相关函数及协方差函数
协方差及相关系数
所以X与Y不独立.
1/8 0 1/8 2/8 1/8 1/8 1/8 3/8 3/8 2/8 3/8 1
若(X,Y) ~ N(1,2 ,12, 22,)，即(X,Y)概率密度函数为
f
( x,
y)
1
2 1 2
1
2
exp{
1
2(1 2 ) [(
x 1 1
)2
2( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 ]}
(1) 求 Z 的数学期望和方差. (2) 求 X 与 Z 的相关系数.
解 (1)由E( X ) 1, D( X ) 9, E(Y ) 0, D(Y ) 16.
得 E(Z ) E( X Y ) 1 E( X ) 1 E(Y )
32 3
2
1. 3
D(Z ) D( X ) D(Y ) 2Cov( X ,Y )
注：若Y aX b, 则 a<0时,ρXY=-1
例2 (X,Y)的联合分布为:
求相关系数ρXY,并判断X, Y是否相关,是否独立.
解：
E( X ) xi pi 0
i
E(Y ) y j p. j 0
j
X Y -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8
3
1
2
( z5)2
e 18 ,
z
契比雪夫不等式
定理 设随机变量 X 具有数学期望 E(X ) μ,
方差 D( X ) σ2,则对于任意正数ε, 不等式
P{
X
μ
ε}
σ2 ε2
成立.
证明 取连续型随机变量的情况来证明. 设 X 的概率密度为 f ( x),则有
协方差与相关系数
= ρσ 1σ 2
ρ xy =
ρσ 1σ 2 = =ρ σ 1σ 2 D ( X ) D (Y )
Cov ( X , Y )
ρ=0, ,
从而说明二维正态分布随机变量X, 相互独立 从而说明二维正态分布随机变量 ,Y相互独立 相互独立与不相关是等价的. 即X,Y相互独立与不相关是等价的. , 相互独立与不相关是等价的
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人:程述汉 苏本堂
设二维( 例2 设二维(X,Y)随机变量的密度函数为
π π 1 cos( x + y ), 0 ≤ x ≤ , - ≤ y ≤ 0 f ( x, y ) =Y )
1 2 0 π 解 因为 E ( X ) = ∫ ∫ π x cos( x + y )dxdy = ≈ 0.7854, 2 0 -2 4 π 2 1 2 0 2 π π 2 D( X ) = ∫ ∫ π x cos( x + y)dxdy -[ E( X )] = + 2 ≈ 0.1876 2 0 -2 16 2 同理可得 E (Y ) ≈ 0.7854, D(Y ) ≈ 0.1876, 1 π 0 π 2 E ( XY ) = ∫ ∫ π xy × cos( x + y )dxdy1 ≈ -0.5708, 2 0 -2 2 cov( X , Y ) = E ( XY ) - E ( X ) E (Y )
2aE[Y E (Y )][ X E ( X )] + 2 E[Y E (Y )][ E (Y ) aE ( X ) b]
2 aE [ X E ( X )][ E (Y ) aE ( X ) b ]
= D(Y ) + a D( X ) + [ E (Y ) aE ( X ) b] 2a cov( X , Y )
关于协方差、相关系数与相关性的关系
在实际中，人们为什么总是用（线性）相关系数 XY ，而不是用协方差 CovX ,Y 来判断两个随机变量
X 与Y 的线性相关程度呢？关于这个问题，只要我们注意 CovX ,Y EX EX Y EY 与
XY
CovX DX
,Y DY
的单位，就不难发现：
XY
是一个无量纲的量，用它来描述
X
于是 XY 是一个可以用来表征 X ，Y 之间线性关系紧密程度的量，当 XY 较大时，我们通常说 X ，Y
