拉格朗日方程与哈密顿方程
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4
前言
用只牛局顿限力于纯学力理学论问几题乎的都范以畴力，F 运为算基也础比，较因烦此琐它。的1应8 世纪,拉格朗日和哈密顿,伯努利、达朗贝尔、欧拉等
人发展了经典力学的分析形式，采用了可以使用于各 种运动形式的“能量”和“功”这两个标量函数，用
它们取代“力”和“动量”这些几何矢量，建立了分 析力学体系。
T xi
U xi
0
Xi
U xi
11
1.2 拉格朗日方程
引入拉格朗日函数：L=T-U
与速度无关
d dt
L
xi
U
T
xi
L
0
d dt
L xi
L xi
0
d dt
L yi
L yi
0
d dt
L zi
L zi
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
与坐标无关
12
1.2 拉格朗日方程
用广义坐标表示的拉格朗日方程： d L dt q j
拉格朗日方程与哈密顿方程
《理论物理》
1
前言
阿基米德
墨翟 亚里士多德
伽利略 开普勒 笛卡儿
牛顿
拉格朗日
近代力学哈密顿 泊松
现代力学
2
• 墨子在先秦时期创立了以几何学、物理学、光学 为突出成就的一整套科学理论。墨子关于物理学 的研究涉及到力学、光学、声学等分支，给出了 不少物理学概念的定义，并有不少重大的发现， 总结出了一些重要的物理学定理。
19
人们发现，能量观点和拉格朗日方程、哈密顿原 理及正则方程，完全适用于其它形式的物质运动，如 电动力学、统计物理、相对论、量子力学，量子场论 乃至基本粒子等，都是分析问题的基本工具或出发点。 因而分析力学也就成了跨入理论物理学和现代物理学 的入门课程。
18
知识点：
a.广义坐标 b.拉格朗日函数的形式 c.哈密顿函数的形式及其物理意义
广义动量：
p
L q
15
1.3 哈密顿函数及其物理意义
对拉格朗日函数进行勒让德变换得到哈密顿函数:
H
(q,
p,
t)
L
s 1
L q
q
L
s
p q
哈密顿方程：
q p
H p
H q
哈q密 ,顿q方程和是t的哈函密数顿。函数的微分形式.拉格朗日函数是
哈密顿函数是p、q、t的函数。
16
它有两个代表人物：拉格朗日和哈密顿。他们
分别根据牛顿运动定律写出了以他们的名字命名的
拉格朗日方程和哈密顿方程。牛顿力学的地位仍
不可取代.
5
前言
这两个方程都是经典力学的一种形式，用体系的
动能和势能取代牛顿力学中的加速度和力，对系统 进行整体研究。
拉格朗日
哈密顿
6
1.1 自由度 约束与广义坐标
为了确定一个质点在空间的位置，常需要三个坐标x、y、z。
点的平面运动方程Ax+By+Cz+D=0（该方程称为约束
方程），独立地确定x、y，就可以确定z，则称该质
点有2个自由度。
7
1.1 自由度 约束与广义坐标
c. 依此类推，假如限制质点只在一条直线上运动，则 约束方程为两个，可供独立选择的坐标变量是一个， 则称质点有1个自由度。 d. 假设有N个质点组成的一个系统。①系统的质点自 由运动时，自由度数为3N；②若有k个约束方程，则 自由度数为3N-k。
• 亚里士多德一生勤奋治学，从事的学术研究涉及 到逻辑学、修辞学、物理学、生物学、教育学、 心理学、政治学、经济学、美学等，写下了大量 的著作，他的著作是古代的百科全书，他的思想 对人类产生了深远的影响。他创立了形式逻辑学， 丰富和发展了哲学的各个分支学科，对科学等作 出了巨大的贡献。
3
• 阿基米德:古希腊哲学家、数学家、物理学 家。出生于西西里岛的叙拉古。阿基米德 到过亚历山大里亚，据说他住在亚历山大 里亚时期发明了阿基米德式螺旋抽水机。 后来阿基米德成为兼数学家与力学家的伟 大学者，并且享有“力学之父”的美称。 浮力原理和杠杆原理
质点系的动能表示为：
T
1 2
N
mi
i 1
xi2
yi2 zi2
10
1.2 拉格朗日方程
牛顿运动方程可写为这样的形式：
d dt
T xi
d
mi
dt
•
xi
mi
d
•
xi
dt
mi
••
xi
Xi
* 保守力系中，势能与力的关系：势能梯度的负值为力，
势能下降最快的方向为力的方向。
得到：
d dt
• 将L代入拉氏方程，得出体系的运动微分方程；
• 解方程并讨论。
14
1.3 哈密顿函数及其物理意义
哈密顿提出用s个广义坐标和s个广义动量描述体 系的运动，导出了三种不同形式的方程：哈密顿正则 方程、哈密顿原理和哈密顿——雅可比方程，称为经 典力学的哈密顿理论。哈密顿理论和拉格朗日理论、 牛顿理论是等价的。
13
解题指导
1.2 拉格朗日方程
拉格朗日方程是处理力学体系特别是约束体系动力学问题的主要理论和有效 工具之一，通常是应用拉氏方程建立体系的动力学方程。
