一.第三讲随机变量的函数与特征函数

若随机变量X、Y满足下列函数关系
Y [X ]
如果X与Y之间的关系是单调的，并且 存在反函数，即
X 1[Y ] h(Y ) 若反函数h(Y)的导数也存在，则可利 用X的概率密度求出Y的概率密度。
综合上述讨论，得到
fY ( y) fX (h( y)) • h'( y)
如果X和Y之间不是单调关系，即Y的取值 y可能对应X的两个或更多的值x1,x2,…, xn。
（3）中心极限定理
若有大量相互独立的随机变量的和
n
Y Xi
i 1
其够中小每时个，随则机在变一量定X条i对件总下的，变当量nY的影响足
时，随机变量Y是服从正态分布的，而与每 个随机变量的分布律无关。
结论：任何许多独立作用之和的物理过
程，都趋于高斯分布。
2）二维高斯分布
设X是均值为
mX
3.3.2 常见的连续分布 一. 均匀分布
设连续型随机变量X在有限区间[a,b] 内取值，且其概率密度为
fX
(x)

b
1
a
0
a xb else
则称X在区间[a,b]上服从均匀分布。
随机变量X的分布函数为
0
FX
(x)

x

b


1
a a
xa a xb
xb
mX
性质2：若Y=aX+b，a和b为常数，Y的 特征函数为
Y ( ) e jb X (a )
性质3：互相独立随机变量之和的特征
函数等于各随机变量特征函数之积，
即若
N
Y Xn
n 1
则
N
Y ( ) Xn ( )
n1
3.2.3 特征函数与矩函数的关系 矩函数与特征函数之间存在如下关系：
j
x
d
略有不同，指数项差一符号
3.3 常见分布
3.3.1 常见的离散型分布 一. 两点分布
如果随机变量X的分布为
X
a
b
P 1－p p
则称X服从两点分布，也称为贝努里 分布。当a、b分别为0、1时，称这种 分布为0－1分布。
二. 二项分布
设随机试验E只有两种可能的结果 A, A 且
P( A) p, P( A) 1 p q
E[
X
]


j
dX ( d
)
| 0
E[ X
n]

(
j)n
d nX ( ) d n
| 0
3.2.4 特征函数与概率密度的关系
由定义可知，特征函数与概率密度 函数有类似傅氏变换的关系
X ()

fX
(x)e jxdx
f X
(x)

1
2

X
(
)e
)
X
2
(
y
mY
)2
2 XY 1 rXY 2
设n维随机变量向量为Y，数学期望和 方差向量为m和s，它们具有如下形式：
Y1
Y=
Y2


Yn

m1
m=
m2


mn

s=

2 1
2 2



n
2

协方差矩阵C
n
R Y
Xi2
i 1
则R为广义瑞利分布
fR (r)

2(n2)
r n 1
2 n(n 2)
e
r2
2 2
r0
2) 莱斯分布
当高斯变量Xi(I=1,2,…,n)的数学期望 为 mi 不为零时，
n
Y
Xi2
i 1
是非中心 2 分布，而 R Y 则是
莱斯分布。
对于任意n值有
mY amX b Y 2 a2 X 2
（2）独立高斯变量之和仍为高斯变量。
推广到多个互相独立的高斯变量，其 和也是高斯分布。即
n
Y Xi
i 1
若Xi服从 N (mi ,i2 ) ，则其和的数学
期望和方差分别为
n
mY mi
i 1
n
Y 2 i2
i 1
若对于给定的正数 0 ，随机变量序 列Xn满足
lim
n
P{
Xn

X
}1
则称随机变量序列Xn依概率收敛于X
分布收敛（d收敛，弱收敛）
若Xn的概率分布函数在x的每一连续点 收敛于X的概率分布函数，则称随机变量序 列依分布收敛于随机变量X，记为
lim
n
F
( xn
)