线性相关的程度较好；当 XY 较小时，我们通常说 X ，Y 线性相关的程度较差；当 XY 0 时，称 X ，
Y 不相关（实际上，按照严格的线性相关的定义，只有在 XY 1时，X 与Y 才是线性相关的， XY 1
概率论与数理统计
关于协方差、相关系数与相关性的关系
前言
z
y x
（概率论与数理统计(茆诗松)，Page 147）
高等学校教科书中，关于协方差、相关系数的概念，都是直接给出定义，再由定义导出几个基本
性质，然后是一些关于相关系数的计算或相关性的判断，至于定义这两个量的根据是什么，为什么它
们就是衡量随机变量 X ，Y 的线性相关程度的两把尺子？代数学与概率论中两个变量存在线性关系的
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Reproduction Forbidden
时二者是线性无关的，不过为了研究 XY 的不同取值下， X ，Y 的关系，我们分为严格线性相关和线 性相关（一定程度）来讨论。）（注意：这里指的是线性不相关，但它们还会存在其他的相关关系，否 则如果什么关系都不存在，那就是 X ，Y 相互独立的情况了。）
第六章 相关函数的估计
6. 相关函数的估计（循环相关）6.1. 相关函数与协方差函数 6.1.1. 自相关函数和自协方差函数1、 自相关和自协方差函数的定义相关函数是随机信号的二阶统计特征，它表示随机信号不同时刻取值的关联程度。
设随机信号)(t x 在时刻j i t t ,的取值是j i x x ,，则自相关函数的定义为ji j i j i j iNn n jn iN j i j i x dxdx t t x x f x xx xNx x E t t R ⎰⎰∑====∞→),;,(1lim ][),(1)()(式中，上角标“（n ）”是样本的序号。
自协方差函数的定义与自相关函数的定义相似，只是先要减掉样本的均值函数再求乘积的数学期望。
亦即：ji j i j i x j x iNn x n jx n iN x j x i j i x dxdx t t x x f m x m xm x m xNm x m x E t t C j i j i j i ⎰⎰∑--=--=--==∞→),;,())(())((1lim )])([(),(1)()(当过程平稳时，);,(),;,(τj i j i j i x x f t t x x f =。
这时自相关函数和自协方差函数只是i j t t -=τ的函数，与j i t t ,的具体取值无关，因此可以记作)(τx R 和)(τx C 。
对于平稳且各态历经的随机信号，又可以取单一样本从时间意义上来求这些统计特性：时间自相关函数为：⎰+-∞→+=22)()(1lim)(TT T x dt t x t x TR ττ时间自协方差函数为：⎰+-∞→-+-=22])(][)([1lim)(TT x x T x dt m t x m t x TC ττ在信号处理过程中，有时会人为地引入复数信号。
此时相应的定义变成][),(*j i j i x x x E t t R =)]()[(),(*j i x j x i j i x m x m x E t t C --=式中，上角标*代表取共轭。
协方差
由相关系数性质(2),ρXY并不是刻画X，Y之间的“一般” 关系，而只是刻画X，Y之间线性相关的程度。虽然X，Y不 相关，但X，Y可以有关系。例如X～U(-1/2,1/2),Y=cosX, 则E(X)=0, Cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
E ( X cos X )
x 2 y 2 1
x
dxdy
1
1 1
dx
xdy 0
E( X 2 )
0
x 2 f ( x , y )dxdy
1 2 2
x 2 y 2 1
x2
dxdy
1
2
1 dy r cos rdrd 0 4
所以 D(X)=1/4. 同样方法可得 E(Y)=0,D(Y)=1/4.
