重庆理工大学考研试题数理统计2015年-2018年

（10 分）
并计算 P(Y 1) 。
Y
x12 x22 x92 x120
L L
x82 x126
~ F(8,8)
（10 分）
3.令
16
S 2 k (xi x)2 为 2
i 1
的无偏估计，求
k
；并给出
15S 2
2
的分布
（不证明），利用 t 分布、 正态分布、 2 分布的关系，证明： 4x : t(15) S
律无效。
2.试题附在考卷内交回。
一、简答与证明（共 30 分）
设 x1, x2,L , x16 来自总体为 N (0, 2 ) 的样本。
1.给出 2 分布与正态分布的关系，并利用此关系证明：
( 16 xi2) / 2 服从 2 分布，并指出该分布的自由度。 i1
2.利用 F 分布与 2 分布的关系，证明：
F 0.95(3, 20) 3.10, F 0.975(3, 20) 3.86, F 0.95(20, 3) 8.66 t0.975 (20) 2.0860, t0.975 (23) 2.0687, t0.975 (3) 3.1824
0.8467 0.92, 0.0665 0.258, 3 1.732
安眠药试验数据
安眠药
安眠时间
6.2
6.1
6.0
6.3
6.1
5.9
6.3
6.5
6.7
6.6
7.1
6.4
6.8
7.1
6.6
6.8
6.9
6.6
5.4
6.4
6.2
6.3
6.0
5.9
1、写出方差分析的原假设和备择假设，并给出进行方差分析 应满足的条件。（5 分）
重庆理工大学硕士研究生试题专用纸
第3页
2、如果该题满足方差分析条件，完成下列方差分析表：（10 分）
15
2( xi2 )
i 11 10
~ F (5,10)
xi2
i 1
3．（10 分）
给出 t 分布与正态分布和 2 分布的关系，并证明
15 x ~ t(14), s
15
(x 1
15
15 i 1
xi , s2
(xi x)2
i 1
)
14
三、（30 分）
设总体的密度函数为
p(x; , )
1
x
重庆理工大学硕士研究生试题专用纸
重庆理工大学 2015 年攻读硕士学位研究生 入学考试试题 （A）
学院名称：数学与统计学院
学科、专业名称： 统计学
考试科目（代码）：数理统计（819） （试题共 4 页）
注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一 律无效。
2.试题附在考卷内交回。
一、综合题（30 分） 以下数据为来自某总体 X 的容量为 9 的样本： 0.8,1.6,0.9,1.2,0.4,0.7,1.0,1.2,1.1。
来源
平方和 自由度 均方
F比
p值
因子 A 2.54
误差 e 1.33
---
---
和T
3.87
---
---
---
3、在显著性水平 0.05 下，四种安眠药对兔子的影响是否显 著。（3 分）
4、给出 2 的无偏估计。（3 分） 5、给出 1 3 的置信区间。（ 0.05 ）（2 分） 6、问 1, 3 是否显著？（ 0.05 ）（2 分） 7、某同学进行方差分析时得出因子 A 不显著，但他又进行了 多重比较，发现 1，2 具有显著区别，请解释原因。（5 分） 本题可能会用到的分位数和平方数：
s2
1 n 1
n i 1
( xi
x)2 ， sn2
1 n
n i 1
( xi
x)2 ，
经计算 s 0.3444 ， sn 0.3247
1.求样本均值 x ,样本中位数 m0.5 ,顺序统计量 x(1) , x(3) （10 分） 2.简要说明样本均值和样本中位数的区别与联系。（5 分） 3.若总体 X 的二阶距存在，且均值为 ,方差为 2 ,给出参数
3. （10 分） 在第 2 题的条件下，给出 的1 的置信区间，并与检验问 题 H0 : 0 vs 0 的拒绝域比较，说明两者之间的关系。
第3页
重庆理工大学硕士研究生试题专用纸
五、（30 分）
取一批由同种原料织成的布，用不同的染整工艺进行缩水率
实验，以考察不同染整工艺对布的缩水率有无显著影响进而寻找
（10 分）
第1页
重庆理工大学硕士研究生试题专用纸
二、计算题（共 60 分）
