五年级奥数专题：牛吃草

牛吃草

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场,是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。

由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的。这类问题常用到四个基本公式,分别是：

（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；

（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变,设为"1",解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进而解答题总所求的问题。

一、例题与方法指导

例1.

青青一牧场

青青一牧场,牧草喂牛羊；放牛二十七,六周全吃光。

改养廿三只,九周走他方；若养二十一,可作几周粮？

（注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。）

【解说】这道诗题,是依据闻名于世界的“牛顿牛吃草问题”编写的。牛顿是英国人,他的种种事迹早已闻名于世,这里不赘述。他曾写过一本书,名叫《普遍的算术》,“牛吃草问题”就编写在这本书中。书中的这道题目翻译过来是：

一牧场长满青草,27头牛6个星期可以吃完,或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛,要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草是不断生长的。）

解答这一问题,首先必须注意牧场里的草是不断生长增多的,而并非一个固定不变的数值。这虽然大大地增加了解题的难度,但我们不要害怕。只要依据下面的思路,就一定会找到问题的答案。

例2. 一个牧场长满青草,牛在吃草而草又在不断生长,已知牛27头,6天把草吃尽,同样一片牧场,牛23头,9天把草吃尽。如果有牛21头,几天能把草吃尽？

例3.一水库原有存水量一定,河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干,6台同样的抽水机连续15天可抽干,若要6天抽干,要多少台同样的抽水机？

二、巩固训练

1、某车站在检票前若干分钟就开始排队了,每分钟来的旅客一样多,从开始检票到队伍消失（还有人在接受检

票）,若开5个检票口,要30分钟,开6个检票口,要20分钟。如果要在10分钟消失,要开多少个检票口？

2、画展9点开门,但早有人来排队入场,从第一个观众来到时起,若每分钟来的观众一样多,如果开3个入场

口,9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口,9点5分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。

3、由于天气逐渐变冷,牧场上的草每天匀速减少。经过计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或者供16头牛

吃6天,那么这片牧场上的草可供11头牛吃几天？

4、由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少。如果牧场上的草可供20头牛吃

5天,或者供15头牛吃6天,那么可供多少头牛吃10天？

三、拓展提升

1. 自动扶梯以均匀的速度由上往下行驶,小明和小红要从扶梯上楼,小明每分钟走20梯级,小红每分钟走14梯级,结果小明4分钟到达楼上,小红用5分钟到达楼上,求扶梯共有多少级？

2. 两只蜗牛由于耐不住阳光的照射,从井顶走向井底,白天往下走,一只蜗牛一个白天能走20分米,另一只只能走15分米；黑夜里往下滑,两只蜗牛下滑速度相同,结果一只蜗牛5昼夜到达井底,另一只却恰好用了6昼夜。问井深是多少？

3. 有三块草地,面积分别是5公顷,15公顷和24公顷。草地上的草一样厚而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天；第二块草地可供28头牛吃45天。那么第三块草地可供多少头牛吃80天？

4. 12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草,21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等,且每公亩牧场上每天生长草量相等）？