(人教A版)高考数学复习：6.6《数学归纳法》 ppt课件
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人教a版数学【选修2-2】2.3《数学归纳法》ppt课件
数学归纳法 温故知新 回顾复习归纳推理的定义、步骤及其所得结论的正确性如何 ．
新知导学 1．数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取__________________时命题成立． 第一个值n0(n0 ∈N*) ②(归纳递推)假设___________________ 时命题成立，证明当 n＝k＋1时命题也成立． n＝k(k≥n0，k∈N*)
牛刀小试 1．用数学归纳法证明1＋2＋„＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时 ，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 [答案] C [解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋ 3.故应选C.
[ 解析 ]
自变量的取值依次为 2,4 ＝ 22,8 ＝ 23,16 ＝ 24,32 ＝
25，„故为 2n.右边分母全为 2，分子依次为 3,4,5,6,7，„，故 n＋2 n n＋2 右边为 2 ，即 f(2 )> 2 .
典例探究学案
数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证 明恒等式
1 1 1 证明： ＋ ＋„＋ ＝ 1×3 3×5 2n－12n＋1 n .(n∈N*) 2n＋1
1 1 1 1 n 2．用数学归纳法证明1· 2＋2· 3＋3· 4＋„＋nn＋1＝n＋1(n ∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增添的项是 ( ) 1 A． kk＋1 1 C． k k ＋2 1 1 B． ＋ kk＋1 k＋1k＋2 1 D． k＋1k＋2
1 1 1 127 而 1＋2＋4＋„＋ 8－1> 64 ，故应选 B. 2
1 1 1 4．(2013· 华池一中高二期中)已知 f(n)＝1＋2＋3＋„＋n(n 3 5 7 ∈N )，计算得 f(2)＝2，f(4)>2，f(8)>2，f(16)>3，f(32)>2，由
高考数学 第六章第七节数学归纳法课件 理 新人教A版
[精析考题] [例1] 求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n －1)(n∈N*)．
[自主解答] 当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式 成立；假设当n＝k时等式成立， 即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)， 那么当n＝k＋1时， 左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k ＋1)，这就是说当n＝k＋1时等式也成立． 综上可知原等式对于任意正整数n都成立．
答案：2k
5．(教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3) 条时，第一步检验第一个值n0＝________.
解析：第一步检验的第一个值n0应为3. 答案： 3
数学归纳法的应用 (1)数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证
明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不 可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第 二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1 时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的 关键是“一凑假设，二凑结论”． (2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到k＋1 时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．
(2)由(1)得bn＝(14)n 由bn＝aann＋ －12＝(14)n得an＝14＋n－2·14n得 an＋1＝14＋n－2·14n＋1＝43n－·4n1. ∴an＋3 1＝1－41n. ∴C1·C2·…·Cn＝(1－14)·(1－412)·…·(1－41n)． 下面用数学归纳法证明不等式：
人教A版高中数学选择性必修第二册第四章4-4数学归纳法课件
反思领悟 “归纳—猜想—证明”的一般步骤
【教用·备选题】 (源自北师大版教材)用数学归纳法证明：x2n－ y2n能被x＋y整除(n∈N*)．
[证明] (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)． 故x2－y2能被x＋y整除，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥1)时，x2k－y2k能被x＋y整除． 那么，当n＝k＋1时，x2k+2－y2k+2＝x2x2k－y2y2k.*
探究建构
探究1 数学归纳法的理解 探究问题1 如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的， 能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ [提示] 不能．通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不 完全归纳法．不完全归纳法得到的结论不一定正确．
探究问题2 在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自 行车，如果一位同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行 车就会倒下．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？这 种现象对你有何启发？
(1)当n＝2时，由上述过程知，猜想成立． (2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥2)时，不等式成立，即Sk＞kx， 则Sk＋1＝Sk＋x(1＋x)k＞kx＋x(1＋x)k. ①当x＞0时，因为k＞1，所以(1＋x)k＞1，所以 x(1＋x)k＞x. ②当－1＜x＜0时，0＜1＋x＜1，且x2＞0.又因为k＞1，所以(1＋x)k ＜1＋x， 可得x(1＋x)k＞x(1＋x)＝x＋x2＞x.
√
②
(1)D (2)② [(1)显然当n＝1时，21＞12，而当n＝2时，22＝22，A 错误； 当n＝3时，23＜32，B错误； 当n＝4时，24＝42，C错误； 当n＝5时，25＞52，符合要求，D正确． (2)本题在由n＝k成立证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公 式，而未用归纳假设，这与数学归纳法的要求不符．]
高考数学总复习 第6章 第7讲 数学归纳法课件 理 新人教A版
第十八页，共50页。
1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k>1＋2k＋ 2k·2k1＋1＝1＋k＋2 1.
