塑性极限分析下限法研究

f ({σ }i ) ≤ 0 i=1,2,…,NP
(16)
其中{C}T {X } 为目标函数，且{C}T = {{0} 1} ，[A]是集合后的 m 个等式约束的系数矩阵， m = (3 × NE + 3 × NB + 9 × ND) 。
3、总结与展望
本文介绍了塑性极限定理及其下限定理的数学描述格式，并对传统下限分析的有限元 格式做了比较细致的介绍，给出了用有限元法进行塑性极限的下限分析所需的数学模型的构 建原理及建模过程。
(in V)
σ ij n j = β ⋅ qi
(on Sσ )
( ) f σ ij ≤ 0
利用虚功率原理可将平衡条件和应力边界条件表示为积分形势
(2b) (2c) (2d)
-1-
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∫ ∫ ∫ V σ ijε&ij dV − V piu&i dV − β S qiu&i dS = 0
微分形式的平衡方程(2b)，其表达式为
∂σ x ∂x ∂τ xy
∂x
+ ∂τ xy ∂y
+ ∂σ y ∂y
+ ∂τ zx ∂z
+ ∂τ zy ∂z
⎫ = −px ⎪
⎪
=
−
p
y
⎪ ⎬
⎪
∂τ zx ∂x
+ ∂τ yz ∂y
+ ∂σ z ∂z
=
−
p
z
⎪ ⎪
⎭
将式(5)代入后可得如下的单元平衡方程表达式
[ A]e{σ }e = {b}e
{σ }TE2
T
，{b}d
= {0}，则交界面上相邻结点的连
续性条件可表示为
[ A]d {σ }d = {b}d
(12)
五、屈服条件 由于是线性分布的应力场，且单元内的材料均一，那么只要单元的全部结点满足应力
屈服条件，则可以断定单元内部的任一点均满足屈服条件。所以，我们只需要对结点应力建 立约束条件即可，可用公式表示为
换关系式为
⎧x′⎫
⎪ ⎨
y
′⎪⎬
⎪⎩ z ′⎪⎭
=
⎡l1 ⎢⎢l2 ⎢⎣l3
m1 m2 m3
n1 n2 n3
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
x y z
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
=
[
⎧ L]⎪⎨
⎪⎩
x y z
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
(8)
若 在 E1 单 元 的 间 断 面 上 ， 某 点 在 整 体 坐 标 系 中 的 应 力 为
假定 l，m，k 是边界上的 3 个结点，同时 lmk 又是单元的
一个面，则可以推知，只要 l，m，k 满足了应力边界条
件，则在边界面 lmk 上的各点均满足边界条件。
设边界单元上某结点的应力为
{σ }b
=
(σ
b x
,
σ
b y
,
σ
b z
,τ
b xy
,τ
b yz
,τ
b zx
)T
，在结点上作用有面
荷载，强度为{b}b = (qx , q y , qz )T ，则应力边界条件为
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塑性极限分析下限法研究
王雪
河海大学防灾减灾工程及防护工程专业，江苏南京（210098） E-mail:funfuncat_snow@hotmail.com
摘要：塑性极限分析是一种新兴的结构分析方法。本文大致介绍了一些关于塑性极限分析下限法的定理及
其数学描述。并进一步给出了传统下限分析的有限元格式及其数学模型。并在文章最后提出使用等参单元 进行有限元下限分析的可能性及建议。
Study Of Lower Bound Limit Analysis
Wang Xue
Department Of Disaster Prevention and Mitigation Engineering, Hohai University, Nanjing, China (210098)
Abstract
(4b)
∀u&i ∈U& *
f (σ ij ) ≤ 0
(4c)
2.3、传统下限分析有限元格式
传统的下限分析采用“单纯形”单元对计算区域进行离散。A.V.Lyamin 和 S.W.Sloan 在
文献[2]中以平面 3 节点三角形单元为例，给出了二、三维情况下“单纯形”单元的下限分
析有限元格式。
一、应力插值
m32 m2 m3 m1m3
n32 n2 n3 n1n3
