圆中的计算与证明(一)

圆中的计算与证明（一）

【基础回顾】

1.如图1，在O中，AB、AC为互相垂直的两条弦，D、E分别为AB、AC的中点，则四边形ADOE为( )

A.菱形

2.如图2，O的直径CD=10cm，AB是O的弦，AB CD

⊥，垂足为M，:3:5

OM OC=，则AB的长为( )

A.8cm C.6cm D.2cm

3.如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB=50°，点D是BAC弧上

一点，则D

∠= ．

【例题解析】

讲点1：弧、弦、圆心角、圆周角性质应用

【例1】如图3，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为( ) A.19 B.16 C.18 D.20

图3 图4

【练】如图4，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为.

【例2】如图5，在⊙O中，∠AOB的度数为m，C是弧ACB上一点，D、E是弧AB上不同的两点（不与A、B两点重合），则∠D+∠E的度数为（）

A.m

B.180

2

m

︒- C.90

2

m

︒+ D.

2

m

图5 图6

【例3】如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，∠BAC 与∠ABC 的平分线相交于点I ，延长AI 交圆O 于点D ，连接BD 、DC ．

(1)求证：BD=DC=DI ；

(2)若圆O 的半径为10cm ，∠BAC=120°，求△BDC 的面积．

【练】如图，在直角坐标系中，M 为x 轴上一点，

M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，P 为

BC 上的一个动点，CQ 平分PCD ∠，A(-1，0)，M(1，0).

(1)求C 点坐标

(2)当P 点运动时，线段AQ 的长度是否改变？ 若不变求出其值，若改变说明理由。

讲点2：垂径定理综合应用

【例4

=

【练】如图8，AB 是O 的直径。且AB=10，弦MN 的长为8，若弦MN 的两端在圆周上滑动时，始终与AB 相交，记点A 、B 到MN 的距离分别为1h 、2h ，则12h h -等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8

讲点3：圆与全等、勾股定理有关的计算与证明

【例5】如图，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，圆心O 在AD 上，OC

∥AB ． (1) 求证：AC 平分∠DAB ；

(2) 若AC=8，AD ：BC=5：3，试求⊙O 的半径．

【练】如图，O 中，直径CD AB ⊥于E ，AF BD ⊥于F ，交CD 的延长线于H ，连AC. (1)求证：AC=AH

(2)若AB=42，OH=5，求

O 的半径

D

H

F

E

C

B

A

O

【例6】如图，CD 是△ABC 的外角ECA ∠的平分线，CD 交过A 、B 、C 三点的圆O 于点D ，连接DA 、DB.

(1)试判断△DAB 的形状，并证明你的结论；

(2)若直线DO 交AB 于F 点，且OF=4，BD=310，求O 的半径.

B D

E C

A

O

【例7】如图，O 的半径为2，动弦CD ⊥直径AB 于E ，CF OD ⊥于F ，

探索：当弦CD 运动时，22OE EF +

【练】如图，在O 中，AB 为直径，P 为AB 上一点，45NPB ∠=︒

(1)若NP=1，MP=7，求AB 的长并计算22

2

MP NP AB

+的值 (2)当P 点在AB 上运动(保持NPB ∠的度数不变)，22

2

MP NP AB +的值是否发生变化？若不变，求出其值；

若变化，求出其变化的范围。

【课后反馈】

1.如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50º，则∠C的度数是( ) A

C．30 º D.25 º

2.如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC、OD与AB分别交于点E、F，且AE=BF．求证：AC BD

=

3.如图，AB是半圆的直径，AC为弦，OD⊥AB，交AC于点D，垂足为O，⊙O的半径为4，OD=3，求

CD的长．

4.如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，45

NPB︒

∠=，

（1）若2,6

AP BP

==，求MN的长。

（2）若3,5

MP NP

==，求AB的长。

（3）当P点在AB上运动时，

22

2

PM PN

AB

+

的值是否发生变化？分析说明。

5．如图，在⊙O中，弦BC⊥OA于点D，点F是CD上一点，AF交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BC

于点H

(1) 求证：EH＝FH

(2) 若点C为AE的中点，AD＝2，OD＝1，求EH的长度

B

A