椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

g3.1079 椭圆

1.椭圆的定义:

第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.

第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准方程: (1))0(122

22>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c=22b a -. (2))0(122

22>>=+b a a

y b x ,焦点:F 1(0,-c),F 2(0,c),其中c=22b a -. 3.椭圆的参数方程:⎩⎨⎧==θ

θ

sin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率).

4.椭圆的几何性质:以标准方程)0(122

22>>=+b a b

y a x 为例:

①范围:|x|≤a,|y|≤b;②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0);③顶点A(a,0),A ′

(-a,0),B(0,b),B ′(0,-b);长轴|AA ′|=2a,短轴|BB ′|=2b;④离心率:e=a c ,0

a 2

;

⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任意一点. 二、基本训练

1．设一动点P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为3，则动点P 的轨迹

方程是 （ ）

()A 22

132x y += ()B

22

132x y -=

()

C 22

(1)132

x y ++= ()D 22

123

x y += 2．曲线

19

2522=+y x 与曲线)9(19252

2<=-+-k k y k x 之间具有的等量关系 （ ）

，离心率 ．5．已知椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的离心率为35，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针

方向旋转

2

π

后，所得新椭圆的一条准线方程是163y =，则原来的椭圆方程是 ；新椭圆

方程是 ． 三、例题分析

例1(05浙江) ．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若直线l 1：x ＝m (|m |＞1)，P 为l 1上的动点，使∠F 1最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．

例2设,A B 是两个定点，且||2AB =，动点M 到A 点的距离是4线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，求动点P 程．

例3．已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>，P 为椭圆上除长轴端点外的任一点，12,F F 为椭圆的

两个焦点，（1）若α=∠21F PF ，21PF F β∠=，求证：离心率2

cos

2cos

βαβ

α-+=

e ；

直线1PF 与直线2PF 垂直．（1）求实数m 的取值范围；（2）设l 是相应于焦点2F 的准线，直线2PF 与l 相交于点Q ，若

22||

2||

QF PF =-2PF 的方程． 例5（05上海）点A 、B 分别是椭圆

120

362

2=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。

（1）求点P 的坐标；

（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。

四、作业 同步练习 g3.1079 椭圆

1．（05重庆卷) 若动点(x ,y )在曲线

1422

2=+b y x (b >0)上变化，则x 22y 的最大值( ) (A) ⎪⎩⎪

⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b

b b ；

(B) ⎪⎩⎪

⎨⎧≥<<+)2(2)20(442

b b

b b ；

(C) 44

2

+b ； (D) 2b

2. P 是椭圆14

52

2=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△F 1PF 2的面积等于

（ ）

()

A 3

3

16 ()B )32(4- ()C )32(16+ ()D 16

3．已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为 F ，(,0),(0,)A a B b -为椭圆的两个顶点，若

F 到AB

（ ）

()

A ()

B ()

C 1

2

()

D 45

4．（05天津卷）从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程122

22=+n

y m x 中的m 和

n,则能组成落在矩形区域B={(x ,y)| |x |<11且|y|<9}内的椭圆个数为（ ）

A ．43

B ． 72

C ． 86

D ． 90

5. （05山东卷）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2

2

14

y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为

1

2

的点P 的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

6椭圆C 与椭圆14

)2(9)3(2

2=-+-y x ，关于直线0x y +=对称，则椭圆C 的方程是_______． 7到两定点12(3,0),(9,0)F F 的距离和等于10的点的轨迹方程是 ．

8．已知椭圆

19

822=++y a x 的离心率21=e ，则a 的值等于 _________． 9 AB 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>中不平行于对称轴的一条弦，M 是AB 的中点，

O 是椭圆的中心，求证：OM AB k k ⋅为定值．

10. (05全国卷Ⅰ)）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦

点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB + 与(3,1)a =-

共线。 （Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OM OA OB R λμλμ=+∈

，证明22μλ+为定值