因为 E( X 2 ) 0, 则 2 2 [ E( XY )]2 4E( X 2 ) E(Y 2 ) 0 ，
即 E( XY ) E( X 2 ) E(Y 2 )
2
等号成立的充要条件是存在t0, 使g(t0)=0, 即：
而 E(Y t0 X )2 D(Y t0 X ) E(Y t0 X ) 0
X Y 则有 E X * E Y * 0, D X * D Y * 1。
令 ：X *
一般地，数学期望为0，方差为1的随机变量的分布 称为标准分布，故ρXY又称为标准协方差。
2．关系公式: (1) 协方差与方差的关系：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y) (2) 协方差与数学期望的关系： Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 我们常用这个公式计算协 方差。 (3) 若X，Y独立，则Cov(X，Y)=0,但反之不成立。 3．协方差与相关系数的性质 协方差具有下述性质： (1) Cov(X，Y)= Cov(Y，X)； (2) Cov(aX，bY)= abCov(X，Y)；
方差,自相关,互相关,协方差等代表的物理意义
方差，自相关，互相关，协方差等代表的物理意义信号的均值，方差，自相关，互相关，协方差等代表的物理意义2010-05-31 09：201.均值：信号幅度的平均值，物理含义是不是信号的直流电平?2.方差：信号幅度偏离均值的程度，是不是在某种意义上代表了信号振荡的趋势?比如波峰和波谷 3.自相关/互相关：是指信号之间的相似程度吗?那么在时间轴上，又代表了信号的什么特性呢?4.还有协方差?1.在matlab里，协方差的计算是在计算相关之前减去了均值，是不是就是指减去了信号的直流分量，如果信号的均值为0的话，协方差的结果和相关的结果应该是一样的吧。
正弦波交流信号的直流分量为零，但不能说其均值为零，因为均值是衡量随机信号的一个统计参量，而正弦波是确定性信号。
其它概念同样如此。
这些统计参量的精确定义书上都有，建议好好领会。
对随机变量来说，"平均"包含"无限"的含义，任意长的有限样本都不能替代随机信号的整体特点，这是和确定性信号特征描述的主要区别。
3.自相关/互相关：是指信号之间的相似程度吗?那么在时间轴上，又代表了信号的什么特性呢?互相关指2个信号之间的相似程度，时间轴表示"挪"了多少的"距离"，比如一个信号不动，另一个以起点开始"错动"，"挪"到某点时，两个信号的相似程度在函数值上体现，而"挪动"的"距离"在时间轴上体现。
自相关表示信号的周期性--自相关极值点间的距离就是周期；对于随机信号，自相关表示该信号的变化快慢--如果自相关函数平滑，说明变化慢；我知道：对于随机信号，因为不能确知它在每个时刻的值，所以我们从统计平均的观点来认识它。
如果已知其概率分布(包括一维和多维概率分布)，我们就可以认为这个随机信号在统计意义上已充分理解或描述了。
在实际过程中，要得知一个随机过程各点上的随机变量的分布函数并不是很方便，但随机过程的各种统计特征量从各个侧面间接的反映了概率分布特性，所以通过某些特征量就足够描绘这些过程了。
自相关函数与协方差函数的关系
自相关函数与协方差函数的关系
自相关函数和协方差函数都是用于描述随机变量之间的相关性的
工具。
它们都是常用的统计学概念，在很多领域，如金融、经济学、
物理学等都有重要的应用。
自相关函数是用来衡量随机变量自身的相关性，也叫做自相关系数。
它是一个时间序列与其自身的滞后版本之间的相关系数。
如果一
个时间序列的自相关函数显示出明显的周期性，则它被称为具有周期性。
另一方面，协方差函数用于衡量两个不同随机变量之间的相关性。
协方差函数度量两个变量之间的线性关系。
如果两个变量的协方差为正，则它们可能呈现正相关，而如果协方差为负，则它们可能呈负相关。
在这种情况下，变量之间的关系更可能是非线性的。
尽管自相关与协方差之间存在差异，但它们之间确实存在某种程
度的联系。
如果两个随机变量具有线性相关性，则它们的自相关函数
和协方差函数将会具有相同的形状。
然而，如果其相关性是非线性的，则两种函数之间的联系就会劣化。
这就表明了两种函数的差异之处。
自相关函数中忽略其他变量的影响，只考虑变量自身的相关性，而协
方差函数则反映了两个变量的整体相关性。
综上所述，自相关系数主要用于度量并描述时间序列数据自身的
相关性，而协方差系数则主要用于描述两个变量（或多个变量之间）
之间的相关性。
两种函数的具体用途会有所不同，但它们都是经常被
用于分析随机变量之间的相关性的重要工具。
