平行四边形复习一对一讲义

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龙文一对一四边形综合复习讲义

四边形综合知识点：一、平行四边形1、平行四边形（1）平行四边形定义：（2）平行四边形的性质：①②③④对称性（3）平行四边形的判定：①②③④2、菱形（1）菱形定义：（2）菱形的性质：①②③④对称性菱形的面积=（3）菱形的判定：①②③3、矩形（1）矩形定义：（2）矩形的性质：①②③④对称性（3）矩形的判定：①②③4、正方形（1）正方形定义：（2）正方形的性质：①②③④对称性（3）正方形的判定：①②③④二、梯形梯形的分类：（1）等腰梯形定义：（2）等腰梯形性质：①②③④对称性（3）等腰梯形的判定：①GF EDC BAH GF ED C B A② ③ 例题解析：例1、．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形。

②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。

③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

④顺次连结等腰梯形各边中点所得到的四边形是菱形。

其中正确的是（）（A ）①②.（B ）①②③.（C ）②③④ （D ）①②③④。

例2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．例3、如图，过四边形ABCD 的四个顶点分别作对角线AC 、BD 的平行线，所围成的四边形EFGH 显然是平行四边形．（1）当四边形ABCD 分别是菱形、矩形、等腰梯形时，相应的平行四边形EFGH 一定．．是．“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：（2满．足．怎样的条件？例4、如图所示, ABCD 中,AE,AF 是高,∠BAE=30º,BE=2,CF=1,DE 交AF 于G. (1)求 ABCD 的面积;(2)求△ECD 的面积;(3)求证:△AEG 为等边三角形.例5、矩形ABCD 中，AB =2，AD =3．（1）在边CD 上找．一点E ，使EB 平分∠AEC ，并加以说明；（2）若P 为BC 边上一点，且BP =2CP ，连接EP 并延长交AB 的延长线于F ． ①求证：点B 平分线段AF ；②△PAE 能否由△PFB 绕P 点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．例6、如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB .（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ；（2）设AP =x , △PBE 的面积为y .求出y 关于x 的函数关系式例7、如图，已知AD 与BC 相交于E ，∠1=∠2=∠3，BD=CD ，∠ADB=90°，CH ⊥AB 于H ，CH 交AD 于F ． (1)求证：CD ∥AB ；(2)求证：△BDE ≌△ACE ；(3)若O 为AB 中点，求证：OF=12BE ．A B C P D E例8、如图1，操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形 ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），取线段AE 的中点M 。

证明平行四边形复习讲义

北师大版数学九年级上第三章、证明（三）-平行四边形、梯形复习讲义一、要点概况1、平行四边形的定义：两组对边分别的四边形叫做平行四边形。

平行四边形是对称图形，其对称中心是。

2、平行四边形的特征（性质定理及推论）（1）性质1：平行四边形的对边平行且相等。

（2）性质2：平行四边形的邻角互补，对角相等。

（3）性质3：平行四边形的对角线互相平分。

（4）推论1：中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

（5）推论2：若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积。

（6）推论3：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的识别（判定定理及推论）（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）判定1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（3）判定2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（4）判定3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（5）判定4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4、梯形的定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形。

5、等腰梯形的性质定理：（1）从角看：等腰梯形同一底上的两个内角相等；（2）从边看：等腰梯形两腰相等；（3）从对角线看：等腰梯形两条对角线相等． 6、等腰梯形的判定定理：（1）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

（2）对角线相等的梯形是等腰梯形。

（3）两条腰相等的梯形是等腰梯形．6、等腰梯形的推论：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。

7、梯形的中位线：（1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b ）÷2 S=L×h8、梯形常见辅助线的作法：作法图形延长两腰，转化为三角形ABCD E平移一腰，转化为三角形、平行四边形ABCD E作高，转化为两直角三角形和一矩形(ABCD E F平移一对角线，转化为三角形、平行四边形ABCDE倍长中线，构造全等三角形1ABCD EF倍长中线，构造全等三角形2梯形内平移两腰,转化为两个平行四边形和一三角形作中位线（两腰的中点的连线）二、典例精讲及变式训练（一）平行四边形中命题的判断例1：下列说法中，错误的是（）A 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B 、两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C 、四个角都相等的四边形是矩形D 、邻边相等的矩形是正方形变式训练1：如图，在平行四边形 ABCD 中(AB≠BC )，直线EF 经过其对角线的交点O ,且分别交AD 、BC 于点M 、 N ，交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，下列结论： ①AO=BO ；②OE=OF ； ③△EAM ∽△EBN ； ④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是A. ①②B. ②③C. ②④D.③④ ABCDE M N O（二）平行四边形性质的运用与考查例2：如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点．若∠ABE=∠EBC，AB=2，则平行四边形ABCD的周长是。

平行四边形的复习课件

平行四边形的周长等于两
倍的（底加高），即 $P =
2(text{base}
+
text{height})$。
周长计算方法
通过测量底和高的长度，将数值代入公式计算周长。
周长与长宽关系
在平行四边形中，周长与长和宽有关，长和宽越长，周长越大。
面积与周长的关系
面积与周长的关系
面积与周长的应用
在平行四边形中，面积和周长的变化趋势不同，面积随着长和宽的增大而增大，而周长随着长和宽的增大而减小。
总结词
平行四边形可以分为三种类型：矩形、菱形和正方形。
详细描述
矩形是特殊的平行四边形，它的四个角都是直角；菱形也是特殊的平行四边形，它的四条边长度相等；正方形是矩形和菱形的特殊情况，它的四个角都是直角，并且四条边长度相等。
02
平行四边形的判定
定ห้องสมุดไป่ตู้法
总结词
根据平行四边形的定义进行判定。
详细描述
题目1
已知一个四边形的一组对边平行且相等，另一组对角相等，求证该四边形是平行四边形。
题目2
在平行四边形中，已知两条对角线互相平分，求证该平行四
边形是矩形。
题目3
在平行四边形中，已知一组邻边垂直且相等，求证该平行四
边形是正方形。
综合题
总结词
结合多个知识点，考察学生的综合运用能力。
题目1
在平行四边形中，已知一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线，求证该平行四边形是菱形。
性质
总结词
平行四边形具有一些独特的性质，包括对角线互相平分、对角相等、对边相等和相对角互补。
详细描述
平行四边形的性质包括对角线互相平分，即对角线将平行四边形分成两个相等的三角形；对角相等，即相对的两个角大小相等；对边相等，即相对的两边长度相等；相对角互

