二项式定理专题(教师版)
人教版高数选修2-3第一章1.3二项式定理(教师版)-精选学习文档
二项式定理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.熟练掌握二项式定理的有关概念.2.利用二项式定理解决三项以上的展开式问题.3.理解二项式系数与展开式系数的区别.4.利用二项式定理证明不等式. 1.二项式定理的概念:011*();n n r n r rn nn n n n C a C a b C a b C b n --+++++∈N 这个公式就叫做二项式定理,右边的多项式叫做()na b +的二项展开式；它一共有n +1项，其中r n rr n C ab -叫做二项展开式的通项.注意:(1)展开式共有n+1项.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n.(3)字母a 的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到为0，字母b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.2.展开式中二项式系数的性质:(1)m n mn n C C -=(2)11mm m n n n C C C -++=(3)当12n r -<时，1;r r n n C C +<当12n r ->时，1r r n n C C +< (4)01nn n n C C C +++2n =类型一.二项式定理的有关概念例1：有二项式102)3x-. (1)求展开式第4项的二项式系数； (2)求展开式第4项的系数； (3)求第4项.[解析] 102)3x 的展开式的通项是10110r r r T C -+=⋅2()(0,1,,10).3r r x-=(1)展开式的第4项的二项式系数为(2)310120.C =(2)展开式的第4项的系数为3731023()3C ⋅⋅-=77760.-(3)展开式的第4项为：731()x -⋅=-练习1：在24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A.3项 B.4项C.5项D.6项[答案] C[解析] 72524612424.rr rr rr T C C x --+=⋅⋅=⋅所以7256r -为正整数,而r ∈[0，24]，所以r=0，6，12，18，24共5项，类型二.二项式系数的特点及性质例2：已知1(2)2na +的展开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项.[解析] 因为4652,n n n C C C +=所以!!4!(4)!6!(6)!n n n n +--2!.5!(5)!n n =-即221980,n n -+=解得n =14或7.当n =14时，第8项的二项式系数最大，778141().2T C =⋅77(2)3432.a a =当n =7时，第4项与第5项的二项式系数最大. 练习1：282()x x+的展开式中x 4的系数是( ) A .16B .70C .560D .1120[答案] D[解析] 设含x 4的为第281821,()()rrr r r T C x x-++==416382,1634,r r C x r --=所以r=4,故系数为4482C =1120.类型三.二项式定理的基本应用例3：求二项式210(x 展开式中的常数项.[解析] 210(x +的第r +1项为5202102110101()()(0,2rr rr rr r T C x C xr --+=⋅=⋅=1,,10).令5200,2r -=得r =8.所以88910145().2256T C =⋅=所以第9项为常数项，为45.256练习1：在二项式251()x x-的展开式中,含x 4的项的系数是( )A .-10B .10C .-5D .5[答案] B[解析] 对于25151()()(1)r rr r r T C x x-+=-=-⨯1035r r C x -,对于10-3r=4,r=2,则x 4的项的系数是225(1)10.C -=类型四.二项式定理的综合应用例4：利用二项式定理证明对一切*,n ∈N 都有12(1) 3.nn≤+<[解析] 因为01223111(1)()n n n n n C C C C n n n +=+⋅+⋅+⋅2111()()112!nn n C nn ++⋅=++⋅11()3!n n -+⋅121121()()()()().!n n n n n n n n n n----+⋅ 所以111112(1)222!3!!12n n n ≤+<++++<++⋅．．．仅当n=1时，1(1)2;n n +=当n ≥2时，12(1)nn<+ 3.<练习1：(12)nx +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.[解析] 556667(2),(2)n n T C x T C x ==，依题意，有556622,n n C C =解得n =8.所以8(12)x +的展开式中，二项式系数最大的项为5T 4448(2)1120.C x x =⋅=设第r +1项系数最大，因为各项系数大于零，所以有1188118822,22,r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩解得5≤r ≤6.所以r =5或r =6(因为r ∈{0，1，2，…，8}).所以系数最大的项为6T =5671792,1792.x T x =1.在()nx y +展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( ) A.第6项 B.第5项 C.第5、6项 D.第6、7项[答案] Ａ2.11(1)x -展开式中偶数项的系数和为( ) A.102 B.102-C.112D.1121-[答案] Ｂ ３.若n的展开式中存在常数项，则n 的值可以是( ) A.8B.9C.10D.12[答案] Ｃ４.234(1)x x x +++的展开式中奇次项系数的和是( ) A.64B.120C.128D.256[答案] Ｃ５.6(2)x +的展开式中x 3的系数是( ) A .20B .40C . 80D .160[答案] Ｄ ６.921()x x-的展开式中的常数项是( ) A.39C B.39C -C.29CD.29C -[答案] Ｂ7.10()x y -的展开式中,73x y 的系数与37x y 系数之和等于______. [答案] －240 8.在323(1)(1(1x +++++的展开式中,x 的系数为______.(用数字作答)[答案] 7__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________基础巩固1.若4(1a =+(a ,b 为有理数),则a +b =( ) A .53B .29C .23D .19[答案] Ｂ 2.3821()2a b-的展开式中所有项系数总和是( ) A .28B.812 C .0 D .1[答案] Ｂ3.21()nx x-的展开式中,常数项为15,则n =( ). A .3B .4C .5D .6[答案] Ｄ4.若31(2)na a+的展开式的常数项是第7项,则正整数n 的值为( ) A .7B .8C .9D .10[答案] Ｂ5.若32(4)na b +的展开式中有一项是128.ma b 则m ，n 的值分别为________.[答案] 17920,86. 在()52x +的展开式中，3x 的系数为_______．（用数字作答） [答案] 40 7.的展开式中，的系数等于_______．（用数字作答）[答案] 80()52x +2x8.已知n 的展开式中偶数项的二项式系数的和比2()na b +的展开式中奇数项的二项式系数的和小120，求第一个展开式中的第三项.[答案] 2()na b +的展开式中奇数项的二项式系数的和为212,n-n+的展开式中偶数项的二项式系数的和为12.n -依题意，有12122120,n n --=-即2(2)22400.n n --=解得216n=或215n=-(舍去).所以n =4.于是，第一个展开式中的第三项为22234T C=6= 能力提升１. 的展开式中，的系数为( ) A ．10 B.20 C.30 D.60[答案] C２. 的展开式中的系数是__________.（用数字填写答案） [答案] 353.若(31)nx +的展开式中各项系数的和是256，则展开式中2x 的系数为________. [答案] 54 4.若32(1)1,n nx x ax bx nx +=+++++且a ：b =3：1，那么n =________.[答案] 11５. 二项式的展开式中的系数为15，则（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】 C6.若22012(1)nx x a a x a x ++=++++220242,n n n a x a a a a ++++则等于（ ）A .2nB.312n -C.12n +D.312n +[答案] Ｄ7.29928(3281)(572)x x x x +--+的展开式的常数项是( ). A .0B .2C .-2D .-28[答案] Ｄ8.(1)求7(12)x +展开式中系数最大的项; (2)求(1-2x )7展开式中系数最大的项.25()x x y ++52x y 371()x x+5x (1)()nx n N ++∈2x n =[答案] 利用展开式的通项公式,得到系数的表达式,进而求出其最大值, (1)设第r +1项系数最大,则有1177117722,22,r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩①②即117!7!22,!(7)!(1)!(71)!7!7!22,!(7)!(1)!(71)!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅≥⋅⎪---+⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪-+--⎩ 即21,812,71r r r r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩解得16,313.3r r ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩又07,,5r r N r ≤≤∈∴=.∴系数最大的项为555565172672.T T C x x +==⋅⋅=(2)展开式共有8项,系数最大项必为正项,即在第1,3,5,7这4项中取得,又因(1-2x )7括号内的两项中,后项系数绝对值大于前项系数绝对值,故系数最大项必在中间或偏右,故只须比较T 5和T 7两项系数的大小即可.∴系数最大的项是第五项,44457(2)560.T x x C =-=。
适用于新教材2024版高考数学一轮总复习：二项式定理课件北师大版
题组二 双基自测
5. 2√
1
−
√
6
的展开式中 x2 解析
2√
1
−
√
6
1
6-k
的展开式的通项是C6 (2√ ) · -√
根据题意,得 3-k=2,k=1.
因此,x2 的系数是(-1)×25×C61 =-192.
k
=(-1)k2 C6 x .
6-k
3-k
6. 在(1-2x)8的展开式中,各项系数的和是
+ 1 = 4,
(-1)3·2 mC53 =-40m,又(2x+my)(x-y)5 的展开式中 x2y4 的系数为 80,所以
5-3
-40m=80,解得 m=-2.
r+1
考向3三项展开式中的特定项(或系数)
例题(1)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(
A.10
(2)
)
B.20 C.30 D.60
答案 1
解析 令x=1,可得各项系数和为(-1)8=1.
.
研考点 精准突破
考点一
二项展开式的通项及其应用(多考向探究预测)
考向1二项展开式中的特定项(或系数)
题组(1) √ +
3 5
的展开式中的常数项为
2
(2)(2022·山东临沂一模)二项式
个数为(
A.2
.
1 6
√2x+ 的展开式中系数为无理数的项的
提示 (a+b)n的展开式与(b+a)n的展开式的项完全相同,但对应的项不相同
而且两个展开式的通项不同.
2.二项式系数的性质
微点拨 利用赋值法求二项式系数的和
2018年高考数学总复习教师用书：第10章 第3讲 二项式定理含解析
第3讲 二项式定理最新考纲 1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知 识 梳 理1.二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)； (2)通项公式：T r ＋1＝C r n an －r b r ，它表示第r ＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C 0n ，C 1n ，…，C n n .2.二项式系数的性质(1)(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k 是二项展开式的第k 项.( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关.( )(4)(a ＋b )n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.( )解析 二项式展开式中C k n an －k b k是第k ＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A.C m nB.C m ＋1nC.C m －1nD.(－1)m －1C m －1n解析 (x －y )n 展开式中第m 项的系数为C m －1n (－1)m －1.答案 D3.(选修2－3P35练习T1(3)改编)C 02 017＋C 12 017＋C 22 017＋…＋C 2 0172 017C 02 016＋C 22 016＋C 42 016＋…＋C 2 0162 016的值为( ) A.2 B.4C.2 017D.2 016×2 017 解析 原式＝22 01722 016－1＝22＝4.答案 B4.(2017·瑞安市质检)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________. 解析 展开式通项为T r ＋1＝C r 9x 2(9－r )⎝⎛⎭⎪⎫－12x r＝(－1)r 12r C r 9x 18－3r(其中r ＝0，1，…，9) ∴T 4＝(－1)3123C 39x 9，故第4项的二项式系数为C 39＝84，第4项的系数为 (－1)3123C 39＝－212. 答案 84 －2125.(2017·石家庄调研)(1＋x )n 的二项式展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________.解析 (1＋x )n的二项式展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以n2＋1＝6，n ＝10. 答案 106.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为________. 解析T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k ⎝⎛⎭⎪⎫－2x 3k＝C k 5(－2)k x 10－5k.令10－5k ＝0，则k ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.答案40考点一 求展开式中的特定项或特定项的系数【例1】 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项. (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项. 解 (1)通项公式为T k ＋1＝C k n xn －k3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x －k 3＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x n －2k 3.因为第6项为常数项，所以k ＝5时，n －2×53＝0，即n ＝10. (2)令10－2k3＝2，得k ＝2，故含x 2的项的系数是C 210⎝⎛⎭⎪⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意⎩⎪⎨⎪⎧10－2k 3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N ，令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数.∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为454x 2，－638，45256x －2.规律方法 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项. (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 【训练1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10B.20C.30D.60(2)(2016·全国Ⅰ卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________(用数字作答). (3)(2014·全国Ⅰ卷)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________(用数字作答). 解析 (1)法一 (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.法二 (x 2＋x ＋y )5表示5个x 2＋x ＋y 之积.∴x 5y 2可从其中5个因式中选两个因式取y ，两个取x 2，一个取x .因此x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.(2)由(2x ＋x )5得T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (x )r ＝ 25－r C r 5x 5－r 2，令5－r2＝3得r ＝4，此时系数为10.(3)(x －y )(x ＋y )8＝x (x ＋y )8－y (x ＋y )8，∵x (x ＋y )8中含x 2y 7的项为x ·C 78xy 7，y (x ＋y )8中含x 2y 7的项为y ·C 68x 2y 6. 故(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝C 18－C 28＝－20.答案 (1)C (2)10 (3)－20考点二 二项式系数的和与各项的系数和问题 【例2】 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.解 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102； x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.规律方法 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.【训练2】 (1)(2017·岳阳模拟)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( ) A.－27C 39B.27C 39C.－9C 49D.9C 49(2)(2017·义乌调研)(1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝( ) A.1 024B.243C.32D.24解析 (1)令x ＝1得2n＝512，所以n ＝9，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x 9的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9(3x 2)9－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 9·39－r x 18－3r，令18－3r ＝0得r ＝6，所以常数项为T 7＝(－1)6C 69·33＝27C 39.(2)令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024. 答案 (1)B (2)A考点三 二项式定理的应用【例3】 (1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除； (2)用二项式定理证明2n >2n ＋1(n ≥3，n ∈N *). 证明 (1)∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除. (2)当n ≥3，n ∈N *.2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n －1n ＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＋C n n ＝2n ＋2>2n ＋1，∴不等式成立.规律方法(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项.而求近似值则应关注展开式的前几项.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.(3)由于(a＋b)n的展开式共有n＋1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的.【训练3】求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数.解S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2.∵C09×98－C19×97＋…＋C89是整数，∴S被9除的余数为7.[思想方法]1.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.[易错防范]1.通项T k＋1＝C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式的第k＋1项，而不是第k项，这里k＝0，1，…，n.2.区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正.3.切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念.基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2016·四川卷)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A.－15x 4 B.15x 4 C.－20i x 4D.20i x 4解析 (x ＋i)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r i r (r ＝0，1，2，…，6)，令r ＝2，得含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A.答案 A2.(2017·台州市调研)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋366的展开式的第二项的系为－3，则a 的值为( ) A.53 B.－1C.3D.113解析∵T r ＋1＝C r 6(ax )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫36r ＝C r 6a 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫36r x 6－r， ∴第二项的系数为C 16a 5·36＝－3，∴a ＝－1. 答案 B3.(2017·漳州模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为( ) A.－7B.7C.－28D.28解析 依题意有n2＋1＝5，∴n ＝8.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式的通项公式T k ＋1＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－k C k 8x 8－43k ，令8－43k ＝0得k ＝6，故常数项为T 7＝(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 68＝7.答案 B4.(2015·湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29B.210C.211D.212解析 由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A. 答案 A5.(2016·海口调研)若(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13 B.12C.1D.2解析 依题意，注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当r ＝3时)、x 6(当r ＝2时)项的系数分别为C 310、C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，选D.答案 D6.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于( ) A.63B.64C.31D.32解析 逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.故选A.答案 A7.(2017·宁波十校联考)设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 5x 5，那么(a 1＋a 3＋a 5)2－(a 0＋a 2＋a 4)2的值为( ) A.32B.－32C.243D.－243解析 ∵(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，∴令x ＝1，有a 0＋a 1＋…＋a 5＝1，再令x ＝－1，有a 0－a 1＋…－a 5＝35＝243，∴(a 1＋a 3＋a 5)2－(a 0＋a 2＋a 4)2＝－(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3＋a 5)(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3－a 5)＝－243. 答案 D8.(2017·九江模拟)(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为( ) A.－210B.210C.30D.－30解析 (x 2－x ＋1)10＝[(x 2－x )＋1]10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10(x 2－x )10－r ，对于(x 2－x )10－r 的通项公式为T r ′＋1＝(－1)r ′C r ′10－r x20－2r －3r ′.令20－2r －r ′＝3，根据0≤r ′≤10－r ，r ，r ′∈N ，解得⎩⎨⎧r ＝8，r ′＝1或⎩⎨⎧r ＝7，r ′＝3，∴(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为C 810C 12(－1)＋C 710C 33(－1)＝－90－120＝－210.答案 A 二、填空题9.(2016·北京卷)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________(用数字作答).解析 (1－2x )6的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6(－2x )k ＝C k 6(－2)k ·x k ，令k ＝2得x 2的系数为C 26(－2)2＝60.答案 6010.(2016·山东卷)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________(用数字作答).解析 ⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ·x －r 2＝C r 5a 5－r ·x 10－5r2，令10－52r ＝5，得r ＝2，所以C 25a 3＝－80，解得a ＝－2. 答案 －211.若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________(用数字作答).解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )5－k ·(－1)k ，T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10. 答案 1012.若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 0＝________；a 2＋a 4＋…＋a 12＝________(用数字作答).解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，得a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364. 答案 1 36413.(2017·乐清检测)(2x －1)(3－2x )5的展开式中，含x 次数最高的项的系数是________(用数字作答).解析 (3－2x )5的展开式的通项公式：T r ＋1＝C r 535－r (－2x )r ，令r ＝5，可得(2x －1)(3－2x )5的展开式中，含x 次数最高的项的系数为2×(－2)5＝－64. 答案 －64能力提升题组(建议用时：15分钟)14.设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝( )A.0B.1C.11D.12解析 ∵512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝C 02 016·522 016－C 12 016·522 015＋C 22 016·522 014＋…－C 2 0152 016·52＋1＋a 能被13整除，且0≤a <13，∴1＋a 能被13整除，故a ＝12.答案 D15.(2017·青岛模拟)已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( )A.5B.6C.7D.8解析 由二项式定理知a n ＝C n －110(n ＝1，2，3，…，n ).又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项.∴a 6＝C 510，则k 的最大值为6.答案 B16.在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( )A.45B.60C.120D.210解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.答案 C17.(2017·宁波月考)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x 的系数为________.解析 由已知得4n 2n ＝64，所以n ＝6.展开式的通项为T r ＋1＝3r C r 6x3－r ，令3－r ＝1得r ＝2，所以x 的系数为9C 26＝135.答案 13518.(2017·绍兴调研)已知f (x )＝(2x －3)n 展开式的二项式系数和为512，且(2x －3)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －1)n .(1)a 2的值为________；(2)a1＋a2＋a3＋…＋a n的值为________.解析(1)由f(x)＝(2x－3)n展开式的二项式系数和为512，可得2n＝512，∴n＝9.∵(2x－3)9＝[－1＋2(x－1)]9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，∴a2＝C29·(－1)7·22＝－144.(2)在(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9中，令x＝1，可得a0＝－1.再令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a n＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a n＝2.答案(1)－144(2)2。