（1）用拉氏方程解题的步骤 • 分析体系的约束类型和主动力性质，判定是否符合L方程的条件； • 判定体系的自由度，选取适当的广义坐标；
• 写出体系的动能T，势能V和拉氏函数L，并将L表成q ,q 和t函数： L L(q ,q , t ) ；
L q j
0
拉氏方程的特点:
(j=1,2,…,s)
① 是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形 式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方 程形式不变。
② 方程中不出现约束条件，因而在建立体系的方程时，只需分 析已知的主动力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少， 方程个数也越少，问题也就越简单。
在这里就给出了自由度的概念：为单值地确定一 个系统的位置所必需给定的独立变量的数目，叫作这 个系统的自由度数。
8
1.1 自由度 约束与广义坐标
广义坐标、广义速度
假设一个系统有s个自由度，那么确定该系统位置， 需要用到s个变量，把这s个变量用q1、q2、q3、……、 qs来表示，称为该系统的s个广义坐标。
1.3 哈密顿函数及其物理意义
对于一个保守系，并且L不显含t时， 哈密顿函数的物理意义：通过化简:
H=U+T=E(总能量)
哈密顿函数正好为系统的势能和动能的总和， 即为系统的总能量。
17
1.3 哈密顿函数及其物理意义
通过变分，可以把微分方程变为最理想最简单的 形式，即哈密顿正则方程，哈密顿用这个方程提供了 一个普遍原理，对量子力学中薛定谔方程的建立和广 义相对论都提供了桥梁。
•
广义坐标对时间t的微商，dq/dt，记为 q，称为广
义速度。
9
1.2 拉格朗日方程
拉格朗日函数：它是由系统的动能和势能定义的函数。
L = T-U
把牛顿运动方程写成关于动能和势能的形式。
N个质点的牛顿运动方程写为：
mi xi X i , mi yi Yi , mizi Zi , (i 1,2..., N )
a.假如质点是完全自由的，即x、y、z彼此独立，则 称该质点有3个自由度。
b.假如质点被限制在xy平面上运动，此时有z=0，它 就是限制质点自由运动的条件，称为“约束”。 z=0
称为约束方程。此时，这个质点只剩下两个坐标可
以任意取值，则称该质点有2个自由度。
把质点的运动平面扩展到空间中的任意平面，改制
前言
用只牛局顿限力于纯学力理学论问几题乎的都范以畴力，F 运为算基也础比，较因烦此琐它。的1应8 世纪,拉格朗日和哈密顿,伯努利、达朗贝尔、欧拉等
人发展了经典力学的分析形式，采用了可以使用于各 种运动形式的“能量”和“功”这两个标量函数，用
它们取代“力”和“动量”这些几何矢量，建立了分 析力学体系。
T xi
U xi
0
Xi
U xi
11
1.2 拉格朗日方程
引入拉格朗日函数：L=T-U
与速度无关
d dt
L
xi
U
T
xi
L
0
d dt
L xi
L xi
0
d dt
L yi
L yi
0
d dt
L zi
L zi
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
与坐标无关
12
1.2 拉格朗日方程
用广义坐标表示的拉格朗日方程： d L dt q j
拉格朗日方程与哈密顿方程
《理论物理》
1
前言
阿基米德
墨翟 亚里士多德
伽利略 开普勒 笛卡儿
牛顿
拉格朗日
近代力学哈密顿 泊松
现代力学
2
• 墨子在先秦时期创立了以几何学、物理学、光学 为突出成就的一整套科学理论。墨子关于物理学 的研究涉及到力学、光学、声学等分支，给出了 不少物理学概念的定义，并有不少重大的发现， 总结出了一些重要的物理学定理。
19
人们发现，能量观点和拉格朗日方程、哈密顿原 理及正则方程，完全适用于其它形式的物质运动，如 电动力学、统计物理、相对论、量子力学，量子场论 乃至基本粒子等，都是分析问题的基本工具或出发点。 因而分析力学也就成了跨入理论物理学和现代物理学 的入门课程。
18
知识点：
a.广义坐标 b.拉格朗日函数的形式 c.哈密顿函数的形式及其物理意义
广义动量：
p
L q
15
1.3 哈密顿函数及其物理意义
对拉格朗日函数进行勒让德变换得到哈密顿函数:
H
(q,
p,
t)
L
s 1
L q
q
L
s
p q
哈密顿方程：
q p
H p
H q
哈q密 ,顿q方程和是t的哈函密数顿。函数的微分形式.拉格朗日函数是
哈密顿函数是p、q、t的函数。
16
它有两个代表人物：拉格朗日和哈密顿。他们
分别根据牛顿运动定律写出了以他们的名字命名的
拉格朗日方程和哈密顿方程。牛顿力学的地位仍
不可取代.