平行四边形(1对1辅导精品)

平行四边形【知识要点】1．平行四边形的定义：（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）表示：平行四边形用符号“2．平行四边形性质定理：（1）边：两组对边分别平行且相等；（2）角：对角相等、邻角互补；（3）对角线：对角线互相平分。

（4）夹在两平行线间的平行线段相等。

3.平行四边形的6个判定定理：（1）边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）边：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）边：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（4）角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（5）对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4.等腰梯形性质与判定（1）等腰梯形在同一底上的两个角相等，两条腰相等。

（2）等腰梯形的对角线相等。

5.三角形中位线定义与定理（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（2）定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三遍的一半。

【典型例题】例1 平行四边形的周长为50cm，两邻边之差为5cm，求各边长。

例2 平行四边形两邻角之差为20°，求各角的度数。

例3 如图所示，在中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，∠EBF=60°，CE=2，AF=3，求 ABCD例4 如图，在 ABCD 中，AE=CG ，求证：GF=HE 。

例5 已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，DE ∥AC ，DF ∥AB ，求证：DE+DF=AB 。

例6 如图，口ABCD 中，点M 、N 是对角线AC 上的点，且AM=CN ，DE=BF 。

求证：四边形MFNE 是平行四边形。

A B C DE F G H DA B C例7如图，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB =，BC =．对角线AC BD ，相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，．（1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF 是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；1、在中，_____________;,2:7:=∠∠=∠∠D C BA ＝则。

八年级数学平行四边形专题复习精品讲义(A级)

形 ABCD 的周长为 40．则平行四边形 ABCD 的面积为（）
A．24
B．36
C．40
D．48
【例 7】在面积为 15 的平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE 垂直于直线 BC 于点 E ，作 AF 垂直于直线 CD 于点 F ，若 AB 5 ，BC 6 ，则 CE CF 的值为（）
例题解析
【例 9】平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角分别______；两邻角______；平行四边形的对角线______．
【例 10】如图，在平行四边形 ABCD 中， EF ∥ BC ，GH ∥ AB，EF 与 GH 相交于点 O ，图中共有个平行四边形．
初中数学同步课程
《平行四边形的性质》.教师版.（A 级）
1 / 10
2. 平行四边形的周长： C 2(a b)
3. 平行四边形的面积： S 1 BC AE 1 CD AF
2
2
例题解析
【例 1】两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形 ABCD 记作 __________．
【例 13】
平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于 O，若 AC＝8，BD＝6，则边 AB
长的取值范围是
．
【例 14】如图，□ ABCD 中，ABO 和 BOC 的周长分别为 10 和 14，且平行四边形的周长为 22，则对
角线的长度之和为
， AB 和 BC 的长分别为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
．
【例 15】如图，在平行四边形 ABCD 中，不一定成立的是（）
（）

(完整)平行四边形全部讲义

平行四边形1、平行四边形的性质考点一、平行四边形的概念（1）定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.（2） "表示，平行四边形ABCD ABCD”,读作“平行四边形ABCD”。

平行四边形一定按顺时针或逆时针依次注明各顶点。

（3）平行四边形定义的作用：平行四边形的定义既是判定，又是性质.①由定义知平行四边形两组对边分别平行；②由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。

（4）平行四边形的基本元素：边、角、对角线。

例1中，EF∥AB，GH∥BC,EF、GH相交于点P，写出图中的平行四边形.A E DG P HB F C考点二、平行四边形的性质（1）边的性质:平行四边形的对边平行且相等。

（2）角的性质:平行四边形的邻角互补，对角相等。

（3）对角线性质:平行四边形的对角线互相平分。

例2中，∠A+∠C=160°，求∠A、∠B、∠C、∠D的度数.A BC D 考点三、平行四边形的对角线的性质（1）平行四边形的对角线互相平分.例3中，对角线AC 、BD 相交于O 点，若AC=14，BD=8，AB=10,则△OAB 的周长为_______。

练习题一、感受理解1．已知 ABCD 的对角线交点,AC=10cm ，BD=18cm ，AD=•12cm ，•则△BOC•的周长是_______．2的对角线AC,BD 交于点O,△AOB 的面积为2,那么平行四边形ABCD 的面积为_____．3．已知平行四边形的两邻边之比为2:3，周长为20cm ，•则这个平行四边形的两条邻边长分别为___________．4．平行四边形的周长为30，两邻边的差为5，则其较长边是________． 5．平行四边形具有，而一般四边形不具有的性质是（） A ．外角和等于360° B ．对角线互相平分 C ．内角和等于360° D ．有两条对角线6.如图，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB =4，AD =3，OF =1。

