仿射变换原理解析

定理 仿射变换是双射.设A表示平面上全体仿射变换的集合. 则 有
(1) , A, 有A.
(2) 恒同变换iA.
(3) S, 存在1A, 满足11i.
上述性质使得A对于变换的乘法构成一个群, 叫做仿射变换群. 而 且MSA.
b
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仿射变换
3. 仿射坐标系
定义 设在平面上取定一点O和以O为起点的两个线性无关向量
注. 仿射变换的基本性质 (1) 使共线点变为共线点的双射； (2) 平行直线变为平行直线； (3) 保持共线三点的简单比, 从而保持两平行线段的比值不变.
b
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仿射变换
定义 设为平面上的一个点变换, 满足 (1) 为一个使共线点变为共线点的双射； (2) 使得共线三点的简单比等于其对应共线三点的简单比； (3) 使得相互平行的直线变为相互平行的直线, 则称为上的一个仿射变换.
仿射变换
仿射变换
1. 透视仿射对应
定义 对于空间中两平面, ',
给定一个与两平面不平行的投射方
向, 则确定了到'的一个透视仿射
对应(平行投影).
上任一点P在'上的像即为过 P且平行于投射方向的直线与'的
交点P'.
注1. 透视仿射对应的基本性质 (1) 使共线点变为共线点的双射, 且对应点连线相互平行； (2) 平行直线变为平行直线； (3) 保持共线三点的简单比, 从而保持两平行线段的比值不变.
一、正交变换
定义 保持平面上任意两点间的距离不变的点变换称为平面上 的一个正交变换.
注：设为平面上的一个正交变换, A, B为平面上两个点, 且 (A)=A', (B)=B' , 则|AB|=|A'B'|.
定理 正交变换是双射.设M表示平面上全体正交变换的集合. 则有
(1) , M, 有M.
(2) 恒同变换iM.
且|AB|=|A'B'|, |BC|=|B'C'|, |AC|=|A'C'|. 即ABCA'B'C', 于是,
B =B', 即正交变换保持两直线的夹角不变.
推论 (1) 正交变换使得一个三角形变为与其全等的三角形. 进而, 正交变换使得任何封闭图形变为与其全等的封闭图形, 使 得任何平面图形变为可以与其叠合(合同)的图形.
(3) M, 存在1M, 满足1=1=i.
上述性质使得M对于变换的乘法构成一个群, 叫做正交变换群.
b
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几种特殊的仿射变换
定理 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点 变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变.
证明 设A, B, C为平面上三点, 为正交变换, 且上述三点在下
的像依次为A', B', C'. 若A, B, C共线且B在A, C之间, 则有|AB|+|BC|=|AC|. 由正交变
其中(x, y)与(x', y')为任一对对应点P, P' 的坐标, 矩阵
A
a11 a21
a12
a22
满足|A|0, 称为仿射变换的矩阵.
平面仿射几何就是研究在仿射变换群A的作用下保持不变的几
何性质与几何量. 由定义, 这些不变的性质和数量必定只与平行性、
共线三点的简单比有关.
b
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几种特殊的仿射变换
ex, ey, 则由此构成平面上一个仿射坐标系(或仿射坐标架), 记作Oexey. 平面上任一点P的仿射坐标(x, y)由下式唯一确定,
x
OPx OEx
(PxExO)
y
OPy
OEy
(PyEyO)
uuur OPxexyey.
反之, 对任意给定的有序实数偶(x, y), 由 (1.12)式可唯一确定仿射平面上的一个点 具有坐标(x, y). 建立了仿射坐标系的平面 称为仿射平面, ex, ey称为基向量.
注2. , '的交线称为透视仿射b的轴. 若//'则没有轴.
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仿射变换
2. 仿射变换
定义 对于空间中一组平面, 1, 2, …, n, ', 设以下对应均为
透视仿射对应：
0:1, 1:1 2, ..., n:n '
则称这n个透视仿射的积为到'的一个仿射对应. 若', 则称 为平面上的一个仿射变换.
换的定义有
|A B | |B C | |A C | |A 'B '| |B 'C '| |A 'C '| .
即A', B', C'仍然为共线三点且B'在A', C'之间. 若A, B, C不共线, 则必有
|A B | |B C | |A C | |A B | |B C | |A C |
||A A ''B B ''|| ||B B ''C C ''|| ||A A ''C C ''||
即A'Baidu Nhomakorabea B', C'仍然为不共线三点.
b
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几种特殊的仿射变换
定理 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点 变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变.
证明 设A, B, C为平面上三点, 为正交变换, 且上述三点在下
的像依次为A', B', C'.
设A, C分别在B两边上且异于B, 则A', B'分别在B'的两边上.
(2) 正交变换使得平行直线变为平行直线, 矩形变为与之全 等的矩形.
b
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几种特殊的仿射变换
推论 正交变换使平面上的直角坐标系变为直角坐标系.
正交变换将平面上的一个直角坐标系O-exey变为另一个直角
坐标系O'-e'xe'y,有下述可能
右手系→右手系
右手系→左手系
b
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几种特殊的仿射变换
定理 对于平面上的一个取定的直角坐标系, 点变换是正交变 换具有表达式
注 若ex, ey为单位正交向量, 则bO-exey成为笛卡儿直角坐标系.4
仿射变换
定理 平面上的仿射变换将一个仿射坐标系O-exey变为另一
个仿射坐标系O'-e'xe'y.
定理 设在平面上取定了一个仿射坐标系O-exey, 点变换为 上的一个仿射变换有表达式
y x '' a a 1 2 1 1 x x a a 1 2 2 2 y y a a 1 2 3 3 或 x y '' a a 1 2 1 1a a 1 2 2 2 x y a a 1 2 3 3 .
y x '' a a 1 2 1 1 x x a a 1 2 2 2 y y a a 1 2 3 3 或 x y '' a a 1 2 1 1a a 1 2 2 2 x y a a 1 2 3 3 .