福大高数微积分作业答案6.3全微分

( ∆x ) + ( ∆y )
2
2
=0
∴ f ( x , y ) 在 (0,0) 处可微 .
( 2)
1 2x 1 2 x sin x 2 + y 2 − x 2 + y 2 cos x 2 + y 2 f x ( x, y) = 0
x2 + y2 ≠ 0 x2 + y2 = 0
Q
( x , y )→ ( 0 , 0 )
lim
f x ( x, y)
1 2x 1 = lim 2 x sin 2 2 − 2 2 cos 2 ( x , y )→ ( 0 , 0 ) x +y x +y x + y2 不存在,
∴ f x ( x , y ) 在 (0,0) 处不连续 . 同理： f 同理： y ( x , y ) 在 (0,0) 处不连续 .
二 1、 当且仅当 ϕ ( 0,0) = 0 时, f y (0,0) 存在. 、
2. Q f y ( x , y ) = 2 y , ∴ f y (1,2) = 4.
1 sin( ∆x )2 f ( ∆ x ,1) − f (0,1) = lim ∆x 3. f x (0,1) = lim ∆x → 0 ∆ x→0 ∆x ∆x
∆x → 0
∆z − f x (0,0)∆x − f y (0,0)∆y Q lim ( ∆x ,∆y )→( 0 , 0 ) ( ∆ x ) 2 + ( ∆y ) 2
=
( ∆ x , ∆ y )→ ( 0 , 0来自百度文库)
∆x
= 0, 同理： f y (0,0) = 0, 同理：
lim
1 [( ∆x )2 + ( ∆y )2 ]sin ( ∆x )2 + ( ∆y )2
= 1.
4. 0.005
f ( ∆x ,0) − f (0,0) 二、 1. f x (0,0) = lim ∆x → 0 ∆x | ∆ x | ϕ ( ∆ x ,0 ) = lim ∆x → 0 ∆x | ∆x | ϕ ( ∆x ,0) Q lim = lim ϕ ( ∆x ,0) = ϕ (0,0) ∆x → +0 ∆x → +0 ∆x | ∆ x | ϕ ( ∆ x ,0 ) lim = lim − ϕ ( ∆x ,0) = −ϕ (0,0) ∆x → −0 ∆x → −0 ∆x ∴ 当且仅当 ϕ ( 0,0) = 0 时, f x (0,0) 存在.
同理可得： 同理可得： 当且仅当 ϕ (0,0) = 0 时, f y (0,0) 存在.
三、 (1) ∆ z = f ( ∆ x , ∆ y ) − f (0, 0)
1 = [( ∆x )2 + ( ∆y )2 ]sin ( ∆x )2 + ( ∆y )2
f x (0,0) = lim
( ∆x )2 sin ( ∆1 )2 x
6.3
2. 必要 一、 1. 0. 4. dz = 0.25 e , ∆z = e1.265 − e xy x2 5. dz = − dx + dy 2 2 3 2 2 3 (x + y ) (x + y )
全微分 3. 充分
P17
6. df (1,1,1) = dx − dy 7. u = x 2 + y 2 + z 2 + C