平行四边形复习课课件

2
周长与面积的换算
在实际应用中，有时需要根据平行四边形的面积来估算其周长，或者根据周长来估算其面积。这需要一定的经验和数学技巧。
3
面积与周长的应用
平行四边形的面积和周长在实际生活中有着广泛的应用，如建筑设计、土地测量、木材加工等。了解它们的计算方法和关系对于解决实际问题非常重要。
04
平行四边形的应用
探究题
在解决实际问题时，如何应用平行四边形的性质？
开放题
设计一个与平行四边形相关的实际问题，并给出解决方案。
感谢您的观看
THANKS
分类
总结词
平行四边形的分类
详细描述
平行四边形可以分为以下几种类型：矩形、菱形、正方形等。
02
平行四边形的判定
定义法
01
02
03
总结词
根据平行四边形的定义来判断
详细描述
平行四边形的定义是两组相对边平行，因此，如果一个四边形两组相对边平行，则它是平行四边形。
示例
在四边形ABCD中，如果 AB平行于CD且AD平行于 BC，则四边形ABCD是平行四边形。
周长计算
周长公式
平行四边形的周长等于四边之和，即周长 = 边1 + 边2 + 边3 + 边4。
周长计算方法
分别测量平行四边形的四条边，然后加起来得到周长。
周长计算注意事项
确保测量的边是平行四边形的有效边，不能遗漏或重复计算。
面积与周长的关系
1
面积与周长的关系
一般来说，平行四边形的面积越大，其周长也越大。这是因为面积较大的平行四边形往往需要更长的边来支撑更大的面积。
示例
在四边形ABCD中，如果角A和角B相等，且角C和角D相等，则四边形ABCD 是平行四边形。

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平行四边形一、平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

二、平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。

平行四边形的对角线互相平分。

三、平行四边形的判定1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.对角线互相平分的四边形是平行四边形；3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；4.一组对边平行旦相等的四边形是平行四边形。

题型一、平行四边形的角例题1、在平行四边形ABCD中，NB=60° ,那么下列各式中，不能成立的是（）A. ND二60°B. ZA=120°C. ZC+ZD=180°D. ZC+ZA=180°【变式一】若一平行四边形的一个角比它相邻的角大27° ,则这个平行四边形最大的内角是 O【变式二】在口ABCD 中，若ZA-ZB-700 , ZA= , ND= 。

题型二、平行四边形的边及对角线例题1、如图，在EIBCD中,AD=3cm, AB=2cm,则口ABCD 的周长为（【变式一】己知平行四边形ABCD的周长为36cm,过D作AB, BC边上的高DE、DF,求平行四边形ABCD的面积.例题2、oABCD的周长是40cm,对角线AC与BD相交于点0, AA0D的周长比AD0C的周长大4cm,则 CD= cm, BC= cm。

【变式】平行四边形的边氏为5,则它的对角线氏可能是（）A. 4 和 6B. 2 和 12C. 4 和 8D. 2 和 3例题3、如图，oABCD的对角线相交于点0,过点0任引直线交AD于E,交BC于点F,则 0E ________ 0F （填">” “二”或“V"）,说明理由。

［题型拓展】角分线+平行线构造等腰三角形例题4、如图，在口ABCD中,BE平分ZABC,求：（1） uABCD的周长；（2）线段DE的长。

与边AD相交于点E, AB=6cm, BC=10cmo题型三、平行四边形的性质与判定例题1、如图，已知，口ABCD中,AE=CF, M、N分别是DE、BF的中点,求证：四边形MFNE 是平行四边形.例题2、如图所示，MECF的对角线相交于点0, DB经过点0,分别与AE, CF交于B, D.求证：四边形ABCD是平行四边形.【变式】如图，在四边形ABCD中，AB二CD, BF二DE, AE_LBD, CF±BD,垂足分别为E, F.(1)求证：AABE^ACDF；(2)若AC与BD交于点0,求证：A0二CO.［课堂练习］1.己知A、B、C三点不在同一条直线上，则以这三点为顶点的平行四边形共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个U 2. ABCD 中，AC 、 BD 相交于点0，则图中共有全等三角形( )A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对3、(1)在平行四边形ABCD中，已知NA二40° ,求其它各角的度数；变式：变ZA=40°为匕A+/C=100°(2)在平行四边形ABCD中，已知AB=8,周长为24,求其余三边的长.4.妇图：C7ABCD的对角线AC、BD相交于点0,直线EF过点。

平行四边形复习课件

2023-11-06•平行四边形的基本概念•平行四边形的特殊形式•平行四边形的应用•平行四边形的证明方法•平行四边形的解题策略目•平行四边形的例题解析录01平行四边形的基本概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形属于基础几何图形，不属于三角形、四边形等特殊的图形对边相等两组对边分别相等对边平行两组对边分别平行对角相等两组对角分别相等对角线互相平分两条对角线互相平分，且平分后形成的两个全等三角形邻角互补一组邻角和为180度平行四边形的判定方法两组对边分别平行的四边形是平行四边形定义法对边相等对角相等邻角互补两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形一组邻角和为180度的四边形是平行四边形02平行四边形的特殊形式有一个角是直角的平行四边形是矩形。

定义矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等。

性质有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形。

判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

定义性质判定菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直平分。

有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

030201有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

定义正方形的四个角都是直角，正方形的四条边都相等，正方形的对角线相等且互相垂直平分。

性质有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。

判定正方形03平行四边形的应用总结词：基础应用详细描述：平行四边形是一种基础的几何图形，在作图中经常使用。

例如，在绘制平行线、对称图形等场合中都会用到平行四边形的性质。

总结词：空间结构详细描述：在立体几何中，平行四边形是一种常见的几何结构，可以用来描述空间中物体的形状和大小。

例如，在研究立方体、棱柱等立体图形时，常常会涉及到平行四边形的性质。

总结词：解析表达详细描述：在解析几何中，平行四边形是一种可以由其两边所在直线的解析表达式来描述的图形。

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计算类题型
总结词
提高计算能力和推理能力
详细描述
这类题型主要涉及平行四边形的面积、周长、对角线长度等计算，需要学生掌握相关计算公式，并能够根据题目条件进行推理和计算。同时，学生还需要注意单位的统一和计
算的准确性。
应用类题型
要点一
总结词
培养解决实际问题的能力
要点二
详细描述
这类题型通常将平行四边形与实际问题相结合，如建筑设计、几何图形构造等。学生需要能够将实际问题抽象为数学模型，运用平行四边形的性质和定理来解决实际问题，培养解决实际问题的能力和创新思维。
一组对边相等也是判定平行四边形的一种方法。
详细描述
如果一个四边形中有一组对边相等，则该四边形是平行四边形。在实际应用中，这个判定方法也经常被使用。
对角线互相平分
总结词
对角线互相平分是判定平行四边形的一种重要方法。
详细描述
如果一个四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形。这个判定方法在解决几何问题时非常有用。
的顺畅通行。
交通标志
平行四边形也常作为交通标志的形状，如停车标志、限速标志等。
道路安全设施
为了提高道路安全性，平行四边形的安全护栏、隔离墩等设施也得到了广泛应用。
05
常见题型解析
判定类题型
总结词
掌握平行四边形的判定方法
详细描述
这类题型主要考察学生对平行四边形判定定理的掌握程度，包括两组对边平行、两组对角相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分等。学生需要能够根据题目条件，选择合适的判定方法来判断一个四边形是否为平行四边形。
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浙教版八年级数学下册平行四边形全章复习讲义

