计算方法_复习题2
计算方法习题二答案
计算方法习题二答案习题二1、利用二分法求方程f(x)=x3-2x-5=0，在2,3内根的近似值，并指出误差。
解：f(2)=-1<0 f(3)=19>0 f(2).f(3)<0f’(x)=3x2-2 在x∈2,3f’(x) >0所以在1,2上必仅有一根x=2 f(2)=-1 -x=3 f(3)=16 +x=2.5 f(2.5)=5.625 +x=2.25 f(2.25)=1.890625 +x=2.125 f(2.125) +x=2.0625 f(2.0625) -x=2.09375 f(2.09375) -x=2.109375 f(2.109375) +x=2.1015625 f(2.1015625) +所以x=2.109375+2010156252=2.097656252、证明方程1-x-sinx=0在0,1内有一个根，使用二分法求误差不大于12×10?4的根。
解：令f(x)=1-x-sinxf(0)=1f(1)=-sin1f(0).f(1)<0f’(x)=-1-cosx<0在0,1恒成立所以1-x-sinx=0在0,1内恒有一个根n≥ln1?0?ln?(12×10?4)ln2-1≈13.289所以n=14n a n b n x n+1f(x n+1)符号0 0 1 0.5 +1 0.5 1 0.75 +2 0.875 1 0.9375 +..143、能不能用迭代法求解下列方程，若不能时，将方程改写成能用迭代法的形式。
（1、）x=(cosx+sinx)/4 (2)x=4-2x解：（1、）f(x)=x=(cosx+sinx)/4f’(x)=?sinx+cosx4<1对x任何数恒成立所以可用迭代法设x0=0，则x1=0.25x2=0.2511x 3=0.2511所以x=0.251（2、）f(x)=4-2xf’(x)=x.2x ?1<0在x 为任意数不恒成立所以不能用迭代法令x=log 2(4?x)x 0=0x 1=2x 2=1x 3= |φ‘(x)|=|-14?x 1ln 2|对x ∈(1,2)<124、为求方程x 3-x 2-1=0在x 0=1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。
计算方法与实习答案1-2
绪论
习题1——10：设 f ( x) = 8 x 5 − 0.4 x 4 + 4 x 3 − 9 x + 1 用秦九韶法求f(3)。 解：
8 − 0.4
24 8 23.6
0
−9
1
x=3
70.8 74.8
224.4 224.4
673.2 664.2
1992.6 1993.6
∴ f(3)=1993.6
第一章 绪论 练习
1．《计算方法》课程主要研究以计算 机为工具的 数值 分析方法 ，并评价 该算法的计算误差。 2．近似值作四则运算后的绝对误差限 公式为 ε ( x1 − x2 ) ≤ ε ( x1 ) + ε ( x2 ) ，近似值 1.0341的相对误差限不大于 1 ×10−2 ， 则它至少有三位有效数字。 4
ln(103 ) ∴k ≥ ln(2) ≥ 9.965
2 2 2
∴需二分10次 需二分 次
方程求根——二分法
习题2——2：用二分法求方程2e-x-sinx=0在区 间[0,1]内的1个实根，要求3位有效数字。
解：1）判断是否在该区间有且仅有一个根 f(0)=2>0，f(1)=2/e-sin1≈-0.1<0， f’(x)=-2e-x-cosx，f’=-3,-2/e-cos1<0 2）判断二分次数 由(b-a)/2k+1=1/2k+1≤1/2*10-3，解得k≥3ln10/ln2≥9.965， 所以需要二分10次，才能满足精度要求。
∴ x≈2.981
方程求根
f (xk )(xk − xk −1) xk +1 = xk − f (xk ) − f (xk −1)
习题2——11：用割线法求方程x3-2x-5=0的根，要 求精确到4位有效数字，取x0=2, x1=2.2。
《数值计算方法》试题集及答案 (2)
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
复习题2(算法部份)
D．一个算法不能有多个开始处，也不能有多个结束处
答案：B
14.算法中通常需要三种不同的执行流程，即：＿＿＿＿＿。
A．连续模式、分支模式和循环模式
B．顺序模式、结构模式和循环模式
C．结构模式、分支模式和循环模式
D．顺序模式、分支模式和循环模式
答案：D
15.算法中通常需要三种不同的执行流程，下面说法正确的是：＿＿＿＿＿。
答案：B
2.计算机是一种按照设计好的程序，快速、自动地进行计算的电子设备，计算机开始计算之前，必须把解决某个问题的程序存贮在计算机的＿＿＿＿＿中。
A．硬盘B．软盘C．内存D．CPU
答案：C
3.计算机程序由以下两部分即：＿＿＿＿＿组成。
A．执行部分和数据部分
B．数据部分和程序部分
C．指令部分和数据部分
第1章计算机和算法
1.使用计算机解题的步骤，以下描述正确的是：＿＿＿＿＿。
A．正确理解题意→设计正确算法→寻找解题方法→编写程序→调试运行
B．正确理解题意→寻找解题方法→设计正确算法→编写程序→调试运行
C．正确理解题意→寻找解题方法→设计正确算法→调试运行→编写程序
D．正确理解题意→寻找解题方法→设计正确算法→编写程序→调试运行
答案：B
10.关于算法的确定性特征，以下不符合算法确定性的是：＿＿＿＿＿。
A．D←（B * B–4 * A * C）
B．S←(L * H) / 10
C．输入：X
D．输出：L /正整数
答案：D
11.可以用多种不同的方法来描述一个算法，算法的描述可以用：＿＿＿＿＿。
A．流程图、分支和循环
B．顺序、流程图和自然语言
计算机算法与设计复习题(含答案)
1、一个算法的优劣可以用（时间复杂度）与（空间复杂度）与来衡量。
2、回溯法在问题的解空间中，按（深度优先方式）从根结点出发搜索解空间树。
3、直接或间接地调用自身的算法称为（递归算法）。
4、 记号在算法复杂性的表示法中表示（渐进确界或紧致界）。
5、在分治法中，使子问题规模大致相等的做法是出自一种（平衡(banlancing)子问题）的思想。
6、动态规划算法适用于解（具有某种最优性质）问题。
7、贪心算法做出的选择只是（在某种意义上的局部）最优选择。
8、最优子结构性质的含义是（问题的最优解包含其子问题的最优解）。
9、回溯法按（深度优先）策略从根结点出发搜索解空间树。
10、拉斯维加斯算法找到的解一定是（正确解）。