相关函数和协方差的区别
相关函数和协方差的区别摘要：一、引言1.背景介绍2.文章目的二、函数相关性概述1.定义2.性质3.应用场景三、协方差概述1.定义2.性质3.应用场景四、函数相关性与协方差的区别1.概念层面的区别2.计算层面的区别3.实际应用中的区别五、案例分析1.示例数据2.函数相关性分析3.协方差分析六、结论1.函数相关性与协方差的关系2.各自在数据分析中的作用3.注意事项正文：一、引言1.背景介绍在数据分析和统计学领域，相关性是衡量两个变量之间关系强度的一个重要指标。
在众多相关性指标中，函数相关性和协方差较为常见。
本文将对这两个概念进行详细解析，以帮助读者更好地理解它们之间的异同。
2.文章目的通过阐述函数相关性和协方差的概念、性质及应用场景，分析它们之间的区别，并为数据分析工作者提供实用的建议。
二、函数相关性概述1.定义函数相关性是指在多个变量之间存在一种函数关系，其中一个变量的值可以预测另一个变量的值。
具体来说，如果存在一个函数f(x)，使得x与y之间的关系可以表示为y=f(x)，则称x与y具有函数相关性。
2.性质函数相关性具有以下性质：（1）完全相关性：当x与y完全相关时，存在唯一的函数关系；（2）不完全相关性：当x与y不完全相关时，存在多种函数关系；（3）反相关性：当x与y呈反相关时，函数值为负。
3.应用场景函数相关性在数据分析中的应用场景包括：线性回归、非线性回归、时间序列分析等。
（相同适用于协方差部分）三、协方差概述1.定义协方差是指两个随机变量之间的线性依赖程度。
设随机变量x和y的期望分别为μx和μy，方差为σx和σy，则协方差Cov(x, y) = E[(x - μx)(y -μy)]。
2.性质协方差具有以下性质：（1）同向性：当x与y正相关时，Cov(x, y)大于0；（2）反向性：当x与y负相关时，Cov(x, y)小于0；（3）零相关性：当x与y无关时，Cov(x, y)接近于0。
3.应用场景协方差在数据分析中的应用场景包括：线性回归、多元线性回归、协方差分析等。
4-3协方差及相关函数
2. 相关系数的意义
当 ρXY 较大时 e 较小, 表明 X ,Y 的线性关系联 系较紧密. 当 ρXY 较小时, X ,Y 线性相关的程度较差.
当 ρXY 0 时, 称 X 和 Y 不相关.
Xi’an University of Post and Telecommunications
例3 设 服从 [0, 2π] 的均匀分布, cos , cos( a ), 这里 a 是定数, 求 和 的相关系数?
( x μ1 )2 2 2 σ1
( x μ1 )( y μ2 )
2
eLeabharlann y μ2 1 x μ1 ρ σ1 2 ( 1 ρ 2 ) σ 2
d yd x
x μ1 1 y μ2 x μ1 , , u 令t ρ 2 σ1 σ1 1 ρ σ2
存在线性关系. 当 a π时, 1, ,
Xi’an University of Post and Telecommunications
Cov( X ,Y ) 1 2 2 ( σ σ 1 ρ tu ρσ σ u )e 1 2 1 2 2 2 2 u t ρσ1σ 2 2 u e 2 d u e 2 d t 2
Xi’an University of Post and Telecommunications
e E[(Y (a bX ))2 ]
E (Y 2 ) b 2 E ( X 2 ) a 2 2bE ( XY ) 2abE ( X ) 2aE (Y ).
将 e 分别关于 a , b 求偏导数, 并令它们等于零, 得
协方差和相关系数的计算
§3.3.1 协方差和相关系数
问题 对于二维随机变量(X ，Y )： 边缘分布
已知联合分布
这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各 自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系．问 题是用一个什么样的数去反映这种联系． 数 E (( X E ( X ))(Y E (Y ))) 反映了随机变量X ，
例3
设 X，Y 相互独立，且都服从 N (0， 2)，
U = aX + bY，V= aX - bY，a，b为常数，且都不为零，
求UV ．
解 cov(U ,V ) E (UV ) E (U ) E (V )
a 2 E ( X 2 ) b 2 E (Y 2 ) aE ( X ) bE (Y )aE ( X ) bE (Y )
又显然 E[(Y E (Y )) t0 ( X E ( X ))] 0
