复变函数第三章复变函数的积分第一节 复变函数积分的概念
合集下载
复变函数第3章
z 1 2 所以
z 1 2 2 2 f ( z) 2, z 1 2 由估值不等式有
z 1 C z 1 dz 8 .
3.1.3 复变函数的积分的计算问题
定理3.1 设C为光滑曲线, 若 f z ux, y ivx, y
沿曲线C连续,则 f ( z )沿C可积,且
1 1 f ( z) = 1. Re z 1+3t
而L之长为3,故
dz L Re z 3.
例4
计算积分
其中积分路径为
C
z dz
2
(1) 连接0到1+i的直线段 (2) 连接0到1的直线段及连接1到1+i的直 线段所成的折线. 解 方程为 (1) 连接0到1+i的直线段的参数
z (1 i)t (0 t 1).
y
B
那么B到A就是曲线L的负向,
记为 L .
o
A
x
关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作 为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方 向总是指从起点到终点的方向. 简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线L的正向是 P 指当曲线上的点P顺此方向 前进时, 邻近P点的曲线的 o 内部始终位于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向.
0 0 1 1
1
1
1 tdt i dt i. 0 0 2
(此例说明:积分路径不同, 积分结果可能不 同)
作业:P45.T1;T3.
1. 柯西积分定理 2. 复合闭路定理 3. 解析函数的原函数
由定理3.1,复积分可转化为实二元函数 的第二型曲线积分.那么,复积分在什么情况 下与路径无关? 1 2 比较 f ( z ) z , f ( z ) Re z , f ( z ) za 可能与被积函数的解析性及解析区域有关
复变函数课件-第三章复变函数的积分解读
1、复变函数积分的定义
设在复平面 C 上有一条连接 z 0 及 Z 两点的简单曲 线 C 。设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是在 C 上的连续函数。其中 u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。 把曲线C用分点 z0 , z1 , z2 ..., zn 1 , zn Z
C
f ( z )dz 0 f ( z )dz f ( z )dz 0 f ( z )dz f ( z )dz
C1 C2 C1 C2
b
a
C1
结论2: 周线C : f ( z )dz 0 C 函数f(z)的积分与路径无关,
目的
研究复积分与路径的无关性:
k
zk
C
z1
z0
复变函数的积分
分实部与虚部,有 n 1
[u (
k 1
k
k
, k ) iv( k , k )][( xk 1 xk ) i ( yk 1 yk )]
n 1
或者
u (
k 1 n 1 k 1
n 1
, k )( xk 1 xk ) v( k , k )( yk 1 yk )
max{| zk 1 zk | ( xk 1 xk ) ( yk 1 yk )
2 2
0 | k 0,1,2,..., n 1} 0
时,上面的四个式子分别有极限:
u( x, y)dx, v( x, y)dy, v( x, y)dx, u( x, y)dy,
C f ( z)dz C f ( z)dz, (4) 积分是在相反的方向上取的。
复变函数积分的性质:
第三章,复变函数的积分(1)
(4) 设曲线C的长度为L, 函数f (z)在C上满足
f (z) M , 则
C
f ( z )dz f ( z ) ds ML.
C
19
估值不等式
事实上,
f (
k 1
n k 1
n
k
)zk f ( k ) zk
k 1
n
n
f ( k ) sk M sk ML,
C C
10
定 理 2 设光滑曲线C由参数方程给出: C : z z ( t ) x( t ) iy( t ) ( t ),
z ( ) 是起点, z ( ) 是终点,f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )
在包含C的区域D内连续,则
C
f ( z )dz
C
f ( z )dz 存在,
C f ( z )dz C udx vdy iC vdx udy
8
证 设 ζ ξ iη k k k 明
,则
zk zk zk 1 ( xk iyk ) ( xk 1 iyk 1 ) ( x k x k 1 ) i ( y k y k 1 ) x k i y k
β α
12
i v[ x( t ), y( t )] x( t ) u[ x( t ), y( t )] y ( t )dt .
f z ( t ) z ( t )dt
如果C是由C1, C2, …, Cn年等光滑曲线段依 次相互连接所组成的按段光滑曲线,那么定义
o
3 2
x
27
§3 基本定理的推广—复合闭路定理
复变函数课件3-1复变函数积分的概念
单击此处添加正文,文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ,单击此处添加正文,文字是您思想的提炼,为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
留数法适用于具有无穷远点性质的复变函数,如幂函 数、对数函数等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
可加性
如果两个积分路径不相交 ,则两个积分之和等于它 们各自独立积分的和,即 ∫f(z)dz=∫f(z)dz+∫f(z)dz 。
可积性
对于可积的复变函数f(z) ,其积分值存在且有限。
积分计算方法
参数方程法
通过参数方程将复数z表示 为实数t的函数,然后利用 实数域中的定积分进行计 算。
直角坐标法
将复数z表示为直角坐标系 中的x和y,然后利用二重 积分进行计算。
复变函数课件3-1复变 函数积分的概念
目录
• 引言 • 复变函数积分的基本概念 • 复变函数积分的几何意义 • 复变函数积分的物理意义 • 复变函数积分的性质和定理 • 复变函数积分的计算方法
CHAPTER 01
引言
课程背景
复变函数是数学的一个重要分 支,它研究复数域上的函数的 性质和变化规律。
数。
积分路径
在复数平面上,积分路径通常是一 条封闭曲线,可以是实线、虚线或 曲线。
积分值
复变函数积分的值是一个复数,其 实部和虚部分别对应于该函数在积 分路径上的定积分和二重积分。
积分性质
01
02
03
线性性质
复变函数积分具有线性性 质,即 ∫(af(z)+bg(z))dz=a∫f(z) dz+b∫g(z)dz。
数轴上的积分。
参数方程法的关键在于找到合适的参数 方程,以便简化积分计算。在选择参数 方程时,我们需要考虑函数的性质和积
复变函数第三章
x
§4 原函数与不定积分
定理一 若函数 f(z) 在单连通区域 B 内解析,则
积分 ∫ f ( z)dz 与连接起点和终点的路线 C 无关.