江苏省2014届一轮复习数学试题选编26：二项式定理(教师版)
江苏省2014届一轮复习数学试题选编26：二项式定理（教师版）填空题错误！未指定书签。
．二项式5()x y +的展开式中,含23xy 的项的系数是_________.(用数字作答)【答案】 答案 10解析T r +1=C r 5x 5-r y r(r =0,1,2,3,4,5),由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－r ＝2r ＝3,∴含x 2y 3的系数为C 35=5×4×33×2×1=10.错误！未指定书签。
． ( 2x -1x)6的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答) 【答案】-160 【解析】( 2x -1x)6的展开式项公式是6631661C (2)()C 2(1)r r r r rr r r T x x x ---+=-=-.由题意知30,3r r -==,所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-.错误！未指定书签。
．(2012年高考(上海文))在6)1(xx -的二项展开式中,常数项等于 _________ . 【答案】 [解析] 展开式通项rr r r r r r r x C x x C T 266661)1()1(---+-=-=,令6-2r =0,得r =3,故常数项为2036-=-C .错误！未指定书签。
．(2013上海高考数学(文))设常数a ∈R .若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为-10,则a =_______.【答案】 2- 解:2515()(),2(5)71rrr r aT C x r r r x-+=--=⇒=, 故15102C a a =-⇒=-.错误！未指定书签。
．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））若1223211333385n n n n n n n C C C C ---++++=,则n=_________________【答案】4 错误！未指定书签。
高考数学讲义二项式定理.版块二.二项展开式2求展开式中的特定项.教师版
1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr n T C a b -+=是不同的，在这知识内容求展开式中的特定项里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr r n nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,nn n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1nn C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间． 当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等．） 常数项【例1】 在()2043x +展开式中，系数为有理数的项共有 项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星典例分析【题型】填空【关键字】2010年，湖北高考 【解析】略 【答案】6；【例2】 100的展开式中共有_____项是有理项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】展开式的第r 项为50100321100100C C23r r r rrr r T --+==⋅⋅，要使第r 项为有理项，需要r 为2与3的倍数，从而6r k =，k ∈Z ， 又0100r ≤≤，故01216k =L ，，，，，共有17项．【答案】17；【例3】 610(1(1++展开式中的常数项为_______（用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，江西高考【解析】两个二项式的通项公式分别为3416110C (06)C (010)i j ij i j T x i S x j -++==≤≤，≤≤， 3411610C C (06010)i j i j i j T S x x i j -++⋅=≤≤，≤≤，当034i j-=即43i j =时，有3种情况：0i j ==；34i j ==，；68i j ==，．因此常数项为34686106101C C C C 4246++=．【答案】4246；【例4】 ()6211x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，辽宁高考 【解析】略 【答案】5-【例5】 二项式42x +x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为 ．（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，石景山一模 【解析】通项公式4421442C 2C rrrr r rr T xx x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，2r =时，可得常数项2242C 24=；令1x =即可得各项系数和为4381=．【答案】24,81；【例6】 若123a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，崇文1模 【解析】由二项式定理4124311212CC rrr r r r r a T a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭．令44033r r -=⇒=． 于是有3312C 2201a a =-⇒=-． 【答案】1-；【例7】 在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，海淀一模 【解析】由二项式定理，()()5210355C C rrr rr rr a T xa xx --⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭． 当1031r -=时，3r =，于是x 的系数为()3335C 10a a -=-，从而1a =．【答案】1；【例8】 在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，西城2模【解析】容易知道26C 15=为所求． 【答案】15；【例9】 如果1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ，展开式中的常数项的值等于 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，朝阳2模【解析】由题意有35C C 8n n n =⇒=；展开式的常数项的值为48C 70=．【答案】8，70；【例10】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】281(12)()x x x+-的展开式中常数项为4338812(1)42C C ⋅+⋅⋅-=-．【答案】42-；【例11】 若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，重庆高考【解析】由题意，2646n n =⇒=．于是通项662166r r r r r r T C x x C x ---+=⋅=当620r -=时，3r =．常数项为34620T C ==．【答案】20；【例12】 若3(2n x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】若3(2n x的展开式中含有常数项，31(2)rn r r r n T C x -+=⋅为常数项，则7302rn -=， 即67n r =，所以n 被7整除，当76n r ==，时成立，最小的正整数n 等于7．【答案】7；【例13】 在2)n x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年，江西高考【解析】通项公式为3212C =2C n rr n rr r r r nn x x--+T ＝()，由已知条件有30n r -=时，2C 60r r n =．容易验证当3n =时，不满足条件；6n =时满足条件．【答案】6；【例14】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】21()n x x -的展开式中，通项公式22311C ()()(1)C r n r r r r n rr n n T x xx --+=-=-，常数项为15，则：230(1)C 15r r n n r -=-=，．所以n 可以被3整除．容易验证当3n =时，不满足条件；当6n =时，4r =，常数项446(1)C 15-=，故6n =．【答案】6；【例15】 已知231(1)()nx x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空【关键字】2008年，辽宁高考 【解析】31()n x x +的通项公式为4131C ()C r n r r r n rr n n T x x x--+==． 如果题目中的多项式展开后没有常数项，则：40120n r r n -≠--，，，≤≤． 所以n 被4除只能余1．当28n ≤≤时，5n =．【答案】5；【例16】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，山东高考【解析】用通项公式1212311212C ((1)C r r r r rr r r T xxx---+==-，当1203rr --=时，9r =， 常数项为912C 220-=-． 【答案】220-；【例17】 已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年，山东高考【解析】第三项的系数为2C n -，第五项的系数为4C n ，由第三项与第五项的系数之比为314-，可解得10n =，则通项210110()(rrr r T C x -+=＝405210()r rr i C x--，当4050r -=，解得8r =，故所求的常数项为8810()C 45i -=． 【答案】45；【例18】 已知10()n n ∈N ≤，若nxx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】通项335121()()(1)C C rn r r r r n rr n n T x x x--+=-=-，存在常数项，则350n r -=， n 能被5整除，所以n 只有两种选择．选B ．【答案】B ；【例19】 610(1(1++展开式中的常数项为_______（用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，江西高考【解析】两个二项式的通项公式分别为3416110C (06)C (010)i j ij i j T x i S x j -++==≤≤，≤≤， 3411610C C (06010)i j ij i j T S x x i j -++⋅=≤≤，≤≤，当034i j-=即43i j =时，有3种情况：0i j ==；34i j ==，；68i j ==，．因此常数项为34686106101C C C C 4246++=．【答案】4246；【例20】 51(2x x+的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空【关键字】2005年，湖北高考【解析】注意到21055512((()22(2)x x x x x x +++==，所以要求10(x +的5x 的系数，10(x 的通项公式为：101011010C C r r r rr r r T x x --+==当5r =时，可求得10(x 的5x 的系数，所以所求常数项为55105C 2=．当然也可以直接将原多项式变为10，然后用通项公式求常数项．【例21】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】281(12)()x x x+-的展开式中常数项为4338812(1)42C C ⋅+⋅⋅-=-．【答案】42-；【例22】 已知312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略； 【答案】B ；【例23】 在2)n x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年，江西高考【解析】通项公式为3212C =2C n rr n rr r r r nn x x--+T ＝()，由已知条件有30n r -=时，2C 60r r n =．容易验证当3n =时，不满足条件；6n =时满足条件．【答案】6；【例24】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】21()n x x -的展开式中，通项公式22311C ()()(1)C r n r r r r n rr n n T x xx--+=-=-， 常数项为15，则：230(1)C 15r r n n r -=-=，．所以n 可以被3整除．容易验证当3n =时，不满足条件；当6n =时，4r =，常数项446(1)C 15-=，故6n =．【答案】6；【例25】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，山东高考 【解析】用通项公式1212311212C ((1)C r r rr rr r r T xxx---+==-，当1203rr --=时，9r =， 常数项为912C 220-=-． 【答案】220-；【例26】 已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年，山东高考【解析】第三项的系数为2C n -，第五项的系数为4C n ，由第三项与第五项的系数之比为314-，可解得10n =，则通项210110()(rrr r T C x -+==405210()r rr i C x--，当4050r -=，解得8r =，故所求的常数项为8810()C 45i -= 【答案】45；【例27】 已知10()n n ∈N ≤，若nx x )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】通项335121()()(1)C C rn r r r r n rr n n T x x x--+=-=-，存在常数项， 则350n r -=，n 能被5整除，所以n 只有两种选择．选B ．【答案】B ；【例28】 12x ⎛- ⎝展开式中的常数项为（ ）A ．1320-B ．1320C ．220-D ．220【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，山东高考 【解析】41212311212C C (1)rr r r r r r T xx--+⎛==- ⎝， 412093r r -=⇒=，9912121110C (1)22032⨯⨯-=-=-⨯．【答案】C ；【例29】 求612x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】212xx ++= 12612xx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭． 由12展开式的通项公式12611212rr r rr T x --+==C C ，可得展开式的常数项为612924=C ．【例30】 6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，四川高考 【解析】通项公式662621661C (2)(1)C 22rr rr r r rr T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令620r -=，得3r =， 故常数项为336(1)C 20-=-．【答案】-20【例31】 在2nx ⎫+⎪⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（ ）Ａ．3 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．12【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】通项公式3212C 2C rn r rn rr r r nn T x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3023n r nr -=⇒=，且n 为3的倍数． 常数项为2332C 60215nn n==⨯，从而6n ≤，故3n =或6，验证可知6n =．【答案】B ；【例32】 1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n 的值是 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空【关键字】2007年，四川高考 【解析】8n =；44448411C C n n nn T xx x --+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭为常数项，故80n -=．【答案】8；【例33】 若nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+31的展开式中存在常数项，则n 的值可以是（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．14【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，东城区一模 【解析】通项公式3561C C rn rr n r rr n n T x --+==，由题设知存在r n ≤，使得350n r -=，即35n r =，因此n 应是5的倍数，只有A 选项符合要求，验证可知满足要求．【答案】A ；【例34】 在261(2)x x-的展开式中常数项是 ，中间项是________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】略【答案】360160x -，．35460160T T x ==-，．【例35】 已知231(1)()nx x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【考点】求展开式中的特定项【题型】填空【关键字】2008年，辽宁高考 【解析】31()n x x +的通项公式为4131C ()C r n r r r n rr n n T x x x--+==． 如果题目中的多项式展开后没有常数项，则：40120n r r n -≠--，，，≤≤． 所以n 被4除只能余1．当28n ≤≤时，5n =．【答案】5；【例36】 若3(2n x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】若3(2n x的展开式中含有常数项，31(2)rn r r r n T C x -+=⋅为常数项，则7302rn -=， 即67n r =，所以n 被7整除，当76n r ==，时成立，最小的正整数n 等于7．【答案】7；【例37】 已知2nx⎛- ⎝的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是（ ）A ．1-B ．1C ．45-D ．45【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【解析】通项公式52221C ()(1)C rn r r n rr r r nn T x x --+⎛==- ⎝，由题设2244(1)C 310(1)C 14n nn -=⇒=-． 令52082n r r -=⇒=，故常数项为8810(1)C 45-=． 【答案】D ；【例38】 若21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的二项式系数和为512，则n 等于________；该展开式中的常数项为_________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年朝阳区一模【解析】由题设25129nn =⇒=，通项公式291831991C ()C rrrr rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令1830r -=，得6r =，故常数项为69C 84=． 【答案】9；84；【例39】 若921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为84，则a =_____，其展开式中二项式系数之和为_________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，西城区二模 【解析】通项公式2991831991C ()(1)C rrrr r r rr T ax a xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令1830r -=，得6r =， 常数项6639(1)C 841a a -=⇒=，展开式中二项式系数之和为92512=．【答案】1512，；【例40】 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．120【考点】求展开式中的特定项 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】B ；有理项【例41】 求二项式15的展开式中：⑴常数项；⑵有几个有理项（只需求出个数即可）； ⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】展开式的通项为：30515611515(1)C (1)2C rrrr rr r r r T x--+=-=-． ⑴设1r T +项为常数项，则30506r -=，得6r =，即常数项为667152C T =； ⑵设1r T +项为有理项，则3055566r r -=-为整数，∴r 为6的倍数，又∵015r ≤≤，∴r 可取0，6，12三个数， 故共有3个有理项．⑶556r -为非负整数，得0r =或6，∴有两个整式项．【例42】100的展开式中共有_______项是有理项． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】展开式的第r 项为50100321100100C C23r r rrrr r T --+==⋅⋅，要使第r 项为有理项，需要r 为2与3的倍数，从而6r k =，k ∈Z ， 又0100r ≤≤，故01216k =L ，，，，，共有17项．【答案】17；【例43】 二项式15的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项； ⑶有几个整式项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】展开式的通项为：30515611515(1)C (1)2C r rr rr r rr r T x--+=-=-．⑴1r T +项为常数项，则30506r -=，得6r =，即常数项为667152C T =；⑵设1r T +项为有理项，则3055566r r -=-为整数，∴r 为6的倍数， 又∵015r ≤≤，∴r 可取0612，，三个数．⑶556r -为非负整数，得0r =或6，∴有两个整式项．【例44】 已知在n的展开式中，前三项的系数成等差数列①求n ；②求展开式中的有理项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】①通项公式2341C C 2rn rr r n rn r nr T x--+==， 由题设2102C C C 2822nn nn +=⨯⇒=（1n =舍去）．②34841C 2r rr r T x -+=，1r T +为有理项的充要条件为344r -∈Z ，所以r 是4的倍数，048r =，，．因此所有有理项为415923518256T x T x T x ===，，．【例45】 二项展开式15中，有理项的项数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】45515611515C C rrrrrr T x --+=⋅=⋅（r = 0，1，2，…，14 ）， 当3915r =，，时，为有理项，选A ．【答案】A ；【例46】 在(1132的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p ，则1p x dx =⎰A ．1B ．67 C ．76 D ．1113【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】选择【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试【解析】B ；11111111323211111C 3232C rrr rr r r r r T x x x --+-+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是r 可取3，9， 则21126P ==，1711660066|77x dx x ⎰== 【答案】B ；【例47】12的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（ ） A ．4项 B ．3项 C ．2项 D ．1项【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】B ；【例48】若(51a +=+a ，b 为有理数），则a b +=（ ） A ．45B ．55C ．70D ．80【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，北京高考【解析】(523451141+=++++=+【答案】C ；系数最大的项【例49】 已知(n x +的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求n 的值；⑵求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴由题设，得02111C C 2C 42n nn +=⨯，即2980n n -+=，解得8n =或1n =（舍去）． ⑵设第1r +项的系数最大，则1881188111C C 2211C C 22rr r r r r r r ++--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≥，即1182(1)1129r r r r⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪-⎩≥≥解得2r =或3r =．所以系数最大的项为7523477T x T x ==，．【例50】 20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【考点】求展开式中的特定项 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】通项公式为20120C 2(3)rr r r T x -+=⋅⋅． 若第1r +项最大，设第1r +项的系数为1r t +，则11211r r r rt tt t +++≥，≥． 将通项公式系数代入化简得：2(1)3(21)113(20)2r r r r+--≥，≥．解出586355r ≤≤．∴12r =因此系数最大的项是第13项．【答案】13；【例51】 已知(13)n x +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】由已知有21C C C 121n n n n n n --++=，即22400n n +-=，解得15n =或16n =-（舍去） 设第第1r +项的系数最大，则111515111515C 3C 3C 3C 3r r r r r r r r ++--⎧⋅⋅⎪⎨⋅⋅⎪⎩≥≥，即133115116r r r r -+-≥，≥ 解得1112r =，所以系数最大的项为1111111215C 3T x =⋅和1212121315C 3T x =⋅．【例52】 在132nx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____．A ．7-B ．7C ．28-D ．28【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试【解析】于是8n =⨯，展开式的常数项为6216378C 72x T x -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】B ；【例53】 已知lg 8(2)x x x +的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x ． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】由题设，44lg 48C (2)()1120x x x =，即44lg 1x x +=，0x >． 故44lg 0x +=或1x =，解得x 的值为1或110． 【答案】x 的值为1或110．【例54】 求10的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】展开式的通项公式为：3056110C (1)2r rrrr T x--+=-⋅⋅，系数的绝对值为10C 2rr -⋅，记为1r t +．用前后两项系数的绝对值作商得：1(1)12101011010C 2C 10!!(10)!10C 22C (1)!(9)!210!2(1)r r r r r r rr t r r r t r r r +-+++-+⋅--===⋅=⋅+⋅-⋅+． 令1012(1)r r -+≥得：83r ≤，即012r =，，时，上述不等式成立． 所以，系数的绝对值从第1项到第4项增加，以后逐项减小． 