滑移线理论及应用
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7滑移线法全解
18.2 滑移线法slip field theory内容：滑移线法原理及应用。
重点：滑移线场slip field 的合理建立。
滑移线： 塑性变形物体内各质点的最大切应力迹线特点： 滑移线（成对出现，相互正交）→滑移线场适用范围：理想刚塑性材料的平面变形问题再适当推广满足条件：静力学+运动学（速度场条件）18.2.1 基本概念18.2.1.1 平面变形的应力⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⇒=+3212000000031σσεσσ231σσσ+=m塑变屈服时()K =-=3121max σστ莫尔圆为：⎪⎩⎪⎨⎧±=+=-=ωτωσσωσσ2cos 2sin 2sin k k k xym y m x ⎪⎩⎪⎨⎧-==+==k k m mm σσσσσσω32145时18.2.2 最大切应力迹线——滑移线变形平面xoy ，取点P 1及邻近点P 2，P 3，……P 61τ为P 1点最大切应力方向2τ为P 2点的（1τ为P 1P 2折线）当P 1P 2无限邻近时，曲线变为光滑曲线即滑移线。
α族，β族18.2.2.1 ωβα及.1）逆时针方向线组成顺时针方向族线西侧的最大切应力,.βα 图7-32）角方向成线为线4531σσβα3）()同坐标轴逆时针正轴正向为起始顺时针负角以,ox ω18.2.2.2 滑移线方程()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+==族βωωωπctg tg tg dxdy dx dy 2Hencky 方程：ωσ~m平面应变应力平衡微分方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂00yxy x y y x x y xσττσ将屈服准则式代入有()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--∂∂=+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂02cos 2sin 20)2sin 2(cos 2yx m y x m k y k x ωωωωωωσωωσ 未知数：m σ，ω，但难求。
变换坐标系：取滑移线本身作坐标轴轴轴βα,注意：此坐标系具有当沿α线运动时β值不变，即坐标系轴是弯曲的！在α点无限近处有：0=ω αds dx = βds dy =αs x ∂∂=∂∂βs y ∂∂=∂∂0≠∂∂αωs 0≠∂∂βωs 因此变为：()线线βωσαωσββαα02)(02=∂∂+∂∂=∂∂-∂∂s k s s k s m m积分后得：()()⎩⎨⎧=+=-线线βηωσαξωσk k m m 22此式即汉基应力方程（Hencky ）18.2.3 滑移线特性18.2.3.1 沿线特性沿α线：ωσ∆=∆k m 2 沿β线：ωσ∆-=∆k m 2证：设一条α线上有a 、b 两点ξωσξωσ=-=-b mb a ma k k 22 ()02=---∴b a mb ma k ωωσσωσ∆=∆∴k m 218.2.3.2 跨线特性()()⎩⎨⎧∆=∆∆=∆C B m D A m BC AD ,σσωω， 证明：先沿α线，A →B 有B B m A mA k K ωωσσ22-=-沿β线B →C 有：c mc B mB k k ωωσσ22+=+ ()c A B mA mc k ωωωσσ--=-∴22（a ） 再沿A →D （β1线）D mD A mA k k ωσσω22+=+D →C （沿线2α）c mc D mD k k ωωσσ22-=-()D C A mA mc k ωωωσσ22-+=-∴（b ） 由于a,b 式相等D B B A ωωωω+=+∴或：B c A D ωωωω-=-⎪⎭⎪⎬⎫-=-∆=∆mB mC mA mD BC AD σσσσωω:同理可证即上式即汉基第一定理即在滑移线网格中，若已知三个结点的m σ、ω值则第四个结点m σ、ω值可以求出。
滑移线理论及应用
证明：设α、β线上任一点的曲率半径分别为R α 、R β ，由 曲率半径的定义知：
1/ R / S 和 1/ R / S ΔSβ沿弧S α的变化率为：
d (S ) dS
d (R ) dS
R S
R
S
根据汉盖第一定理有，
d (S dS
)
R S
当曲线四边形单元趋近无限小时
tg
Am AB
沿β2线从点B→点C
pB 2kB pc 2kc
于是，得沿路径A→B→C和静水压力差
同理
PC PA 2k(A C 2B )
PC PA 2k(2D A C ) 由上两式可得
C B D A
同理
pC pB pD pA
二、汉盖第二定理
一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始 位置的另一族两条滑移线的曲率变化量（如dRβ）等于该点 所移动的路程（如dSα）。 1
线的方向。
二、滑移线场绘制的数值计算方法
滑移线数值计算方法的实质是：利用差分方程近似代 替滑移线的微分方程，计算出各结点的坐标位置，建立滑 移线场，然后利用汉盖应力方程计算各结点的平均应力p 和角。
根据滑移线场块的邻接情况，滑移线场的边值有三类。
1）特征线问题 这是给定两条相交的滑移线为初始线，求作整个滑移线
滑移线的曲率变化量（如dRβ ）等于该点所移动的路程（如dSα）； • 同族滑移线必然有个相同的曲率方向。
§8.5 应力边界条件和滑移线场的绘制
一、应力边界条件
1）自由表面 塑性加工时塑性区可能扩展到自由表面，如平冲头压入半无限体工件（见
图 8-10a）。因为自由表面（设为 x 轴）上的法向应力（ n y 0 ）和切 应力（ k 0 ）。根据式（8-3），可知滑移线性边界点上的k 角和静水压力别
第4章 滑移线场理论
点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变化量 （如dRβ）等于该点所移动的路程（如dSα）。
11
4.3 塑性区应力边界条件：
自由表面
Principle of Metal Forming
