圆中的计算与证明(一)

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2023年数学中考真题：圆的有关计算及证明精选(一)

圆的有关计算及证明2023年数学中考试题精选（一）1.（2023.营口23题）如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径作圆O与AC将于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E.（1）求证：DF为圆O的切线；，求BF的长。

（2）若BE=3，cosC=452.（2023.本溪铁岭辽阳24题）如图，AB是圆O的直径，点C，E在圆O上，∠CAB=2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE=∠ABC.（1）求证：EF与圆O相切；，求BC的长。

（2）若BF=1，sin∠AFE=453.(2023.沈阳22题)如图，BE是圆O的直径，点A和点D是圆O上的两点，过点A作圆O的切线交BE延长线于点C.（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求圆O半径的长.4.(2023.大连市23题)如图1，在圆O中，AB为圆O的直径，点C为圆O上一点，AD为∠CAB的平分线交圆O于点D，连接OD交BC于点E.（1）求∠BED的度数；（2）如图2，过点A作圆O的切线BC延长线于点F，过点D作DG ∥AF交AB于点G.若AD=2√35,DE=4，求DG的长。

5.(2023.湖北省恩施州23题)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点，连接CO交圆O于点E，圆O与AC 相切于点D.（1）求证：BC是圆O的切线；（2）延长CO交圆O于点G，连接AC交圆O于点F，若AC=4√(2)，求FG的长.6.（2023.贵州省23题）如图，已知圆O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交圆O于点E，连接EA，EB.（1）写出图中一个度数为30°的角；____，图中与△ACD全等的三角形是______；（2）求证：△AED∽△CEB;（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由。

7.(2023.江苏省24题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB.（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作圆O的切线，交CE 于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）（2）在（1）的条件下，求证：BD=BF.8.(2023.江西省20题)如图，在△ABC中，AB=4,∠C=64°，以AB为直径的圆O与AC相交于点D，E为优弧ABD上一点，且∠ADE=40°.（1）求BE的长；（2）若∠EAD=76°，求证：CB为圆O的切线.9.(2023.沈阳22题)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的一点（点C不与点A，B重合），连接AC，BC，点D是AB上的一点，AC=AD，BE交CD的延长线于点E，且BE=BC.（1）求证：BE是圆O的切线；（2）若圆O的半径为5，tanE=1，则BE的长为_____.210.(2023.扬州市25题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、上一点，且∠BCD=12D两点.（1）试判断直线AB与圆O的位置关系，并说明理由；，圆O的半径为3，求AC的长.（2）若sinB=3511.(2023.广西壮族自治区23题)如图，PO平分∠APD，PA与圆O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B.（1）求证：PB是圆O的切线；（2）若圆O的半径为4，OC=5，求PA的长.12.（2023.广东省22题）如图1，在矩形ABCD中（AB>AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A`，连接AA`交BD于点E，连接CA`.（1）求证：AA`⊥CA`；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆.①如图2，圆O与CD相切，求证：AA`=√3CA`；②如图3，圆O与CA`相切，AD=1，求圆O的面积.13.(2023.安徽省20题)已知四边形ABCD内接于圆O，对角线BD是圆O的直径.（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分⊥BCD; （2）如图2，E为圆O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB，若BD=3√3，AE=3.求弦BC的长.14.(2023.湖北黄冈市20题)如图，⊥ABC 中，以AB 为直径的圆O 交BC 于点D ，DE 是圆O 的切线，且DE⊥AC ，垂足为E ，延长CA 交圆O 于点F.（1）求证：AB=AC ；（2）若AE=3，ED=6，求AF 的长。

初三《圆》知识点及定理(1)

《圆》知识点及定理一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；(补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线.二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内;2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1:（1)平分弦（不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理:此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

圆的证明与计算计算线段和半径的长度

一、中点的联想1.如图，已知AB为半圆O的直径，AC，AD为弦，且AD平分∠BAC．（1）若∠ABC＝28°，求∠CBD的度数；（2）若AB＝6，AC＝2，求AD的长．2.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD＝CD．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．3.如图、AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，BD平分∠ABC，过D作DE⊥BC、交BC延长线于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CE＝2，DE＝5，求⊙O的半径．4.如图，AB是半圆O的直径，D是的中点，DE⊥AB于点E，AC交DE于点F．（1）求证：∠DAF＝∠ADF；（2）若CD＝2，半圆O的半径为5，求BC的长．5.如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝12，AC＝16，求⊙O的半径和CE的长．6.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，BC．D是的中点，过D作DE⊥AB于点E，交BC于点F．（1）求证：BC＝2DE；（2）若AC＝6，AB＝10，求DF的长．7.如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，连接BD交AC于点G，且AF＝FG．（1）求证：点D平分；（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连接DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．8.已知：如图，⊙O的半径为5，P为⊙O外一点，PB、PD与⊙O分别交于点A、B和点C、D，且PO平分∠BPD．（1）求证：CB＝AD；（2）当P A＝1，∠BPO＝45°时，求弦AB的长．9.如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D，E，且．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求BD的长．10.如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D的切线DE⊥AC于点E．（1）求证：AB＝AC；（2）若AB＝10，BD＝8，求DE的长．11.已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC．（1）求证：AB＝AC；（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．（3）若BC＝5，CD＝3，求AB的长．12.如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F．（1）求证：EF与⊙O相切．（2）若EF＝2，AC＝4，求扇形OAC的面积．13.如图，AB是⊙O的直径，B是的中点，弦AC、DB的延长线交于点E，弦AD、CB的延长线交于点F．（1）求证：BE＝BF；（2）若BD＝3，CE＝4，求⊙O的直径．14.如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝16，CD＝15，求⊙O的半径．16.已知：△ABC中，以AB为直径的⊙O交边AC，BC于点D，E，且点E为BC边的中点．（1）求证：AC＝AB；（2）若BE＝2，AD＝6，求⊙O半径长．17.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．18.如图△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作EF⊥BE于E点，EF与AB交于F点，△BEF的外接圆⊙O与BC交于D点．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，若CD＝1，EH＝3，求BE长．19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．（1）求证：BF＝DF；（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．20.如图，一块等腰三角形钢板的底边长为80cm，腰长为50cm．（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径；（2）用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少cm？。

圆的证明与计算

《圆的证明与计算》一、重要考点：考点（一）垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的2、推论：平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦一直线平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧【名师提醒：1、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线２、垂径定理常用作计算，在半径r、弦长a、弦心距d和弓形高h中已知两个可求另外两个】考点（二）、圆心角、弧、弦之间的关系：定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】考点（三）圆周角定理及其推论：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直径）所对的圆周角是900的圆周角所对的弦是【名师提醒：作直经所对的圆周角是圆中常作的辅助线】考点（四）切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的【名师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常用连接圆心和切点，即可的垂直关系】⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线式圆的切线【名师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。

当公共点未标出时，可证圆心到直线的距离d=r来判定相切,即“有公共点连半径，无公共点作垂直”】O D C B A O ED CB A FOE D C B A考点（五）、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角考点（六）、弧长和扇形面积 1、圆周长C ＝2πR ；2、弧长180Rn L π=２、圆面积：2R S π=； 2、扇形面积：3602R n S π=扇形二、考题形式：主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或阴影面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。

查补重难点07 圆的相关计算与证明(原卷版)

查补重难点07.圆的相关计算与证明考点一：圆的基本概念与性质1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．2.圆心角、弧、弦的关系（定理）：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．3．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．圆周角定理的推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．2）直径所对的圆周角是直角．3）圆内接四边形的对角互补．题型1.垂径定理及其运用 1.如图，可得①AB 过圆心；②AB ⊥CD ；③CE =DE ；④ AC AD =；⑤ BCBD =。

总结：垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。

若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理。

2.关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．例1.（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，A 、B 、C 是O 上的点，OC AB ⊥，若5OA =，8AB =，则CD =（）A ．5B ．4C ．3D ．2变式2．（2024·江苏徐州·一模）如图，ABC 是O 的内接三角形，若60A ∠=︒，BC =O 的半径长为()A ．4BC ．2D ．1题型2.圆心角、弧、弦的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。

圆中的计算和证明

1、如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD。

（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝24，ON＝1，求⊙O的半径。

2、在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD。

（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求出∠DCA的度数。

知识点（圆相关概念和性质）知识点一：垂径定理1．垂径定理：于弦的直径这条弦且这条弦所对的。

2．推论（1）：①平分（）的垂直于弦且弦所对的；②弦的经过且弦所对的两条弧；③弦所对的一条的直径弦且平分弦所对的另一条弧。

推论（2）：圆的两条弦所夹的弧。

知识点二：圆心角、弧、弦、弦心距间的关系1．定理：在或中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等，相等。

2．推论：同圆或等圆中，如果①两个相等，②两条相等，③两条相等，④两条弦的中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

知识点三：圆周角定理及其推论1．定理：在同圆或等圆中，或所对的相等，都等于这条弧所对的的。

2．推论①：同弧或等弧所对的相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是。

推论②：或所对的是直角；是直角（90°的）所对的弧是，所对的弦是。

推论③：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是。

知识点四：圆内接四边形性质定理1．概念：所有顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。

2．定理：圆内接四边形的对角，并且任何一个外角都等于它的。

知识点五：直线与圆的位置关系直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系公共点名称直线名称知识点六：圆的切线1．切线的性质（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径。

拓展：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；③切线与圆只有一个公共点；④圆心到切线的距离等于半径。

九年级中考数学复习专题-【圆的计算与证明】专项巩固复习(一)

