仿射变换原理解析
第十五章 仿射变换
四、仿射变换在初等几何解题中的应用
例5：求椭圆的面积。 分析：椭圆是一个二次曲线，用初等几何和微积分的知识进行推导 比较繁琐。考虑到圆经过仿射变换对应一个椭圆，所以椭圆也可 以通过一个适当的仿射变换对应成一个圆。
解：在直角坐标系下，椭圆
x y 1 a 2 b2
2
2YΒιβλιοθήκη B’ B A O A’ X
第十五章 仿射变换
目录
仿射变换的定义 仿射变换的性质 仿射变换与初等几何的相关联系 仿射变换在初等几何解题中的应用 结束语
一、仿射变换的定义
定义：如果平面上的一个点变换，把共线的任意 三点变成共线的三点，并且保持三点的单比不 变，称这个点变换为仿射变换。
二、仿射变换的性质
1.仿射变换保持同素性:即仿射变换将点变成点, 直线变成直线. 2.仿射变换保持结合性:即仿射变换保持点与直线 的结合关系. 3.仿射变换将向量变成向量,且保持向量的线性关 系
三、仿射变换与初等几何的相关联系
变换群 几何学
射影群
射影几何
仿射群
仿射几何
正交群
欧式几何
四、仿射变换在初等几何解题中的应用
（一）平行投影 平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。 因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质， 解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平 行线段之比是仿射不变量。
四、仿射变换在初等几何解题中的应用
1 2
1 5
D F A
C
G E B
四、仿射变换在初等几何解题中的应用
（四）仿射变换在椭圆中的应用 例4：证明椭圆的外切三角形的顶点与对边上的 切点连线交于一点。 分析：此题是关于线共点的问题，由于椭圆的一 般性以及三角形的一般性，用初等几何比较难 入手，但可以用仿射几何的方法进行转化，变 成特殊的圆，以及正三角形来加以研究。
仿射变换原理解析
平移仿射变换涉及将图形在二维平面内沿某一方向进行移动，而不改变图形之 间的相对位置和形状。这种变换通常由一个平移矩阵表示，其中包含平移向量 和单位矩阵。平移向量决定了图形移动的距离和方向。
旋转仿射变换
总结词
旋转仿射变换是围绕某一点旋转图形，同时保持图形之间的相对位置和形状不变。
详细描述
旋转仿射变换涉及将图形围绕某一点进行旋转，同时保持图形之间的相对位置和形状不变。这种变换通常由一个 旋转矩阵表示，其中包含旋转角度和旋转中心点坐标。旋转角度决定了图形旋转的角度，而旋转中心点坐标决定 了旋转的基准点。
缩放仿射变换
总结词
缩放仿射变换是改变图形的大小，同时保持图形之间的相对位置和形状不变。
详细描述
缩放仿射变换涉及将图形的大小进行缩放，同时保持图形之间的相对位置和形状不变。这种变换通常 由一个缩放矩阵表示，其中包含缩放因子和缩放中心点坐标。缩放因子决定了图形缩放的程度，而缩 放中心点坐标决定了缩放的基准点。
03
图像校正
通过仿射变换，可以将倾 斜的图像进行校正，使其 恢复水平或垂直状态。
图像拼接
在图像拼接过程中，可以 使用仿射变换将多张图像 进行对齐，实现无缝拼接。
特征点匹配
通过仿射变换，可以将不 同视角下的图像进行对齐， 便于特征点匹配和计算。
计算机图形学中的仿射变换
3D模型渲染
在3D模型渲染过程中，可以使用 仿射变换对模型进行旋转、缩放 和平移等操作，以实现各种视觉
THANKS.
仿射变换的基本性质
仿射变换不改变图形间的相对 位置和大小关系，即保持平行 性和等比例性。
仿射变换可以分解为一系列基 本变换的组合，如平移、旋转、 缩放等。
仿射变换可以保持直线的性质， 如直线的平行性和垂直性。
圆锥曲线——仿射变换
仿射变换一、将坐标进行伸缩变换，实现化椭为圆b2仿射变换定理一：若经过椭圆的对称中心的直线构成的直径三角形，则两条弦的斜率乘积k AC-k BC=--a仿射变换定理二：-=-（拉伸短轴）；-=-（压缩长轴）.S b S a拉伸短轴后点的坐标变化：AO。
,％）T A’。
；。
,一%）,横坐标不变，纵坐标拉伸一倍.b b斜率的变化：如图纵坐标拉伸了色倍，故k'=-k,由于k.-k..=-l.b b AC BCb b b2bk AC'k BC=~k AC'^k BC=——，S徵BC=一、函毗/（水平宽不变，铅垂高缩小）•a a a a压缩长轴后点的坐标变化：A（x0,y0）A'（—x0,y0）,纵坐标不变，横坐标缩小'倍.a a斜率的变化：如图横坐标缩小了"倍，故k'=-k,由于k.-k RC.=-1.a b AC BCh h h ak AC，k BC=-k AC,-k BC=一~'S a ABC=检,，，（水平宽扩大，铅垂高不变）.a a a b例1（2013-新课标）椭圆C:j+：=l的左、右顶点分别为A、劣，点P在C上且直线必2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线F&斜率的取值范围是（）12~「°3"113,; B.; C.-,1; D.-,1_2'4__8'4_24例2（2016•北京）已知椭圆C:与+土=1过点A（2,0）,5（0,1）两点.a b（1）求椭圆。
的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆。
上，直线PA与y轴交于点M,直线P3与x轴交于点N,求证:四边形A3NM的面积为定值.22A7例3(2014•新课标I)已知点A(0-2),椭圆E:二+二=1(。
〉力〉0)离心率为匚，F是椭圆的右a b2焦点，直线AF的斜率为全3,。
为坐标原点.3(1)求E的方程;(2)设过点A的直线/与E相交于P、。
仿射变换opencv原理
仿射变换opencv原理什么是仿射变换？仿射变换是一种几何变换，它保持了平行的线段平行，并且保持线段之间的比率不变。
它是一种线性变换，由一个 2x3 的变换矩阵表示。
仿射变换的类型仿射变换有许多不同的类型，包括：平移：将图像沿水平或垂直方向移动。
缩放：按特定因子缩放图像。
旋转：将图像围绕固定点旋转。
剪切：将图像沿某一特定方向变形。
仿射变换在 OpenCV 中的实现OpenCV 提供了多种用于执行仿射变换的函数，包括：`warpAffine()`：应用仿射变换到图像。
`getAffineTransform()`：计算将一组点映射到另一组点的仿射变换矩阵。
`transform()`：应用仿射变换到点或点集。
使用 OpenCV 执行仿射变换的步骤要使用 OpenCV 执行仿射变换，需要遵循以下步骤：1. 计算仿射变换矩阵。
2. 创建一个目标图像，用于存储变换后的图像。
3. 调用 `warpAffine()` 函数应用仿射变换。
示例代码以下示例代码演示了如何使用 OpenCV 缩放图像：```pythonimport cv2# 读取图像image = cv2.imread('image.jpg')# 计算缩放矩阵scale_factor = 2.0scale_matrix =cv2.getScaleAffineTransform(image.shape[:2], scale_factor) # 创建目标图像scaled_image = cv2.warpAffine(image, scale_matrix, (int(image.shape[1] scale_factor), int(image.shape[0] scale_factor)))# 显示缩放后的图像cv2.imshow('Scaled Image', scaled_image)cv2.waitKey(0)cv2.destroyAllWindows()```仿射变换的应用仿射变换在图像处理和计算机视觉中有着广泛的应用，包括：图像配准和拼接透视校正对象检测和跟踪图像增强。
仿射变换原理解析
换旳定义有
| AB | | BC || AC | | A' B ' | | B 'C ' || A'C ' | .
