高三数学(文科)期中考试试卷
天津市红桥区2022届高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
2021-2022学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={1，2，4，5，6}，B={1，3，5}，则集合A∩B=( )A．{1，3，5} B．{1，5} C．{2，4，6} D．{1，2，3，4，5.6}2．i 是虚数单位，复数=( )A ．B ．C ．D ．3．命题“对∀∈R，x2﹣3x+5≤0”的否定是( )A．∃x0∈R，x02﹣3x0+5≤0 B．∃x0∈R，x02﹣3x0+5＞0C．∀x∈R，x2﹣3x+5≤0 D．∀x0∈R，x02﹣3x0+5＞04．某程序框图如图所示，则输出的结果S等于( )A．26 B．57 C．60 D．615．设a=log0.32，b=log32，c=20.3，则这三个数的大小关系是( )A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a6．已知=（1，2），=（0，1），=（k，﹣2），若（+2）⊥，则k=( )A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣87．将函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=8．如图，在三角形ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=θ，点D为BC 的三等分点．则的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={2，3}，则A∩（∁U B）=__________．10．计算的值为__________．11．计算：log525+lg=__________．12．在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°，则△ABC的面积等于__________．13．设函数f（x）=，则f（f（﹣4））的值是__________．14．如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=3，BD=4则线段AF的长为__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知集合A={x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]＜0}，B={x|2a＜x＜a2+1}．（Ⅰ）当a=﹣2时，求A∪B；（Ⅱ）求使B⊆A的实数a的取值范围．16．（13分）在等差数列{a n}中，已知a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=21，（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）求数列{a n}的前9项和S9；（Ⅲ）若，求数列{c n}的前n项和T n．17．（13分）已知cosθ=，（Ⅰ）求sin2θ的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．18．（13分）已知函数f（x）=sin2ωx+cos2ωx．（ω＞0）的最小正周期为4π，（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标向右平行移动个单位长度，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在上的最大值和最小值．19．（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求m的取值范围．20．（14分）已知：已知函数f（x）=﹣+2ax，（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣6，求实数a；（Ⅱ）若a=1，求f（x）的极值；（Ⅲ）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．2021-2022学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={1，2，4，5，6}，B={1，3，5}，则集合A∩B=( )A．{1，3，5} B．{1，5} C．{2，4，6} D．{1，2，3，4，5.6}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={1，2，4，5，6}，B={1，3，5}，∴A∩B={1，5}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，娴熟把握交集的定义是解本题的关键．2．i 是虚数单位，复数=( )A ．B ．C ．D ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数==，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理力量与计算力量，属于基础题．3．命题“对∀∈R，x2﹣3x+5≤0”的否定是( )A．∃x0∈R，x02﹣3x0+5≤0 B．∃x0∈R，x02﹣3x0+5＞0C．∀x∈R，x2﹣3x+5≤0 D．∀x0∈R，x02﹣3x0+5＞0【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；简易规律．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：由于全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对∀∈R，x2﹣3x+5≤0”的否定是：∃x0∈R，x02﹣3x0+5＞0．故选：B．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．4．某程序框图如图所示，则输出的结果S等于( ) A．26 B．57 C．60 D．61【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分类争辩；试验法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的挨次，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：k S 是否连续循环循环前1 1/第一圈2 4 是其次圈3 11 是第三圈4 26 是第四圈5 57 否故最终的输出结果为：57故选：B．【点评】依据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．5．设a=log0.32，b=log32，c=20.3，则这三个数的大小关系是( )A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log0.32＜0，0＜b=log32＜1，c=20.3＞1，∴c＞b＞a．故选：D．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．6．已知=（1，2），=（0，1），=（k，﹣2），若（+2）⊥，则k=( )A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【考点】数量积推断两个平面对量的垂直关系．【专题】平面对量及应用．【分析】由向量的坐标运算易得的坐标，进而由可得它们的数量积为0，可得关于k的方程，解之可得答案．【解答】解：∵=（1，2），=（0，1），∴=（1，4），又由于，所以=k﹣8=0，解得k=8，故选C【点评】本题考查平面对量数量积和向量的垂直关系，属基础题．7．将函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】依据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论．【解答】解：将函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数y=sin（2x+）的图象，再向右平移个单位，那么所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x ﹣）+]=sin（2x ﹣）=﹣cos2x，故最终所得函数的图象的一条对称轴方程为2x=kπ，即x=，k∈z，结合所给的选项可得只有B满足条件，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．8．如图，在三角形ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=θ，点D为BC 的三等分点．则的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．【考点】平面对量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面对量及应用．【分析】直接利用向量的运算法则和数量积运算把化为2cos，然后由﹣1＜cosθ＜1求得答案．【解答】解：∵====，∴=（）•（）=﹣==2cos．∵﹣1＜cosθ＜1，∴﹣＜2cosθ+＜．∴∈（﹣）．故选：D．【点评】本题考查平面对量的数量积运算，娴熟把握向量的运算法则和数量积运算是解题的关键，是中档题．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={2，3}，则A∩（∁U B）={1，5}．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】进行集合的补集、交集运算即可．【解答】解：∁U B={1，4，5，6}；∴A∩（∁U B）={1，5}．故答案为：{1，5}．【点评】考查列举法表示集合，全集的概念，以及补集、交集的运算．10．计算的值为﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】所求式子中的角变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：cos=cos（π+）=﹣cos=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，娴熟把握诱导公式是解本题的关键．11．计算：log525+lg =．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用导数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log525+lg=2﹣2++1=故答案为：．【点评】本题考查导数的运算法则的应用，考查计算力量．12．在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°，则△ABC 的面积等于．【考点】余弦定理；三角形的面积公式．【专题】计算题；解三角形．【分析】通过余弦定理求出AB的长，然后利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：设AB=c，在△ABC中，由余弦定理知AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，即7=c2+4﹣2×2×c×cos60°，c2﹣2c﹣3=0，又c＞0，∴c=3．S△ABC =AB•BCsinB=BC•h可知S△ABC ==．故答案为：【点评】本题考查三角形的面积求法，余弦定理的应用，考查计算力量．13．设函数f（x）=，则f（f（﹣4））的值是4．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（f（﹣4））=f（16）=log216=4．故答案为：4．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算力量．14．如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB 的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=3，BD=4则线段AF的长为．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】综合题；选作题；转化思想；综合法．【分析】由切割线定理得到AE2=EB•ED=EB（EB+BD），求出EB=5，由已知条件推导出四边形AEBC 是平行四边形，从而得到AC=AB=BE=5，BC=AE=3，由△AFC∽△DFB，能求出CF的长．【解答】解：∵AB=AC，AE=3，BD=4，梯形ABCD中，AC∥BD，BD=4，由切割线定理可知：AE2=EB•ED=EB（EB+BD），即45=BE（BE+4），解得EB=5，∵AC∥BD，∴AC∥BE，∵过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，∴∠BAE=∠C，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠ABC=∠BAE，∴AE∥BC，∴四边形AEBC 是平行四边形，∴EB=AC ，∴AC=AB=BE=5，∴BC=AE=3，∵△AFC∽△DFB，∴=，即=，解得CF=．故答案为：．【点评】本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，留意切割线定理的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知集合A={x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]＜0}，B={x|2a＜x＜a2+1}．（Ⅰ）当a=﹣2时，求A∪B；（Ⅱ）求使B⊆A的实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系推断及应用；并集及其运算．【专题】分类争辩；分类法；集合．【分析】由已知中集合A={x|（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0}，集合B={x|（x﹣2a）（x﹣a2﹣1）＜0}，我们先对a 进行分类争辩后，求出集合A，B，再由B⊆A，我们易构造出一个关于a的不等式组，解不等式组，即可得到实数a的取值范围【解答】（Ⅰ）解：当a=﹣2时，A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣4＜x＜5}，∴A∪B={x|﹣5＜x＜5}．（Ⅱ）∵B={x|2a＜x＜a2+1}当时，2＞3a+1，A={x|3a+1＜x＜2}，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣要使B⊆A必需此时a=﹣1，当时，A=ϕ，使B⊆A的a不存在；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当时，2＜3a+1，A={x|2＜x＜3a+1}要使B⊆A必需，故1≤a≤3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上可知，使的实数a的取值范围为[1，3]∪{﹣1}．﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题考查集合的基本运算，集合关系中的参数取值问题，考查计算力量，分类争辩思想的应用16．（13分）在等差数列{a n}中，已知a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=21，（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）求数列{a n}的前9项和S9；（Ⅲ）若，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（I）利用等差数列的通项公式即可得出；（II）利用等差数列的前n项和公式即可得出；（III）利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=21，得，解得a1=﹣3，d=2，∴a n=2n﹣5．（Ⅱ）S9=9a1+36d=9×（﹣3）+36×2=45．（Ⅲ）由（Ⅰ），∴{c n}是首项c1=1，公比q=4的等比数列，∴．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．17．（13分）已知cosθ=，（Ⅰ）求sin2θ的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数关系式可求sinθ的值，依据二倍角的正弦函数公式即可求值．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论及两角和的余弦函数公式即可求值得解．（Ⅲ）利用同角三角函数关系式可求tanθ的值，依据两角和的正切函数公式即可求值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（公式，结论1分）﹣﹣﹣﹣∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（公式，结论1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∴=cosθcos﹣sin ==．