弹性波动力学重点复习题-36页文档资料

1．什么是弹性体?

当一个物体受到外力作用，在它的内部质点间发生位置的相对变化，从而使其形状改变，当外力作用取消后，物体的应力、应变状态立刻消失，并恢复原有的形状。这类物体称为弹性体。

2．物体在什么条件下表现为弹性性质，在什么条件下表现为塑性性质?

在外力作用较小，作用时间较短情况下，大多数物体包括岩石在内，表现为弹性体性质。外力作用大，作用时间长的情况下，物体会表现为塑性体性质。

3．弹性动力学的基本假设有哪些?

（1）介质是连续的

（2）物体是线性弹性的

（3）介质是均匀的

（4）物体是各向同性的

（5）物体的位移和应变都是微小的

（6）物体无初应力

4．什么是弹性动力学中的理想介质?

理想介质：连续的、均匀的、各向同性的线性完全弹性介质。

3．什么是正应变、切应变、相对体变?写出它们的位移表达式。 答：正应变是弹性体沿坐标方向的相对伸缩量。切应变表示弹性体扭转或体积元侧面角错动。相对体变表示弹性体体积的相对变化。 4．什么是旋转角位移?写出它与(线)位移的关系式。 旋转角位移为体积元侧面积对角线的转动角度。 5．试解释应变张量和旋转张量中各分量的物理含义。

zz yy xx e e e ,,分别表示弹性体沿x 、y 、z 方向的相对伸长量； zx yz xy e e e ,,分别表示平行于坐标面xoy 、yoz 和xoz 的侧面积的角错动

量。

z y x ωωω、、分别表示与坐标面yoz 、xoz 和xoy 平行的侧面积对角线

围绕x 、y 和z 轴的旋转角。

11．设弹性体内的位移场为j y x i y x s ρρρ

)()(2

211αδδα+++=，其中2121,,,δδαα都是与1相比很小的数，试求应变张量、转动角位移矢

量及体积膨胀率(相对体变)。

解：j y x i y x s ρρρ

)()(2211αδδα+++=

??

???

???

???

???

???=??+??==??+??=+=??+??==??==??==??=0

0 212

1z u x w e y w z v e x v y u e z

w e y v e x u e zx yz xy zz yy xx δδα

α 应变张量????? ??++=0 0 0 0 0

21211δδδδαε 体积膨胀率21ααθ+=??+??+??=

++=z

w

y v x u e e e zz yy xx 12．已知弹性体内的位移场为j x x k i y y k s ρρρ

)()(00---=，

其中00,,y x k 为已知常数，试求应变张量和旋转张量，并阐述此结果反映什么物理现象。

解：j x x k i y y k s ρρρ

)()(00---=

??

???

?

??

???

???

???=??+??==??+??==??+??==??==??==??=0

0 000 z u x w e y w z v e x v y u e z

w e y v e x u e zx yz xy zz yy xx 应变张量????? ??=0 0 00 0 00 0

0ε

体积膨胀率0=??+??+??=

++=z

w y v x u e e e zz yy xx θ 反映了该弹性体没有发生体积及形状的变化，只是绕z 轴旋转了一个角度。

6．什么是应力、正应力、切应力、应力张量?

答：作用于单位截面积上的内力，称为应力。应力作用方向与作用截面垂直，称为正应力；应力作用方向在作用截面上，称为切应力。三个相互正交的坐标面上应力矢量共同构成了应力张量。记为

????

?

?????=zz yz xz zy yy xy zx yx xx T στττστττσ 。

14. 已知弹性体内一点P 处的应力张量由矩阵??

??

?

?????--=402050207T 给出。试求过点P 外法线方向为u=2i-2j+k 的面元上的应力矢量n p 。

解： 外法线单位矢量为k j i k

j i n ρρρρ

ρρρ

3132321

2222222+-=+++-=

由????

????????????????=??????????n m l P P P zz yz xz zy yy xy zx yx xx nz ny nx στττστττσ

得????

???

??

????????