又 1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k<12＋k ＋2k·21k＝12＋(k＋1)，
即 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)(2)可知，命题对所有 n∈N*都成立．
第三十页，共50页。
n＝k＋1 时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－(2k－ak)， ∴ak＋1＝2＋2 ak＝2＋222k－k－11＝2k＋21－k 1， ∴当 n＝k＋1 时猜想成立；② 综合①②，当 n∈N*时猜想成立．
第三十一页，共50页。
(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问 题，其基本模式是“归纳—猜想—证明(zhèngmíng)”，即先由合情推 理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性． (2)“归纳—猜想—证明(zhèngmíng)”的基本步骤是“试验—归纳—猜 想 — 证 明 (zhèngmíng)” ． 高 中 阶 段 与 数 列 结 合 的 问 题 是 最 常 见 的 问 题．
第二十九页，共50页。
[解] (1)a1＝1，a2＝32，a3＝74，a4＝185. (2)猜想 an＝22n－n－11，证明： 当 n＝1 时，a1＝1 猜想显然成立；① 假设当 n＝k(n≥1 且 n∈N*)时，猜想成立， 即 ak＝22k－k－11，Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝2k－ak， 那么，
第十页，共50页。
1.第一个值 n0 n＝k＋1 填一填：(1)3 (2)1＋a＋a2 (3)n2－n＋1 12＋13＋14 2．n＝k＋1 时命题也成立 对一切 n∈N*，n≥n0 选一选：D
1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k>1＋2k＋ 2k·2k1＋1＝1＋k＋2 1.
又 1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k<12＋k ＋2k·21k＝12＋(k＋1)，
即 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)(2)可知，命题对所有 n∈N*都成立．
第三十页，共50页。
n＝k＋1 时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－(2k－ak)， ∴ak＋1＝2＋2 ak＝2＋222k－k－11＝2k＋21－k 1， ∴当 n＝k＋1 时猜想成立；② 综合①②，当 n∈N*时猜想成立．
第三十一页，共50页。
(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问 题，其基本模式是“归纳—猜想—证明(zhèngmíng)”，即先由合情推 理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性． (2)“归纳—猜想—证明(zhèngmíng)”的基本步骤是“试验—归纳—猜 想 — 证 明 (zhèngmíng)” ． 高 中 阶 段 与 数 列 结 合 的 问 题 是 最 常 见 的 问 题．
第二十九页，共50页。
[解] (1)a1＝1，a2＝32，a3＝74，a4＝185. (2)猜想 an＝22n－n－11，证明： 当 n＝1 时，a1＝1 猜想显然成立；① 假设当 n＝k(n≥1 且 n∈N*)时，猜想成立， 即 ak＝22k－k－11，Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝2k－ak， 那么，
第十页，共50页。
1.第一个值 n0 n＝k＋1 填一填：(1)3 (2)1＋a＋a2 (3)n2－n＋1 12＋13＋14 2．n＝k＋1 时命题也成立 对一切 n∈N*，n≥n0 选一选：D
数学归纳法
5．由 k 到 k＋1 这一步，要善于分析题目的结构特点，进行适 当的变形，常用分析、添项、拆项、作差等方法．
6．用不完全归纳法给出结论，用数学归纳法给出证明是高考题 中经常出现的题型，希望同学们用心体会．
7．本节内容是选修与选考内容，在复习时要注意把握好难度 能证明一些简单的数学命题就可以了．
用数学归纳法证明与正整数n有关的等式 用数学归纳法证明：2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2n21n＋2 ＝4nn＋1. 【思路分析】 本题主要考查用数学归纳法证明等式的步骤， 注意当 n＝k＋1 时，两边加上的项和结论各是什么．
【证明】 (1)当 n＝1 时，左边＝2×1 4＝18，右边＝18等式成立． (2)假设 n＝k 时，2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k21k＋2＝4k＋k 1成立． 当 n＝k＋1 时， 2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k21k＋2＋2k＋212k＋4 ＝4k＋k 1＋4k＋11k＋2＝4kk＋k＋12k＋＋12 ＝4k＋k＋11k＋2 2＝4kk＋＋12＝4[k＋k＋11＋1] ∴n＝k＋1 时，等式成立． 由(1)(2)可得对一切正整数 n∈N*，等式成立．
【名师点睛】 数学归纳法证题的两个步骤缺一不可．证 n＝k＋1 成立时，必须用 n＝k 成立的结论，否则，就不是数学 归纳法证明．
1．用数学归纳法证明： 1·n＋2(n－1)＋3(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝16n(n＋1)(n＋2)． 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1， 右边＝16(1＋1)(1＋2)＝1，等式成立． (2)假设 n＝k 时，1·k＋2(k－1)＋3(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝ 16k(k＋1)(k＋2)成立．
