线性代数第五章习题答案

思考题5-1

1. 1123123100,000=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅a a a a 0a a a .

2.不一定。例如，对于123101,,012⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

a a a ，它们中的任两个都线性无关，但是123,,a a a 是线性相关的。

3. 不一定。也可能是2a 能由13,a a 线性表示，还可能是3a 能由12,a a 线性表示。

4. 不一定。例如，对于12121100,;,0012-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

====⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

a a

b b 。12,a a 和12,b b 这两个向量组都线性相关，但1122,++a b a b 却是线性无关的。

5. 向量组121,,,,n n +a a a a 线性无关。根据定理5-4用反证法可以证明这一结论。

习题5-1

1.提示：用行列式做。 （1）线性无关。 （2）线性相关。.

2. 0k ≠且1k ≠。

3.证：

1212,,,1,,,

,n n ==∴e e e E e e e 线性无关。

设[]12,,,,T

n b b b =b 则1122.n n b b b =++

+b e e e

4. 证法1：因为A 可逆，所以方程组=Ax b 有解。根据定理5-1，向量b 能由A 的列向量组12,,

,n a a a 线性表示，所以向量组12,,,,n a a a b 线性相关.

证法2：通过秩或根据m n >时m 个n 元向量一定线性相关也可马上证明。 5. .证：

（1）因为A 的列向量组线性相关，所以齐次线性方程组=Ax 0有非零解，设≠u 0是它的非零解，则.=Au 0

由=B PA ，得.=Bu 0可见=Bx 0有非零解，所以B 的列向量组线性相关。 （2）若P 可逆，则1

-=A P B 。由（1）的结论可知，B 的列向量组线性相关时，A 的列向量组也线性相关，所以A 和B 的列向量组具有相同的线性相关性。 注：该题也可根据性质5-6和性质5-3来证明。

6. 证：由A 可逆知，A 的列向量组线性无关。根据定理5-6，增加两行后得到的矩阵B 的列向量组也线性无关.

注：该题也可通过矩阵的秩来证明。

7.证：（1）由向量组123,,a a a 线性无关，可知23,a a 也线性无关。又因为向量组234

,,a a a 线性相关，所以4a 能由23,a a 线性表示。

（2）反证法。设1a 能由34,a a 线性表示，又因为4a 能由23,a a 线性表示，所以1a 能由23,a a 线性表示，这与123,,a a a 线性无关矛盾，因而1a 不能由34,a a 线性表示。

8.证：反证法。设123,,a a a 线性相关，则其中至少有一个向量可由另两个向量线性表示，不妨设1a 能由23,a a 线性表示。因为向量b 能由123,,a a a 线性表示，所以b 能由23,a a 线性表示，这与b 不能由123,,a a a 中任何两个向量线性表示矛盾，所以向量组123,,a a a 线性无关。

9.证：设2

1123k k l l l l -+++

+=αA αA αA α0。 (1)

由k

=A α0可知，当m k >时，m

=A α0. 用1

k -A

乘以（1）式，得1

1k l -=A

α0.

因为1

,k -≠A

α0所以10.l =这时，（1）式成为

2

123k k l l l -++

+=A αA αA α0. (2)

用2

k -A

乘以（2）式，得1

2k l -=A

α0.

因为1

,k -≠A

α0所以20.l =这时，（2）式成为

2

13k k l l -+

+=A αA α0. (3)

按照同样的做法，可证30k l l ===.所以21,,,

,k -αA αA αA α线性无关.

提高题5-1

1.证：令 2

12

11111

2222

1,,,,,1,,,

,,

,T

T

s s s k k k

k k k

--⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦b b b

211,,,,T

s s s s k k k -⎡⎤⎣

⎦。

因为i j ≠时，i j k k ≠,所以12121,,,()0,,,,s j i s i j s

k k ≤<≤=

-≠∑

b b b b b b 线性无关.

根据定理5-5可知，12,,

,s a a a 线性无关.

2.证：由11,=A αα2122,=+A ααα3233=+A ααα，得1(),-=A E α0

21()2,-=A E αα32()3-=A E αα。

设112233k k k ++=ααα0， (1) 用-A E 乘以（1）式，得

213223k k +=αα0 （2）

再用-A E 乘以（2）式，得

316k =α0

因为1,≠α0所以30k =。由（2）式可得，20k =，再由(1)式可得，10k =。 所以向量组123,,ααα线性无关。

思考题5-2

1．（1) 不正确。当()r r =A 时，A 中有一个r 阶非奇异子阵就行，不需要所有r 阶子阵都是非奇异的. (2) 正确。

（3）正确。因为A 的行秩与列秩相等，当A 为方阵时，A 的秩与A 的行数和列数的大小关系是一样的，所以A 的行向量组和列向量组有相同的线性相关性.

（4）不正确。例如，对于111,1,()(),00r r ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

A B AB B 但A 不是

可逆矩阵.

（5）正确。由=AB O ，得()()()0,()(),r r n r r r n +-≤=+≤A B AB A B 其中n 为A 的列数。由A 和B 都是n 阶非零矩阵，可得()1,()1r r ≥≥A B 。再根据()()r r n +≤A B ，可得(),()r n r n <

2.当A 为方阵时，A 为降秩矩阵⇔A 是奇异矩阵⇔A 不可逆⇔=Ax 0有非零解

⇔A =x b 无解或有无穷多个解⇔A 的行向量组（列向量组）线性相关。

习题5-2

1.注：求秩时行变换和列变换都可用。 (1)()4r =A ; (2)()3r =B 。