?-??????????--=??????????31 3232 402050207nz ny nx P P P 得 43

123203

2

7=?-??

? ??-?+?=nx P

则：j i P n ρρρ3

104-= 9

244

9100

16=+=n P ρ 8. 杨氏模量、泊松比、剪切模量、体变模量各表示了什么物理含义?

答：（1）杨氏模量E ，是正应力与正应变的比例系数；

（2）切变模量μ，是切应力与切应变的比例系数；

（3）拉梅系数λ，μ，反映正应力与正应变的比例系数的另一种形式；

（4）压缩模量或体变模量K ，表示单元体在胀缩应变状态下，相对体变与周围压力间的比例系数；

（5）泊松比ν，表示物体横向应变与纵向应变的比例系数，故也称横向形变系数。

19. 已知一各向同性线性弹性体的弹性模量为：杨氏模量E=210Gpa ，泊松比为0.28；其中一点处的应变分量为

0,8,2,3,==-==-==xy zz zx yz yy xx e e a e a e a e a e ，其中a=410-，试求拉

梅常数μλ,，并写出该点上的应力张量。 解：GPa E 176

18375

5632.08.58)56.01)(28.01(28.0210)21)(1(==-+?=-+=

υυυλ

体应变a e e e zz yy xx 2-=++=θ 则由应力应变关系

1．已知一弹性介质内MPa 5

10==μλ，位移场为→

→→→++=k w j v i u S ,

其中??

?

??-===xy z w xz v xy u 22

2试求点P(0,2,-4)处的应变张量、转动向量、体应

变以及该点处的应力分量。 解：由题可知在P(0,2,-4)点

则应变张量为8 4 -24 0 02 0 8ij e -??

?

=- ? ?--??或????

? ??-----=4 0 10

0 21 2 8ij e 由转动向量

体应变()8080xx yy zz e e e θ=++=++-=

由应力应变关系有

20. 将ij ij z y x p δτ),,(-=代入用下标记号表示的运动微分方程

i i j ji u F ..

,ρρτ=+中，化为矢量方程，并用梯度算子表示。

解：由ij ij z y x p δτ),,(-=可知

??

???

-=-=-= p p p zz yy xx σσσ ?????===000xy yz

zx τττ代入运动微分方程

?????

????????=+??+??+????=+??+??+????=+??+??+??222222t w F z y x t v F z y x t u F z y x z zz yz xz y zy yy xy x zx yx xx ρρσττρρτστρρττσ得：??

?

????????=+??-??=+??-??=+??-222222t w F x p t v F x p t u F x p z y x ρρρρρρ

将各式分别乘以单位向量→

→→k j i 、、，相加，得：

2

2

t

S

F p ??=+?-→

→

ρρ

第三章复习思考题

3．写出纵波和横波速度的表达式，分析它们之间的大小关系。 由于2

10<<υ，因此1>γ，即S P v v >，可见纵波速度大于横波速度。 4．什么叫泊松体?泊松体的拉梅常数、纵横波速度、泊松比各有什么特点? 答：4

1

=

υ，或者μλ=，具有这种性质的物体称为泊松体。对泊松体而言，73.1=γ。

14．已知某弹性介质中的P 波速度为3600m ／s ，S 波速度1950m ／s ，求该介质的泊松比。 解：13

241950360021)1(22==--=+==

υυμμλγS P v v 15．已知弹性介质中杨氏模量为E ，泊松比为ν，求介质的P 波速度和S 波速度。 解：)

21)(1()

1(22υυρυρμλρμλ-+-=

+=+=

E v P 6．简述地震波在弹性介质中传播的基本规律。

答：惠更斯（Huygens ）原理：任意时刻波前面上的每一点都可以看作是一个新的波源（子波源），由它产生二次扰动，形成新的波前，而以后的波前位置可以认为是该时刻子波前的包络线。由波前面各点所形成的新扰动（二次扰动）在观测点上相互干涉叠加，其