﹣﹣﹣﹣（公式，函数值，结论1分）﹣﹣（Ⅲ）∵，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（公式1分）∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（公式，结论1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的正弦函数公式、余弦函数公式、正切函数公式的应用，考查了计算力量，属于基础题．18．（13分）已知函数f（x）=sin2ωx+cos2ωx．（ω＞0）的最小正周期为4π，（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）将函数y=f（x ）的图象上各点的横坐标向右平行移动个单位长度，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x ）在上的最大值和最小值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦函数公式化简可得解析式：f（x）=sin（2ωx+），由周期公式可求ω，解得函数解析式，由，k∈Z*，即可解得f（x）的单调递减区间．（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得解析式，由正弦函数的图象和性质，即可求得函数g（x ）在上的最大值和最小值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由于，（公式2分）又由于，所以；（公式，结论1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得：．当，k∈Z*，函数f（x）单调递减，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，函数f（x ）的单调递减区间为k∈Z*．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）将函数y=f（x ）的图象上各点的横坐标向右平行移动个单位长度，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣g（x ）在上单调递增，在上单调递减，，，所以g（x ）在上最大值为，最小值为．（单调性，结论各1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，周期公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的应用，属于中档题．19．（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求m的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数思想；转化思想；解题方法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）利用f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，直接求出a、b、c，然后求出函数的解析式．（Ⅱ）利用二次函数的对称轴与区间的关系，直接求解函数的最值．（Ⅲ）利用g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，列出不等式组，即可求出M的范围．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由f（0）=2，得c=2，又f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1得2ax+a+b=2x﹣1，故解得：a=1，b=﹣2，所以f（x）=x2﹣2x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（a，b，c各，解析式1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，对称轴为x=1∈[﹣1，2]，故f min（x）=f（1）=1，又f（﹣1）=5，f（2）=2，所以f max（x）=f（﹣1）=5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）g（x）=x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，则满足﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查二次函数的解析式的求法，二次函数的性质与最值的求法，零点判定定理的应用，考查计算力量．20．（14分）已知：已知函数f（x）=﹣+2ax，（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣6，求实数a；（Ⅱ）若a=1，求f（x）的极值；（Ⅲ）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．【考点】利用导数争辩曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；规律型；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的导数值等于切线的斜率为﹣6，即可求实数a；（Ⅱ）通过a=1，利用导函数为0，推断导数符号，即可求f（x）的极值；（Ⅲ）当0＜a＜2时，利用导函数的单调性，通过f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，即可求出a，然后求f（x）在该区间上的最大值．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由于f′（x）=﹣x2+x+2a，曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率k=f′（2）=2a﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣依题意：2a﹣2=﹣6，a=﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）当a=1时，，f′（x）=﹣x2+x+2=﹣（x+1）（x﹣2）﹣﹣﹣﹣x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，2） 2 （2，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）单调减单调增单调减所以，f（x）的极大值为，f（x）的微小值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）令f′（x）=0，得，，f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（x2），f（4）＜f（1），所以f（x）在[1，4]上的最小值为，解得：a=1，x2=2．故f（x）在[1，4]上的最大值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查导数的综合应用，切线方程以及极值的求法，函数的单调性与函数的最值的关系，考查转化思想以及计算力量．。
2021-2022学年高三上学期数学(文)期中试题及答案
2021-2022学年上学期期中考试高三数学（文科）试题考试时间：120分钟 分数：150分本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5,6}，则U C A =( )A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}2. 131ii +- = ( )A. 1+2iB. -1+2iC. 1-2iD. -1-2i3. 已知实数x , y 满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z=y-x 的最大值为 ( )A. 1B. 0C. -1D. -2 4. “p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ） A. 32π B. 16π C. 12π D. 8π(5题图) （6题图）是否开始k=1,s=1k<5?输出s结束 k=k+1s=2s-k6. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （ ） A. -10 B. -3 C. 4 D. 57. 已知x 与y 之间的几组数据如表：x 0 1 2 3 y267则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点 ( )A. (1,2)B. (2,6)C. (315,24) D. (3,7)8. 下列函数中，在定义域内与函数3y x =的单调性与奇偶性都相同的是 （ ）A. sin y x =B. 3y x x =-C. 2x y =D.2lg(1)y x x =++9. 对于使()f x N ≥成立的所有常数N 中，我们把N 的最大值叫作()f x 的下确界．若,a b ∈(0, +∞),且2a b +=，则133a b +的下确界为 （ ） A. 163 B. 83 C. 43 D. 2310.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列．如果数阵中111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所有数的和等于36，那么22a = （ ）A. 8B. 4C. 2D. 111.三棱锥P-ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是 （ ）A. 4B. 6C. 8D.1012.函数()f x 的定义域为R ，f(0)=2,对x R ∀∈，有()()1f x f x '+>，则不等式()1x xe f x e >+ 的解集为 （ ） A. {}|0x x > B. {}|0x x < C. {}|11x x x <->或 D. {}|10x x x <->>或1第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知-向量a 与b 的夹角为60°，且a =（-2，-6），10b =，则ab =14.已知数列{}n a 是等比数列，且1344,8a a a ==，则5a 的值为15.抛物线2(0)y ax a =<的焦点坐标为 16.将边长为2的等边∆ABC 沿x 轴正方向滚动，某时刻A 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)A x y 的轨迹方程是y=f(x)，关于函数y=f(x)有下列说法：①f(x)的值域为[0，2]； ②f(x)是周期函数且周期为6 ; ③()(4)(2015)f f f π<<;④滚动后，当顶点A 第一次落在x 轴上时，f(x)的图象与x 轴所围成的面积为833π+．其中正确命题的序号为三．解答题(本大题共6道题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分）在∆ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知3cos 3cos c b C c B =+（I ）求sin sin C A 的值 (II)若1cos ,233B b =-=，求∆ABC 的面积。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期期中考试文科数学试题(解析版)
成都七中2022～2023学年度（上）高三年级半期考试数学试卷（文科）（试卷总分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}1,3,5B =，则()U A B = ð（ ）A. {}0,6 B. {}1,4 C. {}2,4 D. {}3,5【答案】C【解析】【分析】根据交集、补集的定义，即得解【详解】由题意，全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}1,3,5B =，故{0,2,4,6}U B =ð则(){2,4}U A B =∩ð故选：C2. 复数43i 2i z -=+（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）A. 2- B. 1- C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据复数除法的运算法则，求出复数z ，然后由虚部的定义即可求解.【详解】解：因为复数()()()()2243i 2i 43i 510i 12i 2i 2i 2i 21z ----====-++-+，所以复数z 的虚部为2-，故选：A .3. 青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角12名青少年的视力测量值()1,2,3,,12i a i =⋅⋅⋅（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】依题意该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于4.3人数，结合茎叶图判断可得；【详解】解：根据程序框图可知，该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于4.3的人数，由茎叶图可知视力小于等于4.3的有5人，故选：B4. 抛物线()220y px p =≠上的一点()9,12P -到其焦点F 的距离PF 等于（ ）A. 17B. 15C. 13D. 11【答案】C【解析】【分析】由点的坐标求得参数p ，再由焦半径公式得结论．【详解】由题意2122(9)p =⨯-，解得8p =-，所以4(9)132P p PF x =--=--=，故选：C ．5. 奥运会跳水比赛中共有7名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分，则与7个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（ ）A. 众数B. 方差C. 中位数D. 平均数【答案】B【解析】的【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案．【详解】对于A：众数可能不变，如8,7,7,7,4,4,1，故A错误；对于B：方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故B正确；对于C：7个数据从小到大排列，第4个数为中位数，当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，故5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故C错误；对于C：平均数可能变大、变小或不变，故D错误；故选：B6. 已知一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（）A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同，根据题干三视图的数据，以及圆锥的侧面积和球的表面积公式，即得解【详解】由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同底面圆的半径1r =，圆锥的母线长2l ==记该几何体的表面积为S 故211(2)4422S r l r πππ=+⨯=故选：B7. 设平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a = ，2b = ，则()2a a b ⋅+= （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积的运算律以及数量积的定义，计算即得解【详解】由题意，()22222112cos120211a ab a a b ⋅+=+⋅=⨯+⨯⨯=-= 则()21a a b ⋅+= 故选：A8. 设x ，y 满足240220330x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A. 2- B. 1- C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示, 转化2z x y =+为2y x z =-+,要使得2z x y =+取得最大值，即直线2y x z =-+与阴影部分相交且截距最大，数形结合即得解【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示转化2z x y =+为2y x z=-+要使得2z x y =+取得最大值，即直线2y x z =-+与阴影部分相交且截距最大由图像可知，当经过图中B 点时，直线的截距最大240220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得(0,2)B 故2022z =⨯+=故2z x y =+的最大值是2故选：D9. “α为第二象限角”是“sin 1αα>”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据条件sin 1αα->求出α的范围，从而可判断出选项.