分数的拆分问题【讲义]
分数的拆分问题【讲义]精选.
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分数的基本性质例1、分数38的分子加上9，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？分析： 38 =3+98+（ ），分子增加3倍，说明分子扩大了4倍，分母也要增加3倍或扩大4倍。
拓展：分数154的分子加上8，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？例2、分数47 的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是34 ，求分子和分母都加上的这个数是几？分析：方法一 试一试：将34的分子、分母同时扩大相同的倍数34 =68= 912= 1216 =1520 用这些分数的分子、分母与47 的分子、分母相减，结果相同的就是。
方法二 先观察下面的几组等式：23 =46 35= 915 43= 1612交叉相乘可以发现3×4=2×6 5×9=3×15 4×12=3×16，因此我们得出这样一个结论，当a b = dc 时，a×c=b ×d 。
解：设分子和分母都加上的这个数为x ，根据题意可得： 4+x 7+x = 34(4+x)×4=(7+x)×3 16+4x=21+3x X=21-16 X=5 方法三 ：【利用分母与分子差不变】 拓展：分数4111的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是83，求分子和分母都加上的这个数是几？原来相差30 加同样的数还是相差30 但新数相差为5， 必须5×6 =30例3：一个分数，分子比分母大20，如果分子减去6，得到新分数约分后等于321，求原分数。
方法：【利用分母与分子差不变】例4、一个分数，如果分子加上1，就变成34 ，如果分子减去1，就变成12 ，那么原来的分数是多少？方法一、将分子，分母数字较大的采用“等值放大”看分子减2倍 可以不可以变成1/2方法二、通分拓展：一个分数，如果分子加上1，分母减去1，就变成45 ，如果分子减去1，分母加上1，就变成12，那么原来的分数是多少？将分子，分母数字较大的采用“等值放大”将分子，分母数字较小的数， 变成分子比第一个数小2，分母比第一个数大2方程法：一个分数，如果分母减去2，就变成23 ，如果分母加上5，就变成38 ，那么原来的分数是多少？方法一、等值放大两数分母相差7方法二、通子一个分数，如果分母减去4，就变成1，如果分子减去2，就变成35 ，那么原来的分数是多少？将分子，分母数字较大的采用“等值放大”将分子，分母数字较小的数， 变成分子比第一个数大2，分母比第一个数小4例5、一个分数，分子分母的和是122，如果分子分母都减去19 ，得到是新分数化简后是15 ，求原来的分数是多少？利用和变拓展：分数6455的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为 134 ，求某数是多少？ 利用和不变例6 一个分数，如果分子加上16，分母减去166，那么约分后是43，如果分子加上124，分母加上340，那么约分后是21。
【小学五年级奥数讲义】分数的拆分
【小学五年级奥数讲义】分数的拆分1.概念单位分数: 分子为1、分母为自然数的分数叫单位分数。
分数的分拆：把一个分数分拆成几个分数相加的和，叫做分数的分拆2．解题方法与技巧。
（1）把单位分数拆分成单位分数相加的和方法一：先扩分：同剩以分母的约数的和再拆分：拆分成约数作分子的分数。
后约分：约分成最简分数方法二：分子、分母同剩以大于分母，小于分母两倍的自然树（2）把真分数分拆成单位分数相加的和。
把一个真分数拆成两个单位分数相加的和，先给要分拆的分数分子和分母同剩以分母除以分子的整数商加1的和，再给分子加上分母，要使分数大小不变，同时应减去这个数，然后再分拆并约分。
（3）把假分数分拆成单位分数相加的和方法：先把这个假分数分拆成真分数，再按真分数的分拆方法去分。
例题一在错误!未找到引用源。
的括号里填入适当的自然数，使等式成立。
分析一：从式子的左边往右边看，是分数的分拆；才有便往左边看，则是分数的加法，可见分数的分析与分数的加法过程刚好相反。
分数加法主要步骤是通分、合并、约分，因此分数的分拆可按先扩分，再拆分，最后约分的步骤来做。
分析二：根据把单位分数分拆成单位分数相加的和的方法二：分子、分母同剩以大于分母8，小于分母8的2倍（16）的自然数分别求解。
解析一：8的约数有1、2、4、8。
①错误!未找到引用源。
②错误!未找到引用源。
③错误!未找到引用源。
④错误!未找到引用源。
⑤错误!未找到引用源。
⑥错误!未找到引用源。
以上六种分析方法，其中①、④、⑥相同，②和⑤相同。
如果两个约数相同时，可以得到错误!未找到引用源。
，共有四组解。
解法二：错误!未找到引用源。
(像解法二这样的拆分方法不止一种．同学们，你们愿意研究吗？)练习一将下列各分数写成两个单位分数：1.错误!未找到引用源。
2. 错误!未找到引用源。
3. 错误!未找到引用源。
4.错误!未找到引用源。
5. 错误!未找到引用源。
6. 错误!未找到引用源。
例题二:将错误!未找到引用源。
分数的拆分
第十三讲 分数的拆分〈精讲〉一、知识要点：1、把一个分数写成两个或两个以上分数单位的和，通常称之为分数拆分。
2、一般地，设A 为大于1的自然数，在A 1＝）（ 1＋）（ 1的括号里填入不同的自然数，使等式成立的解法是：⑴任选A 的两个不同的约数a 和b ；⑵将A 1的分子、分母同时乘以(a ＋b )，得：A1＝)(b a A b a +⨯+）（； ⑶将上面式子拆成两个分数之和A 1＝)(b a A a +⨯＋)(b a A b +⨯； ⑷再将这两个分数化简，便可以得到结果。
