立体几何体积问题

立体几何体积问题

1、在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且DAB 60°, EF//平

面ABCD，EA ED AB 2EF 2，M 为BC 中点.

（1）求证FM //平面BDE ；

（2）若平面ADE 平面ABCD，求F到平面BDE的距离.

【答案】（1）见解析；（2）丄5

5

【解析】试题分析，

⑴取CD中点N,连接磁由线面平行的判定定理可得坤"平面BDE.再^EF!f平面

ABCD可得EF f W;由題青可证得四边形EFND为率亍四边嗷故得KV//ED ,从而得到KV/!平面BDE f由面面平行的判罡可得平面斫皿门平面£DE f由此可得结论成立.⑵ 由⑴ 得FMH平面蛊DE ,故尸到平面*的跑寓等于血到平面EQE的距暮取血的中邑H ,连接EH=RH ,可证得甘丄",BH'AD ,从而可得阳丄平面ABCD,在此基础上可得j j .然后设卩到平面BDE的距离为h ‘由=乩顾可得所求-

试题解析

（1）取8中点N，连播亦用,

因为S 分别为CQ/C卬点，所以，胚VJE6

又RDu平面BDE ?且脸Md平画RDE,所以胚讥仃平面EDE ?

因为平面屈CD ,EF匚平面ABEF,平面ABCDc平面JBEF = AB f

所^EF/fAB .

又AB = CD = 2DN= 2EF=2 ? AB //CD ,

所^EF//CD f EF =DN.

所以四边形皿网洵平彳亍四边形，

所SFWfED.

又ED u平面BDE且EV工平面BDE,所以FM/平面BDE、

又FNr\MN = N f所以平面A1FN!/平面BDE・

又MF匸平面AffN」所JFM H平面8DE,

3

(2)由(1)得FM //平面BDE ,所以F 到平面BDE 的距离等于 M 到平面BDE 的距离. 取AD 的中点H ，连接EH ,

BH ,

面 CDEF , AE CF . (1) 求证 CF DE ；

(2) 若CF DE , DC 2EF 4，求五面体 ABCDEF 的体积.

20

【答案】(1)见解析(2)

20

因为四边形ABCD 为菱形，且 DAB 60

, EA ED AB 2EF , AD ， ADE 所以EH 平面 因为EH

BH

所以S BDE

1

BH AD , 平面

ABCD ，平面ADE ABCD , EH BH ,

平面ABCD

AD ,

设F 到平面BDE 的距离为

.'6 2 2

h ，又因为 S BDM

1S 2

BCD

1

所以由V E BDM V M BDE ，得

3

3

-3

15

解得h

•学

5

即F 到平面BDE 的距离为二5 .

5

2、如图，在五面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 为正方形， EF PDC 平面ABCD

3，所以BE ,6，学

所以EH 因为平面 .6 ,22

【解析】试题分析：

(1) 要证缪戋垂宜』可先证线面垂直，已扣有AE±CF}因此只姜再证CF丄如，逹可由面面垂宜的性廣宣理得AD丄平面CDEF ,从而得到结论：

(2) 这个多面体可分折为一个三棱锥A-DEF个四棱推F-胭CD ,它们的高易作出、分別束出体积即可-

试题解析：

(I )因为平面初O?丄平面CD£F?

平面ABCDC］平面CDEF=CD,AOlC/Jj

所叹AD丄平面CDEF,又0＜护面CDF®

则AD1CF.

又因为A£_LCF r ADnAE^A^

所以併丄平面AED} DEU平面AED f

从而有併丄DE-

(n)连接FA, FD,过F作FM丄CD于M ,

因为平面ABCD丄平面CDEF且交线为CD, FM丄CD,

所以FM丄平面ABCD.

因为CF= DE, DC= 2EF= 4,且CF丄DE,

所以FM= CM= 1 ,学

所以五面体的体积V= V F_ABCD+V A—DE严+ =.

3、如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为菱形，BAD 60，点M在线段PC

上，且PM 2MC , O为AD的中点•

(I)若PA PD，求证平面POB 平面PAD ；

(n)若平面PAD 平面ABCD , PAD为等边三角形，且AB 2 ,求三棱锥P OBM

的体积.

2

【答案】(I)见解析；(n) 2.

3

【解析】试题分析：⑴由PA^PD得加匸亦』底面为那M丄利用面面垂直判定定理证明j

H I H I PAD—庄| 拙 CD■思匕PO.OB,计聲打—Pf =心_咖=? Fg；

jCr J1

法二；推岀尸O丄面ABCD, BO±.AD?先计算岀5=屈,后

_ 2 _2

Fp-DAXf二耳-P£0 = j 岭-JOB =亍^-03C

解析；(【)'.'PA=FD^ AQ=OD, /.POlADj

又T 底面ABCDjfeOJj ZBAD=50\二日0丄員D 」 P0n60=0,「80丄平面 POB

又AD©1面PAD,「■平面POB 丄平面PAD;

（II ）方法一

•「平面 臥D 丄平面丸BCD.平面 臥D 仃平面ABOAD, PO±AD,

.\m 丄平面ABCD,

/.PO1OB

T AAW 为等边三甬形，-W=^ = 2 .\PO = ^3 ； T 庶面 ABCD 为奏)俗 ZBAD = 60P 7

= 1 ：-BQ~^3

[ ]

3

=—x BO y PO = —x 羽x 击=—

由(I )AD±平面POB.'.BC 丄平面POB

2 1 2 13

C-X)Q = — X 方法二

•••平面PAD 丄平面 ABCD, ••• P0丄平面 ABCD,

DE 2CF EF 2, G 为 AB 的中点， GD 3.

（I ）求证 AE 平面CDEF ；

（n ）求六面体 ABCDEF 的体积•

【答案】（1）见解析（2） 8

3

^P-OBhf = ^Sf-POB

平面 PAD P 平面 ABCD=AD P0丄 AD ,

•/ PAD 为等边三角形, AD AB

2,.・. AO 、3 ,

•••底面ABCD 为菱形，/ 由(I )B0丄AD ： S OBC

BAD=60 , AB -BC 2 OB

•/ PM=2MC

2 V

P OBM

V

M POB

POB

3

V P OBC 3

2 1S O BC PO

3 3

4、已知多面体ABCDEF 中， 四边形ABFE 为正方形，

CFE

DEF 90 ,