2021年九年级中考数学复习专题-【圆的计算与证明】专项巩固复习(一)一．选择题1．如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝75°，∠D＝60°，则的度数为何？（）A．25°B．40°C．50°D．60°2．《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E．CE＝1寸，AB＝10寸，则可得直径CD的长为（）A．13寸B．26寸C．18寸D．24寸3．若直线l与半径为5的⊙O相离，则圆心O与直线l的距离d为（）A．d＜5 B．d＞5 C．d＝5 D．d≤54．如图，将边长为6的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S1）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S2），则S1与S2的关系为（）A．S1＝S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．S1＞S25．如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，则剩下的钢板的面积为（）A．2πab B．C．D．6．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，CE相交于点F，则∠BFC的度数是（）A．60°B．70°C．72°D．90°7．如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E，若∠C ＝70°，则∠ABE的度数是（）A．50°B．65°C．70°D．80°8．如图，△ABC内接于⊙O，将沿BC翻折，交AC与点D，连接BD，若∠BAC＝68°，则∠ABD的度数为（）A．22°B．32°C．44°D．68°9．如图，AB是⊙O的直径，OC是⊙O的半径，点D是半圆AB上一动点（不与A、B重合），连结DC交直径AB与点E，若∠AOC＝60°，则∠AED的范围为（）A．0°＜∠AED＜180°B．30°＜∠AED＜120°C．60°＜∠AED＜120°D．60°＜∠AED＜150°10．如图，在圆O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C做CD⊥OC交圆O于点D，则CD的最大值为（）A．2B．2 C．D．11．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝8，BC＝6，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．B．2 C．D．12．如图，半径OA⊥弦BC于点D，将⊙O沿BC对折交AD于点E，tan∠ABE＝，△ABE的面积为36，则OD的长为（）A．3 B．C．4 D．二．填空题13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，若AC＝AD，且∠DAC＝50°，则∠B的度数为．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，⊙O为ABC的内切圆，OA，OB与⊙O 分别交于点D，E，则劣弧DE的长是．15．如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为5cm，侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r 为cm．16．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，以P为顶点的抛物线经过原点，与x 轴正半轴相交于点A，⊙P与y轴相切于点B，交抛物线于点C、D．若点A的坐标为（a，0），CD＝b，则△PCD的周长为．（用含a、b的代数式表示）三．解答题17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以边AB为直径的⊙O交边BC于点D，交边AC于点E．过D点作DF⊥AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求证：CF＝EF；（3）延长FD交边AB的延长线于点G，若EF＝3，BG＝9时，求⊙O的半径及CD的长．18．平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段BC，给出如下定义：若△ABC是等腰直角三角形，则称点A为BC的“等直点”；特别的，若△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则称点A为BC的“完美等直点”．（1）若B（﹣2，0），C（2，0），则在D（0，2），E（4，4），F（﹣2，﹣4），G（0，）中，线段BC的“等直点”是；（2）已知B（0，﹣6），C（8，0）．①若双曲线y＝上存在点A，使得点A为BC的“完美等直点”，求k的值；②在直线y＝x+6上是否存在点P，使得点P为BC的“等直点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若B（0，2），C（2，0），⊙T的半径为3，圆心为T（t，0）．当在⊙T内部，恰有三个点是线段BC的“等直点”时，直接写出t的取值范围．19．如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，cos C＝，DC＝5，BC＝6，以点B为圆心，BD为半径作圆弧，分别交边CD、BC于点E、F．（1）求sin∠BDC的值；（2）联结BE，设点G为射线DB上一动点，如果△ADG相似于△BEC，求DG的长；（3）如图2，点P、Q分别为边AD、BC上动点，将扇形DBF沿着直线PQ折叠，折叠后的弧D'F'经过点B与AB上的一点H（点D、F分别对应点D'，F'），设BH＝x，BQ＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写定义域）．20．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．21．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，点P是射线AC上一点（不与点A、C重合），过P作PM⊥AB，垂足为点M，以M为圆心，MA长为半径的⊙M与边AB相交的另一个交点为点N，点Q是边BC上一点，且CQ＝2CP，联结NQ．（1）如果⊙M与直线BC相切，求⊙M的半径长；（2）如果点P在线段AC上，设线段AP＝x，线段NQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）如果以NQ为直径的⊙O与⊙M的公共弦所在直线恰好经过点P，求线段AP的长．22．已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB＝CD．（1）如图1，连接AD．求证：AM＝DM．（2）如图2，若AB⊥CD，在弧BD上取一点E，使弧BE＝弧BC，AE交CD于点F，连接AD、DE．①判断∠E与∠DFE是否相等，并说明理由．②若DE＝7，AM+MF＝17，求△ADF的面积．参考答案一．选择题1．解：连接OB、OC，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，∵∠A＝75°，∠D＝60°，∴∠1＝180°﹣2∠A＝180°﹣2×75°＝30°，∠2＝180°﹣2∠D＝180°﹣2×60°＝60°，∵＝150°，∴∠AOD＝150°，∴∠3＝∠AOD﹣∠1﹣∠2＝150°﹣30°﹣60°＝60°，则的度数为60°．故选：D．2．解：连接OA，AB⊥CD，由垂径定理知，点E是AB的中点，AE＝AB＝5，OE＝OC﹣CE＝OA﹣CE，设半径为r寸，由勾股定理得，OA2＝AE2+OE2＝AE2+（OA﹣CE）2，即r2＝52+（r﹣1）2，解得：r＝13，所以CD＝2r＝26，即圆的直径为26寸．故选：B．3．解：∵直线l与⊙O的位置关系是相离，∴d＞r，∴r＝5，∴d＞5，故选：B．4．解：由题意：的长度＝24，∴S2＝×24×6＝72＝18×4＝18，∵S1＝×6×3×6＝54＝18×3＝18，∴S1＞S2，故选：D．5．解：剩余部分是大圆面积减去两个挖去的小圆面积，即：S＝（）2π﹣（）2π﹣（）2π＝π，故选：B．6．解：如图所示：∵五边形ABCDE为正五边形，∴BC＝CD＝DE，∠BCD＝∠CDE＝108°，∴∠CBD＝∠CDB＝∠CED＝∠DCE＝＝36°，∴∠BFC＝∠BDC+∠DCE＝72°．故选：C．7．解：∵AB＝AC，∠C＝70°，∴∠BAC＝40°，∵AB是直径，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣40°＝50°，故选：A．8．解：∵将沿BC翻折，交AC与点D，∴∠A+∠BDC＝180°，∵∠A＝68°，∴∠BDC＝112°，∴∠ADB＝180°﹣∠BDC＝68°，∴∠ABD＝180°﹣68°﹣68°＝44°，故选：C．9．解：如图1，当点E在线段AO上时，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝30°，∴∠BDE＝60°，∴∠AED＞∠BDE，∴∠AED＞60°；如图2，当点E在线段OB上时，∵∠ADE＝AOC＝30°，∴∠DEB＞30°，∵∠AED+∠DEB＝180°，∴∠AED＜150°，∴∠AED的范围为60°＜∠AED＜150°，故选：D．10．解：如图，连接OD，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB＝AB＝2，即CD的最大值为2，故选：B．11．解：取AB的中点O，连接OP，∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴点P在以AB为直径的⊙O的一部分弧线上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，其最小值为OC﹣OP，在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝6，OP＝OB＝4，∴OC＝＝＝2，∴PC＝OC﹣OP＝2﹣4．∴PC最小值为2﹣4．故选：D．12．解：连接BF，∵将⊙O沿BC对折交AD于点E，∴BE＝BF，DE＝DF，∵AF是⊙O的直径，∴∠ABF＝90°，∴∠A+∠F＝90°，∵半径OA⊥弦BC于点D，∴∠F+∠FBD＝90°，∴∠EBD＝∠FBD＝∠A，∴∠ABE＝90°﹣2∠A，连接OB，∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO，∴∠ABO＝∠DBE，∴∠ABE＝∠OBD，∵tan∠ABE＝，∴tan∠OBD＝，设OD＝x，则BD＝4x，则OB＝＝x，∵DE＝DF＝OF﹣OD＝x﹣x，∴AE＝AD﹣DE＝x+x﹣（﹣1）x＝2x，∵△ABE的面积为36＝AE•BD＝×2x•4x＝36，解得：x＝3，∴OD＝3，故选：A．二．填空题（共4小题）13．解：∵AC＝AD，且∠DAC＝50°，∴∠D＝∠ACD＝＝65°，∴∠B＝180°﹣∠D＝180°﹣65°＝115°，故答案为：115°．14．解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵⊙O为ABC的内切圆，∴OD＝＝2，OB平分∠BAC，OC平分∠ABC，∴∠AOB＝90°+∠C＝90°+×90°＝135°，∴劣弧DE的长＝＝π．故答案为π．15．解：根据题意得2πr＝，解得r＝3（cm）．故答案为3．16．解：过P作PE⊥OA于E，∵P为抛物线的顶点，∴OE＝OA＝a，连接PB，∵⊙P与y轴相切于点B，∴PB⊥OB，∴四边形PBOE是矩形，∴PB＝OE＝a，∴PC＝PD＝PB＝a，∴△PCD的周长为＝PC+PD+CD＝a+b，故答案为：a+b．三．解答题（共6小题）17．（1）证明：如图1，连接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；（2）证明：如图2，连接DE，∵四边形AEDB为圆内接四边形，∴∠CED＝∠ABC，∵∠ABC＝∠C，∴∠CED＝∠C，∴CD＝DE，∵DF⊥CE，∴CF＝EF；（3）解：如图3，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴CD＝BD，∵OD∥AC，∴△GOD∽△GAF，∴，∴设⊙O的半径是r，则AB＝AC＝2r，∴AF＝2r﹣3，OG＝9+r，AG＝9+2r，∴，∴r＝，即⊙O的半径是．∴AC＝AB＝9，∵∠CED＝∠ABC，∠ECD＝∠ACB，∴△CED∽△CBA，∴，∴，∴CD＝3．18．解：（1）如图1，观察图形可知：△BDC和△FBC是等腰直角三角形，所以线段BC的“等直点”是D和F，故答案为：D和F；（2）①分两种情况：i）当点A在第四象限时，如图2，∵点A为BC的“完美等直点”，∴△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，∵B（0，﹣6），C（8，0），∴OB＝6，OC＝8，∴BC＝10，∴AB＝AC＝5，过A作AE⊥x轴于E，AF⊥y轴于F，∵∠BAC＝∠EAF＝90°，∴∠CAE＝∠BAF，∵AB＝AC，∠AEC＝∠AFB＝90°，∴△AEC≌△AFB（AAS），∴AE＝AF，设AE＝x，则AF＝OE＝x，CE＝8﹣x，∴AC2＝CE2+AE2，即，解得：x＝1（舍）或7，∴A（7，﹣7），∴k＝﹣7×7＝﹣49；ii）当点A1在第一象限时，如图2，同理可得A1（1，1），∴k＝1×1＝1，综上，k的值是﹣49或1；②如图3，过C作PC⊥BC，交直线y＝x+6于点P，过P作PE⊥x轴于E，∵∠PCB＝∠PCE+∠BCO＝∠BCO+∠OBC＝90°，∴∠PCE＝∠OBC，∵∠PEC＝∠BOC＝90°，∴△PEC∽△COB，∴＝，设CE＝3x，PE＝4x，则PC＝5x，AE＝PE＝4x，∵OA＝6，∴OE＝4x﹣6＝8﹣3x，∴x＝2，∴PC＝10＝BC，∵∠PCB＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴点P为BC的“等直点”，且P（2，8）；（3）分三种情况：①在⊙T内部，恰有三个点A，O，G是线段BC的“等直点”时，如图4，△ABC，△BCG，△OBC都是等腰直角三角形，当⊙T经过点G时，连接TG，∵OG＝OC＝2，TG＝3，∴OT＝＝，如图5，⊙T经过点F时，△BCF，△BCH，△BCP是等腰直角三角形时，连接TF，同理得TC＝，∴OT＝﹣2，∴当在⊙T内部，恰有三个点是线段BC的“等直点”时，t的取值范围﹣＜t≤2﹣；②在⊙T内部，恰有三个点F，O，G是线段BC的“等直点”时，如图6，⊙T经过点A时，OT＝AT﹣OA＝3﹣2＝1，如图7，⊙T经过点P时，连接TP，过P作PE⊥x轴于E，∴TE＝，∴OT＝OE﹣TE＝4﹣，∴当在⊙T内部，恰有三个点是线段BC的“等直点”时，t的取值范围1≤t≤4﹣；③在⊙T内部，恰有三个点F，O，P是线段BC的“等直点”时，如图8，⊙T经过点G时，同理得：OT＝，如图9，⊙T经过点O时，此时OT＝3，∴在⊙T内部，恰有三个点是线段BC的“等直点”时，t的取值范围≤t＜3；综上，在⊙T内部，恰有三个点是线段BC的“等直点”时，t的取值范围﹣＜t≤2﹣或1≤t≤4﹣或≤t＜3．19．解：（1）如图1中，连接BE，过点D作DK⊥BC于K，过点B作BJ⊥CD于J．在Rt△CDK中，∵∠DKC＝90°，CD＝5，cos∠C＝＝，∴CK＝3，∵BC＝6，∴BK＝CK＝3，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝90°∵DK⊥BC，∴∠A＝∠ABC＝∠DKB＝90°，∴四边形ABKD是矩形，∴AD＝BK＝3，∴DB＝DC＝5，DK＝＝＝4，＝•BC•DK＝•CD•BJ，∵S△DCB∴BJ＝，∴DJ＝＝＝，∵BD＝BE，BJ⊥DE，∴DJ＝JE＝，∴EC＝CD﹣DJ＝JE＝5﹣＝，∴sin∠BDC＝＝＝．（2）如图2中，∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠DBC，∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠C，∴∠ADG＝∠C，∵△ADG相似△BEC，∴有两种情形：当△ADG∽△BCE时，∴＝，∴＝，∴DG＝，当△ADG∽△ECB时，＝，＝，∴DG＝．（3）如图3中，过点B作BJ⊥PQ交于J，连接BJ，JH，JQ，过点J作JG⊥BH于G，过点Q作QK⊥JH于K．由题意：QB＝QJ＝y，BJ＝BD＝5，∵JB＝JH，JG⊥BH，∴BG＝GH＝x，∴JG＝＝，∵∠GBQ＝∠BGK＝∠QKG＝90°，∴四边形BGKQ是矩形，∴BQ＝GK＝y，QK＝GB＝x，在Rt△QKJ中，∵JQ2＝QK2+KJ2，∴y2＝x2+（﹣y）2，∴y＝．20．（1）证明：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，∴OD＝1，∴等边△ABC的边心距为1．21．（1）解：如图1，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，∴，设⊙M的半径长为R，则，过M作MH⊥BC，垂足为点H，∴MH∥AC，∵MH∥AC，∴△BHM∽△BCA，∴，∵⊙M与直线BC相切，∴MA＝MH，∴，∴，即．（2）如图2，∵AP＝x，∴CP＝4﹣x，∵CQ＝2CP，∴CQ＝8﹣2x，∴BQ＝BC﹣CQ＝8﹣（8﹣2x）＝2x，过Q作QG⊥AB，垂足为点G，∵，∴，∴，同理：，∵PM⊥AB，∴∠AMP＝90°，∴，∵AP＝x，∴，∴，在Rt△QNG中，根据勾股定理得，QN2＝NG2+QG2，∴，∴（0＜x＜4）；（3）当点P在线段AC上，如图3，设以NQ为直径的⊙O与⊙M的另一个交点为点E，连接EN，MO，则MO⊥EN，∴∠NMO+∠ANE＝90°，∵以NQ为直径的⊙O与⊙M的公共弦所在直线恰好经过点P，即P、E、N在同一直线上，又∵PM⊥AB，MA＝MN，∴PN＝PA，∴∠PAN＝∠ANE，∵∠ACB＝90°，∴∠PAN+∠B＝90°，∴∠NMO＝∠B，连接AQ，∵M、O分别是线段AN、NQ的中点，∴MO∥AQ∴∠NMO＝∠BAQ，∴∠BAQ＝∠B，∴QA＝QB，在Rt△QAC中，根据勾股定理得，QA2＝AC2+QC2，∴（2x）2＝42+（8﹣2x）2，∴，同理：当点P在线段AC的延长线上，，即线段AP的长为或．22．（1）证明：如图1，∵AB＝CD，∴＝，即+＝+，∴＝，∴∠A＝∠D，∴AM＝DM；（2）①∠E与∠DFE相等．理由如下：连接AC，如图，∵弧BE＝弧BC，∴∠CAB＝∠EAB，∵AB⊥CD，∴AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC，∵∠ACF＝∠E，∠AFC＝∠DFE，∴∠DFE＝∠E；②∵∠DFE＝∠E，∴DF＝DE＝7，∵AM＝DM，∴AM＝MF+7，∵AM+MF＝17，∴MF+7+MF＝17，解得MF＝5，∴AM＝12，∴S＝×7×12＝42．△ADF。