3、形如下面的分数可以直接拆分：)1(1+⨯n n ＝n 1－11+n ；)(d n n d +⨯＝n 1－dn +1。
4、看起来很复杂的分数计算题，如果用一般的常规方法做，就很复杂。
结合题目的特点，掌握一些分数拆分的方法，可以使计算巧妙、简便。
二、典型例题解析：例1、在下面的括号里填入两个不同的自然数，使等式成立：151＝）（ 1＋）（ 1例2、已知181＝A 1＋B 1＋C 1，A ，B ，C 是不同的自然数，求A ，B ，C 的值。
例3、计算21＋61＋121＋201＋301＋421＋561。
例4、计算：411⨯＋741⨯＋1071⨯＋13101⨯＋16131⨯。
分数的拆分〈精练〉1、在下面的括号里填入两个不同的自然数，使等式成立。
⑴201＝）（ 1＋）（ 1；⑵51＝）（ 1＋）（ 1。
2、在下面的括号里填入三个不同的自然数，使等式成立。
241＝）（ 1＋）（ 1＋）（ 1。
3、计算：211⨯＋321⨯＋431⨯＋……＋50491⨯。
4、计算：61＋121＋201＋…＋721＋901＋1101。
5、计算：13112⨯＋15132⨯＋17152⨯＋19172⨯＋1916、计算：614⨯＋1164⨯＋16114⨯＋…＋76714⨯＋81764⨯姓名 学校 学号________________ 成绩 分数的拆分〈作业〉1、已知71＝A 1＋B1，A ，B 是不同的自然数，求A ，B 的值。
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分数拆分
小学奥数全能解法及训练
解法精讲
精讲1
10
15
分数 的拆分
精讲2
精讲3
典例精析
例1
18× （18＋2）
典例精析
例1
180
20
例2
例2
求 的和。
举一反三
练习1
(填两个不同的整数）
15
3
规律总结
在分母的因数中找到两个数之和是2的倍。 数。
空白与负空间
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色彩搭配和字体选择建议
字体选择
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统一的风格有助于学生快速识别课件内容，提高学习效率。
提高识别度
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定义
旨在辅助教师进行教学，提高教学效果，增强学生的学习兴趣和参与度。
目的
定义与目的
演示型课件
交互型课件
游戏型课件
仿真型课件
课件类型及特点
01
02
03
04
以幻灯片、动画等形式展示教学内容，适用于课堂演示和讲解。
具有交互功能，学生可以通过操作课件进行自主学习和练习。
分数拆分(公开课)(最新整理).ppt
扩大： 拆分：
2 23 6 5 5 3 15 15 1 5 1 1
15 15 15 15 3
分原子则6为：什分么子要必拆须成能1拆和成5呢分？ 母的因数之和
将下列分数拆成几个不同的 单位分数之和：
2, 3, 7 , 5 7 8 16 27
埃及人把1拆成：
1 1 11 236
你知道是怎么拆的吗？
你还有别的拆法吗？
①阅读教材P72～73的内, 1 ; 6 7 8 9 10 2, 3, 5, 4, 3 34897
分子为1的真分数叫单位分数，也叫 “埃及分数”。
距今大约三千多年以前的埃及，人 们只使用分子是 1 的分数，和我们现 在所使用的大不相同。
埃及人研究的主要是怎样把整数用单 位分数表示出来，例如：
1 1 11 236
请你把
1 2
拆成两个相同的单位分数之和：
1 11 2 44
请把下列各数拆成两个相同的 单位分数之和：
1 , 1 , 1 (n为正整数） 5 12 n
你能把
1 2
拆成两个不同的
单位分数之和吗？
①拆出的两个分母必须一个 大于4，一个小于4；
②小于4的一个分母，必须 在2～4之间；
把下列分数拆成两个不同的 单位分数之和：
1, 1, 1, 1 3456
如何把 2 拆成几个不同的单 位5分数之和呢？
2 1 1 1 (1 1 ) 5 5 5 5 6 30
数学五年级竞赛讲座第2讲分数的拆分问题课件
18 18 (3 6) 162 162 54 27
④
1 1 (6 9) 6 9 1 1 ； 18 18 (6 9) 270 270 45 30
⑤
1 1 (9 18) 9 18 1 1 ； 18 18 (9 18) 486 486 54 27
有了上面的结果，就可以填出 1 1 1 .
6 (10) (15)
把一个分数拆成两个或两个以上的分数的和 的情势，叫做分数的拆分。
怎样才能把一个分数拆成两个分数和的情势 呢？
我们仍然以 1 1 1 为例，
6 ()()
因为 1 1 5 . 扩分
6 23 235
= 2 3 2 3 （拆开）
6 24 60 40
2( 1 1 ) 50 51
解：6=1×2×3，24=2×3×4，60=3×4×5，
根据公式（4），
1 1 ( 1 1 )， 1 1 ( 1 1 )， 6 2 1 2 2 3 24 2 2 3 3 4
1 1 ( 1 1 )， 60 2 3 4 4 5
所以原式=
1 2013
1 2016
.
原式=
1 2013
1 2016
1 2016
1 2013
.
例8．计算：12 214
2 14 16
2 16
原式=
(1 12
1 14
)
(1 14
1 16
)
(1 16
1) 18
(1 18
1 20
)
1 20
1 .