叠加结果是在该点观测到的总扰动。

斯奈尔（Snell ）定律：反射波满足反射定律，而透射波满足折射定律（地震学中称透射定律），地震波也遵循这个规律，统称为斯奈尔定律。在界面上，入射波、反射波和透射波的i

i

v p θsin = 值相等，称p 为射线参数。

7．写出周期、频率、波长、波数、速度各量之间的关系式。 10．简述非均匀波的主要特点。

答：非均匀波的振幅在空间是变化的，随着空间坐标在变化。不均匀平面波其等相位面与等振幅面互相垂直。

16．已知介质1的P 波速度为s m v /20001=，介质2的P 波速度为

123v v =，有一平面简谐P 波以入射角ο30=θ自介质1入射到两介

质的分界面上，已知入射波的振幅为i A ，频率为30Hz ，反射P 波和透射P 波的振幅分别为r A 和t A ，试写出这三个波的波函数表达式。 解：临界角3

3

sin 21=

=

v v i ，入射角ο30=θ小于临界角。反射角等于入射角，根据透射定律

2

1

sin sin v v ='θθ，透射角ο60='θ。 平面简谐波函数)

cos sin (),,,(v

z x t j Ae t z y x f θ

θω--

=，x 轴向右，z 轴向下

入射波：)4000

34000(60),,,(z x t j i e

A t z y x f --

=π

反射波：)4000

34000(60),,,(z x t j r e A t z y x f +-

=π 透射波：)3

40004000(60),,,(z x t j t e

A t z y x f --

=π

17．已知一简谐P 波的波函数为)08.006.0360(z x t j Ae -+=?，试求以下问题： (1)设x 轴向右，z 轴向下，请用一经过原点的射线画出此波的传播方向，并标明角度。

(2)这个波的圆频率和圆波数各是多少?在x 方向和z 方向上的视波数各是多少? 圆频率Hz 360=ω

在x 方向和z 方向上的视波数 08.0 06.0=-=z x k k 圆波数1.03600

3602==

=

=

v

k ω

λ

π

或者)/1(1.022

m k k k z x

=+= (3)这个波的真实传播速度、在x 方向和z 方向上的视速度各是多少? 解：)360

08

.036006.0(360)

08.006.0360(z x t j z x t j Ae

Ae

-+

-+==?

??????

?==-v v

αα

cos 360

08.0sin 36006.0 求解得波的真实传播速度：s m v /3600= 在x 方向和z 方向上的视速度s m C x /6000-=、s m C z /4500 = 11．球面波、柱面波与平面波的本质区别在哪里?试解释球面扩散因子和柱面波扩散因子的物理含义。

答：平面波在其传播过程中波形及其振幅都不变化，而球面波的振幅随传播距离r 的增大而衰减1/r ，并且球面波在其传播过程中波形逐渐改变。远离震源时，柱面波的振幅随r 增大而衰减，与

r

1成

正比。球面扩散因子r

1

：表示波远离震源向外传播，其振幅不断衰减，且与到震源的距离成反比。 柱面波扩散因子

r

1：表示波远离震源向外传播，其振幅不断衰减，

且与r 成反比。

第四章复习思考题

1．什么是机械能密度?什么是能流密度?写出能流密度和机械能密度的关系式，并解释其物理意义。

答：单位体积物体所具有的机械能叫机械能密度。

能流密度：单位时间内通过与能量传播方向垂直的单位截面积的机械能。

表明了单位体积的体积元内机械能在单位时间内的减少量等于通过其表面积的机械能流失量。

2．写出能流密度与应力张量和位移矢量的关系。写出简谐波强度的表达式。 答：

??

?????

??

??+??+??-=??+??+??-=??+??+??-=)

()()(t w t v t u I t w t v t u I t w t v t u I zz zy zx z yz yy yx y xz xy xx

x στττστττσ 或 ?

-=j

ij i u I σ

14．一平面波的位移位为)](ex p[),,(t z k x k j B t y x z x x ωψ-+=，求应变张量分量、应力张量分量、能流密度矢量及波的强度分布。

解：由???

??