即A', B', C'依然为共线三点且B'在A', C'之间. 若A, B, C不共线, 则必有
定理 仿射变换是双射.设A表达平面上全体仿射变换旳集合. 则有
(1) , A, 有A.
(2) 恒同变换iA.
(3) S, 存在1A, 满足11i.
上述性质使得A对于变换旳乘法构成一种群, 叫做仿射变换群. 而 且MSA.
仿射变换
3. 仿射坐标系
定义 设在平面上取定一点O和以O为起点旳两个线性无关向
量ex, ey, 则由此构成平面上一种仿射坐标系(或仿射坐标架), 记作 O-exey. 平面上任一点P旳仿射坐标(x, y)由下式唯一拟定,
x
OPx OEx
(Px ExO)
y
OPy OEy
(Py EyO)
OP xex yey.
反之, 对任意给定旳有序实数偶(x, y), 由 (1.12)式可唯一拟定仿射平面上旳一种点 具有坐标(x, y). 建立了仿射坐标系旳平面 称为仿射平面, ex, ey称为基向量.
(1.10)
则称为上旳一种以k为相同比旳相同变换.
注. 相同变换旳基本性质 (1) 保持共线三点旳简朴比不变. (2) 使得任意图形变成其相同图形; 使平 行直线变为平行直线. (3) 保持任意两条线段旳比值不变. 从而 保持两直线夹角不变. (4) 正交变换、位似变换都是其特例.
halcon中的仿射变换逆变换
一、简介Halcon是一种功能强大的机器视觉软件，广泛应用于工业自动化、医疗影像、安防监控等领域。
在Halcon中，仿射变换是一种常见的图像处理技术，用于实现图像的旋转、缩放、平移等操作。
二、仿射变换的基本原理1. 仿射变换是一种线性变换，可以通过矩阵运算来描述。
给定一个二维坐标系下的点P(x, y)，经过仿射变换后，其坐标变为P'(x', y')，可以表示为：x' = a*x + b*y + cy' = d*x + e*y + f其中a、b、d、e为线性变换矩阵的元素，c、f为平移向量的偏移量。
2. 仿射变换可以实现图像的平移、旋转、缩放、错切等操作，是图像处理中常用的技术之一。
三、 Halcon中的仿射变换1. 在Halcon中，可以通过使用affine_trans_image函数来实现图像的仿射变换。
该函数接受输入图像、变换矩阵以及插值方式等参数，可以对图像进行指定的仿射变换操作。
2. 通过设置不同的变换矩阵，可以实现图像的不同变换效果。
通过调整平移向量的偏移量，可以实现图像的平移操作；通过调整线性变换矩阵的元素，可以实现图像的旋转、缩放等操作。
3. Halcon还提供了inverse_affine_trans_image函数，用于实现仿射变换的逆变换操作。
通过逆变换，可以将经过仿射变换后的图像还原到原始状态，实现图像的修正和恢复。
四、仿射变换在机器视觉中的应用1. 仿射变换在机器视觉中具有重要的应用价值。
在工业自动化领域，通过对图像进行仿射变换，可以实现对产品进行检测、定位和识别；在医疗影像领域，可以通过仿射变换对医学图像进行修正和分析；在安防监控领域，可以实现对监控图像的处理和分析等。
2. 通过使用Halcon中的仿射变换技术，可以实现对图像的精准操作和处理，为机器视觉系统的性能和效果提供有力支持。
五、总结1. 仿射变换是图像处理领域常用的技术之一，通过线性变换和平移操作，可以实现图像的平移、旋转、缩放等操作。
仿射变换原理
仿射变换原理仿射变换是一种将图像进行几何变换的方法，它可以在不改变图像形状的情况下对其进行平移、旋转、缩放和倾斜等变换。
仿射变换的原理是通过对图像进行线性变换和平移变换来实现图像的变换。
线性变换是指将图像中的每一个像素点都进行一定的数学运算，从而对图像进行变换。
常见的线性变换有平移、旋转、缩放和剪切等。
平移变换是指将图像沿着某一方向平移一定的距离，旋转变换是指将图像绕着某一点旋转一定的角度，缩放变换是指将图像按比例缩小或放大，剪切变换是指将图像进行斜切变换。
平移变换可以通过对图像的坐标进行平移来实现。
例如，将图像沿着x轴平移dx个单位，y轴平移dy个单位，可以通过对每一个像素点的坐标进行修改来实现。
具体地，对于一个坐标为(x, y)的像素点，进行平移变换后的坐标为(x+dx, y+dy)。
旋转变换可以通过对图像的坐标进行旋转来实现。
例如，将图像绕着某一点(x0, y0)旋转θ度，可以通过先将图像沿着(x0, y0)平移，然后对每一个像素点的坐标进行旋转，最后再将图像沿着(-x0, -y0)平移回原来的位置来实现。
具体地，对于一个坐标为(x, y)的像素点，进行旋转变换后的坐标为：x' = (x - x0)cosθ - (y - y0)sinθ + x0y' = (x - x0)sinθ + (y - y0)cosθ + y0缩放变换可以通过对图像的坐标进行缩放来实现。
例如，将图像按照x轴和y轴分别缩放sx和sy倍，可以通过对每一个像素点的坐标进行修改来实现。
具体地，对于一个坐标为(x, y)的像素点，进行缩放变换后的坐标为(sx*x, sy*y)。
剪切变换可以通过对图像的坐标进行剪切来实现。
例如，将图像在x轴和y轴方向上分别剪切tx和ty个单位，可以通过对每一个像素点的坐标进行修改来实现。
具体地，对于一个坐标为(x, y)的像素点，进行剪切变换后的坐标为(x+tx*y, y+ty*x)。
仿射变换参数
仿射变换参数仿射变换是计算机视觉、图像处理领域中常见的一种变换方式，被广泛应用于图像处理、图像识别、图像匹配、地理信息系统等领域。
本文将为你介绍仿射变换的参数以及其在实际应用中的针对性解决方案。
一、仿射变换的基本概念及作用原理仿射变换是指在平面上将一个几何图形通过平移、旋转、缩放、剪切等基本变换得到的一类变换。
它是一种线性变换，可以用一个矩阵来进行表示。
最常用的形式是2×3矩阵，也可以使用3×3矩阵来表示，其中后者可以表达更加复杂的变换方式。
仿射变换可以实现的功能：1、图像平移。
通过平移参数来控制图像在平面上的位置移动，实现图像的整体移动。
2、图像旋转。
通过旋转参数来控制图像在平面上的角度变化，实现图像的旋转效果。
3、图像缩放。
通过缩放参数来控制图像在平面上的大小变化，实现图像的放大/缩小效果。
4、图像翻转。
通过矩阵的特定变换方式，实现图像的镜像翻转效果。
二、仿射变换的参数及其应用1、平移参数平移参数主要用于控制图像在平面上沿x轴和y轴方向的移动，以实现图像的整体平移。
在实际应用中，平移参数的设置主要用于图像对齐、图像合成等领域，通过调整平移参数可以将不同图像在平面上对齐，从而实现图像的叠加、合成等效果。
2、旋转参数旋转参数主要用于控制图像在平面上的旋转角度，以实现图像的旋转效果。
在实际应用中，旋转参数的设置主要用于图像匹配、图像识别等领域，通过调整旋转参数可以使不同角度的图像相对应，从而实现图像的识别、匹配等功能。
3、缩放参数缩放参数主要用于控制图像在平面上的大小变化，以实现图像的放大/缩小效果。
在实际应用中，缩放参数的设置主要用于图像处理、图像分析领域，通过调整缩放参数可以对图像大小、像素密度等进行控制，从而实现对图像的高清还原、分析等效果。
4、剪切参数剪切参数主要用于控制图像在平面上的拉伸效果，以实现图像的拉伸、扭曲等效果。
在实际应用中，剪切参数的设置主要用于图像处理、图像修复等领域，通过调整剪切参数可以对损坏、变形的图像进行修复，从而实现图像的还原、修复等效果。
仿射变换详解warpAffine
