初三数学《圆》知识提纲修改版

A

初三数学《圆》知识提纲（修改版）

(何老师归纳)

一、圆的有关性质

一：圆的相关概念：

1：圆的定义：两要素：定点（圆心），定长（半径）

⑴ 动态定义: 一条线段OA 绕着它的一个端点O 在平面内旋转一周时，另一个端点A 所形

成的图形叫圆

⑵ 静态定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的所有点的集合

2： 弦：连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。 3： 弦心距：圆心到弦的距离

4： 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 ⑴ 分类：半圆：圆上直径的两端点间的部分叫做半圆

优弧：大于半圆的弧叫做优弧；记着：BAC 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧；记着：BC

⑵ 同弧：一个圆中，同一条弧叫同弧

等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧

（两条件：1长度相等，2弯曲程度一致）

5：同圆：同一个圆叫同圆

等圆：圆心不相同，半径相等的圆； 同心圆：圆心相同，半径不等的圆。 6：弓形：弧与所对的弦所组成的图形 弓形高（h ）＝半径(r)±弦心距(d)

7：弧的度数：将圆周等分成360份，得到每一份的弧叫做1°的弧，弧的度数就是所对圆心

角的度数

8 ：圆心角：顶点在圆心的角

圆周角 ：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角

9：圆外角：顶点在圆外，两边与圆相交的角，其度数等于所截两弧度数差的一半. 圆内角：顶点在圆内，两边与圆相交的角，其度数等于其及其对顶角所截弧度数

和的一半.

10：三角形的外心：三角形外接圆的圆心（或三角形三边中垂线的交点）叫外心

三角形的外接圆：如果三角形的三顶点在圆上，这个圆叫三角形的外接圆，反之，这个

三角形叫圆的内接三角形

二：点与圆的位置关系:

1：点在圆内 ⇒ d

2：点在圆上 ⇒ d=r ⇒ 点B 在圆上 3：点在此圆外 ⇒ d>r ⇒ 点A 在圆外

三：重要定理：

1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 几何表达式举例：

∵ AB 过圆心,CD ⊥AB ∴ CE DE =

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称“知2推3定理”：，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ ⑤ ，由其中任意2个条件便推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴

2、四量关系定理（即“角、弦、弧、距”定理）：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称“知1推3定理”，即其中的1组量相等，则可以推出其它的3组量也对应结论， 即：①AOB DOE ∠=∠⇔ ② AB DE =⇔ ③OC OF =⇔ ④ 弧BA =弧BD

3、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半，同时也等于所对弧的度数的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴∠ACB ＝

12∠AOB ＝1

2

弧ACB 的度数 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠所对的弧是弧AB ∴C D ∠=∠

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或 ∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径

B

AC AD

=AC AD

=BC BD

=D

BC BD =AC AD =

B

A

B

A O

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△ABC 中，∵OC OA OB == ∴△ABC 是直角三角形（或90C ∠=︒） 重要结论：在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补

4、圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O 中 ∵四边形ABCD 是内接四边形

∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠

5；外接圆定理：不在一直线上的三个点确定一个圆 （1）过一点可以画无数个圆；

（2）过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；

（3）过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，这个外接圆是唯一的 四：反证法步骤：

1：假定原命题的结论不成立 -----反设

2：进行推理，推出与已知，定义，定理（公理）矛盾；-----归谬 3：判定假设不成立，从而肯定原命题正确 -----结论

五：圆常见辅助线作法一：

1：作半径 2：作弦心距

3：作同弧或等弧所对的圆周角 4：作直径所对的圆周角

二：直线与圆

一： 直线与圆的位置关系:

1：直线与圆相离 ⇒ d>r ⇒ 无交点 2：直线与圆相切 ⇒ d=r ⇒ 有一个交点 3：直线与圆相交 ⇒ d

二：相关概念

1：切线：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，这条直线与这个圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．

2：割线：如果一条直线与一个圆有两个公共点，这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线．

3：切线长：从圆外一点引圆的切线，该点与切点之间的线段的长，叫切线长。

4：内心：三角形内切圆的圆心（或三角形三条角平分线的交点）叫做这个三角形的内心。 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，反之这个三角形叫做这个圆的外切三角形。

5：弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。