系数绝对值最大的项为第4项，5533322410C (1)215T x x -=-=-．从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替，只要比较第3项与第5项的系数，记它们的系数分别为3t 与5t ，224431051045210105C 2C 24168t t --=⋅==⋅==，． 所以，系数最大的项为第5项，5351058T x =．【例55】 已知n展开式中的倒数第三项的系数为45，求： ⑴含3x 的项； ⑵系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴ 由题设知2C 45n n-=，解得10n =． 21113010341211010C ()()C r rrrr r T x x x---+==，令11303612r r -=⇒=， 因此含3x 的项为633710C 210T x x ==． ⑵ 系数最大的项为中间项，即55302551212610C 252T xx -==．【例56】 设m n +∈N ，，1m n ，≥，()(1)(1)m n f x x x =+++的展开式中，x 的系数为19．⑴求()f x 展开式中2x 的系数的最大、最小值；⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m 、n 的值，求7x 的系数．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】11C C 19m n +=，即19m n +=．∴19m n =-．⑴设2x 的系数为222221919C C 1917117124mnT n n n ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭．∵n +∈N ，1n ≥，∴当1n =或18n =时，max 163T =；当9n =或10时，min 81T =． ⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m n ，的值，即98()(1)(1)f x x x =+++从而7x 的系数为77109C C 156+=．【例57】 已知：223(3)n x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．⑴求展开式中二项式系数最大的项；⑵求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2n n +=，又展开式中二项式系数和为2n ，∴222992n n -=，5n =．⑴ ∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴223226335C ()(3)90T x x x ==，22232233345C ()(3)270T x x x ==， ⑵ 设展开式中第1r +项系数最大，则21045233155C ()(3)3C r rrr rr r T x x x+-+==，∴115511553C 3C 79223C 3C r r r r r r r r r --++⎧⎪⇒⎨⎪⎩≥≤≤≥，∴4r =， 即展开式中第5项系数最大，2264243355C ()(3)405T x x x ==．【例58】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】通项公式为20120C 2(3)rr r r T x -+=⋅⋅． 若第1r +项最大，设第1r +项的系数为1r t +，则11211r r r rt tt t +++≥，≥． 将通项公式系数代入化简得：2(1)3(21)113(20)2r r r r+--≥，≥．解出586355r ≤≤．∴12r =因此系数最大的项是第13项．【答案】13；【例59】 关于二项式2005(1)x -有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是1：②该二项展开式中第六项为619992005C x； ③该二项展开式中系数最大的项是第1003项与第1004项； ④当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是2005． 其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空 【关键字】无【解析】二项式2005(1)x -所有项的系数和为0，其常数项为1-，非常数项的系数和是1，得①正确；二项展开式的第六项为520002005C x，即得②错误； 二项展开式中系数绝对值最大的项为第1003项（系数为10022005C ）与第1004项（系数为10032005C -），得系数最大的项是第1003项，即③错误； 当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是20052006(1)2005+-=，即④正确．故应填①④．【答案】①④；【例60】 在2nx ⎛ ⎝的展开式，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ．（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空 【关键字】无【解析】7；根据第5项的二项式系数最大可求出n ．常数项为7。
高中数学 高三一轮 第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布 9.3二项式定理 练习【教师版】
高三一轮第九章计数原理与概率、随机变量及其分布9。
3 二项式定理（检测教师版）时间:50分钟总分：70分班级：姓名：一、选择题(共6小题，每题5分，共30分）1。
(2016·四川）设i为虚数单位，则（x＋i)6的展开式中含x4的项为( )A.－15x4B。
15x4C。
－20i x4D。
20i x4【答案】A【解析】由题可知，含x4的项为C错误!x4i2＝－15x4。
选A.2.(2014·湖南）错误!错误!的展开式中x2y3的系数是( ）A.－20 B。
－5C.5D.20【答案】A【解析】展开式的通项为T k＋1＝C错误!(错误!x)5－k·（－2y)k＝（－1）k·22k－5C错误!x5－k·y k,令5－k＝2,得k＝3.则展开式中x2y3的系数为（－1)3·22×3－5C错误!＝－20，故选A.3.(2012·湖北）设a∈Z，且0≤a〈13，若512 012＋a能被13整除，则a＝( ）A。
0 B.1C.11D.12【答案】D【解析】由于51＝52－1,（52－1)2 012＝C错误!522 012－C错误!522 011＋…－C错误!521＋1，所以只需1＋a能被13整除，0≤a<13，所以a＝12，选D。
4.（2015·湖南，6）已知错误!错误!的展开式中含x错误!的项的系数为30，则a＝（）A. 3B.－错误!C。
6 D.－6【答案】D【解析】错误!错误!的展开式通项T r＋1＝C错误!x错误!（－1)r a r·x－错误!＝（－1）r a r C错误!x错误!－r，令错误!－r＝错误!，则r＝1，∴T2＝－a C错误!x错误!,∴－a C1，5＝30，∴a＝－6，故选D。
5。
（2013·辽宁，7)使得错误!错误!（n∈N＋）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A.4 B。
8.3二项式定理(教师版)
科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 8.3二项式定理考纲定位 掌握二项式定理及其性质；会用二项式定理的知识解决系数和、常数项等问题.【考点整合】1、二项式定理：()n a b += ；通项1k T += .2、二项式系数的性质：（1）对称性：（2）增减性与最大值：（3）各二项式系数的和：012...n n n n nC C C C ++++= ； 当n 为偶数时，024...n n n n nC C C C ++++= = ； 当n 为奇数时，0241...n n n n nC C C C -++++= = ； （4）思考：二项式系数与项的系数一样吗？如果不一样，则区别在哪儿？【典型例题】一、利用二项式的通项公式求项数和特殊项例1、（1）已知2()n x x -的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则常数项为（ ）A.80B.160C.-80D.-160（2）1(2)n x x -的展开式中含有21x 项的系数与含41x的系数之比为-5，则n= ；并求含2x 项的二项式系数、系数分别为 和 .（请用数字作答）二、有关二项展开式的系数问题例2、设5250125(21)...x a a x a x a x -=++++，求：（1）012345a a a a a a +++++；（2）012345a a a a a a -+-+-；（3）135a a a ++；（4）01234a a a a a ++++.【高考真题】1、（2012 安徽）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（ ）D A.-3 B.-2 C.2 D.3 2、（2012 天津）在251(2)x x -的二项展开式中，x 的系数为（ ）DA.10B.-10C.40D.-40 3、（2012 湖北）设a Z ∈，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a =（ ）D A.0 B.1 C.11 D.124、（2012 重庆）81()2x x+的展开式中常数项为（ ）BA.3516B.358C.354D.105 5、（2011 新课标）51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）D A.-40 B.-20 C.20 D.406、（2011 福建）5(21)x +的展开式中，2x 的系数等于（ ）BA.80B.40C.20D.107、（2011 天津）在62()2x x-的二项展开式中2x 的系数为（ ）C A.154- B.154 C.38- D.388、（2010 陕西）5()ax x +的展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（ ）D A.-1 B.12C.1D.2 9、（2010 江西）8(2)x -展开式中不含4x 项的系数的和为（ ）BA.-1B.0C.1D.210、（2012 湖南）61(2)x x -的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答）-16011、（2010 四川）631(2)x -的展开式中的第四项是 .160x - 【课后反思】。
二项式定理.版块二.二项展开式2求展开式中的特定项.教师版 普通高中数学复习讲义Word版
1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr n T C a b -+=是不同的，在这知识内容求展开式中的特定项里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr r n nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,nn n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1nn C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间． 当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等．） 常数项【例1】 在()2043x +展开式中，系数为有理数的项共有 项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星典例分析【题型】填空【关键字】2010年，湖北高考 【解析】略 【答案】6；【例2】 100的展开式中共有_____项是有理项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】展开式的第r 项为50100321100100C C23r r r rrr r T --+==⋅⋅，要使第r 项为有理项，需要r 为2与3的倍数，从而6r k =，k ∈Z ， 又0100r ≤≤，故01216k =，，，，，共有17项．【答案】17；【例3】 610(1(1++展开式中的常数项为_______（用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，江西高考【解析】两个二项式的通项公式分别为3416110C (06)C (010)i j ij i j T x i S x j -++==≤≤，≤≤， 3411610C C (06010)i j i j i j T S x x i j -++⋅=≤≤，≤≤，当034i j-=即43i j =时，有3种情况：0i j ==；34i j ==，；68i j ==，．因此常数项为34686106101C C C C 4246++=．【答案】4246；【例4】 ()6211x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，辽宁高考 【解析】略 【答案】5-【例5】 二项式42x +x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为 ．（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，石景山一模 【解析】通项公式4421442C 2C rrrr r r r T xxx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，2r =时，可得常数项2242C 24=； 令1x =即可得各项系数和为4381=．【答案】24,81；【例6】 若12a x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，崇文1模【解析】由二项式定理4124311212CC rrr r r r r a T a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭．令44033r r -=⇒=． 于是有3312C 2201a a =-⇒=-． 【答案】1-；【例7】 在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，海淀一模 【解析】由二项式定理，()()5210355C C rrr rr rr a T xa xx --⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭． 当1031r -=时，3r =，于是x 的系数为()3335C 10a a -=-，从而1a =．【答案】1；【例8】 在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，西城2模【解析】容易知道26C 15=为所求． 【答案】15；【例9】 如果1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ，展开式中的常数项的值等于 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2010年，朝阳2模【解析】由题意有35C C 8n n n =⇒=；展开式的常数项的值为48C 70=．【答案】8，70；【例10】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】281(12)()x x x+-的展开式中常数项为4338812(1)42C C ⋅+⋅⋅-=-．【答案】42-；【例11】 若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，重庆高考【解析】由题意，2646n n =⇒=．于是通项662166r r r r r r T C x x C x ---+=⋅=当620r -=时，3r =．常数项为34620T C ==． 【答案】20；【例12】 若3(2n x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】若3(2n x的展开式中含有常数项，31(2)rn r r r n T C x -+=⋅为常数项，则7302rn -=， 即67n r =，所以n 被7整除，当76n r ==，时成立，最小的正整数n 等于7．【答案】7；【例13】 在2)n x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年，江西高考【解析】通项公式为3212C =2C n rr n rr r r r nn x x--+T ＝()，由已知条件有30n r -=时，2C 60r r n =．容易验证当3n =时，不满足条件；6n =时满足条件．【答案】6；【例14】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】21()n x x -的展开式中，通项公式22311C ()()(1)C r n r r r r n rr n n T x xx --+=-=-，常数项为15，则：230(1)C 15r r n n r -=-=，．所以n 可以被3整除．容易验证当3n =时，不满足条件；当6n =时，4r =，常数项446(1)C 15-=，故6n =．【答案】6；【例15】 已知231(1)()nx x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空【关键字】2008年，辽宁高考 【解析】31()n x x +的通项公式为4131C ()C r n r r r n rr n n T x x x--+==． 如果题目中的多项式展开后没有常数项，则：40120n r r n -≠--，，，≤≤． 所以n 被4除只能余1．当28n ≤≤时，5n =．【答案】5；【例16】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，山东高考【解析】用通项公式1212311212C ((1)C r r r r rr r r T x xx---+==-，当1203rr --=时，9r =， 常数项为912C 220-=-． 【答案】220-；【例17】 已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年，山东高考【解析】第三项的系数为2C n -，第五项的系数为4C n ，由第三项与第五项的系数之比为314-，可解得10n =，则通项210110()(rrr r T C x -+=＝405210()r rr i C x--，当4050r -=，解得8r =，故所求的常数项为8810()C 45i -=． 【答案】45；【例18】 已知10()n n ∈N ≤，若nxx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】通项335121()()(1)C C rn r r r r n rr n n T x xx --+=-=-，存在常数项，则350n r -=， n 能被5整除，所以n 只有两种选择．选B ．【答案】B ；【例19】 610(1(1++展开式中的常数项为_______（用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，江西高考【解析】两个二项式的通项公式分别为3416110C (06)C (010)i j ij i j T x i S x j -++==≤≤，≤≤， 3411610C C (06010)i j ij i j T S x x i j -++⋅=≤≤，≤≤，当034i j-=即43i j =时，有3种情况：0i j ==；34i j ==，；68i j ==，．因此常数项为34686106101C C C C 4246++=．【答案】4246；【例20】 51(2x x+的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空【关键字】2005年，湖北高考【解析】注意到551(2x x +==所以要求10(x +的5x 的系数，10(x 的通项公式为：101011010C C r r r rr r r T x x --+==当5r =时，可求得10(x 的5x =．当然也可以直接将原多项式变为10，然后用通项公式求常数项．；【例21】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】281(12)()x x x+-的展开式中常数项为4338812(1)42C C ⋅+⋅⋅-=-．【答案】42-；【例22】 已知312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略； 【答案】B ；【例23】 在2)n x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年，江西高考【解析】通项公式为3212C =2C n rr n rr r r r nn x x--+T ＝()，由已知条件有30n r -=时，2C 60r r n =．容易验证当3n =时，不满足条件；6n =时满足条件．【答案】6；【例24】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2007年，全国高考【解析】21()n x x -的展开式中，通项公式22311C ()()(1)C r n r r r r n rr n n T x xx--+=-=-， 常数项为15，则：230(1)C 15r r n n r -=-=，．所以n 可以被3整除．容易验证当3n =时，不满足条件；当6n =时，4r =，常数项446(1)C 15-=，故6n =．【答案】6；【例25】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，山东高考 【解析】用通项公式1212311212C ((1)C r r rr rr r r T xxx---+==-，当1203rr --=时，9r =， 常数项为912C 220-=-． 【答案】220-；【例26】 已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2006年，山东高考【解析】第三项的系数为2C n -，第五项的系数为4C n ，由第三项与第五项的系数之比为314-，可解得10n =，则通项210110()(rrr r T C x -+==405210()r rr i C x--，当4050r -=，解得8r =，故所求的常数项为8810()C 45i -= 【答案】45；【例27】 已知10()n n ∈N ≤，若nxx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】通项335121()()(1)C C rn r r r r n rr n n T x x x--+=-=-，存在常数项， 则350n r -=，n 能被5整除，所以n 只有两种选择．选B ．【答案】B ；【例28】 12x ⎛- ⎝展开式中的常数项为（ ）A ．1320-B ．1320C ．220-D ．220【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，山东高考 【解析】41212311212C C (1)rr r r r r r T xx--+⎛==- ⎝， 412093r r -=⇒=，9912121110C (1)22032⨯⨯-=-=-⨯．【答案】C ；【例29】 求612x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】212xx ++= 12612xx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．由12展开式的通项公式12611212rr r rr T x --+==C C ，可得展开式的常数项为612924=C ．【例30】 6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是 （用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，四川高考 【解析】通项公式662621661C (2)(1)C 22rr rr r r rr T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令620r -=，得3r =， 故常数项为336(1)C 20-=-．【答案】-20【例31】 在2nx ⎫+⎪⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（ ）Ａ．3 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．12【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】通项公式3212C 2C rn r r n rr r r nn T x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3023n r nr -=⇒=，且n 为3的倍数． 常数项为2332C 60215n n n==⨯，从而6n ≤，故3n =或6，验证可知6n =．【答案】B ；【例32】 1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n 的值是 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空【关键字】2007年，四川高考 【解析】8n =；44448411C C n n nn T xx x --+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭为常数项，故80n -=．【答案】8；【例33】 若nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+31的展开式中存在常数项，则n 的值可以是（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．14【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，东城区一模【解析】通项公式3561C C rn rr n r rr n n T x --+==，由题设知存在r n ≤，使得350n r -=，即35n r =，因此n 应是5的倍数，只有A 选项符合要求，验证可知满足要求．【答案】A ；【例34】 在261(2)x x-的展开式中常数项是 ，中间项是________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】略【答案】360160x -，．35460160T T x ==-，．【例35】 已知231(1)()n x x x x +++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【考点】求展开式中的特定项【题型】填空【关键字】2008年，辽宁高考 【解析】31()n x x +的通项公式为4131C ()C r n r r r n rr n n T x x x--+==． 如果题目中的多项式展开后没有常数项，则：40120n r r n -≠--，，，≤≤． 所以n 被4除只能余1．当28n ≤≤时，5n =．【答案】5；【例36】 若3(2n x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】若3(2n x的展开式中含有常数项，31(2)rn r r r n T C x -+=⋅为常数项，则7302rn -=， 即67n r =，所以n 被7整除，当76n r ==，时成立，最小的正整数n 等于7．【答案】7；【例37】 已知2nx⎛- ⎝的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是（ ）A ．1-B ．1C ．45-D ．45【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【解析】通项公式52221C ()(1)C rn r r n rr r r nn T x x --+⎛==- ⎝，由题设2244(1)C 310(1)C 14n nn -=⇒=-． 令52082n r r -=⇒=，故常数项为8810(1)C 45-=． 【答案】D ；【例38】 若21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的二项式系数和为512，则n 等于________；该展开式中的常数项为_________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年朝阳区一模【解析】由题设25129nn =⇒=，通项公式291831991C ()C rrrr rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令1830r -=，得6r =，故常数项为69C 84=． 【答案】9；84；【例39】 若921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为84，则a =_____，其展开式中二项式系数之和为_________．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，西城区二模 【解析】通项公式2991831991C ()(1)C rrrr r r rr T ax a xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令1830r -=，得6r =，常数项6639(1)C 841a a -=⇒=，展开式中二项式系数之和为92512=． 【答案】1512，；【例40】 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．120【考点】求展开式中的特定项 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】B ；有理项【例41】 求二项式15的展开式中：⑴常数项；⑵有几个有理项（只需求出个数即可）； ⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】展开式的通项为：30515611515(1)C (1)2C rrrr rr r r r T x--+=-=-． ⑴设1r T +项为常数项，则30506r -=，得6r =，即常数项为667152C T =；⑵设1r T +项为有理项，则3055566r r -=-为整数，∴r 为6的倍数， 又∵015r ≤≤，∴r 可取0，6，12三个数， 故共有3个有理项．⑶556r -为非负整数，得0r =或6，∴有两个整式项．【例42】100的展开式中共有_______项是有理项． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】展开式的第r 项为50100321100100C C23r r rrrr r T --+==⋅⋅，要使第r 项为有理项，需要r 为2与3的倍数，从而6r k =，k ∈Z ， 又0100r ≤≤，故01216k =，，，，，共有17项．