20
求I =
∫ Γ f (z)dz 型积分的步骤:
一、判断 f ( z)是否解析;
二、若 f ( z)在曲线Γ 内解析且连续到边界,则 I = 0.
三、若 f ( z)在曲线 Γ 内有奇点 z1 ,L, zn ,则作分 别以 z1,L, zn 为心的小圆周 C1,L, Cn , 且这些小 圆周位于曲线Γ 内部,由复合闭路定理可得:
) f ( z)dz
) f ( z)dz
= ( + − ) f ( z)dz ∫ ∫
C C1
dz 例 计算 ∫Γ (z − z0 )n+1 ,其中Γ 为包含 z0 的任意一条简单 闭曲线,n 为整数.
y
Γ
z0
r
C
解:作一条以 z0 为心,以 r 为半径 x O 的圆周 C,C 含于 Γ 内部. 1 由函数 在除 z = z0 外解析,以及复合 n +1 ( z − z0 ) 闭路定理可得, n=0 dz dz 2π i, Γ (z − z0 )n+1 =C (z − z0 )n+1 = 0, n ≠ 0, n ∈Z ∫ ∫
解:C 的方程: z = z0 + reiθ , 0 ≤ θ ≤ 2π ,
z
z − z0 = reiθ
z0 r
x
θ
O
2π 2π dz ireiθ i i 2π −inθ C (z − z0 )n+1 = ∫0 rn+1ei(n+1)θ dθ = ∫0 rneinθ dθ = rn ∫0 e dθ ∫
复变函数ppt第三章
移向得
∫C0 f ( z)dz = ∫C1 f ( z)dz + ∫C2 f ( z)dz + L+ ∫Cn f ( z)dz
完
27
例3 设C为一简单闭光滑曲线, a∈C.计算积分 ∫ C
page47
dz . z−a
参考解答 a
C
r
a
C
Cr
(1)
(2)
完
28
dz 例4 计算积分 ∫ C 2 . 积分按逆时针方向,沿曲线 逆 z −z C进行,C是包含单位圆周|z|=1的任意一条光
31
定理3 定理3 设w=f(z) 在单连通区域D内解析,则由
F(z) = ∫ f (ξ )dξ
z0
z
z ∈ D (Th3-1)
定义的函数F(z)在D内解析,且
F ′( z ) = f ( z )
参考证明
完
32
牛顿-莱布尼兹公式
定理4 定理4 设w=f(z) 在单连通区域 单连通区域D内解析, Φ ( z )是f(z) 单连通区域 的任一原函数,那么
都含在C0内部,这n+1条曲线围成了一个多连通区域 多连通区域 D,D的边界 ∂D 称为复闭路 复闭路. 复闭路 左手法则定正向: 左手法则定正向 沿着D的边界走, 区域D的点总在 左手边.
C0
C3
C2 C1
∴当C0取逆时针, C1 , C2 ,L , Cn都取顺时针.
24
∂D = C 0 + C1 + C 2 +
第三章 复变函数的积分 复变函数
引言 复变函数积分的概念 柯西—古萨定理 柯西 古萨定理 柯西积分公式、 柯西积分公式、 解析函数的高阶导数公式 解析函数与调和函数的关系
复变函数(3.1.3)--复变函数的积分概念
明。记为曲线上两个分点与之间弧段的弧长,则有
n
n
n
f ( k ) Δ zk | f ( k ) Δ zk | | f ( k ) | Δ sk .
k =1
k =1
k =1
于是,两端取极限,得
C f (z)d z C | f (z) | d s.
4
即
C | f (z) | d s ML.
0
0
;
� � � z d z = z d z + z d z
C
C2
C3
(2)
� � = 1t d t + 1(1- i t)id t
0
0
=
1 2
+
� � �12
+
i
� � �= 1+
i.