【详解】因为1sin 2sin 2sin 23πααααα⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由sin 1αα>，得2sin 13πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即1sin 32πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以522,636k k k Z ππππαπ+<-<+∈，即722,26k k k Z πππαπ+<<+∈，所以当α为第二象限角时，sin 1αα>；但当sin 1αα>时，α不一定为第二象限角，故“α为第二象限角”是“sin 1αα>”的充分不必要条件.故选：A .10. 已知直线()100,0ax by a b +-=>>与圆224x y +=相切，则22log log a b +的最大值为（ ）A. 3B. 2C. 2-D. 3-【答案】D【解析】【分析】由直线与圆相切可得2214a b +=，然后利用均值不等式可得18ab ≤，从而可求22log log a b +的最大值.【详解】解：因为直线()100,0ax by a b +-=>>与圆224x y +=相切，2=，即2214a b +=，因为222a b ab +≥，所以18ab ≤，所以22221log log log log 38a b ab +=≤=-，所以22log log a b +的最大值为3-，故选：D .11. 关于函数()sin cos 6x x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的叙述中，正确的有（ ）①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增；③3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数；④()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】【分析】应用差角余弦公式、二倍角正余弦公式及辅助角公式可得()11sin(2)264f x x π=-+，再根据正弦型函数的性质，结合各项描述判断正误即可.【详解】()211sin cos sin sin )cos sin 622x f x x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+= ⎪⎝⎭11112cos 2sin(2)44264x x x π-+=-+，∴最小正周期22T ππ==，①错误；令222262k x k πππππ-≤-≤+，则()f x 在[,63k k ππππ-+上递增，显然当0k =时,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，②正确；1111sin(2)cos 2322424f x x x ππ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭，易知3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，③正确；令26x k ππ-=，则212k x ππ=+，Z k ∈，易知()f x 的图象关于1,124π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，④错误；故选：C12. 攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状．始建于1752年的廓如亭（位于北京颐和园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观．其檐平面呈正八边形，上檐边长为a ，宝顶到上檐平面的距离为h ，则攒尖的体积为（ ）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】攒尖是一个正八棱锥，由棱锥体积公式计算可得．【详解】如图底面正八边形ABCDEFGH 的外接圆圆心是O （正八边形对角线交点），设外接圆半径为R ，在OAB 中，4AOB π∠=，AB a =，由余弦定理得222222cos (24a R R R R π=+-=-，22R ==，正八边形的面积为218sin 24S R π=⨯22(1a =，所以攒尖体积13V Sh ==．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 命题“x N ∃∈，22x x <”的否定是_______________________．【答案】2,2x x N x ∀∈≥【解析】【分析】根据命题的否定的定义求解．【详解】特称命题的否定是全称命题．命题“x N ∃∈，22x x <”的否定是：2,2x x N x ∀∈≥．故答案为：2,2x x N x ∀∈≥．14. 函数()ln f x x =-在1x =处的切线方程为_______________________．（要求写一般式方程）【答案】230x y +-=【解析】【分析】利用导函数求出斜率，即可写出切线方程.【详解】()ln f x x =-的导函数是()1f x x'=，所以()111122f '=-=-.又()11f =，所以函数()ln f x x =-在1x =处的切线方程为()1112y x -=--，即230x y +-=.故答案为：230x y +-=.15. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，且两条渐近线互相垂直，若C 上一点P 满足213PF PF =，则12F PF ∠的余弦值为_______________________．【答案】13【解析】【分析】由题意可得b a =，进而得到c =，再结合双曲线的定义可得123,PF a PF a ==，进而结合余弦定理即可求出结果.【详解】因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>，所以渐近线方程为b y x a =±，又因为两条渐近线互相垂直，所以21b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1b a =，即b a =，因此c =，因此213PF PF =，又由双曲线的定义可知122PF PF a -=，则123,PF a PF a ==，所以在12F PF △中由余弦定理可得222122112121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠===⋅，故答案为：13.16. 已知向量(),a x m = ，()32,2b x x =-+ ．（1）若当2x =时，a b ⊥ ，则实数m 的值为_______________________；（2）若存在正数x ，使得//a b r r，则实数m 取值范围是__________________．【答案】①. 2- ②. (),0[2,)-∞⋃+∞【解析】【分析】（1）由2x =时，得到()2,a m = ，()4,4b = ，然后根据a b ⊥ 求解；（2）根据存在正数x ，使得//a b r r，则()22320x m x m +-+=，()0,x ∈+∞有解，利用二次函数的根的分布求解.【详解】（1）当2x =时，()2,a m = ，()4,4b = ，因为a b ⊥ ，所以2440m ⨯+=，解得2m =-，所以实数m 的值为-2；（2）因为存在正数x ，使得//a b r r，所以()()232x x m x +=-，()0,x ∈+∞有解，即()22320x m x m +-+=，()0,x ∈+∞有解，所以()223022380m m m -⎧->⎪⎨⎪∆=--≥⎩或230220m m -⎧-≤⎪⎨⎪<⎩，解得2m ≥或0m <，所以实数m 的取值范围是(),0[2,)-∞⋃+∞.故答案为：-2，(),0[2,)-∞⋃+∞三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个题目考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为4:1．现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（单位：件），且每件产品都有各自生产线的标记．的产品件数一等品二等品总计甲生产线2乙生产线7总计50（1）请将22⨯列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关？()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2）从样本的所有二等品中随机抽取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率．【答案】（1）列联表见解析，有97.5%的把握认为产品的等级差异与生产线有关； （2）710【解析】【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，再与观测值比较即可判断；（2）记甲生产线的2个二等品为A ，B ，乙生产线的3个二等品为a ，b ，c ，用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；小问1详解】解：依题意可得22⨯列联表如下：产品件数一等品二等品总计甲生产线38240乙生产线7310总计45550所以()225038327 5.5561040545K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为5.024 5.556 6.635<<，所以有97.5%的把握认为产品的等【级差异与生产线有关；【小问2详解】解：依题意，记甲生产线的2个二等品为A ，B ，乙生产线的3个二等品为a ，b ，c ；则从中随机抽取2件，所有可能结果有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc 共10个，至少有1件为甲生产线产品的有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc 共7个，所以至少有1件为甲生产线产品的概率710P =；18. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点．（1）求证：平面1ADC ⊥平面11BCC B ；（2）已知1AA =，求异面直线1A B 与1DC 所成角的大小．【答案】（1）证明见解析； （2）6π【解析】【分析】（1）证得AD ⊥平面11BCC B ，结合面面垂直的判定定理即可证出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.【小问1详解】因为正三棱柱111ABC A B C -，所以AB AC =，又因为D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥，又因为平面ABC ⊥平面11BCC B ，且平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以AD ⊥平面11BCC B ，又因为AD ⊂平面1ADC ，所以平面1ADC ⊥平面11BCC B ；【小问2详解】取11B C 的中点E ，连接DE ，由正三棱柱的几何特征可知,,DB DA DE 两两垂直，故以D 为坐标原点，分以,,DA DB DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设2AB =，则1AA =，所以()()(11,0,1,0,0,0,0,0,1,A B D C -,则((11,0,1,A B DC =-=-u u u r u u u r，所以111111cos ,A B DC A B DC A B DC ⋅===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 由于异面直线成角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，所以异面直线1A B 与1DC ，因此异面直线1A B 与1DC 所成角为6π.19. 已知n N *∈，数列{}n a 的首项11a =，且满足下列条件之一：①1122n n n a a +=+；②()121n n na n a +=+．（只能从①②中选择一个作为已知）（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 的前n 项和n S m <，求正整数m 的最小值．【答案】（1）22n nn a = （2）4【解析】【分析】（1）若选①，则可得11222n n n n a a ++⋅-⋅=，从而可得数列{}2nn a ⋅是以2为公差，2为首项的等差数列，则可求出2nn a ⋅，进而可求出n a ，若选②，则1112n n a a n n +=⋅+，从而可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公比，1为首项的等比数列，则可求出na n，进而可求出n a ，（2）利用错位相减法求出n S ，从而可求出正整数m 的最小值【小问1详解】若选①，则由1122n n n a a +=+可得11222n n n n a a ++⋅-⋅=，所以数列{}2n n a ⋅是以2为公差，1122a ⋅=为首项的等差数列，所以222(1)2nn a n n ⋅=+-=，所以22n nn a =，若选②，则由()121n n na n a +=+，得1112n n a a n n +=⋅+，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公比，1111a a ==为首项的等比数列，所以1112n n a n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以1222n n nnn a -==【小问2详解】因为12312462(1)222222n n n n n S --=+++⋅⋅⋅++，所以234112462(1)2222222n n n n nS +-=+++⋅⋅⋅++，所以23112222122222n n n n S +=+++⋅⋅⋅+-2311112()2222n nn=+++⋅⋅⋅+-111[1]42121212n nn -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯--222n n +=-，所以2442n nn S +=-，所以4n S <，所以正整数m 的最小值为4，20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为，左顶点A 到右焦点F 的距离为3．（1）求椭圆C 的方程（2）设直线l 与椭圆C 交于不同两点M ，N （不同于A ），且直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：l 经过定点．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得b =、3a c +=，再根据222c a b =-，即可求出a 、c ，从而求出椭圆方程、离心率；（2）设直线l 为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，依题意可得12AM AN k k ⋅=-，即可得到方程，整理得到225480m k km --=，即可得到m 、k 的关系，从而求出直线过定点；【小问1详解】解：依题意b =、3a c +=，又222c a b =-，解得2a =，1c =，所以椭圆方程为22143x y +=，离心率12c e a ==；【小问2详解】解：由（1）可知()2,0A -，当直线斜率存在时，设直线l 为y kx m =+，联立方程得22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2223484120k xkmx m +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，所以122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+；因为直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，所以12AM AN k k ⋅=-；即()()22121212121212121212222242AM ANk x x km x x m y y kx m kx m k k x x x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅==-+++++++所以2222222241281343441282243434m km k km m k k m km k k -⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭=--⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭，即22221231164162k m k m km -+=-+-，所以225480m k km --=，即()()2520m k m k -+=，所以2m k =或25m k =-，当2m k =时，直线l ：2y kx k =+，恒过定点()2,0-，因为直线不过A 点，所以舍去；当25m k =-时，直线l ：25y kx k =-，恒过定点2,05⎛⎫ ⎪⎝⎭；当直线斜率不存在时，设直线0:l x x =，()00,M x y ，()00,N x y -，则00001222AM AN y y k k x x -⋅=⋅=-++，且2200143x y +=，解得025x =或02x =-（舍去）；综上可得直线l 恒过定点2,05⎛⎫⎪⎝⎭.21. 