【答案】17；【例43】 二项式15的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项； ⑶有几个整式项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】展开式的通项为：30515611515(1)C (1)2C r rr rr r rr r T x--+=-=-．⑴1r T +项为常数项，则30506r -=，得6r =，即常数项为667152C T =； ⑵设1r T +项为有理项，则3055566r r -=-为整数，∴r 为6的倍数，又∵015r ≤≤，∴r 可取0612，，三个数．⑶556r -为非负整数，得0r =或6，∴有两个整式项．【例44】 已知在n的展开式中，前三项的系数成等差数列①求n ；②求展开式中的有理项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】①通项公式2341C C 2rn rr r n rn r nr T x--+==， 由题设2102C C C 2822nn nn +=⨯⇒=（1n =舍去）．②34841C 2r rr r T x -+=，1r T +为有理项的充要条件为344r -∈Z ，所以r 是4的倍数，048r =，，．因此所有有理项为415923518256T x T x T x ===，，．【例45】 二项展开式15中，有理项的项数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】无【解析】45515611515C Cr rrr rrT x--+=⋅=⋅（r = 0，1，2，…，14 ），当3915r=，，时，为有理项，选A．【答案】A；【例46】在(1132的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p，则1 0px dx=⎰A．1 B．67C．76D．1113【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】选择【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试【解析】B；11111111323211111C3232Crr r rr r r rrT x x x--+-+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭于是r可取3，9，则21126P==，1711660066|77x dx x⎰==【答案】B；【例47】12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（）A．4项B．3项C．2项D．1项【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】略【答案】B ；【例48】若(51a +=+a ，b 为有理数），则a b +=（ ） A ．45B ．55C ．70D ．80【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，北京高考【解析】(523451141+=++++=+【答案】C ；系数最大的项【例49】 已知(n x +的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求n 的值；⑵求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴由题设，得02111C C 2C 42n n n +=⨯，即2980n n -+=，解得8n =或1n =（舍去）． ⑵设第1r +项的系数最大，则1881188111C C 2211C C 22rr r r r r r r ++--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≥，即1182(1)1129r r r r⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪-⎩≥≥解得2r =或3r =．所以系数最大的项为7523477T x T x ==，．【例50】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？ 【考点】求展开式中的特定项 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】通项公式为20120C 2(3)rr r r T x -+=⋅⋅． 若第1r +项最大，设第1r +项的系数为1r t +，则11211r r r rt tt t +++≥，≥． 将通项公式系数代入化简得：2(1)3(21)113(20)2r r r r+--≥，≥．解出586355r ≤≤．∴12r =因此系数最大的项是第13项．【答案】13；【例51】 已知(13)n x +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】由已知有21C C C 121n n n n n n --++=，即22400n n +-=，解得15n =或16n =-（舍去） 设第第1r +项的系数最大，则111515111515C 3C 3C 3C 3r r r r r r r r ++--⎧⋅⋅⎪⎨⋅⋅⎪⎩≥≥，即133115116r r r r -+-≥，≥ 解得1112r =，所以系数最大的项为1111111215C 3T x =⋅和1212121315C 3T x =⋅．【例52】 在132nx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____．A ．7-B ．7C ．28-D ．28【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试【解析】于是8n =⨯，展开式的常数项为6216378C 72x T x -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】B ；【例53】 已知lg 8(2)x x x +的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x ． 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】由题设，44lg 48C (2)()1120x x x =，即44lg 1x x +=，0x >． 故44lg 0x +=或1x =，解得x 的值为1或110． 【答案】x 的值为1或110．【例54】 求10的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答【关键字】无 【解析】略【答案】展开式的通项公式为：3056110C (1)2r rr rr T x--+=-⋅⋅，系数的绝对值为10C 2rr -⋅，记为1r t +． 用前后两项系数的绝对值作商得：1(1)12101011010C 2C 10!!(10)!10C 22C (1)!(9)!210!2(1)r r r r r r rr t r r r t r r r +-+++-+⋅--===⋅=⋅+⋅-⋅+． 令1012(1)r r -+≥得：83r ≤，即012r =，，时，上述不等式成立． 所以，系数的绝对值从第1项到第4项增加，以后逐项减小． 系数绝对值最大的项为第4项，5533322410C (1)215T x x -=-=-．从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替，只要比较第3项与第5项的系数，记它们的系数分别为3t 与5t ，224431051045210105C 2C 24168t t --=⋅==⋅==，． 所以，系数最大的项为第5项，5351058T x =．【例55】 已知n展开式中的倒数第三项的系数为45，求： ⑴含3x 的项； ⑵系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴ 由题设知2C 45n n-=，解得10n =． 21113010341211010C ()()C r rrrr r T x x x---+==，令11303612r r -=⇒=， 因此含3x 的项为633710C 210T x x ==． ⑵ 系数最大的项为中间项，即55302551212610C 252T xx -==．【例56】 设m n +∈N ，，1m n ，≥，()(1)(1)m n f x x x =+++的展开式中，x 的系数为19．⑴求()f x 展开式中2x 的系数的最大、最小值；⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m 、n 的值，求7x 的系数．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】11C C 19m n +=，即19m n +=．∴19m n =-．⑴设2x 的系数为222221919C C 1917117124mnT n n n ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭．∵n +∈N ，1n ≥，∴当1n =或18n =时，max 163T =；当9n =或10时，min 81T =． ⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m n ，的值，即98()(1)(1)f x x x =+++从而7x 的系数为77109C C 156+=．【例57】 已知：223(3)n x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．⑴求展开式中二项式系数最大的项；⑵求展开式中系数最大的项．【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2n n +=，又展开式中二项式系数和为2n ，∴222992n n -=，5n =．⑴ ∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴223226335C ()(3)90T x x x ==，22232233345C ()(3)270T x x x ==， ⑵ 设展开式中第1r +项系数最大，则21045233155C ()(3)3C r rrr rr r T x x x+-+==，∴115511553C 3C 79223C 3C r r r r r r r r r --++⎧⎪⇒⎨⎪⎩≥≤≤≥，∴4r =，即展开式中第5项系数最大，2264243355C ()(3)405T x x x ==．【例58】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？ 【考点】求展开式中的特定项 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】通项公式为20120C 2(3)rr r r T x -+=⋅⋅． 若第1r +项最大，设第1r +项的系数为1r t +，则11211r r r rt tt t +++≥，≥． 将通项公式系数代入化简得：2(1)3(21)113(20)2r r r r+--≥，≥．解出586355r ≤≤．∴12r =因此系数最大的项是第13项．【答案】13；【例59】 关于二项式2005(1)x -有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是1：②该二项展开式中第六项为619992005C x； ③该二项展开式中系数最大的项是第1003项与第1004项； ④当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是2005． 其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空 【关键字】无【解析】二项式2005(1)x -所有项的系数和为0，其常数项为1-，非常数项的系数和是1，得①正确；二项展开式的第六项为520002005C x，即得②错误； 二项展开式中系数绝对值最大的项为第1003项（系数为10022005C ）与第1004项（系数为10032005C -），得系数最大的项是第1003项，即③错误； 当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是20052006(1)2005+-=，即④正确．故应填①④．【答案】①④；【例60】 在2nx ⎛ ⎝的展开式，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ．（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项 【难度】4星 【题型】填空 【关键字】无【解析】7；根据第5项的二项式系数最大可求出n ．常数项为7。
专题55 二项式定理教学案-2018年高考数学理一轮复习资
1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1．二项式定理2.(1)当0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －kn ．(2)二项式系数先增后减中间项最大当n 为偶数时，第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n2n ；当n 为奇数时，第n ＋12项和n ＋32项的二项式系数最大，最大值为．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n， C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1．高频考点一 求二项展开式中的特定项或指定项的系数例1、已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项. (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项. 解 (1)通项公式为T k ＋1＝C k n xn －k3⎝⎛⎭⎫－12k x －k 3＝C k n ⎝⎛⎭⎫－12kx n －2k 3.因为第6项为常数项，所以k ＝5时，n －2×53＝0，即n ＝10. (2)令10－2k3＝2，得k ＝2， 故含x 2的项的系数是C 210⎝⎛⎭⎫－122＝454.【举一反三】(1)在(x －1)4的展开式中，x 的系数为________. (2) (x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30D.60答案 (1)6 (2)C 解析 (1)由题意可知T k ＋1＝C k 4(x )4－k(－1)k＝424(1)k kkC x--，令4－k2＝1解得k ＝2，所以展开式中x 的系数为C 24(－1)2＝6.(2)方法一 利用二项展开式的通项公式求解. (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.方法二 利用组合知识求解.(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23＝30.故选C.高频考点二 已知二项展开式某项的系数求参数例2、 (a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________. 答案 3解析 设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3. 【感悟提升】求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可.【变式探究】(1) (x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________.(用数字填写答案) (2) (x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案) 答案 (1)20 (2)12解析 (1)x 2y 7＝x ·(xy 7)，其系数为C 78， x 2y 7＝y ·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20. (2)设通项为T k ＋1＝C k 10x10－k a k ，令10－k ＝7， ∴k ＝3，∴x 7的系数为C 310a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12.高频考点三 二项式系数的和或各项系数的和的问题例3、(1)若二项式⎝⎛⎭⎫3x 2－1x n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( )A.－27C 39B.27C 39C.－9C 49D.9C 49(2) (1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝( ) A.1 024 B.243 C.32D.24【举一反三】在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.解 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数的和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102； x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.【变式探究】已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N *)的展开式中x 的系数为11. (1)求x 2的系数取最小值时n 的值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次幂项的系数之和.解 (1)由已知得C 1m ＋2C 1n ＝11，∴m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝m m －12＋2n (n －1) ＝m 2－m 2＋(11－m )⎝⎛⎭⎫11－m 2－1＝⎝⎛⎭⎫m －2142＋35116.∴m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3. (2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3， ∴f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3. 设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25＋33＝59， 令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1， 两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60，故展开式中x 的奇次幂项的系数之和为30. 高频考点四 二项式定理的应用例4、(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N ＋)能被31整除；(2)(设复数x ＝2i 1－i (i 是虚数单位)，则C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x 2 017＝( ) A.i B.－i C.－1＋iD.－1－i(1)证明 ∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C n n －1＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除.(2)解析 x ＝2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋i ，C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x2 017＝(1＋x )2 017－1＝i 2 017－1＝i －1. 答案 C【方法规律】(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项.而求近似值则应关注展开式的前几项.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式. 【举一反三】 设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝( ) A.0 B.1C.11D.12解析 ∵512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝C 02 016·522 016－C 12 016·522 015＋C 22 016·522 014＋…－C 2 0152 016·52＋1＋a 能被13整除，且0≤a <13，∴1＋a 能被13整除，故a ＝12.【感悟提升】(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.【变式探究】1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A.－1B.1C.－87D.87答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.1.【2016年高考四川理数】设i 为虚数单位，则6()x i +的展开式中含x 4的项为 （A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 4 【答案】A【解析】二项式6()x i +展开的通项616r r rr T C x i -+=，令64r -=，得2r =，则展开式中含4x 的项为2424615C x i x =-，故选A.2.【2016年高考北京理数】在6(12)x -错误！未找到引用源。
专题42：利用二项式定理求指定项-教师版
典型高考数学试题解读与变式2018版考点42 利用二项定理求指定项一、 知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:（1）二项式定理：nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ;注意：①展开式共有n+1项；②a 按降幂排列b 按升幂排列，b a ,幂指数之和为n ； ③系数依次为nn n n n C C C C ,,,,21。
④注意区分二项式系数与某一项的系数, 二项式系数是),,2,1,0(n r C rn =，而系数既包括二项式系数也包括二项式中系数和符号展出部分（2）二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，=. （3）二项式定理系数性质：①0≤k ≤n 时，kn n k n C C -=．②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大，最大值. ③各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝n2，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝12-n .2.命题规律展望：二项式定理是高考的热点和重点，主要考查利用二项式定理或通项公式计算二项式展开式或三项式或两个二项式乘积的特定项或特定项系数，难度为基础题，分值为5分. 二、题型与相关高考题解读 1.求展开式中的特定项或特定系数 1.1考题展示与解读例1【2017山东，理11】已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【命题意图探究】本题主要考查利用二项展开式通项公式计算已知指定项系数求二项式的指数问题，是基础题. 【答案】4【解析】由二项式定理的通项公式()1C 3C 3rr r r rr n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】 二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步，根据给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r )；第二步，根据所求的指数求解所求的项． 1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】二项式51x ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（ ）A. 10B. 10-C. 5D. 5- 【答案】B【解析】展开式的通项为()()11552151r rr r T C x-+=-，令()115502r -=得3r =，所以展开式中的常数项为3510C -=-，故选B.【变式2：改编结论】若6nx⎛ ⎝的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】C【变式3：改编问法】若024n x dx ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2ny y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（ ）A. 8B. 16C. 24D. 60 【答案】C【解析】∵()()202=2sin cos 2cos sin |240n x dx x x dx x x ππππ⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭⎰=2cos cos0sin sin0422ππ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，∴42y y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式为42142r r rr T C y -+=⋅⋅，令420r -=，即2r =，∴二项式42y y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中常数项是224224C ⋅=，故选C2.求三项式展开式的指定项 2.1考题展示与解读例2【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60【命题意图探究】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数，是基础题 【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y的系数为212532C C C =30，故选 C.【解题能力要求】转化思想，运算求解能力【方法技巧归纳】三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形． 2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】()()62x y x y z -++的展开式中， 232x y z 的系数为（ ）A. 30-B. 120C. 240D. 420 【答案】B【变式2：改编结论】()4x y z ++的展开式共（ ）项 A. 10 B. 15 C. 20 D. 21 【答案】B【解析】因为()()()()4443144x y z x y z C x y C x y z ⎡⎤++=++=+++⎣⎦+()2224C x y z ++()334444C x y z C z ++,所以再运用二项式定理展开共有5432115++++=项，故选B .【变式3：改编问法】已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中的系数为__________．（用数字作答） 【答案】1203.两个二项式乘积展开式的指定项 3.1考题展示与解读 例3【2017课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为（ ） A ．15B ．20C ．30D ．35【命题意图探究】本题主要考查考查利用二项式定理展开式求指定项及分类整合思想，是基础题. 【答案】C 【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C. 【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可． 3.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】()()4511x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A. 4 B. -4 C. 6 D. -6 【答案】B【解析】()()()()4512233441223344554444455555511x x C C x C x C x C xCC x C x C x C x C x -+=-+-++++++()()234234514641510105x xx x x x x x x -+-++++++，所以3x 的项为3223311041065414x x x x x x x ⨯-⨯+⨯-⨯=-，故3x 的系数为4-，故选B.【变式2：改编结论】()522131x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（ ）A. -3B. -2C. 2D. 3 【答案】C【变式3：改编问法】已知：＝992210)1()1()1(-++-+-+x a x a x a a ，则6a ＝（ ）A. －28B. －448C. 112D. 448 【答案】A 【解析】，当第一个因子取时，第二个因子取当第一个因子取1时，第二个因子取，故a 6＝，故选A.4.二项式系数与各项的系数问题 4.1考题展示与解读例4【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．【命题意图探究】本题主要考查利用通项公式与二项定理展开式的系数性质，是基础题. 【答案】92【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ， 所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯. 【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】 (1)“赋值法”普遍应用于恒等式，是一种处理与二项式相关问题的比较常用的方法．对形如(ax ＋b )n，(ax 2＋bx ＋c )m(a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可． (2)当n 为偶数时，展开式中中间一项的二项式系数最大，；当n 为奇数时，展开式中中间两项项的二项式系数最大.4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知二项式1nx ⎫⎪⎭的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为____. （用数字作答）【答案】28【变式2：改编结论】已知()()4501521x x a a x a x +-=++⋅⋅⋅+，则12345a a a a a ++++=______. 【答案】2-【解析】先令0x =，得： 02a =，再令1x =得： 0123450a a a a a a +++++=， 即 1234520a a a a a +++++=，所以123452a a a a a ++++=-，故填2-. 【变式3：改编问法】已知()()62701271...,x a x a a x a x a x a R +-=++++∈，若01267...0a a a a a +++++=，则3a 的值为（ ）A. 35B. 20C. 5D. 5- 【答案】D【解析】令1x =，得()6017...21,1a a a a a +++=⋅-∴=，而3a 表示3x 的系数，()()3232366115a C C ∴=-+-=-，故选D.三、课本试题探源选修修2-3 P40 页复习参考题 A 第8（2）题：求18)319(xx +展开式的常数项.【解析】r rr r xx C T )31()9(18181-+==2318183363r rrxC --,则02318=-r，解得12=r ，所以展开式的常数项为1218123363C ⨯-=18564.四．典例高考试题演练1.【广西贺州市桂梧高中2018届第四次联考】()713x -的展开式的第4项的系数为（ ） A. 3727C - B. 4781C - C. 3727C D. 4781C 【答案】A【解析】由题意可得()713x -的展开式的第4项为()33733331771327T C x C x -+=⨯⨯-=-，选A.2.【2018届云南师范大学附属中学月考（二）】若的展开式中常数项为，则实数的值为（ ）A. B. C. -2 D.【答案】D 【解析】的展开式通项为，令，则有，∴，即，解得，故选D ．3.【广东省深圳市南山区2018届入学摸底考】1212618323n nn n n C C C C -++++⨯= ( )A. 2123n +B. ()2413n -C. 123n -⨯D. ()2313n -【答案】B【解析】1212618323n nn n n C C C C -++++⨯=()12223333nn n n n C C C ⨯+⨯+⨯= ()001222333313nn n n n n C C C C ⨯+⨯+⨯+⨯-()()221314133n n ⎡⎤=+-=-⎣⎦选B.4.【广西南宁三中、柳铁一中、玉林高中2018届9月联考】()62121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭求的展开式的常数项是（ ）A. 15B. -15C. 17D. -17 【答案】C【解析】611x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式： ()()()661661T 11,r 0,1,2,,6rrrr rr r x x --+⎛⎫=-=-=⋯ ⎪⎝⎭痧，分别令r −6=0，r −6=−2，解得r =6，r =4.∴()62121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是2×66ð+1×46ð=17,故选：C.5.【广西桂林市柳州市2018年届综合模拟金卷（1）】已知nx ⎛- ⎝⎭的展开式中第4项的二项式系数为20，则nx ⎛- ⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. 60- C. 80 D. 80- 【答案】A6.【四川省双流中学2018届9月月考】在()62x -展开式中，二项式系数的最大值为m ，含5x 项的系数为n ，则nm =（ ） A. 53 B. 53- C. 35 D. 35-【答案】D【解析】因为6n =是偶数，所以展开式共有7项，其中中间一项的二项式系数最大，其二项式系数为3620m C ==时，含5x 项的系数为()161212n C =-⨯=-，则123205n m =-=-，应选D 。