1.（40 分）设 x1, x2,L , xn 来自总体为
p(
x;
,
)
1
e
x
,
x
,
0 , x
( 0) 的样本。
（1）当 0 的时候，求 的极大似然估计$MLE ，并判断$MLE 是否为 的
无偏估计。（15 分）
二、抽样分布（30 分）
设 x1，x2，，xn 是来自 N (1, 2 ) 的样本， y1，y2，，ym 是来自 N (2 , 2 ) 的样本，且两样本独立。 1.请说明什么 2 分布，什么是 t 分布。（10 分）
2.证明 1
2
n
（xi 1）2 ~ 2 (n) 。（5 分）
i 1
3.设 c，d 为任意非零常数，请给出 c(x 1) d ( y 2）的分布, 并指出期望和方差。（5 分）
4.若都是的无偏估计，怎样判断其优劣？又若不一定是无偏估 计，如何判断其优劣？（5 分）
第2页
四、假设检验（30 分） 化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的质量服从正态分布，其
平均质量 100kg，标准差为 1.2kg。某日开工后，为确定包装机工 作是否正常，现随机抽取 16 袋化肥进行检验。
1．写出假设检验的步骤，说明什么是第一类错误，第二类错 误，解释显著性水平 。（10 分）
重庆理工大学硕士研究生试题专用纸
第 4页
重庆理工大学硕士研究生试题专用纸
重庆理工大学 2016 年攻读硕士学位研究生 入学考试试题
学院名称： 数学与统计学院 学科、专业名称：统计学 考试科目（代码）：数理统计（818）A （试题共 4 页）
注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一 律无效。
第1页
重庆理工大学硕士研究生试题专用纸
二、（30 分）
设 x1, x2 , x3,, x15 是来自正态总体 N (0, 2 ) 的样本
1．（10 分） 给出正态分布与 2 分布的关系，并利用此关系证明
15
xi2
i1 ~ 2 (15) 2
2. （10 分） 给出 F 分布与 2 分布的关系，并利用此关系证明
出缩水率较小的染整工艺。现有 A1 ~ A5 五种不同的工艺，在每一
工艺下重复处理四块布，测得其缩水率数据如下表
染整工艺
缩水率
Fra Baidu bibliotek
A1
4.3 6.8 5.2 6.5
A2
6.1 6.3 4.2 4.1
A3
6.5 8.3 8.6 8.2
A4
9.3 8.7 7.2 10.1
A5
9.5 8.8 11.4 8.9
重庆理工大学硕士研究生试题专用纸
2．若方差保持不变，且算得抽检的 16 袋化肥的样本均值
=99.70，问这一天包装机的工作是否正常？（ 0.05 ） （10 分）
3．若还要求化肥质量的方差不超过，且算得抽检的 16 袋化肥 的样本标准差 s=1.25，问化肥质量的方差是否满足要求？ （ 0.05 ）（10 分）
2.试题附在考卷内交回。
u0.95 1.65, u0.975 1.96, F0.95 (4,15) 3.29, (0.4) 0.6554 (0.35) 0.6368, t0.975 (15) 2.1315 一、（30 分） 以下数据来自某总体 X，且容量为 8 的样本： 2868,2001,2082,792,1660,4105,1416,2089 1. （10 分） 给出样本容量为 n 时，样本均值和样本方差的计算公式，说明 你所给出的样本均值和样本方差是否为总体均值和总体方差 的无偏估计，叙述估计量好坏的评价标准。 2. （10 分） 利用以上数据计算样本均值，顺序统计量以及样本中位数，并 说明样本均值和样本中位数的区别和联系。 3. （10 分） 若以上数据是某厂对一种元件使用寿命进行革新得出的数据， 且寿命服从指数分布，本来样本容量应该是 10，但是由于不 知道的原因，只有以上 8 个数据，现要给出总体均值的估计， 给出你的方法，并说明理由。
本题可能用到的分位数：
u0.975 1.96, u0.95 1.645 ，
2 0.95
(15)
24.9958,
2 0.975
(15)
27.4884,
2 0.95
(16)