浙教版八年级数学下册平行四边形全章复习讲义(总29页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--平行四边形全章复习巩固讲义1．平行四边形的概念定义：两组对边分别__________的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义既是性质，又是判定．（1）由定义知平行四边形的两组对边分别平行；（2）由定义可以得出只要四边形中的两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形．平行四边形的基本元素：边、角、对角线．典型例题(2019秋﹒新泰市期末）如图，在平行四边形ABCD中,AB⊥AC,若AB＝8,AC＝12，则BD的长是（）A．22 B．16 C．18 D．20【考点】平行四边形的性质．平行四边形【专题】计算题；运算能力；推理能力．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA的长，然后由AB⊥AC,AB＝8,OA＝6，根据勾股定理可求得OB的长，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，∴OA＝12AC＝6,BD＝2OB,∵AB⊥AC,AB＝8，∴OB＝8＋6＝10，∴BD＝2OB＝20．故选：D．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用．熟记握平行四边形的对角线互相平分这一性质是解题的关键．2．平行四边形的性质（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角__________；（3）平行四边形的对角线互相__________．【归纳】(1）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了新的理论依据；（2）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成的四个三角形中，相对的两个三角形全等，且四个三角形的面积相等，相邻两个三角形的周长差等于平行四边形相应的邻边之差；（3)利用对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题，在解答时应联系“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来解决．典型例题(2019秋﹒新泰市期末）如图，在平行四边形ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论，其中正确的有（）个①DE＝DF；②AG＝GF：③AF＝DF：④BG＝GC；⑤BF＝EF,【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．平行四边形【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【分析】由AAS证明△ABF≌△DEF,得出对应边相等AF＝DF,BF＝EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB＝CD，即AB∥CE,∴∠ABF＝∠E，∵DE＝CD，∴AB ＝DE ，在△ABF 和△DEF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ABF ＝∠E∠AFB ＝∠DFE AB ＝DE， ∴△ABF ≌△DEF (AAS ), ∴AF ＝DF ,BF ＝EF ；可得③⑤正确，故选：B ．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．3．两条平行线之间的距离定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．性质：（1）两条平行线之间的距离处处__________；（2）夹在两条平行线间的平行线段相等． 4．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且__________的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．【注意】（1）判定方法可作为“画平行四边形”的依据．（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形．（3）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形．（4）两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形．5．三角形的中位线及其定理定义：连接三角形两边中点的线段（任意一个三角形都有三条中位线）．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的__________．【注意】（1）三角形有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相应的位置关系与数量关系．三角形的中位线定义为证明两条直线平行、两条线段之间的数量关系提供了一个重要依据．（2）三角形的中位线与中线的区别：三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段．（3）当遇到中点时，可考虑构造三角形的中位线来解决问题，这种思路方法就是我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，知道三角形的中位线也就等于知道了三角形两边的中点．知识参考答案：1．平行 2．相等；平分 3．相等 4．相等 5．一半一、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．【例1】将两个全等的不等边三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形的个数为__________．【答案】3【解析】如图所示：可以拼成3个平行四边形．分别是：DBCA，BACF，AECB．故答案为：3．二、平行四边形的性质平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分．【例2】如图，在平行四边形ABCD中，AE垂直于CD，E是垂足．如果∠B=55°，那么∠DAE的角度为A．25°B．35°C．45°D．55°【答案】B【解析】∵平行四边形ABCD，∴∠D=∠B=55°，∵AE⊥CD，∴∠AED=90°，∴∠DAE=90°–55°=35°.故选B．【名师点睛】本题主要利用平行四边形对角相等解题．【例3】在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是A．2cm<OA<5cm B．2cm<OA<8cmC．1cm<OA<4cm D．3cm<OA<8cm【答案】C【解析】∵AB=3，BC=5，∴2<AC<8．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=12AC，∴1<OA<4．故选C．【例4】如图，在ABCD中，AB=4，BC=5，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，且OE=，则四边形EFCD的周长为A．10 B．12 C．14D．16【答案】B【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=4，AD=BC=5，OA=OC，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OF=OE=，CF=AE．故四边形EFCD的周长为CD+EF+AD=12．故选B．三、两条平行线之间的距离两条平行间的距离处处相等．【例5】如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错误的是A．l1与l2之间的距离是线段FG的长度B．CE=FGC．线段CD的长度就是l1与l2两条平行线间的距离D．AC=BD【答案】C【解析】A、∵FG⊥l2于点G，∴l1与l2两平行线间的距离就是线段FG的长度，故本选项正确；B、∵l1∥l2，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，∴CE∥FG，∴四边形CEGF是平行四边形，∴CE=FG，故本选项正确；C、∵CE⊥l2于点E，∴l1与l2两平行线间的距离就是线段CE的长度，故本选项错误；D、∵l1∥l2，AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AC=BD，故本选项正确；故选C．四、平行四边形的判定平行四边形的判定有：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【例6】如图，四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，则下列不能判断四边形ABCD是平行四边形的条件是A．OA=OC，AD∥BC B．∠ABC=∠ADC，AD∥BC C．AB=DC，AD=BC D．∠ABD=∠ADB，∠BAO=∠DCO 【答案】D五、平行四边形性质与判定的综合平行四边形的性质的条件和结论正好与判定的条件和结论相反，它们构成互逆的关系．由平行四边形这一条件，得到边、角或对角线的关系，这是平行四边形的性质；反之，由边、角或对角线的关系，得到平行四边形的结论，这是平行四边形的判定．【例7】如图，在ABCD中，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点E，过点C作CN⊥AD于点N，交BD于点F，连接AF，CE.求证：四边形AECF为平行四边形．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠ABC=∠ADC，∴∠ABD=∠CDB，又∵AM⊥BC，CN⊥AD，∴∠BAM=∠DCN，∴△ABE≌△CDF(ASA)，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形．六、三角形的中位线及其定理利用三角形的中位线不仅可以证明直线平行，也可以证明线段的倍分关系．【例8】如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N 是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．【解析】△PMN是等腰三角形．理由如下：∵点P是BD的中点，点M是CD的中点，∴PM=12 BC，同理：PN=12 AD，∵AD=BC，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形．基础1．在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为3，则ABCD的面积为A．6 B．9 C．12 D．182．若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较小的内角是A．90°B．60°C．120°D．45°3．如果四边形ABCD是平行四边形，AB=6，且AB的长是四边形ABCD周长的316，那么BC的长是A．6 B．8 C．10 D．164．如图，在四边形ABCD中，∠DAC=∠ACB，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件不能是A．AD=BC B．OA=OCC．AB=CD D．∠ABC+∠BCD=180°5．如图，AB∥CD，AD不平行于BC，AC与BD相交于点O，写出三对面积相等的三角形是__________．6．