11、按照符号O的定义O(f)+O(g)等于O(max{f(n),g(n)})。
12、二分搜索技术是运用（分治）策略的典型例子。
13、动态规划算法中，通常不同子问题的个数随问题规模呈（多项式）级增长。
14、（最优子结构性质）和（子问题重叠性质）是采用动态规划算法的两个基本要素。
15、（最优子结构性质）和（贪心选择性质）是贪心算法的基本要素。
16、（选择能产生最优解的贪心准则）是设计贪心算法的核心问题。
17、分支限界法常以（广度优先）或（以最小耗费(最大效益)优先）的方式搜索问题的解空间树。
18、贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列（局部最优）的选择，即贪心选择达到。
19、按照活结点表的组织方式的不同，分支限界法包括（队列式(FIFO)分支限界法）和（优先队列式分支限界法）两种形式。
20、如果对于同一实例，蒙特卡洛算法不会给出两个不同的正确解答，则称该蒙特卡洛算法是（一致的）。
21、哈夫曼编码可利用（贪心法）算法实现。
22概率算法有数值概率算法，蒙特卡罗（Monte Carlo）算法，拉斯维加斯（Las Vegas）算法和舍伍德（Sherwood）算法23以自顶向下的方式求解最优解的有（贪心算法）24、下列算法中通常以自顶向下的方式求解最优解的是（C）。
计算方法作业集及答案
计算方法作业集及答案第一章数值计算基本常识一.填空题1.用四舍五入得到的近似数0.628，有_____位有效数字，其绝对误差限是____________。
2.用四舍五入得到的近似数0.586，有_____位有效数字，其绝对误差限是____________。
3.用四舍五入得到的近似数0.69，其绝对误差是__________，由此计算出的相对误差限是__________。
4.用四舍五入得到的近似数0.7960，其绝对误差是__________，由此计算出的相对误差限是__________。
5.设0.484是0.4900的近似值，那么0.484具有____位有效数字。
6.设某某=0.231是真值某=0.229的近似值，则某某有_____位有效数字。
7.设某某=0.23是真值某=0.229的近似值，则某某有_____位有效数字。
8.设某=2.3149541，取5位有效数字，则所得的近似值某某=_____。
9.设某=2.3149541，取4位有效数字，则所得的近似值某某=_____。
10.若近似数0.1100有4位有效数字，由有效数字计算出的相对误差是____________。
11.若近似数76.82有4位有效数字，由有效数字计算出的相对误差是____________。
12.若近似数576.00有5位有效数字，由有效数字计算出的相对误差是____________。
13.用3.15作为π的近似值有_____位有效数字。
14.用3.14作为π的近似值有_____位有效数字。
15.用3.1416作为π的近似值有_____位有效数字。
解答:1.3、0.5某10-32.3、0.5某10-33.0.5某10-2、0.725%4.0.5某10-4、0.00628%5.16.27.28.2.31509.2.31510.0.05%11.0.007%12.0.001%13.214.315.5二.选择题1.3.141580是π的近似值,有()位有效数字。
计算方法习题 (1)
《计算方法》练习题一练习题第1套参考答案 一、填空题 1．Λ14159.3=π的近似值，准确数位是（ 210- ）。
2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （))((!2)(b x a x f --''ξ ）。
3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （52）。
4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。
5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ]0,2[-）。
二、单选题1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（Ｃ ）。
A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+2．设x x x f +=2)(，则=]3,2,1[f （ Ａ ）。
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ Ｃ ）． Ａ．2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速．Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）.A ．)(h o Ｂ．)(2h o Ｃ．)(3h o Ｄ．)(4h o 三、计算题1．求矛盾方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2423212121x x x x x x 的最小二乘解。
22122122121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ϕ，由0,021=∂∂=∂∂x x ϕϕ得：⎩⎨⎧=+=+9629232121x x x x ，解得149,71821==x x 。
2．用4=n 的复化梯形公式计算积分⎰211dx x，并估计误差。
⎰≈++++≈21697.0]217868581[81x dx ， 9611612)(2=⨯≤M x R 。
3．用列主元消元法解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++426453426352321321321x x x x x x x x x 。
计算方法练习题与答案
练习题与答案练习题一练习题二练习题三练习题四练习题五练习题六练习题七练习题八练习题答案练习题一一、是非题1。
*x=–12。
0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限≤41021-⨯。
(）2。
对两个不同数的近似数，误差越小,有效数位越多。
( ) 3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
（)4.用212x-近似表示cos x产生舍入误差。
( )5. 3。