12
例9．计算：115
1 59
以上拆分的方法同样也适用于把一个分数
拆成三个或三个以上分数的和。
第1讲—分数拆分
第一讲——分数拆分【知识要点】分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数叫分数单位（单位分数） 把一个分数分拆成几个分数单位之和或者差的形式叫做分数的拆分具体步骤如下：（以拆成2个位例子）1、 找分母的因数2、 扩分：把分数单位的分子、分母分别乘以分母的任意两个因数之和或差3、 拆分：把所得分数拆成两个分数之和或差，使两个因数恰好是两个分数的分子4、 约分：把所得两个分数约成最简分数【例题选讲】 一、yx n 111+=型 例题1、在等式1116x y =+中，求出所有整数解。
在这些解中，找出两个分数单位之差最小的，和两个分数单位中分母的和最大的分别四多少？例题2、已知两个不同的单位分数之和是201，则这两个单位分数之差（较大分数为被减数）的最小值是多少?例题3、已知等式B A 11181+=，其中A,B 是非0自然数，求A+B 的最大值。
二、111()()A =-型例题4、求出112的所有形如11a b -的表达式（其中a 、b 为自然数）。
三、11()()B A =+型 ；11()()B A =-型 例题5、在括号内填上合适的不同自然数，使等式成立（1）()()1-1152= （2）()()112110+=四、111+()()B A =++……（）型 例题6、在括号内填上合适的不同自然数，使等式成立（1）()()()1111211++= （2）()()()1112313++=（3）()()()()111194+++=五、应用例题7、四个连续的自然数的倒数之和等于1920，则这四个自然数两两乘积的和等于多少？例题8、已知：21111=+++育教人巨，其中不用的汉字代表不同的整数，问：巨×人×教×育=？例题9、在1到100这100个自然数中，找出10个不同的自然数，使得它们的倒数和为1.例题10、651541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯【练习巩固】1、 把21拆成两个不同的单位分数之和。
第七讲 分数的拆分
第七讲分数的拆分在英国伦敦的博物馆中，陈列着十九世纪苏格兰考古学家兰特在埃及发现的纸草书，后人称之为兰特纸草书。
在兰特纸草书上，人们发现了独特的埃及分数，这些分子为1的分数用不同的象形文字记载着很多历史古题。
比如7／8＝1／2＋1／4＋1／8，有人按兰特纸草书的记载这样解释：把7个面包平均分给8个人，不但每个人分的数量一样多，而且每人分的块数也一样多。
可以这样分，把其中四个面包每个切成两等份，把另两个面包每个切成四等份，最后一个切成八等份，每人拿大、中、小面包各一份。
这有多妙啊！下面我们就研究一些类似的问题。
例1：把11根糖棒平均分给12个人，每根糖棒同样长，分时一次只能切一根，且要平均分。
问：最少要切几刀？分析与解答：方法一：1．计算每人得到的根数：11÷12=11／12根；2．考虑一般的情况：由于每人都得到11／12根，所以每根可以分成12份，才能使每人都得到一份。
把一根糖棒平均分成12份，需要切11刀，11根糖棒最多就要切11×11＝121刀。
怎样才能减少切的刀数呢？3．考虑每根切的段数与12的关系。
每人得的块数要尽量少，才能使切的刀数少。
由于每人都得到11/12根，所以也可以说若干个分数的和一定是11/12。
这几个分数在相加时，通分后分母是12，通分前分母必是12的约数，即每根糖棒在平均分时，切出的段数一定是12的约数。
若每根平均分成2段，需要1刀，每段长1/2，即6/12；若每根平均分成3段，需切2刀，每段长1/3，即4/12；若每根平均分成4段，需切3刀，每段长1/4，即3/12；若每根平均分成6段，需切5刀，每段长1/6，即2/12；若每根平均分成12段，需切11刀，每段长1/12。
4．把1/12、2/12、3/12、4/12、6/12通过枚举的方法组成11/12。
（1）11/12=6/12＋4/12＋1/12=1/2＋1/3＋1/12；（2）11/12=6/12＋3/12＋2/12=1/2＋1/4＋1/6；（3）11/12=4/12＋4/12＋3/12=1/3＋1/3＋1/4。
六年级奥数第3讲分数的拆分
学生课程讲义课程名称六年级奥数上课时间任课老师沈老师第 03 讲，本讲课题：分数的拆分内容概要 分数拆分作为分数计算的前期铺垫内容。
在进行分数计算时，为使计算简便，有时需要将一个分数写成几个分数的和或差的形式。
特别在进行分数的加减运算时，根据分母之间的 一定规律将分数拆开，使其中的部分分数能互相抵消，从而大大简化计算过程。
常见的分数拆分公式有： 1. 1. 1n×（n+1）=1n−1n+12.d n×（n+d ）=1n−1n+d3.1n×（n+d ）=1d×( 1n−1n+d)4.1n×(n+1) ×（n+2） ＝ 12 ×[ 1n×(n+1)− 1(n+1)×（n+2）]将 1A 分拆成两个分数单位和的方法是：先找A 的两个因数a 和b,然后 1A＝1×（a+b ） A×（a+b ）=a A(a+b) +bA×（a+b ）再约分即可。
【例1】将下列分数分成几个分数单位的和。
（可以相同） （1）124 = 1 （ ）+1 （ ）+1（ ）（2）125 = 1 （ ） +1 （ ）+1（ ）（3）19 = 1 （ ） +1 （ ）+1（ ）【例2】将下列分数分成几个不同分数单位的和。
（1）1 17 = 1 （ ）+1（ ）（2）5 8 = 1（ ）+1（ ）（3）1 24 = 1 （ ）+1（ ）【例3】计算：（1）12×3+13×4+14×5+15×6+16×7+17×8（2）110×11+111×12+112×13+⋯ +119×20【例4】计算：（1）156+172+190+1110+1132+1156+1182（2）1+12+16+112+120+130+142【例5】计算：（1）21×3+23×5+25×7+27×9+29×11（2）31×4+34×7+37×10+310×13+313×16【例6】计算：（1）12×4+14×6+16×8+18×10+⋯+118×20（2）15×8+18×11+111×14+114×17+117×20（3）110×15+115×20+⋯+135×40【例7】计算：1−56 +712−920+1130−1342+1556−1772【例8】计算：1324×6 +1426×8+1528×10+16210×12+17212×14【例9】计算：1 6 +124+160+1120+1210+1336+1112。
分数的拆分问题【讲义]
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分数的基本性质例1、分数38的分子加上9，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？分析： 38=3+98+（ ），分子增加3倍，说明分子扩大了4倍，分母也要增加3倍或扩大4倍。
拓展：分数154的分子加上8，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？ 例2、分数47的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是34，求分子和分母都加上的这个数是几？分析：方法一 试一试：将34的分子、分母同时扩大相同的倍数34=68= 912= 1216 =1520用这些分数的分子、分母与47的分子、分母相减，结果相同的就是。