(2)假设 n＝2k(k∈N*)时，命题成立， 即 x2k－y2k 能被 x＋y 整除． 当 n＝2k＋2 时，x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－y2·y2k ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2) ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x＋y)(x－y)． ∵x2(x2k－y2k)、y2k(x＋y)(x－y)都能被 x＋y 整除， ∴x2k＋2－y2k＋2 能被 x＋y 整除，即 n＝2k＋2 时命题成立． 由(1)(2)知原命题对一切正偶数均成立． 【名师点睛】 因证明的命题对所有正偶数成立，所以归纳假 设中采用了 n＝2k(k∈N*)与它相邻的是 n＝2k＋2.要注意体会 n ＝2k＋2 时的变形方法．
数学：2.3《数学归纳法》课件(新人教A版选修2-2)
20
山东省临沂第一中学
练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题 练习 下面是某同学用数学归纳法证明命题
1 1 1 n + +L+ = 1• 2 2 • 3 n • ( n + 1) n + 1
的过程.你认为他的证法正确吗 为什么 的过程 你认为他的证法正确吗?为什么 你认为他的证法正确吗
1 1 = , 右边 (1).当n=1时,左边 左边= 右边= 当 时 左边 1 • 2 2
12
山东省临沂第一中学
思考6 数学归纳法由两个步骤组成， 思考6：数学归纳法由两个步骤组成，其 中第一步是归纳奠基 第二步是归纳递 归纳奠基， 中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递 完成这两个步骤的证明， 推，完成这两个步骤的证明，实质上解 决了什么问题？ 决了什么问题？ 逐一验证命题对从n 逐一验证命题对从n0开始的所有正整数 都成立. n都成立.
山东省临沂第一中学
2.3 数学归纳法
临沂一中数学组
1
问题提出
山东省临沂第一中学
1.归纳推理的基本特征是什么？ 1.归纳推理的基本特征是什么？ 归纳推理的基本特征是什么 由个别事实概括出一般结论. 由个别事实概括出一般结论. 2.综合法， 2.综合法，分析法和反证法的基本思 综合法 想分别是什么？ 想分别是什么？ 综合法：由已知推可知，逐步推出未知. 综合法：由已知推可知，逐步推出未知. 分析法：由未知探需知，逐步推向已知. 分析法：由未知探需知，逐步推向已知. 反证法：假设结论不成立， 反证法：假设结论不成立，推出矛盾得 证明. 证明.
9
探究（ 探究（二）：数学归纳法的基本原理
山东省临沂第一中学
an 思考1 已知数列{a 思考1：已知数列{an}满足 an + 1 = 1 + an 1 a n∈N*），假设当n ），假设当 （n∈ ），假设当n＝k时，k = ，
高考数学知识点总复习pppt课件
• ak＋2＋(a＋1)2k＋1
• ＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋ak＋2－ak＋1(a
＋1)2
27
＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]－ak＋1(a2＋a＋1)能被 a2＋a＋1 整除．
即当 n＝k＋1 时命题也成立． 根据(1)(2)可知，对于任意 n∈N＋，an＋1＋(a＋1)2n－1 能被 a2 ＋a＋1 整除．
＋
1 2k＋1－1
－
1 2k＋1
＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 1
＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋21k＋2k＋1 1＋k＋1 1－2k＋1 1
＝
k＋11＋1＋
k＋11＋2＋…
＋k＋11＋k＋
1 k＋1＋k＋1
＝右边，
13
• 所以当n＝k＋1时等式也成立．
• 综合(1)(2)知对一切n∈N* ，等式都成立．
• (2)(n归＝k纳＋1递推)假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时 命题成立，推出当__________时命题也成 立．
3
• 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n取 第一个值后面的所有正整数都成立．上述证 明方法叫做数学归纳法．
• 质疑探究：数学归纳法两个步骤有什么关系？
• 提示：数学归纳法证明中的两个步骤体现了 递推思想，第一步是递推的基础，第二步是 递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会 导致错误．
第十一章 复数、算法、推理与 证明
第5节 数学归纳法
1
• 1．了解数学归纳法的原理． • 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命
题．
2
• [要点梳理]
• 数学归纳法
• 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可 按下列步骤进行：
数学归纳法(教学课件)高二数学(人教A版2019选修第二册)
问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？
我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样，只要推到第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。
导语
探究1. 已知数列{}满足， = 计算， ， ，猜想其通项公式，并证明你的猜想.