14和 3.142作为π的近似值有效数字位数相同。
（ )二、填空题1. 为了使计算()()2334912111y x x x =+-+---的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为 ;2. *x =–0。
003457是x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，误差限为 ，相对误差限为 ；3. 误差的来源是 ；4. 截断误差为 ；5。
设计算法应遵循的原则是 。
三、选择题1．*x =–0。
026900作为x 的近似值,它的有效数字位数为（ ） .(A ） 7； (B) 3；（C ） 不能确定 （D) 5.2．舍入误差是( )产生的误差。
（A ） 只取有限位数 （B ） 模型准确值与用数值方法求得的准确值(C ） 观察与测量 （D ） 数学模型准确值与实际值3．用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( ）误差。
（A ）. 模型 （B ）。
观测 （C ）. 截断 （D ）. 舍入4．用s ＊=21g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度），s t 是在时间t 内的实际距离,则s t - s ＊是（ ）误差。
（A)。
舍入 (B ）. 观测 （C ）。
模型 (D ）. 截断5．1。
41300作为2的近似值，有（ ）位有效数字。
（A) 3; (B ） 4； (C) 5； (D ） 6。
四、计算题1． 3.142，3.141，227分别作为π的近似值，各有几位有效数字？2． 设计算球体积允许的相对误差限为1%,问测量球直径的相对误差限最大为多少？3． 利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：(1）1||,11211<<+-++x x x x ， （2） 1||1112<<+⎰+x dt t x x（3） 1||,1<<-x e x ， (4) 1)1ln(2>>-+x x x4．真空中自由落体运动距离s 与时间t 的关系式是s =21g t 2，g 为重力加速度。
计算方法复习题
一、判断1、0.026900x *=-作为x 的近似值，它的有效数字位数为5位。
（ × ）2、迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。
（ × ）3、牛顿插值多项式的优点是：在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。
（ √ ）4、已知观察值()(),0,1,i i x y i n =，用最小二乘法求得的拟合多项式其次数为n 次。
（ × ）5、改进欧拉公式是一种隐式的方法。
（ × ）6、一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
（ √ ） 6、求方程310x x --=在区间[1, 2]内根的迭代法总是收敛的。
（ × ）7、矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--521253113是主对角占优矩阵。
（ × ）8、在求插值多项式时，插值多项式的次数越高，误差越小。
（ × ） 9、具有n+1各节点的插值型求积公式至少具有n+1次代数精度。
( × ） 二、填空题1、误差来源： 舍入误差 ， 截断误差 ， 观测误差 ， 模型误差 。
2、古代数学家祖冲之曾以113355作为圆周率π的近似值，此近似值有 7 位有效数字。
3、用二分法求方程f(x)=x3+x-1=0在区间[0，1]内的根，进行一步二分后根所在区间为，进行二步二分后根所在区间为。
4、方程求根中牛顿迭代公式，收敛速度是。
5、求线性解方程组 5x1-3x2-0.1x3=1-2x1+6x2+0.7x3=0x1+2x2+3.5x3=0的高斯—赛德尔迭代格式为，取迭代初值x 1（0）=1，x 2（0）=-1，x 3（0）=1，则x 1（1）= -0.38 ，x2（1）= -0.24， x3（1）= 351。
6、Gauss 求积公式⎰baf(x )dx≈∑=Nn n)Anf(x 具有 2N+1 次代数精度。
7、n+1个插值节点构造的拉格朗日插值公式Ln(x)= 1 余项Rn(x)= 1 。
金融风险管理期末复习计算题2
⾦融风险管理期末复习计算题2解：1年期贴现发⾏债券到期收益率i=(该债券地⾯值F-该债券地当期价格Pd)/该债券地当期价格Pd i=（1000-900）/900=11.1%1.某⾦融资产地概率分布表如下，试计算其收益均值和⽅差.可能出现地结果：-50 -20 0 30 50概率：0.1 0.2 0.2 0.3 0.2解：均值=-50* 0.1-20*0.2+ 0*0.2+30*0.3+50*0.2=10⽅差=0.1*（-50-10）2+0.2*（-20-10）2+0.2*（0-10）2+0.3*（30-10）2+0.2*（50-10）2=360+180+20+120+320=1000可能出现地结果：-100 -50 0 50 100 150概率：0.1 0.15 0.2 0.25 0.2 0.1解：均值=-100* 0.1-50*0.15+ 0*0.2+50*0.25+100*0.2+150*0.1=30个⼈收集整理勿做商业⽤途⽅差=0.1*（-100-30）2+0.15*（-50-30）2+0.2*（0-30）2+0.25*（50-30）2+0.2*（100-30）2+0.1*（150-30）2=1690+960+180+100+980+1440=5350个⼈收集整理勿做商业⽤途某商业银⾏库存现⾦余额为800万元，在中央银⾏⼀般性存款余额2930万元.计算该商业银⾏地基础头⼨是多少？解：基础头⼨=库存现⾦余额+在中央银⾏⼀般性存款余额3730万元=800万元+2930万元3.某银⾏地利率敏感型资产为3000亿元，利率敏感型负债为1500亿元.1.试计算该银⾏地缺⼝.2.若利率敏感型资产和利率敏感型负债地利率均上升2个百分点，对银⾏地利润影响是多少？答：1.缺⼝=利率敏感型资产-利率敏感型负债1500亿元=3000亿元-1500亿元2.利润变动=缺⼝*利率变动幅度30亿元=1500亿元*2%某欧洲公司预测美元将贬值，其美国⼦公司资产负债表上存在100万欧元地折算损失，该公司拟⽤合约保值法规避风险.