D[(Y E (Y )) t0 ( X E ( X ))] 0 P[(Y E (Y )) t0 ( X E ( X )) 0] 1
P[(Y E (Y )) t0 ( X E ( X )) 0] 1
由 E ( X ) E (Y ) 0,
E( X 2 ) 2 E (Y 2 ) 2
D( X ) D(Y ) 2
cov(U ,V ) (a 2 b 2 ) 2
而 D(U ) a 2 D( X ) b 2 D(Y ) (a 2 b 2 ) 2
Y 之间的某种关系．
协方差和相关系数的定义 定义 称 E ( X E ( X ))(Y E (Y )) 为X，Y的
自相关函数和自协方差函数
9.2.3 自相关函数和自协方差函数上面介绍的均值、均方值和方差描述的是一维随机变量的统计特性，不能反映不同时刻各数值之间的相互关系。
例如，随机信号X(t) 分别在t 1，t 2时刻的随机取值X(t1)，X(t2) 之间的关联程度如何，这种关联称为自关联。
同样，我们也要研究两个随机信号X(t)和Y(t)数值之间的关联程度，这种关联性称为X 与Y 之间的互关联（下一小节介绍）。
1．自相关函数(Autocorrelation function)自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t 1，t 2，的取值之间的相关程度。
定义6 实随机信号X(t)的自相关函数定义为（9.2.7）由于平稳随机信号的统计特性与时间的起点无关，设, 则有。
所以，平稳随机信号的自相关函数是时间间隔t 的函数，记为R xx (t).2．自协方差函数(Autocovariance function)自协方差函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t 1，t 2，的取值之间的二阶混合中心矩，用来描述X(t)在两个时刻取值的起伏变化（相对与均值）的相关程度，也称为中心化的自相关函数。
定义7 实随机信号X(t)的自协方差函数定义为（9.2.8）当 时，有 。
显然，自协方差函数和自相关函数描述的特性基本相同。
对于平稳随机信号，自协方差函数是时间间隔t 的函数，记为C xx (t),且有:(9.2.9) 当均值 时，有 。
当随机过程X(t)的均值为常数，相关函数只与时间间隔有关，且均方值为有限值时，则称X(t)为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。
它是由一维、二维数字特征定义的。
一般所说的平稳过程都是指这种宽平稳随机过程。
3．平稳随机信号自相关函数的性质设X(t)为平稳随机过程，其自相关函数为，自协方差函数，则有如下性质：(1) (9.2.10)(9.2.11)即时的自相关函数等于均方差，自协方差函数等于方差。
(2) (9.2.12)即当平稳随机信号是实函数时，其相关函数是偶函数。
随机变量的协方差和相关系数
cov(X,Y)=E[X-EX][Y-EY]=EXY-EXEY
1) 当(X,Y)是离散型随机变量时,
cov( X , Y ) ( xi EX )( y j EY ) pij量时,
cov( X , Y )
( x EX )( y EY ) f ( x, y)dxdy.
存在，称它为X的k阶中心矩. 注：均值 E(X)是X一阶原点矩, 方差D(X)是X的二阶中心矩.
设 X 和 Y 是随机变量，若
E( X Y )
k
l
k,l=1,2,… 存在，
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合原点矩.
若 E{[ X E ( X )]k [Y E (Y )]l } 存在， 称它为X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩. 注:协方差cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.
例1 设X~N(0,1), Y=X2, 求X和Y的相关系数。
4. 若 XY 0 ，则称X和Y（线性）不相关。
定理：若随机变量X与Y的数学期望和方差都存 在，且均不为零，则下列四个命题等价： （1） XY 0 ； （2）cov(X ,Y) = 0；
（3）E(XY)=EXEY；
（4）D(X ±Y)=DX+DY。
n2
为(X1,X2, …,Xn) 的相关系数矩阵。
由于 i i
cov( X i , X i ) 1, D( X i ) D( X i )
故相关系数矩阵的主对角元素均为1.