12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
接触表面之：
摩擦切应力为零
摩擦切应力为某中间值
Principle of Metal Forming
13
摩擦切应力为最大值
7
由称Saint-Venant塑性流动方程
Principle of Metal Forming
8
4.2 滑移线的性质
4.2.1 H.Hencky方程 也称沿线特性，描述滑移线上各点的平均应力变化规律。
Principle of Metal Forming
由上式知，任一族中任一条滑移线上 两点的平均应力符合下列关系式：
一条滑移线（如β1或β2 ）相交两点的倾角差和静水压力变化量均保
Principle of Metal Forming
持不变。
若单元三个节点角ω、σm知，则第四点知。 推论： 异族截区内，一直皆直。
10
4.2.3 H.Hencky第二定理
一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动
Principle of Metal Forming
Principle of Metal Forming
14
4.2 常见的滑移线场类型
正交直线 １ ） 直 线 型
Principle of Metal Forming
２ ） 简 单 型
奇点
有心扇形：直线＋圆弧 无心扇形：包络＋渐开
15
３ ） 直 简 组 合 型
Principle of Metal Forming
7-2 滑移线速度场理论及应用
ω+dω
P2
vα ω
x
滑移线上邻近两点的速率分解
金属塑性成形原理
盖林格尔速度方程:
dv v d 0 （沿α线） dv vd 0 （沿β线）
(7-12)
此方程式给出了沿滑移线上速度分量的变化特性，它可确定塑性变形 区内的速度分布。
若 α 滑移线为直线，则
d 0, v 常数
直线滑移线场，
v 常数,v 常数
金属塑性成形原理
对于由两族 α与β 连续正交的曲线网络所 构成的滑移线场，则在速度平面上相应有一 由两族连续正交的速度矢端曲线网络所构成 的速度矢端图(速端图)，即为速度场。
滑移线和速度矢端曲线之间的关系
金属塑性成形原理
2.几种速度间断线的速端图
(1)滑移线ab为速度间断直线 其一侧为刚性区(“-”) ，另一侧为塑性区(”+‘)。由于ab两侧分别具有同一
(7-10)
金属塑性成形原理
过P点取滑移线为坐标系，以滑移线α、β的切线代替x、y轴，则有：
x , y
x ,y
由于σα，σβ 是最大切应力所在平面上的正应力
m
代入(7-10)得:
0, 0
(7-11a)
d
dt
0 d
0
d
dt
0 d
0
(7-11b)
取滑移线为坐标系
速度，故在速度平面的速度矢端曲线分别归缩为一个点，其速端图如图所示。
a)速度间断直线
b)速端图
图7-22 速度间断直线及其速端图
金属塑性成形原理
(2)滑移线ab为速度间断曲线，两侧分别为刚性区与塑性区 刚性区一侧在速度平面上的速度矢端曲线归缩为一点，而塑性区一侧
滑移线理论及应用PPT课件
a b cd const mab mdc const
17
在同一族（例如a族）的两条滑移线（例如a 1和a 2线）与另 一族（例如β族）的任一条滑移线（例如β1和β2线）的两个 交点上，其切线夹角△ω与平均应力的变化△σm 均保持常数， 如下图所示:
对于图中的节点(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)有：
点P1，平面塑性变形时，
最大切应力成对出现，并
相交。
6
三、滑移线和ω 角规定
α 与β 滑移线规定
设α 与β 线构成右手坐标系，
设代数值最大的主应力σ1 作用线在第一与三象限，则：
α 线两侧最大切应力顺时针
方向。 β线两侧最大切应力逆
时针方向。
Hale Waihona Puke 或：σ1方向顺时针转45°得到α线
由σ1的方位线顺时针转45°到达的滑移线称α线，而由σ3线 的方位线顺时针转45°到达的滑移线称为β线。α线与β的方向
代入平面应变问题的微分平衡方程
x yx 0
x y
xy y 0
x y
11
m
x
2k c os2
x
sin2
y
0
m
x
2k s in2
x
cos2
y
0
取滑移线本身作为坐标轴，设为轴a和β轴。这样，滑移 线场中任何一点的位置，可用坐标值a和β表示。当沿着a坐标 轴从一点移动到另一点时，坐标值β不变，当然沿着坐标轴β 从一点移动到另一点时，坐标轴a也不变。
将xy坐标原点置于两条滑移线的交点a上，并使坐标轴x、 y分别与滑移线的切线x` 、y`重合。
17
在同一族（例如a族）的两条滑移线（例如a 1和a 2线）与另 一族（例如β族）的任一条滑移线（例如β1和β2线）的两个 交点上，其切线夹角△ω与平均应力的变化△σm 均保持常数， 如下图所示:
对于图中的节点(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)有：
点P1，平面塑性变形时，
最大切应力成对出现，并
相交。
6
三、滑移线和ω 角规定
α 与β 滑移线规定
设α 与β 线构成右手坐标系，
设代数值最大的主应力σ1 作用线在第一与三象限，则：
α 线两侧最大切应力顺时针
方向。 β线两侧最大切应力逆
时针方向。
Hale Waihona Puke 或：σ1方向顺时针转45°得到α线
由σ1的方位线顺时针转45°到达的滑移线称α线，而由σ3线 的方位线顺时针转45°到达的滑移线称为β线。α线与β的方向
代入平面应变问题的微分平衡方程
x yx 0
x y
xy y 0
x y
11
m
x
2k c os2
x
sin2
y
0
m
x
2k s in2
x
cos2
y
0
取滑移线本身作为坐标轴，设为轴a和β轴。这样，滑移 线场中任何一点的位置，可用坐标值a和β表示。当沿着a坐标 轴从一点移动到另一点时，坐标值β不变，当然沿着坐标轴β 从一点移动到另一点时，坐标轴a也不变。
将xy坐标原点置于两条滑移线的交点a上，并使坐标轴x、 y分别与滑移线的切线x` 、y`重合。
滑移线名词解释
滑移线名词解释滑移线是指在流体力学中，流体流动时，流体中的某一点随着时间的推移而发生位置变化的线。
这个概念在飞行器设计中非常重要，因为滑移线可以用来描述飞行器的稳定性和控制性能。