2l3 m3 l2m3 + l3m2 l1m3 + l3m1
2m3n3 m2n3 + m3n2 m1n3 + m3n1
2l3 n3 l2n3 + l3n2
⎤ ⎥ ⎥
为坐标转换矩
l1n3 + l3n1 ⎥⎦
阵。
同样的，在 E2 单元中的相对应结点在交界面上的法向正应力和剪应力为
[ A]b{σ }b = {b}b
(7)
四、应力连续性条件
图 1 应力边界条件
在有限元塑性极限分析中，相邻单元的公共面即为应力间断面。为了允许单元间的应力
间断，对每个单元分别构造应力场，但在相邻单元
的交界面上则必须保证法向正应力和两个剪应力的
连续性。同样的，由于假定单元应力是呈线性分布
的，所以只要满足相邻单元的应力间断面上的对应
β
s i
(1)
i
通常把这种求解极限荷载最大下限的方法称为极限分析的静力法。
2.2、数学描述
假定作用在结构上的荷载只有表面荷载 qi 为可变荷载，并按比例因子 β 加载，其他荷 载均保持不变，则用静力法求极限荷载因子 β cr 下限的问题可表述为一个约束最优化问题，
即
maximize β
(2a)
subject to σ ij, j + pi = 0
The limit analysis is a kind of newly arisen structure analysis method. And this paper mostly introduce some theorems of lower bound limit analysis and give out its mathematical expressions. Forther more, this paper also introduce a traditional general non-linear optimization algorithm for lower bound limit analysis. Finally, a method of lower bound limit analysis by using isoparametric element in finite element is suggusted. Keywords: plastic limit analysis; lower bound method; finite element method
这样计算出的下限可以有无穷多个。但是只有结构不破坏时所能承受的最大荷载与结构的真
实极限荷载最为接近，因此，计算时应选择由下限定理求出的极限荷载下限中最大的那个值
作为极限荷载下限的近似值。比例加载情况下，用 β 表示荷载因子，则结构的极限荷载因
子 β cr 是所有满足静力许可条件的荷载因子的上界，即
sup βcr =
结点的正应力和剪应力的连续，则可以保证交界面
上任一点的应力均满足连续性条件。 如图 2 所示，为了表示单元 E1、E2 交界面上
图 2 应力间断面
的应力分量，建立局部坐标系 (x′, y′, z′) ，其中 z′ 轴沿应力间断面的法线方向，指向 E1 单
元，坐标面 x′o′y′ 位于交界面上。(l1, m1, n1 ) 、(l2 , m2 , n2 ) 、(l3 , m3 , n3 ) 分别表示 (x′, y′, z′) 轴在整体坐标系中的方向矢量。则由整体坐标系（x, y, z）到局部坐标系 (x′, y′, z′) 的坐标转
[2] 徐秉业．结构塑性极限分析[M]．中国建筑工业出版社，1985． [3] 范金星．拱坝三维有限元塑性极限分析．硕士论文，武汉水利电力大学，1991.12． [4] 鄢玉英．塑性极限分析优化法在重力坝中的应用．硕士论文，武汉水利电力大学，1989． [5] 郑颖人，龚晓楠．岩土塑性力学基础[M]．中国建筑工业出版社，1989.8． [6] 钱向东．混凝土拱坝的强度计算与极限荷载分析．河海大学．博士论文，2005.3． [7] 刘尔烈．有限单元法及程序设计[M]．天津大学出版社，1999.7．
2、塑性极限分析的下限法
由 Drucker 公设和虚功原理可以证明塑性极限定理，即上、下限定理，他们是结构塑
性极限分析的理论基础。
2.1、下限定理
下限定理认为 [1] ：在所有与静力容许应力场对应的荷载中，最大的荷载为极限荷载，
表示任意与静力容许场对应的外荷载是极限荷载的一个下限。
下限定理给出了结构不会破坏的必要条件，用它可计算出结构极限荷载的下限，显然，