仿射变换详解warpAffine今天遇到一个问题是关于仿射变换的，但是由于没有将仿射变换的具体原理型明白，看别人的代码看的很费解，最后终于在师兄的帮助下将原理弄明白了，我觉得最重要的是理解仿射变换可以看成是几种简单变换的复合实现，具体实现形式即将几种简单变换的变换矩阵M相乘，这样就很容易理解啦定义：仿射变换的功能是从二维坐标到二维坐标之间的线性变换，且保持二维图形的“平直性”和“平行性”。
仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括平移，缩放，翻转，旋转和剪切。
这类变换可以用一个3*3的矩阵M来表示，其最后一行为（0，0，1）。
该变换矩阵将原坐标为（x,y)变换为新坐标（x',y')，即OpenCV中相应的函数是：void warpAffine(InputArray src, OutputArray dst, InputArray M, Size dsize,int flags=INTER_LINEAR, int borderMode=BORDER_CONSTANT, constScalar& borderValue=Scalar())¶Parameters:∙src –input image.∙dst –output image that has the size dsize and the same type as src .∙M – transformation matrix，最重要的东东了，本文中着重讲M的构造∙dsize –size of the output image.ansformation ( ).∙borderMode – pixel extrapolation method (see borderInterpolate()); when borderM ode=BORDER_TRANSPARENT , it means that the pixels in the destination image correspon ding to the “outliers” in the source image are not modifi ed by the function.∙borderValue –value used in case of a constant border; by default, it is 0.下面介绍一些典型的仿射变换：（1）平移，将每一点移到到（x+t , y+t)，变换矩阵为(2)缩放变换将每一点的横坐标放大或缩小s x倍，纵坐标放大（缩小）到s y倍，变换矩阵为（3）旋转变换原点：目标图形围绕原点顺时针旋转Θ 弧度，变换矩阵为(4) 旋转变换：目标图形以（x , y ）为轴心顺时针旋转θ弧度，变换矩阵为相当于两次平移与一次原点旋转变换的复合，即先将轴心（x,y)移到到原点，然后做旋转变换，最后将图片的左上角置为图片的原点,即有的人可能会说为什么这么复杂呢，那是因为在opencv的图像处理中，所有对图像的处理都是从原点进行的，而图像的原点默认为图像的左上角，而我们对图像作旋转处理时一般以图像的中点为轴心，因此就需要做如下处理如果你觉得这样很麻烦，可以使用opencv中自带的Mat getRotationMatrix2D(Point2f center, double angle, double scale)函数获得变换矩阵M，center:旋转中心angle：旋转弧度，一定要将角度转换成弧度scale:缩放尺度它得到的矩阵是：其中α = scale * cos( angle ) , β = scale* sing( angle ) , ( center.x , center.y ) 表示旋转轴心但是不得不说opencv的文档以及相关书籍中都把这个矩阵写错了，如下：建议大家自己通过下式验证一下，即首先将轴心(x,y)移到原点，然后做旋转平绽放变换，最后再将图像的左上角转换为原点没有去研究该函数的源码，不晓得源码中到底怎么写的，但是在别人的博客中看到这个函数貌似需要修正opencv中还有一个函数：Mat getAffineTransform(InputArray src, InputArray dst)¶它通过三组点对就可以获得它们之间的仿射变换，如果我们在一组图像变换中知道变换后的三组点，那么我们就可以利用该函数求得变换矩阵，然后对整张图片进行仿射变换还有一种与仿射变换经常混淆的变换为透视变换，透视变换需要四组点对才能确定变换矩阵，由于仿射变换保持“平直性”与“平行性”，因此只需要三组点对，而透视变换没有这种约束，故需要四组点对warpPerspective函数主要作用：对图像进行透视变换，就是变形函数的调用形式：C++:void warpPerspective(InputArray src, OutputArray dst, InputArray M, Size dsize,int flags=INTER_LINEAR, int borderMode=BORDER_CONSTANT, constScalar& borderValue=Scalar())参数详解：InputArray src：输入的图像OutputArray dst：输出的图像InputArray M：透视变换的矩阵Size dsize：输出图像的大小int flags=INTER_LINEAR：输出图像的插值方法，combination of interpolation methods (INTER_LINEAR or INTER_NEAREST) and the optionalflag WARP_INVERSE_MAP, that sets M as the inverse transformation ( )int borderMode=BORDER_CONSTANT：图像边界的处理方式const Scalar& borderValue=Scalar()：边界的颜色设置，一般默认是0函数原理：透视变换(Perspective Transformation)是将图片投影到一个新的视平面(Viewing Plane)，也称作投影映射(Projective Mapping)。
仿射变换原理解析
仿射变换原理解析仿射变换是一种常用的几何变换方法，它可以对图像进行平移、旋转、缩放、错切等操作。
在计算机图形学和计算机视觉中，仿射变换被广泛应用于图像配准、图像纠正、图像合成等领域。
仿射变换的原理可通过矩阵运算来表示。
一个二维平面上的点P(x,y)，经过仿射变换后的坐标P'(x',y')可以表示为：[x'][abc][x][y']=[def]*[y][1][001][1]其中，a、b、c、d、e、f为变换矩阵的参数，称为仿射变换的系数。
通过改变这些参数的值，可以实现不同的仿射变换效果。
1.平移变换平移变换是将图像在平面上按照一定的平移向量进行移动。
平移变换的变换矩阵为：[1 0 tx][0 1 ty][001]其中，tx和ty分别表示在x轴和y轴方向上的平移量。
平移变换的效果是保持图像的大小、形状和方向不变，只是改变了图像的位置。
2.旋转变换旋转变换是将图像绕着一个固定点旋转一定角度。
旋转变换的变换矩阵为：[cosθ -sinθ 0][sinθ cosθ 0][001]其中，θ为旋转角度。
旋转变换的效果是改变图像的方向和位置，但保持了图像的大小和形状不变。
3.缩放变换缩放变换是改变图像的大小。
缩放变换的变换矩阵为：[sx 0 0][ 0 sy 0][001]其中，sx和sy分别表示在x轴和y轴方向上的缩放比例。
