第五章 复合命题及其推理(上)

第三步，判定∶①与②是矛盾关系；①与③是不可同假但可同 真关系；②与③是蕴涵关系。
B.用真值表确定若干命题是否一致。 例如∶用真值表确定是否存在一种方案使①②③④ 同时能成立，①如果王强出国，那么李明出国；②如 果李明不出国，那么王强出国；③王强或者李明不出 国；④要么王强要么李明出国。
解题∶设王强出国为p，李明出国为q。则①为p→q， ②为﹁q→p，③为﹁ p∨﹁q，④为p∨·q。列表如下∶ p q ﹁p ﹁q p→q ﹁q→p ﹁ p∨﹁q p∨·q T T F F T F T F F F T T F T F T T F T T T T T F F T T Tp←q）↔（q→p）； （p←q）↔（﹁p→﹁q）； （p→q）↔（q←p）。
(2)间接的纯假言推理 如∶(1)如果要实现四个现代化，那么就要有大批科技人才；
如果就要有大批科技人才，那就必须发展高等教育； 如果要实现四个现代化，那就必须发展高等教育。 (2)只有确立远大志向，才能不畏艰难险阻； 只有不畏艰难险阻，才能不断攀登科学高峰； 如果不能确立远大志向，就不能不断攀登科学高峰。
三、复合命题的判定方法—真值表方法 复合命题的判定方法
1.真值形式
真值联结词是指只反映复合命题与肢命题之间真假关系的逻 真值联结词 辑联结词，通常有五个:﹁（否定）∧（合取）∨（析取）→ 否定） 合取） 析取） 蕴涵） 等值）。 （蕴涵）↔（等值）。 真值表就是包含命题变项和真值联结词，准确地定义、直观 真值表 地刻画真值联结词所包含的真假关系的图表。命题逻辑的五个 基本的真值联结词可用真值表作如下定义:
间接纯假言推理的有效式有如下几种:
p→q p→q p←q p←q q→r q←r q←r q→r p→r ﹁r→﹁p ﹁p→﹁r r→p （p→q）∧（q→r）→（p→r）； （p→q）∧（q→r）→（﹁r→﹁p） ； （p←q）∧（q←r）→（﹁p→﹁r）； （p←q）∧（q←r）→（r→p） 。
⑶复杂构成式，其公式为： p→q，r→s； ， ； p∨r， ∨， ∴ q∨s ∨ ⑷复杂破坏式，其公式为： p→q，s→r ； ， ﹁ q∨﹁ r， ∨ ， ∴ ﹁p∨﹁s ∨ 3.破斥二难推理的方法 ⑴指出二难推理前提是虚假的(或指出其假言前提 不是充分条件，或指出其选言肢不穷尽)； ⑵指出推理过程违反逻辑规则或逻辑规律； ⑶构建一个与之针锋相对的二难推理。
(2)真值表的应用 A.用真值表判定若干命题之间是否等值、矛盾、蕴涵、 不同假或不同真的逻辑关系。例如∶用真值表判定①如果甲
出场，那么乙不出场；②乙和甲都出场；③只有甲出场，乙才出 场；三个命题的逻辑关系。 第一步，先将上述命题半形式化。设甲标示甲出场，乙标示乙 出场。则①为甲→﹁乙；②为乙∧甲；③为甲←﹁乙。 第二步，列表。 ① ② ③ 甲 乙 ﹁甲 ﹁乙 甲→﹁乙 乙∧甲 甲←﹁乙 T T F F T F T F F F T T F T F T F T T T T F F F T T T F
p T T F F q T F T F ﹁p F F T T p∧q T F F F p∨q T T T F p→q T F T T p↔q T F F T
真值形式是指由真值联结词和命题变项构成的与复合 真值形式 命题形式相当的结构形式，又称命题公式。例如:
（p∧q）→（﹁p←q），即如果p并且q，那么只有非p才q。 （﹁p∨q）∧（p→﹁q），即非p或者q，并且如果p那么非q。
答∶从表中看出，第4行p→q和q恰有一真，而﹁(p∨·q)为真， p∨q为假。
矛盾式就是表示常假的真值函数的命题形式，可定 矛盾式 义为∶一命题形式是矛盾的，当且仅当不论其命题变 项取何值，命题的真值恒为假。例如∶
p∧﹁q、﹁(p∨q)都是矛盾式。
协调式就是表示有真有假的真值函数的命题形式， 协调式 即非永真式又非矛盾式的命题，可定义为∶一命题形 式是协调的，当且仅当不论其命题变项取何值，命题 的真值有真有假。例如∶
二、假言推理的推广形式