方法二 先观察下面的几组等式：23 =4635= 91543= 1612交叉相乘可以发现3×4=2×6 5×9=3×15 4×12=3×16，因此我们得出这样一个结论，当a b = dc 时，a×c=b ×d 。
解：设分子和分母都加上的这个数为x ，根据题意可得： 4+x 7+x = 34(4+x)×4=(7+x)×3 16+4x=21+3x X=21-16 X=5方法三 ：【利用分母与分子差不变】拓展：分数4111的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是83，求分子和分母都加上的这个数是几？原来相差30 加同样的数还是相差30 但新数相差为5， 必须5×6 =30例3：一个分数，分子比分母大20，如果分子减去6，得到新分数约分后等于321，求原分数。
方法：【利用分母与分子差不变】例4、一个分数，如果分子加上1，就变成34，如果分子减去1，就变成12，那么原来的分数是多少？方法一、将分子，分母数字较大的采用“等值放大” 看分子减2倍 可以不可以变成1/2方法二、通分拓展：一个分数，如果分子加上1，分母减去1，就变成45，如果分子减去1，分母加上1，就变成12，那么原来的分数是多少？将分子，分母数字较大的采用“等值放大”将分子，分母数字较小的数， 变成分子比第一个数小2，分母比第一个数大2方程法：一个分数，如果分母减去2，就变成23，如果分母加上5，就变成38，那么原来的分数是多少？方法一、等值放大两数分母相差7方法二、通子一个分数，如果分母减去4，就变成1，如果分子减去2，就变成35，那么原来的分数是多少？将分子，分母数字较大的采用“等值放大”将分子，分母数字较小的数， 变成分子比第一个数大2，分母比第一个数小4例5、一个分数，分子分母的和是122，如果分子分母都减去19 ，得到是新分数化简后是15，求原来的分数是多少？利用和变拓展：分数6455的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为134，求某数是多少？ 利用和不变例6 一个分数，如果分子加上16，分母减去166，那么约分后是43，如果分子加上124，分母加上340，那么约分后是21。
将一个分数拆为几个单位分数之和课件
可以将分数拆分与其他数学知识进行结合，如与几何、代数等知识进行交叉研究，以拓展 数学教育的领域和深度。
分数拆分在实际问题中的应用研究
可以进一步研究分数拆分在实际问题中的应用，如工程、经济、管理等领域的实际应用， 以促进数学与实际生活的联系。
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THANKS
03
分数拆分对数学教学的价值
通过分数拆分的练习，教师可以帮助学生巩固分数的概念，提高分数运
算的准确性和速度，同时培养学生的逻辑思维和创造性思维。
未来研究方向与展望
探索更多分数拆分的技巧和方法
目前对于分数拆分的研究还不够深入，未来可以进一步探索更多的技巧和方法，以帮助学 生更好地理解和掌握分数的概念。
逐步逼近法
总结词
通过不断尝试不同的拆分方式，逐步逼近目 标分数，直到找到最合适的拆分方式。
详细描述
这种方法需要一定的试错和经验积累。例如 ，对于分数$frac{7}{12}$，可以尝试拆分成 $frac{1}{2} + frac{1}{3}$，但发现不等于原 分数。再尝试$frac{1}{3} + frac{1}{4}$，发 现也不等于原分数。最后通过尝试多种组合
详细描述
在分数拆分中，首先观察分子和分母的因式分解，寻找公共因子。例如，将分 数$frac{12}{20}$拆分为$frac{3}{5} + frac{3}{5}$，其中公共因子为3和5。
分数裂项法
总结词
个单位分数 。
详细描述
例如，将分数$frac{10}{9}$拆分为$frac{4}{9} + frac{1}{9} + frac{1}{9} + frac{1}{9}$，其中分子10被拆分为4和6，然后分别除以分母9得到四个单位分数 之和。
单位分数拆分为单位分数的和讲义学生版
尹老师奥数教程---小升初班一期
单位分数拆分为单位分数的和
【将一个单位分数分解为两个单位分数的和】步骤
①分解：将单位分数1A
的分母A 分解质因数的积，从中求出这分母的任意两个约数a1，a2； ②扩分：将单位分数的分子、分母同乘以两约数的和（a1+a2），得()()
12112a a A A a a +=+ ③拆分：将扩分后所得的分数，按照同分母分数相加的法则反过来用，拆成两个同分母的分数相加得()()
1121212a a A A a a A a =+++α ④约分：将拆开后的两个分数约分，便得到两个单位分数。
【例1】.将
115拆分成两个单位分数的和。
注意：（1）因大于1的自然数的约数有时不止2个，有多个，从中任取两个约数的取法也有多种，只要每次取出的两个约数之间不成比例，则将一个单位分数拆成两个单位分数的和的结果也各不相同。
（2）若要将单位分数拆成两个相等的单位分数之和，那只要在扩分时，分子、分母同乘以分母的任何一个约数的2倍或乘以2即可。
【将一个单位分数分解为N 个单位分数的和】步骤： 将单位分数1A
拆成n 个单位分数的和的方法和步骤与拆成两个单位分数的方法和步骤相同，不同点只在扩分时，分子、分母同乘以分母A 的n 个约数的和（a1+a2+…+an ）。
【例2】将
115拆分成四个单位分数的和
注意：如果要求拆分的分母互不相同，那么
1A 最多能拆分的分数个数N 等于A 的约数的个数。
如果允许拆分后的分母相同，那么
1A
可拆分成任何有限个分数的和的形式。
(完整版)分数的拆分
什么叫分数的拆分？把一个分数拆成两个或两个以上分数的和或差的形式，叫做分数的拆分.例如：271541181+=; 301451181+=； 221991181+=; 312161-=； 4131121-=；等等。
下面具体讲一下怎样把一个分数拆成两个分数的差。
当一个分数为)1(1n ＋n ⨯的形式时，可以拆分为111n ＋－n 的形式(n 为自然数，且n 不为0) 即：111)1(1n ＋－n ＝n ＋n ⨯ 例如:5141541201-=⨯=；7161761421-=⨯=分数拆分的具体应用 例·计算：4213012011216121+++++ 7671171616151514141313121214213012011216121=-=-+-+-+-+-+=+++++ 当分数的分子正好等于分母中两个因数的差时，这个分数也可以拆成两个分数之差.例如：9171972632-=⨯=；8131835245-=⨯=；7141743283-=⨯=用公式表示就是:当n 、n+d (n 不为0)都是自然数时，dn n d n n d +-=+⨯11)( 具体应用： 计算：20182181621614214122⨯+⨯+⨯+⨯12120120118118116116114114112120182181621614214122=+-+-+-+-=⨯+⨯+⨯+⨯dn n d n n d +-=+⨯11)( 这个公式同学们已经熟悉了.对这个公式可以进行变形：例如：)8131(5124551241-⨯=⨯= 因为8—3=5 所以提取一个51，当然，24也可以看成4×6，而6-4=2，所以也可以提取一个21，)6141(2124221241-⨯=⨯=，这得看计算时的需要了。