当sx和sy大于1时，图像会放大；当sx和sy小于1时，图像会缩小。
缩放变换可以同时改变图像的大小和形状。
4.错切变换错切变换是将图像在平面上按照一定的角度进行倾斜。
错切变换的变换矩阵为：[1 shx 0][shy 1 0][001]其中，shx和shy分别表示在x轴和y轴方向上的错切值。
错切变换的效果是改变图像的形状，但保持了图像的大小和方向不变。
总结来说，仿射变换可以通过矩阵运算来实现常见的平移、旋转、缩放和错切等几何操作。
它通过改变变换矩阵的参数，可以灵活地控制图像的各种变换效果。
仿射变换的原理及其误差纠正的方法
仿射变换的原理及其误差纠正的方法仿射变换是计算机视觉和图形处理领域中常用的一种变换方法，可以对图像进行平移、缩放、旋转和倾斜等操作。
在实际应用中，由于图像采集设备的误差和图像本身的畸变等因素，会导致仿射变换后的图像出现误差。
本文将介绍仿射变换的原理以及常见的误差纠正方法。
一、仿射变换的原理仿射变换是一种线性变换，它可以用矩阵相乘的形式表示。
给定一个二维坐标系上的点P(x, y)，经过仿射变换后的新点P'(x', y')可以表示为：\[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1\end{bmatrix} \]矩阵\[ \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]表示了仿射变换的矩阵形式。
矩阵中的a、b、c、d、e、f分别代表了平移、缩放、旋转和倾斜的参数，通过调整这些参数可以实现对图像的各种变换。
二、误差纠正方法1. 直线误差纠正在进行仿射变换后，原本在图像上的直线可能会出现畸变，呈现为曲线或者扭曲。
为了纠正这种误差，可以利用直线的特性来进行纠正。
通过检测图像中的直线，并计算仿射变换后的直线方程，然后通过调整变换矩阵的参数来使得变换后的直线更接近于真实的直线，从而达到误差纠正的目的。
2. 四边形畸变校正在仿射变换中，四边形可能会出现形变或者畸变的情况，这时需要对四边形进行畸变校正。
一种常见的方法是通过寻找四边形的内部特征点，利用这些特征点来计算仿射变换的变换矩阵，然后对四边形进行变换，使得畸变被纠正。
opencv仿射变换原理
opencv仿射变换原理
OpenCV仿射变换原理是基于矩阵变换的图像处理技术，通过变换矩阵对原始图像进行几何变换和透视变换，实现图像的旋转、缩放、
平移、翻转等操作。
本文将分步骤阐述OpenCV仿射变换原理。
一、导入OpenCV库
在进行OpenCV实现仿射变换之前，首先需要导入OpenCV库，并
进行相关设定。
二、加载原始图像
加载原始图像是进行仿射变换的第一步，可以使用OpenCV中的
cv2.imread()函数读取本地图像，并使用cv2.imshow()函数将图像显
示在屏幕上。
三、确定仿射变换矩阵
在进行仿射变换前，需要准确地确定变换矩阵。
可以通过OpenCV 中的cv2.getAffineTransform()函数生成仿射变换矩阵，该函数需要
输入三个点的坐标，分别为原始图像和目标图像的对应点。
四、进行仿射变换
在确定变换矩阵后，就可以对原始图像进行仿射变换了。
可以使
用OpenCV中的cv2.warpAffine()函数进行仿射变换，该函数需要输入原始图像、仿射变换矩阵以及输出图像的尺寸，最终生成变换后的图像。
五、显示变换后的图像
完成仿射变换后，需要使用cv2.imshow()函数将变换后的图像显示在屏幕上，并使用cv2.waitKye()函数等待用户对图像进行操作。
综上所述，OpenCV仿射变换原理是基于仿射变换矩阵对原始图像进行几何变换和透视变换，实现图像的旋转、缩放、平移、翻转等操作。
通过使用OpenCV库的相关函数，可以轻松地实现仿射变换，并对
图像进行精细调整，为图像处理和计算机视觉领域提供了便捷的工具。
halcon仿射变换原理_概述及解释说明
halcon仿射变换原理概述及解释说明1. 引言1.1 概述Halcon是一款图像处理软件，广泛应用于工业检测、医学影像和机器视觉等领域。
其中的仿射变换功能作为一项重要的图像处理技术，在图像配准、几何校正和变形分析等方面具有广泛的应用。
本文旨在对Halcon中的仿射变换原理进行概述和解释说明，以便读者能够深入了解该技术的基本原理和实现方法。
同时，通过介绍一些典型的应用案例，展示仿射变换在不同领域中的实际应用效果。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、Halcon仿射变换原理、概述及解释说明、实例演示和应用案例以及结论与展望。
具体内容安排如下：- 引言部分主要介绍文章的目标和整体框架，给读者一个对全文内容的初步了解。
- Halcon仿射变换原理部分将介绍仿射变换的定义、基本原理以及在Halcon 中的相关函数。
- 概述及解释说明部分将详细讨论为什么需要使用仿射变换、常见应用场景以及实现步骤和方法介绍。
- 实例演示和应用案例部分将通过具体的示例说明仿射变换在图像配准、图像缩放平移旋转等操作中的应用效果。
- 结论与展望部分将对Halcon仿射变换原理进行总结评价，并提出可能存在的问题和未来研究方向的建议。
1.3 目的本文旨在阐述Halcon仿射变换原理，帮助读者了解基本原理并学会应用该技术。
通过实际案例和应用场景的介绍，读者可以更好地了解仿射变换在不同领域中的重要性和实际价值。
同时，本文也为进一步研究和探索Halcon中其他图像处理功能提供了参考。
2. Halcon仿射变换原理2.1 什么是仿射变换在计算机视觉领域中，仿射变换指的是将一个图像或物体从一个坐标系统转换到另一个坐标系统的数学过程。
它是一种线性变换，可以进行平移、旋转、缩放和剪切等操作，保持了直线的平行性和长度之比的不变性。
2.2 仿射变换的基本原理Halcon中的仿射变换基于齐次坐标系和矩阵运算来实现。
在二维空间中，通过定义一个3×3的仿射矩阵来描述二维坐标之间的映射关系。
仿射变换 白平衡和曝光补偿
仿射变换、白平衡和曝光补偿1. 介绍在数字图像处理中，仿射变换、白平衡和曝光补偿是常用的图像处理技术。
它们可以用于改善图像的质量、调整图像的颜色和亮度等。
本文将详细介绍这三种技术的原理、应用场景以及实现方法。
2. 仿射变换2.1 原理仿射变换是一种线性变换，它可以通过矩阵运算来描述。
在二维空间中，一个点经过仿射变换后的坐标可以表示为：[x', y'] = [a b] * [x] + [c][d e] [y] [f]其中，[a b d e]是一个2x2的矩阵，称为仿射矩阵；[c f]是一个2x1的向量，表示平移操作。
2.2 应用场景•图像旋转：通过设置合适的旋转角度来实现对图像进行旋转操作。
•图像缩放：通过设置缩放因子来控制图像的缩放比例。
•图像平移：通过设置平移距离来实现对图像的平移操作。
•图像翻转：通过设置翻转方向来实现对图像的翻转操作。
2.3 实现方法在实际应用中，可以使用图像处理库如OpenCV来实现仿射变换。
