2.3.3 平面向量的坐标运算

第二章 平面向量

2．3 平面向量的基本定理及坐标表示

2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

2．3.3 平面向量的坐标运算

[A 组 学业达标]

1．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1，2)，则顶点D 的坐标为 ( )

A ．(－7，6)

B ．(7，6)

C ．(6，7)

D ．(7，－6)

解析：设D (x ，y )，由AD

→＝BC →，得(x －5，y ＋1)＝(2，－5)，∴x ＝7，y ＝－6，∴D (7，－6)．

答案：D

2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB

→＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则BD

→＝ ( )

A ．(－2，－4)

B ．(－3，－5)

C ．(3，5)

D ．(2，4) 解析：∵AC

→＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)，故选B.

答案：B

3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a ，4b －2c ，2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为

( )

A ．(2，6)

B ．(－2，6)

C ．(2，－6)

D ．(－2，－6) 解析：∵a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，c ＝(－1，－2)，∴4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6，20)，2(a －c )＝(4，－2)．又∵表示4a ，4b －2c ，2(a －c )，d 的

有向线段首尾相接能构成四边形，∴4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0.解得d ＝(－2，－6)．故选D.

答案：D

4．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若P A →＝(4，

3)，PQ

→＝(1，5)，则BC →＝ ( )

A ．(－2，7)

B ．(－6，21)

C ．(2，－7)

D ．(6，－21) 解析：如图，∵QC →＝AQ →＝PQ →－P A →＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，∴PC

→＝PQ →＋QC

→＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)，∴BC →＝3PC →＝(－6，21)．

答案：B

5．若a ＋b ＝(－3，－4)，a －b ＝(5，2)，则向量a ＝________，向量b ＝________． 解析：a ＋b ＝(－3，－4)，① a －b ＝(5，2)．②

①＋②，得a ＝12[(－3，－4)＋(5，2)]＝(1，－1)；

①－②，得b ＝12[(－3，－4)－(5，2)]＝(－4，－3)．

答案：(1，－1) (－4，－3)

6．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)．若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．

解析：由题意得m a ＋n b ＝(2m ，m )＋(n ，－2n )＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，

所以m －n ＝－3.

答案：－3

7．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1，2)，B (3，2)，则x ＝________．

解析：∵A (1，2)，B (3，2)，∴AB

→＝(2，0)． 又∵a ＝AB

→，即(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，

解得x ＝－1. 答案：－1

8．已知a ＝(2，1)，b ＝(－1，3)，c ＝(1，2)，求p ＝2a ＋3b ＋c ，并用基底a ，b 表示p .

解析：p ＝2a ＋3b ＋c

＝2(2，1)＋3(－1，3)＋(1，2)

＝(4，2)＋(－3，9)＋(1，2)＝(2，13)．

设p ＝x a ＋y b ＝x (2，1)＋y (－1，3)

＝(2x －y ，x ＋3y )，

a 与

b 不共线，

则有⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，x ＋3y ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝197，y ＝247.

∴p ＝197a ＋247b .

[B 组 能力提升]

9．设向量a ＝(m ，n )，b ＝(s ，t )，定义两个向量a ，b 之间的运算“⊗”为a ⊗b ＝(ms ，nt )．若向量p ＝(1，2)，p ⊗q ＝(－3，－4)，则向量q ＝

( )

A ．(－3，2)

B ．(3，－2)

C ．(－2，－3)

D ．(－3，－2) 解析：设向量q ＝(x ，y )，根据题意可得x ＝－3，2y ＝－4，解得x ＝－3，y

＝－2，即向量q ＝(－3，－2)，故选D.

答案：D

10．已知向量a ＝(x ，1)，向量b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b

( )

A ．平行于x 轴

B ．平行于第一、三象限的角平分线

C ．平行于y 轴

D ．平行于第二、四象限的角平分线

解析：a ＋b ＝(0，1＋x 2)对应的点在y 轴上，所以此向量必平行于y 轴．故选

C.

答案：C

11．已知平面上三点A (2，－4)，B (0，6)，C (－8，10)，则12AC →－14BC →的坐标是

________．

答案：(－3，6)

12．已知A (2，3)，B (1，4)，且12AB →＝(sin α，cos β)，α，β∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________．

解析：AB

→＝(1，4)－(2，3)＝(－1，1)． ∴(sin α，cos β)＝12(－1，1)，

∴sin α＝－12，cos β＝12.

又∵α，β∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π2，π2， ∴α＝－π6，β＝－π3或π3，α＋β＝－π2或π6.

答案：π6或－π2

13．设向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，求λm 的取值范围．