在本文中，我们将详细解释滑移线的概念、特性和应用。
一、滑移线的概念滑移线是在流体力学中用来描述流体流动的一种线。
在飞行器设计中，滑移线通常指飞行器中心重心和气动中心之间的一条线。
当飞行器受到外界扰动时，它会发生滑移和偏航运动，滑移线的位置和方向可以用来描述飞行器的运动状态。
二、滑移线的特性1. 滑移线的位置滑移线的位置取决于飞行器的气动特性和重心位置。
在大多数情况下，滑移线位于飞行器的重心前方，因为气动中心通常在重心前面。
滑移线的位置可以通过实验和计算得出，对于不同的飞行器来说，滑移线的位置也不同。
2. 滑移线的方向滑移线的方向取决于飞行器的气动特性和机翼的布局。
在大多数情况下，滑移线与机翼的平面垂直，因为机翼产生的升力和阻力一般都在机翼平面内。
然而，对于某些机翼布局不规则的飞行器，滑移线的方向可能会产生变化。
3. 滑移线的稳定性滑移线的稳定性是指飞行器在受到外界扰动时，滑移线的位置和方向是否会发生变化。
在理想情况下，飞行器应该具有稳定的滑移线，即受到扰动时滑移线的位置和方向不会发生明显变化。
如果滑移线不稳定，飞行器就会变得难以控制，甚至容易失控。
三、滑移线的应用1. 飞行器稳定性分析滑移线可以用来分析飞行器的稳定性和控制性能。
通过测量飞行器的滑移线位置和方向，可以判断飞行器的稳定性是否良好，以及是否需要进行调整。
2. 飞行器控制设计滑移线还可以用来设计飞行器的控制系统。
通过控制飞行器的滑移线位置和方向，可以使飞行器保持稳定，避免发生滑移和偏航运动，从而提高飞行器的控制性能。
3. 飞行器改进设计滑移线还可以用来指导飞行器的改进设计。
通过分析飞行器的滑移线位置和方向，可以发现飞行器存在的问题和缺陷，从而提出改进措施，使飞行器更加稳定和安全。
第八章 滑移线理论及应用
和静水压力变化量Δp均保持不变；
(6)一点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动 点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变化 量(如dRβ)等于该点所移动的路程(如dSα)；
(7)同族滑移线必然有个相同的曲率方向。
§8.4 应力边界条件和滑移线场的绘制
一、应力边界条件
研究目的：寻找已知静水压力 p 和Φ角的点
二、汉盖第二定理
一动点沿某族任意一 条滑移线移动时，过 该动点起、始位置的
另一族两条滑移线的
曲率变化量（如dRβ）
等于该点所移动的路
程（如dSα）
R 1 S
R 1 S
同族滑移线必然具有相同的曲率方向
滑移线的几何性质
(1)滑移线为最大切应力等于材料屈服切应力为 k的迹线，与主应力迹线相交成π/4角； (2)滑移线场由两族彼此正交的滑移线构成，布
1 3
2
标轴Ox的夹角
1
xy
y -k p
x
Ⅱ
k sin 2 p k sin 2 k sin 2 p k sin 2
x m y m
k cos 2 k cos 2
xy
max k
2
B
yx
xy
p p cos x sin y 2k cos x sin y 0 沿 线的微分方程 p 2k 0或 ( p 2k ) 0 沿 线的微分方程 p 2k 0或 ( p 2k ) 0
n k n
二、滑移线场绘制的数值计算方法
滑移线场绘制的数值计算方法
(6)一点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动 点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变化 量(如dRβ)等于该点所移动的路程(如dSα)；
(7)同族滑移线必然有个相同的曲率方向。
§8.4 应力边界条件和滑移线场的绘制
一、应力边界条件
研究目的：寻找已知静水压力 p 和Φ角的点
二、汉盖第二定理
一动点沿某族任意一 条滑移线移动时，过 该动点起、始位置的
另一族两条滑移线的
曲率变化量（如dRβ）
等于该点所移动的路
程（如dSα）
R 1 S
R 1 S
同族滑移线必然具有相同的曲率方向
滑移线的几何性质
(1)滑移线为最大切应力等于材料屈服切应力为 k的迹线，与主应力迹线相交成π/4角； (2)滑移线场由两族彼此正交的滑移线构成，布
1 3
2
标轴Ox的夹角
1
xy
y -k p
x
Ⅱ
k sin 2 p k sin 2 k sin 2 p k sin 2
x m y m
k cos 2 k cos 2
xy
max k
2
B
yx
xy
p p cos x sin y 2k cos x sin y 0 沿 线的微分方程 p 2k 0或 ( p 2k ) 0 沿 线的微分方程 p 2k 0或 ( p 2k ) 0
n k n
二、滑移线场绘制的数值计算方法
滑移线场绘制的数值计算方法
(塑性成形力学)4滑移线场理论及应用
(滑移线为速度不连续线) 4. 切向速度不连续量沿速度不连续线是一常数。
存在速度不连续线的速端图：
两条速度不连续线相交于一点附近的速度不连续量的矢量和为零。
4.6滑移线场的绘制
建立变形区内滑移线场通常是一个相当复杂的问题。
在给定的应力边界条件下，作滑移线场的方法： 1. 积分滑移线的微分方程； 2. 图解法； 3. 数值积分法。
相关规定：
1. 使单元体产生顺时针转效果的剪应力方向为α线，反之为β线；（例题）
2. 分别以α线和β线构成一右手坐标系时的横轴和纵轴，则代数值最大的主应力
σ1的作用线在穿过原点条件下是在第Ⅰ和第Ⅲ象限内；（例题）
3. α线各点的切线与所取的x轴的夹角为φ，逆时针转为正，顺时针转为负。
y
右手坐标系： 姆指指向α线正方向 食指指向β线正方向 中指指向自己
不少的塑性加工过程，由于变形区域 沿某一方向(z轴方向)的尺寸较大， 沿该方向的相对变形量很小，可近似 认为是平面变形问题。 如：薄板轧制 矩形件压缩
莫尔圆 （应力圆）
单辉祖，“材料力学教程”， 国防工业出版社，1982
-p
k
4.1.2 基本假设
各向同性的理想刚－塑性材料 变形抗力为常数 忽略热应力和惯性力等
（①＋②）/2 （①－②）/4
① ②
式(4.25) 式(4.26)
式(4.27) 式(4.28)
4.5 滑移线场求解的应力边界条件和步骤
4.5.1 应力边界条件 4.5.2 滑移线求解的一般步骤
4.5.1 应力边界条件