以下是一个使用OpenCV进行仿射变换的示例代码：import cv2import numpy as np# 读取图像image = cv2.imread('input.jpg')# 定义仿射矩阵和平移向量matrix = np.float32([[1, 0, 0], [0, 1, 0]])translation = np.float32([100, 100])# 进行仿射变换output = cv2.warpAffine(image, matrix, (image.shape[1], image.shape[0]), translation)# 显示结果cv2.imshow('Output', output)cv2.waitKey(0)cv2.destroyAllWindows()3. 白平衡3.1 原理白平衡是一种调整图像颜色温度的技术，它可以使图像中的白色区域看起来真正的白色。
仿射变换 python
仿射变换 Python1. 介绍仿射变换是一种在几何学中常见的变换方式，它可以通过线性变换和平移来改变图像的位置、大小和形状。
在计算机视觉和图像处理领域，仿射变换经常用于图像的旋转、缩放、平移和翻转等操作。
Python是一种强大的编程语言，因其简洁易读的语法和丰富的库支持而广泛应用于图像处理和计算机视觉任务。
Python提供了许多库，如OpenCV和PIL，可以方便地实现图像的仿射变换。
本文将介绍如何使用Python实现仿射变换，并提供详细的代码示例和解释。
2. 仿射变换的基本原理仿射变换是通过矩阵运算来实现的。
对于一个二维平面上的点P(x, y)，它经过仿射变换后的新坐标P’(x’, y’)可以通过以下矩阵运算得到：[x'] [a b c] [x][y'] = [d e f] * [y][1 ] [0 0 1] [1]其中，矩阵[a b c]表示线性变换，而矩阵[d e f]表示平移。
通过调整矩阵中的参数，可以实现不同的仿射变换效果。
常见的仿射变换包括：•平移：通过调整平移矩阵的参数实现图像在水平和垂直方向上的平移。
•缩放：通过调整线性变换矩阵的参数实现图像的放大或缩小。
•旋转：通过调整线性变换矩阵的参数实现图像的旋转。
•翻转：通过调整线性变换矩阵的参数实现图像的水平或垂直翻转。
3. 使用OpenCV实现仿射变换OpenCV是一个开源的计算机视觉库，提供了丰富的图像处理和计算机视觉算法。
下面是使用OpenCV实现仿射变换的步骤：3.1 安装OpenCV首先，需要安装OpenCV库。
可以使用以下命令在Python环境中安装OpenCV：pip install opencv-python3.2 加载图像在进行仿射变换之前，需要加载待处理的图像。
可以使用cv2.imread()函数加载图像文件，如下所示：import cv2image = cv2.imread('image.jpg')3.3 定义仿射变换矩阵接下来，需要定义仿射变换矩阵。
仿射变换的原理和应用
仿射变换的原理和应用1. 什么是仿射变换？仿射变换是一个基本的几何变换，它保持了直线的平行性，并保持了直线上的点的比例关系。
简单来说，仿射变换是将原始图像的点映射到新的位置，同时保持了原始图像上点之间的平行性、直线性和相对位置关系。
仿射变换包括了平移、旋转、缩放、反射和错切等操作。
2. 仿射变换的原理仿射变换的原理基于线性代数和矩阵运算。
对于2D图像，仿射变换可以用一个2x3的矩阵来表示。
假设原始图像上的点为P = (x, y)，经过仿射变换后的点为P’ = (x’, y’)，那么可以通过以下公式计算P’的坐标：[x', y'] = [[a, b, tx], [c, d, ty]] * [x, y, 1]其中，a、b、c、d分别为缩放和旋转参数，tx和ty为平移参数。
对于3D图像，仿射变换可以用一个3x4的矩阵来表示。
3. 仿射变换的应用3.1 图像处理仿射变换在图像处理中有广泛的应用。
通过对图像进行平移、旋转、缩放、镜像等操作，可以实现图像的纠正、修复、变形和增强等功能。
例如，将一个倾斜的图像进行仿射变换，可以使其恢复到正常状态；通过对图像进行缩放、旋转和平移等操作，可以实现图像的放大、旋转和移动。
3.2 计算机视觉仿射变换在计算机视觉领域也有广泛的应用。
例如，通过对图像进行仿射变换，可以实现人脸识别中的人脸对齐；通过对图像进行旋转和平移等操作，可以实现目标跟踪中的目标定位和位置估计。
3.3 计算机图形学仿射变换在计算机图形学中也是一项重要的技术。
通过对图形进行仿射变换，可以实现图形的变形、平滑和动画效果等。
例如，通过对2D图形进行仿射变换，可以实现图形的旋转、缩放和平移等效果；通过对3D模型进行仿射变换，可以实现物体的变形和动画效果。
4. 仿射变换的优缺点4.1 优点仿射变换是一种简单而强大的几何变换方法。
它可以保持图像的直线性、平行性和相对位置关系，同时可以灵活地对图像进行变形、修复和增强。
仿射变换
第2章 仿射变换2．1 平行射影 知识点解析平行射影：对应点之间的连线互相平行．平行射影与方向有关，方向变了，就得出了另外的透视仿射． 仿射对应：有限次平行射影的复合就是一个仿射对应． 仿射变换：平面π到自身的仿射对应，称为仿射变换．平行射影把点映成点，把直线映成直线，这叫做平行射影的保持同素性． 点与线的结合性质在平行射影下保持不变．仿射对应也保持同素性与结合性．即，仿射对应把点映成点，把直线映成直线．若A 在a 上，则A '在a '上．注意：仿射对应不一定是平行射影，即，原象点与象点之间的连线不一定平行，反过来，平行射影一定是仿射对应．解题指导 练习２－１１． 试举例说明在一般仿射对应下，二直线上的对应点的连线不一定是平行的． 解 设1T 为1a 到2a 的平行射影，2T 为2a 到3a 的平行射影，取3a 为1A 到2A 的延长线，取2A 与3A 重合，显 然，在1a 到3a 的仿射对应3112:a a T T →下，直线1a 和3a 上 的对应点的连线31A A 和31B B 不平行．２．在仿射对应下，若对应点之间连线相互平行，试问仿射对应是不是平行射影？ 解 由平行射影定义，对应点之间的连线平行于已知直线l ，即与方向l 平行，又因为对应点之间的连线平行，所以，对应点之间的连线都平行于方向l ，因此，是平行射影．３．在仿射对应下，圆的象是什么？ 解 椭圆．２．２ 仿射不变性与不变量1A 2A 3A 1a 2a 3a 1B2B 3B 题图第1经过平行射影不改变的性质和数，叫做仿射不变性质和仿射不变量． 经过仿射对应，它们也是不变的． 同素性和结合性都是仿射不变性质． 仿射对应把共点的线变成共点的线． 仿射对应把共线的点变成共线的点．定理２．１ 二直线间的平行性是仿射不变性质．即，两条平行直线经过仿射对应后仍然是平行直线．推论２．２ 平行四边形在仿射对应下还是平行四边形．即，平行四边形经过仿射对应后仍然是平行四边形．定义２．１ 简比（单比）．BCACABC =）（ 有向线段的数量之比． （１） 当C 在A ，B 之间时，0)(<ABC ； （２） 当C 在A ，B 之外时，0)(>ABC ； （３） 当A C =时，0)(=ABC ； （４） 当B C =时，∞=)(ABC ．定理２．３ 共线三点的简比是仿射不变量．即，共线三点的简比在仿射对应下不变．定理２．４ 两条平行线段的比是仿射不变量．即，两条平行线段的比在仿射对应下不变．定理２．５ 直线上两条线段的比是仿射不变量．即直线上两条线段的比在仿射对应下不变．注意：一般地，任意两条线段的比，不是仿射不变量．即，如果两条线段不平行，则它们的比在仿射对应下会改变．定理２．７ 在仿射对应下，任何一对对应三角形面积之比等于常数．即，任意两个三角形面积之比是仿射不变量．推论２．８ 任意两个多边形面积之比是仿射不变量．因此，任意两个图形面积之比是仿射不变量．A B C图定义1.2补充题 证明定理２．５ 直线上两条线段的比是仿射不变量．