问题探究
分析：计算可得 ， ， ，再结合 ，由此猜想： 如何证明这个猜想呢？
思路1.我们可以从开始一个个往下验证。一般来说，与正整数有关的命题，当比较小时可以逐个验证，但当较大时，验证起来会很麻烦。特别当取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的。因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法。
第 4 章 数列
人教A版2019选修第一册
4.4 数学归纳法
学习目标
1.了解数学归纳法的原理.（数学抽象、逻辑推理）
2.掌握数学归纳法的步骤.（逻辑推理）
3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.（逻辑推理）
在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列{}的通项公式 等，但并没有给出严格的数学证明，那么，对于这类与正整数有关的问题，我们怎样证明它对每一个正整数都成立呢？本节我们就来介绍一种重要的证明方法-----数学归纳法
3.已知 ，用数学归纳法证明 时， _ ______________________．
[解析] 因为 ， ，所以 ．
4.已知数列 满足 ， .
（1）求 ， ， ， ；
（2）根据（1）猜想数列的通项公式 ，并用数学归纳法证明你的结论.
[解析] （1）因为 ， ，所以 ， ， .（2）猜想： .用数学归纳法证明如下：①当 时， ，猜想成立；②假设当 时猜想成立，即 ，那么当 时， ，故当 时，猜想也成立.由①②知， 对所有 成立.
我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样，只要推到第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。
导语
探究1. 已知数列{}满足， = 计算， ， ，猜想其通项公式，并证明你的猜想.
问题探究
分析：计算可得 ， ， ，再结合 ，由此猜想： 如何证明这个猜想呢？
思路1.我们可以从开始一个个往下验证。一般来说，与正整数有关的命题，当比较小时可以逐个验证，但当较大时，验证起来会很麻烦。特别当取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的。因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法。
第 4 章 数列
人教A版2019选修第一册
4.4 数学归纳法
学习目标
1.了解数学归纳法的原理.（数学抽象、逻辑推理）
2.掌握数学归纳法的步骤.（逻辑推理）
3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.（逻辑推理）
在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列{}的通项公式 等，但并没有给出严格的数学证明，那么，对于这类与正整数有关的问题，我们怎样证明它对每一个正整数都成立呢？本节我们就来介绍一种重要的证明方法-----数学归纳法
3.已知 ，用数学归纳法证明 时， _ ______________________．
[解析] 因为 ， ，所以 ．
4.已知数列 满足 ， .
（1）求 ， ， ， ；
（2）根据（1）猜想数列的通项公式 ，并用数学归纳法证明你的结论.
[解析] （1）因为 ， ，所以 ， ， .（2）猜想： .用数学归纳法证明如下：①当 时， ，猜想成立；②假设当 时猜想成立，即 ，那么当 时， ，故当 时，猜想也成立.由①②知， 对所有 成立.
高中数学人教A版选修课件：4.1 数学归纳法
1
(k-3)(k≥4).
2
当 n=k+1 时,凸 k+1 边形是在凸 k 边形的基础上增加了一条边,
增加了一个顶点 Ak+1,增加的对角线是顶点 Ak+1 与不相邻顶点的连
线再加上原凸 k 边形的一边 A1Ak,共增加的对角线条数为
(k+1-3)+1=k-1.
题型一
题型二
题型三
1
题型四
1
1
f(k+1) = 2 (k-3)+k-1 = 2 (k2-k-2) = 2 (k+1)(k-2) =
即(3n+1)·7n-1能被9整除(n∈N+).
题型一
题型二
题型三
题型四
反思利用数学归纳法证明整除时,关键是整理出除数因式与商数
因式积的形式.这往往要涉及“添项”与“减项”“因式分解”等变形技
巧,凑出当n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题得证.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 求证:x2n-y2n(n∈N+)能被x+y整除.
结构的变化特点.并且一定要记住:在证明当n=k+1成立时,必须使
用归纳假设.