常见边界： 工件与工具接触表面：σ、τ 自由表面
单辉祖，“材料力学教程”，国防工 业出版社，1982，P208
图1.28 理想刚-塑性材料
存在速度不连续线的速端图：
两条速度不连续线相交于一点附近的速度不连续量的矢量和为零。
4.6滑移线场的绘制
建立变形区内滑移线场通常是一个相当复杂的问题。
在给定的应力边界条件下，作滑移线场的方法： 1. 积分滑移线的微分方程； 2. 图解法； 3. 数值积分法。
相关规定：
1. 使单元体产生顺时针转效果的剪应力方向为α线，反之为β线；（例题）
2. 分别以α线和β线构成一右手坐标系时的横轴和纵轴，则代数值最大的主应力
σ1的作用线在穿过原点条件下是在第Ⅰ和第Ⅲ象限内；（例题）
3. α线各点的切线与所取的x轴的夹角为φ，逆时针转为正，顺时针转为负。
y
右手坐标系： 姆指指向α线正方向 食指指向β线正方向 中指指向自己
不少的塑性加工过程，由于变形区域 沿某一方向(z轴方向)的尺寸较大， 沿该方向的相对变形量很小，可近似 认为是平面变形问题。 如：薄板轧制 矩形件压缩
莫尔圆 （应力圆）
单辉祖，“材料力学教程”， 国防工业出版社，1982
-p
k
4.1.2 基本假设
各向同性的理想刚－塑性材料 变形抗力为常数 忽略热应力和惯性力等
（①＋②）/2 （①－②）/4
① ②
式(4.25) 式(4.26)
式(4.27) 式(4.28)
4.5 滑移线场求解的应力边界条件和步骤
4.5.1 应力边界条件 4.5.2 滑移线求解的一般步骤
4.5.1 应力边界条件
常见边界： 工件与工具接触表面：σ、τ 自由表面
单辉祖，“材料力学教程”，国防工 业出版社，1982，P208
图1.28 理想刚-塑性材料
弹塑性力学讲义9
y
k P
k
o x
规 定
1) 使变形体素顺时针转的 y 切应力方向为α线方向； 反之为β线方向。
2） 线各点的切线与所取 的x 轴的正向夹角为 ， 逆时针转为正，顺时针 转为负 。
3）， 构成右手坐标系，
1 在一、三象限。
o
k P
k
x
（2）平面变形时的应力和莫尔圆
3
汉基应力方程
x yx 0 x y
xy x y y 0
y p k sin 2 p k sin 2
x p k sin 2 p k sin 2
xy k cos2
（1） （2）
n = p =k 1 3 3
+k +
p /4
－
3
2
2 = p /2
1
0
-k
n = p
－
0.5 arccos
k 0 k
p n k sin 2 n 2
由莫尔圆
1 n k
3 n k
面的问题
（4）库仑摩擦的接触面
0
3 ＝－2 k
－
0.5 arccos
0 p k 4
舍去负的
p n k sin 2 0 k sin
p
2
k 2
由莫尔圆
1 0
3 2k
面的问题
（2）无摩擦的接触面
3 = 0
3
+k
+
p /4
－
1 = 0
p/4 p /4
k P
k
o x
规 定
1) 使变形体素顺时针转的 y 切应力方向为α线方向； 反之为β线方向。
2） 线各点的切线与所取 的x 轴的正向夹角为 ， 逆时针转为正，顺时针 转为负 。
3）， 构成右手坐标系，
1 在一、三象限。
o
k P
k
x
（2）平面变形时的应力和莫尔圆
3
汉基应力方程
x yx 0 x y
xy x y y 0
y p k sin 2 p k sin 2
x p k sin 2 p k sin 2
xy k cos2
（1） （2）
n = p =k 1 3 3
+k +
p /4
－
3
2
2 = p /2
1
0
-k
n = p
－
0.5 arccos
k 0 k
p n k sin 2 n 2
由莫尔圆
1 n k
3 n k
面的问题
（4）库仑摩擦的接触面
0
3 ＝－2 k
－
0.5 arccos
0 p k 4
舍去负的
p n k sin 2 0 k sin
p
2
k 2
由莫尔圆
1 0
3 2k
面的问题
（2）无摩擦的接触面
3 = 0
3
+k
+
p /4
－
1 = 0
p/4 p /4
18-滑移线法-0304
但当 2 时，楔形冲头下将存在金属流动的死区。 2
3、圆弧冲头压入半无限体
建立滑移线场 对称、简单场和均匀场的组合场。刚性区FEF‘，AFED为 无心扇形场， ADC为有心扇形场，ABC均匀场，ECDB 为 线， AC、AD为 线，A点为应力奇点。 1 cos 1 p / K ； AF面上 = p，滑移线与表面交角为 2 E点滑移线与轴线 交角为 4 ； OF与轴线交角为 0 。
三、粗糙平板间压缩长坯料
平板完全粗糙， =K。取b/h=3.64时，变形区由均匀应 力区、刚性区、塑性变形区组成。 建立滑移线场与数值积分法求解 对称、均匀场和有心扇形场及其
OP
h sin 2 cos
BQ OP h cos 4
h sin l cos h cos 4 4 2 cos
AB cos AE sin h 4 l cos 2l cos sin h 4
有心扇形场ACD，以 ( = ) 角等分成小扇形区，扩展场 CDM区弦线代弧线构建四边形滑移线网格，四边形的内角
分别为 、 、 和 。 族滑移线n =0，1，2，…； 2 2 2 2
族滑移线m =0，1，2，…；节点
的编号（m ，n）。
（0 ，0）点 0,0 ; 3 y p
K cos2 B K cos2 K cos2 2
p
cos2 1 2 sin 2
确定 和 值
设AB = l，根据几何关系得 AE 2 l cos 体积不变条件(OAB= OAE)
3、圆弧冲头压入半无限体
建立滑移线场 对称、简单场和均匀场的组合场。刚性区FEF‘，AFED为 无心扇形场， ADC为有心扇形场，ABC均匀场，ECDB 为 线， AC、AD为 线，A点为应力奇点。 1 cos 1 p / K ； AF面上 = p，滑移线与表面交角为 2 E点滑移线与轴线 交角为 4 ； OF与轴线交角为 0 。
三、粗糙平板间压缩长坯料
平板完全粗糙， =K。取b/h=3.64时，变形区由均匀应 力区、刚性区、塑性变形区组成。 建立滑移线场与数值积分法求解 对称、均匀场和有心扇形场及其
OP
h sin 2 cos
BQ OP h cos 4
h sin l cos h cos 4 4 2 cos
AB cos AE sin h 4 l cos 2l cos sin h 4