▎
图 4.2
在此例中,说明对同一个被积函数,起点终点也一样,但积分结果不相同。这说明此
积分与积分路径有关。
3
1.3 积分的基本性质
任意分成 个弧段,其分点为 , ,任取 。由于
所以,
因为二元函数 都连续,所以,复变函数积分本质上就是高等数学当中第二型线积分的组合. 故,由微积分学中第二型线积分的存在性定理知,当 无限增大且弧段长度的最大值 趋于零 时,不论对 的分法如何,也不论点 的取法如何,上式右端两个和式的极限都是存在的,而 且
例 3.2 计算 的值,其中 分别为 (1) 沿从原点到点 的直线段 ;
C3C:2z:=z 1=z1+zt=,10i0t1,0 tt 1 1
(2) 沿从原点到点的直线段,与从到的直线段所
Байду номын сангаас
连接成的折线。
复变函数的积分
I
C
dz z
,在这里用C表示单位
圆周 z 1(按反时针方向从1到1取积分),而被 积函数分别取为按下列条件决定的单值解析分支:
1 1 及
1 1
分析 解: z 1
这里 z
顺着C从a到b的方向在C上取分点:
a z0 , z1, z2 ..., zn1, zn b
把曲线C分成若干个弧段(图3.1)
在从zk 1到zk (k=1,2, ,n)的每一弧段上任取一点k,作成和数
sn f ( k )zk ,其中 zk zk zk 1 .
k 1
x max|zk |0 c
(2)
f ( z) z, 选 k zk 1 ,
则得 : 1 zk 1 ( zk zk 1 )
k 1 n
取 k zk , 则得 : 2 zk ( zk zk 1 ) 由定理3.1可知积分
k 1
n
C
zdz 存在,且应与
k 1 k 1 n n
u( k , k )xk v ( k , k )yk
k 1 k 1 n n
n
n
当 0时 , 均 是 实函数的曲线积分 .
i[ v ( k , k )xk u( k , k )yk ] (5)
k 1 k 1
f ( z )在C上连续, u( x , y ), v ( x , y ) 在C上连续 故 u( x , y )dx、 v( x , y )dy、
(4). f ( z )dz f ( z )dz
C C
(5). | f ( z )dz | c | f ( z ) || dz | c | f ( z ) | ds
03_复变函数的积分
1 1
例二 计算积分 n为正整数.
1 dz,其中l为 | z z0 | r正向一周, l ( z z )n 0
解: l的参数方程为z z0 rei, [0, 2 ),则
2 1 1 dz d ( z0 rei ) l ( z z0 )n 0 r n ei n
蜒f ( z )dz
l i 1
n
li
f ( z )dz 0
(4)
其中l为区域的外边界,诸li为区域的内边界,积分均沿边界的 正方向进行
l
A A
B B
l1 l2
D D
C C
图3.2.2
证明:如图所示,考虑以l , l1 , l2 , , ln为边界的复通区域 D。做适当的割线连接内外边界,则原来的闭复通区域 D变成了闭单通区域 D,由于f ( z )在D上解析,按照 单通区域Cauchy定理,有
2 i , n 1 1 dz l ( z z0 )n 0 , n 1
复积分的性质
性质1 若积分 f1 ( z )dz, f 2 ( z )dz都存在,则
l l
[ f ( z) f ( z)]dz
l 1 2
l
f1 ( z )dz f 2 ( z )dz;
(3)
定理2
若函数f ( z )在单通区域D内解析,则f ( z)沿D内任一 分段光滑闭合曲线l的积分值为零。
另外,定理1的条件还可以减弱,即有 定理3
若函数f ( z )在单通区域D内解析,在闭单通区域 D上 连续,则f ( z )沿 D内任一分段光滑闭合曲线l (也可以 是D的边界)的积分为零。
单通区域Cauchy定理
例二 计算积分 n为正整数.
1 dz,其中l为 | z z0 | r正向一周, l ( z z )n 0
解: l的参数方程为z z0 rei, [0, 2 ),则
2 1 1 dz d ( z0 rei ) l ( z z0 )n 0 r n ei n
蜒f ( z )dz
l i 1
n
li
f ( z )dz 0
(4)
其中l为区域的外边界,诸li为区域的内边界,积分均沿边界的 正方向进行
l
A A
B B
l1 l2
D D
C C
图3.2.2
证明:如图所示,考虑以l , l1 , l2 , , ln为边界的复通区域 D。做适当的割线连接内外边界,则原来的闭复通区域 D变成了闭单通区域 D,由于f ( z )在D上解析,按照 单通区域Cauchy定理,有
2 i , n 1 1 dz l ( z z0 )n 0 , n 1
复积分的性质
性质1 若积分 f1 ( z )dz, f 2 ( z )dz都存在,则
l l
[ f ( z) f ( z)]dz
l 1 2
l
f1 ( z )dz f 2 ( z )dz;
(3)
定理2
若函数f ( z )在单通区域D内解析,则f ( z)沿D内任一 分段光滑闭合曲线l的积分值为零。
另外,定理1的条件还可以减弱,即有 定理3
若函数f ( z )在单通区域D内解析,在闭单通区域 D上 连续,则f ( z )沿 D内任一分段光滑闭合曲线l (也可以 是D的边界)的积分为零。
单通区域Cauchy定理
复变函数积分
1 1 1 都在 z i 上解析, 因为函数 和 z z i 2
由柯西定理, 有
z i
1 2
1 1 1 1 1 dz dz 2 z ( z 1) 2 zi 2 zi 1 z z i
2
1
工程数学---------复变函数
前页
后页
前页
后页
返回
-3-
2.积分的性质
i) f ( z ) d z f ( z ) d z
C C
ii ) k f ( z ) d z k f ( z ) d z ; ( k 为 常 数 )
C C
iii ) [ f ( z ) g ( z )] d z
C
C
f (z) d z
F '( z ) = f ( z )
工程数学---------复变函数
前页
后页
返回 -18-
证 利用导数的定义来证.