练习：计算21171171311391951511⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 215212041)2111(41)211171171131131919151511(41)21174171341394954514(4121171171311391951511=⨯=-⨯=-+-+-+-+-⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1/1＊5+1/5*9+1/9＊13+1/13*17+1/17＊21=1/4*（1-1/5）+1/4＊（1/5—1/9）+1/4*（1/9—1/13）+1/4*（1/13—1/17）+1/4* （1/17-1/21） =1/4＊（1—1/5+1/5—1/9+1/9—1/13+1/13—1/17+1/17—1/21）=1/4*20/21=5/211/18=1/？+1/?先求出分母18的所有约数：1、2、3、6、9、18要使两个分数单位的和等于1/18，我们可以分别取两个18的约数，用1/18的分子、分母乘这两个约数的和，再通过分拆的办法得到满足两个分数单位的和等于1/18这个条件的一组数.取1和21/18=（1+2)/18*（1+2）=1/18＊3+2/18＊3=1/54+1/27取1和31/18=（1+3）/18*（1+3)=1/18＊4+3/18*4=1/72+1/24取1和61/18=（1+6）/18*（1+6)=1/18＊7+6/18＊7=1/126+1/21等等注意:取1和2与取3和6；1和3，2和6,3和9与6和18结果一样,知道为什么吗？1/24=1/(）+1/（）=1/（）+1/（）=1/()+1/()24的约数有1、2、3、4、6、8、12、24取1和21/24=（1+2)/24*（1+2）=1/24*3+2/24*3=1/72+1/36取1和31/24=（1+3)/24*4=1/96+1/32取1和41/24=（1+4）/24＊5=1/120+1/30分子是1的分数拆成两个分数单位之和的形式已经掌握了，如果分子不是1呢？现在就讨论一下这个问题。
第2讲 分数的分拆及答案
第二讲 分数的拆分参考答案【知识要点】1、基本概念单位分数:分子为1,分母是非零自然数的分数叫单位分数;分数的分拆: 把一个分数拆分成几个分数相加的和或差,叫做分数的拆分;2、方法和技巧 (1)把一个单位分数拆分成几个单位分数相加的和(或差); (2)把一个真分数拆分成几个单位分数相加的和(或差); (3)把一个假分数拆分成几个单位分数相加的和.3、分数拆分的意义 计算某些分数数列的和时,常采用“裂项相消法”,即先把其中的一些分数适当拆分,把算式中各项分解成两个数的差或和,使得其中一部分可以相互抵消,消去其中的若干个分数,从而达到简化计算的目地.4、几个常用的分数拆分公式:111)1(1+-=+⨯n n n n ; 11()k n n k n n k =-⨯++; 111)1(12++=+⨯+n n n n n . 一、巧填111()()a =+ 例1在等式1118()()=+的括号中填入适当的自然数,使等式成立. 解析 在等式1118()()=+中,从左往右看,是分数的拆分;从右往左看的话,则是分数的加法.因此可见,分数加减法和拆分是完全相反的两个过程.分数加法的计算过程:通分,合并,约分;所以拆分的过程为:扩分,拆分,约分.考虑8的约数:1,2,4,8.从中任选两个,取其和作为扩分的倍数.1121211;88(12)24242412+==+=+⨯+1141411;88(14)40404010+==+=+⨯+ 1181811;88(18)7272729+==+=+⨯+1242411;88(24)48482412+==+=+⨯+ 1282811;88(28)80804010+==+=+⨯+1484811;88(48)96962412+==+=+⨯+ 特殊地1111188(11)1616+==+⨯+. 注 1 解答形如111()()a =+之类的分拆题目,如果只求一组解,可用公式1111(1)n n n n =++⨯+直接写出;如果要求写出几组解,就先写出a 的约数,任取其中的2个约数,把1a的分子分母同时乘以这两个约数的和,再拆分成两个分数的和,通过约分,两个分数就都可以变成单位分数;如果要把1a的拆分成三个、四个单位分数的和,就取a 的三个、四个约数……练习一1.当1114x y +=时,求x y +的值. 解析 111111111,25;,16;,18.45204884612x y x y x y =++==++==++=所以这是一个简单的开放题.答: x y +的值可以是16,15,25等.2.写出两组满足条件1112004a b +=的,a b 的值,其中,a b 为两个不相等的四位数. 解析 思路与例1完全一样.11111(1,2)(1,3)20043006601226728016=+=+ 3.在111()21()+=的每个括号中填入一个数,且要求所填的两个分母均为两位数,这三个分母不互质,即其最大公约数不等于1.解析 111,(14,21,42)7211442=-=满足条件. 二、巧填1111......()()()a =+++ 例2 将110拆分成三个单位分数之和(任求一解). 解析 一种方法是:可以先分拆成两个单位分数的和,然后再将其一个单位分数再拆分;例如111111101111012132110=+=++;(答案不唯一) 另一种方法则是将例1的思想加以推广.例如11251251111010(125)808080804016++==++=++⨯++.其它的拆分方法可类似地得到,略. 练习二1. 试计算:1111113()()()()()=+=++(任求一解). 解析 111111341251220=+=++. 2.在下面的算式中的每个括号里填入一个适当的数,使等式成立.111118()()()()=+++ 解析 1124812481111.88(1248)120120120120120603015+++==+++=+++⨯+++ 3.把1拆分成五个不同的单位分数之和(任写三组解).解析115;5111111111111111;222362461224712421111111111223344551111111111111 1;223344552561220281247141111282824=⨯=+=++=+++=++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--------⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++++===++11.71428++其中最后一种方法是巧借完全数.三、巧填11() ()()mm n n=±<例3在下面的算式中的每个括号里填入一个适当的自然数,使等式41115()()=+成立.解析思路与例1类似,考虑到分母15的约数有:1,3,5,15,发现其中的1与3的和正好等于分子,由此我们得到41311;1515155+==+同样41115604=+.所以拆分的结果不是唯一的.特别应该注意的是,并不是所有的真分数都可以分拆成两个单位分数的和,但一定可以分拆成多个单位分数的和.例如89不可能拆分成两个单位分数的和.练习三1.把下列真分数拆分成两个单位分数和或差的形式:(1)31116()()=+; (2)5111124()()()()=-=+.