五、 原点矩和中心矩
定义 设X和Y是随机变量，若
E ( X k ), k 1,2, 存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩. 若 E{[ X E ( X )]k }, k 2,3,
协方差和相关系数公式
协方差和相关系数公式
协方差和相关系数是统计学中常用的两个概念，用于描述两个变量之间的关系。
它们可以帮助我们理解和分析数据的变化趋势，从而更好地进行决策和预测。
协方差是用来衡量两个变量之间的总体误差的指标。
当协方差为正值时，表示两个变量呈正相关关系，即当一个变量增加时，另一个变量也会增加；当协方差为负值时，表示两个变量呈负相关关系，即当一个变量增加时，另一个变量会减少；当协方差接近于零时，表示两个变量之间几乎没有线性关系。
然而，协方差的数值大小受到变量单位的影响，不便于比较不同数据集之间的相关性。
为了解决这个问题，引入了相关系数的概念。
相关系数是协方差除以两个变量的标准差的乘积，它的取值范围是-1到1。
当相关系数为1时，表示两个变量完全正相关；当相关系数为-1时，表示两个变量完全负相关；当相关系数接近于0时，表示两个变量之间几乎没有线性关系。
协方差和相关系数在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在金融领域，我们可以使用协方差和相关系数来衡量不同股票之间的相关性，从而进行投资组合的优化；在市场营销领域，我们可以使用协方差和相关系数来分析产品销量和广告投入之间的关系，从而制定更有效的市场推广策略。
协方差和相关系数是统计学中重要的工具，可以帮助我们理解和分析数据之间的关系。
通过对它们的应用，我们可以提高决策的准确性和预测的精度，从而在各个领域取得更好的成果。
《概率论》第4章_协方差及相关系数
12/14 12/14
指 X ,Y之间没有线 性关系, 性关系,但可能有 其它关系
2 设 ( X ,Y) ~ N(µ1, µ2,σ12 ,σ2 , ρ), 则 ρ =0 相互独立 X ,Y相互独立 ρXY = 0
X ,Y互不相关
第四章 随机变量的数字特征
§3 协方差及相关系数 设 X 的概率密度为： 的概率密度为：
相关
第四章 随机变量的数字特征
§3 协方差及相关系数
Y
8/14
Y
Y = a0+b0 X ( b0 < 0 )
Y
Y= a0 +b0 X ( b0 > 0 )
O
ρXY = 1
Y
X
O
Y
ρXY = − 1
y = a0 +b0 x ( b0 < 0 )
X
O
y = a0 +b0 x ( b0 > 0 )
ρσ1σ2p{− −t /1 [∞x − µ−u / 2 ( 2 ) ∞ 2 f (x, y) = ex = e dt ⋅ u e du 2π σ 1− ρ π ∫−∞ 2(1− ρ )∫−∞ σ σ 2 (x − µ )( y − µ 2) ( y − µ ) − 2ρ σ1σ2σ − ρ + −t / 2 ]}∞ −u / 2 1 ∞ + σ te σ dt ⋅ ∫−∞ ue du ∫−∞ − µ x − µ 1 = ex − π 1 p{ 2 [( yσ − ρ σ ) + (1− ρ ) (x − µ ) ]} （ σ 2πσ σ 1− ρρσ1σ 2 2 1− ρ ） = −µ 2π µ2π = ρσ1− µ σ y 2π x− 1 x 21 2 令 t = 1 2( −ρ ), u = , J =1 σ σ1 σ1 1− ρ ρσ1σ2 Cov( X2Y ) , = =ρ ∴ ρXY = D( X ) D(Y) σ1σ2
自协方差与自相关函数的估计
∑
n →∞
2 lim Eγ n (k ) = 0
即
Eγˆ k =
1 n−k γ k + Eγ n ( k ) n t =1
∑
易见 在µ未知情况下 仍有 γˆ k 依均方收敛于 γ k
ˆ k 均方收敛于 ρ k 相应的有 ρ
三
根据样本自协方差函数与自相关函数对模型的初步分析
绘图法 设 {ε t } 为独立序列 且为白噪声序列 则由 ε 1 , ε 2 , L , ε n 计算出的自相关函数
若 {xt } 是均值不为零的平稳序列
γˆ k =
估计
1 n−k ( xt − x )( xt + k − x ) n t =1
∑
γ k = E ( x t − µ )( x t + k − µ )
在定理 3.1.1 条件下 可以证明
γˆ k =
且
1 n−k ( xt − µ )( xt + k − µ ) + γ n (k ) n t =1
3 平稳序列的自相关函数的遍历性 1 平稳序列遍历性概念 设平稳序列 {xt } 为遍历的 即对于 xt 的任意函数 f ( xt ) 其集平均 即概率均值有限