已知函数()sin xf x e k x =-，其中k 为常数．（1）当1k =时，判断()f x 在区间()0,∞+内的单调性；（2）若对任意()0,x π∈，都有()1f x >，求k 的取值范围．【答案】（1）判断见解析 （2）(,1]k ∈-∞【解析】【分析】小问1：当1k =时，求出导数，判断导数在()0,∞+上的正负，即可确定()f x 在()0,∞+上的单调性；小问2：由()1f x >得sin 10x e k x -->，令()sin 1x g x e k x =--，将参数k 区分为0k ≤，01k <≤，1k >三种情况，分别讨论()g x 的单调性，求出最值，即可得到k 的取值范围.【小问1详解】当1k =时，得()sin xf x e x =-，故()cos xf x e x '=-，当()0,∞+时，()0f x '>恒成立，故()f x 在区间()0,∞+为单调递增函数.【小问2详解】当()0,x π∈时，sin (0,1]x ∈，故()1f x >，即sin 1x e k x ->，即sin 10x e k x -->.令()sin 1x g x e k x =--①当0k ≤时，因为()0,x π∈，故sin (0,1]x ∈，即sin 0k x -≥，又10x e ->，故()0f x >在()0,x π∈上恒成立，故0k ≤；②当01k <≤时，()cos x g x e k x '=-，()sin x g x e k x ''=+，故()0g x ''>在()0,x π∈上恒成立，()g x '在()0,x π∈上单调递增，故0()(0)0g x g e k ''>=->，即()g x 在()0,x π∈上单调递增，故0()(0)10g x g e >=-=，故01k <≤；③当1k >时，由②可知()g x '在()0,x π∈上单调递增，设()0g x '=时的根为0x ，则()g x 在0(0,)x x ∈时为单调递减；在0(,)x x π∈时为单调递增又0(0)10g e =-=，故0()0g x <，舍去；综上：(,1]k ∈-∞【点睛】本题考查了利用导数判断函数单调性，及利用恒成立问题，求参数的取值范围的问题，对参数做到不重不漏的讨论，是解题的关键.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22. 在平面直角坐标系xOy 中，伯努利双纽线1C （如图）的普通方程为()()222222x y x y +=-，曲线2C 的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（其中r ∈（，θ为参数）．的（1）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求1C 和2C 的极坐标方程；（2）设1C 与2C 的交于A ，B ，C ，D 四点，当r 变化时，求凸四边形ABCD 的最大面积．【答案】（1）1:C 2222cos 2sin ρθθ=-；2:C r ρ=（2）2【解析】【分析】（1）根据直角坐标方程，极坐标方程，参数方程之间的公式进行转化即可；（2）设点A 在第一象限，并且设点A 的极坐标，根据题意列出点A 的直角坐标，表示出四边形ABCD 的面积进行计算即可.小问1详解】1:C ()()222222x y x y +=-，由cos ,sin x y ρθρθ==，故222222()2(cos sin )ρρθρθ=-，即2222cos 2sin ρθθ=-2:C cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，即222x y r +=，即22r ρ=，rρ=【小问2详解】由1C 和2C 图象的对称性可知，四边形ABCD 为中心在原点处，且边与坐标轴平行的矩形，设点A 在第一象限，且坐标为(,)ρα(02πα<<，又r ρ=，则点A 的直角坐标为(cos ,sin )r r αα，又2222cos 2sin ραα=-，即2222cos 2sin 2cos 2r ααα=-=故S 四边形ABCD =22cos 2sin 2sin 2r r r ααα⋅==22cos 2sin 22sin 4ααα⋅⋅=又02πα<<，故042απ<<，因此当42πα=，即8πα=时，四边形ABCD 的面积最大为2.［选修4—5：不等式选讲]（10分）【23. 设M 为不等式1431x x ++≥-的解集．（1）求集合M 的最大元素m ；（2）若a ，b M ∈且a b m +=，求1123a b +++的最小值．【答案】（1）3m = （2）12【解析】【分析】（1）分类讨论13x ≥，1x ≤-，113x -<<，打开绝对值求解，即得解；（2）由题意1,3,3a b a b -≤≤+=，构造11(2)(3)132([11]2328113823a b b a a b a b a b ++++++=+⨯=+++++++++，利用均值不等式即得解【小问1详解】由题意，1431x x ++≥-（1）当13x ≥时，1431x x ++≥-，解得3x ≤，即133x ≤≤；（2）当1x ≤-时，1413x x --+≥-，解得1x ≥-，即=1x -；（3）当113x -<<时，1413x x ++≥-，解得1x ≥-，即113x -<<综上：13x -≤≤故集合{|13}M x x =-££，3m =【小问2详解】由题意，1,3,3a b a b -≤≤+=，故(2)(3)8a b +++=故11(2)(3)132()[112328113823a b b a a b a b a b ++++++=+⨯=+++++++++由于1,3a b -≤≤，故20,30a b +>+>由均值不等式，113211[11[1123823821b a a b a b +++=+++≥++=++++当且仅当3223b a a b ++=++，即2,1a b ==时等号成立故求1123a b +++的最小值为12。
河南省南阳市2021-2022学年高三上学期期中考试 数学文科试卷
2021年秋期高中三年级期中质量评估数学试题(文)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷和草稿纸上无效。
4.考试结束，只交答题卡。
第I卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有A.7个B.8个C.15个D.16个2.设iz＝4＋3i，则z＝A.－3－4iB.－3＋4iC.3－4iD.3＋4i3.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－l)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用。
若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列{a n}，则数列{a n}的前2021项的和为A.2020B.1348C.1347D.6724.已知命题p：“∃x0∈R，0x e－x0－1≤0”，则¬p为A.∀x∈R，e x－x－1≥0B.∀x∈R，e x－x－1>0C.∃x0∈R，0x e－x0－1≥0D.∃x0∈R，0x e－x0－1>05.已知f(x)＝14x2＋sin(2＋x)，f'(x)为f(x)的导函数，则y＝f'(x)的图象大致是6.设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b7.设变量x ，y 满足约束条件x 1x 2y 30x y 0≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≥⎩，则目标函数z ＝2x －y 的最小值为A.－1B.0C.1D.38.若实数a ，b 满足a>0，b>0，则“a>b ”是“a ＋lna>b ＋lnb ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知x>1，y>0，且1211x y+=-，则x ＋2y －1的最小值为 A.9 B.10 C.11 D.2＋26 10.已知OA 、OB 是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动。
湖南省长沙市高三下学期期中数学试卷(文科)
湖南省长沙市高三下学期期中数学试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高三上·盘山期末) 已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，4}，则A∩（∁UB）=（）A . {1，2，3，5}B . {2，4}C . {1，3}D . {2，5}2. （2分）(2017·石家庄模拟) 若复数（i是虚数单位），则 =（）A . ﹣1+iB . ﹣1﹣iC . 1+iD . 1﹣i3. （2分） (2018高二上·武邑月考) 阅读下面的程序框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写（）A . i<3B . i<4C . i<5D . i<64. （2分）某商场宣传在“十一黄金周”期间对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次性购物不超过200元，不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（）A . 608元B . 574.1元C . 582.6元D . 456.8元5. （2分） (2016高一下·榆社期中) 函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A，ω，ϕ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②将f（x）的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数；③f（0）=1；④ ；⑤ ．其中正确的是（）A . ①②③B . ②③④C . ①④⑤D . ②③⑤6. （2分） (2016高二下·南昌期中) 空间中，设m，n表示直线，α，β，γ表示平面，则下列命题正确的是（）A . 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB . 若m⊥α，m⊥β，则α∥βC . 若m⊥β，α⊥β，则m∥αD . 若n⊥m，n⊥α，则m∥α7. （2分）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）A . 16πB . 12πC . 8πD . 25π8. （2分）已知平行四边形ABCD，点P为四边形内部及边界上任意一点，向量，则的概率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二下·孝感期中) 圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·石家庄模拟) 已知函数f（x）=e2x﹣ax2+bx﹣1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，若f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，函数f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，则a的取值范围是（）A . （e2﹣3，e2+1）B . （e2﹣3，+∞）C . （﹣∞，2e2+2）D . （2e2﹣6，2e2+2）11. （2分）记f（x）=|log2（ax）|在x∈[， 8]时的最大值为g（a），则g（a）的最小值为（）A .B . 2C .D . 412. （2分） (2017高一下·赣州期末) 设函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，实数a使得f（1﹣ax﹣x2）＜f（2﹣a）对于任意x∈[0，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，1）B . [﹣2，0]C . （﹣2﹣2 ，﹣2+2 ）D . [0，1]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·淮安期末) 函数f（x）= 的定义域为________．14. （1分） (2019高三上·建平期中) 已知函数，则方程的解 ________15. （1分） (2019高三上·佛山月考) 如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB= ，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD= ，则该球的体积为________．16. （1分） (2019高二上·长春月考) 已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上．若，，，，则球的体积为________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分）(2017·邹平模拟) 已知数列{an}，{bn}满足，，其中n∈N+ ．（I）求证：数列{bn}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；（II）设，求数列{cncn+2}的前n项和为Tn ．18. （10分） (2018高三上·长春期中) 已知向量m＝(3sin A，cos A)，n＝，m·n＝sin 2C，且A、B、C分别为△ABC三边a、b、c所对的角．（1）求角C的大小；（2）若sin A，sin C，sin B成等比数列，且，求c的值．19. （5分）求值：lg5（lg8+lg1000）+（lg2）2+lg+lg0.0620. （10分） (2018高二上·佛山月考) 如图，在四棱锥中，，，，，，．（1）求棱锥的体积；（2）在线段上是否存在一点，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．21. （10分） (2016高二下·绵阳期中) 已知函数f（x）= x3﹣2ax2+3x（x∈R）．（1）若a=1，点P为曲线y=f（x）上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；（2）若函数y=f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a．22. （10分） (2016高二上·秀山期中) 如图1，2，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E在线段AB上，过点E作交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置（点A与P重合），使得∠PEB=60°．（1）求证：EF⊥PB；（2）试问：当点E在何处时，四棱锥P﹣EFCB的侧面的面积最大？并求此时四棱锥P﹣EFCB的体积及直线PC 与平面EFCB所成角的正切值．23. （5分）(2017·漳州模拟) 在直角坐标系xOy中，已知点P（2，0），曲线C的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）过点P且倾斜角为的直线l交曲线C于A，B两点，求|AB|．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
高三下学期期中数学试卷(文科)