如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=22 m，则AB=__________m．7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点．若AB=23BC=3DE=12，DG=12AB，求四边形DEFG的周长．8．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C 出发沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE=2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．（1）若PE⊥BC，求BQ的长；（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．能力9．已知ABCD的对角线AC，BD的长分别为10，6，则AB长的范围是A．AB>2 B．AB<8 C．2<AB<8 D．2≤AB≤810．平行四边形ABCD与等边三角形AEF按如图所示的方式摆放，如果∠B=45°，则∠BAE的大小是A．75°B．80°C．100°D．120°11．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BCD=∠ABD，DE平分∠ADB，下列说法：①AB∥CD；②ED⊥CD；③∠DFC=∠ADC–∠DCE；④S△EDF=S△BCF，其中正确的结论是A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④12．如图，点A ，B 为定点，定直线l ∥AB ，P 是l 上一动点．点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对于下列各值：①线段MN 的长；②△PMN 的面积；③△PAB 的周长；④∠APB 的大小；⑤直线MN ，AB 之间的距离．其中会随点P 的移动而不改变的是A ．①②③B ．①②⑤C ．②③④D ．②④⑤13．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，点D 是边AB 的中点，将△ABC 沿着AB 平移到△DEF 处，那么四边形ACFB 的面积等于__________．14．如图，DE 是ABC △的中位线，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N ，:DMN CEM S S △△等于_________．15．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OA =5cm ，E ，F 为直线BD 上的两个动点（点E ，F 始终在ABCD 的外面），且DE =12OD ，BF =12OB ，连接AE ，CE ，CF ，AF ．（1）求证：四边形AFCE 为平行四边形．（2）若DE =13OD ，BF =13OB ，上述结论还成立吗由此你能得出什么结论（3）若CA 平分∠BCD ，∠AEC =60°，求四边形AECF 的周长．真题16．（2019·贵州黔东南、黔南、黔西南）如图在ABCD 中，已知AC =4 cm ，若△ACD 的周长为13 cm ，则ABCD 的周长为A ．26 cmB ．24 cmC ．20 cmD ．18 cm17．（2019·甘肃兰州）如图，将ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若48ABD ∠=︒，40CFD ∠=︒，则E ∠为A ．102︒B ．112︒C ．122︒D ．92︒18．（2019·黑龙江绥化）下列选项中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是A ．AD BC ∥，AB CD ∥ B ．AB CD ∥，AB CD =C ．AD BC ∥，AB DC = D ．AB DC =，AD BC =19．（2019·内蒙古呼和浩特）顺次连接平面上A 、B 、C 、D 四点得到一个四边形，从①AB ∥CD ②BC =AD ③∠A =∠C ④∠B =∠D 四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况共有 A ．5种B ．4种C ．3种D ．1种20．（2019·广西玉林）在四边形ABCD 中：①AB ∥CD ；②AD ∥BC ；③AB =CD ；④AD =BC ，从以上选择两个条件使四边形ABCD 为平行四边形的选法共有 A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种21．（2019·四川德阳）如图，四边形AOEF 是平行四边形，点B 为OE 的中点，延长FO 至点C ，使3FO OC =，连接AB 、AC 、BC ，则在ABC ∆中::ABO AOC BOC S S S △△△A ．621∶∶B ．321∶∶C ．632∶∶ D ．432∶∶ 22．（2019·安徽）ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是 A ．BE =DF B ．AE =CF C ．AF ∥CED ．∠BAE =∠DCF23．（2019·广西梧州）如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BC =6 cm ，则DE 的长度是__________cm ．24．（2019·湖北十堰）如图，已知ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为__________．25．（2019·江苏泰州）如图，ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为__________．26．（2019·辽宁抚顺）如图，ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是__________．学科=网27．（2019·山东淄博）在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于__________．28．（2019·福建）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE=OF．29．（2019·广西梧州）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE=CF．30．（2019·辽宁大连）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．求证：BE=DF．∥，31．（2019·湖北孝感）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB DE∥，AC DF ，连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形．BE CF32．（2019·江苏无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF=∠CDE．33．（2019·湖北恩施州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．34．（2019·浙江衢州）如图，在ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．35．（2019·江苏宿迁）如图，在ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE=DF，EF分别与AB、CD交于点G、H，求证：AG=CH．36．（2019·青海）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．（1）求证：AD BF；（2）若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．37．（2019·云南曲靖）如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM．（1）求证：△AFN≌△CEM；（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．38．（2019·黑龙江大庆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25 cm，AC的长为5 cm，求线段AB的长度．参考答案1．【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴S△AOD=S△COD=S△BOC=S△AOB．∵△AOB的面积为3，∴ABCD的面积为4×3=12．故选C．2．【答案】B【解析】如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠B∶∠C=1∶2，∴∠B=13×180°=60°，故选B．3．【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∵AB=6，且AB的长是四边形ABCD周长的316，∴四边形ABCD周长为：6÷316=32，∴AB+BC=12×32=16，∴BC=10．故选C．5．【答案】△ADC和△BDC；△ADO和△BCO；△DAB和△CAB【解析】根据AB∥CD可得：△ABC和△ABD的面积相等，△ACD和△BCD的面积相等，则△ACD的面积减去△OCD的面积等于△BCD的面积减去△OCD的面积，即△AOD和△BOC的面积相等．6．【答案】44【解析】∵E、F是AC，CB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=12AB，∵EF=22m，∴AB=44m，故答案为44．7．【解析】∵AB=23BC=3DE=12，∴BC=18，DE=4，∴DG=12AB=6，∵E，F，G分别是BC，AC，AB的中点，∴FG=12BC=9，EF=12AB=6，∴四边形DEFG的周长为4+6+9+6=25．8．【解析】（1）作AM⊥BC于M，如图所示：∵∠BAC=90°，∠B=45°，∴∠C=45°=∠B，∴AB=AC，∴BM=CM，∴AM=12BC=5，∵AD∥BC，∴∠PAN=∠C=45°，∵PE⊥BC，∴PE=AM=5，PE⊥AD，∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，∴PN=AP=t，CE=NE=5–t，∵CE=CQ–QE=2t–2，∴5–t=2t–2，解得：t=73，BQ=BC–CQ=10–2×71633；（2）存在，t=4；理由如下：若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP=BE，∴t=10–2t+2，解得：t=4，∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t=4．9．【答案】C【解析】如图，在平行四边形ABCD中，AO=CO=5，BO=DO=3，∴2<AB<8．故选C．10．【答案】A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD=180°–∠B=180°–45°=135°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF=60°，∴∠BAE=∠BAD–∠EAF=75°．故选A．11．