设 z 为 B 内 任 一 点 , 以 z为 中 心
z z z
K
作 一 含 于 B 内 的 小 圆 K . 取 z 充 分
小 使 z z 在 K 内, 由 F ( z ) 的 定 义 ,
第三章 复变函数的积分
前页
后页
返回
§1 复变函数积分的概念 1. 积分的定义
定义 设函数w =f (z)定义在区域D内, C为在区域D内起点 为A终点为B的一条光滑的有向曲线. 若对C 的任意分割
和在局部弧段上任意取点, 极限
y
f ( 0
lim
k 1
n
k
) zk
记作
C
复变函数第1,2节:复变函数积分的概念
一、柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理
又称“柯西积分定理”
例1: zdz 与路径无关!
C
被积函数 f (z)=z 在单连通区域内处处解析
例2: zdz 与路径有关!
C
被积函数 f (z)= z 在复平面内处处不解析
例3: |z- z0|r
dz z - z0
2 i, 与路径无关!
f (z)dz 与连接起点及终点的路线C无关。
C
此积分只与起点z0及终点z1有关。
z1
f (z)dz f (z)dz f (z)dz
C1
C2
z0
z
固定z0,让z1在B内变动,并记z1=z, 那么积分 f (z )dz
z0
在B内确定了一个单值函数 F(z) , 即
z
F (z) f (z )dz .
C
D
左边两个积分均为零。
vdx udy (ux - vy )dxdy
C
D
f (z)dz 0
C
注: (1) 闭曲线C不是简单闭曲线时,结论也成立;
(2) 如闭曲线C是区域B的边界,且函数 f(z)在B B C 上解析,
则
f (z)dz 0.
C
(3) 如闭曲线C是区域B的边界,函数 f(z)在B内解析, 且f(z)在
z3
z3
z2 z2 z1 z1
Dsk zk-1zk 的长度
A=z0
O
zk
zk-1 Dzk zk
zn
B=zn
x
注:如果C为闭曲线,则闭曲线上的积分记作 f (z)dz
C
二、 积分存在的条件、计算及性质
1. 存在性: 如 f (z) 在分段光滑曲线C上连续,则 f (z)dz 存在。
复变函数的积分
当f (z)是连续函数,C是光滑曲线时, C f (z)dz 存在.
复积分的计算:
C f (z)dz 可以通过两个二元实变函数的曲线积分来计算.
根据曲线积分的计算法,有 z=z(t) (α≤t≤β)
C f (z)d z f [z(t)]d z(t) f [z(t)]z(t)dt
即:
(1)利用参数方程把积分转化成一元函数中的定积分.
(2)利用格林公式把曲线积分转化为二重积分.
三.复积分的性质
第三章 复变函数的积分
1.线性性
(1) k f (z)dz k f (z)dz (k为常数)
C
C
(2) C [ f (z) g(z)]dz C f (z)dz C g(z)dz
2.可加性 f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
第三章 复变函数的积分
二.原函数与不定积分
定理1 设f (z)在单连通区域B内解析,则对B中任意曲线C,
C f (z)dz 只与起点和终点有关.
由定理可知,解析函数f (z)在单连通区域D内的积分只与
起点 z0 及终点 z1有关.
z0
C1
B z1
C2
z0
C1 z1 C2 B
因此有
f (z)dz
1 [(ln 2 i)2 ln 2 2]
2
4
2 3 ln 2 2 ln 2 i
32 8
8
课后作业: 习题三 P75
1 (1),(2) ;2 5 (1),(2) ,(3) .
作乘积,并作和式,记sk zk-1zk 的长度,
n
lim
0
f (k ) zk
k 1
记作
f (z)dz
复变函数PPT第03章复变函数的积分
那么
∫
y
C
f ( z ) dz = ∫
T t0
f [ z ( t )] z′( t ) dt
C
z
Z = z (T )
z0 = z ( t 0 )
z = x+iy
o
x
积分的存在性及求法
证 f⎡ ⎣ z(t )⎤ ⎦ = u⎡ ⎣ x ( t ) , y ( t )⎤ ⎦ + i v⎡ ⎣ x(t ), y(t )⎤ ⎦ 所以
∑ ( u Δy
k =1 k
n
k
+ v k Δxk )
因为 u( x , y ) , v ( x , y ) 沿 C 连续 ,
所以
lim ∑ ( uk Δxk −vk Δyk ) = ∫ udx − vdy
δ→ 0 k =1 n C
n
lim ∑ ( uk Δyk +vk Δxk ) = ∫ vdx + udy
δ→ 0 k =1
ζk
z k −1
zk
Z
z n −1
o
x
积分的存在性及求法
∫ ∫
故
C
zdz = lim ∑ zk Δzk = lim ∑ zk ( zk − zk −1 )
δ→ 0 k =1 n δ→ 0 k =1
n
n
C
zdz = lim ∑ zk −1Δzk = lim ∑ zk −1 ( zk − zk −1 )
∫
C
f ( z )d z . 即 f ( z )dz = lim∑ f ( ζ k )Δzk
δ→0 k =1 n
∫
C
积分的存在性及求法 三、积分的存在性及求法
复变函数第3章
0
1
3 1 t 2 i 2 (1 i ) (t it 2 )i . 3 3 3 3 0
C
Im( z )dz Im( z )dz Im( z )dz
C1 1 C2
i 0dt td(1+ it ) i tdt . 0 0 0 2
| z 1| 2
ds 2 4 8 .