高三下学期期中数学试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·河北期中) 集合A={x||x|≥2}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则（∁RA）∩B=（）A . （﹣2，﹣1）B . [2，3）C . （3，+∞）D . （﹣∞，﹣2]∪（3，+∞）2. （2分）复数（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高一下·惠来期末) 某程序框图如图所示，若输出的S=26，则判断框内应填（）A . k＞3？B . k＞4？C . k＞5？D . k＞6？4. （2分）已知函数若，则实数x的取值范围是（）A .B .C . (-2,1)D . (-1,2)5. （2分） (2016高一下·江门期中) 下列说法正确的是（）A . 在（0，）内，sinx＞cosxB . 函数y=2sin（x+ ）的图象的一条对称轴是x= πC . 函数y= 的最大值为πD . 函数y=sin2x的图象可以由函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位得到6. （2分）设m,n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A . 若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥βB . 若m∥α，n∥β，α∥β则m∥nC . 若m∥n，m∥α，n∥β则α∥βD . 若m⊥α,n∥β,α∥β，则m⊥n7. （2分） (2018·恩施模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 4B . 3C . 2D . 18. （2分）已知一颗粒子等可能地落入如右图所示的四边形ABCD内的任意位置，如果通过大量的实验发现粒子落入△BCD内的频率稳定在附近，那么点A和点C到时直线BD的距离之比约为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高三上·汉中月考) 已知椭圆，双曲线．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，则为（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·大理模拟) 已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣1，h（x）=log3x+x的零点依次为a，b，c，则（）A . a＜b＜cB . b＜a＜cC . c＜a＜bD . a＜c＜b11. （2分） (2018高一上·中原期中) 函数的图象大致是（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·资阳期末) 已知对∀x∈（0，+∞），不等式2ax＞ex﹣1恒成立，则实数a的最小值是（）A . 2B . 1C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·武清期中) 函数f（x）= +lg（2﹣x）的定义域为________．14. （1分）(2016·大连模拟) 若函数f（x）= ，则f（7）+f（log36）=________．15. （1分）在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B（﹣，0），C（，0）（a＞0），且满足条件sinC ﹣sinB= sinA，则动点A的轨迹方程是________．16. （1分）若四面体ABCD中，AB=CD=BC=AD=， AC=BD=，则四面体的外接球的表面积为________三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2014·山东理) 已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn ，且S1 ， S2 ， S4成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=（﹣1）n﹣1 ，求数列{bn}的前n项和Tn．18. （5分） (2019高三上·天津月考) 在中，内角所对的边分别为 .已知，， .（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.19. （10分）(2017·鞍山模拟) 设函数f（x）=|x﹣a|+|2x+2|﹣5（a∈R）．（1）试比较f（﹣1）与f（a）的大小；（2）当a=﹣5时，求函数f（x）的图象与轴围成的图形面积．20. （15分） (2016高二上·温州期末) 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；（3）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．21. （15分） (2015高三上·泰安期末) 已知函数f（x）=lnx+ax在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1（1）求a的值（2）若，证明：当x＞1时，（3）对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x0，使得：．22. （5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2a，E为CC1的中点，F为B1C1的中点．（1）求证；BD⊥A1E；（2）求证：平面A1BD⊥平面EBD；（3）求证：平面A1BF⊥平面A1BD．23. （10分） (2016高二下·丰城期中) 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=1，A，B分别为C与x轴，y轴的交点．（1）写出C的直角坐标方程，并求A，B的极坐标；（2）设M为曲线C上的一个动点，=λ• （λ＞0），| |•| |=2，求动点Q的极坐标方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、23-2、。
临沂高三期中考试数学文
高三数学质量检测考试文 科 数 学2013.11本试卷分为选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}{},21012=0U R A B y y x ==--=≥集合，，，，，下图中阴影部分所表示的集合为A.{}0,1,2B.{}2-C.{}1,2--D.{}1,2 2.如果函数()()ln 2f x x a =-+的定义域为(),1-∞，则实数a 的值为A.2-B.1-C.1D.23.下列函数中，周期为π且为偶函数的是 A.sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4.如果a b >，则下列各式正确的是A.lg lg a x b x >B.22ax bx >C.22a b >D.22x x a b ⋅>⋅5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为68726n S a a S =+，若，则是A.49B.42C.35D.246.已知αβ，是不同的平面，m,n 是不同的直线，给出下列命题：①若,,m m αβαβ⊥⊂⊥则；②若,,//,//,//m n m n ααββαβ⊂⊂则；③如果,,,m n m n αα⊂⊄是异面直线，那么n α与相交；④若=m,n//m,n//m,n ,n ,////n n αβαβαβ⋂⊄⊄且则且.其中正确命题的个数是A.1B.2C.3D.247.“a=1”是“()10,,14x ax x ∀∈+∞+≥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.如图已知点()1,1A -和单位圆上半部分上的动点B ，则OA OB + 的最大值为1 D.19.一个几何体的三视图如图，其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为A.(43π+B.(86π+C.(83π+D.(4π+10.若函数()()sin 0y x πϕϕ=+>的两部分图象如图，设p 是图象的最高点，A 、B 是图象与x 轴的交点，设,tan APB θθ∠=则的值是A.2-B.6C.8D.1011.函数()()sin 0y x πϕϕ=+>的部分图象如图，设P是图象的最高点，A 、B 是图象与x 轴的交点，设,tan APB θθ∠=则的值是A.2-B.6C.8D.1012.函数()y f x =是定义在R 上的增函数，函数()1y f x =-的图象关于点（1，0）对称，若任意的()()2,10x R f ax f ax ∈++>不等式恒成立，则a 的取值范围为A.()0,4B.[)0,4C.()4,0-D.(]4,0-第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.13.若4sin ,0,tan 252ππααα⎛⎫-=<<= ⎪⎝⎭则__________. 14.设函数()()()()22lg ,1f x x f ab f a f b ==+=若，则________. 15.已知,x y 满足条件0,,20x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩（k 为常数），若3z x y =+的最大值为8，则k=_______.16.某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%（即每销售100元征税R 元），若年销售量为5302R ⎛⎫- ⎪⎝⎭万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程17.（本小题满分12分）设向量)(),sin ,cos ,sin ,0,2a x x b x x x π⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭. （I ）若//a b ，求x 的值；（II ）设函数()()(),f x a b b f x =+⋅求的最大值及取得最大值时x 的值.18.（本小题满分12分）已知正项数列{}(){}2:10,n n n n a a na n b --+=满足数列的前n 项和为2 2.n n n S S b =-，且（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（II ）求数列21log nn a b ⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图，MA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，四边开ADNM 是平行四边形. （I ）若E 为AB 的中点，求证：AN//平面MEC ；（II ）若P 为BD 上的动点，求证：不论P 在何位置，总有.AC NP ⊥20.（本小题满分12分）△ABC 为锐角三角形，内角A,B,C 的对边分别为22,,6cos ,a b c a b ab C +=，已知 2sin 2sin sin .C A B =且（I ）求角C 的大小；（II ）若△ABC的面积,sin sin 4S A B =+求的值.21.（本小题满分12分）已知函数()()22ln 0f x x a x a R a =-∈≠且. （I ）若()f x 在定义域上为增函数，求实数a 的取值范围；（II ）若0a >，求函数()f x 在区间(]0,2上的最小值.22.（本小题满分14分）设[]1,0a ∈-，已知函数()()23222,0,32,0.2x a x x f x x a x ax x ⎧-+-≤⎪=⎨⎛⎫-++>⎪ ⎪⎝⎭⎩（I ）证明：函数()f x 在区间()1,1-内单调递减，在区间()1,+∞内单调递增； （II ）设曲线()y f x =在点()()(),1,2,3i i i P x f x i =处的切线相互平行，且1230x x x ≠，试证明：1232.3x x x ++>-。
2020-2021学年济宁市曲阜一中高三上学期期中数学试卷(文科)(含解析)
2020-2021学年济宁市曲阜一中高三上学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A ={x|ln(x −2)>0}，B ={x|2x 2−9x −5<0}，则A ∩B =( )A. (2,5)B. [2,5)C. [3,5)D. (3,5)2.下列说法正确的有①大庆实验中学所有优秀的学生可以构成集合；②0∈N ； ③集合{(x,y)|y =x 2}与集合{y|y =x 2}表示同一集合； ④空集是任何集合的真子集．( )A. 1个B. 2个C. 个D. 个3.4枝牡丹花与5枝月季花的价格之和小于22元，而6枝牡丹花与3枝月季花的价格之和大于24元.则2枝牡丹花和3枝月季花的价格比较，结果是( )A. 2枝牡丹花贵B. 3枝月季花贵C. 相同D. 不确定4.曲线y =x2x−1在x =1处的切线方程为( )A. x −y −2=0B. x +y −2=0C. x +4y −5=0D. x −4y −5=05.若变量x ，y 满足约束条件{x +2y ≤2x +y ≥0x ≤4，则z =2x +y 的最大值为( )A. 2B. 8C. 5D. 76.已知定义在R 上的函数f(x)是周期为3的奇函数，当x ∈(0,32)时，f(x)=sinπx ，则函数f(x)在区间[0,5]上零点个数为( )A. 0B. 8C. 7D. 67.(2007广州市水平测试)在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , E 为BC 边的中点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 14a⃗ +12b ⃗ B. 34a⃗ +12b ⃗ C. 14a⃗ −12b ⃗ D. 34a⃗ −12b ⃗ 8.已知cosθ=−35(π2<θ<π)，则cos(θ−π3)=( )A. 4√3+310B. 4√3−310C. −4√3+310D. 4−3√3109. 下列结论：①(cosx)′=sinx ；②′=cos ；③若y =，则y′|x=3=−；④(e 3)′=e 3.其中正确的个数为( )．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10. 如图，E 、F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D 、DD 2的中点，沿SE 、SF 、EF 将它折成一个几何体，使D 1、D 、D 2重合，记作D ，给出下列位置关系：①SD ⊥面EFD ； ②SE ⊥面EFD ；③DF ⊥SE ；④EF ⊥面SED.其中成立的有( )A. ①与②B. ①与③C. ②与③D. ③与④11. 在棱锥P −ABC 中，侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，Q 为底面△ABC 内一点，若点Q 到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ 为直径的球的体积为( )A.125π6B. 125√2π3C.50π3D.25π312. 已知函数f(x)={√x +a(x ≥0)2−x +a +2(x <0)，若方程f(x)=4有且仅有一个解，则实数a 的取值范围为( )A. (0,3)B. [0,3]C. (1,4)D. [1,4]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，BC =3，CA =5，AB =7，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______ ． 14. 已知多面体ABCA 1B 1C 1的直观图和三视图如图所示，则平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值是______．15. 下列命题：①函数y =sin(2x +π3)的单调减区间为[kπ+π12,kπ+7π12]，k ∈Z ； ②函数y =√3cos2x −sin2x 图象的一个对称中心为(π6,0)； ③函数y =sin(12x −π6)在区间[−π3,11π6]上的值域为[−√32,√22]；④函数y =cosx 的图象可由函数y =sin(x +π4)的图象向右平移π4个单位得到；⑤若方程sin(2x +π3)−a =0在区间[0,π2]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1+x 2=π6． 其中正确命题的序号为______ ．16. (1)函数y =sinx +√3cosx 在区间[0,π2]上的最小值为________．(2)四边形ABCD 中，AB =AD =2，∠BAD =900，∠ADC =600，∠ABC =1200，E 为BD 的中点，则EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =_________. (3)集合A ={x|2x2−4<22x−2a ,x ∈Z}={1}，则a 的取值范围是________．(4)已知f (x )=sin (2x +φ)，其中φ∈(0,π)，若方程f (x )=a 在(0,π]上的所有解之和为4π3，则实数a 的取值范围为____________. 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (1)设U =R ，集合A ={x|x 2+3x +2=0}，B ={x|x 2+(m +1)x +m =0}；若(∁U A)∩B =⌀，求m 的值．(2)设集合A ={x|−2≤x ≤5}，B ={x|n +1≤x ≤2n −1}，B ⊆A ，求n 的取值范围．18. 18.(本小题满分12分)如图，已知四边形ABCD 为正方形，平面，//，且(1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值。
【高三】福建省师大附中届高三上学期期中考试数学(文)试题
