数学九年级上册 几何模型压轴题中考真题汇编[解析版]
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数学九年级上册 几何模型压轴题中考真题汇编[解析版]
一、初三数学 旋转易错题压轴题(难)
1.阅读材料并解答下列问题:如图1,把平面内一条数轴x 绕原点O 逆时针旋转角00)90(θ︒︒<<得到另一条数轴,y x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系.xOy
规定:过点P 作y 轴的平行线,交x 轴于点A ,过点P 作x 轴的平行线,交y 轴于点B ,若点A 在x 轴对应的实数为a ,点B 在y 轴对应的实数为b ,则称有序实数对(),a b 为点P 在平面斜坐标系xOy 中的斜坐标.如图2,在平面斜坐标系xOy 中,已知60θ︒=,点P 的斜坐标是()3,6,点C 的斜坐标是()0,6.
(1)连接OP ,求线段OP 的长;
(2)将线段OP 绕点O 顺时针旋转60︒到OQ (点Q 与点P 对应),求点Q 的斜坐标; (3)若点D 是直线OP 上一动点,在斜坐标系xOy 确定的平面内以点D 为圆心,DC 长为半径作D ,当⊙D 与x 轴相切时,求点D 的斜坐标,
【答案】(1)37OP =2)点Q 的斜坐标为(9,3-);(3)点D 的斜坐标为:(
32
,3)或(6,12). 【解析】
【分析】 (1)过点P 作PC ⊥OA ,垂足为C ,由平行线的性质,得∠PAC=60θ
=︒,由AP=6,则AC=3,33PC =OP 的长度;
(2)根据题意,过点Q 作QE ∥OC ,QF ∥OB ,连接BQ ,由旋转的性质,得到OP=OQ ,∠COP=∠BOQ ,则△COP ≌△BOQ ,则BQ=CP=3,∠OCP=∠OBQ=120°,然后得到△BEQ 是等边三角形,则BE=EQ=BQ=3,则OE=9,OF=3,即可得到点Q 的斜坐标;
(3)根据题意,可分为两种情况进行分析:①当OP 和CM 恰好是平行四边形OMPC 的对角线时,此时点D 是对角线的交点,求出点D 的坐标即可;②取OJ=JN=CJ ,构造直角三角
形OCN,作∠CJN的角平分线,与直线OP相交与点D,然后由所学的性质,求出点D的坐标即可.
【详解】
解:(1)如图,过点P作PC⊥OA,垂足为C,连接OP,
∵AP∥OB,
∴∠PAC=60
θ=︒,
∵PC⊥OA,
∴∠PCA=90°,
∵点P的斜坐标是()
3,6,
∴OA=3,AP=6,
∴
1 cos60
2
AC
AP
︒==,
∴3
AC=,
∴22
6333
PC=-=,336
OC=+=,
在Rt△OCP中,由勾股定理,得
22
6(33)37
OP=+=;
(2)根据题意,过点Q作QE∥OC,QF∥OB,连接BQ,如图:
由旋转的性质,得OP=OQ,∠POQ=60°,
∵∠COP+∠POA=∠POA+∠BOQ=60°,
∴∠COP=∠BOQ,
∵OB=OC=6,
∴△COP≌△BOQ(SAS);
∴CP=BQ=3,∠OCP=∠OBQ=120°,
∴∠EBQ=60°,
∵EQ∥OC,
∴∠BEQ=60°,
∴△BEQ是等边三角形,
∴BE=EQ=BQ=3,
∴OE=6+3=9,OF=EQ=3,
∵点Q在第四象限,
∴点Q的斜坐标为(9,3 );
(3)①取OM=PC=3,则四边形OMPC是平行四边形,连接OP、CM,交点为D,如图:
由平行四边形的性质,得CD=DM,OD=PD,
∴点D为OP的中点,
∵点P的坐标为(3,6),
∴点D的坐标为(3
2
,3);
②取OJ=JN=CJ,则△OCN是直角三角形,
∵∠COJ=60°,
∴△OCJ是等边三角形,
∴∠CJN=120°,
作∠CJN的角平分线,与直线OP相交于点D,作DN⊥x轴,连接CD,如图:
∵CJ=JN,∠CJD=∠NJD,JP=JP,
∴△CJD≌△NJD(SAS),
∴∠JCD=∠JND=90°,
则由角平分线的性质定理,得CD=ND;过点D作DI∥x轴,连接DJ,
∵∠DJN=∠COJ=60°,
∴OI∥JD,
∴四边形OJDI是平行四边形,
∴ID=OJ=JN=OC=6,
在Rt△JDN中,∠JDN=30°,
∴JD=2JN=12;
∴点D的斜坐标为(6,12);
综合上述,点D的斜坐标为:(3
2
,3)或(6,12).
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质,解直角三角形,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,角平分线的性质等知识,解题的关键是理解题意,正确寻找圆心D的位置来解决问题,属于中考创新题型.注意运用分类讨论的思想进行解题.
2.已知:如图①,在矩形ABCD中,AB=5,
20
3
AD ,AE⊥BD,垂足是E.点F是点E
关于AB的对称点,连接AF、BF.
(1)求AE和BE的长;
(2)若将△ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向
所经过的线段长度).当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时,求出相应的m 的值; (3)如图②,将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角α(0°<α<180°),记旋转中的ABF 为A BF '',在旋转过程中,设A F ''所在的直线与直线AD 交于点P ,与直线BD 交于点Q ,若△DPQ 为等腰三角形,请直接写出此时DQ 的长.
【答案】(1)4;3 (2)3或
163 (3
)25125253243-、、103 【解析】
【分析】
(1)由矩形的性质,利用勾股定理求解BD 的长,由等面积法求解AE ,由勾股定理求解BE 即可,
(2)利用对称与平移的性质得到:AB ∥A′B′,∠4=∠1,BF =B′F′=3.当点F′落在AB 上时,证明BB′=B′F′即可得到答案,当点F′落在AD 上时,证明△B′F′D 为等腰三角形,从而可得答案,
(3)分4种情况讨论:①如答图3﹣1所示,点Q 落在BD 延长线上,证明A′Q =A′B ,利用勾股定理求解',,F Q BQ 从而求解DQ ,②如答图3﹣2所示,点Q 落在BD 上,证明点A′落在BC 边上,利用勾股定理求解,BQ 从而可得答案,③如答图3﹣3所示,点Q 落在BD 上,证明∠A′QB =∠A′BQ ,利用勾股定理求解,BQ ,从而可得答案,④如答图3﹣4所示,点Q 落在BD 上,证明BQ =BA′,从而可得答案.
【详解】
解:(1)在Rt △ABD 中,AB =5,203AD =
,
由勾股定理得:253BD ==. 11,22
ABD S BD AE AB AD =⋅=⋅. 25
3
2053 4.AB AD AE BD ⨯⋅∴=== 在Rt △ABE 中,AB =5,AE =4,
由勾股定理得:BE =3.
(2)设平移中的三角形为△A′B′F′,如答图2所示:
由对称的性质可知,∠1=∠2.
由平移性质可知,AB ∥A′B′,∠4=∠1,BF =B′F′=3.