第40讲与圆有关的计算与证明题课件(共74张ppt) 2024年中考数学总复习专题突破.ppt

复习讲义
（2）若 = 5 ， cos ∠ =
4
，求的长.
5
∘
解： ∵ ∠ = 90∘ ， ∴ ∠ + ∠ = 90 .
由（1）知， = 2 = 10 ， ∠ = 90∘ ，
∴ ∠ + ∠ = 90∘ .
图3
∴ ∠ = ∠.
4
.
5
∴ cos = cos ∠ =
复习讲义
（2）若 = 10 ， = 12 ， = 2 ，求 ⊙ 的半径．
思路点拨由（1）知 ⊥ ，因此可在 Rt △
中利用勾股定理列方程求解.
解： ∵ = ， ⊥ ， ∴ = =
1

2
= 6.
图1
∴ = 2 − 2 = 102 − 62 = 8.
∴ = 6 .
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9
第40讲与圆有关的计算与证明题
复习讲义
2.（2022·鄂尔多斯）如图3，以为直径的
⊙ 与 △ 的边相切于点，且与边
交于点，点为的中点，连接，，
.
（1）求证：是 ⊙ 的切线.
1.（2022·衡阳）如图2，为 ⊙ 的直径，过圆上一
点作 ⊙ 的切线交的延长线于点，过点
作 // 交于点，连接．
（1）直线与 ⊙ 相切吗？请说明理由.
图2
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第40讲与圆有关的计算与证明题
复习讲义
解：直线与 ⊙ 相切.
，的点，连接，，点在的延长线
上，且 ∠ = ∠ ，点在的延长线上，

陕西中考圆的证明与计算(2023版)

陕西中考圆的证明与计算（2023版）知识总结1．切线的性质：垂直于过切点的半径．（连半径，得垂直）2．切线的判定：（1）定义法：和圆只有一个交点的直线是圆的切线；（2）距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；证明d =r 即可，常用于已知数据的计算，比如动圆相切问题．（3）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．换个说法：⎧⎨⎩有交点：连半径,证垂直无交点：作垂直,证半径，多用于几何证明．多数情况为有交点，重点考虑如何证垂直：①证明和已知垂线平行；②证明夹角为直角．3．常见相切图（1）角分+等腰得平行：点C 在以AB 为直径的圆O 上，AH ⊥CH ，且AC 平分∠HAB ．【证明】连接OC，则OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，又∠OAC=∠HAC，∴∠OCA=∠HAC，∴OC∥AH，∴OC⊥CH，∴CH是圆O的切线．（2）证明和已知直角相等．证明△PCO≌△PAO，可得∠PCO=∠PAO=90°．（3）证明夹角为直角．（弦切角定理）如图，若∠BAC=∠D，则AB是圆O切线．如图，连接AO并延长交圆O于点P，则∠P=∠D=∠BAC，∵∠P+∠PAC=90°，∴∠BAC+∠PAC=90°，即AB⊥AP，∴AB是圆O的切线．1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC 于点E．（1）求证：DE＝AE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长度．2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的⊙O交AC于点E，⊙O的切线DE交AB于点D．（1）求证：DA＝DB；（2）连接BE，OD，交点为F，若cos A＝，BC＝6，求OF的长．3．如图，AB是⊙O的直径，经过⊙O上一点D，作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点F，AE⊥EF，交BD的延长线于点C．（1）求证：AB＝AC．（2）若⊙O的半径为3，，求BF的长．4．如图，AB为⊙O的直径，C、E为⊙O上的两点，过点E的切线交CB的延长线于点D，且CD⊥DE，连接CE，AE．（1）求证：∠ABC＝2∠A；（2）若⊙O半径为，AB：BD＝5：1，求AE的长．5．已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，∠D＝30°，连接AC、BC，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．（1）求证：CA＝CD；（2）若AB＝12，求线段BF的长．6．已知：如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A，B，且与CD边相切于点E．点F是BC与⊙O的交点，连接OB，OF，AF，点G是AB延长线上一点，连接FG，且∠G+∠BOF＝90°．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）如果正方形边长为8，求⊙O的半径．7．如图，在△AOB中，以点O为圆心的⊙O与AB相切于点D，延长AO交⊙O于点C，连接CD，过点A作AF⊥BO，交BO的延长线于点H，交⊙O于点F，∠B＝∠C．求证：（1）AF∥CD；（2）AH2＝OH⋅BH．8．如图，AB是⊙O的直径，已知点D是弧BC的中点，连接DO并延长，在延长线上有一点E，连接AE，且∠E＝∠B．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接AC，若AC＝6，CF＝4，求OE的长．9．如图，AB是⊙O的直径，C在AB的延长线上，⊙O与CD相切于点D，过点A作AE ⊥CD，垂足为E．（1）求证：AD平分∠EAC．（2）若BC＝3，，求⊙O的半径以及线段ED的长．10．如图，AB是⊙O的直径，点D是直径AB上不与A，B重合的一点，过点D作CD⊥AB，且CD＝AB，连接BC交⊙O于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当D是OA的中点时，AB＝4，求BF的长．11．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，过点A作BC平行线AM，连接BO并延长，交AM于点D，连接AO、CO．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若BC＝10，AD＝8，求⊙O的半径．12．如图，已知△ABC的边AB所在的直线是⊙O的切线，切点为B，AC经过圆心O并与圆交于点D、C，E为AB延长线上一点，连接CE交⊙O于点F，且∠BCE＝∠ACB．（1）求证：CE⊥AB；（2）若⊙O的半径是6，AB＝8，求EF的长．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以FB为直径作⊙O，⊙O与直角边AC相切，切点为E．（1）求证：∠DBE＝∠EBA；（2）若AB＝10，DB＝4，求EB的长．14．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，连接AD，过点A作⊙O的切线与DO的延长线相交于点E．（1）求证：∠B＝∠E；（2）若⊙O的半径为4，OE＝6，求AD的长．15．如图，AB是⊙O的直径，点D、E均在⊙O上，连接AD、BD、BE、DE，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点C．（1）求证：∠DEB＝∠CDB；（2）若BD＝DE＝6，BE＝9.6，求⊙O的半径．16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，点E是⊙O上一点，连接OE 并延长交过点C的切线CD于点D，∠B＝∠D．（1）求证：OD∥AC；（2）延长EO交AB于点F，AF＝2，⊙O的直径为2，求OD的长．17．如图，已知△ABC的外接圆直径是AB，点O是圆心，点D在⊙O上，且＝，过点D作⊙O的切线，与CA、CB的延长线分别交于点E、F．（1）求证：AB∥EF；（2）若⊙O的半径为5，BC＝8，求DF的长度．18．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）判定直线CE与⊙O的位置关系，并说明你的理由；（2）若AD＝3，AC＝4，求圆的半径．19．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，与AC边的交点为F，过点D作DE⊥AC于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AB＝5，tan∠ACB＝2，求弦AF的长度．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若tan B＝，⊙O的半径为5，求线段CF的长．21．如图，AB为⊙O的直径，OD为⊙O的半径，⊙O的弦CD与AB相交于点F，⊙O的切线CE交AB的延长线于点E，EF＝EC．（1）求证：OD垂直平分AB；（2）若⊙O的半径长为3，且BF＝BE，求OF的长．22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，BD⊥CD，DB的延长线与⊙O交于点E．（1）求证：∠ABE＝2∠A；（2）若，BD＝4，求BE的长．23．如图，在△ABC中，AC＝AB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作ED⊥AC 点E，交AB延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若DF＝4，tan∠BDF＝，求AC的长．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若直径AD＝10，cos B＝，求FD的长．25．如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的切线，点C为直线AE上一点，连接OC交⊙O 于点D，连接BD并延长交线段AC于点E．（1）求证：∠CAD＝∠CDE；（2）若CD＝6，tan∠BAD＝，求⊙O的半径．26．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD为⊙O的直径，过点A作AE ⊥CD，与CD的延长线交于点E，且DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，CD＝6，求AD的长．27．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D．①求证：BD⊥AD；②若AC＝9，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．28．如图，△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，⊙O经过点A，且与BC相切于点D．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若AC＝6，cos∠BAC＝，求⊙O的半径．29．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CD平分∠ACB，交AB于点E，交⊙O 于点D，延长BA到点P，使得PE＝PC．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径3，PC＝4，求CD的长．30．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，CE与⊙O相切，交DB延长线于点E，且DE⊥CE，连接AC，DC．（1）求证：∠ABD＝2∠A；（2）若DE＝2CE，AC＝8，求⊙O的半径．31．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，且OD⊥AC于点E，OD交⊙O于点F，连接CF、BF，若∠BFC＝∠ODA．（1）求证：AD是⊙O的切线：（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的长．32．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的直径为5，cos C＝，求CF的长．33．如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．（1）求证：HB是⊙O的切线；（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的半径．34．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使得EF＝EC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．35．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD为直径，过点A作⊙O的切线AE，与CD的延长线交于点E，已知DA平分∠BDE．（1）求证：AE⊥DE；（2）若⊙O的半径为5，CD＝6，求AD的长．36．如图，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，点O在CD上，作⊙O，使⊙O与AD相切于点B，⊙O与CD交于点E，过点D作DF∥AC，交AO的延长线于点F，且∠OAB＝∠F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OC＝3，DE＝2，求DF的长．37．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，与BC交于点E，过点E作⊙O的切线EF，交AB于点F．（1）求证：EF⊥AB；（2）若⊙O的半径是，cos∠ACD＝，求DF的长．38．如图，⊙O是△ABC的外接圆，＝，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA到点E，连接CE，∠D＝∠E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CE＝8，AE＝5，求⊙O半径的长．39．如图，BD为⊙O的直径，∠ABE＝∠BCA，过点A的直线与⊙O分别交于点E，C，与BD交于点F，连接BE，BC．（1）求证：AB为⊙O的切线．（2）若∠A＝∠ABE，BE＝5，BC＝8，求⊙O的半径．40．如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的切线，点C为直线AE上一点，连接OC交⊙O 于点D，连接BD并延长交线段AC于点E．（1）求证：∠CDE＝∠CAD；（2）若CD＝4，tan B＝，求⊙O的半径．。

中考复习第七讲圆中的计算与证明(一)

第七讲圆中的计算与证明（一）【基础回顾】 1.如图1，在O 中，AB 、AC 为互相垂直的两条弦，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则四边形ADOE 为( )A .菱形B .矩形C .正方形D .梯形图 1 图 22.如图2，O 的直径CD =10cm ，AB 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，:3:5OM OC =，则AB 的长为( )A .8cmB .91cmC .6cmD .2cm 3.如图，△ABC 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径， ∠ACB =50°，点D 是BAC 弧上一点，则D ∠= ．【例题解析】【例1】如图3，在圆⊙O 内有折线OABC ，其中OA =8，AB =12，∠A =∠B =60°，则BC 的长为( )A .19B .16C .18D .20图3 图4【练】如图4，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点（不与A 、B 重合），过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为 .DECBOABACMODxyQ PMBDCAO【例2】如图5，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是弧ACB 上一点，D 、E 是弧AB 上不同的两点（不与A 、B 两点重合），则∠D +∠E 的度数为（） A .m B .1802m ︒- C .902m ︒+ D .2m图 5 图 6【练】如图6，AB 是⊙O 的直径，则∠1+∠2= .【例3】如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，∠BAC 与∠ABC 的平分线相交于点I ，延长AI 交圆O 于点D ，连接BD 、DC ． (1)求证：BD =DC =DI ；(2)若圆O 的半径为10cm ，∠BAC =120°，求△BDC 的面积．【练】如图，在直角坐标系中，M 为x 轴上一点，M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，P 为BC 上的一个动点，CQ 平分PCD ∠，A (－1，0)，M (1，0). (1)求C 点坐标(2)当P 点运动时，线段AQ 的长度是否改变？若不变求出其值，若改变说明理由。

中考数学压轴题提升训练圆中证明及计算问题含解析

圆中证明及计算问题【例1】如图,⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：AB•CP＝BD•CD；（3）当AB＝5 cm,AC＝12 cm时，求线段PC的长．【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接OD．∵∠BAD＝∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴∠BOD＝∠COD＝90°，∵BC∥PA，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，即OD⊥PA，∴PD是⊙O的切线．(2）证明:∵BC∥PD，∴∠PDC＝∠BCD．∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠PDC，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，∴∠ABD＝∠PCD,∴△BAD∽△CDP,∴AB BD,CD CP∴AB•CP＝BD•CD．（3）∵BC是直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AB＝5，AC＝12，由勾股定理得：BC＝13,由（1）知，△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD＝∵AB•CP＝BD•CD．．∴PC＝16910【变式1-1】如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC,延长BC 到点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E．(1）求证：△ABE≌△CDE；(2）填空：①当∠ABC的度数为时,四边形AOCE是菱形;②若AE=6，BE=8，则EF的长为．。