【高三】福建省师大附中届高三上学期期中考试数学（文）试题试卷说明：福建师大附中20-学年第学期考试卷高数学满足，则= ( *** ) A. B. C . D. 2. 命题“存在实数，使> 1”的否定是（ *** ）A. 对任意实数, 都有 > 1 B. 不存在实数，使 1 C. 对任意实数, 都有 1 D. 存在实数，使 13. 设，则（ *** ）A. B. C. D. 4. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ *** ） A. B. C. D. 5. 若不等式的解集为，则的值为（ *** ）A.-10 B.10 C. -14 D. 146. 已知为等差数列，且则=( *** )A. B. C.D. 7. 已知的三个内角所对的边为，满足，则的形状是（ *** ）A.正三角形 B.等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形8.已知数列的通项公式为，设为数列的前项和公式，则（ *** ） A. -100 B.100 C. -150 D. 1509.平面内有三个向量，其中与夹角为，与的夹角为，且，若，（）则（ ***）A. B. C. D. 10.函数的图象先向下移一个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不动）得到新函数，则( *** )A． B. C. D. 11.某家公司每月生产两种布料A和B，所有原料是两种不同颜色的羊毛，下表给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量，以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量.羊毛颜色每匹需要 ( kg)供应量(kg)布料A布料B红441400绿631800已知生产每匹布料A、B的利润分别为120元、80元. 那么公司每月应怎么安排生产两种布料A和B的匹数，才能够产生最大的利润，最大利润为（ *** ）元.A. 38000 B. 32000 C. 28000 D. 4800012.设为平面向量组成的集合，若对任意正实数和向量，都有，则称为“正则量域”.据此可以得出，下列平面向量的集合为“正则量域”的是（ *** ）A. B. C . D. 二、填空题（每小题4分，共16分）13.已知向量满足，且，则向量与的夹角为___***___；14.已知正实数满足，则的最小值是___***_____15.已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_____***___16. 某种平面分形如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为；……;依此规律得到级分形图，则级分形图中所有线段的长度之和为_____***_____.三、解答题：（本大题共6题，满分74分）17.（本小题满分1分）的公比，前3项和.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若函数在处取得最大值，且最大值为，求函数解析式.18．（本小题满分1分）（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若函数在内有零点，求实数k的取值范围.19．（本小题满分1分）已知定义在上的函数，其中为常数.,恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，在处取得最大值，求正数的取值范围.本小题满分1分），宽设计为多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小；（Ⅱ）若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超15米，则小网箱的长、宽分别为多少米时，可使网衣和筛网的合计造价最低？21.（本小题满分1分）作曲线的切线，切点为，设点在轴上的投影是点，又过点作曲线的切线，切点为，设点在轴上的投影是点，…依此下去，得到点列记它们的横坐标构成数列.（Ⅰ）求与的关系式；（Ⅱ）令求数列的前项和.22.（本小题满分1分），（Ⅰ）求函数的最小值.（Ⅱ）当时,求证:福建师大附中20-学年第学期考试卷高数学，6，，（2）由（1）可知函数的最大值为3，时，取得最大值，，又，函数18.解：（1）单调区间为，最小正周期为，（2）19.解：（1），，恒成立令，当或，得（2）若时，对，恒成立，故在区间上为增函数，在处取到最大值.若时，在上为减函数，上为增函数，则综上所述：若，在处取得最大值，正数的取值范围20.解：（Ⅰ）由已知得，，网箱中筛网的总长度。
山东省东营一中2022届高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
2021-2022学年山东省东营一中高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数的定义域是( )A ．B ．C ．D ．2．要得到y=sin2x+cos2x的图象，只需将y=sin2x的图象( )A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位3．若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a10=( )A．15 B．12 C．﹣12 D．﹣154．已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为( )A ．B ．C ．D ．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于( )A．6 B．7 C．8 D．96．已知α为第四象限角．sinα+cosα=，则cos2α=( )A ．﹣B ．﹣C ．D ．7．如图，在矩形ABCD 中，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是( )A ．B．2 C．0 D．1 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2﹣a2），则∠B=( )A．90°B．60°C．45°D．30°9．设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y=x•f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与微小值分别是( )A．f（1）与f（﹣1） B．f（﹣1）与f（1）C．f（﹣2）与f（2）D．f（2）与f（﹣2）10．设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“亲密函数”，[a，b]称为“亲密区间”，设f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x﹣3在[a，b]上是“亲密函数”，则它的“亲密区间”可以是( )A．[1，4]B．[2，3]C．[3，4]D．[2，4]二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．设单位向量满足，则=__________．12．已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）=__________．13．设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是__________．14．已知各项不为0的等差数列{a n}满足，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b6b8=__________．15．给出下列命题：①函数y=cos是奇函数；②存在实数α，使得sinα+cosα=；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④x=是函数y=sin的一条对称轴方程；⑤函数y=sin 的图象关于点成中心对称图形．其中命题正确的是__________（填序号）．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，a、b、c分别是角A 、B、C的对边，且．（1）求角B的大小；（2）若b=3，求△ABC面积的最大值．17．已知函数f（x）=，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a、b的值．18．已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a 7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．19．已知数列{a n }各项均为正数，其前n项和S n满足（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）已知椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过点F2的直线交椭圆C于A、B两点，且△AF1B的周长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过定点M（0，﹣2）的动直线l与椭圆C相交P，Q两点，求△OPQ的面积的最大值（O为坐标原点），并求此时直线l的方程．21．（14分）已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx．（a∈R）（1）当a=0时，求f（x）在x=1处的切线方程；（2）若在区间（1，+∞）上，函数f （x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围；（3）设g（x）=f（x）﹣2ax，h（x）=x2﹣2bx+．当a=时，若对于任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使g（x1）≤h（x2），求实数b的取值范围．2021-2022学年山东省东营一中高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数的定义域是( )A ．B ．C ．D ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的及诶小时可得可得，解方程组求得x的范围，即为所求．【解答】解：由函数，可得．解得﹣＜x＜2，故选B．【点评】本题主要考查求函数的定义域的方法，属于基础题．2．要得到y=sin2x+cos2x的图象，只需将y=sin2x的图象( )A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】先利用两角和的正弦公式将函数y=sin2x+cos2x变形为y=Asin（ωx+φ）型函数，再与函数y=sin2x 的解析式进行对比即可得平移方向和平移量【解答】解：y=sin2x+cos2x=（sin2xcos +cos2xsin）=sin（2x+）=sin[2（x+）]∴只需将y=sin2x 的图象向左平移个单位，即可得函数y=sin[2（x+）]，即y=sin2x+cos2x的图象故选B【点评】本题主要考查了函数图象的平移变换，三角变换公式的运用，y=Asin（ωx+φ）型函数的图象性质，精确将目标函数变形是解决本题的关键3．若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a10=( )A．15 B．12 C．﹣12 D．﹣15 【考点】数列的求和．【专题】计算题．【分析】通过观看数列的通项公式可知，数列的每相邻的两项的和为常数，进而可求解．【解答】解：依题意可知a1+a2=3，a3+a4=3…a9+a10=3∴a1+a2+…+a10=5×3=15故选A．【点评】本题主要考查了数列求和．对于摇摆数列，常用的方法就是隔项取值，找出规律．4．已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为( )A ．B ．C ．D ．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面对量及应用．【分析】由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值．【解答】解：由已知非零向量满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，所以•（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；故选C．【点评】本题考查了向量垂直的性质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角；娴熟运用公式是关键．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于( )A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】条件已供应了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选A．【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算力量．6．已知α为第四象限角．sinα+cosα=，则cos2α=( )A ．﹣B ．﹣C ．D ．【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用二倍角的正弦与同角三角函数间的关系可求得cosα﹣sinα=，再利用二倍角的余弦即可求得cos2α．【解答】解：∵sinα+cosα=，①∴两边平方得：1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣＜0，∵α为第四象限角，∴sinα＜0，cosα＞0，cosα﹣sinα＞0．∴cosα﹣sinα=，②∴①×②可解得：cos2α=．故选：D．【点评】本题考查二倍角的正弦、余弦与同角三角函数间的关系，属于中档题．7．如图，在矩形ABCD 中，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是( )A ．B．2 C．0 D．1【考点】平面对量数量积的运算．【专题】平面对量及应用．【分析】建立直角坐标系，由已知条件可得F 的坐标，进而可得向量和的坐标，可得数量积．【解答】解：建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B （，0），E （，1），F（x，2）∴=（，0），=（x，2），∴=x=，解得x=1，∴F（1，2）∴=（，1），=（1﹣，2）∴=（1﹣）+1×2=故选：A 【点评】本题考查平面对量数量积的运算，建立直角坐标系是解决问题的关键，属基础题．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2﹣a2），则∠B=( )A．90°B．60°C．45°D．30°【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C，然后利用三角形面积公式求得S的表达式，进而求得a=b，推断出三角形为等腰直角三角形，进而求得∠B．【解答】解：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2RsinC•sinC ∴sinC=1，C=．∴S=ab=（b2+c2﹣a2），解得a=b，因此∠B=45°．故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．作为解三角形常用的定理，我们应娴熟记忆和把握正弦定理公式及其变形公式．9．设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y=x•f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与微小值分别是( )A．f（1）与f（﹣1） B．f（﹣1）与f（1）C．f（﹣2）与f（2）D．f（2）与f（﹣2）【考点】函数的单调性与导数的关系；函数最值的应用．【分析】当x＜0时，f′（x）的符号与x•f′（x）的符号相反；当x＞0时，f′（x）的符号与x•f′（x）的符号相同，由y=x•f′（x）的图象得f′（x）的符号；推断出函数的单调性得函数的极值．【解答】解：由y=x•f′（x）的图象知，x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，2）时，f′（x）≤0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0∴当x=﹣2时，f（x）有极大值f（﹣2）；当x=2时，f（x）有微小值f（2）故选项为C【点评】本题考查识图的力量；利用导数求函数的单调性和极值；．是高考常考内容，需重视．10．设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“亲密函数”，[a，b]称为“亲密区间”，设f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x﹣3在[a，b]上是“亲密函数”，则它的“亲密区间”可以是( )A．[1，4]B．[2，3]C．[3，4]D．[2，4]【考点】函数的值域．【专题】计算题；压轴题；新定义．【分析】依据“亲密函数”的定义列出确定值不等式|x2﹣3x+4﹣（2x﹣3）|≤1，求出解集即可得到它的“亲密区间”．【解答】解：由于f（x）与g（x）在[a，b]上是“亲密函数”，则|f（x）﹣g（x）|≤1即|x2﹣3x+4﹣（2x﹣3）|≤1即|x2﹣5x+7|≤1，化简得﹣1≤x2﹣5x+7≤1，由于x2﹣5x+7的△＜0即与x轴没有交点，由开口向上得到x2﹣5x+7＞0＞﹣1恒成立；所以由x2﹣5x+7≤1解得2≤x≤3，所以它的“亲密区间”是[2，3]故选B【点评】考查同学会依据题中新定义的概念列出不等式得到解集，要求同学会解确定值不等式．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．设单位向量满足，则=．【考点】向量的模．【专题】计算题．