高三数学教案《二项式定理》四篇
高三数学教案《二项式定理》四篇教学过程篇一1.情景设置问题1：若今天是星期二，再过30天后的那一天是星期几？怎么算？预期回答：星期四，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少？问题2：若今天是星期二，再过810天后的那一天是星期几？问题3：若今天是星期二，再过天后是星期几？怎么算？预期回答：将问题转化为求“被7除后算余数”是多少？在初中，我们已经学过了(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3（提问）：对于(a+b)4，(a+b)5如何展开？（利用多项式乘法）（再提问）：（a+b)100又怎么办？(a+b)n(n?N+）呢？我们知道，事物之间或多或少存在着规律。
也就是研究（a+b)n(n?N+）的展开式是什么？这就是本节课要学的内容。
这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性。
学完本课后，此题就不难求解了。
（设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。
奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。
）2.新授第一步：让学生展开；问题1：以的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。
预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂、另一字母升幂排列，且两个字母幂指数的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1;③展开式中第二项的系数等于乘方指数。
第二步：继续设疑如何展开以及呢？（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。
）继续新授师：为了寻找规律，我们以中为例问题1：以项为例，有几种情况相乘均可得到项？这里的字母各来自哪个括号？问题2：既然以上的字母分别来自4个不同的括号，项的系数你能用组合数来表示吗？问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？（预期答案：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是、一个是。
【助力高考】2019年高考数学专题复习第61讲《二项式定理》(含详细答案和教师用书)
♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第十章计数原理第61讲二项式定理★★★核心知识回顾★★★知识点一、二项式定理知识点二、二项式系数的性质(1)C0n＝，C n n＝.C m n＋1＝＋.(2)C m n＝.(3)当n是偶数时，项的二项式系数最大；当n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大．(4)(a＋b)n展开式的二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝.★★★高考典例剖析★★★ 考点一、二项展开式命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数例1：(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2项的系数为( )A ．10B ．20C ．30D ．60答案 C解析 方法一 利用二项展开式的通项公式求解．(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5.所以x 5y 2项的系数为C 25C 13＝30.故选C. 方法二 利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数例2：(2018届海口调研)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B.12C ．1D ．2 答案 D解析 由题意得⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T k ＋1＝C k 10·x 10－k ·⎝⎛⎭⎫1x k ＝C k 10x 10－2k ，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当k ＝3时)，x 6(当k ＝2时)项的系数分别为C 310，C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，故选D.1．(2017·全国Ⅰ)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2项的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30 D ．352．若⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5项的展开式中x 5项的系数为－80，则实数a ＝________.3．(2017·全国Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．804．(x ＋a )10的展开式中，x 7项的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案)考点二、二项式系数的和与各项的系数和问题例3： (3)若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．答案 255解析 ⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 展开式的第k ＋1项为 T k ＋1＝C k n (x 2)n －k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝C k n (－1)k x 2n －3k ，当k ＝5时，2n －3k ＝1，∴n ＝8.对(1－3x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝28＝256.又当x ＝0时，a 0＝1，∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝255.5．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________.6．(2018·汕头质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．7．(2017·岳阳模拟)若二项式⎝⎛⎭⎫3x 2－1x n 的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( )A ．－27C 39B ．27C 39 C ．－9C 49D ．9C 498．(2017·绵阳模拟)(1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|等于( )A ．1 024B ．243C ．32D ．24考点三、二项式定理的应用 例4： 设a ∈Z 且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a 等于( )A ．0B ．1C ．11D ．12答案 D解析 512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011＋C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ，∵C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a 能被13整除， ∴C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除，因此a 的值为12.8．(2017·安徽江南名校联考)设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x 2 017等于( ) A ．iB ．－iC ．－1＋iD ．－1－i9．(2018·泉州模拟)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．8710．若(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x 2 018，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝________. 11．若⎝⎛⎭⎫x －3x n 展开式的各项系数绝对值之和为1 024，则展开式中含x 项的系数为________． 12．已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7的展开式中x 4项的系数是－35，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝________.★★★知能达标演练★★★一、选择题1． (1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( )A ．80B ．40C ．20D ．102．若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A ．10B ．20C ．30D ．1203．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．64．(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( )A ．C m nB ．C m ＋1n C ．C m －1nD ．(－1)m －1C m －1n 5．已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( )A ．5B ．6C ．7D ．86．已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．2127．在x 2(1＋x )6的展开式中，含x 4项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．108．(2017·广州测试)使⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 3n (n ∈N *)展开式中含有常数项的n 的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．69．(2017·邵阳模拟)(1＋3x )n 的展开式中x 5与x 6的系数相等，则x 4的二项式系数为( )A ．21B ．35C ．45D ．28 10．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )A ．－20B ．－15C ．15D ．2011．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4项的系数为15，则a 的值为( )A ．－4 B.52 C ．4 D.7212．(2018·漯河质检)若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n 等于( )A.34(3n －1) B.34(3n －2) C.32(3n －2) D.32(3n －1) 13．若⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( ) A ．－40B ．－20C ．20D ．4014．(2018·珠海模拟)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)等于( )A ．45B ．60C ．120D ．210二、填空题15．(x y －y x )4的展开式中，x 3y 3项的系数为________．16.⎝⎛⎭⎫xy －1x 6展开式中不含x 的项的系数为________．(用数字作答) 17．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.(用数字作答)18．(2017·广州五校联考)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则log 2a ＋log 2b ＝________.19．(2017·抚顺一中月考)在⎝⎛⎭⎫x ＋a x 6(a >0)的展开式中，常数项的系数是60，则ʃa 0sin x d x 的值为________．20．(2018·河南南阳模拟)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________.(用数字作答)21.⎝⎛⎭⎫2x ＋3y －49的展开式中，不含x 的各项系数之和为________．三、解答题22．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项的系数成等差数列，求： (1)展开式中所有x 的有理项；(2)展开式中系数最大的项．♦♦♦详细参考答案♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第十章 计数原理 第61讲 二项式定理★★★核心知识回顾★★★知识点一、二项式定理知识点二、二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n ＝1.C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n . (2)C m n ＝C n －m n .(3)当n 是偶数时，12n T +项的二项式系数最大；当n 是奇数时，12n T +与112n T ++＋1项的二项式系数相等且最大．(4)(a ＋b )n 展开式的二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .★★★高考典例剖析★★★考点一、二项展开式♦♦♦跟踪训练♦♦♦1．答案 C解析 因为(1＋x )6的通项为C k 6x k ，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x 2·C 46x 4.因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30， 所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2项的系数为30. 故选C.2．答案 －2解析 ∵T k ＋1＝C k 5(ax 2)5－k ⎝⎛⎭⎫1x k ＝a 5－k C k 55102k x -， ∴10－52k ＝5，解得k ＝2，∴a 3C 25＝－80，解得a ＝－2. 3．答案 C解析 因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40， x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80. 所以x 3y 3的系数为80－40＝40. 故选C.4．答案 12解析 设通项为T k ＋1＝C k 10x 10－k a k ，令10－k ＝7， ∴k ＝3，∴x 7项的系数为C 310a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12. 考点二、二项式系数的和与各项的系数和问题♦♦♦跟踪训练♦♦♦5．答案 3解析 设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.6．答案 1或－3解析 令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39， ∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3，∴m ＝－3或m ＝1.7．答案 B解析 令x ＝1，得2n ＝512，所以n ＝9，故⎝⎛⎭⎫3x 2－1x 9的展开式的通项为T k ＋1＝C k 9(3x 2)9－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k C k 9·39－k x 18－3k ，令18－3k ＝0，得k ＝6.所以常数项为T 7＝(－1)6C 69·33＝27C 39.8．答案 A解析 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024.考点三、二项式定理的应用♦♦♦跟踪训练♦♦♦8．答案 C解析 x ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ， C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x2 017 ＝(1＋x )2 017－1＝i 2 017－1＝i －1.9．答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.10．答案 －1解析 当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1.当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018， ∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018， 即a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝－1. 11．答案 －15解析 在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，令x ＝1， 可得⎝⎛⎭⎫x －3x n 展开式的各项系数绝对值之和为4n ＝22n ＝1 024＝210，∴n ＝5. 故⎝⎛⎭⎫x －3x 5展开式的通项为 T k ＋1＝(－3)k ·C k 5·532kx -，令5－3k 2＝1，得k ＝1， 故展开式中含x 项的系数为－15.12．答案 1解析 ∵(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，令x ＝0，∴a 0＝(－m )7.又∵展开式中x 4项的系数是－35，∴C 37·(－m )3＝－35，∴m ＝1，∴a 0＝(－m )7＝－1.在(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7中，令x ＝1，得0＝－1＋a 1＋a 2＋…＋a 7，即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝1.★★★知能达标演练★★★一、选择题1．答案 B解析 T k ＋1＝C k 5(2x )k ＝C k 52k x k ，当k ＝2时，x 2的系数为C 25·22＝40. 2．答案 B解析 二项式系数之和2n ＝64，所以n ＝6，T k ＋1＝C k 6·x 6－k ·⎝⎛⎭⎫1x k ＝C k 6x 6－2k ，当6－2k ＝0，即当k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.3．答案 B解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.4．答案 D解析 (x －y )n 二项展开式第m 项的通项公式为T m ＝C m －1n (－y )m －1x n －m ＋1， 所以系数为C m －1n (－1)m －1. 5．答案 B解析 由二项式定理知，a n ＝C n －110(n ＝1,2,3，…，11)． 又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a 6＝C 510，则k 的最大值为6.6．答案 A解析 由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A. 7．答案 C解析 因为(1＋x )6的展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 6x k ，所以x 2(1＋x )6的展开式中含x 4的项为C 26x 4＝15x 4，所以系数为15.8．答案 C解析 T k ＋1＝C k n (x 2)n －k ⎝⎛⎭⎫12x 3k ＝12k C k n x 2n －5k ， 令2n －5k ＝0，得n ＝52k ，又n ∈N *， 所以n 的最小值是5.9．答案 B解析 ∵T k ＋1＝C k n (3x )k ＝3k C k n x k ，由已知得35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n ，∴n ＝7，因此，x 4的二项式系数为C 47＝35，故选B.10．答案 C解析 设展开式中的常数项是第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 6·(4x )6－k ·(－2－x )k ＝C k 6·(－1)k ·212x －2kx ·2－kx ＝C k 6·(－1)k ·212x －3kx ，∵12x －3kx ＝0恒成立，∴k ＝4，∴T 5＝C 46·(－1)4＝15. 11．答案 C解析 ∵(x ＋1)4(ax －1)＝(x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1)(ax －1)，∴x 4项的系数为4a －1＝15，∴a ＝4.12．答案 D解析 在展开式中，令x ＝2，得3＋32＋33＋ (3)＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝3(1－3n )1－3 ＝32(3n －1)． 13．答案 D解析 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.∴⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的通项为T k ＋1＝C k 5·(2x )5－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k ·25－k ·C k 5·x 5－2k . 令5－2k ＝1，得k ＝2.令5－2k ＝－1，得k ＝3.∴展开式的常数项为(－1)2×23·C 25＋(－1)3·22·C 35＝80－40＝40. 14．答案 C解析 因为f (m ，n )＝C m 6C n 4，所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.二、填空题15．答案 6解析 二项展开式的通项是T k ＋1＝C k 4(x y )4－k ·(－y x )k ＝(－1)k C k 44222kkx y -+，令4－k 2＝2＋k 2＝3，解得k ＝2，故展开式中x 3y 3的系数为(－1)2C 24＝6.16．答案 －20解析 ⎝⎛⎭⎫xy －1x 6展开式中不含x 的项为C 36(xy )3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－20y 3，故不含x 的项的系数为－20. 17．答案 10解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )5－k ·(－1)k ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.18．答案 0解析 ⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6a 6－k ·b k x 12－3k ，令12－3k ＝3，则k ＝3，∴⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为C 36a 3b 3＝20，∴ab ＝1，∴log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )＝log 21＝0.19．答案 1－cos 2解析 由二项展开式的通项公式可知，T k ＋1＝C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎫a x k ＝a k C k 6x ， 令3－32k ＝0，得k ＝2，则T 3＝a 2C 26＝60， 所以a ＝2，所以ʃa 0sin x d x ＝－cos x |20＝1－cos 2.20．答案 364解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12. 令x ＝0，得a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364. 21.答案 －1解析 ⎝⎛⎭⎫2x ＋3y －49的展开式中不含x 的项为 C 99(2x )0⎝⎛⎭⎫3y －49＝⎝⎛⎭⎫3y －49，令y ＝1，得各项系数之和为(3－4)9＝－1.三、解答题22．解 易求得展开式前三项的系数为1，12C 1n ，14C 2n . 由题意得2×12C 1n ＝1＋14C 2n ，可得n ＝8. (1)设展开式中的有理项为T k ＋1，由T k ＋1＝C k 8(x )8－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫124x k ＝⎝⎛⎭⎫12k C k 81634k x -， ∴k 为4的倍数，又0≤k ≤8，∴k ＝0,4,8.332k -故有理项为T 1＝⎝⎛⎭⎫120C 0816304x-⨯＝x 4， T 5＝⎝⎛⎭⎫124C 4816344x-⨯＝358x ， T 9＝⎝⎛⎭⎫128C 8816384x -⨯＝1256x 2. (2)设展开式中T k ＋1项的系数最大，则⎝⎛⎭⎫12k C k 8≥⎝⎛⎭⎫12k ＋1C k ＋18且⎝⎛⎭⎫12k C k 8≥⎝⎛⎭⎫12k －1C k －18，可得k ＝2或k ＝3.故展开式中系数最大的项为T 3＝⎝⎛⎭⎫122C 2816324x-⨯＝527x ， T 4＝⎝⎛⎭⎫123C 3816334x-⨯＝747x .♦♦♦教师用书♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第十章 计数原理第61讲 二项式定理★★★核心知识回顾★★★知识点一、二项式定理知识点二、二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n ＝1.C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n . (2)C m n ＝C n －m n .(3)当n 是偶数时，12n T +项的二项式系数最大；当n 是奇数时，12n T +与112n T ++＋1项的二项式系数相等且最大．(4)(a ＋b )n 展开式的二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .★★★高考典例剖析★★★ 考点一、二项展开式命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数例1：(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2项的系数为( )A ．10B ．20C ．30D ．60答案 C解析 方法一 利用二项展开式的通项公式求解．(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5.所以x 5y 2项的系数为C 25C 13＝30.故选C. 方法二 利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数例2：(2018届海口调研)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B.12C ．1D ．