有心扇形场ACD，以 ( = ) 角等分成小扇形区，扩展场 CDM区弦线代弧线构建四边形滑移线网格，四边形的内角
分别为 、 、 和 。 族滑移线n =0，1，2，…； 2 2 2 2
族滑移线m =0，1，2，…；节点
的编号（m ，n）。
（0 ，0）点 0,0 ; 3 y p
K cos2 B K cos2 K cos2 2
p
cos2 1 2 sin 2
确定 和 值
设AB = l，根据几何关系得 AE 2 l cos 体积不变条件(OAB= OAE)
7-1 滑移线概念及应力场理论
1 m K 2 m 3 m K
x m K sin 2 y m K sin 2 xy K cos 2
τ
σy
+K
O σ3
σ2
2ω x σx
－K σ2=σm
tan 2 x y 2 xy
其中：ω为最大切应力τmax方向与坐标ox轴的夹角。
y
σ1
σ
金属塑性成形原理
过点P并标注其应力分量的微分面称为物理平面。 ➢应力莫尔圆上一点对应一个物理平面； ➢应力莫尔圆上两点之间的夹角为相应物理平面间 夹角的两倍。
将一点的代数值最大的主应力的指向称为第一主 方向( σ1作用线)。由第一主方向顺时针转π/4所确定 的最大切应力，符号为正，其指向称为第一剪切方 向。另一最大切应力方向的指向称为第二剪切方向， 两者相互正交。
由坐标轴ox正向转向第一剪切方向的角度ω称为 第一剪切方向的方向角(也就是以后提到的滑移线的 方向角)，由ox轴正向逆时针转得ω为正。
当相邻点无限接近时，这两条折线就成了相互正 交的光滑曲线，这就是滑移线。它连续，并一直延伸 到塑性变形区边界。通过塑性变形区内的每一点都可 得到这样两条正交的滑移线，在整个变形区域可得到 有两族互相正交的滑移线组成的网络，即滑移线场。
滑移线与滑移线场
金属塑性成形原理
两族滑移线： 一族称为 α 滑移线，另一族称为 β 滑移线。
塑性区内各点的最大切应力K为材料常数，而
应力状态的区别在于σm不同。
O
b d
a c
ωb
ωa
x
金属塑性成形原理
亨盖（ Hencky ）应力方程是滑移线场理论中很重要的公式，根据亨盖应 力方程可推导出滑移线场的一些主要特性。
沿α线 m 2K 沿β线 m 2K
第七章 滑移线理论及应用
滑移线场理论是由M．列维和T．汉基等人所创 立，到20世纪40年代后才逐渐形成比较完整的求解方 法，滑移线场理论包括应力场理论和速度场理论。滑 移线场理论是针对理想刚塑性材料在平面变形的条件 下所建立的，但对于主应力互为异号的平面应力问题 、简单的轴对称问题以及有硬化的材料，也可作推广 应用。
§7. 1 滑移线的概念
K
sin
2
xy K cos 2
对于主应力状态有
4
1
2
m m
K
3 m K
对于理想刚塑性材料，由于 K 为常值，因此
，塑性变形体内各点的应力莫尔圆大小相等，
应力状态的差别只在于平均应力值 m的不同
，即各点应力莫尔圆的圆心在 轴上的位置
最大切应力的方向与第一主应力 的夹角为
与 ox 轴成 夹角；
4
，
作用在最大切应力平面上的正应力大小等于中间主应 力或平均应力 ：
2
m
1 2
(
1
2)
1 2
(
x
y )
由应力状态和应力莫尔圆可知，各应力分量
可以 m 、
用表示
x y
m m
K sin 2
这是给定两条相交的滑移线为初始线，求 作整个滑移线场的边值问题，即所谓黎曼 （Riemann）问题。就是根据已知两条相交 的滑移线，要求进一步求出一个区域内的 滑移线场。
已知两条滑移线 O' A 和 O' B 要求出区
域 O' ACB 的滑移线场
按给定的转角 等分成若干微小段，得到
相应滑移线网的节点，并分别给与编号，沿
§7. 1 滑移线的概念
K
sin
2
xy K cos 2
对于主应力状态有
4
1
2
m m
K
3 m K
对于理想刚塑性材料，由于 K 为常值，因此
，塑性变形体内各点的应力莫尔圆大小相等，
应力状态的差别只在于平均应力值 m的不同
，即各点应力莫尔圆的圆心在 轴上的位置
最大切应力的方向与第一主应力 的夹角为
与 ox 轴成 夹角；
4
，
作用在最大切应力平面上的正应力大小等于中间主应 力或平均应力 ：
2
m
1 2
(
1
2)
1 2
(
x
y )
由应力状态和应力莫尔圆可知，各应力分量
可以 m 、
用表示
x y
m m
K sin 2
这是给定两条相交的滑移线为初始线，求 作整个滑移线场的边值问题，即所谓黎曼 （Riemann）问题。就是根据已知两条相交 的滑移线，要求进一步求出一个区域内的 滑移线场。
已知两条滑移线 O' A 和 O' B 要求出区
域 O' ACB 的滑移线场
按给定的转角 等分成若干微小段，得到
相应滑移线网的节点，并分别给与编号，沿
7工程塑性理论滑移线法2
接触面
1
k
（a）
（b）
接触表面
图 9-20
摩擦切应力达最大值 k 的接触表面
xy k cos 2 k , 0或
2
（4）当0<τf<k时的接触表面
y =xy 0 y m x xy m xy k O k xy y （ a） k m （b） xy x k m 3 y 1 O 2 x m
（3）滑移线场由两族互相正交的光滑曲 线构成 属于这一类的滑移线场有以下几种 （a）当圆形界面为自由表面或作用有均 匀载荷时,其滑移线场为两族正交的对数 螺线所构成(如图9-24a所示)；
β α
(a)对数螺旋线场
（b）在粗糙平行刚性模板间压缩 时, 相应于接触面上摩擦切应力达 到最大值的那一段滑移线场为正 交的圆摆线(如图9-24b所示)
x y tan2 2 xy
x
y 4
2
2 xy
4k
2
xy k cos2
xy k cos2
x y tan2 2 xy
x y 2k sin 2
m
1 x y 2
x m k sin 2 y m k sin 2 xy k cos2
式(9-85)是汉盖于1923年首先推导出来的， 该方程给出了同一条滑移线上平均应力与 转角之间的关系。称为汉盖应力方程。
从式(9-85)中可以看出，若滑移线场已确 定，则转角也就被确定了，此时如果已知 某一条滑移线上一点的平均应力，则沿该 条滑移线上任意一点的平均应力均可由式 (9-85)求出。
k 3 方向 1 方向 (第一主方向) k 判断 1、3 方向 k
塑性成形原理-70-滑移线场理论简介
51
二、速度间断、速度间断线、速度间断面 速度间断面两侧法向速度分量相等，切向