【分析】依据题意和数量积的运算法则先求出，再求出．【解答】解：∵，=1，=1∴==1﹣2+4=3，∴=，故答案为：．【点评】本题考查了利用向量数量积的运算求出向量模，属于基础题．12．已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）=﹣4．【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求f′（1）的值，再代入即可求出f′（0）的值．【解答】解：由f（x ）=x2+2xf′（1），得：f′（x）=2x+2f′（1），取x=1得：f′（1）=2×1+2f ′（1），所以，f′（1）=﹣2．故f′（0）=2f′（1）=﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了导数运算，解答此题的关键是理解原函数解析式中的f′（1），在这里f′（1）只是一个常数，此题是基础题．13．设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8．【考点】其他不等式的解法；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用分段函数，结合f（x）≤2，解不等式，即可求出访得f（x）≤2成立的x的取值范围．【解答】解：x＜1时，e x﹣1≤2，∴x≤ln2+1，∴x＜1；x≥1时，≤2，∴x≤8，∴1≤x≤8，综上，使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8．故答案为：x≤8．【点评】本题考查不等式的解法，考查分段函数，考查同学的计算力量，属于基础题．14．已知各项不为0的等差数列{a n}满足，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b6b8=16．【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】各项不为0的等差数列{a n}满足，可得2×2a7﹣=0，解得a7．利用等比数列的性质可得b6b8=．【解答】解：∵各项不为0的等差数列{a n}满足，∴2×2a7﹣=0，解得a7=4．数列{b n}是等比数列，且b7=a7=4．则b6b8==16．故答案为：16．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．15．给出下列命题：①函数y=cos是奇函数；②存在实数α，使得sinα+cosα=；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④x=是函数y=sin的一条对称轴方程；⑤函数y=sin 的图象关于点成中心对称图形．其中命题正确的是①④（填序号）．【考点】余弦函数的奇偶性；正弦函数的奇偶性；正弦函数的对称性；正切函数的单调性．【专题】综合题．【分析】①利用诱导公式化简函数y=cos，即可推断是奇函数；②通过函数的最值，推断是否存在实数α，使得sinα+cosα=即可得到正误；③利用正切函数的性质频道若α、β是第一象限角且α＜β，则tan α＜tanβ的正误；④把x=代入函数y=sin是否取得最值，即可推断它是否是一条对称轴方程；⑤函数y=sin的图象关于点成中心对称图形．利用x=，函数是否为0即可推断正误；【解答】解：①函数y=cos=﹣sin是奇函数，正确；②存在实数α，使得sinα+cosα≤＜；所以不正确；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；明显不正确，如α=60°，β=390°时不等式不正确；④x=是函数y=sin的一条对称轴方程；把x=代入函数y=sin取得最小值，所以正确；⑤函数y=sin的图象关于点成中心对称图形．x=，函数y≠0，所以不正确；故答案为：①④【点评】本题是基础题，考查三角函数的基本学问的综合应用，函数的奇偶性、最值、单调性、对称性的应用，考查基本学问的机敏运应力量．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（1）求角B的大小；（2）若b=3，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）依据正弦定理与两角和的正弦公式，化简已知等式得2cosBsinA+sin（B+C）=0，由三角函数的诱导公式可得sinA=sin（B+C），代入前面的等式并整理得sinA（2cosB+1）=0．由此解出cosB=﹣，即可得出角B的大小．（2）利用余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB，将b及cosB的值代入，并利用基本不等式变形后得出ac的最大值，然后再利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac 的最大值及sinB的值代入，即可求出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，，∴依据正弦定理，得=﹣，去分母，得cosB（2sinA+sinC）=﹣sinBcosC，即2cosBsinA+（sinBcosC+cosBsinC）=0，可得2cosBsinA+sin（B+C）=0，∵△ABC中，sinA=sin（B+C），∴2cosBsinA+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0．又∵△ABC中，sinA＞0，∴2cosB+1=0，可得cosB=﹣．∵B∈（0，π），∴B=π．（2）∵b=3，cosB=cosπ=﹣，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2+ac≥3ac，即ac ≤3，∴S△ABC=acsinB ≤×3×=（当且仅当ac时取等号），则△ABC面积最大值为．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，基本不等式，以及特殊角的三角函数值，娴熟把握定理及公式是解本题的关键．17．已知函数f（x）=，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a、b的值．【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，可得最小值和周期；（Ⅱ）由f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0结合角的范围可得C=，再由向量共线和正弦定理可得b=2a，由余弦定理可得ab的方程，解方程组可得．【解答】解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x ﹣cos2x﹣1=sin（2x ﹣）﹣1，∴f（x）的最小值为﹣2，最小正周期为T=π（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C ﹣）﹣1=0，∴sin（2C ﹣）=1，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C ﹣＜，∴2C ﹣=，∴C=，∵与共线，∴sinB﹣2sinA=0，∴由正弦定理可得==，即b=2a，①∵c=3，∴由余弦定理可得9=a2+b2﹣2abcos，②联立①②解方程组可得【点评】本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的周期性和余弦定理，属中档题．18．已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n ，求证：≤T n ＜．【考点】数列的求和；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意得，由此能求出a n=4n+2．（2）由a1=6，d=4，得S n=2n2+4n ，==，从而T n ==﹣＜，由此能证明≤T n ＜．【解答】解：（1）由题意得，解得a1=6，d=4，∴a n=6+（n﹣1）×4=4n+2．（2）∵a1=6，d=4，∴S n =6n+=2n2+4n，==，∴T n ===﹣＜，（T n）min=T1=﹣=．故≤T n ＜．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，留意裂项求和法的合理运用．19．已知数列{a n}各项均为正数，其前n项和S n 满足（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用递推关系与等差数列的通项公式可得a n；（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵（n∈N+）．∴当n=1时，4a1=，解得a1=1．当n≥2时，4a n=4（S n﹣S n﹣1）=﹣，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵数列{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1=2．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为2．∴a n=2n﹣1．（2）=（2n﹣1）•2n﹣1．∴数列{b n}的前n项和T n=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）•2n﹣1，∴2T n=2+3×22+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n，∴﹣T n=1+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n =﹣1﹣（2n﹣1）•2n=（3﹣2n）•2n﹣3，∴T n=（2n﹣3）•2n+3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、“错位相减法”，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．20．（13分）已知椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过点F2的直线交椭圆C于A、B两点，且△AF1B 的周长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过定点M（0，﹣2）的动直线l与椭圆C相交P，Q两点，求△OPQ的面积的最大值（O为坐标原点），并求此时直线l的方程．【考点】椭圆的简洁性质．【专题】转化思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可得：，解得即可得出；（2）由题意可知：直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2）．与椭圆方程化为（2+3k2）x2﹣12kx+6=0，利用根与系数的关系可得：|PQ|=．原点O到直线l的距离d=．利用S△OPQ =即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：，解得a=，c=1，b2=2．∴椭圆C 的标准方程为．（2）由题意可知：直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为（2+3k2）x2﹣12kx+6=0，∴x1+x2=，x1x2=．|PQ|===．原点O到直线l的距离d=．∴S△OPQ ==×=．令3k2﹣2=t2（t＞0），∴S△OPQ ===，当且仅当t=2，即时取等号．∴，．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次根与系数的关系、点到直线的距离公式、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了推理力量与计算力量，属于难题．21．（14分）已知函数f（x）=（a ﹣）x2+lnx．（a∈R）（1）当a=0时，求f（x）在x=1处的切线方程；（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围；（3）设g（x）=f（x）﹣2ax，h（x）=x2﹣2bx+．当a=时，若对于任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使g（x1）≤h（x2），求实数b的取值范围．【考点】利用导数争辩曲线上某点切线方程；利用导数争辩函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】分类争辩；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，可得切线的方程；（2）令，由题意可得g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．求出g（x）的导数，对a争辩，①若，②若，推断单调性，求出极值点，即可得到所求范围；（3）由题意可得任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，只要g（x1）max≤h（x2）max，运用单调性分别求得g（x）和h（x）的最值，解不等式即可得到所求b的范围．【解答】解：（1）f（x）=﹣x2+lnx的导数为f′（x）=﹣x+，f（x）在x=1处的切线斜率为0，切点为（1，﹣），则f（x）在x=1处的切线方程为；（2）令，则g（x）的定义域为（0，+∞）．在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立.①①若，令g'（x）=0，得极值点x1=1，，当x2＞x1=1，即时，在（0，1）上有g'（x）＞0，在（1，x2）上有g'（x）＜0，在（x2，+∞）上有g'（x）＞0，此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合题意；当x2≤x1=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；②若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数；要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，由此求得a的范围是[，]．综合①②可知，当a∈[，]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．（3）当时，由（Ⅱ）中①知g（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数，所以对任意x1∈（0，2），都有，又已知存在x2∈[1，2]，使g（x1）≤h（x2），即存在x2∈[1，2]，使，即存在x2∈[1，2]，，即存在x2∈[1，2]，使．由于，所以，解得，所以实数b的取值范围是．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查不等式恒成立问题及任意性和存在性问题，留意转化为求最值问题，考查运算力量，属于中档题．。
北京市海淀区高三数学(文科)第二学期期中练习参考答案与评分标准
