向量内积的坐标运算与距离公式
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BC 22 (4)2 20， 所以 AC BC ． 即△ABC是等腰三角形．
例4 已知 A(1， 2)，B(2， 3)，C(2,5). 求证：AB AC． 证明：因为
AB (2，3) (1，2) (1，1)， AC (2，5) (1，2) (3，3)， 可得 AB AC (1，1) (3，3) 0． 所以 AB AC．
b 〉
π
．
4
例2 已知 A(2， 4)，B(2， 3)，求 AB ．
解：由已知条件得 AB (2，3) (2， 4) (4，7)， 所以 AB (4)2 72 65．
例3 已知 A(1， 2)，B(3， 4)，C(5， 0). 求证：△ABC是等腰三角形． 证明：因为 AB (3 1，4 2) (2，2)， AC (5 1，0 2) (4， 2)， BC (5 3，0 4) (2， 4)， AC 42 (2)2 20，
向量
向量 向 量
7.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式
1由.已内知积非表零达向式量怎a样与求bc，o则s〈aa与, bb〉 的？内积表达式是怎样的？
a
b
a
b
cos〈a,
b〉
cos〈a,
b 〉
a
b
ab
2.
a
b
a
b
0
3.
a
e1
a1 b2e1
e2
a2b1 e2
e1
a2b2e2
e2．
因为
e1 e1
e2
e2
1
，e1
e2
e2
e1
0，
所以
a
b
a1b1
a2b2．
定理
在直角坐标平面 xoy内，e1，e2 为 x 轴，y 轴的基向量，
与
a
a有何关系？
a
a a
已知
b
e1
，e2是直角坐标平面上的基向量，a
(a1 ,
(b1 ,
b2
)，你能推导出
a
b 的坐标公式吗？
a2
)，
探究过程：
a b (a1e1 a2e2 ) (b1e1 b2e2 )
a1 b1 e1
解：由已知条件得
a
b
31
(1)
(2)
3
2
5，
a a a 3 3 (1) （1） 10，
b b b 11 (2) (2) 5．
因为
cos〈a,
b 〉
a b
a
b
5 10
5
2， 2
所以〈a,
1 ．已知 A(1， 2)，B(2， 3)，C(2， 5).
求证： BAC π
2
2．已知点P的横坐标是7，点P到点Ｎ(-1,5)的距离
等于10，求点P的坐标．
本节课我们主要学习了平面向量内积的坐标运算与距 离公式，常见的题型主要有：
1．直接用两向量的坐标计算内积； 2．根据向量的坐标求模； 3．根据两点的坐标求两点间的距离； 4．运用内积的性质判定两向量是否垂直．
a12 a2 2．
所以 a a12 a22．
向量的长度公式
定理
在直角坐标平面
a
(a1 ,
a2
)，b
内，e1 ，e2 为 (b1, b2 ) ，则
轴， 轴的基向量，
问题
a
b
a1b1
a2b2．
x
⑵ 如果 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，你能求出 AB
a
(a1 ,
a2
Fra Baidu bibliotek
)，b
(b1 ,
b2
)
，则
a
b
a1b1
a2b2．
推论
⑴ 两向量垂直的充要条件
向量内积的坐标
a
b
a1b1
a2b2
0．
运算公式
⑵ 两向量夹角余弦的计算公式
cos〈a,
b 〉
a b
ab
a1b1 a2b2
．
a12 a2 2 b12 b2 2
定理
在直角坐标平面
xoy内，e1
，e2
为
x
轴，y
轴的基向量，
a
(a1 ,
a2
)，b
(b1 ,
b2
)
，则
a
b
a1b1
a2b2．
问题
⑴ 若已知 a (a1, a2 )，你能用上面的定理求出 a吗？ 解：因为 a2 a a (a1，a2 ) (a1，a2 )
必做题：教材 P56 练习A 组第 1 题； 选做题：教材 P56 练习 B 组第 1题．
的长度吗？
解：因为
A( y
x1，y1
)，B(
x2，y2
)，
则 AB (x2 x1，y2 y1)． 两点间距离公式 由向量的长度公式得：
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2．
例1
已知
a
(3,1),
b
(1,2)
求
a
b，a
，b
，〈a，b〉.
