计算方法_复习题2

数学08计算方法复习题

1、对下面的计算式做适当的等价变换，以避免两个相近的数相减时的精度损失。

（1）)ln()1ln(x x -+，其中x 较大

（2）x x -+12，其中x 较大 （3）)(sin )(cos 22x x -，其中4/π≈x （3）︒-2cos 1

2、已知函数方程0)ln(3)(=--=x x x f 有一正根，请完成以下几方面的工作：

（1）分析并选定一个含有这一正根的区间[a 0 , b 0]，以便于用二分法求解；

（2）验证在[a 0 , b 0]上用二分法求根的可行性，并计算逐步缩小的区间[a 1 , b 1] 和[a 2 , b 2]；

（3）若考虑用简单迭代法求此根，试构造一个在[a 0 , b 0]上能保证收敛的迭代式)(1k k x x ϕ=+。

4、关于某函数y =f (x )，已知如下表所示的一批数据

（1）由上表中的数据构建差商表，并求出各阶差商； （2）分别用二点、三点牛顿插值法计算f (0.75)的近似值；

（4）分别用复化梯形积分和复化辛普森积分计算

⎰

20

)(dx x f 的近似值。

5、若用Jacobi 迭代法求解线性方程组⎪⎩

⎪

⎨⎧=++-=-+=+-341182105z y x z y x z y x ：

（1）能否从系数矩阵判定Jacobi 迭代求解是收敛的？请说明原因； （2）写出经过等价变换而得到的Jacobi 迭代格式f BX X k k +=+1；

（3）求出迭代矩阵B 的行范数∞

B

和列范数1B ，并说明B 能否保证收敛。

6、用规范化幂法求矩阵⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=1403A 的按模最大特征值，使误差不超过1

105.0-⨯。初始向量取为V (0) =( 1 , 1 )T 。（另：若给出规范化幂法迭代计算的向量序列，你是否掌握根据向量序列的收敛情况计算按模最大特征值和特征向量的方法。）

7、用改进欧拉法求初值问题⎩

⎨⎧==0.1)0.0(/y xy dx dy 在区间[0.0 , 1.0]上的解，取步长h =0.2。计算结果保留到

小数点后面3位。（此类问题还要掌握标准四阶龙格—库塔法的计算）

8、）对于函数)1()(x x x x f -+=，按下面两种方法计算)1000

(f 的近似值，分别讨论两个结果的绝对误差限和有效数字的位数，并说明产生差别的原因。（特别注意：计算过程按四位舍入法进行。例如2

103162.01000⨯≈，2

103164.01001⨯≈） （1）直接按表达式计算；（2）按等价变换式)1/()(x x x x f +

+=计算。

9、已知函数方程052)(3

=-+=x x x f 在区间[2，3]上有根（令a 0=2，b 0=3）：

（1）验证在此区间用上用二分法求根的可行性，并计算逐步缩小的区间[a 1 , b 1] 和[a 2 , b 2]；

（2）若用简单迭代法求此根，试分析并构造一个在[a 0 , b 0]上能保证收敛的迭代式)(1k k x x ϕ=+。

10、分别用Gauss 消元法和Doolittle 分解法求解线性方程组⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡274613312111321x x x 。

12、验算用辛普森积分公式)]()2

(4)([6)(b f b

a f a f a

b f S +++-=计算⎰=b a dx x f f I )()(时所能

达到的代数精度是几阶。

13、若用Jacobi 迭代法求解线性方程组⎪⎩

⎪

⎨⎧=+--=-+-=--1052151023

210z y x z y x z y x ：

（1）写出经过等价变换而得到的Jacobi 迭代格式f BX X k k +=+1； （2）求出迭代矩阵B 的行范数∞

B

和列范数1B ，并说明B 能否保证迭代收敛。

（3）从原方程组的系数矩阵能否判断Jacobi 迭代法收敛？请说明理由。

14、写出用反幂法⎪⎩⎪⎨⎧===+∞

),2,1,0(,/)()

1()()()( k U AV

V

V U k k k k k 求矩阵⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=0235A 的按模最小特征值的前

两步迭代计算过程与结果。初始向量取V (0) =U (0)=( 1 , 1 )T 。（提示：先对A 作LU 分解）

15、用改进欧拉法求初值问题⎩⎨⎧==0

.1)0.0(/2

y y dx dy 在区间[0.0 , 0.4]上的解，取步长h =0.1。计算结果保留

到小数点后面3位。（此类问题还要掌握：用标准四阶龙格—库塔法计算）

16、设133)(2

3

-+-=x x x x P ，用下面两种不同的方法计算)19.2(P 的值，并与真值

685159.1)19.2(*=P 进行比较，估计两个结果数据的绝对误差限，并说明产生差别的原因： （1）直接按表达式计算；（2）按1)3)3(()(-+-=x x x x P 计算。

注意：中间数据和最后结果均按3位舍入法取值，如80.419.22

≈，77.119.2)319.2(-≈⋅-。

18、若取初值I 0=ln6-ln5，按式I n =(1/n )-5I n -1 (n =1 , 2 , 3 ，…)递推计算，试估算I 1和I 2的误差（取ln6≈1.79，ln5≈1.61），并说明此递推式的数值稳定性。