塑性极限分析下限法研究

此外，钱向东老师在其博士论文[6]中进一步提出了用等参单元建构塑性极限的下限分 析模型的方法，此模型虽不能直接应用传统平衡方程进行计算，但可减少所需单元数量并达 到更好的拟和效果，从而大大减少计算量，使问题得以实际化、应用化。如此一来即可避免 由屈服条件线性化过程中所带来的一系列问题，同时又能提高问题的可解性与解的准确性。 这一方法或许更加实际有效。
[2] 徐秉业．结构塑性极限分析[M]．中国建筑工业出版社，1985． [3] 范金星．拱坝三维有限元塑性极限分析．硕士论文，武汉水利电力大学，1991.12． [4] 鄢玉英．塑性极限分析优化法在重力坝中的应用．硕士论文，武汉水利电力大学，1989． [5] 郑颖人，龚晓楠．岩土塑性力学基础[M]．中国建筑工业出版社，1989.8． [6] 钱向东．混凝土拱坝的强度计算与极限荷载分析．河海大学．博士论文，2005.3． [7] 刘尔烈．有限单元法及程序设计[M]．天津大学出版社，1999.7．
微分形式的平衡方程(2b)，其表达式为
∂σ x ∂x ∂τ xy
∂x
+ ∂τ xy ∂y
+ ∂σ y ∂y
+ ∂τ zx ∂z
+ ∂τ zy ∂z
⎫ = −px ⎪
⎪
=
−
p
y
⎪ ⎬
⎪
∂τ zx ∂x
+ ∂τ yz ∂y
+ ∂σ z ∂z
=
−
p
z
⎪ ⎪
⎭
将式(5)代入后可得如下的单元平衡方程表达式
[ A]e{σ }e = {b}e
4
∑ {σ } = Ni{σ }i =[ψ ]{σ }e
(5)
i =1
式中{σ }e 为单元节点应力向量；[ψ ] 为单元应力形函数矩阵，其中 I 为 6 阶单位矩阵； Ni (i=1,2,3,4)为单元应力插值函数或应力形函数。
二、平衡条件
塑性极限分析的下限定理要求假定的应力场须与外荷载平衡，对于三维问题，直接采用
{σ }TE2
T
，{b}d
= {0}，则交界面上相邻结点的连
续性条件可表示为
[ A]d {σ }d = {b}d
(12)
五、屈服条件 由于是线性分布的应力场，且单元内的材料均一，那么只要单元的全部结点满足应力
屈服条件，则可以断定单元内部的任一点均满足屈服条件。所以，我们只需要对结点应力建 立约束条件即可，可用公式表示为
设空间 4 结点四面体单元各节点的 6 个应力分量为：
{σ }i
=
(σ
i x
,σ
i y
,σ
i z
,τ
i xy
,τ
i yz
,τ
i zx
)T
i=1,2,3,4
由于是“单纯形”单元，因此单元内部的应力分量呈线性分布，则单元内任一点的应力分量
{σ } = (σ x ,σ y ,σ z ,τ xy ,τ yz ,τ zx )T ，可由 4 个结点应力分量的线性插值确定，即
f ({σ }i ) ≤ 0 i=1,2,…,NP
(16)
其中{C}T {X } 为目标函数，且{C}T = {{0} 1} ，[A]是集合后的 m 个等式约束的系数矩阵， m = (3 × NE + 3 × NB + 9 × ND) 。
3、总结与展望
本文介绍了塑性极限定理及其下限定理的数学描述格式，并对传统下限分析的有限元 格式做了比较细致的介绍，给出了用有限元法进行塑性极限的下限分析所需的数学模型的构 建原理及建模过程。
-4-