速度分量可以间断！
52
三、速度矢端图（速端图）
1） 对于平面应变问题，工件各点只有x、y两 个方向的速度；
2） 同一条滑移线上各点有不同的速度值；
3） 以x、y两个方向的速度为坐标轴，从坐标 原点开始按同一比例画出滑移线上各点的 速度矢量，并将速度矢量端点连接成线即 得速度矢端曲线和速度矢端图；
13
二、滑移线场理论的基本内容
● 应力场理论：确定塑性变形区内的应力分 布，以及与模具接触面上的 应力分布。
● 速度场理论：确定塑性变形区内的速度分 布。
14
三、适用范围 严格地说，这种方法仅适用于理想刚塑性
体的平面应变问题。但在一定的条件下，也可 推广到平面应力、轴对称问题及硬化材料。
15
四、求解方法 针对具体的塑性成形过程，首先建立滑移
33
注意：分析上模边缘处工件的应力状态 ↓
应力奇异点！
34
2、已知顶部被削平的楔体，承受均布载荷q的
作用而产生塑性变形，若楔体夹角为 2 ，
且 AB 2a ，求均布载荷q的大小。 35
分析：本题目中当 2 ＝180度的情况。 36
3、足够长厚壁圆筒内半径为r，外半径R，在内 压p 的作用下产生塑性变形。已知其滑移线
v (v dv ). cos(d) (v dv ).sin(d)
49
由于 d 很小，前式化简得：
dv v.d 0 同理 dv v.d 0
(沿线)
(沿线)
上式即为 H.Geiringer速度方程。
50
推论：
1） 若某条滑移线为直线，则该线上各点的速 度为一常数；
二、速度间断、速度间断线、速度间断面 速度间断面两侧法向速度分量相等，切向
速度分量可以间断！
52
三、速度矢端图（速端图）
1） 对于平面应变问题，工件各点只有x、y两 个方向的速度；
2） 同一条滑移线上各点有不同的速度值；
3） 以x、y两个方向的速度为坐标轴，从坐标 原点开始按同一比例画出滑移线上各点的 速度矢量，并将速度矢量端点连接成线即 得速度矢端曲线和速度矢端图；
13
二、滑移线场理论的基本内容
● 应力场理论：确定塑性变形区内的应力分 布，以及与模具接触面上的 应力分布。
● 速度场理论：确定塑性变形区内的速度分 布。
14
三、适用范围 严格地说，这种方法仅适用于理想刚塑性
体的平面应变问题。但在一定的条件下，也可 推广到平面应力、轴对称问题及硬化材料。
15
四、求解方法 针对具体的塑性成形过程，首先建立滑移
33
注意：分析上模边缘处工件的应力状态 ↓
应力奇异点！
34
2、已知顶部被削平的楔体，承受均布载荷q的
作用而产生塑性变形，若楔体夹角为 2 ，
且 AB 2a ，求均布载荷q的大小。 35
分析：本题目中当 2 ＝180度的情况。 36
3、足够长厚壁圆筒内半径为r，外半径R，在内 压p 的作用下产生塑性变形。已知其滑移线
v (v dv ). cos(d) (v dv ).sin(d)
49
由于 d 很小，前式化简得：
dv v.d 0 同理 dv v.d 0
(沿线)
(沿线)
上式即为 H.Geiringer速度方程。
50
推论：
1） 若某条滑移线为直线，则该线上各点的速 度为一常数；
第四节 滑移线的基本理论
一、滑移线的基本概念
一 ）平面应变状态的特点（即 平面塑性应变状态）
1）某一方向的应变为零（εZ=0）； 2）变形平面称为塑性流动平面； 3）任一点P的应力状态及其应力莫尔圆如 图， 且τmax =（σ1－σ3）/2=K。 4）作用在最大切应力平面上的正应力恰 等于中间主应力σ2或平均应力σm ，即 σm=σ2=(σ1+σ3)/2 =(σx+σy)/2 5）应力分量σx ,σy ,和τxy 可以用σm 及K表 示 σx=σm－Ksin2ω σ1= σm+K σy=σm + Ksin2ω σ2= σm τmax=±Kcos2ω σ3= σm－K 式中,ω--最大切应力平面与X轴的夹角
四、应力边界条件
一） 应力边界条件的描述形式 *通常的应力边界条件： 正应力σn，切应力τ； *滑移线场求解所要求的边界条件：切线角ω， 平均应力σm ； 设边界的切线与x轴一致，则有： ω=±[arcos(τ/K)] /2 （5--10）
二） 塑性加工中，常见的边界条件 (5种)
1.自由表面 特点： 自由表面无切向、法向应力，故自由表面必为主平面.
二）跨线特性（汉基第一定理） 同族的两条滑移与另族的一条滑移线相交，则两 交点切线间的夹角Δω与平均应力的变化Δσm 均为 常数。 ΔωAD=ΔωBC=……=Constant Δσm(A,D)=Δσm(B,C)=……= Constant 即: ωD －ωA=ωC －ωB =…… σmD－σmA=σmC－σm B =……
二 ）最大切应力轨迹线——滑移线的形成
1.滑移线连续地分布在整个塑 性变形区，一直伸展到边界。
2.由变形区内每一点出发均可 作出两条正交的滑移线，从 而得到两族相互正交的滑移 线网络，即滑移线场（一族 为α滑移线，另一族为β滑 移线）。 3.两条滑移线的交点称为节点。
第四章-材料成形力学-滑移线场理论及其应用-多媒体课件
塑性区
v 0
v 2v0
AC v0 v AF v AC cos 45 v AC
1 2
(3) 单位压力公式
pD 2kD pC 2kC
pC D 2k(C D )
D
p
4
pD k
C
3p
4
pC
k
2k(3p
4
p)
4
k(1 p )
y
pC
k sin 2C
k(1 p )
k sin 3p
② 同族滑移线必须具有 相同方向的曲率.
③ 如果一族滑移线是直 线，那么与其正交的 另一族滑移线将具有 如图所示的4种类型
A 平行直线场
B 有心扇形场
C 一般简单应力场
边
界
线
D 具有边界线的简单应力场
均匀应力状态区的相邻区域一定是简单应力 状态的滑移线场。
线 S
B
线 A
L
o C
B 线
线 A
4.4 盖林格尔速度方程与速端图
x
y
1 4
x
y
2
2 xy
1
max
1 2
1
3
1 4
x
y
2
2 xy
2
屈服时
1 2
p
p
k
3 p k
4.1.2 基本假设
假设变形材料为各向同性的刚－塑性材料 即 假设塑性区各点的变形抗力是常数
4.1.3 基本概念 (1) 滑移线、滑移线网和滑移线场
max
1 4
4.3 滑移线场的几何性质
性质1 在同一条滑移线上，由点a 到点b，静水压力的变化与 滑移线的切线的转角成正比.