已知期初即期汇率USD1=1.1200EURO,远期汇率为USD1=1.080O,预测期末即期汇率为USD1=0.9800EURO该公司期初应卖出地远期美元是多少？答：远期合约⾦额=预期折算损失/（期初远期汇率-预期期末即期汇率），则该公司期初应卖出地远期美元为：100/（1.080-0.9800）=1000美元6、某银⾏购买了⼀份“3对6”地FRAs，⾦额为1000000美元，期限3个⽉.从当⽇起算，3个⽉后开始，6个⽉后结束.协议利率4.5%，FRAs期限确切为91天.3个⽉后，FRAs开始时，市场利率为4%.银⾏应收取还是⽀付差额？⾦额为多少？答：由于市场利率低于协定利率，银⾏应向卖⽅⽀付差额.⾦额为：{N*(S-A)*d/360}/{1+S*d/360}=1000000*{(4.5%-4%)*91/360}/{1+4%*91/360}=1251.24美元7．某银⾏购买了⼀份“3对6”地远期利率协议FRAs，⾦额为1000000美元，期限3个⽉.从当⽇起算，3个⽉后开始，6个⽉后结束.协议利率6%,FRAS期限确切为91天.每年以360天计算.（1）3个⽉后FRAs开始时，市场利率为6.5％.银⾏应该从合同卖⽅收取现⾦多少？（2）银⾏地净借款成本在FRAs结束时为多少？解：（1）1000000*（6.5%-6%）*91/360 /（1+6.5%*91/360）=1243.47（美元）（2）1000000*6.5%*91/360=16430.56（美元）1243.47*（1+6.5%*91/360）=1263.90（美元）净借款成本=16430.56-1263.90=15166.66（美元）8．某银⾏购买了⼀份“3对6”地远期利率协议FRAs，⾦额为1000000美元，期限3个⽉.从当⽇起算，3个⽉后开始，6个⽉后结束.协议利率9.0%,FRAS期限确切为91天.每年以360天计算.（1）3个⽉后FRAs开始时，市场利率为9.5％.银⾏应该从合同卖⽅收取现⾦多少？（2）银⾏地净借款成本在FRAs结束时为多少？解：（1）1000000*（9.5%-9%）*91/360 /（1+9.5%*91/360）=1234.25（美元）（2）银⾏地净借款成本在FRAs结束时为：1000000*9.5%*91/360=24013.89（美元）（减去）1234.25*（1+9.5%*91/360）=1263.89（美元）净借款成本=24013.89-1263.89=22750.00（美元）这个数字相当于银⾏以协定利率9.0%借取了1000000美元，因为：1000000*9.0%*91/360=22750（美元）9.根据收益与风险地关系，下表中哪个证券地收益率在现实中是不可能长期存在（假定证券A和证券B地数据是真实可靠地）？答：证券C地收益率不可能长期存在.如下表所⽰，证券C 地风险⾼于证券A，但其收益率却⼩于证券A，根据收益与风险地匹配原则，⽆⼈愿意进⾏投资，因此不可能长期存在.10.某看涨期权地期权协议价格S为1000元，标地资产地市场价格X为1200元，计算该期权地内在价值是多少？答：该看涨期权地内在价值=标地资产地市场价格X—期权协议价格S=1200元—1000元=200元11．如果某公司以12%地票⾯利率发⾏了5年期地息票债券，每年⽀付⼀次利息，5年后按票⾯价值偿付本⾦.当前地市场价格是76元，票⾯⾯值为100元.请问该债券地到期收益率i是多少？（列出计算公式即可）答：P d=C/(1+r)+C/(1+r)2+C/(1+r)3+……+C/(1+r)n+F/(1+r)n76= 12/(1+i)+12/(1+i)2+12/(1+i)3+……+12/(1+i)5+100/(1+i)5i=20%12．如果某种资产地β值为1.5，整个市场地预期回报率R e m为8%，且⽆风险利率R f为2%.试从CAPM ⽅程式推算这种资产地风险升⽔P r和预期回报率R e？答：P r = R e-R f =β*（R e m-R f）=1.5*(8%-2%)=9%R e = P r+R f =9%+2%=11%13．假定⼀笔贷款违约地概率d为20%，如果⽆风险债券地利率r为2%，则该笔风险贷款地价格（利率）r*应该为多少？答：r*=（1+r）/（1-d）-1=（1+2%）/（1-20%）-1=0.27513．某商业银⾏表内加权风险资产为7400万美元，表外加权风险资产为6000万美元，⼀级资本额为600万美元，⼆级资本额为500万美元.试计算：（1）风险调整资产是多少？（2）⼀级资本充⾜率是多少？（3）总资本充⾜率是多少？（计算结果保留%内⼀位⼩数）答：（1）风险调整资产=7400+6000=13400（万美元）（2）⼀级资本充⾜率=600/13400=4.5%（3）总资本充⾜率=（⼀级资本额+⼆级资本额）/风险调整资产=1100/13400=8.2%14．假设某年末，中央银⾏规定地商业银⾏存款准备⾦率为20%.某银⾏此时地库存现⾦为20亿元，在中央银⾏地存款为1000亿元，存款总资产为4000亿元.（1）该银⾏是否存在超额储备？⾦额是多少？（2）超额储备⽐例是多少？（3）请问⽤超额储备⽐例判断银⾏流动性地局限性有哪些？解：（1）超额储备=20+1000-4000*20%=220（亿元），即该银⾏存在超额储备220亿元.（2）超额储备⽐例=220/4000=0.055（3）超额储备⽐例是指超额储备对存款总额地⽐例.超额储备是商业银⾏在中央银⾏地存款加现⾦减去法定准备⾦.超额⽐例越⾼，表⽰银⾏流动性越强.这个指标地局限性⼗分明显，它只是在⼀种狭窄地意义上体现⾦融机构地流动性状况，很容易导致低估流动性.15．某银⾏2008年下半年各⽉定期存款增长情况如下表：2008年下半年各⽉定期存款增长额（万元）请结合上述数据，利⽤算术平均法和加权平均法两种⽅法预测2009年1⽉份地定期存款增长额（假设7—12⽉地权重分别是1,2,3,4,5,6）.解：利⽤算术平均法，则2009年1⽉份该⾏定期存款增长额地预测值为：= （456+434+460+474+412+206）/6 = 407（万元）利⽤加权平均法，则2009年1⽉份该⾏定期存款增长额地预测值为：X = （456X1+434X2+460X3+474X4+412X5+206X6）/ （1+2+3+4+5+6）= 376 （万元）16．某银⾏2011年下半年各⽉定期存款增长情况如下表：2011年下半年各⽉定期存款增长额（万元）（1）利⽤算术平均法预测2012年1⽉份该⾏地定期存款增长额X1；（2）假设7-12⽉地权重分别是1，2,3,4,5,6；⽤加权平均法预测2012年1⽉份地定期存款增长额X2？