证明 如图，DC D A CD AD ''''=， 其中 CD CD BC AB CD AD ++=11+''''+=++=D C C B CD AB CD BC CD AB 1+''''+''''=''''+''+''=''''D C C B D C B A D C D C C B B A D C D A所以D C B A CD AB ''''=． 练习２－２１．证明：三角形的重心具有仿射不变性．解 因为共线三点的简比具有仿射不变性，所以，仿射对应把三角形中点变成中点；同素性和结合性都是仿射不变性质，仿射对应把共点的线变成共点的线，仿射对应把共线的点变成共线的点，所以，仿射对应把三角形的重心变成三角形重心．２．证明：平行四边形的重心具有仿射不变性． 解 同第１题．３．证明：梯形在仿射对应下仍为梯形．解 因为二直线的平行性是仿射不变性，所以，仿射对应把梯形的上下底变成梯形的上下底，因此，梯形在仿射变换下仍然变成梯形．４．证明：任意两个多边形面积之比是仿射不变量．解 将多边形划分成n 个三角形1S ，Λ,2S ，n S ，对应的划分得到对应的三角形1S '，Λ,2S '，n S '，由定理２．７，在仿射对应下，任何一对对应三角形面积之比等于常数．即，任意两个三角形面积之比是仿射不变量，所以有k S S S S S S nn ='=='='Λ2211，于是)(212121n n n S S S k S k S k S k S S S '++'+'='++'+'=+++ΛΛΛ 即k S S S S S S n n='++'+'+++ΛΛ2121A B C DA 'B 'C 'D '补充题图所以，任意两个多边形面积之比是仿射不变量．５．已知平面上的一条定直线l ，P 为平面上的任意一点，P 点的对应点P '是点P 关于直线l 的对称点，这种变换称为反射变换，定直线叫做它的轴．试证明：反射变换是仿射变换．解 因为平面上关于反射轴的对称点是唯一确定的，反射变换是平面到自身内的一一对应，所以，由仿射变换的定义，反射变换是仿射变换．２．３ 仿射变换的代数表达式知识点解析定理2．9 在仿射坐标系下，设共线三点A ，B ，C 的坐标为),(11y x ，),(22y x ，),(33y x ，则三点的交比为23132313)(y y y y x x x x BC AC ABC --=--==定理2．１０ 不共线的三对对应点决定唯一一个仿射变换．（见习题２－３第４题）． 解题指导 练习２－３１．在仿射坐标系下，证明直线的方程是一次方程． 证明 ［关键］ 利用仿射变换的式 ⎩⎨⎧++='++='ya x ab y ya x a a x 22211211［技巧］设直线方程b x k y '+'='，将仿射变换代入． 这时，得b y a x a a k y a x a b '+++=++)(12112221 整理得122212222111ka a b b ka x ka a a ka y -'+-+--=可见，仍为直线方程，即一次方程．２．求使三点)0,0(，)1,1(，)1,1(-的对应点分别为)3,2(，)5,2(，)7,3(-的仿射变换式．解 ［关键］ 将每对对应点分别代入仿射变换公式⎩⎨⎧++='++='y a x a b y ya x a a x 22211211 ［注意］ 仿射变换把点),(y x 变成),(y x ''时，有⎩⎨⎧++='++='ya x ab y ya x a a x 22211211 将每对对应点分别代入仿射变换公式⎩⎨⎧++='++='y a x a b y ya x a a x 22211211 得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+=--+=++=++===2221121122211211735232a a b a a a a a b a a a b a解得⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-====6214213222122111a a a a b a代入仿射变换式，得所求的仿射变换式⎪⎩⎪⎨⎧+-='-+='yx y yx x 64321212３．利用仿射变换的表达式证明：直线上三点的简比是仿射不变量． 证明 ［关键］ 利用仿射变换的式⎩⎨⎧++='++='ya x ab y ya x a a x 22211211设三点),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C 在仿射变换下分别变成),(11y x A '''，),(22y x B '''，),(33y x C '''，代入仿射变换式 ⎩⎨⎧++='++='ya x ab y ya x a a x 22211211 得322321322222121221211312311321221121121111y a x a b y y a x a b y y a x a b y y a x a a x y a x a a x y a x a a x ++='++='++='++='++='++='于是)()()()(23122311131213112313y y a x x a y y a x x a x x x x -+--+-='-''-' （*） 由定理２．９，k x x x x y y y y =--=--23132313即，)(2313y y k y y -=-，)(2313x x k x x -=-，代入（*）式得k y y a x x a y y k a x x k a x x x x =-+--+-='-''-')()()()(23122311231223112313同理k y y a x x a y y k a x x k a y y y y =-+--+-='-''-')()()()(23222321232223212313所以23132313x x x x y y y y '-''-'='-''-'即，直线上三点的简比是仿射不变量．４．利用解析方法证明：不共线的三对对应点决定一个仿射变换．证明 ［关键］ 利用仿射变换的式⎩⎨⎧++='++='ya x ab y ya x a a x 22211211设不共线的三点),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C 在仿射变换下分别变成),(11y x A '''，),(22y x B '''，),(33y x C '''，代入仿射变换式 ⎩⎨⎧++='++='ya x ab y y a x a a x 22211211 得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++='++='++='++='++='++='322321331231132222212212211212212111121111y a x a b y y a x a a x y a x a b y y a x a a x ya x ab y y a x a a x 注意：三对对应点的坐标为已知数，a ，b ，11a ，12a ，21a ，22a 为未知数，写成矩阵形式为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡''''''2221121133332222111133221110000011000000110000001a a b a a a y x y x y x y x y x y x y x y x y x 记作AX b =计算得212131312)])(())([(y y x x y y x x A ------= 这里0≠A ，因为如果0=A ，则0))(())((12131312=-----y y x x y y x x即12131213x x x x y y y y --=--这时),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C 三点共线，与已知这三点不共线矛盾． 