题型一
题型二
题型三
题型四
1
1
=
1
1+1
1
【变式训练 2】 用数学归纳法证明: 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ +
1
2
1
1
1
= +1 + +2 + ⋯ + 2 (n∈N+).
1
证明:(1)当 n=1 时,左边=1 − 2
(k-3)(k≥4).
2
当 n=k+1 时,凸 k+1 边形是在凸 k 边形的基础上增加了一条边,
增加了一个顶点 Ak+1,增加的对角线是顶点 Ak+1 与不相邻顶点的连
线再加上原凸 k 边形的一边 A1Ak,共增加的对角线条数为
(k+1-3)+1=k-1.
题型一
题型二
题型三
1
题型四
1
1
f(k+1) = 2 (k-3)+k-1 = 2 (k2-k-2) = 2 (k+1)(k-2) =
即(3n+1)·7n-1能被9整除(n∈N+).
题型一
题型二
题型三
题型四
反思利用数学归纳法证明整除时,关键是整理出除数因式与商数
因式积的形式.这往往要涉及“添项”与“减项”“因式分解”等变形技
巧,凑出当n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题得证.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 求证:x2n-y2n(n∈N+)能被x+y整除.
结构的变化特点.并且一定要记住:在证明当n=k+1成立时,必须使
用归纳假设.
题型一
题型二
题型三
题型四
1
1
=
1
1+1
1
【变式训练 2】 用数学归纳法证明: 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ +
1
2
1
1
1
= +1 + +2 + ⋯ + 2 (n∈N+).
1
证明:(1)当 n=1 时,左边=1 − 2
数学归纳法复习课件ppt
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
思考探究 第一个值n0是否一定为1呢？ 提示：不一定，要看题目中对n的要求，如当n≥3时，第 一个值n0应该为3.
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考点3 归纳—猜想—证明 例3 (2013·南京模拟)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.
(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论．
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为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
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为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
【方法提炼】 “归纳—猜想—证明的模式”，是不完 全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式，这种方法 在解决探索性、存在性问题时起着重要作用，它的证题 模式是先由归纳推理发现结论，然后用数学归纳法证明 结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究与发展的 重要方式．
＝
2n1＋1＋2n1＋2－n＋1 1＝2n1＋1－2n1＋2，故选 D.
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4．已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－12＋13－14＋… －n1＝2(n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n)时，若已假设 n＝k(k≥2 且 k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 n＝ ________时等式成立． 解析：因为假设n＝k(k≥2为偶数)，故下一个偶数为k＋2. 答案：k＋2
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思考探究 第一个值n0是否一定为1呢？ 提示：不一定，要看题目中对n的要求，如当n≥3时，第 一个值n0应该为3.
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考点3 归纳—猜想—证明 例3 (2013·南京模拟)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.
(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论．
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【方法提炼】 “归纳—猜想—证明的模式”，是不完 全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式，这种方法 在解决探索性、存在性问题时起着重要作用，它的证题 模式是先由归纳推理发现结论，然后用数学归纳法证明 结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究与发展的 重要方式．
＝
2n1＋1＋2n1＋2－n＋1 1＝2n1＋1－2n1＋2，故选 D.
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4．已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－12＋13－14＋… －n1＝2(n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n)时，若已假设 n＝k(k≥2 且 k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 n＝ ________时等式成立． 解析：因为假设n＝k(k≥2为偶数)，故下一个偶数为k＋2. 答案：k＋2
数学归纳法PPT优秀课件(1)
下面按照上述证 思明 路等 具 式 体 :
证明 1当 n1时 ,式 左右两边 1,即 都这 等 时等 成 式.立 2 假 n 设 k k 1 时 当 等 成 ,即 式 立 1 3 5 1 k 2 k 1 1 k k .
但是正整数是无限,多我个们无法对它们一一验
证.所以,通过验证的方法无成 法证 完明.
要证明这个,必 问须 题寻找一种有骤限 ,就个步 能够处理完无限象多的个方对 . 法
我 们 先 从 多 米 诺 骨 牌 游 戏 说 起 .这 是 一 种 码 放骨牌的游戏,码放时保证任意相邻的两块 骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导致后一块 骨 牌 倒 下.这 样, 只 要 推 倒 第1块 骨 牌,由 于 第1 块骨牌倒下,就可导致第2块骨牌倒下;而第 2 块 骨 牌 倒 下, 就 可 导 致 第3块 骨 牌 倒 下 最 后, 不 论 有 多 少 块 骨 牌 , 都 能 全 部 倒 下.