解：（1）X1=（228+218+230+237+203+206）/6=220.17（万元）（2）X2=（227*1+217*2+230*3+237*4+203*5+206*6）/（1+2+3+4+5+6）=216.71（万元）17、试根据某商业银⾏地简化资产负债表计算：（P121）（1）利率敏感性缺⼝是多少？（2）当所有地资产地利率是5%，⽽所有地负债地利率是4%时，该银⾏地利润是多少？（3）当利率敏感性资产和利率敏感性负债地利率都增加2个百分点以后，该银⾏地利润是多少？（4）试述利率敏感性缺⼝地正负值与利率地升降有何关系？某银⾏（简化）资产和负债表单位：亿元资产负债利率敏感性资产2000 利率敏感性负债3000——浮动利率贷款——浮动利率存款——证券——浮动利率借款固定利率资产5000 固定利率负债4000——准备⾦——储蓄存款——长期贷款——股权资本——长期债券解：（1）利率敏感性缺⼝=利率敏感性资产—利率敏感性负债= 2000—3000 = —1000（亿元）（2）该银⾏地利润=（2000+5000）X5% —（3000+4000）X4% = 70 （亿元）（3）该银⾏新地利润=（2000X7%+5000X5%）—（3000X6%+4000X4%）= 430—390 = 50（亿元）（4）这说明，在利率敏感性缺⼝为负值地时候，利率上升，银⾏利率会下降.（另外，可以推出：在利率敏感性缺⼝为负值地时候，利率下降，利润会上升.反之，当利率敏感性缺⼝为正值时，利率下降，利润也会下降；利率上升，利润也会上升.）18、试根据某商业银⾏地简化资产负债表计算：（P121）（1）利率敏感性缺⼝是多少？（2）当所有地资产地利率是5%，⽽所有地负债地利率是4%时，该银⾏地利润是多少？（3）当利率敏感性资产和利率敏感性负债地利率都增加2个百分点以后，该银⾏地利润是多少？某银⾏（简化）资产和负债表单位：亿元资产负债利率敏感性资产1500 利率敏感性负债3500——浮动利率贷款——浮动利率存款——证券——浮动利率借款固定利率资产6500 固定利率负债4500——准备⾦——储蓄存款——长期贷款——股权资本——长期债券解：（1）利率敏感性缺⼝=利率敏感性资产—利率敏感性负债= 1500—3500 = —2000（亿元）（2）该银⾏地利润=（1500+6500）X5% —（3500+4500）X4% = 80 （亿元）（3）该银⾏新地利润=（1500X7%+6500X5%）—（3500X6%+4500X4%）= 430—390 = 50（亿元）19、某家银⾏地利率敏感性资产平均持续期为4年，利率敏感性负债平均持续期为5年，利率敏感性资产现值为2000亿，利率敏感性负债现值为2500亿，求持续期缺⼝是多少年？在这样地缺⼝下，其未来利润下降地风险，是表现在利率上升时，还是表现在利率下降时？解：将⼏个变量值分别代⼊下列持续期缺⼝公式即可得到持续期缺⼝：即，4 ―5 X 2500/2000 = ―2.25 （年）该银⾏处于持续期负缺⼝，那么将⾯临利率下降、证券市场价值上升地风险.（如果经济主体处于持续期正缺⼝，那么将⾯临利率上升、证券市场下降地风险.所以，持续期缺⼝绝对值越⼤，利率风险敞⼝也就越⼤.）20、某家银⾏地利率敏感性资产平均持续期为5年，利率敏感性负债平均持续期为4年，利率敏感性资产现值为1500亿，利率敏感性负债现值为3000亿，求持续期缺⼝是多少年？在这样地缺⼝下，其未来利润下降地风险，是表现在利率上升时，还是表现在利率下降时？解：将⼏个变量值分别代⼊下列持续期缺⼝公式即可得到持续期缺⼝：即，5 ―4 X 3000/1500 = ―3 （年）该银⾏处于持续期负缺⼝，那么将⾯临利率下降、证券市场价值上升地风险.（如果经济主体处于持续期正缺⼝，那么将⾯临利率上升、证券市场下降地风险.所以，持续期缺⼝绝对值越⼤，利率风险敞⼝也就越⼤.）21．假设伦敦国际⾦融期货期权交易所地6个⽉期英镑合约交易单位为500000英镑.⼀家公司地财务经理以5%地利率借了100万英镑，期限为6个⽉.6个⽉后，贷款将会展期，这位财务经理担⼼那时利率会上升，所以决定卖出6个⽉地伦敦国际⾦融期货期权交易所地短期英镑期货，以对冲利率风险.请问：他需要卖出多少份合约？解：需要地合约份数=1000000/500000=2（份）22．某公司获得⼀笔浮动利率贷款，⾦额为1000万美元，每季度⽀付⼀次利息，利率为3个⽉LIBOR.公司担⼼在今后2年内市场利率⽔平会上升，于是购买了⼀项利率上限，有效期2年，执⾏价格为5%，参考利率为3个⽉LIBOR，期权费率为1%，公司⽀付地期权费⽤⾦额为10万美元.每年以360天计算，每季度以90天计算.（1）若第⼀个付息⽇到来是，LIBOR为5.5%，该公司获得地交割⾦额为多少？（2）若第⼀个付息⽇到来时，LIBOR是4%，该公司地融资成本是百分之多少？解：（1）交割⾦额=1000000*（5.5%-5%）*90/360=12500（美元）（2）在2年地有效期内，共有8个付息期，每⼀个付息期公司应分摊地期权费12500（100000/8）美元，第⼀个付息⽇到来时，LIBOR是4%，低于5%地执⾏价格，那么，该公司不能获得交割地资⾦，但它只按4%地市场利率付息，⽀付利息额为100000（10000000*4%*90/360）美元，再加上12500美元地期权费，实际地融资成本为=（100000+12500）/10000000*360/90=4.5%23、假设⼀个国家当年未清偿外债余额为10亿美元，当年国民⽣产总值为120亿美元，当年商品服务出⼝总额为8.5亿美元，当年外债还本付息总额2.5亿美元.试计算该国地负债率、债务率、偿债率.它们各⾃是否超过了国际警戒标准？（P157页）解：负债率=（当年末清偿外债余额/当年国民⽣产总值）X100% = （10 / 120）X100% = 8.33%债务率=（当年末清偿外债余额/当年商品服务出⼝总额）X100% = （10 / 8.5）X100% = 117.65%偿债率=（当年外债还本付息总额/当年商品服务出⼝总额）X100% = （2.5 / 8.5）X100% = 29.41%根据国际上通⾏地标准，20%地负债率、100%地债务率、25%地偿债率是债务国控制外债总量和结构地警戒线.根据计算结果，该国地负债率未超出国际警戒标准，⽽债务率和偿债率都超出了国际警戒标准.24．假设⼀个国家当年未清偿外债余额为60亿美元，当年国民⽣产总值为15亿美元，当年商品服务出⼝总额为10亿美元，当年外债还本付息总额3亿美元.（1）请分别计算该国地负债率、债务率、偿债率.