【答案】（1)见解析；（2）60；92【解析】（1）证明：连接CE，∵AB=AC，CD=CA,∴∠ABC=∠ACB,AB=CD，∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠ECD+∠BCE=∠BAE +∠BCE=180°,∴∠ECD=∠BAE，同理，∠CED=∠ABC，∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，∴∠CED=∠AEB，∴△ABE≌△CDE；（2）①60；连接AO、OC，∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠ABC+∠AEC=180°,∵∠ABC =60，∴∠AEC =∠AOC =120°,∵OA =OC ,∴∠OAC =∠OCA =30°，∵AB =AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∵∠ACB =∠CAD +∠D ，AC =CD ,∴∠CAD =∠D =30°，∴∠ACE =30°，∴∠OAE =∠OCE =60°，即四边形AOCE 是平行四边形，∵OA =OC ,∴四边形AOCE 是菱形；②由(1)得：△ABE ≌△CDE ，∴BE =DE =8，AE =CE =6，∠D =∠EBC ,由∠CED =∠ABC =∠ACB ，得△ECD ∽△CFB ， ∴CE CF DE BC==68, ∵∠AFE =∠BFC ，∠AEB =∠FCB ，∴△AEF ∽△BCF ， ∴EF CF AE BC=，即668EF =，∴EF=9．2【例2】如图，AB为⊙O的直径,点C为AB上方的圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点A作直线l的垂线AD，交⊙O于点D，连接OC，CD，BC，BD，且BD与OC交于点E．(1）求证：△CDE≌△CBE;（2）若AB＝4,填空：①当弧CD的长度是时，△OBE是等腰三角形；②当BC＝时，四边形OADC为菱形．;2．【答案】(1)见解析；（2)2【解析】（1）证明:延长AD交直线l于点F,∵AD垂直于直线l，∴∠AFC＝90°，∵直线l为⊙O切线，∴∠OCF＝90°,∴∠AFC＝∠OCF＝90°,∴AD∥OC,∵AB为⊙O直径,∴∠ADB ＝90°，∴∠OEB ＝90°，∴OC ⊥DB ,∴DE ＝BE ,∠DEC ＝∠BEC ＝90°，∵CE ＝CE ，∴△CDE ≌△CBE ；（2)①如图2，连接OD ，由（1）知∠OEB ＝90°,当△OBE 是等腰三角形时，则△OEB 为等腰直角三角形,∴∠BOE ＝∠OBE =45°，∵OD ＝OB ，OE ⊥BD ，∴∠DOC ＝∠BOE ＝45°,∵AB ＝4,∴OD ＝2，∴弧CD 的长=452180π⨯=2π;②当四边形OADC 为菱形时，则AD ＝DC ＝OC ＝AO ＝2，由(1）知，BC ＝DC ，∴BC ＝2.【变式2—1】(2019·河南南阳一模）如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,⊙O 的半径为2，∠B =135°，则弧AC 的长为（）A. 2πB. π C 。

