的应用
【例 1】（1） 与 的等差中项是
（4）三个数成等差数列，和为 12，积为 48 ，则这三个数为
.
.
变式：在等差数列an 中，若 m n p q ，求证：am an a p aq
(2)若a1 a2 a3 7, a4 a5 a6 3， 则a10 a11 a12
(3)方程 x2 52 x m x252 x n 0的四个根
组成一个首项为 23的等差数列，则 m n ；
【思维拓展】: 数列{an}, a1 5, an 3an1 3n 1
例3 （1）求等差数列8,5,2，…的第20项；
（2）等差数列-5，-9，-13，…的第 几项是-401？ （3）等差数列-5，-9，-13，…，321的项数？
变式二：首项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数， 则公差的取值范围是？
例4 等差数列 an 中，已知 a5 10, a12 31 （1）求 an; （2）判断数列的单调性； （3）若an 100 ，求 n的最小值；
《等差数列》PPT课件
解： 因为
an 是等差数列，它的公差为d.所以有
= (a1 d ) d a1 2d
两边都等于a1 ，
a2 a1 d
a3 a2 d
a4 a3 d (a1 2d ) d 当 a1 n 3 d 1时，等式 a5 a4 d (a1 3d ) d a1 4d
2.2.0 引理：
1. 在现实生活中，我们经常这样数数， 从0开始，每隔5数一次，可以得到数 列：0, 5,____,____,____,____,….
2. 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥 运会上，女子举重被正式列为比赛项 目.该项目共设置了7个级别.其中较轻 的4个级别体重组成数列(单位：kg)： 48，53，58，63.
练习６
a4 6、等差数列{an }中，
则
3a1 , ak 9a1
k 13
小结：
1、等差数列的概念：
an an 1 d (n 2, n N ）
或
an 1 an d （n N ）
2、等差数列的通项公式：
an a1 (n 1)d
an , a1 , n ,d 这四个变量 ， 知道其中三
例后思考：
等差数列的通项公式
例后思考
an = a1+(n-1)d 中 ，
an , a1 , n ,d 这四个变 量 ， 知道其中三个量
就可以求余下的一个
量.
例题2
在等差数列
a
n
a5 10, a12 31 , 中，
求 首项 a1 与公差
解：
d
.
a5 a1 4d 10 a12 a1 11d 31
an 是等差数列，它的公差为d.所以有
= (a1 d ) d a1 2d
两边都等于a1 ，
a2 a1 d
a3 a2 d
a4 a3 d (a1 2d ) d 当 a1 n 3 d 1时，等式 a5 a4 d (a1 3d ) d a1 4d
2.2.0 引理：
1. 在现实生活中，我们经常这样数数， 从0开始，每隔5数一次，可以得到数 列：0, 5,____,____,____,____,….
2. 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥 运会上，女子举重被正式列为比赛项 目.该项目共设置了7个级别.其中较轻 的4个级别体重组成数列(单位：kg)： 48，53，58，63.
练习６
a4 6、等差数列{an }中，
则
3a1 , ak 9a1
k 13
小结：
1、等差数列的概念：
an an 1 d (n 2, n N ）
或
an 1 an d （n N ）
2、等差数列的通项公式：
an a1 (n 1)d
an , a1 , n ,d 这四个变量 ， 知道其中三
例后思考：
等差数列的通项公式
例后思考
an = a1+(n-1)d 中 ，
an , a1 , n ,d 这四个变 量 ， 知道其中三个量
就可以求余下的一个
量.
例题2
在等差数列
a
n
a5 10, a12 31 , 中，
求 首项 a1 与公差
解：
d
.