F
(x)
四种收敛的关系
随机变量的抽样
均匀分布到其它分布 高斯分布，中心极限定理 利用计算机的产生伪随机数（不能产生连续点，
由位数决定）
加同余法
yn+1=yn+c（mod M） xn+1=yn+1/M
乘同余法
yn+1=ayn（mod M） xn+1=yn+1/M
M和初始y0为正整数，M越大越好
C11 C12
C = C21 C 22
Cn1 Cn 2
C1n
C2
n


Cnn

则n维联合概率密度函数为
f
( y)

1
(2 )n 2
C12
( ym)T C 1 ( ym)
e
2
三. 2 分布
1) 中心 2 分布
若n个互相独立的高斯变量X1, X2,…,
将E独立地重复n次，那么在n次试验中事件A 发生m次的概率为
Pn (m) Cnm pmqnm 0 m n
称为二项分布。
三.泊松分布 设随机变量X的可能取值为0,1,2,…,
且分布密度为
P{X k} k e
k!
k 0,1, 2,L , 0
则称X服从泊松分布。
第三讲 随机变量的函数与特征函数
3.1 随机变量的函数变换
在随机试验E中，设样本空间为S={ei}, 对每一个试验结果ei，对应于X的某个取值 X(ei)，相应地指定一个Y(ei)，且Y(ei)与 X(ei)有如下关系：
Y (ei ) g[X (ei )]
显然，Y的概率特性与X是有关系的。
3.1.1 一维变换
度为
，归一化后的概率密
fY ( y)
1
y2
e2
2
服从标准正态分布N(0,1)的高斯变量X， 其特征函数为
2
X () e 2
服从 N (mY , Y 2 ) 的高斯变量Y，其特 征函数为
( ) e jmY
Y
2
2
2
Y
高斯变量特点：
（1）已知X为高斯变量，则Y=aX+b （a,b为常数）也为高斯变量，且
jx
f
X
(
x)dx
随机变量X的第二特征函数定义为特 征函数的对数，即
X ( ) ln X ( )
对二维随机变量，可用类似的方法定 义特征函数
X (1,2) Nhomakorabea
fX
(x1, x2 )e j1x1 j2x2dx1dx2
f X (x1, x2 )

Xn的数学期望都为零，方差为1，它们
的平方和
n
Y X i2
i 1
的分布是具有n个自由度的 2 分布。
其概率密度为
fY ( y)

2n
1 2 (n 2)
n 1 y
y2 e 2
y0
( x) t x1etdt 0
当互相独立的高斯变量Xi的方差不是1， 而是 2 时，Y的概率密度为
X1 h1(Y1,Y2 ) X2 h2 (Y1,Y2 )
fY ( y1, y2 ) J f X ( x1, x2 )
h1

y1 h2
y1
h1
y2 h2
f X (h1( y1, y2 ),h2 ( y1, y2 ))
y2
3.2 随机变量的特征函数
3.2.1 特征函数的定义
fY
( y)

(2
1 2 )n 2 (n 2)
y e n 1 2

y
2
2
y0
性质：两个互相独立的具有 2 分布 的随机变量之和仍为 2 分布，若它 们的自由度分别为n1和n2，其和的自 由度为n= n1+n2。
2) 非中心 2 分布
若互相独立的高斯变量Xi(I=1,2,…,n) 的方差为 2 ，数学期望为 mi ，则
，方差为
2 X
的正
态随机变量，Y是均值为 mY ，方差为
Y 2 的正态随机变量，且X,Y的相关系
数为 rXY ，则二维随机变量(X,Y)为一
个二维正态随机变量，其联合概率密
度函数为
f (x, y)
1
e
Y
2
(
x
mX
)2
2
rXY XY ( xmX )( ymY 2 X 2Y 2 (1rXY2 )
fX (hn ( y)) • hn'( y)
3.1.2 二维变换
设二维随机变量(X1,X2)的联合概率密度 f(x1, x2)，另有二维随机变量(Y1,Y2)，且
Y1 1( X1, X 2 ) Y2 2 ( X1, X 2 )
求随机变量(Y1,Y2)的联合概率密度f(y1, y2)。