数学归纳法
一、提出问题
在数学研究中 , 人们会遇到这样的情况 , 对于
任意正整数 nn N 或不小于某个数 n0 的 任意正整数 n n N , n n0 , 都有某种不等
关系成立 .为表达这样的关系 , 就出现了与无 数多个正整数相关的不 等式 , 例如 :
| sin n | n | sin | n N , n2 2n n N , n 5, 1 xn 1 nx x 1, n N .
的 乘 积 a 1 a 2 a n 1 ,那 么 它 们 的 和 a 1 a 2 a n n . 分析这是与正整数密切 的相 不关 等,它 式的形式 简洁和.用 谐数学归纳法证明 ,应它 注时 意利n用 个 正数的乘积 1的为条件 ,并对什么是归纳假 由设 它和 要递推的目标心.中有数
证明 1当 n1时 ,式 左右两边 1,即 都这 等 时等 成 式.立 2 假 n 设 k k 1 时 当 等 成 ,即 式 立 1 3 5 1 k 2 k 1 1 k k .
但是正整数是无限,多我个们无法对它们一一验
证.所以,通过验证的方法无成 法证 完明.
要证明这个,必 问须 题寻找一种有骤限 ,就个步 能够处理完无限象多的个方对 . 法
我 们 先 从 多 米 诺 骨 牌 游 戏 说 起 .这 是 一 种 码 放骨牌的游戏,码放时保证任意相邻的两块 骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导致后一块 骨 牌 倒 下.这 样, 只 要 推 倒 第1块 骨 牌,由 于 第1 块骨牌倒下,就可导致第2块骨牌倒下;而第 2 块 骨 牌 倒 下, 就 可 导 致 第3块 骨 牌 倒 下 最 后, 不 论 有 多 少 块 骨 牌 , 都 能 全 部 倒 下.
数学归纳法
一、提出问题
在数学研究中 , 人们会遇到这样的情况 , 对于
任意正整数 nn N 或不小于某个数 n0 的 任意正整数 n n N , n n0 , 都有某种不等
关系成立 .为表达这样的关系 , 就出现了与无 数多个正整数相关的不 等式 , 例如 :
| sin n | n | sin | n N , n2 2n n N , n 5, 1 xn 1 nx x 1, n N .
的 乘 积 a 1 a 2 a n 1 ,那 么 它 们 的 和 a 1 a 2 a n n . 分析这是与正整数密切 的相 不关 等,它 式的形式 简洁和.用 谐数学归纳法证明 ,应它 注时 意利n用 个 正数的乘积 1的为条件 ,并对什么是归纳假 由设 它和 要递推的目标心.中有数
高考数学总复习：数学归纳法(讲义+解题技巧+真题+详细解答)
二、数学归纳法的证明步骤
1.证明：当 n 取第一个值 n0（如 n0=1 或 2 等）命题正确； 2.假设当 n=k(k∈N*，且 k≥n0)时命题成立，以此为前提，证明当 n=k+1 时命题也成立. 根据步骤 1，2 可以断定命题对于一切从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证 据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）。 注意： （1）不要弄错起始 n0：n0 不一定恒为 1，也可能为其它自然数（即起点问题）． （2）项数要估算正确：特别是当寻找 n=k 与 n=k+1 的关系时，项数的变化易出现错误 （即跨度问题）． （3）必须利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过
由归纳假设，凸
k
边形
A1A2A3…Ak
的对角线的条数为
1 2
k(k－3)；对角线
A1Ak
是一条；而顶点 Ak+1 与另外（k－2）个顶点 A2、A3、…、Ak－1 可画出（k－2）条对角线，
所以凸（k+1）边形的对角线的条数是： 1 k(k－3)+1+(k－2)= 1 (k+1)(k－2)= 1
2
2
2.原理 数学归纳法首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有
效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法 想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你 可以：
① 证明第一张骨牌会倒。 ② 证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。 ③ 那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。
【解析】
1.证明：当 n 取第一个值 n0（如 n0=1 或 2 等）命题正确； 2.假设当 n=k(k∈N*，且 k≥n0)时命题成立，以此为前提，证明当 n=k+1 时命题也成立. 根据步骤 1，2 可以断定命题对于一切从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证 据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）。 注意： （1）不要弄错起始 n0：n0 不一定恒为 1，也可能为其它自然数（即起点问题）． （2）项数要估算正确：特别是当寻找 n=k 与 n=k+1 的关系时，项数的变化易出现错误 （即跨度问题）． （3）必须利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过
由归纳假设，凸