a5 a1 4d 10 a12 a1 11d 31
《等差数列课》课件
等差为负数的等差数列
当公差d<0时，数列为递减数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
特殊情况
当 $a_1 = 0$ 时，无论公差d取何值，数列均为非负数列。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
公式推导
通过等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差 数列的性质简化求和过程，推导出等差数列的求和公式。
实例演示
以数列 3, 7, 11, 15, ... 为例，第 一项 $a_1 = 3$，公差 $d = 4$ ，代入公式得到通项 $a_n = 3 + (n-1) times 4 = 4n - 1$。
等差数列通项公式的应用
求任意项的值
根据通项公式，我们可以求出任意一 项的值，例如第10项 $a_{10} = a_1 + 9d$。
等差数列与函数
等差数列可以看作一种特殊的函数，其图像为直线。理解等差数 列与函数的关系有助于加深对两者概念的理解。
等差数列与几何
在几何学中，等差数列的概念可以应用于图形构造，如等分线段、 等分面积等。
等差数列与三角函数
等差数列的项可以表示为三角函数的值，这为解决一些数学问题提 供了新的思路。
等差数列在实际生活中的应用
等差为0的等差数列
01
对于公差为0的等差数列，其求和公式为Sn = n * a1。
等差为常数的等差数列
02
对于公差为常数的等差数列，可以利用等差数列求和公式进行
求解。
等差数列的变种
03
对于一些特殊的等差数列，如等比数列、等积数列等，需要采
用其他方法进行求解。
04
等差数列的综合应用
当公差d<0时，数列为递减数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
特殊情况
当 $a_1 = 0$ 时，无论公差d取何值，数列均为非负数列。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
公式推导
通过等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差 数列的性质简化求和过程，推导出等差数列的求和公式。
实例演示
以数列 3, 7, 11, 15, ... 为例，第 一项 $a_1 = 3$，公差 $d = 4$ ，代入公式得到通项 $a_n = 3 + (n-1) times 4 = 4n - 1$。
等差数列通项公式的应用
求任意项的值
根据通项公式，我们可以求出任意一 项的值，例如第10项 $a_{10} = a_1 + 9d$。
等差数列与函数
等差数列可以看作一种特殊的函数，其图像为直线。理解等差数 列与函数的关系有助于加深对两者概念的理解。
等差数列与几何
在几何学中，等差数列的概念可以应用于图形构造，如等分线段、 等分面积等。
等差数列与三角函数
等差数列的项可以表示为三角函数的值，这为解决一些数学问题提 供了新的思路。
等差数列在实际生活中的应用
等差为0的等差数列
01
对于公差为0的等差数列，其求和公式为Sn = n * a1。
等差为常数的等差数列
02
对于公差为常数的等差数列，可以利用等差数列求和公式进行
求解。
等差数列的变种
03
对于一些特殊的等差数列，如等比数列、等积数列等，需要采
用其他方法进行求解。
04
等差数列的综合应用
4.2.1等差数列的概念(1)PPT课件(人教版)
当d=-2时，这三个数分别为6，4，2.
解惑提高
几个数成等差数列的设项方法与技能
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，
公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列.
(2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.
(3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公
是等差数列.
应用举例
例4 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.
解：设这三个数分别为a-d，a，a+d, 则
(a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12
∴a=4
又∵ (a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12
解得 d=±2
∴当d=2时，这三个数分别为2，4，6;
化,其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)
万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价
值的5%,设备将报废.请确定d的取值范围.
解:设使用n年后,这台设备的价值为an万元,则可得数列{an} 是一个公差
为-d的等差数列.
因为购进设备的价值为220万元,所以a1 =220-d,
设备将报废.请确定d的取值范围.
分析:这台设备使用n年后的价值构成一个数列
{an}.由题意可知,10年之内(含10年),这台设备的
价值应不小于(220×5%=)11万元;而10年后,这台
设备的价值应小于11万元.可以利用{an}的通项公
式列不等式求解.
应用举例
例6 某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老
解惑提高
几个数成等差数列的设项方法与技能
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，
公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列.
(2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.
(3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公
是等差数列.
应用举例
例4 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.
解：设这三个数分别为a-d，a，a+d, 则
(a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12
∴a=4
又∵ (a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12
解得 d=±2
∴当d=2时，这三个数分别为2，4，6;
化,其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)
万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价
值的5%,设备将报废.请确定d的取值范围.
解:设使用n年后,这台设备的价值为an万元,则可得数列{an} 是一个公差
为-d的等差数列.
因为购进设备的价值为220万元,所以a1 =220-d,
设备将报废.请确定d的取值范围.
分析:这台设备使用n年后的价值构成一个数列
{an}.由题意可知,10年之内(含10年),这台设备的
价值应不小于(220×5%=)11万元;而10年后,这台
设备的价值应小于11万元.可以利用{an}的通项公
式列不等式求解.
应用举例
例6 某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老
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2°不是一些数
你还能举出一些数 列的例子吗？
我们所列举的数列中，它 们的项数有什么不同吗？
序号 123L nL
L L
项an a1 a2 a3 L
an L
观察这种“序号”与“项”之 间的对应关系，你联想到了什么？
数列
练习1．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项 分别是下列各数：
( 1 ) 1,3,5,7;
an 2n 1
an 2n 1 (n 1)(n 2)(n 3)(n 4)
(2)
22 1 32 1 42 1 52 1 ,,,;
2345
an
1 , 1 , 1 , 1 . 1 2 23 3 4 45
an
(1)n
1 n(n 1)
求下列常见数列的通项公式：
（4）1，-1，1，-1，… （5）1，0，1，0，1，0，… （6）9，99，999，9999，…
A5
A4
A3
A6
A2
A7
O
A1
A8
8
你知道吗？
5
3 2
1 1，2，3，5，8，13，21…
思考
1，2，3，5，8，13，21…
你能找出该数列的规律吗？ 你能写出通项公式吗？ 若不能，该怎样表述项之间的关系呢？
是否在数列（1）中？
序号 123L nL
L L
项an a1 a2 a3 L
an L
数列是按照项的序号排列的一列函数值
数列的图象
应例用1.如图是第七届国际数学教育大会(ICME - 7)的会徽图案,是
由一串直角三角形演化而成的,其中OA1 A1 A2 A2 A3 L A7 A8 = 1,记OA1,OA2 ,OA3,L ,OA8的长度组成数列{an}, (n N *,1 n 8). (1)写出数列的前4项; (2)归纳出{an}的通项公式; (3)如果按上述方式继续下去,那么OA2004的长是多少?