13
§2 柯西积分定理(柯西-古萨定理)
1.柯西-古萨定理 (积分方法二) 定理3.3(柯西-古萨定理) 若函数 f(z)是单连通域D 内的解析函数,C是D内任一周线,则
C
f ( z )dz 0.
定理3.4(柯西-古萨定理推广) 若函数 f(z)是单连通 域D内的解析函数,C是D内任一闭曲线,则
F ( z) f ( )d ,
z0 z
称F(z)为定义在区域D内的积分上限函数或变上 限函数.
18
定理3.6 若函数f(z)在单连通域D内解析,则函数F(z) 必在D内解析,且有F '(z)=f(z). 证明:设 z, z +z D, z F ( z z ) F ( z ) 1 z z f ( z) f ( )d f ( )d f ( z ) z0 z z z0 1 z z 1 z z f ( )d f ( z )d 与路径无关 z z z z z z 1 f(z)连续,则任意 [ f ( ) f ( z )]d z z >0, 存在 >0,使 1 得当|-z|<时, | z | . | z | 有|f() –f(z)|<.
C
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 0.
1
3 1 t 2 i 2 (1 i ) (t it 2 )i . 3 3 3 3 0
C
Im( z )dz Im( z )dz Im( z )dz
C1 1 C2
i 0dt td(1+ it ) i tdt . 0 0 0 2
| z 1| 2
ds 2 4 8 .
13
§2 柯西积分定理(柯西-古萨定理)
1.柯西-古萨定理 (积分方法二) 定理3.3(柯西-古萨定理) 若函数 f(z)是单连通域D 内的解析函数,C是D内任一周线,则
C
f ( z )dz 0.
定理3.4(柯西-古萨定理推广) 若函数 f(z)是单连通 域D内的解析函数,C是D内任一闭曲线,则
F ( z) f ( )d ,
z0 z
称F(z)为定义在区域D内的积分上限函数或变上 限函数.
18
定理3.6 若函数f(z)在单连通域D内解析,则函数F(z) 必在D内解析,且有F '(z)=f(z). 证明:设 z, z +z D, z F ( z z ) F ( z ) 1 z z f ( z) f ( )d f ( )d f ( z ) z0 z z z0 1 z z 1 z z f ( )d f ( z )d 与路径无关 z z z z z z 1 f(z)连续,则任意 [ f ( ) f ( z )]d z z >0, 存在 >0,使 1 得当|-z|<时, | z | . | z | 有|f() –f(z)|<.
C
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 0.
第三章 复变函数的积分
0 ≤ θ ≤ 2π
y
z − z0 = reiθ
θ
2π dz ireiθ ∴∫ = ∫ n+1 i (n+1)θ dθ C ( z − z )n+1 0 r e 0
z
o
z0
r C x
=∫
2π
0
i r ne inθ
i 2π dθ = 2π i , n = 0, ∫0 dθ = i 2π n ∫0 (cos nθ − i sin nθ )dθ = 0, n ≠ 0. r 15
20
§2 柯西-古萨积分定理 柯西1、 引言
复变函数的积分的实际上等同于对坐标的曲线积分, 复变函数的积分的实际上等同于对坐标的曲线积分,这 就很自然地引出积分与路径无关的问题. 就很自然地引出积分与路径无关的问题
事实上,从上一节中, 我们知道:有的积分与 积分路径 事实上,从上一节中, 我们知道: 无关; 另外, 无关;有的积分与积分 路径有关 . 另外,我们还知道
18
|dz | (3) ∫ ; |z |= 1 z
练习
计算 I =
∫
C
| z | dz的值 , 其中
(1) C 是单位圆 z = 1的上半圆周 , 顺时针方向 ; ( 2 ) C 是单位圆 z = 1的下半圆周,逆时针方 向; 的下半圆周, ( 3 ) C 是从 − 1到 1 的直线段 .
思考题:下列式子成立吗? 思考题:下列式子成立吗?
容易验证,上式中积分与路径无关 容易验证,上式中积分与路径无关.
12
例 2 计算 I =
∫ z dz ,其中积分路径
c
C为
( i ) C 为从 O ( 0 ,0 )到 A ( 3,)的直线段; 4 的直线段;
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
C C
C−
f ( z )dz;
( 2) ∫ kf ( z )dz = k ∫ f ( z )dz; ( k为常数 )
C
( 3) ∫ [ f ( z ) ± g ( z )]dz = ∫ f ( z )dz ± ∫ g ( z )dz;
C C C
估 值 不
(4) 设曲线 C 的长度为 L, 函数 f ( z ) 在 C 上满足 等 式 f ( z ) ≤ M , 那末 ∫ f ( z )dz ≤ ∫ f ( z ) dS ≤ ML.