2 答案 D解析 由题意得⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T k ＋1＝C k 10·x 10－k ·⎝⎛⎭⎫1x k ＝C k 10x 10－2k ，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当k ＝3时)，x 6(当k ＝2时)项的系数分别为C 310，C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，故选D.1．(2017·全国Ⅰ)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2项的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30 D ．35答案 C解析 因为(1＋x )6的通项为C k 6x k ，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x 2·C 46x 4.因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30， 所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2项的系数为30. 故选C.2．若⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5项的展开式中x 5项的系数为－80，则实数a ＝________. 答案 －2解析 ∵T k ＋1＝C k 5(ax 2)5－k ⎝⎛⎭⎫1x k ＝a 5－k C k 55102k x -， ∴10－52k ＝5，解得k ＝2，∴a 3C 25＝－80，解得a ＝－2. 3．(2017·全国Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．80答案 C解析 因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40， x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80. 所以x 3y 3的系数为80－40＝40.故选C.4．(x ＋a )10的展开式中，x 7项的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案)答案 12解析 设通项为T k ＋1＝C k 10x 10－k a k ，令10－k ＝7， ∴k ＝3，∴x 7项的系数为C 310a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12. 考点二、二项式系数的和与各项的系数和问题例3： (3)若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．答案 255解析 ⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 展开式的第k ＋1项为 T k ＋1＝C k n (x 2)n －k ·⎝⎛⎭⎫－1x k＝C k n (－1)k x 2n －3k ，当k ＝5时，2n －3k ＝1，∴n ＝8.对(1－3x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝28＝256.又当x ＝0时，a 0＝1，∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝255.5．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________. 答案 3解析 设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，①令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.6．(2018·汕头质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．答案 1或－3解析 令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39，∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3，∴m ＝－3或m ＝1.7．(2017·岳阳模拟)若二项式⎝⎛⎭⎫3x 2－1x n 的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( )A ．－27C 39B ．27C 39 C ．－9C 49D ．9C 49解析 令x ＝1，得2n ＝512，所以n ＝9，故⎝⎛⎭⎫3x 2－1x 9的展开式的通项为T k ＋1＝C k 9(3x 2)9－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k C k 9·39－k x 18－3k ，令18－3k ＝0，得k ＝6.所以常数项为T 7＝(－1)6C 69·33＝27C 39.8．(2017·绵阳模拟)(1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|等于( )A ．1 024B ．243C ．32D ．24答案 A解析 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024.考点三、二项式定理的应用例4： 设a ∈Z 且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a 等于( )A ．0B ．1C ．11D ．12答案 D解析 512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011＋C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ， ∵C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a 能被13整除， ∴C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除，因此a 的值为12.8．(2017·安徽江南名校联考)设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x 2 017等于( ) A ．iB ．－iC ．－1＋iD ．－1－i解析 x ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ， C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x2 017 ＝(1＋x )2 017－1＝i 2 017－1＝i －1.9．(2018·泉州模拟)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1， ∵前10项均能被88整除，∴余数是1.10．若(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x 2 018，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝________. 答案 －1解析 当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1.当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018， ∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018， 即a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝－1. 11．若⎝⎛⎭⎫x －3x n 展开式的各项系数绝对值之和为1 024，则展开式中含x 项的系数为________． 答案 －15解析 在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，令x ＝1， 可得⎝⎛⎭⎫x －3x n 展开式的各项系数绝对值之和为4n ＝22n ＝1 024＝210，∴n ＝5. 故⎝⎛⎭⎫x －3x 5展开式的通项为 T k ＋1＝(－3)k ·C k 5·532kx -，令5－3k 2＝1，得k ＝1， 故展开式中含x 项的系数为－15.12．已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7的展开式中x 4项的系数是－35，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝________.解析 ∵(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，令x ＝0，∴a 0＝(－m )7.又∵展开式中x 4项的系数是－35，∴C 37·(－m )3＝－35， ∴m ＝1，∴a 0＝(－m )7＝－1.在(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7中，令x ＝1，得0＝－1＋a 1＋a 2＋…＋a 7，即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝1.★★★知能达标演练★★★一、选择题1． (1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( )A ．80B ．40C ．20D ．10答案 B解析 T k ＋1＝C k 5(2x )k ＝C k 52k x k ，当k ＝2时，x 2的系数为C 25·22＝40. 2．若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A ．10B ．20C ．30D ．120答案 B解析 二项式系数之和2n ＝64，所以n ＝6，T k ＋1＝C k 6·x 6－k ·⎝⎛⎭⎫1x k ＝C k 6x 6－2k ，当6－2k ＝0，即当k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.3．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.4．(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( )A ．C m nB ．C m ＋1n C ．C m －1nD ．(－1)m －1C m －1n 答案 D解析 (x －y )n 二项展开式第m 项的通项公式为T m ＝C m －1n (－y )m －1x n －m ＋1， 所以系数为C m －1n (－1)m －1. 5．已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 B解析 由二项式定理知，a n ＝C n －110(n ＝1,2,3，…，11)． 又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a 6＝C 510，则k 的最大值为6.6．已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212答案 A解析 由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A. 7．在x 2(1＋x )6的展开式中，含x 4项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．10答案 C解析 因为(1＋x )6的展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 6x k ，所以x 2(1＋x )6的展开式中含x 4的项为C 26x 4＝15x 4，所以系数为15.8．(2017·广州测试)使⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 3n (n ∈N *)展开式中含有常数项的n 的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 T k ＋1＝C k n (x 2)n －k ⎝⎛⎭⎫12x 3k ＝12k C k n x 2n －5k ，令2n －5k ＝0，得n ＝52k ，又n ∈N *， 所以n 的最小值是5.9．(2017·邵阳模拟)(1＋3x )n 的展开式中x 5与x 6的系数相等，则x 4的二项式系数为( )A ．21B ．35C ．45D ．28答案 B解析 ∵T k ＋1＝C k n (3x )k ＝3k C k n x k ，由已知得35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n ，∴n ＝7，因此，x 4的二项式系数为C 47＝35，故选B.10．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20B ．－15C ．15D ．20答案 C 解析 设展开式中的常数项是第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 6·(4x )6－k ·(－2－x )k ＝C k 6·(－1)k ·212x －2kx ·2－kx ＝C k 6·(－1)k ·212x －3kx ，∵12x －3kx ＝0恒成立，∴k ＝4，∴T 5＝C 46·(－1)4＝15. 11．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4项的系数为15，则a 的值为( )A ．－4 B.52 C ．4 D.72答案 C解析 ∵(x ＋1)4(ax －1)＝(x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1)(ax －1)，∴x 4项的系数为4a －1＝15，∴a ＝4.12．(2018·漯河质检)若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n 等于( )A.34(3n －1) B.34(3n －2) C.32(3n －2) D.32(3n －1) 答案 D解析 在展开式中，令x ＝2，得3＋32＋33＋ (3)＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ＝3(1－3n )1－3 ＝32(3n －1)．13．若⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( ) A ．－40B ．－20C ．20D ．40答案 D解析 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.∴⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的通项为T k ＋1＝C k 5·(2x )5－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k ·25－k ·C k 5·x 5－2k . 令5－2k ＝1，得k ＝2.令5－2k ＝－1，得k ＝3.∴展开式的常数项为(－1)2×23·C 25＋(－1)3·22·C 35＝80－40＝40. 14．(2018·珠海模拟)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)等于( )A ．45B ．60C ．120D ．210答案 C解析 因为f (m ，n )＝C m 6C n 4，所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.二、填空题15．(x y －y x )4的展开式中，x 3y 3项的系数为________．答案 6解析 二项展开式的通项是T k ＋1＝C k 4(x y )4－k ·(－y x )k ＝(－1)k C k 44222kkx y -+，令4－k 2＝2＋k 2＝3，解得k ＝2，故展开式中x 3y 3的系数为(－1)2C 24＝6.16.⎝⎛⎭⎫xy －1x 6展开式中不含x 的项的系数为________．(用数字作答) 答案 －20解析 ⎝⎛⎭⎫xy －1x 6展开式中不含x 的项为C 36(xy )3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－20y 3，故不含x 的项的系数为－20. 17．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.(用数字作答)答案 10解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )5－k ·(－1)k ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.18．(2017·广州五校联考)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则log 2a ＋log 2b ＝________.答案 0解析 ⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6a 6－k ·b k x 12－3k ，令12－3k ＝3，则k ＝3，∴⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为C 36a 3b 3＝20，∴ab ＝1，∴log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )＝log 21＝0.19．(2017·抚顺一中月考)在⎝⎛⎭⎫x ＋a x 6(a >0)的展开式中，常数项的系数是60，则ʃa 0sin x d x 的值为________．答案 1－cos 2解析 由二项展开式的通项公式可知，T k ＋1＝C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎫a x k ＝a k C k 6x ， 令3－32k ＝0，得k ＝2，则T 3＝a 2C 26＝60， 所以a ＝2，所以ʃa 0sin x d x ＝－cos x |20＝1－cos 2.20．(2018·河南南阳模拟)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________.(用数字作答)答案 364解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12. 令x ＝0，得a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364. 21.⎝⎛⎭⎫2x ＋3y －49的展开式中，不含x 的各项系数之和为________． 答案 －1解析 ⎝⎛⎭⎫2x ＋3y －49的展开式中不含x 的项为 C 99(2x )0⎝⎛⎭⎫3y －49＝⎝⎛⎭⎫3y －49，令y ＝1，得各项系数之和为(3－4)9＝－1.三、解答题22．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项的系数成等差数列，求： (1)展开式中所有x 的有理项；332k -(2)展开式中系数最大的项．解 易求得展开式前三项的系数为1，12C 1n ，14C 2n . 由题意得2×12C 1n ＝1＋14C 2n ，可得n ＝8. (1)设展开式中的有理项为T k ＋1，由T k ＋1＝C k 8(x )8－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫124x k ＝⎝⎛⎭⎫12k C k 81634k x -， ∴k 为4的倍数，又0≤k ≤8，∴k ＝0,4,8.故有理项为T 1＝⎝⎛⎭⎫120C 0816304x-⨯＝x 4， T 5＝⎝⎛⎭⎫124C 4816344x-⨯＝358x ， T 9＝⎝⎛⎭⎫128C 8816384x -⨯＝1256x 2. (2)设展开式中T k ＋1项的系数最大，则 ⎝⎛⎭⎫12k C k 8≥⎝⎛⎭⎫12k ＋1C k ＋18且⎝⎛⎭⎫12k C k 8≥⎝⎛⎭⎫12k －1C k －18，可得k ＝2或k ＝3. 故展开式中系数最大的项为T 3＝⎝⎛⎭⎫122C 2816324x-⨯＝527x ， T 4＝⎝⎛⎭⎫123C 3816334x-⨯＝747x .。
二项式定理讲义+练习(教师版)
二项式定理讲义与练习一、知识点梳理知识点一：二项式定理二项式定理：，其中： ①公式右边的多项式叫做的二项展开式； ②展开式中各项的系数叫做二项式系数；③式中的第r+1项叫做二项展开式的通项，用表示；二项展开式的通项公式为.知识点二：二项展开式的特性①项数：有n+1项；②次数：每一项的次数都是n 次，即二项展开式为齐次式；③各项组成：从左到右，字母a 降幂排列，从n 到0；字母b 升幂排列，从0到n ； ④系数：依次为.知识点三：二项式系数的性质（观察杨辉三角）①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等 ②单调性：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.③二项式系数之和为，即其中，二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和， 即二、典型例题1、“n b a )(+展开式例1．求4)13(xx +的展开式；解：原式=4)13(xx +=24)13(x x +=])3()3()3()3([144342243144042C CCCCx x x x x ++++=54112848122++++xx x x 【练习1】求4)13(xx -的展开式.【练习2】数列求和：1122166...6--++++=n n n n n n C C C S .（公式逆用）2.求展开式中的指定项（指定特定次项，常数项次数为0，更具体见本讲义6,7）例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1） 求n ； （2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项. 解：（1）通项为2333111()()22n r rn rrr r r r nn T C xx C x---+=-=- 因为第6项为常数项，所以r=5时，有23n r-=0，即n=10. （2）令1023r -=2，得2r =所以所求的系数为2210145()24C -=. （3）根据通项公式，由题意1023010,rZ r r Z-⎧∈⎪⎨⎪≤≤∈⎩ 令102()3rk k Z -=∈，则352k r =-，故k 可以取2,0,2-，即r 可以取2，5，8. 所以第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为22255882101010111(),(),()222C x C C x ----.另注：如果说展开式中的第k 项，则是严格按照课本30页通项公式来排列，不能交换，例如课本31页例2.3.二项展开式中的系数与二项式系数的区别（更具体见本讲义8）例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)n x -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nx x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项（先看例9）.提示：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．（2） 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得． 解：由题意知，222992nn -=，所以232n =，解得n=5.（1） (1)由二项式系数性质，101(2)x x-的展开式中第6项的二项式系数最大.5556101(2)()8064T C x x=-=-.（2） 设第1r +项的系数的绝对值最大，110rr T C +=10(2)r x -10102101()(1)2r r r r r C x x---=-101111010101910102222r r r r r r r r C CC C----+-⎧≥∴⎨≥⎩得110101101022r r r r C C C C -+⎧≥∴⎨≥⎩，即1122(1)10r r r r -≥⎧⎨+≥-⎩，解得81133r ≤≤.,3r Z r ∈∴=，故系数的绝对值最大的项是第4项，3744410215360T C x x =-=-.【练习】已知*22)()nn N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1. (1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个．．或两个．．．以上．．二项式乘积．．．．．或和．．的展开式指定项的系数 例4．（1）72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ； 解：在展开式中，3x 的来源有：① 第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C； ② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008。
第03讲 二项式定理 (精讲)(教师版)
0,1,2,n ），(a n n a C b a 10+n n a C b 211+-0,1,2,n ),项的系数是指该项中除变量外的常数部分0,1,2,n )叫做二项展开式的通项通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：n n a x ++，256n a +=+，0122C 2C 2C 2C n n n n n n +++++=C nn ++=（C ．151rrx ⎛⎫- ⎪⎝⎭=；12rrx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭已知正整数8n ≥，若),2,8，(n n a x n ++12nn na -++的值88a x ++，(821a +⋅⋅⋅+=-0388a x ++，求导得：788a x ++，87802a ++= 同类题型归类练上海中学东校高二期末）（1）设200200a x ++①展开式中各二项式系数的和； 200a ++的值．1）①20021）①展开式中各二项式系数的和为得：0200a a a +++=得：2000(1)a =-200a ++=20222022a x ++2022a ++；52021a +；22022a a ++；2022a ++2022132-(3)，得012022a a a a ++++=，得0132021a a a a -+-+-+)52021a +=5202113a -+=. ）相当于求展开式2022的系数和，令202220223a ++=.）展开式中二项式系数和是0120222022202220222022C C C C +++=展开式中偶数项的二项系数和是5202120222022CC++=))20222022012022R a a x a x ++++∈两边分别求导得：()220211222022R a a x a x =+++∈，得1222022a a a ++++重庆长寿·高二期末）二项式的展开式()6中，中间项的系数为展开式的中间项为C T =88a x ++8a ++；68a a +. (1)255(2)32895 ，则01a =. 018(1a a a +++=()8801802a a a a a ++=+++-=-1，则0123456a a a a a a a -+-+-+2C n n n ++=C nn ++=D ．16)2243n+==5，所以()151011=--()()()()011415015114141515151515C 101C 101C 101C 11=⨯⨯-+⨯⨯-+⋅⋅⋅+⨯⨯-+⨯-- ()()()011401511414151515C 101C 101C 1012=⨯⨯-+⨯⨯-+⋅⋅⋅+⨯⨯--，所以S 除以10的余数为8． 故选：D ．同类题型归类练1．（2022·山东·临沭县教育和体育局高二期中）1223310101010101010180808080(1)8080k k kC C C C -+-++-++除以78的余数是（ ） A ．1- B ．1 C ．87- D ．87【答案】B【详解】因为()()101223310101010101010108180C 80C 80C 10C 90C 18079kk k -+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+=-=所以()1010012210101010101079178C C 8C 8C 7787=+=+++⋅⋅⋅+，除了第一项之外，其余每一项都含有78的倍数，所以原式除以78的余数为1. 故选:B ．2．（2022·北京大兴·高二期末）化简1221010101010C 2C 2C 2++⋅⋅⋅+等于（ ）A ．1021-B ．1031-C ．1021+D ．1031+【答案】B【详解】由0112210101010100001011C 2+C 2C 2..(12).3C 2=+=+++， 所以112210*********0C 2C 2...3C 21+=++-.故选：B3．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+，012345515253545556C C C C C C a a a a a a +++++的值为（ ） A ．761 B ．697 C ．518D ．454【答案】D【详解】解：因为()112221n n n a a a ++=+=+，又11a =，所以{}1n a +以2为首项，2为公比的等比数列，所以11222n nn a -+=⨯=，所以21n n a =-，则012345515253545556C C C C C C a a a a a a +++++()01223344556012345555555555555C 2C 2C 2C 2C 2C 2C C C C C C =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-+++++ 又01223344556555555C 2C 2C 2C 2C 2C 2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()0011223344555555552C 2C 2C 2C 2C 2C 2=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5222()2n rr r r rn C x x -=，102222n n x-，其系数为222n ，221·2n n nC---=，其系数为222n n nC --，2242221224n n n --==，所以6n =，所以展开式中二项式系数最大的项为36，即为展开式的第42022·山西师范大学实验中学高二阶段练习）在(1(n n a x ++255n a ++=D ．n n a x ++，2n a ++=的展开式中，通项为：r T +， 则常数项对应的系数为：0a ，即01a =， 21255n n a ++=-=，解得：8=，展开式中二项式系数最大为：则二项式系数最大的项为：。
新高考专用备战2024年高考数学易错题专题14二项式定理复数教师版