【答案】D【解析】∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，∵∠A=∠BCD，∴∠ABC=∠ADC，∵∠A=∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴①正确；∵∠A=∠ABD，DE平分∠ADB，∴DE⊥AB，∴DE⊥CD，∴②正确；∵∠A=∠ABD，四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BD=BC，∴∠BDC=∠BCD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠ADC=∠ADB+∠BDC，∴∠ADC=∠DBC+∠BCD，∴∠ADC–∠DCE=∠DBC+∠BCD–∠DCE=∠DBC+∠BCF，∵∠DFC=∠DBC+BCF，∴∠DFC=∠ADC–∠DCE；∴③正确；∵AB∥CD，∴△BED的边BE上的高和△EBC的边BE上的高相等，∴由三角形面积公式得：S△BED=S△EBC，都减去△EFB的面积得：S△EDF=S△BCF，∴④正确；综上得①②③④都正确，故选D．12．【答案】B【解析】∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN=12AB，即线段MN的长度不变，故①正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故②正确；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故③错误；∠APB的大小点P的移动而变化，故④错误．直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故⑤正确；综上所述，随点P的移动而不变化的是①②⑤．故选B．13．【答案】9【解析】∵将△ABC沿AB方向向右平移到△DEF，∴四边形ADFC是平行四边形，四边形ACFB是是梯形．∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴5AB=．∵点D是边AB的中点，∴AD=BD=15522⨯=，∴CF=AD=12AB52=，设AB边上的高为x．∵AB=5，AC=3，BC=4，AB边上的高为x，∴12AC·BC=12AB·x，∴125x =．∴S梯形ACFB=1512(5)9225⨯+⨯=．14．【答案】1∶3【解析】如图，作EF AD ∥，M 是DE 的中点，则△DMN ≌△EMF ，得MN =MF ，E 是AC 的中点，则FC =NF ，所以13MF MC =，得13FEM CEM S S =△△，得:DMN CEM S S △△=1∶3．16．【答案】D【解析】∵AC =4 cm ，若△ADC 的周长为13 cm ，∴AD +DC =13-4=9（cm ）．又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AD =BC ，∴平行四边形的周长为2（AB +BC ）=18 cm ．故选D ． 17．【答案】B【解析】∵AD BC ∥，∴ADB DBC ∠=∠，由折叠可得ADB BDF ∠=∠，∴DBC BDF ∠=∠，又∵40DFC ∠=︒，∴20DBC BDF ADB ∠=∠=∠=︒，又∵48ABD ∠=︒，∴ABD △中，1802048112A ︒︒-︒∠=-=︒，∴112E A ∠∠==︒，故选B ．18．【答案】C【解析】A 、由AD BC ∥，AB CD ∥可以判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项不符合题意；B 、由AB CD ∥，AB CD =可以判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项不符合题意；C 、由AD BC ∥，AB DC =不能判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项符合题意； D 、由AB DC =，AD BC =可以判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项不符合题意，故选C ． 19．【答案】C【解析】当①③时，四边形ABCD 为平行四边形；当①④时，四边形ABCD 为平行四边形；当③④时，四边形ABCD 为平行四边形，故选C ． 20．【答案】B【解析】（1）①②，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定；（2）③④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定；（3）①③或②④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定，共4种组合方法，故选B ． 21．【答案】B【解析】如图，连接BF ．设平行四边形AFEO 的面积为4m ．∵FO ：OC =3：1，BE =OB ，AF ∥OE ，∴S △OBF =S △AOB =m ，S △OBC =13m ，S △AOC =23m ，∴S △AOB ∶S △AOC ∶S △BOC =m ∶23m ∶13m =3∶2∶1，故选B ． 22．【答案】B【解析】A 、如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC ，OB =OD ，∵BE =DF ，∴OE =OF ，∴四边形AECF 是平行四边形，故不符合题意；B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AF∥CE，∴∠FAO=∠ECO，又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，∴AF//CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，∴AE∥CF，∴AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，故选B．23．【答案】3【解析】∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC=162=3cm，故答案为：3．24．【答案】14【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，∴△OCD的周长=5+4+5=14，故答案为：14．25．【答案】14【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，∵AC+BD=16，∴OB+OC=8，∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14，故答案为14．26．【答案】10【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AB=7，BC=3，∴AD=BC=3，CD=AB=7，∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴△ADE的周长=AD+（DE+AE）=AD+CD=3+7=10，故答案为：10．27．【答案】10【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD=AB=2，由折叠，∠DAC=∠EAC，∵∠DAC=∠ACB，∴∠ACB=∠EAC，∴OA=OC，∵AE过BC的中点O，∴AO=12BC，∴∠BAC=90°，∴∠ACE=90°，由折叠，∠ACD=90°，∴E、C、D共线，则DE=4，∴△ADE的周长为：3+3+2+2=10，故答案为：10．28．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，OAE OCF OA OCAOE COF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF．29．【解析】∵ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠EAC=∠FCO，在△AOE和△COF中，EAO FCO AO OCAOE COF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF．31．【解析】∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F．∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，B DEF BC EFACB F∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE．又∵AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．32．【解析】在ABCD中，AD=BC，∠A=∠C，∵E、F分别是边BC、AD的中点，∴AF=CE，在△ABF与△CDE中，AB CDA C AF CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴∠ABF=∠CDE．33．【解析】如图，连接BD，AE，∵FB=CE，∴BC=EF，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，ABC DEF BC EFACB DFE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AD与BE互相平分．34．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF．又BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB=∠CFD=90°．在△ABE与△CDF中，AEB CFDBAE DCF AB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴得△ABE≌△CDF（AAS），∴AE=CF．35．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∠A =∠C ， ∴∠E =∠F ，又∵BE =DF ， ∴AD +DF =CB +BE ，即AF =CE ，在△CEH 和△AFG 中，E F EC FA C A ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CEH ≌△AFG ， ∴CH =AG ．36．【解析】（1）∵E 是AB 边上的中点，∴AE BE =， ∵AD BC ∥， ∴ADE F ∠=∠，在ADE △和BFE △中，ADE F ∠=∠，DEA FEB ∠=∠，AE BE =， ∴ADE △≌BFE △， ∴AD BF =．（2）如图，过点D 作DM AB ⊥于点M ，∵AB ∥DC ，∴DM 同时也是平行四边形ABCD 的高，∴11113282244AED S AB DM AB DM =⋅⋅=⋅=⨯=△，∴32824EBCD S =-=四边形．37．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠AFN=∠CEM，∵FN=EM，AF=CE，∴△AFN≌△CEM（SAS）．（2）∵△AFN≌△CEM，∴∠NAF=∠ECM，∵∠CMF=∠CEM+∠ECM，∴107°=72°+∠ECM，∴∠ECM=35°，∴∠NAF=35°．38．【解析】（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥F C．BC=2DE，又EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形．（2）∵四边形CDEF是平行四边形；∴DC=EF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB=2DC，∴四边形DCFE的周长=AB+BC，∵四边形DCFE的周长为25 cm，AC的长5 cm，∴BC=25-AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25-AB）2+52，解得AB=13 cm．30。