解析 (1)311;16816=+ (2)56111;2424424-==-541112424624+==+.2．若,a b是自然数,求符合条件11110a b=-的,a b的值.解析1111111. 10510840615 =-=-=-3．如果711,1212a a=+++那么a是多少? 解析711, 2.121222a=+=++请同学们思考题之，如何把假分数119拆分成四个单位分数之和.例如112111111111.99229922545=+=+++=+++拆分的方式很多,尤其是在分数的加减法运算中,具体如何拆分,关键看题的构造.例4 把1629表示成最少的几个分子为1、分母尽可能小且互不相同的分数的和.试写出这几个单位分数的和的式子.解析 原分数的分母29是质数,除了1和29外,没有其它约数.因此无法象例3那样进行拆分.解决的方法是:利用分数的基本性质,先扩分,再拆分.例如1616232122911129292585822958⨯++====++⨯. 这是由于2是除0和1外的最小的自然数,所以这样拆分是个数最少,分母也尽可能小,而且三个公母互不相同,答合题意.这道题也可以从最小的单位分数入手考虑,同样会得到相同的结果.练习四1.在下面算式的括号中,填入适当的不同的自然数:41115()()()=++. 解析 48125111510101052++===++;同样4161105111520202042++===++,所以答案不唯一.2.试将分数1323拆分成三个不同的单位分数之和. 解析 1326122311123464646232++===++. 3.有七个单位分数之和等于1,其中的三个分数分别是111,,51525,其余四个分数的分母都是偶数.请你写出这四个分数.解析 111232352,1,51525757575++=-=将其分解成分母均为偶数的四个单位分数的和即可,例如521041325751111.751501501505062+++===+++【课后精练与思考题】1.在下面的算式中, 所有的分母都是四位数,请在每个括号中填入一个适当的数,使等式成立.111()1998()+=解析 111(3,1)199813323996=-,(3,1)是借助于其约数3,1的差进行扩分.2.在下式中的方括号和圆括号中,分别填入适当的自然数,使等式成立,圆括号中应填多少?(1)[]()14914+=; (2) []()1291112+=(1999年小学数学奥林匹克预赛A(B)卷试题)解析 (1)[]()14914714+=; (2) []()1291193612+=. 3．在算式()[]{}1111181=+++中,()[]{},,代表三个不同的自然数,这三个自然数分别是多少？解析 17111.18932=++ 4.已知两个不同的单位分数之和是112,那么这两个单位分数之差的最小值是多少? 解析 最小值是184.因为12的约数有1,2,3,4,6,12,要使两个单位分数之差最小必须使这两个分数最接近,所以1343411111;.121271271272821212884+==+=+-=⨯⨯⨯ 试进一步思考,如何计算两个单位分数之差最大值呢?5．把13个苹果平均分给12个小朋友,每个苹果只允许分成两份、三份或四份.问:应该怎么分?解析 把13个苹果平均分给12个小朋友,每个小朋友得1312个.将分数分拆成分母分别为2,3,4的单位分数,得到133461*********++==++. 6．试计算747628290.125 3.211111111154261220321771658-⨯⨯⎛⎫⎛⎫⨯---÷+++÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解析 原式46470.12580.41111111111111154444822334453377111115⨯⨯=⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-+÷+-÷+-÷+-÷⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 46470.4146471549.1213525315=⨯=⨯=⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭。
5-6第1讲分数的分拆
＝ ― ＋ ― ＋ ― ＋ ― ＋ ＝
练习5、求＋＋＋…＋的和
练习6、计算：＋＋＋＋
练习7、计算：＋＋＋＋。
例4：计算 ＋ ＋ ＋…＋ ＋
分析：仔细观察可以发现算式中每个分数的分母都是相差为5的两个自然数的乘积，分子都是4。如果这个算式统乘以5/4，就可以使算式中每个分数都满足：分母中两个因数的差正好等于分子5，即都变成 的形式。再利用前面的规律（2）进行分拆，使其中的一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。为使算式的结果不变，这个算式统乘以5/4变形后，还要再统乘以4/5还原。
3、计算：＋＋＋＋
4、计算：＋＋＋…＋
5、6×－×6+×6
6、
龙文教育学科教师辅导讲义
课题
第1讲分数的分拆
教学目标
1、掌握常见的几种分数拆分方法。
2、学习通过分数的拆分进行一些稍复杂的简便计算。
3、在学习中让学生获取乐趣，培养数学兴趣，发展思维能力。
重点
根据题目的特点正确的进行分数的拆分。
难点
通过分数的拆分，使复杂的问题简单化，从而达到简算的目的。
【内容概述】
解： ＋ ＋ ＋…＋ ＋
＝ × ×（ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ）
＝ ×（ × ＋ × ＋ × ＋…＋ × ＋ × ）
＝ ×（ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ）
＝ ×（1― ＋ ― ＋ ― ＋…＋ ― ＋ ― ）
＝ ×（1― ）
＝
练习8、1 ＋2 ＋3 ＋…＋20
【典型问题-4】
例5、
分析：通过数字的分拆，乘法分配律的变形可以约分。
解：原式=
=
=1
练习9：
练习10、
小结：根据题中数字的特点进行合理的拆分，然后利用加、减的对消或约分可以使复杂的计算简单化,从而使计算简便。
奥数-分数的拆分
奥数-分数的拆分分数的拆分（涉及到分数的基本性质，因数，比，化简比等重要知识），对理解分数裂项也是非常有帮助的。
主要介绍以下2个内容（①分数单位拆分成两个分数单位的和②任意分数拆分成两个分数单位的和）。
①分数单位拆分成两个分数单位的和题目：把1/9拆分成两个不同分数单位的和（写出3种不同方法）如果把9拆成2个正整数的和，这样的可以完全列举出来。
但分数靠试数是不行的,因为拆出来的分母会比较大。
下面我们一步一步研究这种方法。
首先：除数（分母）没有分配律，所以只能拆分子，由于分子是1（只能分成1+0），所以想拆分，必须先扩分（把分子扩大），然后拆开，再约分。
利用分数的基本性质，先把分子分母都扩大相同的倍数。
接下来，如果把分子拆开后能约分成1，那么我们考虑拆成9的因数。
9的因数：1,3,9可以拆成1+1、1+3、1+9、3+3、3+9、9+9例如拆成1+3如果拆成3+9的话，和1+3结果是一样的，即有重复。
重复的原因是1:3=3:9，所以最后用因数的比来去掉重复，组成的比有1:1,1:3,1:9，即只有3种方法。
如果分成3个分数单位的和，怎么办？可以先分成2个，再把其中一个分成2个；或者用3个的比，例如1:1:3 , 1:3:9等等。