所以0≠A ．于是，方程组AX b =有唯一解．即，不共线三对对应点决定一个仿射变换．５．利用仿射变换导出椭圆12222=+by a x 的面积公式． 解 仿射变换把圆变成椭圆． 如图．由推论２．８，任意两个 图形面积的比是仿射不变量，有C B A ABCS S S S '''∆∆=椭圆圆b a rr S r ⋅⋅⋅⋅=2212212椭圆π于是ab S π=椭圆．２．４ 仿射变换的特例知识点解析 １． 平移变换把点),(y x P 平移到点),(y x Q ''，坐标关系式为⎩⎨⎧+='+='b y y ax x 平移变换保持线段的长度不变． ２．旋转变换以原点)0,0(O 为旋转中心，旋转角为θ，点),(y x P 旋转后变成),(y x P '''，坐标关系题图第5式为⎩⎨⎧+='-='θθθθcos sin sin cos y x y y x x其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=θθθθcos sin sin cos A满足I A A A A ='='，即，A 为正交矩阵． ３． 反射变换在平面上取一定直线l ，使平面上的点P 对应到它关于直线l 的对称点P '，这样的变换叫做反射变换．直线l 上的点都是自对称点，称为反射变换的不动点． 直线l 称为反射对称轴． 坐标关系式为⎩⎨⎧-='='yy xx４．位似变换在平面上取一定点O 和一个非０常数k ，使O 对应自己，其它的点P 对应P '，三点O ，P ，P '在一条直线上，简比为k P OP =')(，⎩⎨⎧='='kyy kxx位似变换把直线变成与之平行的直线，把图形变成相似形． 解题指导 练习２－４１．求把点)3,0(变为点)4,2(-的平移变换，并将平移变换作用于曲线06432=--+y x x ．解 ［关键］ 将)3,0(P 和)4,2(-'P 代入平移变换公式⎩⎨⎧+='+='by y ax x ．得⎩⎨⎧+=+=-ba3402解得⎩⎨⎧=-=12b a于是，所求的平移变换为⎩⎨⎧+='-='12y y x x将平移变换作用于曲线06432=--+y x x ，就是将变换⎩⎨⎧+='-='12y y x x 的x ，y 解出来代入06432=--+y x x ，代入得08472=+'-'+'y x x２．求把点)3,2(-变为点)3,2(-的旋转变换，并将旋转变换作用于曲线06432=--+y x x ．解 把)3,2(-P 和)3,2(-'P 代入旋转变换公式⎩⎨⎧+='-='θθθθcos sin sin cos y x y y x x得⎩⎨⎧+-=---=θθθθcos 3sin 23sin 3cos 22解得0sin =θ， 1cos -=θ 再代入旋转变换公式得⎩⎨⎧-='-='y y xx将这个变换作用于曲线06432=--+y x x ，就是将变换⎩⎨⎧-='-='yy xx 的x ，y 解出来代入06432=--+y x x ，代入得06432=-'+'-'y x x３．求中心在原点，半轴分别为1和２并以直线025=-y x 为对称轴的椭圆方程． 解 1=a ，2=b ，中心在原点的椭圆方程为1422=+y x对称轴为025=-y x ，即x y 52=，这时，25tan ==θk于是292tan 11cos 2=+=θθ，295cos 1sin 2=-=θθ，所以，旋转方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+='-='292295295292y x y y x x于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+'='+'=292295295292y x y y x x 代入1422=+y x ，得0116601044122=-''+'+'y x y x ．４．证明：位似变换把直线变成直线．证明 ［关键］设直线b ax y +=，从位似变换⎩⎨⎧='='ky y kx x 中解出x ，y 代入直线b ax y +=内．代入得kb x a y +'='显然仍为一条直线．５．证明：位似变换把直线变成与自己平行的直线．证明 由第４题结果可知，位似变换把直线b ax y +=变成直线kb x a y +'='，因为斜率都为a ，所以二者平行．。
bev仿射变换
BEV仿射变换是一种将平面图像转换为鸟瞰图的变换技术。
它主要通过改变图像的投影角度和透视关系，将原本的平面图像投影到一个新的视平面上，从而实现鸟瞰视角的效果。
BEV仿射变换的原理可以简单描述为以下几个步骤：
1.选择适当的视平面：需要确定一个适当的视平面，它决定了最终变换效果的视角和范围。
2.计算投影矩阵：通过投影矩阵的计算，将原始图像中的每个像素点映射到新的视平面上。
投影矩阵的计算涉及到图像的几何关系和透视变换等数学知识，可以通过矩阵运算和线性代数的方法实现。
3.应用仿射变换：将投影矩阵和原始图像进行仿射变换，得到新的图像。
在计算机视觉领域中，BEV仿射变换通常用于将分割后的可行驶区域投影到BEV俯视视角，以便进行路径规划和控制等任务。
仿射变换的基本原理
仿射变换的基本原理
嘿，朋友们！今天咱来聊聊仿射变换这个有意思的玩意儿。
你看啊，仿射变换就像是一个神奇的魔法盒子。
它能把图形变来变去，但又不是毫无规律地乱变哦！就好像你有一堆积木，通过仿射变换，你可以把它们重新排列组合，变成各种你想要的形状。
比如说，咱把一个正方形通过仿射变换，哎呀，它可能就变成了一个长方形，或者是一个有点歪歪扭扭的四边形。
这多有趣呀！就好像你给图形施了魔法一样。
它的作用可大了去了。
在很多领域都能看到它的身影呢！比如在计算机图形学里，那些漂亮的动画和游戏画面，可少不了仿射变换的功劳。
它能让角色动起来，场景变得丰富多彩。
再想想看，要是没有仿射变换，那我们看到的很多东西不就都一成不变啦？那多无聊呀！
仿射变换还能帮我们解决很多实际问题呢。
就好比你要设计一个东西，你可以通过仿射变换来调整它的形状和大小，让它更符合你的要求。
它就像一个贴心的小助手，默默地在背后为我们服务。
而且哦，仿射变换还很灵活呢！你可以根据自己的需要，随意调整参数，得到不同的结果。
这就好像你在调台，总能找到你喜欢的那个频道。
咱平时生活中也有类似仿射变换的东西呀！比如说，你把一张照片放大或者缩小，这其实也有点像仿射变换呢。
朋友们，你们想想，是不是觉得仿射变换特别神奇？它就像一个隐藏在数学世界里的宝藏，等待着我们去挖掘和发现。
所以呀，可别小看了这个看似简单的概念，它能给我们带来很多意想不到的惊喜和收获呢！总之，仿射变换真的是太有意思啦！
原创不易，请尊重原创，谢谢!。
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注2. , '的交线称为透视仿射b的轴. 若//'则没有轴.