{σ}′E2 = [T ]{σ}E2
(10)
由连续性条件可知{σ}′E1 = {σ}′E2 ，即[T ]{σ }E1 = [T ]{σ}E2 ，亦即
-3-
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[T ]{σ}E1 − [T ]{σ}E2 = 0
(11)
( ) [ ] 现令[A]d = T
− T ，{σ }d = {σ }TE1
(3)
其中 u&i ∈U& * （U& * 为机动场集合）是任意机动许可的位移速率，即
来自百度文库
ε&ij
=
1 2
(u&
i
,
j
+ u& j,i )
(in V)
u&i = u&i
(on Su )
则下限定理可表示为
maximize β
(4a)
subject to
∫ ∫ ∫ V σ ijε&ij dV − V piu&i dV − β S qiu&i dS = 0
{σ }E1
=
(σ
E1 x
,σ
E1 y
,
σ
E1 z
,τ
E1 xy
,τ
E1 yz
,τ
E1 zx
)T
，则该点在交界面上的法向正应力和剪应力，即局
部坐标系中的应力分量{σ }′E1
=
(σ
E1 z′
,τ
E1 y′z′
,τ
E1 z′x′
)T
可由整体坐标转换得到，即
{σ}′E1 = [T ]{σ}E1
(9)
其中 [T ] = ⎢⎢⎡ll23l23 ⎢⎣l1l3
f ({σ }ie ) ≤ 0 (i=1,2,3,4；e=1,2,…,NE)
(13)
六、数学模型 综上所述，集合所有的约束条件后，我们可以得到下限分析有限元的数学模型，其模
型可以表述成如下的最优化问题
maximize {C}T {X }
(14)
subject to [ A]{X } = {b}
(15)
设空间 4 结点四面体单元各节点的 6 个应力分量为：
{σ }i
=
(σ
i x
,σ
i y
,σ
i z
,τ
i xy
,τ
i yz
,τ
i zx
)T
i=1,2,3,4
由于是“单纯形”单元，因此单元内部的应力分量呈线性分布，则单元内任一点的应力分量
{σ } = (σ x ,σ y ,σ z ,τ xy ,τ yz ,τ zx )T ，可由 4 个结点应力分量的线性插值确定，即
-4-
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参考文献
[1] A. V. Lyamin and S. W. Sloan. Lower bound limit analysis using non-linear programming. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Engineering,2002,55:573~611．
4
∑ {σ } = Ni{σ }i =[ψ ]{σ }e
(5)
i =1
式中{σ }e 为单元节点应力向量；[ψ ] 为单元应力形函数矩阵，其中 I 为 6 阶单位矩阵； Ni (i=1,2,3,4)为单元应力插值函数或应力形函数。
二、平衡条件
塑性极限分析的下限定理要求假定的应力场须与外荷载平衡，对于三维问题，直接采用
关键词：塑性极限分析；下限法；有限元
1、引言
随着人们生活水平的不断提高，资源短缺问题日益受到重视，在这样的大环境下，人们 对结构设计提出了新的要求。越来越多的设计人员在重视结构安全度的同时，越来越重视材 料的利用率，以最少的资源耗损达到最大的安全性是目前结构设计的重要理念。塑性极限分 析的理论与方法便是在此基础之上产生并发展起来的。
此外，钱向东老师在其博士论文[6]中进一步提出了用等参单元建构塑性极限的下限分 析模型的方法，此模型虽不能直接应用传统平衡方程进行计算，但可减少所需单元数量并达 到更好的拟和效果，从而大大减少计算量，使问题得以实际化、应用化。如此一来即可避免 由屈服条件线性化过程中所带来的一系列问题，同时又能提高问题的可解性与解的准确性。 这一方法或许更加实际有效。
(6)
三、应力边界条件
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在很多工程问题中，结构边界上通常承受沿边界均布或呈线性变化的分布荷载，对于线 性单元来说，如果结构边界上的荷载为线性分布的面荷载，那么只要处于结构边界上的单元
面上的 3 个结点满足应力边界条件，则整个单元面上的应力均满足边界条件。如图 1 所示，