大家可以自己试一下。
②任意分数拆分成两个分数单位的和我们看一下任意一个分数是否可以拆成两个分数单位的和，比如5/8，我们可以看5能不能拆成两个8的约数的和。
8的约数有1,2,4,8。
而5=1+4所以5/8=1/8+4/8=1/8+1/2但7/8就不能拆成两个分数单位的和了。
如果没有2个的限制，至少可以拆成7个1/8的和。
通过以上分析，我们发现：分数单位是肯定可以拆分成两个分数单位的和，其它分数则不一定。
上面的拆分方法都遵循一点：想变成分数单位，必须要把分子约分成1，所以拆出的分子必须是分母的约数。
知识点延伸：把1/9拆成两个分数单位的差把2/15拆成两个分数单位的差。
第一讲 分数的分拆
第一讲：计算问题——分数的分拆一、知识与方法归纳 姓名：1、①如果要将1n拆分成两个互异的单位分数的和，可以先找出n 的两个互质的因数a 和b则有)()()(1b a n bb a n a b a n b a n +++=++= ②如果要将1n拆分成两个互异的单位分数的差，可以先找出n 的两个互质的因数a 和b则有)()()(1b a n b b a n a b a n b a n ---=--= 2、根据n 的因数任取两个或三个、四个拆分，所得答案不唯一。
3、当一个分数的分母可以写成两个因数的积，分子又等于两个因数的和时，分数可拆分成两个分数的和4、当一个分数的分母可以写成两个因数的积，分子又等于两个因数的差时，分数可拆分成两个分数的差二、经典例题例1.填空()()1171+=例2.已知A 、B 是互不相等的自然数，当 16 =1A +1B ，求A+B=？体验训练1.,1181BA +=求A+B=？例3.BA 1191-=，求A+B.体验训练2.请将下列单位分数快速拆分。
（1）14 =1（ ） ＋1（ ） ，15 =1（ ） ＋1（ ） ，111 =1（ ） ＋1（ ）（2）14 =1（ ） －1（ ） ，15 =1（ ） －1（ ） ，111 =1（ ） －1（ ）（3）16 =1（ ） －1（ ） ，112 =1（ ） －1（ ） ，120 =1（ ） －1（ ）*例4.（1）试将分数22131拆分成C B A 11122131++=。
求A ，B ，C 之和。
（2）试将分数47 拆分成B A 1174+=,求A 、B 之和。
例5. 当一个分数的分母可以写成两个因数的积，分子又等于两个因数的和时，分数可拆分成两个分数的和当一个分数的分母可以写成两个因数的积，分子又等于两个因数的差时，分数可拆分成两个分数的差35×8 = 34×7= 举例试一试： 121= 301= 135×8 = 114×7= 举例试一试： 三、内化训练1. 当14 =1A +1B 时，求A+B= （写出所有可能的情况）2.将51拆成两个单位分数的差。
六年级第一讲 分数的拆分
第一讲 分数的拆分[内容及目标]整数四则运算中所用到的定律、性质，在分数中同样适用，而应用这样的定律、性质须结合题目的特点，适当地把一些分数拆分，使得有一些分数可以互相抵消，从而使计算简便。
把一个分数拆分成两个或两个以上分数相减或相加的形式，然后再进行计算的方法叫做拆分法。
如:=6521+31，121=31－41。
[例题和解答]例1： 计算21 +61+121+201+301+421+561。
分析观察这些分数的特点我们就可以发现，这些分数的分母都可以写成两个连续自然数的乘积，因而每个分数都可以拆分成两个分数的差，最后把拆分后的各个分数相加在一起，就会发现有一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。
解答21+61+121+201+301+421+561 =1－21+21－31+31－41+41－51+51－61+61－71+71－81 =87 技法总结：一般地，形如下面的分数都可以拆分。
)1(1+⨯n n =n 1－11+n )(d n n d +⨯=n 1－dn +1 例2： 计算1+211++3211+++43211++++……+1003211+⋯⋯+++ 分析 观察这些分数会发现，这些分数的分母都是连续的自然数相加，计算这样的题目，求和后通分显然是不可行的，这时候就要用到分数的拆分。
先用等差数列的求和公式，可以把每个分数写成下面的形式：，每个分数都拆分后，再把他们加在一起，计算起来就很简便。
解答 1+211++3211+++43211++++……+1003211+⋯⋯+++ =2×（211⨯+321⨯+431⨯+……+1011001⨯） =2×（1－1011）=101200第二讲 分数的拆分拓展1 计算301+421+561+721+901。
拓展2 计算211⨯+321⨯+431⨯+……+100991⨯。
拓展3 计算531⨯+751⨯+971⨯+……+23211⨯。
拓展4 计算411⨯+741⨯+1071⨯+13101⨯+16131⨯。
单位分数的拆分(教案)
《数学思维与能力训练》辅导讲义辅导时间 姓名单位分数的拆分【知识要点】1、一个单位分数，可以拆分成两个或两个以上单位分数的和或差，其形式为)(1)(11b a b n b a a n n +++= )(1)(11b a bn b a a n n ---= (a 、b 均是n 的约数) 2、利用上述公式，可以推出两个特例① )1(1111+++=n n n n 例如：613121+= ②)1(1111---=n n n n 例如：1321111121-=【夯实基础】［例题1］在 ( )中填上不同的数(1) )(1)(1)(1)(1)(1)(181+=+=+= (2))(1)(1)(1)(181+++= (1) 8的互质数对有1和8、1和4、1和2，11214188838589+++===⨯⨯⨯，故有 1111111812241040972=+=+=+ (2) 8的约数有1、2、4、8，112488815+++=⨯，故有111118153060120=+++［例题2］甲、乙合作加工一批零件，共需要15天，如果单独做，各需要多少个整天？学会单位分数的拆分，在编拟工程应用时大有用场∵ 241161901181601201151+=+=+= ∴ 答案有三种可能，即甲20天乙60天，或甲18天乙90天，或甲16天乙240天〖小试牛刀〗1、在 ( ) 中填上不同的数(1) )(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(161+=+=+=+= (2) )(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1181+=+=+=+=+=+=2、将201拆成两个分数单位的和，有几种拆法？