E | f ( xt ) |< +∞
则 f ( xt ) 的集平均 E | f ( xt ) | 与其时平均 < f ( xt ) > 相等 即
特别当 {ε t } 为正态序列时 µ 4 = 3σ 4 则上式为
cov(γˆ k , γˆ j ) =
2 渐近正态分布 定理 3.2.1 即
1 ∞ 1 (γ s − k γ s − j + γ s − k γ s + j ) + 0( ) n s = −∞ n
协方差及相关系数
=0
ρX X
所以 X 与 X 不相关
( 3 ) 独立性由其定义来判断
对于任意的常数 a > 0 , 事件 ( X < a ) ( X < a ), 且 P ( X < a ) > 0 , P ( X < a ) < 1,因此有 P( X < a, X < a) = P( X < a) P ( X < a)P( X < a) < P( X < a) 所以 P ( X < a , X < a ) ≠ P ( X < a ) P ( X < a ) 故 X 与 X 不独立
Cov ( X , Y ) = E ( XY ) EXEY = pq Cov ( X , Y ) ρ XY = =1 DX DY
例2 设 ( X ,Y ) ~ N ( μ1, σ12,μ2,σ22,ρ), 求 ρXY 解
令 x μ1
Cov ( X ,Y ) = ∫
σ1 y μ2 =t σ2
=s
ξ ,η 为 X , Y的线性组合
所以 ξ ,η 都服从正态分布 N ( 0, + b )σ ) (a
2 2 2
在正态分布中 , 不相关与独立是等价的
所以当 a = b 时, ξ ,η 独立 当 a ≠ b 时, ξ ,η 不独立
( 3) 当ξ ,η 相互独立时 , 即a 2 = b 2 , ξ ,η 都服从
例1 已知 X ,Y 的联合分布为 X Y 1 0 p 0 0 q 1 0 0 < p <1 p+q=1
求 Cov (X ,Y ), ρXY 解 X P 1 p 0 q Y P 1 p 0 q XY P 1 p 0 q
概率论与数理统计(协方差及相关系数、矩)
实验步骤： 实验步骤： (1) 整理数据如图 所示． 整理数据如图4-5所示 所示．
图4-5 整理数据
(2) 计算边缘概率 计算边缘概率P{X = xi}和P{Y = yj} 和 在单元格G2中输入公式 ： 在单元格 中输入公式： = SUM(B2:F2)， 并将 中输入公式 ， 其复制到单元格区域G3:G6 其复制到单元格区域 在单元格B7中输入公式： 在单元格 中输入公式：=SUM(B2:B6)，并将其 中输入公式 ， 复制到单元格区域C7:F7 复制到单元格区域 (3) 计算期望 计算期望E(XY) 首先在单元格B9中输入公式： 首先在单元格 中输入公式： 中输入公式 =MMULT(B1:F1,B2:F6)， ，
−
π
∫ πcos zdz = 0, ∫ πsin z cos zdz = 0
−
1 E ( XY ) = 2π
π
因而Cov(X，Y) = 0，ρXY = 0． ， 因而 ， ． 不相关， 相关系数ρXY = 0，说明随机变量 与Y不相关， ，说明随机变量X与 不相关 但是， 所以X与 不独立 不独立． 但是，由于 X 2 + Y 2 = 1 ，所以 与Y不独立．
Cov ( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = 19 / 400,
所以
ρ XY =
Cov( X , Y ) 19 / 400 133 = = = 0.87 D( X ) D(Y ) 153 / 2800 153
4.3.2 相关系数 下面不加证明地给出相关系数的两条性质： 下面不加证明地给出相关系数的两条性质： (1) |ρXY | ≤ 1； ； 的充要条件是， (2) |ρXY | = 1的充要条件是，存在常数 ，b，使 的充要条件是 存在常数a， P{Y = aX + b} = 1． ． 定义4.6 若ρXY = 0，称X与Y不相关．0 < ρXY ≤ 1，称 定义 ， 与 不相关． ， 不相关 X与Y正相关，– 1 ≤ ρXY < 0，称X与Y负相关． 正相关， 负相关． 与 正相关 ， 与 负相关 事实上,相关系数 事实上 相关系数ρXY是X与Y线性关系强弱的一个 与 线性关系强弱的一个 度量,X与 的线性关系程度随着 的线性关系程度随着| 的减小而减弱, 度量 与Y的线性关系程度随着 ρXY|的减小而减弱 的减小而减弱 的线性关系最强， 时 与 的线性关系最强 当|ρXY| = 1时X与Y的线性关系最强， 的不存在线性关系， 当ρXY = 0时，意味 与Y的不存在线性关系，即X 时 意味X与 的不存在线性关系 不相关. 与Y不相关 不相关