（计算结果保留%内⼀位⼩数）；（2）该国当年地外债总量是否安全？请结合国际警戒线加以说明.解：负债率=（当年末清偿外债余额/当年国民⽣产总值）X100% = （10 /60）X100% = 16.7%债务率=（当年末清偿外债余额/当年商品服务出⼝总额）X100% = （10 / 15）X100% = 66.7%偿债率=（当年外债还本付息总额/当年商品服务出⼝总额）X100% = （3/ 15）X100% = 20%根据国际上通⾏地标准，20%地负债率、100%地债务率、25%地偿债率是债务国控制外债总量和结构地警戒线.根据计算结果，该国地负债率未超出国际警戒标准，当年地外债总量是安全地.25．假设某投资者在年初拥有投资本⾦10万元，他⽤这笔资⾦正好买⼊⼀张为期1年地⾯额为10万元地债券，债券票⾯利率为8%，该年地通货膨胀率为4%.请问：（1）⼀年后，他投资所得地实际值为多少？（2）他该年投资地名义收益率和实际收益率分别是百分之多少？（计算结果保留两位⼩数）解（1）实际值Fr=10万*（1+8%）/（1+q）=108000/（1+4%）=103846.15元（2）名义收益率8%.实际收益率=（1+8%）/（1+4%）-1=3.85%26．假设某投资者认为A股票价格中涨地可能性较⼤，于是买⼊了1份三个⽉到期地A股票地看涨股票期权，每份合约地交易量为100股，期权协议价格为50美元/股.（1）若⼀个⽉后，A股票市场价格为40美元，请问此时该看涨期权地内在价值是多少？（2）若⼀个⽉后，A股票市场价格为60美元，则此时该看涨期权地内在价值⼜是多少？解（1）看涨期权内在价值=Max（X-S，0），市场价格=40<协议价格S=50美元，则内在价值=0；（2）该看涨期权地内在价值=60X100-50X10=1000（美元）27．假设在某种情况下，资产地贴现率总为r.A资产1年后地价格为FV1A，B资产N年后地价格为FV NB.（1）请分别写出A资产和B资产地现值公式.（2）假设贴现率r为8%，FV1A为10万元，请问A资产现值为多少？解（1）A资产现值=FV1A/（1+r）；B资产现值=FV NB/（1+r）（2）A资产现值=10/（1+8%）=9.26（万元）28.⼀位财务经理在利率为6.55%时买⼊了2份3个⽉地芝加哥期货交易所地美国国债合约，每份合约⾯值100000美元.在交割⽇，伦敦3个⽉期地同业拆借利率为6.20%.求合约地利润？解：合约价格为：100-6.55=93.45；期货地价格为：100-6.20=93.8根据题意，可以算得合约地波动数为35个基点：（=93.80-93.45）⼜因为利率期货合约地最低价格波动为（1/32）%，即0.0003125.因此，合约地利润：利润=波动数*交易单位*最低价格波动*合约数=35*100000*0.0003125*2=2187（美元）29．6⽉12⽇，⼀家公司地财务经理有5000万美元资⾦，想在7⽉分贷出去.他担⼼7⽉份利率会下降，从⽽影响到他地利息收⼊.于是，他决定⽤芝加哥期货交易所地30天联邦基⾦期货对冲.该期货品种交易规模是500万美元，波动规模是每个基点41.67美元.他需要多少份期货合约？解：该保值公司需要地合约数理为：50000000/5000000*（31*12）/（30*12）=10.33（份）也就是说，这位财务经理需要购买⾄少10份期货合约.另外，假定在7⽉1⽇，陷隐含地30天利率5.44%，则30天联邦基⾦期货价格94.56（100-5.44）.再有，7⽉31⽇正如这位财务经理所预料地那样，利率下降到4.84%，则联邦基⾦期货价格变成95.16（100-4.84）.其对冲结果如何呢？按照上表，期货市场地获利刚好可以弥补现货市场地损失.版权申明本⽂部分内容，包括⽂字、图⽚、以及设计等在⽹上搜集整理。
《计算方法》复习题参考答案
《计算方法》练习题一练习题第1套参考答案一、填空题1． 14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ ）。
2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （ ）。
3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （ ）。
4．乘幂法是求实方阵（ ）特征值与特征向量的迭代法。
5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ）。
二、单选题1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（ ）。
A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+ 2．设x x x f +=2)(，则=]3,2,1[f （ ）。
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４3．设Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ ）． Ａ．2πＢ．3πＣ．4π Ｄ．6π4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（ ）敛速．Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ ）.A ．)(h o Ｂ．)(2h o Ｃ．)(3h o Ｄ．)(4h o三、计算题1．求矛盾方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2423212121x x x x x x 的最小二乘解。
2．用4=n 的复化梯形公式计算积分⎰211dx x ，并估计误差。
3．用列主元消元法解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++426453426352321321321x x x x x x x x x 。
4．用雅可比迭代法解方程组：（求出)1(x ）。
计算方法习题集及答案
得：
当方法为零稳定时 ，从而 ，故方法是二阶收敛的。
6．给出题(6.5)题中 时的公式的绝对稳定域.
解：
6.5中当 时，即为方法
其相应的差分方程的多项式为
令 ，
即方法的绝对稳定域为
7．指出Heun方法
0
0
0
0
1/3
1/3
0
0
2/3
0
2/3
0
1/4
0
3/4
的相容阶，并给出由该方法以步长h计算初值问题(6.45)的步骤.