平行四边形及特殊的平行四边形一对一辅导教案(3课时)

平行四边形及特殊的平行四边形一．知识点总结（一）平行四边形小结平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边开形是平行四边形。

性质：1、平行四边形的两组对边分别平行。

（边）2、平行四边形的两组对边分别相等。

（边）3、平行四边形的两组对角分别相等。

（角）4、平行四边形的两条对角线互相平分。

（对角线）判定方法：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（边）2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（边）3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（边）4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（角）5、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（对角线）（二）特殊的平行四边形小结矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

性质：1、具有平行四边形的所有性质。

（普通性）2、矩形有四个角都是直角。

（特殊性）3、矩形有对角线相等（特殊性）。

判定方法：1、定义2、有一个角是直角的平行四边形是矩形。

3、对角线相等的平行四边形是矩形。

菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。

性质；1、具有平行四边形所有性质。

（普通性）2、菱形有四条边都相等。

（特殊性）3、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（特殊性）判定方法：1、定义2、对角线互相垂直的平行四边形3、一组临边相等的平行四边形正方形：定义；一组邻边相等的矩形性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质判定：1.一个角是直角且对角线互相垂直的平行四边形2.一个角是直角且有一组临边相等的平行四边形3.对角线相等且互相垂直的平行四边形4.对角线相等，一组临边也相等的平行四边形解题方法及技巧小结菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形。

它们的性质既有区别又有联系，它们的判定方法虽然不同，但有许多相似之处，因此要用类比的思想，将学到的知识总结出相关规律。

三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。

定理；三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

平行四边形复习讲义

中心对称图形复习一、平行四边形的性质与判定【知识梳理】知识点1：平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。

定义的作用：（1）给出一种判定四边形是平行四边形的方法，如果所给四边形的两组对边分别平行，那么它一定是平行四边形；（2）给出了平行四边形的一个重要性质:两组对边分别平行。

知识点2：平行四边形的性质(1)定义性质：平行四边形的两组对边分别平行。

(2)性质:A、平行四边形的对角相等。

B、平行四边形的对边相等。

C、平行四边形的对角线互相平分。

（3）平行四边形是中心对称图形，平行四边形绕其对角线的交点旋转180后，与自身重合，我们说平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。