概率论与数理统计：4-3协方差及相关系数
协方差的计算公式
1 CovX ,Y EXY EX EY 2 DX Y DX DY 2CovX ,Y .
性质
1. CovX ,Y CovY , X . 2. CovaX ,bY abCovX ,Y . a ,b为常数. 3. CovX1 X2 ,Y CovX1,Y CovX2 ,Y .
易知E(X)=0,E(Y)=5/2,E(XY)=0,于是 xy 0,
X,Y不相关.这表示X,Y不存在线性关系.
但,P{X=-2,Y=1}=0 P{X=-2}P{Y=1},知X,Y不
是相互独立的.事实上,X和Y具有关系:Y=X2,Y 的值完全可由X的值所确定.
例2
设X ,Y ~
N
1
,
2
,
2 1
2
1 2
1
2tu
1 2u2
u2 t2
e 2 2 dtdu
1 2 2
u2e
u2 2
du
e
t2 2
dt
1
2
1
2
2
ue
u2 2
du
te
t2 2
dt
1 2 2 2 , 2
故有 CovX ,Y 1 2 .
于是
XY
CovX ,Y DX DY .
得出结论
二维正态分布密度函数中,参数代表了X与Y
协方差及相关系数
协方差与相关系数的概念及性质 相关系数的意义
一、协方差与相关系数的概念及 性质
提出问题
若随机变量X和Y相互独立
DX Y DX DY 若随机变量X和Y不相互独立 DX Y ?
DX Y EX Y 2 EX Y 2 DX DY 2EX EX Y EY .
均值函数相关函数协方差函数
均值函数相关函数协方差函数
均值函数和协方差函数都是统计学中常用的函数，用于描述随
机变量之间的关系和特征。
首先，我们来看看均值函数。
均值函数
通常用来描述随机变量的平均值或期望值。
对于一个随机变量X，
其均值函数可以表示为E(X)，即X的期望值。
均值函数可以在描述
数据集中的中心位置和集中趋势方面发挥重要作用。
在实际应用中，均值函数可以帮助我们了解数据的平均水平，对比不同数据集之间
的差异，并进行数据预测和决策。
接下来是协方差函数。
协方差函数用于衡量两个随机变量之间
的线性关系及其变化趋势。
对于两个随机变量X和Y，它们之间的
协方差可以表示为cov(X,Y)。
协方差函数的数值可以告诉我们这两
个随机变量是如何一起变化的，如果协方差为正值，则表示它们是
正相关的，即当一个变量增加时，另一个变量也会增加；如果协方
差为负值，则表示它们是负相关的，即当一个变量增加时，另一个
变量会减少；如果协方差接近于零，则表示它们之间没有线性关系。
协方差函数在金融学、经济学和其他领域的数据分析中被广泛应用，帮助人们理解不同变量之间的关系，从而做出相应的决策。
综上所述，均值函数和协方差函数在统计学和数据分析中都扮
演着重要的角色。
它们可以帮助我们理解数据的特征和变化规律，为决策提供依据，并在实际应用中发挥重要作用。
希望以上信息能够对你有所帮助。
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自相关函数 的谱密度函数 称为自谱密度函数
互相函数 的谱密度函数 称为互密度函数
注：谱密度函数就是相关函数的傅里叶变换式，反之，相关函数就是谱密度函数的傅里叶反变换式。
著名的维纳-霍甫积分方程
著名的维纳-霍甫积分方程
注：这个方程给出了自相关函数、输入与输出的互相关函数和脉冲响应函数之间的关系。
相关函数及协方差函数
自协方差函数（对于一维随机过程）
互协方差函数（对于二维随机过程）
自相关函数
互相关函数
注：特别的如果 的期望函数为零，则协方差函数和自相关函数相等。如果 随机程的两状态相互独立，则有
注：特别的如果 之一的期望为零，则互协方差等于互相关函数。如果随机过程 相互独立，则 ， 称为互不相关的。相互独立的两个随机过程必是互不相关的。反之如果互相关的不一定相互独立。常用的函数Βιβλιοθήκη 数学期望函数方差函数
协方差函数