圆的有关计算与证明(共50题)(解析版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

圆的有关计算与证明(50题)一、单选题1.(2023·新疆·统考中考真题)如图，在⊙O 中，若∠ACB =30°，OA =6，则扇形OAB (阴影部分)的面积是()A.12πB.6πC.4πD.2π【答案】B【分析】根据圆周角定理求得∠AOB =60°，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．【详解】解：∵AB=AB，∠ACB =30°，∴∠AOB =60°，∴S =60360π×62=6π．故选：B .【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键．2.(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，分别以AB 、BC 、CD 、AD 为直径向外作半圆．若AB =4,BC =5，则阴影部分的面积是()A.414π-20 B.412π-20 C.20πD.20【答案】D【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为AB ,BC 的半圆的面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线长的圆的面积即可求解．【详解】解：如图所示，连接AC ，∵矩形ABCD 内接于⊙O ，AB =4,BC =5∴AC 2=AB 2+BC 2∴阴影部分的面积是S 矩形ABCD +π×AB 2 2+π×BC22-πAC22S 矩形ABCD +π×14AB 2+BC 2-AC 2=S 矩形ABCD=4×5=20，故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3.(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AC)，点O 是这段弧所在圆的圆心，B 为AC上一点，OB ⊥AC 于D ．若AC =3003m ，BD =150m ，则AC 的长为()A.300πmB.200πmC.150πmD.1003πm【答案】B【分析】根据垂径定理求出AD 长度，再根据勾股定理求出半径长度，最后利用弧长公式即可求出答案.【详解】解：∵OB ⊥AC ，点O 是这段弧所在圆的圆心，∴AD =CD ，，∵OD =OD ，OA =OC ，∴△ADO ≌△CDO ，∴∠AOD =∠COD .∵AC =3003m ，AD =CD ，∴AD =CD =1503m .设OA =OC =OB =x ，则DO =x -150，在Rt △ADO 中，x 2=x -150 2+1503 2，∴x =300m ，∴sin ∠AOD =AD AO=1503300=32.∴∠AOD =60°，∴∠AOC =120°，∴AC =n πR 180=120×π×300180=200πm .故选：B .【点睛】本题考查了圆的垂径定理，弧长公式，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度，从而求出所求弧长所对应的圆心角度数.4.(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm 的三个等圆构成，且三个等圆⊙O 1,⊙O 2,⊙O 3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为()A.14πcm 2 B.13πcm 2 C.12πcm 2 D.πcm 2【答案】C 【分析】根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等，只要计算出一个阴影部分的面积即可，如图，连接AO 1,AO 2,O 1O 2，阴影AO 1O 2的面积=扇形AO 1O 2的面积，据此即可解答.【详解】解：根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等；如图，连接AO 1,AO 2,O 1O 2，则AO 1=AO 2=O 1O 2，△AO 1O 2是等边三角形，∴∠AO 1O 2=60°，弓形AO 1,AO 2,O 1O 2的面积相等，∴阴影AO 1O 2的面积=扇形AO 1O 2的面积=60π×12360=16πcm 2，∴图中三个阴影部分的面积之和=3×16π=12πcm 2；故选：C .【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、掌握求解的方法是解题关键.5.(2023·四川达州·统考中考真题)如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2⋯是由多段90°的圆心角的圆心为C ，半径为CB 1；C 1D 1 的圆心为D ，半径为DC 1⋯,DA 1 、A 1B 1 、B 1C 1、C 1D 1⋯的圆心依次为A 、B 、C 、D 循环，则A 2023B 2023�的长是()A.4045π2B.2023πC.2023π4D.2022π【答案】A【分析】曲线DA 1B 1C 1D 1A 2⋯是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+12，得到AD n -1=AA n =4×12(n -1)+12，BA n =BB n =4×12(n -1)+1，得出半径，再计算弧长即可．【详解】解：由图可知，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2⋯是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+12，∴AD =AA 1=12，BA 1=BB 1=1，CB 1=CC 1=32，DC 1=DD 1=2，AD 1=AA 2=2+12，BA 2=BB 2=2+1，CB 2=CC 2=2+32，DC 2=DD 2=2+2，⋯⋯，AD n -1=AA n =4×12(n -1)+12，BA n =BB n =4×12(n -1)+1，故A 2023B 2023 的半径为BA 2023=BB 2023=4×12×2023-1 +1=4045，∴A 2023B 2023 的弧长=90180×4045π=40452π．故选：A .【点睛】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：l =n πr180，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．6.(2023·四川广安·统考中考真题)如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB =90°,AC =BC =22，以点A 为圆心，AC 为半径画弧，交AB 于点E ，以点B 为圆心，BC 为半径画弧，交AB 于点F ，则图中阴影部分的面积是()A.π-2B.2π-2C.2π-4D.4π-4【答案】C【分析】先利用扇形的面积公式求出扇形ACE 和扇形BCF 的面积，再减去△ABC 的面积即可得．【详解】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A =∠B =45°，∵AC =BC =22，∴图中阴影部分的面积是S 扇形ACE +S 扇形BCF -S Rt △ABC =45π×22 2360+45π×22 2360-12×22 ×22=2π-4，故选：C ．【点睛】本题考查了扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．7.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，AB 是半圆O 的直径，点C ,D 在半圆上，CD=DB，连接OC ,CA ,OD ，过点B 作EB ⊥AB ，交OD 的延长线于点E ．设△OAC 的面积为S 1,△OBE 的面积为S 2，若S 1S 2=23，则tan ∠ACO 的值为()A.2B.223C.75D.32【答案】A【分析】如图，过C 作CH ⊥AO 于H ，证明∠COD =∠BOE =∠CAO ，由S 1S 2=23，即12OA ∙CH 12OB ∙BE =23，可得CH BE =23，证明tan ∠A =tan ∠BOE ，可得CH BE =AH OB =23，设AH =2m ，则BO =3m =AO =CO ，可得OH =3m -2m =m ，CH =9m 2-m 2=22m ，再利用正切的定义可得答案．【详解】解：如图，过C 作CH ⊥AO 于H ，∵CD=BD，∴∠COD =∠BOE =∠CAO ，∵S 1S 2=23，即12OA ∙CH 12OB ∙BE =23，∴CH BE=23，∵∠A =∠BOE ，∴tan ∠A =tan ∠BOE ，∴CH AH=BE OB ，即CH BE =AH OB =23，设AH =2m ，则BO =3m =AO =CO ，∴OH =3m -2m =m ，∴CH =9m 2-m 2=22m ，∴tan ∠A =CH AH=22m2m =2，∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO ，∴tan ∠ACO =2；故选：A .【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．二、填空题8.(2023·重庆·统考中考真题)如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，E 为BC 的中点，连接AE ，DE ，以E 为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE ，DE 交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积为．(结果保留π)【答案】4-π【分析】利用矩形的性质求得AB =CD =2,BE =CE =2，进而可得∠BAE =∠AEB =∠DEC =∠CDE =45°，然后根据S 阴影=2S △ABE -S 扇形BEM 解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB =2，BC =4，E 为BC 的中点，∴AB =CD =2,BE =CE =12BC =2，∠ABC =∠DCB =90°，∴∠BAE =∠AEB =∠DEC =∠CDE =45°，∴S 阴影=2S △ABE -S 扇形BEM =2×12×2×2-45π×22360 =2×2-12π=4-π；故答案为：4-π．【点睛】本题考查了矩形的性质和不规则面积的计算，熟练掌握矩形的性质、明确阴影面积为两个全等的等腰直角三角形的面积减去两个圆心角为45°的扇形面积是解题关键．9.(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，⊙O 的半径为2cm ，AB 为⊙O 的弦，点C 为AB上的一点，将AB沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则阴影部分的面积为．(结果保留π与根号)【答案】23π-3cm 2【分析】根据折叠的性质得出△AOC 是等边三角形，则∠AOC =60°，OD =CD =1，根据阴影部分面积=S 扇形AOC -S △AOC 即可求解．【详解】解：如图所示，连接OA ,OC ，设AB ,CO 交于点D∵将AB沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，∴AC =AO ，OC ⊥AB 又OA =OC ∴OA =OC =AC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠AOC =60°，OD =CD =1，∴AD =AO 2-CD 2=3,∴阴影部分面积=S 扇形AOC -S △AOC =60360π×22-12×2×3=23π-3cm 2 故答案为：23π-3cm 2．10.(2023·重庆·统考中考真题)如图，⊙O 是矩形ABCD 的外接圆，若AB =4,AD =3，则图中阴影部分的面积为．(结果保留π)【答案】254π-12【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到BD =5，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答．【详解】解：连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD 是⊙O 的直径，∵AB =4,AD =3，∴BD =AB 2+AD 2=5，∴⊙O 的半径为52，∴⊙O 的面积为254π，矩形的面积为3×4=12，∴阴影部分的面积为254π-12；故答案为：254π-12.【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．11.(2023·江苏扬州·统考中考真题)用半径为24cm ，面积为120πcm 2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为cm ．【答案】5【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：S =π⋅r ⋅l ，就可以求出圆锥的底面圆的半径．【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r ，l =24，由扇形的面积：S =π⋅r ⋅l =120π，得：r =5故答案为：5.【点睛】本题考查了圆锥侧面面积的相关计算，熟练掌握圆锥侧面面积的计算公式是解题的关键，注意用扇形围成的圆锥，扇形的半径就是圆锥的母线．12.(2023·浙江温州·统考中考真题)若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为．【答案】4π【分析】根据弧长公式l =n πr180即可求解．【详解】解：扇形的圆心角为40°，半径为18，∴它的弧长为40180×18π=4π，故答案为：4π．【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．13.(2023·浙江宁波·统考中考真题)如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为cm2．(结果保留π)【答案】1500π【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式S=12lr代值求解即可得到答案．【详解】解：∵圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，∴烟囱帽的侧面积S=12lr=12×2π×30×50=1500π(cm2)，故答案为：1500π．【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式S=12lr，熟记扇形面积公式是解决问题的关键．14.(2023·天津·统考中考真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．(1)线段AB的长为；(2)若点D在圆上，AB与CD相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的(不要求证明)．【答案】(1)29(2)画图见解析；如图，取AC,AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求【分析】(1)在网格中用勾股定理求解即可；(2)取AC,AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点M，连接MB；连接DB与网格线相交于点G，连接GF并延长与网格线相交于点H，连接AH并延长与圆相交于点I，连接CI并延长与MB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求，连接PQ，AD,BK，过点E作ET⊥网格线，过点G作GS ⊥网格线，由图可得Rt △AJF ≌Rt △BLF AAS ，根据全等三角形的性质可得Rt △IMF ≌Rt △HNF ASA 和△AIF ≌△BHF SAS ，根据同弧所对圆周角相等可得AD=BK，进而得到∠1=∠2和∠PCQ =60°，再通过证明△CAP ≌△CBQ ASA 即可得到结论．【详解】(1)解：AB =22+52=29；故答案为：29．(2)解：如图，取AC ,AB 与网格线的交点E ，F ，连接EF 并延长与网格线相交于点G ；连接DB 与网格线相交于点H ，连接HF 并延长与网格线相交于点I ，连接AI 并延长与圆相交于点K ，连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ，则点Q 即为所求；连接PQ ，AD ,BK ，过点E 作ET ⊥网格线，过点G 作GS ⊥网格线，由图可得：∵∠AJF =∠BLF ，∠AFJ =∠BFL ，AJ =BL ，∴Rt △AJF ≌Rt △BLF AAS ，∴FJ =FL ，AF =BF ，∵MJ =NL ，∴FJ -MJ =FL -NL ，即FM =FN ，∵∠IMF =∠HNF ，∠IFM =∠HFN ，∴Rt △IMF ≌Rt △HNF ASA ，∴FI =FH ，∵∠AFI =∠BFH ，AF =BF ，∴△AIF ≌△BHF SAS ，∴∠FAI =∠FBH ，∴AD=BK，∴∠1=∠2，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，即∠1+∠PCB =60°，∴∠2+∠PCB =60°，即∠PCQ =60°，∵ET =GS ，∠ETF =∠GSF ，∠EFT =∠GFS ，∴Rt △ETF ≌Rt △GSF AAS ，∴EF =GF ，∵AF =BF ，∠AFE =∠BFG ，∴△AFE ≌△BFG SAS ，∴∠EAF =∠GBF ，∴∠GBF =∠EAF =∠CBA =60°，∴∠CBQ =180°-∠CBA -∠GBF =60°，∴∠CBQ =∠CAB ，∵CA =CB ，∴△CAP ≌△CBQ ASA ，∴CQ =CP ，∵∠PCQ =60°，∴△PCQ 是等边三角形，此时点Q 即为所求；故答案为：如图，取AC ,AB 与网格线的交点E ，F ，连接EF 并延长与网格线相交于点G ；连接DB 与网格线相交于点H ，连接HF 并延长与网格线相交于点I ，连接AI 并延长与圆相交于点K ，连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ，则点Q 即为所求．【点睛】本题考查作图-复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键．15.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，AB =3+1,BC =2,AH ⊥CD ，垂足为H ,AH =3．以点A 为圆心，AH 长为半径画弧，与AB ,AC ,AD 分别交于点E ,F ,G ．若用扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r 1；用扇形AHG 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r 2，则r 1-r 2=．(结果保留根号)【答案】324【分析】由▱ABCD ，AB =3+1,BC =2,AH ⊥CD ，AH =3，AD =BC =2，DH =22-3 2=1，cos DAH =AH AD=32，AB =CD =3+1，AB ∥CD ，求解∠DAH =30°，CH =3=AH ，证明∠ACH =∠CAH =45°，可得∠BAC =45°，再分别计算圆锥的底面半径即可．【详解】解：∵在▱ABCD 中，AB =3+1,BC =2,AH ⊥CD ，AH =3，∴AD =BC =2，DH =22-3 2=1，∵cos ∠DAH =AHAD=32，AB =CD =3+1，∴∠DAH =30°，CH =3=AH ，∴∠ACH =∠CAH =45°，∵AB ∥CD ，∴∠BAC =45°，∴45π×3180=2πr 1，30π×3180=2πr 2，解得：r 1=38，r 2=312，∴r 1-r 2=3324-2324=324；故答案为：324【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，扇形的弧长的计算，圆锥的底面半径的计算，熟记圆锥的侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长是解本题的关键．16.(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，小珍同学用半径为8cm ，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是cm 2．【答案】169π【分析】由题意知，底面半径为2cm 的圆锥的底面周长为4πcm ，扇形弧长为100π×8180=409πcm ，则扇形中未组成圆锥底面的弧长l =409π-4π=49πcm ，根据圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积可得圆锥上粘贴部分的面积为12lr =12×49π×8，计算求解即可．【详解】解：由题意知，底面半径为2cm 的圆锥的底面周长为4πcm ，扇形弧长为100π×8180=409πcm ，∴扇形中未组成圆锥底面的弧长l =409π-4π=49πcm ，∵圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积，∴圆锥上粘贴部分的面积为12lr =12×49π×8=169πcm 2，故答案为：169π．【点睛】本题考查了扇形的弧长、面积公式．解题的关键在于熟练掌握S 扇形=12lr ，l 扇形=n πr180，其中n 为扇形的圆心角，r 为扇形的半径．三、解答题17.(2023·四川南充·统考中考真题)如图，AB 与⊙O 相切于点A ，半径OC ∥AB ，BC 与⊙O 相交于点D ，连接AD ．(1)求证：∠OCA =∠ADC ；(2)若AD =2,tan B =13，求OC 的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)连接OA ，根据切线的性质得出∠OAB =90°，再由平行线的性质得出∠AOC =90°，利用圆周角定理及等腰直角三角形的性质即可证明；(2)过点A 作AH ⊥BC ，过点C 作CF ⊥BA 的延长线于点F ，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质得出AH =DH =2，再由正切函数确定BH =32，AB =25，再由正方形的判定和性质及相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】(1)证明：连接OA ，如图所示：∵AB 与⊙O 相切于点A ，∴∠OAB =90°，∵OC ∥AB ，∴∠AOC =90°，∴∠ADC =45°，∵OC =OA ，∴∠OCA =45°，∴∠OCA =∠ADC ；(2)过点A 作AH ⊥BC ，过点C 作CF ⊥BA 交BA 的延长线于点F ，如图所示：由(1)得∠OCA =∠ADC =45°，∴ΔAHD 为等腰直角三角形，∵AD =2，∴AH =DH =2，∵tan B =13，∴BH =32，AB =AH 2+BH 2=25，由(1)得∠AOC =∠OAF =90°，∵CF ⊥BA ，∴四边形OCFA 为矩形，∵OA =OC ，∴四边形OCFA 为正方形，∴CF =FA =OC =r ，∵∠B =∠B ,∠AHB =∠CFB =90°，∴△ABH ∽△CBF ,∴BH BF =AH CF 即3225+r=2r ，解得：r =5，∴OC =5．【点睛】题目主要考查圆周角定理，解直角三角形及正方形与相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．18.(2023·四川成都·统考中考真题)如图，以△ABC 的边AC 为直径作⊙O ，交BC 边于点D ，过点C 作CE ∥AB 交⊙O 于点E ，连接AD ，DE ，∠B =∠ADE ．