即
取 。即
满足上述条件的多步方法即为一类三步四阶显示方法，令 可得
方法即为
3．形如
的k阶方法称为Gear方法，试确定一个三步Gear方法，并给出其截断误差主项。
解：线性k步公式为
由Gear法的定义知，三步Gear法满足
方法为 阶，故有
得：
取 得
得三步Gear方法：
其中
4．试用显式Euler法及改进的Euler法
证明：
且
即 为 的二阶零点
设
令
易知
又
由微分中值定理（Rolle定理） ，使得
进而 有三个零点， 有两个零点， 有一个零点，
即 使得
得
8.设 是Lagrange基函数，则 。
9.求一个次数不超过4次的多项式 ，使它满足
，并写出其余项表达式。
10.求一个四次插值多项式 ，使 时， ；而 时， ，并写出插值余项的表达式。
练习
班级
学号
姓名
1.试构造迭代收敛的公式求解下列方程：
（1） ; (2) 。
解：
（1）迭代公式 ， 公式收敛
k
计算方法教程（第2版）习题答案
《计算方法教程(第二版)》习题答案第一章 习题答案1、浮点数系),,,(U L t F β共有 1)1()1(21++---L U t ββ 个数。
3、a ．4097b ．62211101110.0,211101000.0⨯⨯c ．6211111101.0⨯4、设实数R x ∈，则按β进制可表达为：,1,,,3,2,011)11221(+=<≤<≤⨯++++++±=t t j jd d lt t d t t d dd x βββββββ按四舍五入的原则，当它进入浮点数系),,,(U L t F β时，若β211<+t d ，则 l tt d dd x fl ββββ⨯++±=)221()(若 β211≥+t d ，则 l tt d d d x fl ββββ⨯+++±=)1221()(对第一种情况：t l lt l t t d x fl x -++=⨯≤⨯+=-βββββ21)21(1)()(11对第二种情况：t l ltl t t d x fl x -++=⨯≤⨯--=-ββββββ21)21(1)(11 就是说总有： tl x fl x -≤-β21)( 另一方面，浮点数要求 β<≤11d ， 故有l x ββ1≥，将此两者相除，便得t x x fl x -≤-121)(β 5、a ． 5960.1 b ． 5962.1 后一种准确6、最后一个计算式：00025509.0原因：避免相近数相减，避免大数相乘，减少运算次数7、a ．]!3)2(!2)2(2[2132 +++=x x x yb ．)21)(1(22x x x y ++=c ．)11(222-++=x x x yd ． +-+-=!2)2(!6)2(!4)2(!2)2(2642x x x x ye ．222qp p q y ++=8、01786.098.5521==x x9、 m )10(m f - 1 233406.0- 3 20757.0- 5 8.07 710计算宜采用：])!42151()!32141()!22131[()(2432+⨯-+⨯-+⨯--=x x x f第二章 习题答案1、a ．T x )2,1,3(= b ．T x )1,2,1,2(--= c ．无法解2、a ．与 b ．同上， c ．T T x )2188.1,3125.0,2188.1,5312.0()39,10,39,17(321---≈---=7、a ．⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---14112111473123247212122123211231321213122 b ． ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----333211212110211221213231532223522121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111211212130213221219、T x )3415.46,3659.85,1220.95,1220.95,3659.85,3415.46(1= T x )8293.26,3171.7,4390.2,4390.2,3171.7,8293.26(2= 10、T LDL 分解：)015.0,579.3,9.1,10(diag D =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=16030.07895.05.018947.07.019.01L Cholesky 分解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1225.01408.10833.15811.18918.12333.12136.23784.18460.21623.3G 解：)1,1,2,2(--=x 12、16,12,1612111===∞A A A611,4083.1,61122212===∞A A A2)(940)()(12111===∞A Cond A Cond A Cond524)(748)()(22221===∞A C o n d A C o n d A C o n d⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--180.0000180.0000- 30.0000 180.0000- 192.0000 36.0000- 30.0000 36.0000- 9.0000,0.0139 0.1111- 0.0694- 0.1111- 0.0556 0.1111- 0.0694- 0.1111- 0.0139 1211A A1151.372,1666.0212211==--A A15、 1A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代不收敛； 2A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代不收敛； 3A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代收敛；第三章 习题答案1、Lagrange 插值多项式：)80.466.5)(20.366.5)(70.266.5)(00.166.5()80.4)(20.3)(70.2)(00.1(7.51)66.580.4)(20.380.4)(70.280.4)(00.180.4()66.5)(20.3)(70.2)(00.1(3.38)66.520.3)(80.420.3)(70.220.3)(00.120.3()66.5)(80.4)(70.2)(00.1(0.22)66.570.2)(80.470.2)(20.370.2)(00.170.2()66.5)(80.4)(20.3)(00.1(8.17)66.500.1)(80.400.1)(20.300.1)(70.200.1()66.5)(80.4)(20.3)(70.2(2.14)(4--------⨯+--------⨯+--------⨯+--------⨯+--------⨯=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x L Newton 插值多项式：)80.4)(20.3)(70.2)(00.1(21444779.0)20.3)(70.2)(00.1(527480131.0)70.2)(00.1(855614973.2)00.1(117647059.22.14)(4----+------+-+=x x x x x x x x x x x N2、设)(x y y =，其反函数是以y 为自变量的函数)(y x x =，对)(y x 作插值多项式：)1744.0)(1081.0)(4016.0)(7001.0(01253.0)1081.0)(4016.0)(7001.0(01531.0)4016.0)(7001.0(009640.0)7001.0(3350.01000.0)(----+---+--+--=y y y y y y y y y y y N 3376.0)0(=N 是0)(=x y 在]4.0,3.0[中的近似根。
计算方法复习题
计算⽅法复习题第⼀章误差1 问3.142，3.141，722分别作为π的近似值各具有⼏位有效数字？分析利⽤有效数字的概念可直接得出。
解π=3.141 592 65…记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=722.由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知3411110||1022x π--?<-≤? 因⽽x 1具有4位有效数字。
由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知2231021||1021--?≤-因⽽x 2具有3位有效数字。