k
边形
A1A2A3…Ak
的对角线的条数为
1 2
k(k－3)；对角线
A1Ak
是一条；而顶点 Ak+1 与另外（k－2）个顶点 A2、A3、…、Ak－1 可画出（k－2）条对角线，
所以凸（k+1）边形的对角线的条数是： 1 k(k－3)+1+(k－2)= 1 (k+1)(k－2)= 1
2
2
2.原理 数学归纳法首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有
效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法 想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你 可以：
① 证明第一张骨牌会倒。 ② 证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。 ③ 那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。
【解析】
人教A版高二数学《数学归纳法》课件
作 业：
1.(1)教材第31页练习 1、2、3
(2)用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式，
即证明：
Sn
na1
n(n 1) 2
d
2. 研究性作业： 简析我国古代烽火传递军情的合理性。 (可以上网查阅)
课堂小结：
本节课你主要学到了什么？
1. 归纳法: 完全归纳法、不完全归纳法
2. 数学归纳法（1）两个步骤、一个结论； （2）使用数学归纳法的注意点
能产生多米诺骨牌效应 多米诺骨牌的个数 条件：
1.第1个骨牌必须被推倒
命题成立
n的取值（不妨设 n 1 ）
1. 证明当n=1时命题成立；
2.假设第k个骨牌倒下， 则第k+1个骨牌也倒下。
2. 假设n=k时命题成立，则 证明n=k+1时命题也成立。
满足这两个条件命题一定成立吗？
数学归纳法的一般步骤：
如何证明与正整数n有关的命题？
找条件：
要产生“多米诺骨牌”效应，必须具备的条件是什么？
…… 1 2 3 4
k k+1
……
1.最前面的那个骨牌 必须被推倒；
2.假设前一个骨牌倒下时， 一定要碰倒后一个骨牌。
1. 第1个骨牌必须被推倒。
2.假设第k个骨牌倒下， 则第k+1个骨牌也一定倒下。
若把数学中与正整数 n 有关的命题对应于多米诺骨牌：
第5个费马数 F5 225 1 4294967297 6416700417
不是质数,从而推翻了费马的猜想。
问题3：
等差数列 {an }中，首项为 a1，公差为 d，
a3 a2 d
a4 a3 d
视察以上各式，可以归纳、猜想出：
如何证明等差数列通项公式：an a1 (n 1)d n 1,2,3,4
数学归纳法【新教材】人教A版高中数学选择性必修第二册完美课件
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
第4章 4.4 数学归纳法-【新教材】人教A版（2019 ）高中 数学选 择性必 修第二 册课件 (共61 张PPT)
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第4章 4.4 数学归纳法-【新教材】人教A版（2019 ）高中 数学选 择性必 修第二 册课件 (共61 张PPT)
情
2．数学归纳法的框图表示
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第4章 4.4 数学归纳法-【新教材】人教A版（2019 ）高中 数学选 择性必 修第二 册课件 (共61 张PPT)
11
情 境 导
2．用数学归纳法证明
1
＋
a
＋
a2
＋
…
＋
an
＋
1
＝
1－an＋2 1－a
(a≠1
，
课 堂 小
学
结
探 n∈N*)，在验证 n＝1 成立时，左边计算所得的项是( )
养
合 作
(2)归纳递推：以“当 n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件， 课
探
时
究 推出“当__n_＝__k_＋__1__时命题也成立”．
分 层
释
作
疑 难
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整 业
数 n 都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
返
首
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第4章 4.4 数学归纳法-【新教材】人教A版（2019 ）高中 数学选 择性必 修第二 册课件 (共61 张PPT)
新
素
知 妇女的意思)，如父亲姓王，其子女都姓王．假设我们知道一个男子 养
高考数学一轮复习 13-3 数学归纳法及其应用课件 新人教A版
ppt精选
10
课堂总结
(2)假设 n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k（21k＋2）＝4（kk＋1）， 则当 n＝k＋1 时，2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k（21k＋2）＋
1 2（k＋1）[2（k＋1）＋2] ＝4（kk＋1）＋4（k＋1）1（k＋2）＝4（kk（＋k1＋）2（）k＋＋12） ＝4（k＋（1k）＋（1）k＋2 2）＝4（kk＋＋12）＝4（kk＋＋11＋1）.