又因为
∫C zdz = ∫C ( x + iy )(dx + idy )
13
∫C zdz = ∫C xdx − ydy + i ∫C ydx + xdy
这两个积分都与路线C 这两个积分都与路线 无关
所以不论 C 是怎样从原点连接到点 3 + 4i 的 曲线,
( 3 + 4i ) 2 ∫C zdz = 2 .
∫C f ( z )dz = ∫C (u + iv )(dx + idy ) = ∫ udx + ivdx + iudy − vdy C
= ∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy .
C C
(2)若曲线 C由参数方程给出z = z ( t ) = x ( t ) + i y( t ), )
在每个弧段 zk −1 zk ( k = 1,2,L, n) 上任意取一点 ζ k ,
y
ζk z k zk−1
B
C z n−1
A
ζ1 ζ2
z1 z2
o
x
4
作和式 S n = ∑ f (ζ k ) ⋅ ( zk − zk −1 ) = ∑ f (ζ k ) ⋅∆zk ,
n
n
这里 ∆zk = zk − zk −1 , ∆sk = zk −1 zk的长度,
C
x = 3t , 0 ≤ t ≤ 1, 解 直线方程为 y = 4t , 在 C 上, z = ( 3 + 4i )t , dz = ( 3 + 4i )dt ,
∫C zdz = ∫0 (3 + 4i ) tdt= (3 + 4i ) ∫0 tdt
2 2
1
1
( 3 + 4i )2 . = 2
1 2πi , = 所以 ∫ n + 1 dz ( z − z0 ) 0, z − z0 = r
重要结论:积分值与路径圆周的中心和半径无关. 重要结论:积分值与路径圆周的中心和半径无关.
20
三、积分的性质
复积分与实变函数的线积分有类似的性质. 复积分与实变函数的线积分有类似的性质
(1) ∫ f ( z )dz = − ∫
)给 (α ≤ t ≤ β )给出,f ( z )沿C 连续,则
f ( z ( t )) = u( x ( t ), y( t )) + iv ( x ( t ), y( t )) = u( t ) + iv ( t )
10
∫
C
f ( z )dz = ∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy
= 0.
18
1 dz , C 为以 z0 为中心, r 为半 例4 求 ∫ C ( z − z )n+1 0 y 径的正向圆周, n 为整数 .
解 积分路径的参数方程为
(0 ≤ θ ≤ 2π ),
o
z
⋅ z0
θ
r
z = z0 + re iθ
x
∫C
iθ 2π 1 ire n +1 dz = ∫0 n +1 i ( n +1 )θ dθ ( z − z0 ) r e i 2π − inθ = n ∫ e dθ , r 0
6
二、积分存在的条件及其计算法
定理1 积分存在定理) 定理1(积分存在定理) 在光滑曲线C上连续,则 在光滑曲线C上连续, 若 f ( z ) = u( x , y ) + i v ( x , y )
∫
C
f ( z )dz存在,且
∫C f ( z )dz =∫C udx − vdy + i ∫C vdx + udy
y
P
P
P
o
P
x
3
2.积分的定义 积分的定义: 积分的定义
设函数 w = f ( z ) 定义在区域 D 内, C 为区域 D 内起点为 A 终点为 B的一条光滑的有向曲线 , 把曲线 C 任意分成 n 个弧段, 设分点为 A = z0 , z1 , L, zk −1 , zk ,L, zn = B ,
函数 f ( z ) 沿曲线 C 的积分 ,
y
ζk z k zk−1
B
C z n−1
A
ζ1 ζ2
z1 z2
x
5
关于定义的说明: 关于定义的说明
(1) 如果 C 是闭曲线, 那么沿此闭曲线的积分 记为 ∫ f ( z )dz .
C
( 2) 如果 C 是 x 轴上的区间 a ≤ x ≤ b, 而 f ( z ) = u( x ), 这个积分定义就是一元 实变函数 定积分的定义 .
证: 设 zk = xk +iyk , ζ k = ξ k + iηk ,
∆zk = zk − zk −1 = xk + iyk − ( xk −1 + iyk −1 )
= ( xk − xk −1 ) + i ( yk − yk −1 ) = ∆ x k + i∆ y k ,
(1 )
7
所以
∑ f (ζ k ) ⋅∆zk
14
例2 计算 ∫ Re zdz , 其中 C 为 :
C
(1)从原点到点 1 + i 的直线段; (2) 抛物线 y = x 2 上从原点到点 1 + i 的弧段; (3) 从原点沿 x 轴到点 1 再到 1 + i 的折线.
解 (1) 积分路径的参数方程为
z ( t ) = t + it (0 ≤ t ≤ 1),
o
1
x
17
例3 计算 ∫ z dz , 其中 C 为 : 圆周 z = 2.