专题14二项式定理、复数易错点一：忽略了二项式中的负号而致错（（a-b）n 化解问题）Ⅰ：二项式定理一般地，对于任意正整数n ，都有：011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做n b a )( 的二项展开式．式中的r n r r n C a b 做二项展开式的通项，用1r T 表示，即通项为展开式的第1r 项：1r n r r r n T C a b ，其中的系数r n C （r =0，1，2，…，n ）叫做二项式系数，Ⅱ：二项式()n a b 的展开式的特点：①项数：共有1n 项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第1r 项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；④项的系数：二项式系数依次是012r n n n n n nC C C C C ，，，，，，，项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）．Ⅲ：两个常用的二项展开式：①011()(1)(1)n n n r r n r r n n nn n n n a b C a C a b C a b C b （*N n ）②122(1)1n r r nn n n x C x C x C x xⅣ：二项展开式的通项公式二项展开式的通项：1r n r rr n T C a b0,1,2,3,,r n 公式特点：①它表示二项展开式的第1r 项，该项的二项式系数是r n C ；②字母b 的次数和组合数的上标相同；③a 与b 的次数之和为n ．注意：①二项式()n a b 的二项展开式的第r +1项rn rr n C ab 和()n b a 的二项展开式的第r +1项r n r r n C b a 是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．②通项是针对在()n a b 这个标准形式下而言的，如()n a b 的二项展开式的通项是1(1)r r n r rr n T C a b （只需把b 看成b 代入二项式定理）．易错提醒：在二项式定理()n a b 的问题要注意b 的系数为1 ，在展开求解时不要忽略.例、已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则 a （）B．C．6D．6错解：552155CC rrr rr r r T a x，令1r ，可得530a ，∴6a ．错因分析：二项式5，忽略了负号而出现了错解．正解：D5215C 1r rrrr T a x，令1r ，可得530a ，∴6a ．变式1：在5223x x的展开式中，x 的系数是．【详解】二项式5223x x展开式的通项为 5251031552C 3C 32rr r r r rr r T x xx （其中05r 且N r ），令1031r ，解得3r ，所以 33245C 32720T x x ，所以展开式中x 的系数是720 .故答案为：720 变式2：621x x展开式的常数项为.【详解】展开式的通项公式为66316621C (1)C kkkk k kk T x x x，令630k ，解得2k ，所以常数项为236C 15T ，故答案为：15.变式3：612x x的展开式中4x 的系数为.【详解】设展开式中的第1r 项含有4x 项，即6662661C 212C rrr rr r r x x x，令624r ，解得1r ，即 1515144661C 22C 192x x xx，所以展开式中4x 的系数为192 .故答案为：1921．712x x的二项式展开式中x 的系数为（）A．560B．35C．-35D．-560【答案】D【分析】712x x中利用二项式定理可求得x 的系数，从而求解.【详解】由题意知712x x 的展开式为 77721771C 21C 2rr r r r r rr T x x x，令721r ，得3r ，所以x 的系数为 337371C 2560 ，故D 项正确.故选：D.2．若*31N nx n x的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则231nx x 的展开式中的常数项为（）A．6B．8C．28D．56【答案】C【分析】根据31n x x 的展开式中所有项的二项式系数之和求出n 的值，从而写出231nx x的展开式的通项公式，再令x 的指数为0，即可求解常数项．【详解】由*31N nx n x的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得216n ，所以4n ，则二项式831x x的展开式的通项公式为848331881C C rr rrrr T x x x（08r 且N r ），令8403r，解得2r ，易错点二：三项式转化不合理导致计算麻烦失误（三项展开式的问题）求三项展开式式中某些特定项的系数的方法第一步：通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解第二步：两次利用二项式定理的通项公式求解第三步：由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量易错提醒：对于三项式的展开问题，一般采取转化为二项式再展开的办法进行求解，但在转化为二项式的时候，又有不同的处理策略：一是如果三项式能够化为完全平方的形式，或者能够进行因式分解，则可通过对分解出来的两个二项展开式分别进行分析，进而解决问题（如本例中的解法二）；二是不能化为完全平方的形式，也不能进行因式分解时，可直接将三项式加括号变为二项式，套用通项公式展开后对其中的二项式再利用通项展开并进行分析求解，但要结合要求解的问题进行合理的变形，以利于求解.例、 5232x x 的展开式中，x 的一次项的系数为（）A．120B．240C．320D．480易错分析：本题易出现的错误是盲目套用解决三项式展开的一般方法（转化为二项式处理：5232x x），而不针对要求解的问题进行合理的变通，导致运算繁杂并出现错误．正解：解法一由于55223223x x x x，展开式的通项为5215C 23rr rr T x x ，0≤r≤5，当且仅当r＝1时，展开式才有x 的一次项，此时 412125C 23r T T x x ．所以展开式中x 的一次项为14454C C 23x ，它的系数为14454C C 23240 ．故选B．解法二由于 55523212x x x x ，所以展开式中x 的一次项为4555445555C C 2C C 2240x x x ．故x 的一次项的系数为240．故选B．变式1：在 523a b c 的展开式中，含22a b c 的系数为.【详解】把 523a b c 的展开式看成是5个因式(23)a b c 的乘积形式，展开式中，含22a b c 项的系数可以按如下步骤得到：第一步，从5个因式中任选2个因式，这2个因式取a ，有25C 种取法；第二步，从剩余的3个因式中任选2个因式，都取2b ，有23C 种取法；第三步，把剩余的1个因式中取3c ，有11C 种取法；根据分步相乘原理，得；含22a b c 项的系数是22211531C 2C 3C 360故答案为：360.变式2： 521x y 展开式中24x y 的系数为（用数字作答）．【详解】由于 521x y 表示5个因式21x y 的乘积，故其中有2个因式取2y ，2个因式取x ，剩余的一个因式取1 ，可得含24x y 的项，故展开式中24x y 的系数为 22253C C 0(1)13 ，故答案为：30 ．变式3：在5(2)x y z 的展开式中，形如3(,)m n x y z m n N 的所有项系数之和是．【详解】 5522x y z x y z 展开式的通项为515C 2rrrr T x y z ．令53r ，得2r ．令1y z ，得所求系数之和为2325C 22320 ．故答案为：3201．811x 的展开式中的常数项为（）Ⅰ：二项式展开式中的最值问题1.二项式系数的性质①每一行两端都是1，即0n n n C C ；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即11m m m n n n C C C ．②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即m n m n nC C ．③二项式系数和令1a b ，则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ，变形式1221r n n n n n n C C C C ．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令11a b ，，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C ，从而得到：0242132111222r r nn nn n n n n n C C C C C C C ．⑤最大值：如果二项式的幂指数n 是偶数，则中间一项12n T 的二项式系数2nnC 最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，则中间两项12n T ，112n T 的二项式系数12n nC，12n nC相等且最大．2.系数的最大项求()n a bx 展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为121n A A A ，，，，设第1r 项系数最大，应有112r rr r A A A A ，从而解出r 来．Ⅱ：二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：（1）设 011222nn n n r n r r n n n nn n n a b C a C a b C a b C a b C b ，二项式定理是一个恒等式，即对a ，b 的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取a ，b 的值．①令1a b ，可得：012n nn n nC C C ②令11a b ，，可得： 012301nn n n n n n C C C C C ，即：02131n n n n n n n n C C C C C C （假设n 为偶数），再结合①可得：0213112n n n n n n n n n C C C C C C ．（2）若121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ，则①常数项：令0x ，得0(0)a f ．②各项系数和：令1x ，得0121(1)n n f a a a a a ．注意：常见的赋值为令0x ，1x 或1x ，然后通过加减运算即可得到相应的结果．易错提醒：二项式定理()n a b 的问题要注意：项的系数与二项式系数的区别与联系（求所有项的系数只要令字母值为1）.例、设(n x 的展开式中，第三项的系数为36，试求含2x 的项．错解：第三项的系数为2C n ，依题意得2C 36n ，化简得2720n n ，解此方程并舍去不合题意的负值，得n＝9，设9(x 的展开式中2x 项为第r＋1项，则919C (r r r r T x ，由9－r＝2，得r＝7，故9(x 的展开式中含2x的项为727289C (T x ．错因分析：错解将“二项展开式中的第三项的二项式系数”当作了“第三项的系数”，解答显然是错误的．正解：(n x的展开式的第三项为2223C (n n T x，∴22C (36n ，即2120n n ，解此方程并舍去不合题意的负值，得n＝4，设4(x 的展开式中2x 项为第r＋1项，则414C (r r r r T x ，由4－r ＝2，得r＝2，即4(x 的展开式中2x项为22224C (36x x．变式1：求5的展开式中第3项的系数和二项式系数．【详解】二项式5展开式通项公式为515r r rr T C ，第三项为：53225262352391090T C x x x，所以第三项系数为90，第3项的二项式系数为25C 10 ．变式2：计算 92x y 的展开式中第5项的系数和二项式系数．【详解】因为 92x y 的展开通项为 949199C 22C 09,N kk k k k kk T x y x y k k ，所以 92x y 的展开式中第5项是445454592C 2016T x y x y ，故所求第5项的系数是2016，第5项的二项式系数是49C 126 ．变式3：求6的展开式中常数项的值和对应的二项式系数．【详解】因为6611222x x，所以展开式中的第1k 项为611666322221666C 2C 2C 2kkk kk k k k k k k T x x x x．要得到常数项，必须有30k -=，从而有3k ，因此常数项是第4项，且3633346C 2160T x ．从而可知常数项的值为160，其对应的二项式系数为36C 20 ．1．在二项式612x 的展开式中，二项式系数最大的是（）综上， 12nx展开式中系数最大的项为910366080T x ，二项式系数最大的项为67109824T x 与78219648T x .易错点四：混淆虚部定义致错（求复数虚部）Ⅰ：复数的概念①复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，a ，b 分别是它的实部和虚部，i 叫虚数单位，满足21i （1）当且仅当b ＝0时，a ＋b i 为实数；（2）当b ≠0时，a ＋b i 为虚数；（3）当a ＝0且b ≠0时，a ＋b i 为纯虚数．其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．②两个复数,(,,,)a bi c di a b c d R 相等a cb d（两复数对应同一点）③复数的模：复数(,)a bi a b R 的模，其计算公式||||z a bi Ⅱ：复数的加、减、乘、除的运算法则1、复数运算（1）()()()()i a bi c di a c b d （2）()()()()a bi c di ac bd ad bc i 22222()()z z ||||)2a bi a bi a b z z z z z a(注意其中||z z 的模；z a bi 是z a bi 的共轭复数(,)a b R ．（3）2222()()()()(0)()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c d c di c di c di c d．实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．2、复数的几何意义（1）复数(,)z a bi a b R 对应平面内的点(,)z a b ；（2）复数(,)z a bi a b R 对应平面向量OZ ；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．（4）复数(,)z a bi a b R 的模||z 表示复平面内的点(,)z a b 到原点的距离．易错提醒：1、求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋b i(a，b∈R)，则该复数的③z是纯虚数⇔z2＜0例、复数113i的虚部是（）A.110iB.110C.310 D.310i【错解】D【错因分析】误认为复数的虚部为b i.【正解】因为1131313(13)(13)1010iz ii i i，所以复数113zi的虚部为310.故选：D.变式1：已知复数1i2iz（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．35-B．3i5C．35D．35i【详解】因为1i2i1i13i13i2i2i2i555z，即13i55z ，所以z的共轭复数为13i55z ，其虚部为35.故选：C.变式2：已知i是虚数单位，则复数12i1i的虚部是（）A．12B．12C．32D．32【详解】12i1i12i3i31i1i1i1i222，所以复数12i1i的虚部为12，故选：A.变式3：已知复数 2i 1i z ，则复数z 的虚部为，z ．【详解】由题意 22i 1i 22i i i 3i z ，所以复数z 的虚部为1，z.1．5(2i)(12i)i的虚部为（）复数的模：复数(,)a bi a b R 的模，其计算公式||||z a bi 易错提醒：复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离.例、若z C ，且22i 1z ，则22i z 的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【错解】设 i ,z a b a b R ，因此有 22i 1a b ．即 22221a b 又22i z因为a R ，所以最小值为1.【错因分析】利用复数代数形式令i z a b ，得 22221a b ，而22i z ．此时会因不会确定a 的范围导致出错；若用数形结合法．错在一般是看不出22i 1z 表示的几何意义．【正解】方法一：设 i ,z a b a b R ，因此有 22i 1a b ．即 22221a b 又22i z而21a 即31a ，∴当1a 时，22i z 取最小值3．方法二：（利用数形结合法）22i 1z 表示圆心在（-2，2），半径为1的圆．而22i z 表示圆上点与点（2，2）的距离，其最小值为3．变式1：已知复数z 满足1i z ，z 为z 的共轭复数，则z z 的最大值为.【详解】设 i ,z a b a b R ，则1i z 的几何意义为z 在复平面内所对应的点 ,a b 到()1,1-的距离为，所以z 所对应的点 ,a b 的轨迹是以()1,1-为圆心，而22z z a b 可看作该圆上的点 ,a b 到原点的距离的平方，所以2max 22218z z .故答案为：18.变式2：已知i 为虚数单位，且2i 1z ，则z 的最大值是.【详解】设 i ,z a b a b R ，由2i 1z 的几何意义知：z 对应的点 ,a b 的轨迹是以 0,2为圆心，1为半径的圆，即 2221a b ，z ∵的几何意义为点 ,a b 到坐标原点 0,0的距离，22max 002013z.故答案为：3.变式3：已知复数z 满足|2|2|2i |z z ，则||z 的最大值为．【详解】设复数i(,R)z x y x y ，由|2|2|2i |z z ，得2222(2)2(2)x y x y ，整理得224164033x y x y，即222832()()339x y ，因此复数z 在复平面内对应点(,)x y 在以点28(,)33C 为圆心，423为半径的圆，O 为原点，所以22max 42284221742||||()()33333z OC.故答案为：2174231．设复数z 满足|2i |3z z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（）A．22(2)3x y B．22(2)3x y C．22(2)3x y D．22(2)3x y4．若复数z 满足3i 1z A．1B．2【答案】C【分析】设i z a b ,R a b 简，即可得出答案.z8．已知复数z满足3iA．1B．3【答案】A【分析】设复数z在复平面内对应的点为z z ，得方法二：由11则复数1z对应点1Z的集合是以10．已知复数z满足3z【答案】433/433【分析】根据复数模公式，复数的几何意义及椭圆的定义可得复数结合条件即可求解．根据复数模的几何意义可知，z 的最小值是点A与 0,1i故答案为：21 .。
高中数学人教A版选修二项式定理各种题型归纳PPT精品课件
考点
考纲要求
考查角度
二项展 开式的 通项
会用二项式定理解决与二项展开 式有关的简单问题
利用通项求展开式的一些特殊项， 如：求指定项或已知某项求指数n 等
二项式 系数与 展开式 的系数
会用二项式定理求某项的二项式 系数或展开式系数；会用赋值法 求系数之和
考查“项的系数”与“二项式系数 ”的区别；考查赋值法求部分系数 的和
注意(1)二项式系数与系数的区别.
(2) Tr1 Cnranrbr表示第 r 项.
题型3 二项式定理的逆用 例6 计算并求值
(1) 1 2Cn1 4Cn2 2nCnn
(2) (x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2
5(x 1)
解(1):将原式变形
原式 Cn01n Cn11n1 2 Cn21n2 22 Cnn 2n
解:
Tr1
C9r
(x
1 2
)9r
(x
1 3
)r
(1)r
C9r
x
27r 6
令 27 r Z即4 3 r Z(r 0,1 9)
6
6
r 3或r ห้องสมุดไป่ตู้9
r 3
27 r 4 6
T4 (1)3C93x4 84x4
原r式 9的有27理6项r 为 3:T4T10
(1)9 C99x3 x3
84x4 T10 x3
2．题型以选择题、填空题为主，属于中档题和容易题． 3．命题切入点：以考查基本概念、基础知识为目的，以考 查通项公式和二项式系数的和为重要考点命题．
复习旧知
二项式定理
a b n Cn0an Cn1an-1b Cn2an-2b2
高考数学一轮专项复习讲义-二项式定理(北师大版)
§10.2二项式定理课标要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识梳理1．二项式定理二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n(n ∈N +)二项展开式的通项T k ＋1＝C k n an －k b k，它表示展开式的第k ＋1项二项式系数C k n (k ＝0,1，…，n )2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：①当k <n ＋12时，C k n 随k 的增加而增大；由对称性知，当k >n ＋12时，C k n 随k 的增加而减小．②当n 是偶数时，中间的一项2C nn 取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项12C n n -与12Cn n+相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a ＋b )n 的展开式的各二项式系数的和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.常用结论1．C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.2．C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n .自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k 是(a ＋b )n 的展开式中的第k 项．(×)(2)(a ＋b )n 的展开式中每一项的二项式系数与a ，b 无关．(√)(3)通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k 中的a 和b 不能互换．(√)(4)二项展开式中系数的最大项就是二项式系数的最大项．(×)2的展开式中x 2的系数等于()A ．45B ．20C ．－30D ．－90答案A解析因为展开式的通项为T k ＋1＝210(1)C k kk x -·x －(10－k )＝310210(1)C kk x-+-，令－10＋32k ＝2，得k ＝8，所以展开式中x 2的系数为(－1)8×C 810＝45.3．C 02023＋C 12023＋C 22023＋…＋C 20232023C 02024＋C 22024＋C 42024＋…＋C 20242024的值为()A ．1B ．2C ．2023D ．2023×2024答案A解析原式＝2202322024－1＝2202322023＝1.4．在二项式2的展开式中二项式系数之和是32，则展开式中各项系数的和为________．答案－1解析因为二项式系数之和为2n ＝32，所以n ＝5.令x ＝1，可得各项系数的和为(1－2)5＝－1.题型一通项公式的应用命题点1形如(a ＋b )n (n ∈N +)的展开式例1(1)(x －2y )8的展开式中x 6y 2的系数为________(用数字作答)．答案112解析因为(x －2y )8的展开式中含x 6y 2的项为C 28x 6(－2y )2＝112x 6y 2，所以(x －2y )8的展开式中x 6y 2的系数为112.(2)已知的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝______.答案±1解析的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5x5－＝3525()C k k k a x --.由5－32k ＝5，得k ＝0，由5－32＝2，得k ＝2，所以A ＝C 05×(－a )0＝1，B ＝C 25×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1.命题点2形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N +)的展开式例2(1)(2022·新高考全国Ⅰx ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________(用数字作答)．答案－28解析(x ＋y )8展开式的通项为T k ＋1＝C k 8x 8－k y k ，k ＝0,1，…，7,8.令k ＝6，得T 6＋1＝C 68x 2y 6；令k＝5，得T5＋1＝C58x3y5x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C68－C58＝－28.(2)若(x2＋a的展开式中x8的系数为9，则a的值为________．答案1解析因为(x2＋a＝x＋a，＝C k8x8－＝C k8x8－2k，且展开式的通项为T k＋1当8－2k＝6时，k＝1，此时x6的系数为C18.当8－2k＝8时，k＝0，此时x8的系数为C08.所以展开式中x8的系数为C18＋a C08＝8＋a＝9，解得a＝1.破解三项展开式问题求三项展开式中某些指定的项，常常利用这几种方法：(1)两项看成一项，利用二项式定理展开．(2)因式分解，转化为两个二项式再求解．(3)看作多个因式的乘积，用组合的知识解答．典例(1)(3x2＋2x＋1)10的展开式中，含x2的项的系数为________．答案210解析因为(3x2＋2x＋1)10＝[3x2＋(2x＋1)]10＝C010(3x2)10＋C110(3x2)9(2x＋1)＋C210(3x2)8(2x＋1)2＋…＋C910(3x2)1(2x＋1)9＋C1010(2x＋1)10，所以含有x2的项为C9103x2·C9919＋C1010C810(2x)218＝210x2.所以(3x2＋2x＋1)10的展开式中，含x2的项的系数为210.(2)(1＋2x－3x2)5的展开式中含x5的项的系数为________．答案92解析将(1＋2x－3x2)5看作5个因式1＋2x－3x2的乘积，这5个因式乘积的展开式中形成x5的来源有：①5个因式各出一个2x，这样的方式有C55种，对应的项为C55(2x)5；②有3个因式各出一个2x，有1个因式出一个－3x2，剩余1个因式出一个1，这样的方式有C35C12种，对应的项为C35(2x)3C12(－3x2)；③有1个因式出一个2x,2个因式各出一个－3x2，剩余2个因式各出一个1，这样的方式有C15C24种，对应的项为C15×2x×C24×(－3x2)2；所以含x5的项的系数为C55×25＋C35×23×C12×(－3)＋C15×2×C24×(－3)2＝92.思维升华(1)求二项展开式中的问题，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．跟踪训练1(1)(多选)已知2的展开式中第3项与第5项的系数之比为3∶14，则下列结论成立的是()A ．n ＝10B ．展开式中的常数项为45C ．含x 5的项的系数为210D ．展开式中的有理项有5项答案ABC解析二项展开式的通项为T k ＋1＝C k n x2n －2k2(1)k kx--＝522(1)C k n kknx--，由于第3项与第5项的系数之比为3∶14，则C 2nC 4n ＝314，故n (n －1)1×2n (n －1)(n －2)(n －3)1×2×3×4＝314，得n 2－5n －50＝0，解得n ＝10(负值舍去)，故A 正确；则T k ＋1＝520210(1)C k kk x--，令20－5k2＝0，解得k ＝8，则展开式中的常数项为(－1)8C 810＝45，故B 正确；令20－5k2＝5，解得k ＝6，则含x 5的项的系数为(－1)6C 610＝210，故C 正确；令20－5k2∈Z ，则k 为偶数，此时k ＝0,2,4,6,8,10，故有6项有理项，故D 错误．(2)(2024·攀枝花模拟)(1－ax 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为12，则a ＝________.答案－2解析由(1＋x )4的展开式通项为T k ＋1＝C k 4x k，所以含x 3的项为C 34x 3＋(－ax 2)C 14x ＝(C 34－a C 14)x 3，故C 34－a C 14＝4－4a ＝12，可得a ＝－2.题型二二项式系数与项的系数的问题命题点1二项式系数和与系数和例3(1)(多选)已知2n ＋1的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1∶8，则()A ．n ＝4B ．展开式中所有项的系数和为1C ．展开式中二项式系数和为24D ．展开式中不含常数项答案AD解析由题意得|C 12n ＋1×(－2)C 22n ＋1×(－2)2|＝18，则2(2n ＋1)4×(2n ＋1)×2n 2！＝18，解得n ＝4，故A 正确；所以2n ＋12，令x ＝1，则所有项的系数之和为－1，故B 错误；所以2的二项式系数和为29，故C 错误；2的通项公式为T k ＋1＝C －k(－2x )k ＝C k 9(－2)k x2k －9，若T k ＋1为常数项，则有2k －9＝0，解得k ＝92∉N ，所以不存在常数项，故D 正确．(2)(多选)(2023·重庆模拟)已知(1－2x )2024＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2023x 2023＋a 2024x 2024，则()A ．展开式中二项式系数最大项为第1012项B ．展开式中所有项的系数和为1C ．a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＋a 202422024＝－1D ．a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2023a 2023＋2024a 2024＝4048答案BCD解析由二项展开式中的二项式系数性质可知二项式系数最大为C 10122024，易知应为第1013项，故A 错误；令x ＝1，可得(1－2)2024＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2023＋a 2024＝1，即展开式中所有项的系数和为1，故B 正确；令x ＝0，可得a 0＝1，令x ＝12，可得－2024＝a0＋a 12＋a 222＋…＋a 202322023＋a 202422024＝0，所以a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＋a 202422024＝－1，故C 正确；将等式(1－2x )2024＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2023x 2023＋a 2024x 2024两边同时求导可得，2024×(－2)(1－2x )2023＝a 1＋2a 2x 1＋…＋2023a 2023x 2022＋2024a 2024x 2023，再令x ＝1，可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2023a 2023＋2024a 2024＝4048，故D 正确．