????????-

??+??=??-??+??=??-??+??=

y x z w x z y v z y x u x y z x y z ψψ?ψψ?ψψ? 可知???????==??==-+0

)(w e jBk z v u t z k x k j z x z x ωψ

能流密度矢量)()

(222k k i k e k B k I i I I z x t z k x k j z z x z x ρρρρρ+-=+=-+ωμω

波的强度分布z x z k k k B I +=22μωρ

3．常见的平面极化波有哪几种?什么叫转换波?什么时候会产生转换波?

答：常见的平面极化波有纵波、SV 波（垂直极化横波）、SH 波（水平极化横波）。

同入射波极化类型不同的波称为转换波(如入射波为纵波，则有转换反射横波和转换透射横波)。

转换波的产生是由于入射波倾斜地作用在分界面上，它可分解为垂直于界面的力和切向力两部分，导致体应变和切应变，则相应有P 波和SV 波产生。转换波的能量与入射角有关，垂直入射时不能形成转换波；只有入射角达到一定程度时，才有足够能量的转换波被记录下来。

6．Knott 方程和Zoeppritz 方程各表达了什么含义?它们之间的关系如何?

答：Knott 方程表示以位移位振幅比表示的P 波入射时的P 波反射系数、SV 波反射系数、P 波透射系数和SV 波透射系数的表达式。 求解该方程，可以得到以位移位振幅比表示的纵横波的反射系数及纵横波的透射系数。同时，也是用位移位振幅比表示的入射纵波和各反射波或透射波的能量分配关系。可以看出，它们除了同入射角有关外，还同上下介质的速度和密度参数的比值有关。

Zoeppritz 方程表示以位移振幅比表示的P 波入射时的P 波反射系数、SV 波反射系数、P 波透射系数和SV 波透射系数。

7．写出平面P 波垂直入射到弹性界面上时的反射透射系数表达式，并说明其主要特点。

（1）平面P 波垂直入射到弹性界面上时，将产生反射P 波和透射P 波。为了形成反射波，分界面两侧介质波阻抗必须存在着差异，

1122p p v v ρρ≠。波阻抗差异大，反射系数大，界面反射波强；相反，

波阻抗差异小，反射系数小，界面反射波弱。

（2）当波在波阻抗大的分界面（1122p p v v ρρ>）反射时，反射系数为正，这意味着反射波相位与入射波相位相同。相反，当波入射到波阻抗小的分界面（1122p p v v ρρ<）时，反射系数为负值。这时反

射波相对入射波有ο180相位差，称为“半波损失”现象。

（3）平面P 波垂直入射到弹性界面上时，在分界面另一侧产生的透射波，总是和入射波同相位。 8．什么叫透射损失?写出其表达式。

答：2

1pp pp pp r t t -='?表示波从不同的方向穿过同一界面一个来回时振

幅的变化，称为界面的“透射损失”。

9．证明平面P 波垂直入射到弹性界面上时满足能量守恒关系。 证：βαβα'='===0，

入射P 波的能量：S S v S S v E p p 212112121112

1cos 21ωραωρ==

反射P 波的能量：S S v S S v E p p 222112221122

1cos 21ωραωρ==

透射P 波的能量：S S v S S v E p p 242222422242

1cos 21ωραωρ='=

把???

?

???

+=+-=111221

141

1122112222S v v v S S v v v v S p p p p p p p ρρρρρρρ代入能量计算式

所以平面P 波垂直入射到弹性界面上时满足能量守恒关系。

第五章复习思考题

1．试解释频散的概念和相速度、群速度的物理含义。

答：如果传播速度成为与地震波的频率有关的函数，那么构成脉冲波的各简谐分量将分别以各自不同的速度传播，在经过一定的时间后，各简谐波有着不同的传播距离，因而由它们叠加而成的波的延续长度(扰动区域的范围)就要比开始时有所增大。换句话说，随着时间的推移，一个脉冲波将逐渐地变为一列波，这种现象称为波的频散(dispersion)。