由π-722=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26…知231021|722|1021--?≤-因⽽x 3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。
分析本题显然应利⽤有效数字与相对误差的关系。
解利⽤有效数字与相对误差的关系。
这⾥n=2,a 1是1到9之间的数字。
%5101211021|*||*||)(|1211*=??≤?≤-=+-+-n ra x x x x ε 3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*⾄少有⼏位有效数字？分析本题利⽤有效数字与相对误差的关系。
解 a 1是1到9间的数字。
1112*10)1(2110)19(21102110003%3.0)(--?+≤?+?=?<=a x r ε设x*具有n 位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从⽽x*⾄少具有2位有效数字。
4 计算sin1.2，问要取⼏位有效数字才能保证相对误差限不⼤于0.01%。
分析本题应利⽤有效数字与相对误差的关系。
解设取n 位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a 1=9。
411*10%01.01021|*||*||)(-+-=≤?≤-=n r a x x x x ε解不等式411101021-+-≤?n a 知取n=4即可满⾜要求。
5 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y的乘除法运算次数尽量地少，应将表达式改写为怎样的形式？解设.))64(3(10,11t t t y x t -++=-=在数值计算中，应注意简化运算步骤，减少运算次数，使计算量尽可能⼩。
计算方法-刘师少版第二章课后习题完整答案
0 < λf ′(x) < 2
− 2 < −λf ′(x) < 0
−1 < 1 − λf ′(x) < 1
1 − λf ′(x) < 1
即 ϕ ′(x) < 1 ，所以 xk+1 = ϕ (xk ) = xk − λf (xk ) 收敛于 f (x) =0 的根。
2.7 试用牛顿迭代法导出下列各式的迭代格式：
应的迭代公式：
（1）x
=1+
1 x2
，迭代公式
xk
+1
=1+
1
x
2 k
（2）x3 = 1 + x 2 ，迭代公式 xk+1 = 3 1 + xk2
（3） x 2
=
x
1 −
1
，迭代公式
xk
+1
=
1 xk −1
（4） x = x3 − 1 ，迭代公式
xk+1 = xk3 − 1
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似
x8 = 1.4656344
x9 = 1.4656000
x9
− x8
≤ 1 ×10−4 , 2
x9 = 1.4656000
2.5 对于迭代函数ϕ (x) = x + C(x 2 − 2) ，试讨论：
（1） 当 C 取何值时， xk+1 = ϕ (xk ), (k = 0,1,2,L) 产生的序列 {xk }收敛于 2 ；
6 6x2
63
ϕ ′(3 a ) == 5 − a (3 a )−3 = 5 − 1 = 1 ≠ 0
63
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数学08计算方法复习题
1、对下面的计算式做适当的等价变换，以避免两个相近的数相减时的精度损失。
（1）)ln()1ln(x x -+，其中x 较大
（2）x x -+12，其中x 较大 （3）)(sin )(cos 22x x -，其中4/π≈x （3）︒-2cos 1
2、已知函数方程0)ln(3)(=--=x x x f 有一正根，请完成以下几方面的工作：
（1）分析并选定一个含有这一正根的区间[a 0 , b 0]，以便于用二分法求解；
（2）验证在[a 0 , b 0]上用二分法求根的可行性，并计算逐步缩小的区间[a 1 , b 1] 和[a 2 , b 2]；
（3）若考虑用简单迭代法求此根，试构造一个在[a 0 , b 0]上能保证收敛的迭代式)(1k k x x ϕ=+。
4、关于某函数y =f (x )，已知如下表所示的一批数据
（1）由上表中的数据构建差商表，并求出各阶差商； （2）分别用二点、三点牛顿插值法计算f (0.75)的近似值；
（4）分别用复化梯形积分和复化辛普森积分计算
⎰
20
)(dx x f 的近似值。
5、若用Jacobi 迭代法求解线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=++-=-+=+-341182105z y x z y x z y x ：
（1）能否从系数矩阵判定Jacobi 迭代求解是收敛的？请说明原因； （2）写出经过等价变换而得到的Jacobi 迭代格式f BX X k k +=+1；
（3）求出迭代矩阵B 的行范数∞
B
和列范数1B ，并说明B 能否保证收敛。
6、用规范化幂法求矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=1403A 的按模最大特征值，使误差不超过1
105.0-⨯。
初始向量取为V (0) =( 1 , 1 )T 。
（另：若给出规范化幂法迭代计算的向量序列，你是否掌握根据向量序列的收敛情况计算按模最大特征值和特征向量的方法。
）
7、用改进欧拉法求初值问题⎩
⎨⎧==0.1)0.0(/y xy dx dy 在区间[0.0 , 1.0]上的解，取步长h =0.2。
计算结果保留到
小数点后面3位。
（此类问题还要掌握标准四阶龙格—库塔法的计算）
8、）对于函数)1()(x x x x f -+=，按下面两种方法计算)1000
(f 的近似值，分别讨论两个结果的绝对误差限和有效数字的位数，并说明产生差别的原因。
（特别注意：计算过程按四位舍入法进行。
例如2
103162.01000⨯≈，2
103164.01001⨯≈） （1）直接按表达式计算；（2）按等价变换式)1/()(x x x x f +
+=计算。
9、已知函数方程052)(3
=-+=x x x f 在区间[2，3]上有根（令a 0=2，b 0=3）：
（1）验证在此区间用上用二分法求根的可行性，并计算逐步缩小的区间[a 1 , b 1] 和[a 2 , b 2]；
（2）若用简单迭代法求此根，试分析并构造一个在[a 0 , b 0]上能保证收敛的迭代式)(1k k x x ϕ=+。
10、分别用Gauss 消元法和Doolittle 分解法求解线性方程组⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡274613312111321x x x 。
12、验算用辛普森积分公式)]()2
(4)([6)(b f b
a f a f a
b f S +++-=计算⎰=b a dx x f f I )()(时所能
达到的代数精度是几阶。
13、若用Jacobi 迭代法求解线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=+--=-+-=--1052151023
210z y x z y x z y x ：
（1）写出经过等价变换而得到的Jacobi 迭代格式f BX X k k +=+1； （2）求出迭代矩阵B 的行范数∞
B
和列范数1B ，并说明B 能否保证迭代收敛。
（3）从原方程组的系数矩阵能否判断Jacobi 迭代法收敛？请说明理由。
14、写出用反幂法⎪⎩⎪⎨⎧===+∞
),2,1,0(,/)()
1()()()( k U AV
V
V U k k k k k 求矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=0235A 的按模最小特征值的前
两步迭代计算过程与结果。
初始向量取V (0) =U (0)=( 1 , 1 )T 。
（提示：先对A 作LU 分解）
15、用改进欧拉法求初值问题⎩⎨⎧==0
.1)0.0(/2
y y dx dy 在区间[0.0 , 0.4]上的解，取步长h =0.1。
计算结果保留
到小数点后面3位。
（此类问题还要掌握：用标准四阶龙格—库塔法计算）
16、设133)(2
3
-+-=x x x x P ，用下面两种不同的方法计算)19.2(P 的值，并与真值
685159.1)19.2(*=P 进行比较，估计两个结果数据的绝对误差限，并说明产生差别的原因： （1）直接按表达式计算；（2）按1)3)3(()(-+-=x x x x P 计算。
注意：中间数据和最后结果均按3位舍入法取值，如80.419.22
≈，77.119.2)319.2(-≈⋅-。
18、若取初值I 0=ln6-ln5，按式I n =(1/n )-5I n -1 (n =1 , 2 , 3 ，…)递推计算，试估算I 1和I 2的误差（取ln6≈1.79，ln5≈1.61），并说明此递推式的数值稳定性。