C
解 积分路径的参数方程为
z = 2e
iθ
(0 ≤ θ ≤ 2π ),
2π iθ
dz = 2ie iθ dθ
∫C z dz = ∫0
2 ⋅ 2ie dθ ( 因为 z = 2 )
2π
= 4i ∫0 (cosθ + i sinθ )dθ
k =1
n
由于 u, v 都是连续函数 , 根据线积分的存在定理 根据线积分的存在定理,
8
无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, 当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时
不论对 C 的分法任何 , 点 (ξ k , η k ) 的取法如何 , 下式两端极限存在 ,
∑ f (ζ k )∆zk = ∑ [u(ξ k ,ηk )∆xk − v(ξ Hale Waihona Puke ,ηk )∆yk ]C C
21
例5 设 C 为 从 i 到 点 2 + i 的 直 线 段 ,
试证:
解
1 ∫C z 2 dz C 的参数方程为 :
≤2
故
z = (1 − t )i + t (2 + i ) = 2t + i , (0 ≤ t ≤ 1) 1 1 1 = 2 = 2 ≤1 2 z 4t + 1 z 1 ∫C z 2 dz ≤ 1 × 2 = 2
记 δ = max{∆sk }, 当 n 无限增加且 δ → 0 时, 1≤ k ≤ n
≤ ≤
k =1
k =1
如果不论对 C 的分法及 ζ k 的取法如何 , S n 有唯 一极限 , 那么称这极限值为 记为
lim ∫C f ( z )dz = n→∞ ∑1 f (ζ k ) ⋅∆zk . k=
o
n
k =1 k =1
n
n
+ i ∑ [v (ξ k ,η k )∆xk + u(ξ k ,η k )∆yk ]
k =1
n
∫C f ( z )dz = ∫C udx − vdy + i ∫C vdx + udy
证毕
9
注:
(1)
f ( z ) = u + iv 与 dz = dx + idy 相乘后求积分得到:
∫C Re zdz = ∫0 t (1 + 2it )dt
t 2i 3 1 2 = + t = + i; 2 3 2 3 0
2 1
i
1
y
⋅1+ i
y = x2
o
1
x
16
(3) 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 z ( t ) = t ( 0 ≤ t ≤ 1), 轴上直线段的参数方程为
C C
= ∫ {u[ x( t ), y( t )] x′( t ) − v[ x ( t ), y( t )] y′( t )}dt
α
β
+ i ∫ {v[ x( t ), y( t )] x′( t ) + u[ x ( t ), y( t )] y′( t )}dt
α
β
= ∫α { u[ x ( t ), y( t )] + iv[ x ( t ), y( t )]}{ x′( t ) + iy′( t )}dt
∫ f ( z )dz 与一元 C
C−
f ( z )dz;
( 2) ∫ kf ( z )dz = k ∫ f ( z )dz; ( k为常数 )
C
( 3) ∫ [ f ( z ) ± g ( z )]dz = ∫ f ( z )dz ± ∫ g ( z )dz;
C C C
估 值 不
(4) 设曲线 C 的长度为 L, 函数 f ( z ) 在 C 上满足 等 式 f ( z ) ≤ M , 那末 ∫ f ( z )dz ≤ ∫ f ( z ) dS ≤ ML.
又因为
∫C zdz = ∫C ( x + iy )(dx + idy )
13
∫C zdz = ∫C xdx − ydy + i ∫C ydx + xdy
这两个积分都与路线C 这两个积分都与路线 无关
所以不论 C 是怎样从原点连接到点 3 + 4i 的 曲线,
( 3 + 4i ) 2 ∫C zdz = 2 .
∫C f ( z )dz = ∫C (u + iv )(dx + idy ) = ∫ udx + ivdx + iudy − vdy C
= ∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy .
C C
(2)若曲线 C由参数方程给出z = z ( t ) = x ( t ) + i y( t ), )
在每个弧段 zk −1 zk ( k = 1,2,L, n) 上任意取一点 ζ k ,
y
ζk z k zk−1
B
C z n−1
A
ζ1 ζ2
z1 z2
o
x
4
作和式 S n = ∑ f (ζ k ) ⋅ ( zk − zk −1 ) = ∑ f (ζ k ) ⋅∆zk ,
n
n
这里 ∆zk = zk − zk −1 , ∆sk = zk −1 zk的长度,
C
x = 3t , 0 ≤ t ≤ 1, 解 直线方程为 y = 4t , 在 C 上, z = ( 3 + 4i )t , dz = ( 3 + 4i )dt ,
∫C zdz = ∫0 (3 + 4i ) tdt= (3 + 4i ) ∫0 tdt
2 2
1
1
( 3 + 4i )2 . = 2
1 2πi , = 所以 ∫ n + 1 dz ( z − z0 ) 0, z − z0 = r
重要结论:积分值与路径圆周的中心和半径无关. 重要结论:积分值与路径圆周的中心和半径无关.
20
三、积分的性质
复积分与实变函数的线积分有类似的性质. 复积分与实变函数的线积分有类似的性质
(1) ∫ f ( z )dz = − ∫
)给 (α ≤ t ≤ β )给出,f ( z )沿C 连续,则
f ( z ( t )) = u( x ( t ), y( t )) + iv ( x ( t ), y( t )) = u( t ) + iv ( t )
10
∫
C
f ( z )dz = ∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy
= 0.
18
1 dz , C 为以 z0 为中心, r 为半 例4 求 ∫ C ( z − z )n+1 0 y 径的正向圆周, n 为整数 .