26.2962
。
五、方差分析（30 分）
用 4 种安眠药在兔子身上进行试验，特选 24 只健康的兔子， 随机把它们均分为 4 组，每组各服一种安眠药，安眠时间（单位： 小时）如下所示：
给出进行方差分析需满足的条件，并举例说明方差分析方法
可以用来解决的数据分析问题。
第4页
重庆理工大学硕士研究生试题专用纸
重庆理工大学 2017 年攻读硕士学位研究生入学考试试题
学院名称：理学院
学科、专业名称：统计学
考试科目（代码）：数理统计（820）(A) （试题共 4 页）
注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一
（5）当 0 的时候，对于假设检验问题：H0 : 0 vs H1 : 0 ，
分）
三、参数估计（30 分）
设某总体 X 的密度函数为 p(x; ) x 1, 0 x 1, 0 , x1, x2 ,, xn 是来自该总体 X 的样本。
1.给出 的极大似然估计。（10 分）
2.根据题
1
的结果给出
g (
)
1
的极大似然估计，并判断。（10
分）
3.求 的 Fisher 信息量 I ( ) 。（5 分）
e ,
0,
x , x
( 0) ， 且
x1, x2 , x3,, xn 是来自该总体的简单随机样本，求：
第2页
重庆理工大学硕士研究生试题专用纸
1．（10 分） 当 0 的时候，求参数 的极大似然估计MLE 。
2．（10 分） 在第 1 题的条件下，求MLE 的期望、方差以及 的 Fisher 信息 量，并求MLE 的渐近分布。
1. （10 分）
假设本题数据满足进行方差分析的假设，完成下表
方差分析表
来源
平方和 自由度 均方
F比
因子 A
60.685
误差 e
总和 T
80.55
2. （5 分）
由第 1 题的方差分析表得出不同染整工艺对布的缩水率有无
显著影响？（ 0.05 ）
3. （5 分）
给出模型方差的点估计量，并给出 1 的 95%的置信区间。 4. （10 分）
3．（10 分） 当 1的时候，求 的矩估计以及极大似然估计。
四、（30 分） 设需要对某总体的参数进行假设检验
1. （10 分） 叙述假设检验中显著性水平，两类错误以及拒绝域的含义，并 说明 p 值的意义。
2. （10 分） 若总体为正态总体 N (, 2 ) ，且方差已知 2 2.5 ，取显著性 水 平 0.05 ， 样 本 容 量 为 n 10 ， 若 要 检 验 均 值 问 题 ： H0 : 15 vs 15 ， 给 出 拒 绝 域 ， 若 现 计 算 得 样 本 均 值 15.2，问是否拒绝原假设，并计算 p 值。
5.若总体 X 的分布不是正态分布，且 X 的数学期望存在，设为 ，怎样检验 H0 : 0 VS H1 : 0 ，给出你的方法。（2 分）
本题可能用到的分位数： t0.975 (8) 2.3060, t0.975 (9) 2.2622, t0.95 (8) 1.8595 。
第1页
4.对任意非零常数 c，d ，证明
t c(x 1) d ( y 2 ) ~（t m n 2)
sw
c2 d 2 nm
重庆理工大学硕士研究生试题专用纸
其
中
，
sw
(n
1) sx2
（m
1）s
2 y
mn2
，
sx2
1 n 1
n
（xi
i 1
x）2 ，
s
2 y
1 m 1
m
( yi
i 1
y）2 。（10
（2）当 0 的时候，求 的 Fisher 信息量 I ( ) ，给出 的无偏估计的
C-R 下界。（7 分）
（3）当 1的时候，求 的最大似然估计 µMLE ，并给出 µMLE 的密度函
数。（10 分）
（4） 有三个不同的估计$1,$2,$3 的时候，若三个都为无偏估计，怎样判
断其优劣，若至少有一个不是无偏估计的时候，怎样判断其优劣，给 出你的方法。（6 分）
的矩估计量及 2 的一个无偏估计量。（5 分） 4.若给定总体 X ~ N (, 2 ) ，且 , 2 未知，给出 的1 的置
重庆理工大学硕士研究生试题专用纸
信区间以及假设检验 H0 : 0 VS H1 : 0 的拒绝域， 显著性水平为 ，其中 0.05 ；并说明两者之间的关系。 （8 分）