1.纯假言推理 1.纯假言推理 纯假言推理就是前提与结论都为假言命题的演译推理。 (1)直接的纯假言推理 如:“如果x﹥5，则x﹥3”→“如果x≯3，则x≯5”。 常用的直接纯假言推理的有效式有如下几种: p→q p←q p←q p→q ﹁q→﹁p ﹁p→﹁q q→p q←p
充分条件 假言易位 必要条件 假言易位 充分条件与必要条件 假言命题互推
2.真值表方法 真值表的基本作用是以简单列表计算代替复杂的思考 或繁琐的逻辑演算。 (1)真值表的制作 第一步，先把整个命题由复杂到简单进行分解，直 到分解出最简单的不可再分的肢命题； 第二步，对这些肢命题进行真假赋值并加以组合， 但应穷尽所有的肢命题； 第三步，根据复合命题的定义和性质，由简单到复 杂地演算出复合命题的所有肢命题和整个命题的真假值。 注意∶当基本情况清楚而且较少时，可用真值表求 解；如果基本情况较多或有真假不定情况时存在，真值 表方话就显得麻烦而不实用。
2.二难推理的种类 可以从不同的角度对二难推理进行分类，根据其结论 是简单命题或简单命题的否定，还是复合的选言命题， 二难推理有简单式和复杂式之分；根据其结论的得出是 运用了充分条件假言推理的肯定式，还是否定式，二难 推理有构成式和破坏式之别。两方面结合决定了二难推 理的基本形式有四种: ⑴简单构成式，其公式为： p→q，r→q； ， ； p∨r， ∨， ∴q ⑵简单破坏式，其公式为： p→q， p → r ； ， ﹁ q∨﹁ r， ∨ ， ∴ ﹁﹁p
真值函数是一种函数值为真值，而且其自变项的值亦 真值函数 为真值的函数。例如∶“p→q”这个真值形式就是一个真值函
数，当自变项p、q的真值确定后，真值函数p→q也就有一个真值 与之对应；若当p为真q为假时， p→q就取假值。
若根据命题形式所表示的真值函数的不同，则所有的 命题形式可分为三大类∶永真式、矛盾式和协调式 永真式、 永真式 矛盾式和协调式。 永真式就是表示常真的真值函数的命题形式，又称 永真式 重言式，可定义为∶一命题形式是永真的，当且仅当不 重言式 论其命题变项取何值，命题的真值恒为真。例如∶ p∨﹁ q就是重言析取式； p∨q就不是永真式。
(3)只有p或者q，才r r p或者q 非p q (4)只有p并且q，才r 非p并且q 非r (5)只有p或者q，才r 非p并且非q 非r
3、二难推理 (1).二难推理及其特点 如：如果上帝能造出一块他自己举不起的石头， 那么上帝不是万能的； 如果上帝不能造出一块他自己举不起的石头， 那么上帝也不是万能的； 上帝或者能造出这样的石头或者不能造出； 总之，上帝不是万能的。 这种推理形式的特点在于：它会使论敌处于左右为 难、进退维谷的境地，故称二难推理。由于二难推理 具有很强的逻辑力量，所以常被人用以诡辩。历史上 有著名的“半费之讼”。 二难推理从结构看，其前提由两个充分条件假言命 题和一个具有二个肢命题组成的选言命题而构成，并 根据它们的逻辑性质进行的推理形式。所以也称假言 选言推理。
p∧q 、 p∨q 、p→q都是协调式。
在这三类命题形式中，永真式具有特别重要意义， 因为它们是逻辑真理的表现形式。凡是复合命题演绎推理
的有效推理形式都是重言蕴涵式；反之，若非重言式的蕴涵式 所表示的推理就不是有效推理。此外，与形式逻辑的基本规律 相应的命题形式也都是永真式。
一个命题是这三类中的哪一种可用真值表判明。
2.反三段论 2.反三段论
三段论一种正确的推理形式，其前提真时结论不可能假。如果 结论假则说明前提至少有一个是假的。这就是反三段论的基本思 想。 反三段论有如下五个公式∶ (1)如果 并且q 那么r 如果p (2)如果 或者q 那么r 如果p (1)如果p并且q，那么r (2)如果p或者q，那么r 非r 非r 并非(p并且q) (p并且 并非(p或者q) (p或者 并非(p并且q) 并非(p或者q) 或者非q 并且非q 非p或者非q 非p并且非q p 非q 非q
答，从表中可见∶只有采用王强不出国而李明出国的方案， 才能使①②③④同时成立。
C.用真值表寻找符合题设条件的情况。 例如∶用真值表方法来确定当p→q和q恰有一真时， p∨q和﹁(p∨·q)的真假值。
解题∶根据题目给出的条件，列表如下∶ p T T F F q T F T F p→q T F T T p∨q T T T F ﹁(p∨·q) T F F T