第10章滑移线理论及应用分析解析
ω=0,dx=dsα,dy=dsβ
m 2k 0 s s m 2k 0 s s
m 2k （沿线） m 2k （沿线）
当沿 族a（或β族）中同一条滑移线移动时，任意函数 ξ（或η）为常数，只有从一条滑移线转到另一条时，ξ （或η）值才改变。
ma mb 2ka b
结论1：同一滑移线平均应力 2k
具有重要的意义，它指出了滑移线上平均应力的变
化规律。 当滑移线的转角越大时，平均应力的变化越大。若 滑移线为直线，即转角为零，则各点的平均应力相 等。
xy
0
xy
2G
2G
xz
yz 1 1 0 z ( y x ); 0 E 2 2G 1 z ( y x ) 得： 2
平均应力为： m
1 1 1 ( x y z ) ( x y ) ( x y ) z 3 3 2
m2,1
1 1 1 1 ( ) (2 2 ) 2,2 (2 1 ) m2,2 (2 2 ) 2,1 4 K 1 2 4K 2 2
→
2,1 1,1 2, 2 1, 2 ＝常数
m m 2,1 m 1,1 m 2, 2 m 1, 2＝常数
结论2：若滑移线场确定，只要知道任一点的 平均应力，其余节点的平均应力即可求得。
汉基第一定理
汉盖第一定理： 同一族滑移线与另一族滑移线相交，在两交点 处的切线间夹角∆ω与平均应力变化∆σm均为常 数。
a b c d const ma b mdc const
在同一族（例如a族）的两条滑移线（例如a 1和a 2线）与另
第四章滑移线理论
(σx,τxy)
β
α
(σy,τxy)
σ
2θ
β
π/4 α σ3
σ1
第一主应力与x轴的夹角为θ： tan 2 2 xy
y x
剪切破坏面(α面和β面)与第一主应力方向的夹角为π/4。要 注意的是，剪切破坏面与第一主应力方向的夹角、剪切破坏面 与第一主应力面的夹角是不相等的，两者相差π/2，在莫尔圆中 则相差π。
y'
x
x'
xy dA yx
根据 2 sincos sin2 cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
y
x cos2 y sin2 xy sin cos yx sin cos
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin 2
x sin cos y sin cos xy cos2 yx sin2
xy
x y
2
4
2 xy
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
max
min
x y
2
2
2 xy
x y
2
2
2 xy
tan
2
1
4
tan
21
2
cot
21
cot
21
xy x y
2
0
1
4
即极值剪应力面与主面成45°夹角
4.2 滑移线的概念
(1) Tresca材料 τ p=(σx+σy)/2
O
应力分量 x , y , xy 可表示为：
x
p
R cos 2
β
α
(σy,τxy)
σ
2θ
β
π/4 α σ3
σ1
第一主应力与x轴的夹角为θ： tan 2 2 xy
y x
剪切破坏面(α面和β面)与第一主应力方向的夹角为π/4。要 注意的是，剪切破坏面与第一主应力方向的夹角、剪切破坏面 与第一主应力面的夹角是不相等的，两者相差π/2，在莫尔圆中 则相差π。
y'
x
x'
xy dA yx
根据 2 sincos sin2 cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
y
x cos2 y sin2 xy sin cos yx sin cos
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin 2
x sin cos y sin cos xy cos2 yx sin2
xy
x y
2
4
2 xy
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
max
min
x y
2
2
2 xy
x y
2
2
2 xy
tan
2
1
4
tan
21
2
cot
21
cot
21
xy x y
2
0
1
4
即极值剪应力面与主面成45°夹角
4.2 滑移线的概念
(1) Tresca材料 τ p=(σx+σy)/2
O
应力分量 x , y , xy 可表示为：
x
p
R cos 2
第8章滑移线理论及应
181第8章 滑移线理论及应用§8. 1 平面应变问题和滑移线场滑移线理论是二十世纪20年代至40年代间，人们对金属塑性变形过程中，光滑试样表面出现 “滑移带”现象经过力学分析，而逐步形成的一种图形绘制与数值计算相结合的求解平面塑性流动问题变形力学问题的理论方法。
这里所谓“滑移线”是一个纯力学概念，它是塑性变形区内，最大剪切应力max (τ）等于材料屈服切应力（k ）的轨迹线。
对于平面塑性流动问题，由于某一方向上的位移分量为零（设du Z =0），故只有三个应变分量（x d ε、y d ε、xy d γ），也称平面应变问题。
根据塑性流动法则，可知p m y x Z -==+==σσσσσ2/)(2 （8-1）式中，m σ为平均应力；p 称为静水压力。
根据塑性变形增量理论，平面塑性流动问题独立的应力分量也只有三个（x σ、y σ、xy τ）（见图8-1a ），于是平面应变问题的最大切应力为：2231max ]2/)[(2/)(xyy x τσσσστ+-=-= （8-2） 可见，这是一个以max τ为半径的圆方程，这个圆便称为一点的应力状态的莫尔圆（见图8-1c ）。
图中设x σ<y σ<0（即均为压应力，因塑性加工中多半以压应力为主）。
值得注意的是绘制莫尔圆时，习惯上规定：使体素顺时针旋转的切应力为正，反之为负。
因此图8-1c 中的yx τ为正值；而xy τ取负值。
根据平面流动的塑性条件，k =max τ（对Tresca 塑性条件2/T k σ=；对Mises 塑性条件3/T k σ=.于是，由图8-1(C)的几何关系可知，有 Φ--=2sin k p x σΦ+-=2sin k p y σ （8-3）Φ=2cos k xy τ式中，)2/)((y x m p σσσ+-=-=——静水压力182Φ——定义为最大切应力)(max k =τ方向与坐标轴Ox 的夹角。
通常规定为Ox 轴正向为起始轴逆时针旋转构成的倾角Φ为正，顺时针旋转构成的倾角Φ为负（图8-1中所示Φ均为正）。
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10.2 滑移线的沿线力学方程——汉盖 应力方程
x m ksin2 p ksin2 y m ksin2 p ksin2 xy kcos2
代入平面应变问题的微分平衡方程
x yx 0 x y xy x y y 0
10.3 滑移线的基本性质
一、沿线特性 同一条α滑移线上，任取两点a，b，由
m 2k
得：
ma 2ka mb 2kb
即： 同理
ma mb 2k a b
若该滑移线为β线
ma 2ka mb 2kb
2）ωma= ωmb= ωmc=…。
m , x , y , xy为常数
2.简单场 特点：1）一簇滑移线为直线； 2）另一簇则与直线正交的曲线。
3．均匀场与简单场的组合来自与均匀场相邻的区域，滑移线场必定是简 单场，因为其中有一族滑移线只能是由直线 所组成。