并写出详细分法 3、计算：(1) 421113019201712156131+++++ (2) 4213012011216121----- 参考答案：1、(1)15110118191241814217161+=+=+=+= (2) 45130154118172124199122112612111801201181+=+=+=+=+=+= 2、4513617012814201211220122112012416013011001251201+=+=+=+=+=+=+= 3、(1) 原式 = ]716141313121[62111-++-+-+⨯+ = 36 + )7121(- = 36145 (2) 原式 = 71【拓展探究】［例题3］将下列和表示为一个最简分数 651541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯111(1)1n n n n =-++ 参考答案：65 ［例题4］如果DC B A 111171-=+= (A ≠B)，则A + B + C +D = ∵421615618171-=+=，且表示方法唯一 ∴ A + B + C + D = 8 + 56 + 6 + 42 = 112［例题5］A 、B 都是三位数，且1998111=-B A ，求A 和B 利用公式 111()()()a b n n n n a b a b a b a b-==---- 参考答案：A = 629，B = 918 〖小试牛刀〗1、已知13611111=++++D C B A ，且A 、B 、C 、D 各不相同，求A 、B 、C 、D 四数的和 2、用2714、2528、5449分别除以一个分数单位a ，商都是整数，a 最大是多少？ 3、已知D C B A 1111151161+++=÷，求A 、B 、C 、D 四数的和 (A 、B 、C 、D 各不相同)参考答案：1、36191312136351111+++==+++D C B A ，故A + B + C + D = 50 2、由［27，25，54］= 1350，可知a 最大 =13501 3、16181412116151111+++==+++D C B A ，故A + B + C + D = 30。
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分数的基本性质
例1、分数3
8
的分子加上9，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？
分析： 38 =3+9
8+（ ）
，分子增加3倍，说明分子扩大了4倍，分母也要增加3倍或扩大4倍。
拓展：分数
15
4
的分子加上8，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？
例2、分数47 的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是3
4 ，求分子和分母都加上的这个数是几？
分析：方法一 试一试：将3
4
的分子、分母同时扩大相同的倍数
34 =68= 912= 1216 =1520 用这些分数的分子、分母与4
7 的分子、分母相减，结果相同的就是。
方法二 先观察下面的几组等式：23 =46 35= 915 43= 16
12
交叉相乘可以发现3×4=2×6 5×9=3×15 4×12=3×16，因此我们得出这样一个结论，当a b = d
c 时，a
×c=b ×d 。
解：设分子和分母都加上的这个数为x ，根据题意可得： 4+x 7+x = 3
4
(4+x)×4=(7+x)×3 16+4x=21+3x X=21-16 X=5 方法三 ：【利用分母与分子差不变】 拓展：分数
41
11的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是83
，求分子和分母都加上的这个数是几？
原来相差30 加同样的数还是相差30 但新数相差为5， 必须5×6 =30
例3：一个分数，分子比分母大20，如果分子减去6，得到新分数约分后等于3
2
1
，求原分数。
方法：【利用分母与分子差不变】
例4、一个分数，如果分子加上1，就变成34 ，如果分子减去1，就变成1
2 ，那么原来的分数是多少？
方法一、将分子，分母数字较大的采用“等值放大”
看分子减2倍 可以不可以变成1/2
方法二、通分
拓展：一个分数，如果分子加上1，分母减去1，就变成45 ，如果分子减去1，分母加上1，就变成1
2
，那么原来的
分数是多少？
将分子，分母数字较大的采用“等值放大”
将分子，分母数字较小的数， 变成分子比第一个数小2，分母比第一个数大2
方程法：
一个分数，如果分母减去2，就变成23 ，如果分母加上5，就变成3
8 ，那么原来的分数是多少？
方法一、等值放大
两数分母相差7
方法二、通子
一个分数，如果分母减去4，就变成1，如果分子减去2，就变成3
5 ，那么原来的分数是多少？
将分子，分母数字较大的采用“等值放大”
将分子，分母数字较小的数， 变成分子比第一个数大2，分母比第一个数小4
例5、一个分数，分子分母的和是122，如果分子分母都减去19 ，得到是新分数化简后是1
5 ，
求原来的分数是多少？
利用和变
拓展：
分数
6455的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为 13
4 ，求某数是多少？ 利用和不变
例6 一个分数，如果分子加上16，分母减去166，那么约分后是
4
3
，如果分子加上124，分母加上340，那么约
分后是2
1。
求原分数是多少？
用方程组
分数的拆分问题
一、分数拆分的初步知识 拆分主要有以下几个步骤：
叫做扩分。
注意：为什么要乘以5？因为5正好是分母6的两个质因数的和。
③把分子拆成分母的两个质因数的和，再拆成两个分数的和。
即：
④把拆开后的两个分数约分，化成最简分数。
例1 填空：
事实上，我们把分母分解质因数后，可以得到这个分母的不同的约数，只要把分子、分母都乘以这个分母的任意两个约数的和，就可以把一个分数拆成两个分数的和。
解：18分解质因数后共有六个约数：1、2、3、6、9、18，取不同的两个约数的和，可以得到不同的解。
如：
可以看出，由于每次所选用的两个约数不同，所得的解也不相同。
但是当选用的四个约数成比例时，它们的解就相同。
如：选用1和2，3和6，9和18；或选用2和3；6和9时，解就相同。
二、把一个分数拆成几个分数的和
以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆成三个或三个以上分数的和。
解：18的约数有1、2、3、6、9、18。
可以任意取其中三个约数，得到不同的解。
……答案不只一种。
三、把一个分数拆成两个分数的差
能不能把一个分数拆成两个分数差的形式呢？观察下面的分数运算，看左右两边有什么关系。
观察下面几个分数的运算，左右两边有什么关系。
以上每个分数的分子d都是分母中两个因数的差。
当n、n+d，都是自然
当d=1时，公式（2）则转化为公式（1）。
利用公式（2）可以把一些分数拆成两个分数差的形式。
例5把下面各分数写成两个分数差的形式。
观察下面等式，左右两边有什么关系。
通过上面算式，可以得出这样的结论：
由此可知，一个分数可以根据需要拆成两个或若干个分数的和或两个分数的差的形式。
四、拆分方法在分数加法运算中的应用
例6计算：
解：由公式（2）
解：由公式（3）
例9计算：
解：由等差数列求和公式
由此，本题中的各个分数可以拆分为：
因此，本题解法如下：
例11计算
解：根据公式（4）
解：先把同分母的分数相加，看看有什么规律。
上面三个算式表明，分母是2、3、4的如上面这样的算式，它们的和分别是2、3、4。
由此可以推出，分母为K的如上面的算式，所有的分数的和等于K。
所以，原式=2+3+4=9 例13计算
解：可以利用例12所得出的结论以及等差数列求和公式进行计算。
原式=1+2+3+……+1991
=（1+1991）×1991÷2=1983036
习题五
1.在下列各式的括号内填上适当的整数（1—3题）。
4.把下面各分数写成两个分数差的形式。
5.先观察，找出规律。
然后在（）内填上适当的整数
（要求分母都不同，且尽可能小）。