(1)求证：AC=BC；(2)若tan B=2，CD=3，求AB和DE的长．【答案】(1)见解析(2)AB=25，DE=25【分析】(1)根据CE∥AB，得到∠ACE=∠BAC，再根据同弧所对的圆周角相等，得到∠ACE=∠ADE=∠B，可证明△ABC是等腰三角形，即可解答；(2)根据直径所对的圆周角为直角，得到tan B=2=ADBD，设BD=x，根据勾股定理列方程，解得x 的值，即可求出AB；解法一：过点E作DC的垂线段，交DC的延长线于点F，证明∠B=∠ECF，求出EF,DF的长，根据勾股定理即可解出DE的长；解法二：连接AE,得到角相等，进而证得△ABC∽△ADE，根据对应边成比例即可解出DE的长．【详解】(1)证明：∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE，∴∠BAC=∠ACE=∠ADE，∵∠B=∠ADE，∴∠B=∠BAC，∴AC=BC；(2)解：设BD=x，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵tan B=2，=2，即AD=2x，∴ADBD根据(1)中的结论，可得AC=BC=BD+DC=x+3，根据勾股定理，可得AD2+DC2=AC2，即2x2，2+32=x+3解得x1=2，x2=0(舍去)，∴BD=2，AD=4,根据勾股定理，可得AB=AD2+BD2=25；解法一：如图，过点E作DC的垂线段，交DC的延长线于点F，∵CE∥AB，∴∠ECF=∠B，∵EF⊥CF，∴tan∠ECF=tan∠B=2，即EF=2，CF∵∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDF=90°，∠B=∠ADE，∴∠BAD=∠EDF，∴∠DEF =90°-∠EDF =90°-∠BAD =∠B ，∴DF EF=2，设CF =a ，则DF =DC +CF =a +3，∴EF =2a ，可得方程a +32a=2，解得a =1，∴EF =2，DF =4，根据勾股定理，可得DE =DF 2+EF 2=25．解法二：如图，连接AE ,∵∠B =∠ADE ，∠ACB =∠AED ，∴△ABC ∽△ADE ，∴AB AD=BC DE ，又∵BC =5，AD =4，AB =25，∴254=5DE ，∴DE =25．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，勾股定理，正切，利用等量代换证明相关角相等是解题的关键．19.(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，D 是AC上一点，P 是AB 延长线上一点，连接AD ,DC ,CP ．(1)求证：∠ADC -∠BAC =90°；(请用两种证法解答)(2)若∠ACP =∠ADC ，⊙O 的半径为3，CP =4，求AP 的长．【答案】(1)证明见解析(2)8【分析】(1)证法一：连接BD ，得到∠ADB =90°，因为∠BAC =∠BDC ，所以∠ADC -∠BAC =90°；证法二：连接BC ，可得∠ADC +∠ABC =180°，则∠ABC =180°-∠ADC ，根据∠ACB =90°，可得∠BAC +∠ABC =90°，即可得到结果；(2)连接OC ，根据角度间的关系可以证得△OCP 为直角三角形，根据勾股定理可得边OP 的长，进而求得结果．【详解】(1)证法一：如图，连接BD ，∵BC=BC，∴∠BDC=∠BAC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC∵∠BAC=∠BDC，∴∠ADC=90°+∠BAC，∴∠ADC-∠BAC=90°，证法二：如图，连接BC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ABC=180°-∠ADC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴∠BAC+180°-∠ADC=90°，∴∠ADC-∠BAC=90°，(2)解：如图，连接OC，∵∠ACP=∠ADC，∠ADC-∠BAC=90°，∴∠ACP-∠BAC=90°，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∴∠ACP-∠ACO=90°，∴∠OCP=90°．∵⊙O的半径为3，∴AO=OC=3，在Rt△OCP中，OP2=OC2+CP2，∵CP=4，∴OP2=32+42=25，∴OP=5，∴AP=AO+OP=8，【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，找到角度之间的关系是解题的关键．20.(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD为∠CAB的平分线交⊙O于点D，连接OD交BC于点E．(1)求∠BED 的度数；(2)如图2，过点A 作⊙O 的切线交BC 延长线于点F ，过点D 作DG ∥AF 交AB 于点G ．若AD =235,DE =4，求DG 的长．【答案】(1)90°(2)210【分析】(1)根据圆周角定理证明两直线平行，再利用平行线的性质证明角度相等即可；(2)由勾股定理找到边的关系，求出线段长，再利用等面积法求解即可．【详解】(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵AD 平分∠CAB ，∴∠BAD =12∠BAC ，即∠BAC =2∠BAD ，∵OA =OD ，∴∠BAD =∠ODA ，∴∠BOD =∠BAD +∠ODA =2∠BAD ，∴∠BOD =∠BAC ，∴OD ∥AC ，∴∠OEB =∠ACB =90°，∴∠BED =90°，(2)如图，连接BD ，设OA =OB =OD =r ，则OE =r -4，AC =2OE =2r -8，AB =2r ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，在Rt △ADB 中，有勾股定理得：BD 2=AB 2-AD 2由(1)得：∠BED =90°，∴∠BED =∠BEO =90°，由勾股定理得：BE 2=OB 2-OE 2，BE 2=BD 2-DE 2，∴BD 2=AB 2-AD 2=BE 2+DE 2=OB 2-OE 2+DE 2，∴2r 2-235 2=r 2-r -4 2+42，整理得：r 2-2r -35=0，解得：r =7或r =-5(舍去)，∴AB =2r =14，∴BD =AB 2-AD 2=142-235 2=214，∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥AB，∵DG∥AF，∴DG⊥AB，∴S△ABD=12AD·BD=12AB·DG，∴DG=AD·BDAB =235×21414=210．【点睛】此题考查了圆周角定理和勾股定理，三角形中位线定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．21.(2023·浙江杭州·统考中考真题)在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，D重合)，射线BE与射线CD交于点F．(1)若ED=13，求DF的长．(2)求证：AE⋅CF=1．(3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G．若EG=ED，求ED的长．【答案】(1)1 2(2)见解析(3)14【分析】(1)证明△AEB∽△DEF，利用相似三角形的对应边成比例求解；(2)证明△AEB∽△CBF，利用相似三角形的对应边成比例证明；(3)设EG=ED=x，则AE=1-x，BE=1+x，在Rt△ABE中，利用勾股定理求解．【详解】(1)解：由题知，AB=BC=CD=DA=1，若ED=13，则AE=AD-ED=23．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠FDE=90°，又∵∠AEB=∠FED，∴△AEB∽△DEF，∴AB DF =AE ED，即1DF=2313，∴DF=12．(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠C=90°，AB∥CD，∴∠ABE=∠F，∴△ABE∽△CFB，∴AB CF =AE BC，∴AE⋅CF=AB⋅BC=1×1=1．(3)解：设EG=ED=x，则AE=AD-AE=1-x，BE=BG+GE=BC+GE=1+x．在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即12+(1-x)2=(1+x)2，解得x=1 4．∴ED=14．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，正方形的性质等，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．22.(2023·河北·统考中考真题)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN=48cm，作OC⊥MN于点C．(1)求OC的长．操作：将图1中的水面沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM=30°时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．探究：在图2中(2)操作后水面高度下降了多少？(3)连接OQ 并延长交GH 于点F ，求线段EF 与EQ的长度，并比较大小．【答案】(1)7cm (2)112cm(3)EF =2533cm ，EQ =25π6cm ，EF >EQ ．【分析】(1)连接OM ，利用垂径定理计算即可；(2)由切线的性质证明OE ⊥GH 进而得到OE ⊥MN ，利用锐角三角函数求OD ，再与(1)中OC 相减即可；(3)由半圆的中点为Q 得到∠QOB =90°，得到∠QOE =30°分别求出线段EF 与EQ的长度，再相减比较即可．【详解】解：(1)连接OM ，∵O 为圆心，OC ⊥MN 于点C ，MN =48cm ，∴MC =12MN =24cm ，∵AB =50cm ，∴OM =12AB =25cm ，∴在Rt △OMC 中，OC =OM 2-MC 2=252-242=7cm ．(2)∵GH 与半圆的切点为E ，∴OE ⊥GH ∵MN ∥GH∴OE ⊥MN 于点D ，∵∠ANM =30°，ON =25cm ，∴OD =12ON =252cm ，∴操作后水面高度下降高度为：252-7=112cm ．(3)∵OE ⊥MN 于点D ，∠ANM =30°∴∠DOB =60°，∵半圆的中点为Q ，∴AQ=QB，∴∠QOB =90°，∴∠QOE =30°，∴EF =tan ∠QOE ⋅OE =2533cm ，EQ =30×π×25180=25π6cm ，∵2533-25π6=503-25π6=2523-π 6>0，∴EF >EQ．【点睛】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、求弧长和解直角三角形的知识，解答过程中根据相关性质构造直角三角形是解题关键．23.(2023·湖北武汉·统考中考真题)如图，OA ,OB ,OC 都是⊙O 的半径，∠ACB =2∠BAC ．(1)求证：∠AOB =2∠BOC ；(2)若AB =4,BC =5，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)52【分析】(1)由圆周角定理得出，∠ACB =12∠AOB ,∠BAC =12∠BOC ，再根据∠ACB =2∠BAC ，即可得出结论；(2)过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，根据垂径定理得出∠DOB =12∠AOB ,AE =BE ，证明∠DOB =∠BOC ，得出BD =BC ，在Rt △BDE 中根据勾股定理得出DE =BD 2-BE 2=1，在Rt △BOE 中，根据勾股定理得出OB 2=(OB -1)2+22，求出OB 即可．【详解】(1)证明：∵AB=AB，∴∠ACB =12∠AOB ，∵BC =BC ，∴∠BAC =12∠BOC ，∵∠ACB =2∠BAC ，∴∠AOB =2∠BOC ．(2)解：过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，则∠DOB =12∠AOB ,AE =BE ，∵∠AOB =2∠BOC ，∴∠DOB =∠BOC ，∴BD =BC ，∵AB =4,BC =5，∴BE =2,DB =5，在Rt △BDE 中，∵∠DEB =90°∴DE =BD 2-BE 2=1，在Rt △BOE 中，∵∠OEB =90°，∴OB 2=(OB -1)2+22，∴OB =52，即⊙O 的半径是52．【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理．24.(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，四边形ABCD 是半径为R 的⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，∠ABD =45°，直线l 与三条线段CD 、CA 、DA 的延长线分别交于点E 、F 、G ．且满足∠CFE =45°．(1)求证：直线l ⊥直线CE ；(2)若AB =DG ；①求证：△ABC ≌△GDE ；②若R =1，CE =32，求四边形ABCD 的周长．【答案】(1)见解析(2)①见解析，②72+2【分析】(1)在⊙O 中，根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACD =∠ABD =45°，结合已知在△CFE 中根据三角形内角和定理可求得∠FEC =90°；(2)①根据圆内接四边形的性质和邻补角可得∠ABC =∠GDE ，由直径所对的圆周角是直角和(1)可得∠ACB =∠GED ，结合已知即可证得△ABC ≌△GDE AAS ；②在⊙O 中由R =1，可得AB =2，结合题意易证DA =DB ，在Rt △ABC 中由勾股定理可求得DA =2，由①可知易得BC +CD =DE +CD =CE ，最后代入计算即可求得周长．【详解】(1)证明：在⊙O 中，∵AD =AD，∴∠ACD =∠ABD =45°，即∠FCE =45°，在△CFE 中，∵∠CFE =45°，∴∠FEC =180°-∠FCD +∠CFE =90°，即直线l ⊥直线CE ；(2)①四边形ABCD 是半径为R 的⊙O 的内接四边形，∴∠ADC +∠ABC =180°，∵∠ADC +∠GDE =180°，∴∠ABC =∠GDE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，由(1)可知∠GED =90°，∴∠ACB=∠GED，在△ABC与△GDE中，∠ABC=∠GDE ∠ACB=∠GED AB=DG，∴△ABC≌△GDE AAS，②在⊙O中，R=1，∴AB=2R=2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=45°，∴∠BAD=90°-∠ABD=45°，∴DA=DB，在Rt△ABC中，∴DA2+DB2=AB2，即2DA2=22，解得：DA=2，由①可知△ABC≌△GDE，∴BC=DE，∴BC+CD=DE+CD=CE=32，∴四边形ABCD的周长为：DA+AB+BC+CD=DA+AB+CE=2+2+32=72+2．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计算；解题的关键是灵活运用以上知识，综合求解．25.(2023·天津·统考中考真题)在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC=60°，E为弦AB所对的优弧上一点．(1)如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；(2)如图②，CE与AB相交于点F，EF=EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA=3，求EG的长．【答案】(1)∠AOB=120°，∠CEB=30°(2)3【分析】(1)根据半径OC 垂直于弦AB ，可以得到AC =BC，从而得到∠AOC =∠BOC ，结合已知条件∠AOC =60°即可得到∠AOB =2∠AOC =120°，根据∠CEB =12∠AOC 即可求出∠CEB =30°；(2)根据∠CEB =30°，结合EF =EB ，推算出∠EBF =∠EFB =75°，进一步推算出∠GOE =∠AOE-∠AOG =30°，在Rt △OEG 中，tan ∠GOE =EG OE,OE =OA =3，再根据EG =3×tan30°即可得到答案．【详解】(1)解：在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，∴AC =BC ，得∠AOC =∠BOC ．∵∠AOC =60°，∴∠AOB =2∠AOC =120°．∵∠CEB =12∠BOC =12∠AOC ，∴∠CEB =30°．(2)解：如图，连接OE ．同(1)得∠CEB =30°．∵在△BEF 中，EF =EB ，∴∠EBF =∠EFB =75°．∴∠AOE =2∠EBA =150°．又∠AOG =180°-∠AOC =120°，∴∠GOE =∠AOE -∠AOG =30°．∵GE 与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥GE ，即∠OEG =90°．在Rt △OEG 中，tan ∠GOE =EG OE,OE =OA =3，∴EG =3×tan30°=3．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质和直角三角函数，解题的关键是灵活运用相关知识．26.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，AC =5,BC =25，点F 在AB 上，连接CF 并延长，交⊙O 于点D ，连接BD ，作BE ⊥CD ，垂足为E ．(1)求证：△DBE ∽△ABC ；(2)若AF =2，求ED 的长．【答案】(1)证明见解析(2)355【分析】(1)分别证明∠ACB=90°=∠BED，∠CAB=∠CDB，从而可得结论；(2)求解AB=AC2+BC2=5，tan∠ABC=ACBC =12，可得BF=3，证明tan∠ABC=tan∠DBE=DE BE =12，设DE=x，则BE=2x，BD=5x，证明△ACF∽△DBF，可得ACBD=AFDF=CFBF，可得DF=2x，EF=x=DE，BD=BF=3，从而可得答案．【详解】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，BE⊥CD，∴∠ACB=90°=∠BED，∵∠CAB=∠CDB，∴△DBE∽△ABC．(2)∵AC=5,BC=25，∠ACB=90°，∴AB=AC2+BC2=5，tan∠ABC=ACBC =12，∵AF=2，∴BF=3，∵△DBE∽△ABC，∴∠ABC=∠DBE，∴tan∠ABC=tan∠DBE=DEBE =12，设DE=x，则BE=2x，BD=5x，∵∠AFC=∠BFD，∠CAB=∠CDB，∴△ACF∽△DBF，∴AC BD =AFDF=CFBF，∴55x =2DF，则DF=2x，∴EF=x=DE，∴BD=BF=3，∴DE=355．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记圆的基本性质与重要定理是解本题的关键．27.(2023·四川达州·统考中考真题)如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB=BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB=∠ACB，AC、BD相交于点E．(1)求证：AP 是⊙O 的切线；(2)若BE =2，DE =4，∠P =30°，求AP 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】(1)由AB =BC ，OB 为半径，可知OB ⊥AC ，∠CAB =∠ACB ，则∠CAB +∠ABO =90°，∠ACB +∠ABO =90°，∠PAB +∠ABO =90°，如图1，连接OA ，由OA =OB ，可得∠OAB =∠ABO ，则∠PAB +∠OAB =90°，即∠OAP =90°，进而结论得证；(2)如图2，记OB 与AC 交点为M ，连接OD ，过O 作ON ⊥DB 于N ，证明△ABO 是等边三角形，则AB =OB =OA ，∠ABM =60°，设⊙O 半径为r ，则BM =AB ⋅cos ∠ABM =12r ，由OB =OD ，ON ⊥DB ，可得BN =12BD =3，证明△BME ∽△BNO ，则BM BN =BE BO ，即12r 3=2r ，解得r =23或r =-23(舍去)，根据AP =OA tan ∠P，计算求解即可．【详解】(1)解：如图，连接OA ,OC ，∵AB =BC ，∴AB �=BC �，∴∠AOB =∠COB ，∴OB ⊥AC ，由等边对等角可得∠CAB =∠ACB ，∴∠CAB +∠ABO =90°，∴∠ACB +∠ABO =90°，∵∠PAB =∠ACB ，∴∠PAB +∠ABO =90°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠ABO ，∴∠PAB +∠OAB =90°，即∠OAP =90°，又∵OA 是半径，∴AP 是⊙O 的切线；(2)解：如图2，记OB 与AC 交点为M ，连接OD ，过O 作ON ⊥DB 于N ，∵∠P =30°，∴∠AOP =60°，∴△ABO 是等边三角形，∴AB =OB =OA ，∠ABM =60°，设⊙O 半径为r ，∵AM ⊥BM ，∴BM =AB ⋅cos ∠ABM =12r ，∵OB =OD ，∴△BOD 是等腰三角形，又∵ON ⊥DB ，∴BN =12BD =BE +DE 2=3，∵∠BME =∠BNO =90°，∠EBM =∠OBN ，∴△BME ∽△BNO ，∴BM BN =BE BO ，即12r 3=2r ，解得r =23或r =-23(舍去)，∴AP =OA tan ∠P =r 33=6，∴AP 的长为6．【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦、正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．28.(2023·湖南·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是一条弦，D 是AC的中点，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，交⊙O 于点H ，DB 交AC 于点G ．(1)求证：AF =DF ．(2)若AF =52,sin ∠ABD =55，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)根据D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，得到CD =DA =AH ,得到∠ADH =∠DAC 即可得证．(2)根据sin ∠ABD =55=AD AB，设AD =5x ,AB =5x ，运用勾股定理，得到BD =5x 2-5x 2=25x ，结合sin ∠ABD =55=DE BD ，得到DE =2x ，运用勾股定理，得到BE =25x 2-2x 2=4x ，从而得到AE =x ,EF =ED -DF =DE -AF =2x -52，在Rt △AEF 中，利用勾股定理计算x 即可．【详解】(1)∵D 是AC 的中点，∴CD =DA ，∵DE ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴DA =AH ，∴CD =DA =AH，∴∠ADH =∠DAC ，∴AF =DF ．(2)∵DE ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，。

