分数的拆分问题【讲义]

分数的基本性质

例1、分数3

8

的分子加上9，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？

分析： 38 =3+9

8+（ ）

，分子增加3倍，说明分子扩大了4倍，分母也要增加3倍或扩大4倍。

拓展：分数

15

4

的分子加上8，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？

例2、分数47 的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是3

4 ，求分子和分母都加上的这个数是几？

分析：方法一 试一试：将3

4

的分子、分母同时扩大相同的倍数

34 =68= 912= 1216 =1520 用这些分数的分子、分母与4

7 的分子、分母相减，结果相同的就是。

方法二 先观察下面的几组等式：23 =46 35= 915 43= 16

12

交叉相乘可以发现3×4=2×6 5×9=3×15 4×12=3×16，因此我们得出这样一个结论，当a b = d

c 时，a

×c=b ×d 。

解：设分子和分母都加上的这个数为x ，根据题意可得： 4+x 7+x = 3

4

(4+x)×4=(7+x)×3 16+4x=21+3x X=21-16 X=5 方法三 ：【利用分母与分子差不变】 拓展：分数

41

11的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是83

，求分子和分母都加上的这个数是几？

原来相差30 加同样的数还是相差30 但新数相差为5， 必须5×6 =30

例3：一个分数，分子比分母大20，如果分子减去6，得到新分数约分后等于3

2

1

，求原分数。 方法：【利用分母与分子差不变】

例4、一个分数，如果分子加上1，就变成34 ，如果分子减去1，就变成1

2 ，那么原来的分数是多少？

方法一、将分子，分母数字较大的采用“等值放大”

看分子减2倍 可以不可以变成1/2

方法二、通分

拓展：一个分数，如果分子加上1，分母减去1，就变成45 ，如果分子减去1，分母加上1，就变成1

2

，那么原来的

分数是多少？

将分子，分母数字较大的采用“等值放大”

将分子，分母数字较小的数， 变成分子比第一个数小2，分母比第一个数大2

方程法：

一个分数，如果分母减去2，就变成23 ，如果分母加上5，就变成3

8 ，那么原来的分数是多少？

方法一、等值放大

两数分母相差7

方法二、通子

一个分数，如果分母减去4，就变成1，如果分子减去2，就变成3

5 ，那么原来的分数是多少？

将分子，分母数字较大的采用“等值放大”

将分子，分母数字较小的数， 变成分子比第一个数大2，分母比第一个数小4

例5、一个分数，分子分母的和是122，如果分子分母都减去19 ，得到是新分数化简后是1

5 ，

求原来的分数是多少？

利用和变

拓展：

分数

6455的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为 13

4 ，求某数是多少？ 利用和不变

例6 一个分数，如果分子加上16，分母减去166，那么约分后是

4

3

，如果分子加上124，分母加上340，那么约

分后是2

1

。求原分数是多少？

用方程组

分数的拆分问题

一、分数拆分的初步知识 拆分主要有以下几个步骤：

叫做扩分。

注意：为什么要乘以5？因为5正好是分母6的两个质因数的和。 ③把分子拆成分母的两个质因数的和，再拆成两个分数的和。即：

④把拆开后的两个分数约分，化成最简分数。 例1 填空：

事实上，我们把分母分解质因数后，可以得到这个分母的不同的约数，只要把分子、分母都乘以这个分母的任意两个约数的和，就可以把一个分数拆成两个分数的和。

解：18分解质因数后共有六个约数：1、2、3、6、9、18，取不同的两个约数的和，可以得到不同的解。如：

可以看出，由于每次所选用的两个约数不同，所得的解也不相同。但是当选用的四个约数成比例时，它们的解就相同。如：选用1和2，3和6，9和18；或选用2和3；6和9时，解就相同。

二、把一个分数拆成几个分数的和

以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆成三个或三个以上分数的和。

解：18的约数有1、2、3、6、9、18。可以任意取其中三个约数，得到不同的解。

……答案不只一种。

三、把一个分数拆成两个分数的差

能不能把一个分数拆成两个分数差的形式呢？观察下面的分数运算，看左右两边有什么关系。

观察下面几个分数的运算，左右两边有什么关系。

以上每个分数的分子d都是分母中两个因数的差。当n、n+d，都是自然

当d=1时，公式（2）则转化为公式（1）。利用公式（2）可以把一些分数拆成两个分数差的形式。

例5把下面各分数写成两个分数差的形式。

观察下面等式，左右两边有什么关系。

通过上面算式，可以得出这样的结论：

由此可知，一个分数可以根据需要拆成两个或若干个分数的和或两个分数的差的形式。

四、拆分方法在分数加法运算中的应用

例6计算：

解：由公式（2）

解：由公式（3）

例9计算：

解：由等差数列求和公式

由此，本题中的各个分数可以拆分为：

因此，本题解法如下：