注意：边：对边平行，对边相等；角：对角相等，邻角互补；对角线：对角线互相平分。

知识点3：平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【例题精讲】例1：如图，□ABCD中，∠B、∠C的平分线交于点O ，BO 和CD 的延长线交于E ，求证：BO=OE ．例2：已知：如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．例3：□ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分．【课堂练习】1：如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC 的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）2：例1：如图，在□ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交与点M，CE与DF交于点N．求证：四边形MFNE是平行四边形．二、矩形的性质与判定【知识梳理】【例题精讲】例1：如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH 的值，并说明理由．例2：如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交D，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．【课堂练习】1：已知：如图，□ABCD中，AC与BD交于O点，∠OAB＝∠OBA．(1)求证：四边形ABCD为矩形；(2)作BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：BE＝CF．2：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE 的延长线于F，且AF＝DC，连结CF．(1)求证：D是BC的中点；(2)如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论三、菱形的性质与判定【知识梳理】【例题精讲】例1：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )．(A)4 (B)8(C)12 (D)16例2：如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．【课堂练习】1：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．2：如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．四、矩形的性质和判定【知识梳理】【例题精讲】例1：例1：如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN，联结FN，EC．求证：FN=EC例2：在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果，那么EF＋EG的长为______．例3：已知：如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE＝MN，∠MCE＝35°，求∠ANM的度数．【课堂练习】1：如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF 交AD于H，求DH的长．2：已知点P是正方形ABCD的对角线BD上任一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连PA、EF．猜想并证明线段PA与EF存在着什么关系．五、三角形的中位线【知识梳理】中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并等于它的一半。

平行四边形复习课件公开课

答案8
平行四边形在日常生活中有广泛的应用，如门窗的设计、桌椅的摆放、海报的制作等。平行四边形具有相对稳定的特性，因此在许多实际场景中都有应用。
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矩形的面积和周长可以通过长和宽来计算，菱形的面积和周长也可以通过边长来计算。
菱形是四边相等的平行四边形，其对角线互相垂直且平分，具有中心对称性。
正方形
正方形是特殊的平行四边形，其四边相等且四个角都是直角。
正方形的面积和周长可以通过边长来计算，是几何中最完美的形状之一。
正方形的对角线相等且互相垂直平分，具有轴对称性和中心对称性。
平行四边形复习课件公开课
contents
目录
• 平行四边形的基本性质 • 平行四边形的判定 • 平行四边形的特殊情况 • 平行四边形的实际应用 • 复习题与答案
01 平行四边形的基本性质
定义与性质
总结词
理解平行四边形的定义和基本性质，包括对边平行、对角相等、对角线互相平分等。
详细描述
平行四边形是一种常见的几何图形，具有一系列独特的性质。首先，平行四边形的定义是两组相对边平行，这使得它成为一种特殊的四边形。其次，平行四边形具有一些基本的性质，如对角线互相平分、对角相等、邻角互补等。这些性质在解决几何问题时非常有用，可以帮助我们证明一些重要的结论。
平行四边形在数学问题中也有着广泛的应用，它可以作为解决几
何、代数等问题的工具。
在几何问题中，平行四边形可以用于证明定理、求解角度、计算
面积等。
在代数问题中，平行四边形可以用于求解方程、不等式等，提供
更简便的解题方法。
其他领域的应用
01

八年级数学上册一对一培优讲义(平行四边形)

八年级数学一对一个性化辅导教案学生学校年级次数第次科目数学教师日期时段课题平行四边形教学重点1、平行四边形2、常考题型及相关的方法讲解教学难点1、平行四边形2、常考题型及相关的方法讲解教学目标1、平行四边形2、常考题型及相关的方法讲解教学步骤及教学内容教学过程：一、教学衔接（课前环节）1、对学生上节课的错题回顾讲解2、回顾上节课的知识点3、对本堂课要讲的教学内容进行说明二、教学内容1、平行四边形2、常考题型及相关的方法讲解3、教学辅助练习（或探究训练）4、知识总结5、知识的延伸和拓展布置作业：课后作业（详见讲义）管理人员签字：日期：年月日作业布置1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差备注：2、本次课后作业：课堂小结本堂课通过对平行四边形及相关的方法讲解，使学生对这些内容掌握更好。

学生签字：日期：年月日平行四边形要点一、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.要点二、平行四边形的性质1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.要点三、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 要点四、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点五、平行线间的距离1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.（2）平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.2.平行四边形的面积：平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.类型一、平行四边形的性质1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线．求证：DF＝EC．举一反三：【变式】如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF，请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.类型二、平行四边形的判定2、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为BC、AD上的点，且BE＝DF，求证：∠AEC＝∠AFC．类型三、平行四边形与面积有关的计算3、如图所示，在ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF＝60°，BE＝2cm，DF＝3cm，求AB，BC的长及ABCD的面积．举一反三：【变式】如图，已知ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，求该平行四边形的面积.类型四、三角形的中位线4、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【巩固练习】1. 如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（）.A.AC⊥BDB.AB＝CDC. BO＝ODD.∠BAD＝∠BCD2. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( ). A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3. 下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比, 其中能识别四边形ABCD为平行四边形的是( ).A. 1:2:3:4B. 2:3:2:3C. 2:2:3:3D. 1:2:2:14. 如图所示，在ABCD中，AC与BD相交于点O，E是边BC的中点，AB＝4，则OE的长是( )．A．2 B．2 C．1 D．1 25. 平行四边形的一边长是10cm，那么它的两条对角线的长可以是（）.A.4cm和6cmB.6cm和8cmC.8cm和10cmD.10cm和12cm6. 如图，ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（）.A．1 B．1.5 C．2 D．37. 如图所示，在ABCD中，对角线相交于点O，已知AB＝24 cm，BC＝18 cm，△AOB的周长为54 cm，则△AOD的周长为________cm．cm．8. 已知ABCD，如图所示，AB＝8cm，BC＝10cm，∠B＝30°，ABCD的面积为____29．在ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，则AC＝______，AB＝______．10. 在ABCD中，AE⊥BC于E，若AB＝10cm，BC＝15cm，BE＝6cm，则ABCD的面积为______．11．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．12．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是．三.解答题13. 已知：如图，E、F是ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．14.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长.。