北京市海淀区高三数学（文科）第二学期期中练习参考答案与评分标准2001.5一、选择题：（1）C ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）A ； （6）B ； （7）C ； （8）C ； （9）B ； （10）C ； （11）D ； （12）D. 二、填空题：（13）12； （14）{};12|<<-x x （15）(]2,0； （16）123,122,242（写出一个即可） 三、解答题：（17）解（I ）：设z =a +bi (a ,R b ∈) ∴abi b a z 2222+-=………………………………1分 由已知，有⎩⎨⎧=+=22222b a ab ，可解出⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a ∴i z +=11或i z --=12………………………………………………………………………3分 ∴4arg 1π=z ，π45arg 2z ………………………………………………………………………5分 ∴)4sin 4(cos21ππi z +=或)45sin 45(cos 22ππi z +=……………………………………7分 （Ⅱ）：当i z +=1时，可得i z 22=，i z z -=-12 ∴A （1，1），B （0，2），C （1，–1） ∴11221=⨯⨯=∆ABC S ………………………………………………………………………10分 ∴当i z --=1时，可得i z 22=，i z z 312--=- ∴A （–1，–1），B （0，2），C （–1，–3）∴11221=⨯⨯=∆ABC S 综上ABC ∆的面积为1.………………………………………………………………………12分 （18）（I ）证明：∵ABC ∆是正三角形，AF 是BC 边中线，∴AF ⊥BC .∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴DE ∥BC ， ∴AF ⊥DE . 又AF ∩DE =G ，∴G A '⊥DE ，FG ⊥DE ，又G A '∩FG =G ，∴DE ⊥平面FG A '.……………………4分又DE ⊂平面DECB ，∴平面FG A '⊥平面DECB .…………6分（Ⅱ）解：∵G A '⊥DE ，GF ⊥DE ，∴∠GF A '是二面角B DE A --'的平面角.………………………………………7分∵平面GF A '⊥平面BCED ，作O A '⊥AG 于O ，∴O A '⊥平面BCED .设BD E A ⊥',连结EO 并延长交AD 于H ， ∴EH ⊥AD . ∵AG ⊥DE ,.∴O 是正三角形ADE 的垂心也是中心. ∵AD =DE =AE =2a , ∴a AG G A 43==',a OG 123=. 在OG A Rt '∆中,31cos ='='∠G A OG GO A .∵GO A GF A '∠-='∠π,∴31cos cos -='∠-='∠GO A GF A .即当GF A '∠的余弦值为31-时,E A '与BD 互相垂直.…………………12分 （19）解（I ）：∵当2≥n 时，43-n S ，n a ，1232--n S 成等差数列， ∴1232432--+-=n n n S S a ，………………………………………………1分 ∴43-=n n S a （2≥n ）.由11=a ,可得4)1(322-+=a a ，∴212=a .………………………………2分 同理，可求出413-=a ，814=a .…………………………………………4分 （Ⅱ）：当2≥n 时，∵43+=n n a S ①，∴4311+=++n n a S ②， ②–①得 n n n a a a -=++113. ∴211-=+n n a a 为常数，……………………………………………………6分 ∴2a ，3a ，4a ，…，n a ，…成等比数列，其中首项212=a ，21-=q .… …………………………………………………………………………7分∴通项⎪⎩⎪⎨⎧≥--=-==--)2()21()21(211)(n 112n a n n n .……9分 （Ⅲ）：∵)(13221n n n a a a a a a S ++++=+++=∴)(lim 1lim 32n n n n a a a S ++++=∞→∞→=34311)21(1211=+=--+…………………………………………12分 （20）解（I ）：∵)(x f y =是以5为周期的周期函数，∴)1()15()4(-=-=f f f .∵函数)(x f y = (11≤≤-x )是奇函数， ∴)4()1()1(f f f =-=-.∴0)4()1(=+f f .……………………………………………………………6分 （Ⅱ）：当[]4,1∈x 时，由题意，可设5)2()(2--=x a x f （0≠a ）， 由0)4()1(=+f f ，得05)24(5)21(22=--+--a a ，∴2=a .∴5)2(2)(2--=x x f (41≤≤x ). ……………………………………12分（21）解（I ）：由已知数据，易知)(t f y =的周期T =12， ………………………………1分∴62ππω==T . 由已知，振幅A =3，b =10，………………………………………………………3分 ∴106sin3+=t y π.…………………………………………………………………4分（Ⅱ）：由题意，该船进出港时，水深应不小于5.115.65=+（米）， ∴5.11106sin 3≥+t π.………………………………………………………………6分 即216sin≥tπ. 解得，πππππ652662+≤≤+k t k （Z k ∈）， ∴512112+≤≤+k t k （Z k ∈） .………………………………………………8分 在同一天内，取0=k 或1，∴51≤≤t 或1713≤≤t . …………………………10分 答：该船可在当日凌晨1时进港，17时离港，它在港内至多停留16小时 。
海淀区高三数学(文)期中试卷及答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科）2015.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合P{｜-≤0}，M{0,1,3,4}，则集合P M中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是A．B．|| C．D．3．在中，∠A60°，||2，||1，则的值为-1 A．B．-C．1 D．4．数列{}的前项和，若－2－1(≥2)，且3，则1的值为A．0 B．1 C．3 D．55．已知函数，下列结论中错误．．的是A．B．的最小正周期为C．的图象关于直线对称D．的值域为[,]6．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．如图，点O 为坐标原点，点A （1,1）.若函数（>0，且≠1）及（，且≠1）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则，满 足 A ．<<1 B ．<<1 C ．>>1 D ．>>18.已知函数()1,1,,11,1,1,x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪≥⎩，函数21()4g x ax =+.若函数()()y f x g x =-恰好有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 A.(0,)+∞ B.(,0)(2,)-∞+∞C.1(,)(1,)2-∞-+∞ D.(,0)(0,1)-∞s二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.函数()22x f x =-的定义域为_____. 10.若角α的终边过点（1，-2），则cos()2πα+=_____.11. 若等差数列{}n a 满足14a =-，39108a a a a +=-，则n a = ______.12.已知向量(1,0)a =，点()4,4A ，点B 为直线2y x =上一个动点.若AB //，则点B 的坐标为____.13.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>.若()f x 的图像向左平移3π个单位所得的图像与()f x 的图像重合，则ω的最小值为____.14.对于数列{}n a ，若m ∀，()n N m n *∈≠，均有()为常数m na a t t m n-≥-，则称数列{}n a 具有性质()P t .（i ）若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，且具有性质()P t ，则t 的最大值为____；（ii ）若数列{}n a 的通项公式为2n aa n n=-，且具有性质(7)P ，则实数a 的取值范围是____.三、解答题共6小题，共80分。
江苏省震泽中学第一学期高三数学文科期中考试卷
江苏省震泽中学第⼀学期⾼三数学⽂科期中考试卷江苏省震泽中学07-08学年第⼀学期期中测试数学（⽂）试卷命题⼈：姚迎春审核⼈：包君⼀、填空题：（5×14=70）1．已知全集U=R ，集合)(},021|{},1|{N M C x x x N x x M U 则≥-+=≥= 2. 等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是3．直线2(1)(3)750m x m y m ++-+-=与直线(3)250m x y -+-=垂直的充要条件是4．复数21i -的值为5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，⼜是减函数的是①0.5log y x =()0≠x ② x xy +=1 ()0≠x ③ x x y --=3 ④ x y 9.0=6．与直线2x －y －4＝0平⾏且与曲线x y 5=相切的直线⽅程是． 7．函数y 的定义域和值域分别是和 8.在ABC ?中，60=∠C ，则=+++ac bc b a 9.圆064422=++-+y x y x 截直线x-y-5＝0所得弦长等于 10. P 是椭圆221169x y +=上的动点, 作PD⊥y 轴, D 为垂⾜, 则PD 中点的轨迹⽅程为 .11.已知双曲线22x －my 2＝1的⼀条准线与抛物线y 2＝4x 的准线重合,则双曲线的离⼼率为12．若,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，则222()a b a b x y x y++≥+，当且仅当a bx y =时上式取等号. 利⽤以上结论，可以得到函数29()12f x x x =+-（1(0,)2x ∈）的最⼩值为，取最⼩值时x 的值为．13．⼀⽔池有两个进⽔⼝，⼀个出⽔⼝，每⽔⼝的进出⽔速度如图甲、⼄所⽰．某天0点到6点，该⽔池的蓄⽔量如图丙所⽰．（⾄少打开⼀个⽔⼝）给出以下3个论断：①0点到3点只进⽔不出⽔；②3点到4点不进⽔只出⽔；③4点到6点不进⽔不出⽔，则⼀定能确定正确的诊断是．14. 如图，⼀个粒⼦在第⼀象限运动，在第⼀秒末，它从原点运动到（0，1），接着它按如图所⽰的x 轴、y 轴的平⾏⽅向来回运动，（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…），且每秒移动⼀个单位，那么第2008秒末这个粒⼦所处的位置的坐标为______。
山东省滨州阳信一中高三上学期期中考试数学试题(文科含答案)
阳信一中高三上学期期中考试数学试题（文科）09.11时间：120分钟 总分：150分一、选择题（每题5分，共60分）D1．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（ ）C2．下列命题正确的是 （ ） A ．若→a ∥→b ，且→b ∥→c ，则→a ∥→cB ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同C ．向量的长度与向量的长度相等D ．若非零向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线C3．若函数()sin()f x x ωϕ=+的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是（ ）A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==C4．如果0,a b >>0c d >>，则下列不等式中不正确．．．的是 ( ) A ．a d b c ->- B ．a bd c> C ． a d b c +>+ D ． ac bd > B5．已知数列{a n }的通项公式是249n a n =-，则S n 达到最小值时，n 的值是（ ）A ．23B ．24C ．25D ．26A6. 等比数列{}n a 中，首项1a ＝8，公比q ＝21，那么它的前5项和5S 的值等于（ ）．A ． 15.5B ．20C ．15D ． 20.75A7. 已知向量,,a b c 满足||1,||2,,a b c a b c a ===+⊥，则a b 与的夹角等于 （ ）A ．0120B ． 060C ． 030D ． 90oB8．已知tan(α＋β)=25，tan(α＋4π)=322, 那么tan(β－4π)的值是（ ）A ．15B ．14C ．1318D ．1322C9．一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n 项和最大时，n 等于 （ ）A .5B .6C .7D .8D10． 已知25≥x ，则4254)(2-+-=x x x x f 有 （ ）A .最大值45 B .最小值45C .最大值 1D .最小值1D11．设x ，y 满足约束条件:⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥120y x y x x ，则z=3x+2y 的最大值是 ( )A. 9B. 6C. 4D. 5C12．从2005年到2008年期间，甲每年6月1日都到银行存入a 元的一年定期储蓄。
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2011--2012高三数学（文科）期中考试试题
命题人：曹丽丽 考试时间：120分
一、 选择题（5分×12=60分）
1、 已知集合{}{}{}()()=⋃===B C A C B A U U U 则,5,4,3,7,5,4,2,7,6,5,4,3,2,1 （ ） A ．{}6,1 B ．{}5,4 C ．{}7,5,4,3,2 D ． {}7,6,3,2,1
2、若b a R c b a >∈,、、，则下列不等式成立的是 ( )
A.
b
a 11<. B.
1
12
2
+>+c
b
c
a C. 2
2
b
a >. D. ||||c
b
c a >
3、 {}{}项和为
的前则中，等比数列
4,32,452n n a a a a ==（ ）
A ．8
B ．16
C ．30
D ．32 4、 函数2log
2
-=
x y 的定义域是（ ）
A ．),3(+∞
B ．),4(+∞
C ．),3[+∞
D ．),4[+∞
5、 函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=4tan )(πx x f 的单调增区间是( )
A ．Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-,2,2ππππ B ．()Z k k k ∈+,,πππ
C ．Z k k k ∈⎪⎭⎫
⎝
⎛+
-,4,4
3ππππ D ．Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-
,43,4ππππ 6、在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是 ( )
A ．0=+C
B AD
B ．A
C AB A
D =+
C ．DC AB =
D ． BD AD AB =-
7、a ),3,(b )2,4(a 且，向量已知向量x ==∥等于则x b ,（ ） A ．6 B ．5 C ．9 D ．3
8、如果等差数列{}n a 中，,12543=++a a a 则7S =（ ） A.14 B.21 C.28 D. 35
9、在极坐标系中，直线2
＝ 4
π＋ sin )(θρ，被圆 ρ＝3截得的弦长为( )． A ．2
2
B ．2
C ．5
2
D ．3
2
10、为了得到函数R x x y ∈⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=,32sin π的图像，只需把R x x y ∈=,2sin 的图像上所有的点 A ．向左平移
6
π
个单位长度 B ．向左平移3
π
个单位长度 C ．向右平移
6
π
个单位长度 D ．向右平移
3
π
个单位长度
11 、 一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍):
则第8行中的第5个数是( )
A.68
B.132
C.133
D.260 12、若y x ,满足表达式1)2(2
2
=+-y
x ，则
4
-x y 的取值范围是（ ）
A.]3,3[-
B. )3,3(-
C. ]3
3,
3
3[- D. )3
3,
3
3(-
二、 填空题（5分×4=20分）
13、 的值是0
930sin __________
14、已知23)(2
3
++=x
ax x f ，若4)1(=-'f ，则a 的值为_______________
15、正数b a ,满足
121=+
b
a
，则b a +的最小值为_______________
16、若x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y 则y x z +=2的最大值为_______________
三、解答题（17题10分，18-22题每题12分）
17、设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，2sin a b A =．
（1）求B 的大小；
（2
）若a =5c =，求b ．
18、有三个数成等差数列，它们的和是18，如果这三个数分别加上1，2，7，则成等比数列， （1）求这三个数的值：
（2）在（1）的条件下，这三个数构成等差数列}{a n 若1001=a ，（)0<d ，求n
S n 取何值时，当取最大值：
19、已知向量),cos ,1(b ),1,(sin a θθ==向量2
2
π
θπ
<
<-
（1）若b a ⊥，求θ； （2）求|b a |+的最大值．
20
、已知：in ,c o s ),(c o s ,c o s )
a x x
b x x ==
，122)(-+⋅=m b a x f
（R m x ∈,）．
（1）求()f x 关于x 的表达式，并求()f x 的最小正周期； （2） 若]2
,0[π
∈x 时，()f x 的最小值为5，求m 的值．
21. 已知关于x 的二次方程0112
=+-+x a x a n n ，)(+∈N n 的两根α、β满足
326=-+αββα）（，
（1）试用n a 表示1+n a （其中0≠n a ）； （2）若11=a ，求证：⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
-
32n a 是等比数列； （3）当6
71=a 时，求数列}{a n 的通项公式。
22. ),(),,(2
13
1)(2
3
y x P R b a bx ax
x
x g 在其图像上一点
，设函数∈-+
=
处的切线
的斜率记为)(x f
(1)的表达式
求和有两个实根分别是
若方程)(,420)(x f x f -=; (2)[]的最小值
上是单调递减函数，求在区间若2
2
3,1)(b a x g +-.。