解 积分路径的参数方程为
(0 ≤ θ ≤ 2π ),
o
z
⋅ z0
θ
r
z = z0 + re iθ
x
∫C
iθ 2π 1 ire n +1 dz = ∫0 n +1 i ( n +1 )θ dθ ( z − z0 ) r e i 2π − inθ = n ∫ e dθ , r 0
6
二、积分存在的条件及其计算法
定理1 积分存在定理) 定理1(积分存在定理) 在光滑曲线C上连续,则 在光滑曲线C上连续, 若 f ( z ) = u( x , y ) + i v ( x , y )
∫
C
f ( z )dz存在,且
∫C f ( z )dz =∫C udx − vdy + i ∫C vdx + udy
y
P
P
P
o
P
x
3
2.积分的定义 积分的定义: 积分的定义
设函数 w = f ( z ) 定义在区域 D 内, C 为区域 D 内起点为 A 终点为 B的一条光滑的有向曲线 , 把曲线 C 任意分成 n 个弧段, 设分点为 A = z0 , z1 , L, zk −1 , zk ,L, zn = B ,
函数 f ( z ) 沿曲线 C 的积分 ,
y
ζk z k zk−1
B
C z n−1
A
ζ1 ζ2
z1 z2
x
5
关于定义的说明: 关于定义的说明
(1) 如果 C 是闭曲线, 那么沿此闭曲线的积分 记为 ∫ f ( z )dz .
C
( 2) 如果 C 是 x 轴上的区间 a ≤ x ≤ b, 而 f ( z ) = u( x ), 这个积分定义就是一元 实变函数 定积分的定义 .
证: 设 zk = xk +iyk , ζ k = ξ k + iηk ,
∆zk = zk − zk −1 = xk + iyk − ( xk −1 + iyk −1 )
= ( xk − xk −1 ) + i ( yk − yk −1 ) = ∆ x k + i∆ y k ,
(1 )
7
所以
∑ f (ζ k ) ⋅∆zk
14
例2 计算 ∫ Re zdz , 其中 C 为 :
C
(1)从原点到点 1 + i 的直线段; (2) 抛物线 y = x 2 上从原点到点 1 + i 的弧段; (3) 从原点沿 x 轴到点 1 再到 1 + i 的折线.
解 (1) 积分路径的参数方程为
z ( t ) = t + it (0 ≤ t ≤ 1),
o
1
x
17
例3 计算 ∫ z dz , 其中 C 为 : 圆周 z = 2.
C
解 积分路径的参数方程为
z = 2e
iθ
(0 ≤ θ ≤ 2π ),
2π iθ
dz = 2ie iθ dθ
∫C z dz = ∫0
2 ⋅ 2ie dθ ( 因为 z = 2 )
2π
= 4i ∫0 (cosθ + i sinθ )dθ
k =1
n
由于 u, v 都是连续函数 , 根据线积分的存在定理 根据线积分的存在定理,
8
无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, 当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时
不论对 C 的分法任何 , 点 (ξ k , η k ) 的取法如何 , 下式两端极限存在 ,
∑ f (ζ k )∆zk = ∑ [u(ξ k ,ηk )∆xk − v(ξ Hale Waihona Puke ,ηk )∆yk ]C C
21
例5 设 C 为 从 i 到 点 2 + i 的 直 线 段 ,
试证:
解
1 ∫C z 2 dz C 的参数方程为 :
≤2
故
z = (1 − t )i + t (2 + i ) = 2t + i , (0 ≤ t ≤ 1) 1 1 1 = 2 = 2 ≤1 2 z 4t + 1 z 1 ∫C z 2 dz ≤ 1 × 2 = 2
记 δ = max{∆sk }, 当 n 无限增加且 δ → 0 时, 1≤ k ≤ n
≤ ≤
k =1
k =1
如果不论对 C 的分法及 ζ k 的取法如何 , S n 有唯 一极限 , 那么称这极限值为 记为
lim ∫C f ( z )dz = n→∞ ∑1 f (ζ k ) ⋅∆zk . k=
o
n
k =1 k =1
n
n
+ i ∑ [v (ξ k ,η k )∆xk + u(ξ k ,η k )∆yk ]
k =1
n
∫C f ( z )dz = ∫C udx − vdy + i ∫C vdx + udy
证毕
9
注:
(1)
f ( z ) = u + iv 与 dz = dx + idy 相乘后求积分得到:
∫C Re zdz = ∫0 t (1 + 2it )dt
t 2i 3 1 2 = + t = + i; 2 3 2 3 0
2 1
i
1
y
⋅1+ i
y = x2
o
1
x
16
(3) 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 z ( t ) = t ( 0 ≤ t ≤ 1), 轴上直线段的参数方程为
C C
= ∫ {u[ x( t ), y( t )] x′( t ) − v[ x ( t ), y( t )] y′( t )}dt
α
β
+ i ∫ {v[ x( t ), y( t )] x′( t ) + u[ x ( t ), y( t )] y′( t )}dt
α
β
= ∫α { u[ x ( t ), y( t )] + iv[ x ( t ), y( t )]}{ x′( t ) + iy′( t )}dt
∫ f ( z )dz 与一元 C