4．由两族互相正交的光滑曲线构成的滑移线场 1) 圆形界面为自由表面或作用均布法向应力，滑移线 场为正交的对数螺旋线网。
m 2k （沿线） m 2k （沿线）
→
1 m ( ) 2 1 ( ) 4K
m1,1 (1 1 ) m1,2 (1 2 ) 1,1
1 2
1 2
1 1 (1 1 ) 1, 2 (2 1 ) 4K 4K
m2,1
1 1 1 1 (2 1 ) m2,2 (2 2 ) 2,1 4 K (1 2 ) 2,2 4 K (2 2 ) 2 2
→
2,1 1,1 2, 2 1, 2 ＝常数
m m 2,1 m 1,1 m 2, 2 ＝常数 m 1, 2
AD为自由表面，AO为光滑受力面， ADC和AOB为均匀滑移线场，ABC 与均匀场相邻，为简单滑移线场 2.根据受力条件确定σx和σy AD面：σy=0，σx＜0 AO面：σy＜σx＜0
α
β β
α
3.屈服准则确定σm：
σ1-σ3=2K σm= （σ1+σ3 ）/2
α A 0 C D x
AD面： σy=0， σx=-2K，σmF=-K。 AO面： σy =-p， σx=2K-p， σmE=K-p
1）自由表面 2）光滑（无摩擦）接触表面 3）摩擦切应力为最大值的接触表面 4）摩擦切应力为中间值的接触表面
1）自由表面
自由表面：表面上无应力作用，即：σn=0， xy kcos2 0 单元体应力状态（1）σ1=2K； σ3=0 （2）σ1=0， σ3=-2K
2）光滑（无摩擦）接触表面
1）证明接触面上的单位 应力q=K（2+ +2 ）； 2）假定冲头的宽度为2b， 求单位厚度的变形抗力P；
证明：在AH边界上：
AH
4
y xy 0
故 1 y 0 ， 3 x
屈服准则：
1 3 2 K mH 1 3 2
ω角规定 ω角是α线在任意点P的切线正方向与ox轴的夹角。 ox 轴正向逆时针旋转为正ω角，顺时针旋转为负ω角
σ1 ＞ σ3
金属向力大方向流动 顺时针方向切应力 对应α线
四、滑移线微分方程
滑移线的微分方程为 对α线
dy tg dx
对β线
dy tg ' dx tg( ) ctg 2
结论2：若滑移线场确定，只要知道任一点的 平均应力，其余节点的平均应力即可求得。
汉基第一定理
汉盖第一定理： 同一族滑移线与另一族滑移线相交，在两交点 处的切线间夹角∆ω与平均应力变化∆σm均为常 数。
a b c d const ma b mdc const
在同一族（例如a族）的两条滑移线（例如a 1和a 2线）与另
1 1 m ( 1 2 3 ) 3 ( 1 2 ) p 3 2
p称为静水压力
一、平面变形应力状态的特点
2 max ( 1 3 ) / 2 [( x y ) / 2] 2 xy
x m ksin2 p ksin2 y m ksin2 p ksin2 xy kcos2
2) 粗糙刚性的平行板间压缩，在接触面上摩擦切应力 达到最大值K的那—段塑性变形区，滑移线场为正 交的圆摆线。 3) 两个等半径圆弧所构成的滑移线场，或称扩展的有 心扇形场。
10.6 滑移线应用
冲头压入半无限体(半无限体是指加工件的宽度比冲
头的宽度大得多。由于冲头的长度比宽度大得多，可以认为 是平面塑性应变状态。这类问题用工程法是无法解决的，而 用滑移线法求解却十分方便。) 步骤： 1.根据受力条件画出滑移线场，确定α和β。
ma mb 2k a b
结论1：同一滑移线平均应力σm变化与ω角变化成 正比。
沿α线 沿β线
m 2k m 2k
具有重要的意义，它指出了滑移线上平均应力的变
化规律。 当滑移线的转角越大时，平均应力的变化越大。若 滑移线为直线，即转角为零，则各点的平均应力相 等。
m 0 2k cos2 sin2 x x y m 0 2k sin2 cos2 x x y
取滑移线本身作为坐标轴，设为轴a和β轴。这样，滑移 线场中任何一点的位置，可用坐标值a和β表示。当沿着a坐标 轴从一点移动到另一点时，坐标值β不变，当然沿着坐标轴β 从一点移动到另一点时，坐标轴a也不变。 将xy坐标原点置于两条滑移线的交点a上，并使坐标轴x、 y分别与滑移线的切线x` 、y`重合。 在离a点无限邻近处，坐标轴a和β的微分弧可认为与切线 重合，故有：
第10章 滑移线理论及应用
7.1 滑移线基本概念 7.2 滑移线的沿线力学方程——汉盖应力方程
7.3 7.4 7.5 7.6
滑移线的几何性质 应力边界条件 滑移线场的建立 滑移线应用
塑性变形体内各点最大剪应力的轨迹称为滑移线。 由于最大剪应力成对正交，因此，滑移线在变形体内成两 族正交的线网，组成所谓滑移线场。 滑移线法是求解理想刚塑性材料的平面应变问题的精确理
光滑接触表面：接触表面无摩擦，即τ=0 通常在塑性加工中，施加压力，且：σn= σ3。
3）摩擦切应力为最大值的接触 表面
摩擦切应力为最大值的接触表面：τ=K
4）摩擦切应力为中间值的接触表面
0 <τ<K σn≠ 0
10.5 滑移线场的建立方法
一、常见的滑移线场
1.均匀场
特点：1）σma= σmb= σmc=…；
论。
根据变形过程，建立滑移场 求解塑性成性问题
（应力分布、变形力、分析变形和毛坯的外性尺寸）
10.1 滑移线基本概念
一、平面变形应力状态的特点 平面变形：某一方向相关的应变为零，即变形仅发 生在一个坐标平面内。由万能胡克定律：
x y
1 1 x ( y z ); E 2 1 1 y ( x z ); E 2
ω=0,dx=dsα,dy=dsβ
m 2k 0 s s m 2k 0 s s
m 2k （沿线） m 2k （沿线）
当沿 族a（或β族）中同一条滑移线移动时，任意函数 ξ（或η）为常数，只有从一条滑移线转到另一条时，ξ （或η）值才改变。
4.确定ω角
ADC场： ωF =π/4，
0 E α A x
AOB场： ωE =-π/4
5.由汉基方程求平均压力： σmF-2KωF = σmE-2KωE K -2K×π/4=K-p＋ 2K×π/4
P=2K×(1+ π/2)
2．图二所示的一尖角为2的冲头在外力作用下插入具 有相同角度的缺口的刚塑性体中，接触表面上的摩擦 力忽略不计，其接触面上的单位压力为p，自由表面
变形抗力
b P 2 Lp sin 2 sin 2 K (1 ) 4bK (1 ) sin
3．图所示的一平冲头在外力作用下压入两边为斜面 的刚塑性体中，接触表面上的摩擦力忽略不计， 其接触面上的单位压力为q，自由表面AH、BE与 X轴的夹角为γ ，求：
得： 3 2K, mH
1 ( 1 2 ) K 2
在AO边界上： AO
3 , xy 0, y q(q取正值) 4
ABC与X轴的夹角为。
求：(1)证明接触面上的单位
应力p=2K（1++）；
(2)假定冲头的宽度为2b， 求变形抗力P；
证明：在AC边界上：
C
4
1 xy 0 3 2 K mC ( 1 3 ) K
1 2
在AO边界上：
O , xy 0, 3 p(p取正值) 4
汉基第二定理
沿一族的某一滑移线移动，则另一族滑移线在与该 滑移线交点处的曲率的变化，等于沿该线移动所经 过的距离，即
R S
其中
；
R S
S（或 S ）是α（或β）
线被相邻两条β （或α）线所截的 微分弧长（见下图所示）
10.4 应力边界条件和滑移线场的绘 制
应力边界条件
xy
0
xy
2G
2G
xz
yz 1 1 0 z ( y x ); 0 E 2 2G 1 z ( y x ) 得： 2
平均应力为： m
1 1 1 ( x y z ) ( x y ) ( x y ) z 3 3 2