命题点2系数与二项式系数的最值例4已知x 的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是()A ．二项展开式中各项系数之和为37B ．二项展开式中二项式系数最大的项为3290x C ．二项展开式中无常数项D ．二项展开式中系数最大的项为240x 3答案D解析因为x 的二项展开式中二项式系数之和为64，所以2n ＝64，则n ＝6，所以二项式为x ，则二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(2x )6－＝36626C 2kk kx --，令x ＝1，可得二项展开式中各项系数之和为36，故A 错误；第4项的二项式系数最大，此时k ＝3，则二项展开式中二项式系数最大的项为T 4＝36336326C 2x-⨯-＝32160x ，故B 错误；令6－32k ＝0，则k ＝4，所以二项展开式中的常数项为36446426C 2x-⨯-＝60，故C 错误；令第k ＋1k 626－k ≥C k －1626－k ＋1，k 626－k ≥C k ＋1626－k －1，解得43≤k ≤73，因为k ∈N ，所以k ＝2.所以二项展开式中系数最大的项为T 3＝C 2624x 3＝240x 3，故D 正确．思维升华(1)赋值法的应用一般地，对于多项式(a ＋bx )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令g (x )＝(a ＋bx )n ，则(a ＋bx )n 的展开式中各项的系数和为g (1)，(a ＋bx )n 的展开式中奇数项的系数和为12[g (1)＋g (－1)]，(a ＋bx )n的展开式中偶数项的系数和为12[g (1)－g (－1)]．(2)二项展开式系数最大项的求法如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k k ≥A k －1，k ≥A k ＋1，从而解得k .跟踪训练2(1)已知(mx ＋1)n (n ∈N +，m ∈R )的展开式只有第5项的二项式系数最大，设(mx ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＝8，则a 2＋a 3＋…＋a n 等于()A ．63B ．64C ．247D ．255答案C解析因为展开式只有第5项的二项式系数最大，所以展开式共9项，所以n ＝8，因为a 1＝C 78·m ＝8，所以m ＝1，所以(x ＋1)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝28＝256，令x ＝0，得a 0＝1，所以a 2＋a 3＋…＋a n ＝256－8－1＝247.(2)(多选)若(3x －2)2025＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 2025x 2025(x ∈R )，则()A ．a 0＝22025B ．a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2024＝1－520252C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2025＝－52025－12D.a 13＋a 232＋a 333＋…＋a 202532025＝22025－1答案BD解析对于A ，当x ＝0时，a 0＝(－2)2025＝－22025，A 错误；对于B ，C ，当x ＝1时，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2025＝12025＝1，当x ＝－1时，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2024－a 2025＝－52025，所以a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2024＝1－520252，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2025＝52025＋12，所以B 正确，C 错误；对于D ，当x ＝13时，×13－025＝a 0＋a 13＋a 232＋…＋a 202532025，所以a13＋a232＋a333＋…＋a202532025＝(－1)2025－a0＝22025－1，D正确．题型三二项式定理的综合应用例5(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512025＋a能被13整除，则a等于()A．0B．1C．11D．12答案B解析因为a∈Z，且0≤a≤13，所以512025＋a＝(52－1)2025＋a＝C02025·522025－C12025·522024＋C22025·522023－…＋C20242025·52－C20252025＋a，因为512025＋a能被13整除，所以－C20252025＋a＝－1＋a能被13整除，又0≤a≤13，所以a＝1.(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是()A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34答案D解析 1.056＝(1＋0.05)6＝C06＋C16×0.05＋C26×0.052＋C36×0.053＋…＋C66×0.056＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…＋0.056≈1.34.思维升华二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.跟踪训练3(1)设n为奇数，那么11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是()A．－3B．2C．10D．11答案C解析11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1＝C0n·11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11＋C n n－2＝(11＋1)n－2＝12n－2＝(13－1)n－2＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13＋(－1)n·C n n－2，因为n为奇数，则上式＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13－3＝[C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13－13]＋10，所以11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是10.(2)利用二项式定理计算0.996，则其结果精确到0.001的近似值是()A．0.940B．0.941C．0.942D．0.943答案B解析0.996＝(1－0.01)6＝C06×1－C16×0.01＋C26×0.012－C36×0.013＋…＋C66×0.016＝1－0.06＋0.0015－0.00002＋…＋0.016≈0.941.课时精练一、单项选择题1．已知二项式的展开式中1x的系数是10，则实数a等于()A．－1B．1C．－2D．2答案B解析二项式的展开式为C k5·x5－k·(ax－1)k＝a k·C k5·x5－2k，令5－2k＝－1，解得k＝3，所以a3·C35＝10a3＝10，a＝1.2．若(1＋3x)2＋(1＋2x)3＋(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4等于()A．49B．56C．59D．64答案C解析令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋3)2＋(1＋2)3＋(1＋1)4＝59.3．(x＋2y)5(x－3y)的展开式中x3y3的系数为()A．－120B．－40C．80D．200答案B解析(x＋2y)5的展开式通项为T k＝C k5·x5－k·(2y)k＝C k5·2k·x5－k y k，＋1因为(x＋2y)5(x－3y)＝x(x＋2y)5－3y(x＋2y)5，＝C k5·2k·x6－k y k中，令6－k＝3可得k＝3，在xT k＋1＝C k5·2k·x5－k y k＋1中，令5－k＝3可得k＝2，在yT k＋1因此，展开式中x3y3的系数为C35·23－3C25·22＝－40.4．已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|等于()A．1B．243C．121D．122答案B解析令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.5．(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是()A．120B．－120C．60D．30答案A解析方法一由题意知(x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5，展开式的第k＋1项为C k5(x＋y)5－k(－2z)k，令k＝2，可得第3项为(－2)2C25(x＋y)3z2，(x＋y)3的展开式的第m＋1项为C m3x3－m y m，令m＝2，可得第3项为C23xy2，所以(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是(－2)2C25C23＝120.方法二(x＋y－2z)5相当于5个(x＋y－2z)相乘，含xy2z2的项则是其中1个(x＋y－2z)中取x，2个(x＋y－2z)中取y,2个(x＋y－2z)中取z，故系数为C15C24C22(－2)2＝120.6．多项式(x2＋1)(x＋1)(x＋2)(x＋3)的展开式中x3的系数为()A．6B．8C．12D．13答案C解析原式＝x2(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)，所以展开式中含x3的项包含(x＋1)(x＋2)(x＋3)中x项为1·2·x＋2·3·x＋1·3·x＝11x，和(x＋1)(x＋2)(x＋3)中x3的项为x3，这两项的系数和为11＋1＝12.二、多项选择题7．(2023·长春模拟)已知的展开式中的第三项的系数为45，则() A．n＝9B．展开式中所有项的系数和为1024C．二项式系数最大的项为中间项D．含x3的项是第7项答案BCD解析的展开式的第三项为T 3＝C －2(3x 2)2＝42234C n nxx -＝223212C n nx-，所以第三项的系数为C 2n ＝45，所以n ＝10，故A 错误；所以二项式为，令x ＝1得展开式中所有项的系数和为210＝1024，故B 正确；展开式中共有11项，则二项式系数最大的项为中间项，故C 正确；通项公式为T k ＋1＝C k －k(3x 2)k＝2103410C k k kxx -＝11301210C k k x-，令11k －3012＝3，解得k ＝6，所以含x 3的项是第7项，故D 正确．8.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13，….以下关于杨辉三角的猜想中正确的是()A ．由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想C m n ＝C n －mnB ．由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数之和”猜想C r n ＋1＝C r －1n ＋C r nC ．第9条斜线上各数之和为55D ．在第n (n ≥5)条斜线上，各数从左往右先增大后减小答案ABD解析根据二项式系数的性质，结合杨辉三角即可得C m n ＝C n －m n ，C r n ＋1＝C r －1n ＋C rn 成立，故A ，B 正确；第1条斜线上的数为C 00，第2条斜线上的数为C 01，第3条斜线上的数为C 02，C 11，第4条斜线上的数为C 03，C 12，第5条斜线上的数为C 04，C 13，C 22，第6条斜线上的数为C 05，C 14，C 23，第7条斜线上的数为C 06，C 15，C 24，C 33，…，由此，归纳得到，第2n (n ∈N +)条斜线上的数依次为C 02n －1，C 12n －2，C 22n －3，…，C n －1n ，第(2n ＋1)(n ∈N )条斜线上的数依次为C 02n ，C 12n －1，C 22n －2，…，C nn .所以第9条斜线上各数为C 08，C 17，C 26，C 35，C 44，其和为C 08＋C 17＋C 26＋C 35＋C 44＝1＋7＋15＋10＋1＝34，故C 错误；在第n (n ≥5)条斜线上，各数从左往右先增大后减小，故D 正确．三、填空题9．若展开式中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为________．答案7解析由题意得n ＝8，所以展开式中第k ＋1项为T k ＋1＝C k 8(3x )8－＝84381C 2k k kx -⎛⎫ ⎪⎝⎭，令8－4k3＝0，得k ＝2，故常数项为C 28＝7.10．若(1＋x )6x 2的系数为30，则m ＝________.答案1解析(1＋x )6展开式通项为T k ＋1＝C k 6x k ，则C k 6x m C k 6x k ＋m C k 6xk －2，∴m C 26＋m C 46＝30，解得m ＝1.11．设(x ＋1)(2x 2－1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 11x 11，则a 0＋22a 2＋24a 4＋…＋210a 10＝________.答案75解析令x ＝2，得3×75＝a 0＋2a 1＋22a 2＋…＋211a 11，①令x ＝－2，得－75＝a 0－2a 1＋22a 2－…－211a 11，②由①＋②2，得a 0＋22a 2＋24a 4＋…＋210a 10＝3×75－752＝75.12．写出一个可以使得992025＋a 被100整除的正整数a ＝________.答案1(答案不唯一)解析由题意可知992025＋a ＝(100－1)2025＋a ，将(100－1)2025利用二项式定理展开得(100－1)2025＝C 020*********×(－1)0＋C 120251002024×(－1)1＋…＋C 202420251001×(－1)2024＋C 202520251000×(－1)2025，显然C 020*********×(－1)0＋C 120251002024×(－1)1＋…＋C 202420251001×(－1)2024能被100整除，所以只需C 202520251000(－1)2025＋a ＝－1＋a 是100的整数倍即可，所以－1＋a ＝100n (n ∈Z )，得a ＝100n ＋1(n ∈Z )，不妨取n ＝0，得a ＝1.四、解答题13．已知(23x＋3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比值为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解(1)令x＝1，得展开式中的各项系数和为(1＋3)n＝22n，又展开式中二项式系数和为2n.所以22n2n＝32，解得n＝5.因为n＝5，所以展开式共有6项，所以二项式系数最大的项为第三、四两项，即T3＝C25(23x)3(3x2)2＝90x6，T4＝C35(23x)2(3x2)3＝223270x.(2)设展开式中第k＋1项的系数最大，T k＋1＝C k5(23x)5－k(3x2)k＝104353C kk k x+，k C k5≥3k－1C k－15，k C k5≥3k＋1C k＋15，解得72≤k≤92，因为k∈N，所以k＝4，即展开式中系数最大的项为T5＝104444353C x+⨯＝263405x.14．在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n(n∈N+)，________.(1)求a12＋a222＋…＋a n2n的值；(2)求a1＋2a2＋3a3＋…＋na n的值．解(1)若选①：因为只有第5项的二项式系数最大，所以展开式中共有9项，即n＋1＝9，得n＝8.若选②：因为第4项与第6项的二项式系数相等，所以C3n＝C5n⇒n＝8.若选③：因为奇数项的二项式系数的和为128，所以2n －1＝128，解得n ＝8.所以(2x －1)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，令x ＝12，则有×12－＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 828，即有a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 828＝0，令x ＝0，得a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 828＝－a 0＝－1.综上所述，a 12＋a 222＋…＋a 828＝－1.(2)由(1)可知，n ＝8，(2x －1)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，两边求导得16(2x －1)7＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7，令x ＝1，则有16＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8，所以a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＝16.15．(多选)下列结论正确的是()A ．错误!k C k n ＝3n(n ∈N +)B ．多项式＋2x－展开式中x 3的系数为52C ．若(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，x ∈R ，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝310D ．2C 02n ＋C 12n ＋2C 22n ＋C 32n ＋…＋C 2n －12n ＋2C 2n 2n ＝3·22n －1(n ∈N +)答案ACD解析对于A ，错误!k C k n ＝20C 0n ＋21C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝C 0n ×1n ×20＋C 1n ×1n －1×21＋C 2n ×1n－2×22＋…＋C n n×10×2n ＝(1＋2)n ＝3n ，故A 正确；对于B ＋2x －的展开式的通项为T k ＋1＝C ，要求x 3的系数，则k ≥3，当k ＝3时，有C ，其中x 3的系数为C 36C 3320×(－1)3＝－20；当k ＝4时，有C ，不存在x 3；当k ＝5时，有C ，其中x 3的系数为C 56C 4521×(－1)4＝60；当k ＝6时，有C ，不存在x 3.故多项式＋2x－展开式中x 3的系数为－20＋60＝40，故B 不正确；对于C ，(2x －1)10的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10(2x )10－k ·(－1)k ＝(－1)k C k 10·210－k ·x 10－k ，可知a 1<0，a 3<0，a 5<0，a 7<0，a 9<0，a 0>0，a 2>0，a 4>0，a 6>0，a 8>0，a 10>0，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 10，所以令x ＝－1，有(－2－1)10＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 10＝310，因此|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝310，故C 正确；对于D,2C 02n ＋C 12n ＋2C 22n ＋C 32n ＋…＋C 2n －12n ＋2C 2n 2n＝(C 02n ＋C 12n ＋C 22n ＋…＋C 2n 2n )＋(C 02n ＋C 22n ＋…＋C 2n 2n )＝22n ＋22n －1＝3·22n －1，故D 正确．16．课本中，在形如(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n 的展开式中，我们把C k n (k＝0,1,2，…，n )叫作二项式系数，类似地在(1＋x ＋x 2)n ＝D 0n ＋D 1n x ＋D 2n x 2＋…＋D 2n －1n x 2n －1＋D 2n n x2n 的展开式中，我们把D k n (k ＝0,1,2，…，2n )叫作三项式系数，则D 02024C 02024－D 12024C 12024＋D 22024C 22024－…＋(－1)k D k 2024C k 2024＋…－D 20242024C 20242024的值为________．答案0解析因为(1＋x ＋x 2)2024·(x －1)2024＝(D 02024＋D 12024x ＋D 22024x 2＋…＋D k 2024x k ＋…＋D 4048－12024x4048－1＋D 40482024x 4048)·(C 02024x 2024－C 12024x 2023＋C 22024x 2022－C 32024x 2021＋…＋C 20232024x －C 20242024)，其中x 2024的系数为D 02024C 02024－D 12024C 12024＋D 22024C 22024－…＋(－1)k D k 2024C k 2024＋…－D 20242024C 20242024，因为(1＋x ＋x 2)2024·(x －1)2024＝(x 3－1)2024，而二项式(x 3－1)2024的通项公式T k ＋1＝(－1)k C k 2024·(x 3)2024－k ，因为2024不是3的倍数，所以(x 3－1)2024的展开式中没有x 2024项，由代数式恒成立可得D 02024C 02024－D 12024C 12024＋D 22024C 22024－…＋(－1)k D k 2024C k 2024＋…－D 20242024C 20242024＝0.。
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二项式定理专题一、基础知识 1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr n T C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，···1k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r nn n n n n n C C C C C ++++++=， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n nn n n n n n C C C C C -+-++-=-=，从而得到：0242132111222r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2n nn n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值。
如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n nC-,12n nC+同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求()na bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来。
二、专题练习（一）二项式定理的逆用；例：12321666 .n n n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=解：012233(16)6666n nn n n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅与已知的有一些差距，123211221666(666)6nn n n n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅ 0122111(6661)[(16)1](71)666nn n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=-练：1231393 .n nn n n n C C C C -++++=解：设1231393n nn n n n n S C C C C -=++++，则122330122333333333331(13)1n n n nn n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+-(13)14133n n n S +--∴==（二）利用通项公式求nx 的系数；例：在二项式n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？ 解：由条件知245n nC -=，即245n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，由2102110343411010()()r r rrrr r T C x x C x--+--+==，由题意1023,643r r r --+==解得， 则含有3x 的项是第7项6336110210T C x x +==,系数为210。
练：求291()2x x-展开式中9x 的系数？ 解：291821831999111()()()()222r r r r r r r rr r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-，令1839r -=,则3r =故9x 的系数为339121()22C -=-。
（三）利用通项公式求常数项； 例：求二项式210(x +的展开式中的常数项？ 解：5202102110101()()2r r rrr r r T C x C x --+==，令52002r -=，得8r =，所以88910145()2256T C ==练：求二项式61(2)2x x-的展开式中的常数项？解：666216611(2)(1)()(1)2()22r r r r r r r r rr T C x C xx ---+=-=-，令620r -=，得3r =，所以3346(1)20T C =-=-练：若21()n x x+的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =解：4244421251()()n n n n T C x C xx--==，令2120n -=，得6n =. （四）利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式9展开式中的有理项？解：12719362199()()(1)r r rrrr r T C x x C x--+=-=-，令276rZ -∈,(09r ≤≤)得39r r ==或，所以当3r =时，2746r -=，334449(1)84T C x x =-=-， 当9r =时，2736r -=，3933109(1)T C x x =-=-。
（五）奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .解：设n 展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ⋅⋅⋅1x =-令,则有010,n a a a ++⋅⋅⋅=①，1x =令,则有0123(1)2,n n n a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=②将①-②得：1352()2,n a a a +++⋅⋅⋅=-11352,n a a a -∴+++⋅⋅⋅=-有题意得，1822562n --=-=-，9n ∴=。
练：若n 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。
解：0242132112r r n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=，121024n -∴=，解得11n =所以中间两个项分别为6,7n n ==，565451462n T C x -+==⋅，611561462T x-+=⋅（六）最大系数，最大项；例：已知1(2)2n x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？ 解：46522,21980,n n n C C C n n +=∴-+=解出714n n ==或，当7n =时，展开式中二项式系数最大的项是45T T 和34347135()2,22T C ∴==的系数，434571()270,2T C ==的系数当14n =时，展开式中二项式系数最大的项是8T ，7778141C ()234322T ∴==的系数。
练：在2()na b +的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n ，则中间一项的二项式系数最大，即2112nn T T ++=，也就是第1n +项。
练：在(2nx -的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 解：只有第5项的二项式最大，则152n+=，即8n =,所以展开式中常数项为第七项等于6281()72C =练：写出在7()a b -的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有34347T C a b =-的系数最小，43457T C a b =系数最大。
练：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2n x +的展开式中系数最大的项？解：由01279,n n n C C C ++=解出12n =,假设1r T +项最大，12121211(2)()(14)22x x +=+ 1111212111212124444r r r r r r r rr r r r A A C C A A C C --+++++⎧≥≥⎧⎪∴=⎨⎨≥≥⎪⎩⎩，化简得到9.410.4r ≤≤，又012r ≤≤，10r ∴=，展开式中系数最大的项为11T ,有121010101011121()4168962T C x x == 练：在10(12)x +的展开式中系数最大的项是多少？解：假设1r T +项最大，1102r r rr T C x +=⋅111010111121010222(11)12(10)22,r r r r r r r r r r r r C C A A r r A A r r C C --+++++⎧≥≥-≥⎧⎧⎪∴=⎨⎨⎨≥+≥-≥⎩⎪⎩⎩解得，化简得到6.37.3k ≤≤，又010r ≤≤，7r ∴=，展开式中系数最大的项为7777810215360.T C x x ==（七）含有三项变两项；例：求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？解法①：2525(32)[(2)3]x x x x ++=++，2515(2)(3)r r r r T C x x -+=+，当且仅当1r =时，1r T +的展开式中才有x 的一次项，此时124125(2)3r T T C x x +==+，所以x 得一次项为1445423C C x它的系数为1445423240C C =。