5
前言
这两个方程都是经典力学的一种形式，用体系的
动能和势能取代牛顿力学中的加速度和力，对系统 进行整体研究。
拉格朗日
哈密顿
6
1.1 自由度 约束与广义坐标
为了确定一个质点在空间的位置，常需要三个坐标x、y、z。
点的平面运动方程Ax+By+Cz+D=0（该方程称为约束
方程），独立地确定x、y，就可以确定z，则称该质
点有2个自由度。
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1.1 自由度 约束与广义坐标
c. 依此类推，假如限制质点只在一条直线上运动，则 约束方程为两个，可供独立选择的坐标变量是一个， 则称质点有1个自由度。 d. 假设有N个质点组成的一个系统。①系统的质点自 由运动时，自由度数为3N；②若有k个约束方程，则 自由度数为3N-k。
• 亚里士多德一生勤奋治学，从事的学术研究涉及 到逻辑学、修辞学、物理学、生物学、教育学、 心理学、政治学、经济学、美学等，写下了大量 的著作，他的著作是古代的百科全书，他的思想 对人类产生了深远的影响。他创立了形式逻辑学， 丰富和发展了哲学的各个分支学科，对科学等作 出了巨大的贡献。
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• 阿基米德:古希腊哲学家、数学家、物理学 家。出生于西西里岛的叙拉古。阿基米德 到过亚历山大里亚，据说他住在亚历山大 里亚时期发明了阿基米德式螺旋抽水机。 后来阿基米德成为兼数学家与力学家的伟 大学者，并且享有“力学之父”的美称。 浮力原理和杠杆原理
质点系的动能表示为：
T
1 2
N
mi
i 1
xi2
yi2 zi2
10
1.2 拉格朗日方程
牛顿运动方程可写为这样的形式：
d dt
T xi
d
mi
dt
•
xi
mi
d
•
xi
dt
mi
••
xi
Xi
* 保守力系中，势能与力的关系：势能梯度的负值为力，
势能下降最快的方向为力的方向。
得到：
d dt
• 将L代入拉氏方程，得出体系的运动微分方程；
• 解方程并讨论。
14
1.3 哈密顿函数及其物理意义
哈密顿提出用s个广义坐标和s个广义动量描述体 系的运动，导出了三种不同形式的方程：哈密顿正则 方程、哈密顿原理和哈密顿——雅可比方程，称为经 典力学的哈密顿理论。哈密顿理论和拉格朗日理论、 牛顿理论是等价的。
13
解题指导
1.2 拉格朗日方程
拉格朗日方程是处理力学体系特别是约束体系动力学问题的主要理论和有效 工具之一，通常是应用拉氏方程建立体系的动力学方程。
（1）用拉氏方程解题的步骤 • 分析体系的约束类型和主动力性质，判定是否符合L方程的条件； • 判定体系的自由度，选取适当的广义坐标；
• 写出体系的动能T，势能V和拉氏函数L，并将L表成q ,q 和t函数： L L(q ,q , t ) ；
L q j
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拉氏方程的特点:
(j=1,2,…,s)
① 是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形 式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方 程形式不变。
② 方程中不出现约束条件，因而在建立体系的方程时，只需分 析已知的主动力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少， 方程个数也越少，问题也就越简单。
在这里就给出了自由度的概念：为单值地确定一 个系统的位置所必需给定的独立变量的数目，叫作这 个系统的自由度数。
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1.1 自由度 约束与广义坐标
广义坐标、广义速度
假设一个系统有s个自由度，那么确定该系统位置， 需要用到s个变量，把这s个变量用q1、q2、q3、……、 qs来表示，称为该系统的s个广义坐标。
1.3 哈密顿函数及其物理意义
对于一个保守系，并且L不显含t时， 哈密顿函数的物理意义：通过化简:
H=U+T=E(总能量)
哈密顿函数正好为系统的势能和动能的总和， 即为系统的总能量。
17
1.3 哈密顿函数及其物理意义
通过变分，可以把微分方程变为最理想最简单的 形式，即哈密顿正则方程，哈密顿用这个方程提供了 一个普遍原理，对量子力学中薛定谔方程的建立和广 义相对论都提供了桥梁。
•
广义坐标对时间t的微商，dq/dt，记为 q，称为广
义速度。
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1.2 拉格朗日方程
拉格朗日函数：它是由系统的动能和势能定义的函数。
L = T-U
把牛顿运动方程写成关于动能和势能的形式。
N个质点的牛顿运动方程写为：
mi xi X i , mi yi Yi , mizi Zi , (i 1,2..., N )
a.假如质点是完全自由的，即x、y、z彼此独立，则 称该质点有3个自由度。
b.假如质点被限制在xy平面上运动，此时有z=0，它 就是限制质点自由运动的条件，称为“约束”。 z=0
称为约束方程。此时，这个质点只剩下两个坐标可
以任意取值，则称该质点有2个自由度。
把质点的运动平面扩展到空间中的任意平面，改制