参考文献
[1] A. V. Lyamin and S. W. Sloan. Lower bound limit analysis using non-linear programming. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Engineering,2002,55:573~611．
结点的正应力和剪应力的连续，则可以保证交界面
上任一点的应力均满足连续性条件。 如图 2 所示，为了表示单元 E1、E2 交界面上
图 2 应力间断面
的应力分量，建立局部坐标系 (x′, y′, z′) ，其中 z′ 轴沿应力间断面的法线方向，指向 E1 单
元，坐标面 x′o′y′ 位于交界面上。(l1, m1, n1 ) 、(l2 , m2 , n2 ) 、(l3 , m3 , n3 ) 分别表示 (x′, y′, z′) 轴在整体坐标系中的方向矢量。则由整体坐标系（x, y, z）到局部坐标系 (x′, y′, z′) 的坐标转
(4b)
∀u&i ∈U& *
f (σ ij ) ≤ 0
(4c)
2.3、传统下限分析有限元格式
传统的下限分析采用“单纯形”单元对计算区域进行离散。A.V.Lyamin 和 S.W.Sloan 在
文献[2]中以平面 3 节点三角形单元为例，给出了二、三维情况下“单纯形”单元的下限分
析有限元格式。
一、应力插值
Study Of Lower Bound Limit Analysis
Wang Xue
Department Of Disaster Prevention and Mitigation Engineering, Hohai University, Nanjing, China (210098)
Abstract
β
s i
(1)
i
通常把这种求解极限荷载最大下限的方法称为极限分析的静力法。
2.2、数学描述
假定作用在结构上的荷载只有表面荷载 qi 为可变荷载，并按比例因子 β 加载，其他荷 载均保持不变，则用静力法求极限荷载因子 β cr 下限的问题可表述为一个约束最优化问题，
即
maximize β
(2a)
subject to σ ij, j + pi = 0

塑性极限分析下限法研究
王雪
河海大学防灾减灾工程及防护工程专业，江苏南京（210098） E-mail:funfuncat_snow@
摘要：塑性极限分析是一种新兴的结构分析方法。本文大致介绍了一些关于塑性极限分析下限法的定理及
其数学描述。并进一步给出了传统下限分析的有限元格式及其数学模型。并在文章最后提出使用等参单元 进行有限元下限分析的可能性及建议。
(3)
其中 u&i ∈U& * （U& * 为机动场集合）是任意机动许可的位移速率，即
ε&ij
=
1 2
(u&
i
,
j
+ u& j,i )
(in V)
u&i = u&i
(on Su )
则下限定理可表示为
maximize β
(4a)
subject to
∫ ∫ ∫ V σ ijε&ij dV − V piu&i dV − β S qiu&i dS = 0
m32 m2 m3 m1m3
n32 n2 n3 n1n3
2l3 m3 l2m3 + l3m2 l1m3 + l3m1
2m3n3 m2n3 + m3n2 m1n3 + m3n1
2l3 n3 l2n3 + l3n2
⎤ ⎥ ⎥
为坐标转换矩
l1n3 + l3n1 ⎥⎦
阵。
同样的，在 E2 单元中的相对应结点在交界面上的法向正应力和剪应力为
关键词：塑性极限分析；下限法；有限元
1、引言
随着人们生活水平的不断提高，资源短缺问题日益受到重视，在这样的大环境下，人们 对结构设计提出了新的要求。越来越多的设计人员在重视结构安全度的同时，越来越重视材 料的利用率，以最少的资源耗损达到最大的安全性是目前结构设计的重要理念。塑性极限分 析的理论与方法便是在此基础之上产生并发展起来的。
假定 l，m，k 是边界上的 3 个结点，同时 lmk 又是单元的
一个面，则可以推知，只要 l，m，k 满足了应力边界条
件，则在边界面 lmk 上的各点均满足边界条件。
设边界单元上某结点的应力为
{σ }b
=
(σ
b x
,
σ
b y
,
σ
b z
,τ
b xy
,τ
b yz
,τ
b zx
)T
，在结点上作用有面
荷载，强度为{b}b = (qx , q y , qz )T ，则应力边界条件为
The limit analysis is a kind of newly arisen structure analysis method. And this paper mostly introduce some theorems of lower bound limit analysis and give out its mathematical expressions. Forther more, this paper also introduce a traditional general non-linear optimization algorithm for lower bound limit analysis. Finally, a method of lower bound limit analysis by using isoparametric element in finite element is suggusted. Keywords: plastic limit analysis; lower bound method; finite element method