2020年中考数学压轴题：圆中证明及计算问题

2020年中考数学压轴题：圆中证明及计算问题【例1】（2019·叶县一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O 于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：AB•CP＝BD•CD；（3）当AB＝5 cm，AC＝12 cm时，求线段PC的长．【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接OD．∵∠BAD＝∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴∠BOD＝∠COD＝90°，∵BC∥P A，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，即OD⊥P A，∴PD是⊙O的切线．（2）证明：∵BC∥PD，∴∠PDC＝∠BCD．∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠PDC，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，∴∠ABD＝∠PCD，∴△BAD∽△CDP，∴AB BD CD CP，∴AB•CP＝BD•CD．（3）∵BC是直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AB＝5，AC＝12，由勾股定理得：BC＝13，由（1）知，△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD∵AB•CP＝BD•CD．∴PC＝169 10．【变式1-1】（2018·焦作一模）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，延长BC到点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E．（1）求证：△ABE≌△CDE；（2）填空：①当∠ABC的度数为时，四边形AOCE是菱形；②若AE=6，BE=8，则EF的长为．【答案】（1）见解析；（2）60；9 2 .【解析】（1）证明：连接CE，∵AB=AC，CD=CA，∴∠ABC=∠ACB，AB=CD，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ECD+∠BCE=∠BAE +∠BCE=180°，∴∠ECD=∠BAE，同理，∠CED=∠ABC，∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，∴∠CED=∠AEB，∴△ABE≌△CDE；（2）①60；连接AO、OC，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC+∠AEC=180°，∵∠ABC=60，∴∠AEC=∠AOC=120°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠ACB=∠CAD+∠D，AC=CD，∴∠CAD=∠D=30°，∴∠ACE=30°，∴∠OAE=∠OCE=60°，即四边形AOCE是平行四边形，∵OA=OC，∴四边形AOCE是菱形；②由（1）得：△ABE≌△CDE，∴BE=DE=8，AE=CE=6，∠D=∠EBC，由∠CED=∠ABC=∠ACB，得△ECD∽△CFB，∴CE CFDE BC==68，∵∠AFE=∠BFC，∠AEB=∠FCB，∴△AEF∽△BCF，∴EF CF AE BC=，即6 68 EF=，∴EF=92．【例2】（2019·省实验一模）如图，AB为⊙O的直径，点C为AB上方的圆上一动点，过点C作⊙O 的切线l，过点A作直线l的垂线AD，交⊙O于点D，连接OC，CD，BC，BD，且BD与OC交于点E．（1）求证：△CDE≌△CBE；（2）若AB＝4，填空：①当弧CD的长度是时，△OBE是等腰三角形；②当BC＝时，四边形OADC为菱形．【答案】（1）见解析；（2）2；2．【解析】（1）证明：延长AD 交直线l 于点F ，∵AD 垂直于直线l ， ∴∠AFC ＝90°， ∵直线l 为⊙O 切线， ∴∠OCF ＝90°， ∴∠AFC ＝∠OCF ＝90°， ∴AD ∥OC ， ∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴∠OEB ＝90°， ∴OC ⊥DB ，∴DE ＝BE ，∠DEC ＝∠BEC ＝90°， ∵CE ＝CE ， ∴△CDE ≌△CBE ；（2）①如图2，连接OD ，由（1）知∠OEB ＝90°，当△OBE 是等腰三角形时，则△OEB 为等腰直角三角形， ∴∠BOE ＝∠OBE =45°， ∵OD ＝OB ，OE ⊥BD ， ∴∠DOC ＝∠BOE ＝45°， ∵AB ＝4， ∴OD ＝2， ∴弧CD 的长=452180π⨯=2π； ②当四边形OADC 为菱形时，则AD ＝DC ＝OC ＝AO ＝2，由（1）知，BC ＝DC ， ∴BC ＝2.【变式2-1】（2019·河南南阳一模）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2，∠B =135°，则弧AC 的长为（）A. 2πB. πC.2πD.3π【分析】根据弧长公式180n rl π=，需先确定弧AC 所对的圆心角∠AOC 的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到∠AOC =2∠D ，根据圆内接四边形对角互补，求出∠D =180°－∠B =45°，再代入弧长公式求解即可.【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=180°－∠B=45°，∴弧AC所对圆心角的度数为：2×45°=90°，∵⊙O的半径为2，∴弧AC的长为：902180180n rlππ⨯===π，故选B.1.（2018·洛阳三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，与斜边AB交于点D，E为BC边的中点，连接DE.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）填空：①若∠B=30°，AC=23，则BD=②当∠B= 时，以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形.【答案】见解析.【解析】解：（1）连接OD，∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∠CDB=90°，∵E是BC的中点，∴DE=CE=BE，∴∠DCE=∠EDC，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=90°，即∠ODE=90°，∴DE是⊙O的切线；（2）3；45°，理由如下：①∵∠B=30°，AC=23，∠BCA=90°，∴BC= AC÷tan30°=6，∴DE=3，②由∠B=∠A=45°，OA=OD，得∠ADO=∠AOD=45°，∴∠AOD=90°，∴∠DOC=90°，又∠ODE=90°，∴四边形ODEC是矩形，∵OD=OC，∴四边形ODEC是正方形.2.（2018·河南第一次大联考）已知△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，且DA∶AB=1∶2．（1）求∠CDB的度数；（2）在切线DC上截取CE=CD，连接EB，判断直线EB与⊙O的位置关系，并证明．【答案】见解析.【解析】解：（1）如图，连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°．∵DA：AB=1：2，∴DA=OC，DO=2OC．在Rt△DOC中，sin∠CDO=12，∴∠CDO=30°，即∠CDB=30°．（2）直线EB与⊙O相切．证明：连接OC，由（1）可知∠CDO=30°，∴∠COD=60°，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠CBD=∠CDB，∴CD=CB，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCE=90°，∴∠ECB=60°，又∵CD=CE，∴CB=CE，∴△CBE为等边三角形，∴∠EBA=∠EBC+∠CBD=90°，∴EB是⊙O的切线．3.（2019·偃师一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，E为BC边上一点，且DE是⊙O的切线．（1）求证：BE=EC；（2）填空：①若∠B=30°，AC DE= ；②当∠B= °时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．【答案】（1）见解析；（2）①3；②45. 【解析】解：（1）证明：如图，连接OD，∵∠ACB=90°，AC为⊙O的直径，∴EC为⊙O的切线，∵DE为⊙O的切线，∴EC=ED，∵∠EDO=90°，∴∠BDE+∠ADO=90°，∵OD=OA，∴∠ADO=∠A，∴∠BDE+∠A=90°，∵∠A+∠B=90°，∴∠BDE=∠B，∴BE=EC；（2）①3；②45，理由如下：①在Rt△ABC中，∠B=30°，AC3∴BC=6，由（1）知，E是BC中点，∴DE=12BC=3；②∵ODEC为正方形，∴∠DEC=90°，DE=CE=BE，∴∠B=45°，故答案为：3；45.4.如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一动点，过点C作⊙O的切线l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E，连接OC，CE，AE，AE交OC于点F．（1）求证：△CDE≌△EFC；（2）若AB=4，连接AC．①当AC= 时，四边形OBEC为菱形；②当AC= 时，四边形EDCF为正方形．【答案】见解析．【解析】（1）证明：如图，∵BD⊥CD，∴∠CDE=90°，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵CD是切线，∴∠FCD=90°，∴四边形CFED矩形，∴CF=DE，EF=CD，∵CE=CE，∴△CDE≌△EFC．（2）解：①当AC=2时，四边形OCEB是菱形．理由：连接OE．∵AC=OA=OC=2，∴△ACO是等边三角形，∴∠CAO=∠AOC=60°，∵∠AFO=90°，∴∠EAB=30°，∵∠AEB=90°，∴∠B=60°，∵OE=OB，∴△OEB是等边三角形，∴∠EOB=60°，∴∠COE=180°﹣60°﹣60°=60°，∵CO=OE，∴△COE是等边三角形，∴CE=CO=OB=EB，∴四边形OCEB是菱形．故答案为2．②当四边形DEFC是正方形时，∵CF=FE，∴∠CEF=∠FCE=45°，∵OC⊥AE，∴弧AC=弧CE，∴∠CAE=∠CEA=45°，∴∠ACE=90°，∴AE是⊙O的直径，∴△AOC是等腰直角三角形，∴AC=22．∴AC=22时，四边形DEFC是正方形．故答案为22．5.（2019·三门峡二模）如图，AB是半圆O的直径，D为半圆上的一个动点（不与点A，B重合），连接AD，过点O作AD的垂线，交半圆O的切线AC于点C，交半圆O于点E．连接BE，DE．（1）求证：∠BED＝∠C．（2）连接BD，OD，CD．填空：①当∠ACO的度数为时，四边形OBDE为菱形；②当∠ACO的度数为时，四边形AODC为正方形．【答案】（1）见解析；（2）30；45．【解析】解：（1）证明：设AD，OC交于点P，∵OC⊥AD，∴∠APC＝90°．∴∠C+∠CAP＝90°∵AC是半圆O的切线，∴∠CAO＝∠CAP+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠C，∵∠BED＝∠BAD，∴∠BED＝∠C；（2）①30，理由如下：连接BD，如图：∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝∠ACO＝30°，∴∠DBA＝60°，∵OE⊥AD，∴弧AE=弧AD，∴∠DBE＝∠ABE＝30°∵∠DEB＝∠DAB＝30°，∴∠DEB＝∠ABE，DE∥AB∵∠ADB＝90°，即BD⊥AD，OE⊥AD，∴OE∥BD，∴四边形OBDE是平行四边形∵OB＝OE∴四边形OBDE是菱形；故答案为30°；②45，理由如下：连接CD、OD，∵∠BED＝∠ACO＝45°，∴∠BOD＝2∠BED＝90°，∴∠AOD＝90°，∵OC⊥AD，∴OC垂直平分AD，∴∠OCD＝∠OCA＝45°，∴∠ACD＝90°，∵∠ACO＝90°，∴四边形AODC是矩形，∵OA＝OD，∴四边形AODC是正方形，故答案为45°．6.（2019·开封模拟）如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线P A、PB，切点分别为A、B．（1）连接AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP是等腰三角形；（2）填空：①当弧AB的长为cm时，四边形AOBD是菱形；②当DP＝cm时，四边形AOBP是正方形．【答案】（1）见解析；（2）23π21.【解析】解：（1）连接AO，∵P A是⊙O的切线，∴∠P AO＝90°，∵∠APO＝30°，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OC，∴∠C＝∠CAO＝30°，∴∠C＝∠APO=30°，∴△ACP是等腰三角形；（2）①若四边形AOBD是菱形，则AO＝AD，∵AO＝OD，∴△AOD是等边三角形，∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°，∵CD=2，∴圆O的半径为1，∴弧AB的长为：21201180π⨯=23π.②若四边形AOBP为正方形时，则P A＝AO＝1，则OP2，∵OD=1，∴PD2－1，2－1．7.（2019·西华县一模）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA=AE=2时，求出四边形ACDE的面积．【答案】见解析．【解析】证明：（1）∵F为弦AC（不是直径）的中点，∴AF=CF，OD⊥AC，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴AC∥DE．（2）连接CD，∵AC∥DE，OA=AE=2，∴OF=FD，∵AF=CF，∠AFO=∠CFD，∴△AFO≌△CFD，∴S△AFO=S△CFD，∴S四边形ACDE=S△ODE∵OD=OA=AE=2，∴OE=4，由勾股定理得：DE3∴S四边形ACDE=S△ODE= 12×OD×OE=12×2×3 38.（2019·郑州联考）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：∠DAC＝∠DBA；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）连接CD，若CD＝3，BD＝4，求⊙O的半径和DE的长．【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA，∵∠DAC与∠CBD是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD，∴∠DAC＝∠DBA；（2）证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB＝90°，∴∠ADE+∠BDE＝∠DBE+∠BDE＝90°，∴∠ADE＝∠DBE＝∠DAC，∴PD＝P A，∵∠DF A+∠DAF＝∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠PDF＝∠PFD，∴PD＝PF，∴P A＝PF，即P是线段AF的中点；（3）解：∵∠CBD＝∠DBA，CD＝3，∴CD＝AD＝3，由勾股定理得：AB＝5，即⊙O的半径为2.5，由DE×AB＝AD×BD，即：5DE＝3×4，∴DE＝2.4．即DE的长为2.4．9.（2019·安阳二模）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB＝12，BC＝4，求⊙O的半径．【答案】见解析．【解析】（1）直线CE与⊙O相切，证明：连接OE，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∵∠ACB＝∠DCE，∴∠AEO＝∠ACB＝∠DCE，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，由∠D＝90°，得：∠DCE+∠DEC＝90°，∴∠AEO+∠DEC＝90°，∴∠OEC＝90°，即OE⊥EC，∵OE为半径，∴直线CE与⊙O相切；（2）解：在Rt△ACB中，AB＝tan∠ACB×BC=12×4＝2，由勾股定理得：AC＝25，∵∠ACB＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝12，在Rt△DCE中，CD＝AB＝2，DE＝DC×tan∠DCE＝2×12＝1，由勾股定理得：CE＝5，在Rt△COE中，CO2＝CE2+OE2，OE=OA，（25﹣OA）2＝OA2+（5）2，解得：OA＝35，即⊙O的半径是35．10.（2019·平顶山三模）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB是⊙C的切线，切点为点D，直线AC交⊙C于点E、F，且CF=12 AC，（1）求证：△ABF是直角三角形；（2）若AC＝6，则直接回答BF的长是多少．21 【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接CD ，则CF ＝CD ，∵AB 是⊙C 的切线．∴CD ⊥AB ，∠ADC ＝∠BDC ＝90°，在Rt △ACD 中，CF =12AC ，∴CD ＝CF =12AC ，∴∠A ＝30°∵AC ＝BC ，∴∠ABC ＝∠A ＝30°，∴∠ACB ＝120°，∠BCD ＝∠BCF ＝60°， ∵BC ＝BC ，∴△BCD ≌△BCF ，∴∠BFC ＝∠BDC ＝90°，∴△ABF 是直角三角形．（2）解：由（1）知：AC ＝BC ，CD ⊥AB ， ∴AD ＝BD ＝BF ，在Rt △ACD 中，∠A ＝30°，AC ＝6，∴CD ＝3，∴AD 3CD ＝3BF ＝3。