n ( 1 ) an n 1
1
2
3
4
5
a1 __2__, a2 __3__, a3 __4__,a4 __5__,a5 __6__.
( 2 ) an (1)n n a1 __-1__, a2 __2__,a3 __-3__,a4 __4__,a5 __-_5_.
试判断
19，17 18 18
an (1)n1
an
1 (1)n1 2
an 10n 1
（7）7，77，777，7777 …
an
7 9
(10n
1)
（8） 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999… an 110n
(9) 0.7, 0.77, 0.777, 0.7777, …
an
7 9
(110n )
数列
练习2．根据下面数列的通项公式，写出它的前5项：
全日制普通高级中学教科书（必修）第一册（上）
数列
请从右边的椭圆中选 出你感兴趣的部分数 字组成一列数：
（1） （2） （3） （4） （5） （6）
7，6, 25， 16 ， 9, 4
1， 8， 27， 5 ， 2， 3，
这是数列吗？
（7）我们班所有同学的身高. × 1°无次序 （8）李宇春，周笔畅，张靓颖，何洁，纪敏佳. ×
你还能举出一些数 列的例子吗？
我们所列举的数列中，它 们的项数有什么不同吗？
序号 123L nL
L L
项an a1 a2 a3 L
an L
观察这种“序号”与“项”之 间的对应关系，你联想到了什么？
数列
练习1．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项 分别是下列各数：
( 1 ) 1,3,5,7;
an 2n 1
an 2n 1 (n 1)(n 2)(n 3)(n 4)
(2)
22 1 32 1 42 1 52 1 ,,,;
2345
an
1 , 1 , 1 , 1 . 1 2 23 3 4 45
an
(1)n
1 n(n 1)
求下列常见数列的通项公式：
（4）1，-1，1，-1，… （5）1，0，1，0，1，0，… （6）9，99，999，9999，…
A5
A4
A3
A6
A2
A7
O
A1
A8
8
你知道吗？
5
3 2
1 1，2，3，5，8，13，21…
思考
1，2，3，5，8，13，21…
你能找出该数列的规律吗？ 你能写出通项公式吗？ 若不能，该怎样表述项之间的关系呢？
是否在数列（1）中？
序号 123L nL
L L
项an a1 a2 a3 L
an L
数列是按照项的序号排列的一列函数值
数列的图象
应例用1.如图是第七届国际数学教育大会(ICME - 7)的会徽图案,是
由一串直角三角形演化而成的,其中OA1 A1 A2 A2 A3 L A7 A8 = 1,记OA1,OA2 ,OA3,L ,OA8的长度组成数列{an}, (n N *,1 n 8). (1)写出数列的前4项; (2)归纳出{an}的通项公式; (3)如果按上述方式继续下去,那么OA2004的长是多少?
n ( 1 ) an n 1
1
2
3
4
5
a1 __2__, a2 __3__, a3 __4__,a4 __5__,a5 __6__.
( 2 ) an (1)n n a1 __-1__, a2 __2__,a3 __-3__,a4 __4__,a5 __-_5_.
试判断
19，17 18 18
an (1)n1
an
1 (1)n1 2
an 10n 1
（7）7，77，777，7777 …
an
7 9
(10n
1)
（8） 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999… an 110n
(9) 0.7, 0.77, 0.777, 0.7777, …
an
7 9
(110n )
数列
练习2．根据下面数列的通项公式，写出它的前5项：
全日制普通高级中学教科书（必修）第一册（上）
数列
请从右边的椭圆中选 出你感兴趣的部分数 字组成一列数：
（1） （2） （3） （4） （5） （6）
7，6, 25， 16 ， 9, 4
1， 8， 27， 5 ， 2， 3，
这是数列吗？
（7）我们班所有同学的身高. × 1°无次序 （8）李宇春，周笔畅，张靓颖，何洁，纪敏佳. ×