相速度：简谐波中任一等相位面的传播速度，即整个简谐波的传播速度。

群速度：整个波列的传播速度。

第六章复习思考题

1．解释波动方程的克其霍夫积分解即式(6—15)的物理含义。 答:[] [g]

41 11141

),(2???+????????+??????????+????????=ΩΩπ???π?d r

dS n r r t n r Cr n r t P S 式中的体积积分项是非齐次波动方程的特解，对应Ω区域内部震源对波场贡献部分，被积函数r 为内部空间震源单元到观测点P 的距离；而式中的面积积分是齐次波动方程的一般解，反映Ω区域以外的外部空间震源的影响。 2．解释推迟位和超前位的概念。

推迟位: )()(C r

t t -→??

超前位；)()(C

r

t t +→??

4．克其霍夫积分解求解的是哪一类波动方程?其求解思路是什么? 答：震源分布于S 曲面以外的区域，我们希望确定S 曲面内部空间的位移场，解决的则是内部问题。 （1）利用傅立叶变化得到亥姆霍兹方程 （2）利用格林公式求解亥姆霍兹方程 （3）利用傅里叶反变换求未知函数),(t P ?

3．解释克其霍夫绕射公式中各项的物理含义，并说明克其霍夫绕射公式在实际中的应用。

答： )cos (cos 2),(000dS j

r e r e Ae

t P S

jkr jkr t

j θθλ

?ω-=??--

空间任意一点P 的波场值都是闭合曲面S 上各点作为新震源发出的二次元波在该点叠加的结果，参与叠加的各元波对P 点波场所起的贡献大小不同，贡献大小由方向因子 )(θK 决定。

5．解释菲涅耳带的概念及其影响因素，并说明菲涅耳带半径与地震分辨率的关系。

答：积分式??-=

S dS r

h

C r t F C t P 3)2(21),(π?的积分区域S 是地下整个反

射面的面积。为了完成这一积分，我们对积分区域S 进行分解，按照一定原则将它划分成一系列以地下反射点R 为圆心的同心圆环状区带。划分的原则是：使得相邻圆环上的点到P 点的距离之差等于地震波长的四分之一。这样，来自相邻圆环上各点的绕射波传到P 点的双程走时为地震波周期的一半，即反相。

这些同心圆环Λ,,,321S S S 分别称为第一、第二、第三、……菲涅耳带。第一菲涅耳带也简称菲涅耳带。

154332112

1)2

12

1()2

12

1(2

1),(I I I I I I I I t P =+++++++=Λ? 对地下整个界面S 的积分，近似等于对第一菲涅耳带S l 内的积分的一半。习惯上不考虑常数2

1，认为菲涅耳带内绕射波的积分就是反射波场。

菲涅耳带半径:2

λ

h r F =

菲涅耳带决定着地震反射的横向分辨率。可以看出，界面埋藏越深，地震波波长越大(频率越低)，菲涅耳带半径越大，地震横向分辨率越低；反之，地震横向分辨率越高。

第七章复习思考题

5．常用的描述地震波吸收特性的参数有哪些？写出它们各自的表达式及相互关系式。 答：（1）吸收系数α： )

()

(ln 12112x A x A x x -=

α 可见，α表示地震波振幅随传播距离x 的衰减，单位是1/m 。 （2）衰减因子β： )

()

(ln 12112t A t A t t -=

β β表示地震波振幅随传播时间t 的衰减，单位是1/s 。

（3）对数衰减率δ：A

A 0

ln

=δ 对数衰减率描述了波传播一个波长或一个周期时的振幅变化，δ是个无量纲的量。

对数衰减率δ与吸收系数α间存在下列关系 （4）品质因子Q ：

π

δπδ?π===22211E E Q 利用在一个波长λ的距离上（或一个周期T 的时间内）地震波能量的相对衰减量来描述介质的吸收性质。

λππαQ QC

f

=

=

或 αλ

π

=Q 7. 已知某地层的品质因子Q=60，地震波速度v=2000m/s ，以地震波离开震源200m 时的能量为参考标准，进行下列计算并做简单的