例4 已知 A(1， 2)，B(2， 3)，C(2,5). 求证：AB AC． 证明：因为
AB (2，3) (1，2) (1，1)， AC (2，5) (1，2) (3，3)， 可得 AB AC (1，1) (3，3) 0． 所以 AB AC．
b 〉
π
．
4
例2 已知 A(2， 4)，B(2， 3)，求 AB ．
解：由已知条件得 AB (2，3) (2， 4) (4，7)， 所以 AB (4)2 72 65．
例3 已知 A(1， 2)，B(3， 4)，C(5， 0). 求证：△ABC是等腰三角形． 证明：因为 AB (3 1，4 2) (2，2)， AC (5 1，0 2) (4， 2)， BC (5 3，0 4) (2， 4)， AC 42 (2)2 20，
向量
向量 向 量
7.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式
1由.已内知积非表零达向式量怎a样与求bc，o则s〈aa与, bb〉 的？内积表达式是怎样的？
a
b
a
b
cos〈a,
b〉
cos〈a,
b 〉
a
b
ab
2.
a
b
a
b
0
3.
a
e1
a1 b2e1
e2
a2b1 e2
e1
a2b2e2
e2．
因为
e1 e1
e2
e2
1
，e1
e2
e2
e1
0，
所以
a
b
a1b1
a2b2．
定理
在直角坐标平面 xoy内，e1，e2 为 x 轴，y 轴的基向量，
与
a
a有何关系？
a
a a
已知
b
e1
，e2是直角坐标平面上的基向量，a
(a1 ,
(b1 ,
b2
)，你能推导出
a
b 的坐标公式吗？
a2
)，
探究过程：
a b (a1e1 a2e2 ) (b1e1 b2e2 )
a1 b1 e1
解：由已知条件得
a
b
31
(1)
(2)
3
2
5，
a a a 3 3 (1) （1） 10，
b b b 11 (2) (2) 5．
因为
cos〈a,
b 〉
a b
a
b
5 10
5
2， 2
所以〈a,
1 ．已知 A(1， 2)，B(2， 3)，C(2， 5).
求证： BAC π
2
2．已知点P的横坐标是7，点P到点Ｎ(-1,5)的距离
等于10，求点P的坐标．
本节课我们主要学习了平面向量内积的坐标运算与距 离公式，常见的题型主要有：
1．直接用两向量的坐标计算内积； 2．根据向量的坐标求模； 3．根据两点的坐标求两点间的距离； 4．运用内积的性质判定两向量是否垂直．
a12 a2 2．
所以 a a12 a22．
向量的长度公式
定理
在直角坐标平面
a
(a1 ,
a2
)，b
内，e1 ，e2 为 (b1, b2 ) ，则
轴， 轴的基向量，
问题
a
b
a1b1
a2b2．
x
⑵ 如果 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，你能求出 AB
a
(a1 ,
a2
Fra Baidu bibliotek
)，b
(b1 ,
b2
)
，则
a
b
a1b1
a2b2．
推论
⑴ 两向量垂直的充要条件
向量内积的坐标
a
b
a1b1
a2b2
0．
运算公式
⑵ 两向量夹角余弦的计算公式
cos〈a,
b 〉
a b
ab
a1b1 a2b2
．
a12 a2 2 b12 b2 2
定理
在直角坐标平面
xoy内，e1
，e2
为
x
轴，y
轴的基向量，
a
(a1 ,
a2
)，b
(b1 ,
b2
)
，则
a
b
a1b1
a2b2．
问题
⑴ 若已知 a (a1, a2 )，你能用上面的定理求出 a吗？ 解：因为 a2 a a (a1，a2 ) (a1，a2 )
必做题：教材 P56 练习A 组第 1 题； 选做题：教材 P56 练习 B 组第 1题．
的长度吗？
解：因为
A( y
x1，y1
)，B(
x2，y2
)，
则 AB (x2 x1，y2 y1)． 两点间距离公式 由向量的长度公式得：
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2．
例1
已知
a
(3,1),
b
(1,2)
求
a
b，a
，b
，〈a，b〉.