昆明理工大学研究生数理统计2017级试题

2017级硕士研究生《数理统计》 试卷 A 卷

昆明理工大学2017级硕士研究生

《数理统计》试卷A

满分：100分 考试时间：2小时30分

学院：＿＿＿＿专业：＿＿＿＿学号：＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿

一、填空题（每空4分，共40分）

1. 若12,,

,n x x x 是总体(1,)B p 的样本值，其中m 个取值为1，则x =__________。

2. 设X 是总体[1,1]U -的容量为n 的样本均值，则()D X =__________。

3. 样本12,,

,n X X X 取自总体2

(,)N μσ时，

2

2

1

1

()~n

i

i X

=-∑μσ__________。 4. 设一批同类产品的次品率为p ，从中有放回地随机抽取100件，发现次品10件，则p

的矩估计值ˆp

=__________。 5. 若总体均值为μ，123,,X X X 是样本，且12311

ˆ32

X aX X =++μ

是μ的无偏估计，则a =__________。

6. 总体服从均值为

λ的泊松分布，12,,X X X

是样本， 且

1

1232123

1211ˆˆ,()4443

X X X X X X =++=++λλ.作为未知参数λ的无偏估计量，12

ˆˆ,λλ中较有效的是__________。 7. 在显著性水平为α的假设检验中，犯第I 类错误的概率不超过__________。

8. 单因素A 的方差分析模型

12,0,~(0,)(1,,;1,,),ij j ij s j j j ij

j X n N i n j s =⎧=++⎪⎪

=⎨⎪

⎪==⎩∑μδεδεσ且相互独立

（1）单因素A 的方差分析中，总偏差平方和

2017级硕士研究生《数理统计》 试卷 A 卷

22

211

()j

n s

T

ij j i S nS X X ====-∑∑,

组内差平方和

2211

()j

n s

E

ij j j i S X X ⋅===-∑∑,

组间差平方和

22

211

1

()()j

n s

s

A

j j j j i j S X X n X X ⋅⋅====-=-∑∑∑,

且三者之间的关系是 __________。

（2）给出假设0:210====s H δδδ 的拒绝域 __________。 9. 依据正交试验结果的直观分析法，评价因素主次的指标是 __________。

二、（15分）总体X 服从对数正态分布，即

2ln ~(,)Y X N μσ=，+∞<<∞-μ，0>σ.

12,,

,n x x x 是来自X 的样本值，求μ，2σ的：

（1）矩估计值； （2）最大似然估计值.

提示：1122ln ,ln ,

,ln n n y x y x y x ===为总体Y 的样本值.

三、（10分）某农场10年前在鱼塘里按比例20:15:40:25投放了四种鱼苗：鲑鱼、鲈

鱼、竹夹鱼和鲇鱼. 今在鱼塘里获得样本如下：

试检验各类鱼的数量比例较10年前是否有显著变化(0.05)α=（上侧分位数：

20.05

(3)7.815χ=，下侧分位数：20.95(3)7.815χ=）？ 四、（15分）测得两批电子器件的样品电阻(Ω)：

A 批()i x ：0.140，0.138，0.143，0.142，0.144，0.137；

B 批()i y ：0.135，0.140，0.142，0.136，0.138，0.140.

2017级硕士研究生《数理统计》 试卷 A 卷

设这两批器材的电阻值总体分别服从22

1122(,),(,)N N μσμσ，且两样本独立.

（1）检验假设

2222012112:,:H H =≠σσσσ;

（2）在（1）之基础上检验假设

012112:,:H H μμμμ≠=,

其中显著性水平为0.05α=.

其中：上侧分位数：0.9750.025(5,5)0.13968,(5,5)7.15F F ==，0.025(10) 2.2281t =。

五、（15分）在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，测得腐蚀时间x 与腐蚀深度Y 相对应

的一组数据如下表：

（1）求出腐蚀深度Y 对腐蚀时间x 的线性回归方程。

（2）检验线性回归效果是否显著（05.0=α，上侧分位数：()0.0259 2.2622t =，下侧分位数：()0.9759 2.2622t =）？

（3）假设腐蚀时间为75秒，试求腐蚀深度的点预测和区间预测 (05.0=α)。 相关结果如下：

11

i 1

510i

x

==∑，11i 1

214i y ==∑，112i 1

36750i

x ==∑，112i 1

5422i

y ==∑，11

i 1

13910i i x y ==∑

六、（5分）．设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，若X 表示

样本均值，2

S 表示样本方差，记2

(

)X Y n S

μ-=，证明：~(1,1)Y F n -。