1
仿射变换
2. 仿射变换
定义 对于空间中一组平面, 1, 2, …, n, ', 设以下对应均为
透视仿射对应：
0:1, 1:1 2, ..., n:n '
则称这n个透视仿射的积为到'的一个仿射对应. 若', 则称 为平面上的一个仿射变换.
换的定义有
|A B | |B C | |A C | |A 'B '| |B 'C '| |A 'C '| .
即A', B', C'仍然为共线三点且B'在A', C'之间. 若A, B, C不共线, 则必有
|A B | |B C | |A C | |A B | |B C | |A C |
||A A ''B B ''|| ||B B ''C C ''|| ||A A ''C C ''||
且|AB|=|A'B'|, |BC|=|B'C'|, |AC|=|A'C'|. 即ABCA'B'C', 于是,
B =B', 即正交变换保持两直线的夹角不变.
推论 (1) 正交变换使得一个三角形变为与其全等的三角形. 进而, 正交变换使得任何封闭图形变为与其全等的封闭图形, 使 得任何平面图形变为可以与其叠合(合同)的图形.
仿射变换
仿射变换
1. 透视仿射对应
定义 对于空间中两平面, ',
给定一个与两平面不平行的投射方
向, 则确定了到'的一个透视仿射
对应(平行投影).
上任一点P在'上的像即为过 P且平行于投射方向的直线与'的
交点P'.
注1. 透视仿射对应的基本性质 (1) 使共线点变为共线点的双射, 且对应点连线相互平行； (2) 平行直线变为平行直线； (3) 保持共线三点的简单比, 从而保持两平行线段的比值不变.
注. 仿射变换的基本性质 (1) 使共线点变为共线点的双射； (2) 平行直线变为平行直线； (3) 保持共线三点的简单比, 从而保持两平行线段的比值不变.
b
2
仿射变换
定义 设为平面上的一个点变换, 满足 (1) 为一个使共线点变为共线点的双射； (2) 使得共线三点的简单比等于其对应共线三点的简单比； (3) 使得相互平行的直线变为相互平行的直线, 则称为上的一个仿射变换.
(3) M, 存在1M, 满足1=1=i.
上述性质使得M对于变换的乘法构成一个群, 叫做正交变换群.
b
6
几种特殊的仿射变换
定理 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点 变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变.
证明 设A, B, C为平面上三点, 为正交变换, 且上述三点在下
的像依B在A, C之间, 则有|AB|+|BC|=|AC|. 由正交变
y x '' a a 1 2 1 1 x x a a 1 2 2 2 y y a a 1 2 3 3 或 x y '' a a 1 2 1 1a a 1 2 2 2 x y a a 1 2 3 3 .
(2) 正交变换使得平行直线变为平行直线, 矩形变为与之全 等的矩形.
b
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几种特殊的仿射变换
推论 正交变换使平面上的直角坐标系变为直角坐标系.
正交变换将平面上的一个直角坐标系O-exey变为另一个直角
坐标系O'-e'xe'y,有下述可能
右手系→右手系
右手系→左手系
b
9
几种特殊的仿射变换
定理 对于平面上的一个取定的直角坐标系, 点变换是正交变 换具有表达式
ex, ey, 则由此构成平面上一个仿射坐标系(或仿射坐标架), 记作Oexey. 平面上任一点P的仿射坐标(x, y)由下式唯一确定,
x
OPx OEx
(PxExO)
y
OPy
OEy
(PyEyO)
uuur OPxexyey.
反之, 对任意给定的有序实数偶(x, y), 由 (1.12)式可唯一确定仿射平面上的一个点 具有坐标(x, y). 建立了仿射坐标系的平面 称为仿射平面, ex, ey称为基向量.
定理 仿射变换是双射.设A表示平面上全体仿射变换的集合. 则 有
(1) , A, 有A.
(2) 恒同变换iA.
(3) S, 存在1A, 满足11i.
上述性质使得A对于变换的乘法构成一个群, 叫做仿射变换群. 而 且MSA.
b
3
仿射变换
3. 仿射坐标系
定义 设在平面上取定一点O和以O为起点的两个线性无关向量
其中(x, y)与(x', y')为任一对对应点P, P' 的坐标, 矩阵
A
a11 a21
a12
a22
满足|A|0, 称为仿射变换的矩阵.
平面仿射几何就是研究在仿射变换群A的作用下保持不变的几
何性质与几何量. 由定义, 这些不变的性质和数量必定只与平行性、
共线三点的简单比有关.
b
5
几种特殊的仿射变换
一、正交变换
定义 保持平面上任意两点间的距离不变的点变换称为平面上 的一个正交变换.
注：设为平面上的一个正交变换, A, B为平面上两个点, 且 (A)=A', (B)=B' , 则|AB|=|A'B'|.
定理 正交变换是双射.设M表示平面上全体正交变换的集合. 则有
(1) , M, 有M.
(2) 恒同变换iM.
注 若ex, ey为单位正交向量, 则bO-exey成为笛卡儿直角坐标系.4
仿射变换
定理 平面上的仿射变换将一个仿射坐标系O-exey变为另一
个仿射坐标系O'-e'xe'y.
定理 设在平面上取定了一个仿射坐标系O-exey, 点变换为 上的一个仿射变换有表达式
y x '' a a 1 2 1 1 x x a a 1 2 2 2 y y a a 1 2 3 3 或 x y '' a a 1 2 1 1a a 1 2 2 2 x y a a 1 2 3 3 .
即A', B', C'仍然为不共线三点.
b
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几种特殊的仿射变换
定理 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点 变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变.
证明 设A, B, C为平面上三点, 为正交变换, 且上述三点在下
的像依次为A', B', C'.
设A, C分别在B两边上且异于B, 则A', B'分别在B'的两边上.