圆内计算与证明

圆内计算与证明1、如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 为高，E 为弧BC 的中点，①求证：∠EAD ＝∠EAO ；②若AB •AC ＝8,AD ＝2,求半径R 。

2、如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，E 为BC 延长线上一点，求证：AC 2＝AD •AE 。

3、如图，A 、B 、C 、D 四点均在⊙O 上，DC 平分其外角∠ACE ，DE ⊥BE ，①求证：DO ⊥AB ； ②当C 点位置变化时，式子的值是否发生变化？4、如图，⊙O 中，直径DE ⊥弦AB ，C 为圆上一动点，AC 与DE 相交于点F ，求证：①OG •FG ＝BG •CG ；②AO 2＝OG •OF 。

5、如图，⊙O 中，C 为圆上一点，直径BD ⊥AC ，求证：AE •BE ＝EF •E6、在边长为４的正方形ABCD 中，以AD 为直径的⊙O ，以C 为圆心，CD 长为半径作⊙Ｃ，两圆交于正方形内一点E ，连CE 并延长交AB 于F. （1）求证CF 与⊙O 相切；（2）求△BCF 和直角梯形ADCF 的周长之比7、如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90o，以AB 为直径作⊙O 交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；（2）连接OC 交DE 于点F ，若OF=OC ，求tan ∠ACO 的值．8、如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC 交于点D ，与边AC 交于点E ，过点D 作DF ⊥AC 于F. （1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若DE=25，AB=25，求AE 的长.9、如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°,以AC 为直径的⊙O 交AB 于D,OE ∥AB 交BC 于E ,连DE . (1) 求证：DE 为⊙O 切线；(2) 若⊙O 的半径为3，DE=4，求AD 之长.OO10、如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ．⑴求证：DE 是⊙O 的切线；⑵若35AC AB =，求AFDF的值。

《圆》的计算及证明题之中考真题精选汇编(1)

《圆》的计算及证明题之中考真题精选汇编（1）1．如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD为∠CAB的平分线交⊙O 于点D，连接OD交BC于点E．（1）求∠BED的度数；（2）如图2，过点A作⊙O的切线交BC延长线于点F，过点D作DG∥AF交AB于点G．若AD＝2√35，DE＝4，求DG的长．2．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，⊙P与x轴相切于点C，与y轴相交于点A（0，8），B（0，2）．连接AC，BC．（1）求点P的坐标；（2）求cos∠ACB的值．3．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．4．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．（1）写出图中一个度数为30°的角：，图中与△ACD全等的三角形是；（2）求证：△AED∽△CEB；（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．5．如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线，CD与AB相交于点E．过点D的线DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD．（1）求∠F的度数；（2）若DE•DC＝8，求⊙O的半径．6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，点F是AB延长线上一点，连接CF，AD，∠FCD＝2∠DAF．（1）求证：CF是⊙O切线；（2）若AF＝10，sin F=23，求CD的长．7．如图，AB为⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠A．（1）求证：△ACD∽△DCB；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）若tanE=35，AC＝10，求⊙O的半径．8．如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若BF＝1，sin∠AFE=45，求BC的长．9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是BD̂的中点，过点C作CE ⊥AD交AD的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝6，AC＝8，求CE，DE的长．10．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AĈ上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP．（1）求证：∠ADC﹣∠BAC＝90°；（请用两种证法解答）（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为3，CP＝4，求AP的长．11．如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是边AC上的中线，过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E，BE交⊙O于点F，连接AE，FC．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，BC＝6，求FC的长．̂的中点，过点C作CD⊥AE，交12．如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为EBAE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AD＝10，cos B=35，求FD的长．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠C＝30°，CD＝2√3．求BD的长．15．综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：，∠BDC＝°；（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC 的度数，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：；（4）实践应用：正方形ABCD中，AB＝2，若平面内存在点P满足∠BPD＝90°，PD＝1，则S△ABP．16．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；（2）若AB＝4，BC=√5．求⊙O的半径．̂的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F．17．如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是BC（1）求证：BC＝DE；̂上一点，AC＝6，BF＝2，求tan∠BPC；（2）P是AE（3）在（2）的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长．̂=BD̂，DE⊥AC于点E，DE交BF 18．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BC于点F，交AB于点G，∠BOD＝2∠F，连接BD．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）判断△DGB的形状，并说明理由；（3）当BD＝2时，求FG的长．19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F，连接DF．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD＝5，tan∠ADB=√3．求图中阴影部分的面积．（结果保留π）20．如图，MN为⊙O的直径，且MN＝15，MC与ND为圆内的一组平行弦，弦AB交MC 于点H．点A在MĈ上，点B在NĈ上，∠OND+∠AHM＝90°．（1）求证：MH•CH＝AH•BH；（2）求证：AĈ=BĈ；（3）在⊙O中，沿弦ND所在的直线作劣弧ND̂的轴对称图形，使其交直径MN于点G．若sin∠CMN=35，求NG的长．21．【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在AC上（点P不与点A、C重合），连接P A、PB、PC．求证：PB＝P A+PC．小明发现，延长P A至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长P A至点E，使AE＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接P A、PB、PC，若PB=2√2PA，则PBPC的值为．22．如图，作CF⊥OE，交BE于点F，若EF＝2BF．（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．23．如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC．（1）求证：AO∥BE；（2）求证：AO平分∠BAC．24．如图，PO平分∠APD，P A与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB ⊥PD，垂足为B．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，OC＝5，求P A的长．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CD＝12，tan∠ABC=34，求⊙O的半径．26．综合探究如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′．（1）求证：AA'⊥CA'；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA′=√3CA′；②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．27．如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若∠ACD＝120°，CD＝2√3，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．28．如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF．（1）求证：①CD是⊙O的切线；②△DEF∽△DBA；（2）若AB＝5，DB＝6，求sin∠DFE．29．装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.（1）求OC的长．操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN 于点D．探究：在图2中．（2）操作后水面高度下降了多少？̂的长度，并比较大小．（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与EQ30．（1）如图①，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，AB＝24．若⊙O的半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值；（2）如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽．已知：∠A＝∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝AE＝10000m，BC＝DE＝6000m．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道⊙O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，与⊙O交于点N．连接BN，点P在⊙O上，连接EP．其中，线段BN、EP及MN是要修的三条道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长．。

中考数学复习《圆的证明与计算》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《圆的证明与计算》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解圆的相关知识的考查是中考数学中的一个重要内容，圆作为一个载体，常与三角形、四边形结合，考查切线的性质及判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、求阴影面积等．解题时要先分析题干中的条件，然后从图象中挖掘隐含条件，最后再解题．类型一切线的判定判定一条直线是圆的切线，首先看圆的半径是否过直线与圆的交点，有半径则证垂直；没有半径，则连接圆心与切点，构造半径证垂直．例1 (2016·黄石)如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD.(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；（2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得⊥OCA=⊥CAD，即可得到OC⊥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．【自主解答】（1）解：⊥AB是⊥O直径，C在⊥O上，⊥⊥ACB=90°，又⊥BC=3，AB=5，⊥由勾股定理得AC=4；（2）证明：⊥AC是⊥DAB的角平分线，⊥⊥DAC=⊥BAC，又⊥AD⊥DC，⊥⊥ADC=⊥ACB=90°，⊥⊥ADC⊥⊥ACB，⊥⊥DCA=⊥CBA，又⊥OA=OC，⊥⊥OAC=⊥OCA，⊥⊥OAC+⊥OBC=90°，⊥⊥OCA+⊥ACD=⊥OCD=90°，⊥DC是⊥O的切线．变式训练1．(2017·白银) 如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．解：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB==，∴B（，2）．（2）连接MC，NC∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD=NB=ND，∴∠CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．类型二切线的性质已知某条直线是圆的切线，当圆心与切点有线段连接时，直接利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；当圆心与切点没有线段相连时，则作辅助线连接圆心与切点，再利用切线的性质解题．例2 (2016·资阳) 如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连接BD.(1)求证：∠A＝∠BDC；(2)若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝1时，求MN的长．【分析】(1)连接OD，由切线的性质可得∠CDB＋∠ODB＝90°，由AB是直径，可得∠ADB＝90°，进而可得∠A＋∠ABD＝90°，进而求得∠A＝∠BDC；(2)由角平分线及三角形外角性质可得∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，再根据勾股定理求得MN的长．【自主解答】(1)如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠BDC＋∠ODB＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠A＋∠ODB＝90°，∴∠A＝∠BDC.(2)∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM.∵∠A＝∠BDC，∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM.即∠DMN＝∠DNM.∵∠ADB＝90°，DM＝1，∴DN＝DM＝1，∴MN＝变式训练2．(2017·长沙)如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．解：（1）连接OC，∵AB与⊙O相切于点C∴∠ACO=90°，由于=，∴∠AOC=∠BOC，∴∠A=∠B∴OA=OB，（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，∴BC=AB=2，∴sin∠COB==，∴∠COB=60°，∴∠B=30°，∴OC=OB=2，∴扇形OCE的面积为：=，△OCB的面积为：×2×2=2=2﹣π∴S阴影类型三圆与相似的综合圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合，一般结合切线的判定与性质综合考查，求线段长或半径．一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等，进而构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出所求线段或半径．例3 (2017·兰州) 如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，CE=2，求EF的长．【分析】（1）由BC是⊙O的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；（2）连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【自主解答】解：（1）∵BC是⊙O的直径，∴∠BAF+∠FAC=90°，∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，∴∠D+∠AOD=90°，∴∠OAD=90°，∴AD是⊙O的切线；（2）连接BF，∴∠FAC=∠AOD，∴△ACE∽△OCA，∴，∴，∴AC=AE=，∵∠CAE=∠CBF，∴△ACE∽△BFE，∴，∴=，∴EF=．变式训练3．(2016·丹东)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.(1)求证：∠BDC＝∠A；(2)若CE＝4，DE＝2，求AD的长．(1)证明：如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，即∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°. ∴∠BDC＝∠ADO.∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A.(2)解：∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC.∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE.∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，∴∴CE2＝DE·AE，即16＝2(2＋AD)，∴AD＝6.。

圆的证明与计算 (基本图形)

圆的证明与计算(基本图形)圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。

一、考点分析：1.圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系，以及中点等等.(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推论: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,近几年武汉市中考题的22题的第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。

三、解题方法：1、判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。

常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；（07武汉）22．(本题8分)如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。

以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E。

(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)求sin∠E的值。

(第22题图)（10武汉）22．(本题满分8分) 如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ． (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切；(2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ．若⊙O 的半径为3，PC=4．求弦CE 的长．2、与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。

2021-2023年中考复习考点 - 圆的证明与计算(word版含答案)

圆的证明与计算考点一：圆的有关性质1．如图，以△BMC的边为直径的⊙O与边BC交于点D，与BM的延长线交于点E，∠E＝∠B，DE交CM于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）若CF＝3MF，求tan∠E的值．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．（1）求证：CD＝BD；（2）若ABBC＝58，求sin∠BDE的值．BACDEO3．如图，⊙O中，AB是弦，OB，OC为圆的半径，∠BOC＝90°＋∠B．（1）求证：AC＝BC；（2）延长BO交⊙O于点D点，连接AC交BD于E点，AD＝5，DE＝2，求⊙O的半径长．4．如图，AB 是⊙O 的直径，D 是BC 的中点，OD 交BC 于点E ．（1）若BC ＝8，AB ＝10，求sin ∠AEO 的值；（2）若BC ＝8，DE ＝2，求tan ∠BAE 的值．5．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，D 是BC 延长线上的一点，⊙O 是△ABD 的外接圆，E 是⊙O 上一点，且AE ＝AD ，AE 交BD 于F ．（1）求证：DE 是⊙O 的直径；（2）若AB ＝32，CD ＝2，求AF 的长6．如图，点P 是⊙O 外一点，PB 交⊙O 于A ，B ，PD 交⊙O 于C ，D ，连接BD ，AD ．（1）求证：AP AD ＝CPBC；（2）若∠DBC ＝∠P ，∠BDC ＝60°，CP DC ＝54，求tan ∠P 的值． CAOPD7．已知⊙O 中，点A ，B ，C 在圆⊙O 上，AB ＝AC ，D 为AB 上一点．（1）如图1，BM ⊥CD 于M ，若∠ADC ＝75°，求证：DM ＝3BM ．（2）如图2，若tan ∠ADC ＝4，求cos ∠BDC 的值．图1 图28．已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的动点．（1）如图1，点P 是劣弧AC 的中点，求证：OP ∥BC ；（2）如图2，点P 是劣弧AC 的中点，tan ∠A ＝21，求tan ∠ABC 的值．图1 图2考点二：切线的判定与性质9．如图， AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，CD ＝CA ，CE ⊥BD 于E ．（1）求证CE 是⊙O 的切线；（2）连接CB ，CD ，tan ∠CBE ＝43，求cos ∠BCD 的值．10．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，以AC 上一点O 为圆心的⊙O 过点C ，与BC 相交于点D ，与AB 相切于点E ，∠DEB ＝∠A ．（1）求证：CD ＝DE；（2）连接OB ，求cos ∠OBC 的值．DBACO11．如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、D 三点的⊙O 交BC 于点E ，且与CD 相切．（1）求证：AD ＝AE ；（2）若45CE CD =，求cos ∠C 的值．EBOA 错误!未指定书签。