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课堂总结
【训练1】 求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－
1)(n∈N*)．
证明 (1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴
等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即(k＋1)(k＋
2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)．
第3讲 数学归纳法及其应用
最新考纲 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法 证明一些简单的数学命题．
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1
课堂总结
知识梳理
1．数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取___第__一__个__值__n_0(_n_0_∈__N_*时) 命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明 当_________时命题也成立． 只要n完＝成k＋这1两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所 有正整数n都成立．
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课堂总结
所以当n＝k＋1时，等式也成立， 由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立． 规律方法 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式 时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等 式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由 n＝k到n＝k＋1时等式的两边变化的项，然后正确写出归 纳证明的步骤，使问题得以证明．
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考点二 考点三
用数学归纳法证明不等式 归纳—猜想—证明
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
考点一 综合法的应用(高频考点) 用数学归纳法证明：
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋
…
＋
1 2n（2n＋2）
＝
n 4（n＋1）
(n∈N*)．
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
1.设 f(n)＝1＋12＋13＋…＋n1(n∈N*)．求证：f(1) ＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)． 证明：(1)当 n＝2 时，左边＝f(1)＝1，
第六章 不等式Βιβλιοθήκη 推理与证明第6讲 数学归纳法
第六章 不等式、推理与证明
数学归纳法 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤 进行： (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N＋)时命题成立； (2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明 当 n＝k＋1 时命题也成立．
右边＝21＋12－1＝1，
左边＝右边，等式成立． (2)假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立， 即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当 n＝k＋1 时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
考点二 用数学归纳法证明不等式
设 数列{an}满足
a1
＝
2
，
an
＋
1
＝
an
＋
1 an
(n
＝
1
，
2，…)．证明：an＞ 2n＋1对一切正整数 n 都成立．
[证明] 当 n＝1 时，a1＝2＞ 2×1＋1，不等式成立．
假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，ak＞ 2k＋1成立． 那么当 n＝k＋1 时，
a2k＋1＝a2k＋a1k2＋2＞2k＋3＋a12k＞2(k＋1)＋1.
栏目 导引
精品资料
第六章 不等式、推理与证明
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
[做一做]
1．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n－3)条
时，第一步检验 n 等于( C )
A．1
B．2
C．3
D．0
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
1．辨明两个易误点 (1)数学归纳法证题时，误把第一个值 n0 认为是 1，如证明 多边形内角和定理(n－2)π时，初始值 n0＝3. (2)数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意： ①必须利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分 析法、反证法等方法；③解题时要搞清从 n＝k 到 n＝k＋1 增加了哪些项或减少了哪些项．
∴当 n＝k＋1 时，ak＋1＞ 2（k＋1）＋1成立．
综上，an＞ 2n＋1对一切正整数 n 都成立．
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
2.已知数列{an},an≥0，a1＝0,a2n＋1＋an＋1－1＝a2n. 求证：当 n∈N*时，an<an＋1. 证明：(1)当 n＝1 时，因为 a2 是方程 a22＋a2－1＝0 的正根， 所以 a1<a2. (2)假设当 n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤ak<ak＋1， 则由 ak2＋1－a2k＝(a2k＋2＋ak＋2－1)－(a2k＋1＋ak＋1－1) ＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0， 得 ak＋1<ak＋2，即当 n＝k＋1 时，an<an＋1 也成立． 根据(1)和(2)，可知 an<an＋1 对任何 n∈N*都成立．
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
3.(2015·江苏南京模拟)已知数列{an}满足 Sn ＋an＝2n＋1. (1)写出 a1，a2，a3，并推测 an 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 解：(1)将 n＝1，2，3 分别代入可得 a1＝32，a2＝74，a3＝185， 猜想 an＝2－21n.
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
本部分内容讲解结束
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第六章 不等式、推理与证明
考点三 归纳—猜想—证明 已知数列{xn}满足 x1＝12，xn＋1＝1＋1xn，n∈N*.猜想
数列{x2n}的单调性，并证明你的结论。 [解] 由 x1＝12及 xn＋1＝1＋1xn，得 x2＝23，x4＝58，x6＝2113. 由 x2>x4>x6，猜想：数列{x2n}是递减数列． 下面用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，已证命题成立． ②假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，即 x2k>x2k＋2， 易知 xk>0，那么 x2k＋2－x2k＋4＝1＋1x2k＋1－1＋1x2k＋3
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
[做一做]
2．用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n
＋1)时，从 n＝k 到 n＝k＋1，左边需增添的代数式是( D )
A．2k＋2
B．2k＋3
C．2k＋1
D．(2k＋2)＋(2k＋3)
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第六章 不等式、推理与证明
考点一
用数学归纳法证明等式